I denne artikkelen vil vi analysere i detalj tallmodul. Vi vil gi ulike definisjoner av modulen til et tall, introdusere notasjon og gi grafiske illustrasjoner. La oss samtidig se på ulike eksempler på å finne modulen til et tall per definisjon. Etter dette vil vi liste og begrunne hovedegenskapene til modulen. På slutten av artikkelen skal vi snakke om hvordan modulen til et komplekst tall bestemmes og blir funnet.

Sidenavigering.

Tallmodul - definisjon, notasjon og eksempler

Først introduserer vi tallmodulbetegnelse. Vi vil skrive modulen til tallet a som , det vil si at til venstre og høyre for tallet vil vi sette vertikale streker for å danne modultegnet. La oss gi et par eksempler. For eksempel kan modul −7 skrives som ; modul 4.125 skrives som , og modulen har en notasjon av formen .

Følgende definisjon av modul refererer til , og derfor til , og til heltall, og til rasjonelle og irrasjonelle tall, som konstituerende deler av settet med reelle tall. Vi vil snakke om modulen til et komplekst tall i.

Definisjon.

Modulus av tall a– dette er enten tallet a selv, hvis a er et positivt tall, eller tallet −a, det motsatte av tallet a, hvis a er et negativt tall, eller 0, hvis a=0.

Den uttrykte definisjonen av modulen til et tall er ofte skrevet i følgende form , betyr denne oppføringen at hvis a>0 , hvis a=0 , og hvis a<0 .

Platen kan presenteres i en mer kompakt form . Denne notasjonen betyr at hvis (a er større enn eller lik 0), og hvis a<0 .

Det er også inngangen . Her bør vi separat forklare tilfellet når a=0. I dette tilfellet har vi , men −0=0, siden null regnes som et tall som er motsatt av seg selv.

La oss gi eksempler på å finne modulen til et tall ved å bruke en oppgitt definisjon. La oss for eksempel finne modulene til tallene 15 og . La oss starte med å finne. Siden tallet 15 er positivt, er dets modul, per definisjon, lik dette tallet selv, det vil si . Hva er modulen til et tall? Siden er et negativt tall, er modulen lik tallet motsatt tallet, det vil si tallet . Dermed,.

For å konkludere med dette punktet presenterer vi en konklusjon som er veldig praktisk å bruke i praksis når man skal finne modulen til et tall. Fra definisjonen av modulen til et tall følger det at modulen til et tall er lik tallet under modultegnet uten å ta hensyn til fortegnet, og fra eksemplene diskutert ovenfor er dette veldig tydelig synlig. Den oppgitte setningen forklarer hvorfor modulen til et tall også kalles absolutt verdi av tallet. Så modulen til et tall og den absolutte verdien til et tall er en og samme.

Modulus av et tall som en avstand

Geometrisk kan modulen til et tall tolkes som avstand. La oss gi bestemme modulen til et tall gjennom avstand.

Definisjon.

Modulus av tall a– dette er avstanden fra origo på koordinatlinjen til punktet som tilsvarer tallet a.

Denne definisjonen er i samsvar med definisjonen av modulen til et tall gitt i første ledd. La oss avklare dette punktet. Avstanden fra origo til punktet som tilsvarer et positivt tall er lik dette tallet. Null tilsvarer origo, derfor er avstanden fra origo til punktet med koordinat 0 lik null (du trenger ikke å sette til side et enkelt enhetssegment og ikke et enkelt segment som utgjør en brøkdel av et enhetssegment i rekkefølge for å komme fra punkt O til et punkt med koordinat 0). Avstanden fra origo til et punkt med negativ koordinat er lik tallet motsatt av koordinaten til dette punktet, siden det er lik avstanden fra origo til punktet hvis koordinat er det motsatte tallet.

For eksempel er modulen til tallet 9 lik 9, siden avstanden fra origo til punktet med koordinat 9 er lik ni. La oss gi et annet eksempel. Punktet med koordinat −3,25 ligger i en avstand på 3,25 fra punktet O, så .

