Komplekse derivater. Logaritmisk derivert.
Derivert av en potens-eksponentiell funksjon

Vi fortsetter å forbedre vår differensieringsteknikk. I denne leksjonen vil vi konsolidere materialet vi har dekket, se på mer komplekse derivater, og også bli kjent med nye teknikker og triks for å finne en derivat, spesielt med den logaritmiske derivater.

Til de leserne som har lavt nivå forberedelse, bør du referere til artikkelen Hvordan finne den deriverte? Eksempler på løsninger, som lar deg heve ferdighetene dine nesten fra bunnen av. Deretter må du studere siden nøye Derivat av en kompleks funksjon, forstå og løse Alle eksemplene jeg ga. Denne leksjonen logisk sett den tredje, og etter å ha mestret det, vil du trygt skille ganske komplekse funksjoner. Det er uønsket å innta posisjonen «Hvor ellers? Ja, det er nok», siden alle eksempler og løsninger er hentet fra ekte tester og blir ofte møtt i praksis.

La oss starte med repetisjon. I klassen Derivat av en kompleks funksjon Vi så på en rekke eksempler med detaljerte kommentarer. Under studiet av differensialregning og andre seksjoner matematisk analyse– du må skille veldig ofte, og det er ikke alltid praktisk (og ikke alltid nødvendig) å beskrive eksempler i detalj. Derfor vil vi øve på å finne derivater muntlig. De mest passende "kandidatene" for dette er derivater av de enkleste av komplekse funksjoner, for eksempel:

Etter differensieringsregelen kompleks funksjon :

Når man studerer andre matan-emner i fremtiden, er et slikt detaljert opptak som oftest ikke nødvendig, det antas at studenten vet hvordan man finner slike derivater på autopilot. La oss forestille oss at klokken 3 om morgenen var det en telefonsamtale, Og hyggelig stemme spurte: "Hva er den deriverte av tangenten til to X-er?" Dette bør etterfølges av et nesten øyeblikkelig og høflig svar: .

Det første eksemplet vil umiddelbart være beregnet på uavhengig avgjørelse.

Eksempel 1

Finn følgende derivater muntlig, i én handling, for eksempel: . For å fullføre oppgaven trenger du bare å bruke tabell over derivater av elementære funksjoner(hvis du ikke har husket det ennå). Hvis du har noen problemer, anbefaler jeg å lese leksjonen på nytt Derivat av en kompleks funksjon.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Svar på slutten av leksjonen

Komplekse derivater

Etter foreløpig artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 hekker av funksjoner være mindre skumle. Kanskje de følgende to eksemplene vil virke kompliserte for noen, men hvis du forstår dem (noen vil lide), så vil nesten alt annet i differensialregning Det vil virke som en barnespøk.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Som allerede nevnt, når du finner derivatet av en kompleks funksjon, er det først og fremst nødvendig Høyre FORSTÅ investeringene dine. I tilfeller der det er tvil minner jeg deg på nyttig triks: vi tar den eksperimentelle verdien av "x", for eksempel, og prøver (mentalt eller i et utkast) å erstatte gitt verdi til et "forferdelig uttrykk".

1) Først må vi beregne uttrykket, som betyr at summen er den dypeste innebyggingen.

2) Deretter må du beregne logaritmen:

4) Deretter kuber cosinus:

5) På det femte trinnet er forskjellen:

6) Og til slutt, den mest eksterne funksjonen er kvadratrot:

Formel for å differensiere en kompleks funksjon vil bli brukt i omvendt rekkefølge, fra den ytterste funksjonen til den innerste. Vi bestemmer:

Det ser ikke ut til å være noen feil...

(1) Ta den deriverte av kvadratroten.

(2) Vi tar den deriverte av differansen ved å bruke regelen

(3) Den deriverte av en trippel er null. I andre ledd tar vi den deriverte av graden (kuben).

(4) Ta derivatet av cosinus.

(5) Ta den deriverte av logaritmen.

(6) Og til slutt tar vi derivatet av den dypeste innebyggingen.

Det kan virke for vanskelig, men dette er ikke det mest brutale eksemplet. Ta for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sette pris på all skjønnheten og enkelheten til det analyserte derivatet. Jeg la merke til at de liker å gi en lignende ting i en eksamen for å sjekke om en student forstår hvordan man finner den deriverte av en kompleks funksjon eller ikke forstår.

Følgende eksempel er for deg å løse på egen hånd.

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Hint: Først bruker vi linearitetsreglene og produktdifferensieringsregelen

Komplett løsning og svaret på slutten av leksjonen.

Det er på tide å gå videre til noe mindre og finere.
Det er ikke uvanlig at et eksempel viser produktet av ikke to, men tre funksjoner. Hvordan finne den deriverte av produkter av tre multiplikatorer?

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Først ser vi, er det mulig å gjøre produktet av tre funksjoner til produktet av to funksjoner? For eksempel, hvis vi hadde to polynomer i produktet, så kunne vi åpne parentesene. Men i eksemplet under vurdering er alle funksjonene forskjellige: grad, eksponent og logaritme.

I slike tilfeller er det nødvendig sekvensielt bruke produktdifferensieringsregelen to ganger

Trikset er at vi med "y" betegner produktet av to funksjoner: , og med "ve" betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette gjøres? Er det virkelig – dette er ikke et produkt av to faktorer og regelen fungerer ikke?! Det er ikke noe komplisert:

Nå gjenstår det å bruke regelen en gang til til brakett:

Du kan fortsatt være pervers og ta noe ut av parentes, men inn i dette tilfellet Det er bedre å la svaret være i dette skjemaet - det vil være lettere å sjekke.

Det betraktede eksemplet kan løses på den andre måten:

Begge løsningene er helt like.

Eksempel 5

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning i utvalget det er løst ved hjelp av den første metoden.

La oss se på lignende eksempler med brøker.

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Det er flere måter du kan gå her:

Eller slik:

Men løsningen vil skrives mer kompakt hvis vi først bruker regelen om differensiering av kvotienten , tar for hele telleren:

I prinsippet er eksemplet løst, og hvis det blir stående som det er, vil det ikke være en feil. Men hvis du har tid, er det alltid lurt å sjekke et utkast for å se om svaret kan forenkles? La oss redusere uttrykket til telleren til fellesnevner Og la oss bli kvitt den tre-etasjers brøken:

Ulempen med ytterligere forenklinger er at det er en risiko for å gjøre feil ikke når man finner den deriverte, men under banale skoletransformasjoner. På den annen side avviser lærere ofte oppgaven og ber om å "minne det på det" avledet.

Et enklere eksempel å løse på egen hånd:

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Vi fortsetter å mestre metodene for å finne den deriverte, og nå vil vi vurdere et typisk tilfelle når en "forferdelig" logaritme foreslås for differensiering

Eksempel 8

Finn den deriverte av en funksjon

Her kan du gå langt ved å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon:

Men det aller første skrittet kaster deg umiddelbart ut i motløshet - du må ta det ubehagelige avledet av brøkkraft, og da også fra brøken.

Det er derfor før hvordan ta den deriverte av en "sofistikert" logaritme, den forenkles først ved å bruke kjente skoleegenskaper:

! Hvis du har en øvelsesnotatbok for hånden, kopier disse formlene direkte dit. Hvis du ikke har en notatbok, kopier dem over på et stykke papir, siden de resterende eksemplene i leksjonen vil dreie seg om disse formlene.

Selve løsningen kan skrives slik:

La oss transformere funksjonen:

Finne den deriverte:

Forhåndskonvertering av selve funksjonen forenklet løsningen betraktelig. Når en lignende logaritme foreslås for differensiering, er det derfor alltid tilrådelig å "bryte den ned".

Og nå et par enkle eksempler som du kan løse på egen hånd:

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon

Eksempel 10

Finn den deriverte av en funksjon

Alle transformasjoner og svar er på slutten av leksjonen.

Logaritmisk derivert

Hvis den deriverte av logaritmer er så søt musikk, oppstår spørsmålet: er det i noen tilfeller mulig å organisere logaritmen kunstig? Kan! Og til og med nødvendig.