Den angitte definisjonen av modulen til et tall er et spesialtilfelle av definisjonen av modulen til differansen til to tall.

Definisjon.

Modulus av forskjellen mellom to tall a og b er lik avstanden mellom punktene på koordinatlinjen med koordinatene a og b.

Det vil si at hvis punkter på koordinatlinjen A(a) og B(b) er gitt, så er avstanden fra punkt A til punkt B lik modulen til differansen mellom tallene a og b. Hvis vi tar punkt O (opprinnelse) som punkt B, får vi definisjonen av modulen til et tall gitt i begynnelsen av dette avsnittet.

Bestemme modulen til et tall ved å bruke den aritmetiske kvadratroten

Oppstår av og til bestemme modul via aritmetisk kvadratrot.

La oss for eksempel beregne modulene til tallene -30 og basert på denne definisjonen. Vi har. På samme måte beregner vi modulen på to tredjedeler: .

Definisjonen av modulen til et tall gjennom den aritmetiske kvadratroten er også i samsvar med definisjonen gitt i første ledd i denne artikkelen. La oss vise det. La a være et positivt tall, og la −a være et negativt tall. Da Og , hvis a=0 , da .

Modulegenskaper

Modulen har en rekke karakteristiske resultater - modulegenskaper. Nå vil vi presentere de viktigste og mest brukte av dem. Når vi rettferdiggjør disse egenskapene, vil vi stole på definisjonen av modulen til et tall når det gjelder avstand.

La oss starte med den mest åpenbare egenskapen til modulen - Modulen til et tall kan ikke være et negativt tall. I bokstavelig form har denne egenskapen formen for et hvilket som helst tall a. Denne egenskapen er veldig enkel å rettferdiggjøre: Modulen til et tall er en avstand, og avstand kan ikke uttrykkes som et negativt tall.

La oss gå videre til neste modulegenskap. Modulen til et tall er null hvis og bare hvis dette tallet er null. Modulen til null er null per definisjon. Null tilsvarer origo; intet annet punkt på koordinatlinjen tilsvarer null, siden hvert reelt tall er knyttet til et enkelt punkt på koordinatlinjen. Av samme grunn tilsvarer et hvilket som helst annet tall enn null et annet punkt enn origo. Og avstanden fra origo til et annet punkt enn punkt O er ikke null, siden avstanden mellom to punkter er null hvis og bare hvis disse punktene sammenfaller. Resonnementet ovenfor beviser at bare nullmodulen er lik null.

La oss gå videre. Motstående tall har like moduler, det vil si for et hvilket som helst tall a. Faktisk er to punkter på koordinatlinjen, hvis koordinater er motsatte tall, i samme avstand fra origo, noe som betyr at modulene til de motsatte tallene er like.

Følgende egenskap til modulen er: Modulen til produktet av to tall er lik produktet av modulene til disse tallene, det vil si. Per definisjon er modulen til produktet av tallene a og b lik enten a·b if , eller −(a·b) if . Fra reglene for multiplikasjon av reelle tall følger det at produktet av modulene til tallene a og b er lik enten a·b, , eller −(a·b) if , som beviser den aktuelle egenskapen.

Modulen til kvotienten til a delt på b er lik kvotienten til modulusen til et tall delt på modulen til b, det vil si. La oss rettferdiggjøre denne egenskapen til modulen. Siden kvotienten er lik produktet, da. I kraft av den tidligere eiendommen vi har . Alt som gjenstår er å bruke likheten , som er gyldig i kraft av definisjonen av modulen til et tall.

Følgende egenskap til en modul er skrevet som en ulikhet: , a , b og c er vilkårlige reelle tall. Den skriftlige ulikheten er ikke annet enn trekantulikhet. For å gjøre dette klart, la oss ta punktene A(a), B(b), C(c) på koordinatlinjen, og vurdere en degenerert trekant ABC, hvis toppunkter ligger på samme linje. Per definisjon er differansmodulen lik lengden på segmentet AB, - lengden på segmentet AC, og - lengden på segmentet CB. Siden lengden av en hvilken som helst side av en trekant ikke overstiger summen av lengdene til de to andre sidene, er ulikheten sann , derfor er ulikheten også sann.

Ulikheten som nettopp er påvist er mye mer vanlig i formen . Den skriftlige ulikheten betraktes vanligvis som en egen egenskap til modulen med formuleringen: " Modulen til summen av to tall overstiger ikke summen av modulene til disse tallene" Men ulikheten følger direkte av ulikheten hvis vi setter −b i stedet for b og tar c=0.

Modulus til et komplekst tall

La oss gi definisjon av modulen til et komplekst tall. Måtte det bli gitt til oss komplekst tall, skrevet i algebraisk form, hvor x og y er noen reelle tall, som representerer henholdsvis den reelle og imaginære delen av et gitt komplekst tall z, og er den imaginære enheten.

Denne nettbaserte matematikkkalkulatoren vil hjelpe deg løse en likning eller ulikhet med moduli. Program for løse likninger og ulikheter med moduler gir ikke bare svaret på problemet, det leder detaljert løsning med forklaringer

, dvs. viser prosessen for å oppnå resultatet.

Dette programmet kan være nyttig for videregående skoleelever i allmennutdanningsskoler når de forbereder seg til tester og eksamener, når de tester kunnskap før Unified State Exam, og for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra.

Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få matte- eller algebraleksene dine gjort så raskt som mulig? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger.

På denne måten kan du gjennomføre din egen opplæring og/eller opplæring av dine yngre brødre eller søstre, samtidig som utdanningsnivået innen problemløsning øker.

eller abs(x) - modul x

Skriv inn en ligning eller ulikhet med moduli
x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Løs en likning eller ulikhet

Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Ligninger og ulikheter med moduler

I et grunnleggende skolealgebrakurs kan du møte de enkleste ligningene og ulikhetene med moduli. For å løse dem kan du bruke en geometrisk metode basert på at \(|x-a| \) er avstanden på tallinjen mellom punktene x og a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). For å løse likningen \(|x-3|=2\) må du for eksempel finne punkter på tallinjen som er fjernt fra punkt 3 i en avstand på 2. Det er to slike punkter: \(x_1=1 \) og \(x_2=5\) .

Løse ulikheten \(|2x+7|

Men hovedmåten for å løse likninger og ulikheter med moduler er assosiert med den såkalte "avsløringen av modulen per definisjon":
hvis \(a \geq 0 \), så \(|a|=a \);
if \(a Som regel reduseres en likning (ulikhet) med moduli til et sett med likninger (ulikheter) som ikke inneholder modultegnet.

I tillegg til definisjonen ovenfor, brukes følgende utsagn:
1) Hvis \(c > 0\), så er ligningen \(|f(x)|=c \) ekvivalent med settet med ligninger: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) Hvis \(c > 0 \), så er ulikheten \(|f(x)| 3) Hvis \(c \geq 0 \), så er ulikheten \(|f(x)| > c \) ekvivalent med et sett med ulikheter : \(\venstre[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Hvis begge sider av ulikheten \(f(x) EKSEMPEL 1. Løs ligningen \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Hvis \(x-1 \geq 0\), så har \(|x-1| = x-1\) og den gitte ligningen formen
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Høyrepil x^2 +2x -8 = 0 \).
Hvis \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Høyrepil x^2 -2x -4 = 0 \).
Derfor bør den gitte ligningen vurderes separat i hvert av de to angitte tilfellene.
1) La \(x-1 \geq 0 \), dvs. \(x\geq 1\). Fra ligningen \(x^2 +2x -8 = 0\) finner vi \(x_1=2, \; x_2=-4\).
Betingelsen \(x \geq 1 \) oppfylles kun av verdien \(x_1=2\).

2) La \(x-1 Svar: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

EKSEMPEL 2. Løs ligningen \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\). Første vei
(modulutvidelse per definisjon).

1) Hvis \(x^2-6x+7 \geq 0 \), så har \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) og den gitte ligningen formen \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Høyrepil 3x^2-23x+30=0 \). Etter å ha løst denne kvadratiske ligningen, får vi: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
La oss finne ut om verdien \(x_1=6\) tilfredsstiller betingelsen \(x^2-6x+7 \geq 0\). For å gjøre dette, erstatte den angitte verdien i den kvadratiske ulikheten. Vi får: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), dvs. \(7 \geq 0 \) er en sann ulikhet.
Dette betyr at \(x_1=6\) er roten til den gitte ligningen.

La oss finne ut om verdien \(x_2=\frac(5)(3)\) tilfredsstiller betingelsen \(x^2-6x+7 \geq 0\). For å gjøre dette, erstatte den angitte verdien i den kvadratiske ulikheten. Vi får: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), dvs. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) er en feil ulikhet. Dette betyr at \(x_2=\frac(5)(3)\) ikke er en rot av den gitte ligningen.

2) Hvis \(x^2-6x+7 Verdi \(x_3=3\) tilfredsstiller betingelsen \(x^2-6x+7 Verdi \(x_4=\frac(4)(3) \) ikke tilfredsstiller betingelsen \ (x^2-6x+7 Så den gitte ligningen har to røtter: \(x=6, \; x=3 \). Andre vei.
Hvis ligningen er gitt \(|f(x)| = h(x) \), så med \(h(x) \(\venstre[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)

Begge disse ligningene ble løst ovenfor (ved å bruke den første metoden for å løse den gitte ligningen), røttene deres er som følger: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). Betingelsen \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) av disse fire verdiene oppfylles bare av to: 6 og 3. Dette betyr at den gitte ligningen har to røtter: \(x=6 , \; x=3 \ ). Tredje vei
(grafikk).
1) La oss bygge en graf av funksjonen \(y = |x^2-6x+7| \). La oss først konstruere en parabel \(y = x^2-6x+7\).
Vi har \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Grafen til funksjonen \(y = (x-3)^2-2\) kan hentes fra grafen til funksjonen \(y = x^2\) ved å flytte den 3 skalaenheter til høyre (langs x-aksen) og 2 skala enheter ned ( langs y-aksen).

Det er viktig at punktet x = 1,8 av skjæringspunktet mellom den rette linjen med abscisseaksen er plassert til høyre for venstre skjæringspunkt for parabelen med abscisseaksen - dette er punktet \(x=3-\ sqrt(2) \) (siden \(3-\sqrt(2 ) 3) Etter tegningen å dømme, skjærer grafene seg i to punkter - A(3; 2) og B(6; 7). Erstatter abscissen til disse poeng x = 3 og x = 6 inn i den gitte ligningen, er vi overbevist om at i en annen verdi oppnås den korrekte numeriske likheten. Dette betyr at vår hypotese ble bekreftet - ligningen har to røtter: x = 3 og x = 6. Svar: 3;

Kommentar. Den grafiske metoden, for all sin eleganse, er ikke veldig pålitelig. I det betraktede eksemplet fungerte det bare fordi røttene til ligningen er heltall.

EKSEMPEL 3. Løs ligningen \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

EKSEMPEL 2. Løs ligningen \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
Uttrykket 2x–4 blir 0 i punktet x = 2, og uttrykket x + 3 blir 0 i punktet x = –3. Disse to punktene deler talllinjen i tre intervaller: \(x

Tenk på det første intervallet: \((-\infty; \; -3) \).
Hvis x Tenk på det andre intervallet: \([-3; \; 2) \).
Hvis \(-3 \leq x Tenk på det tredje intervallet: \()