Eksempel 11

Finn den deriverte av en funksjon

Vi har nylig sett på lignende eksempler. Hva skal jeg gjøre? Du kan sekvensielt bruke regelen for differensiering av kvotienten, og deretter regelen for differensiering av produktet. Ulempen med denne metoden er at du ender opp med en enorm tre-etasjers brøkdel, som du ikke ønsker å håndtere i det hele tatt.

Men i teori og praksis er det en så fantastisk ting som den logaritmiske deriverte. Logaritmer kan organiseres kunstig ved å "henge" dem på begge sider:

Note : fordi en funksjon kan ta negative verdier, så generelt sett må du bruke moduler: , som vil forsvinne som følge av differensiering. Nåværende design er imidlertid også akseptabelt, hvor det som standard er tatt hensyn til kompleks betydninger. Men hvis i all strenghet, så i begge tilfeller bør det tas forbehold om det.

Nå må du "oppløse" logaritmen til høyre side så mye som mulig (formler foran øynene dine?). Jeg vil beskrive denne prosessen i detalj:

La oss starte med differensiering.
Vi konkluderer begge deler under primtall:

Avledningen av høyresiden er ganske enkel, jeg vil ikke kommentere den, for hvis du leser denne teksten, bør du være i stand til å håndtere den trygt.

Hva med venstre side?

På venstre side har vi kompleks funksjon. Jeg forutser spørsmålet: "Hvorfor, er det én bokstav "Y" under logaritmen?"

Faktum er at dette "en bokstav spillet" - ER SELV EN FUNKSJON(hvis det ikke er veldig tydelig, se artikkelen Derivert av en funksjon spesifisert implisitt). Derfor er logaritmen en ekstern funksjon, og "y" er en intern funksjon. Og vi bruker regelen for å differensiere en kompleks funksjon :

På venstre side, som ved magi, har vi en derivativ. I henhold til proporsjonsregelen overfører vi deretter "y" fra nevneren på venstre side til toppen av høyre side:

Og la oss nå huske hva slags "spiller"-funksjon vi snakket om under differensiering? La oss se på tilstanden:

Endelig svar:

Eksempel 12

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Eksempel på designeksempel av denne typen på slutten av leksjonen.

Ved å bruke den logaritmiske deriverte var det mulig å løse hvilket som helst av eksemplene nr. 4-7, en annen ting er at funksjonene der er enklere, og kanskje er bruken av den logaritmiske deriverte lite berettiget.

Derivert av en potens-eksponentiell funksjon

Denne funksjonen Vi har ikke sett på det ennå. En potens-eksponentiell funksjon er en funksjon som både graden og grunntallet avhenger av "x". Klassisk eksempel, som vil bli gitt til deg i en hvilken som helst lærebok eller på en hvilken som helst forelesning:

Hvordan finne den deriverte av en potens-eksponentiell funksjon?

Det er nødvendig å bruke teknikken som nettopp er diskutert - den logaritmiske deriverte. Vi henger logaritmer på begge sider:

Som regel tas graden på høyre side ut fra logaritmen:

Som et resultat, på høyre side har vi produktet av to funksjoner, som vil bli differensiert med standard formel .

Vi finner den deriverte for å gjøre dette, vi omslutter begge deler under streker:

Neste trinn er enkle:

Endelig:

Hvis en konvertering ikke er helt klar, vennligst les forklaringene til eksempel nr. 11 nøye på nytt.

I praktiske oppgaver Power-eksponentialfunksjonen vil alltid være mer kompleks enn eksemplet diskutert i forelesningen.

Eksempel 13

Finn den deriverte av en funksjon

Vi bruker den logaritmiske deriverte.

På høyre side har vi en konstant og produktet av to faktorer - "x" og "logaritmen av logaritmen x" (en annen logaritme er nestet under logaritmen). Når du differensierer, som vi husker, er det bedre å umiddelbart flytte konstanten ut av det deriverte tegnet slik at det ikke kommer i veien; og vi bruker selvfølgelig den kjente regelen :

Når vi skal differensiere en eksponentiell funksjon av formen y = (f (x)) g (x) eller konvertere et tungvint uttrykk med brøker, kan vi bruke den logaritmiske deriverte. Som en del av dette materialet vil vi gi flere eksempler på anvendelsen av denne formelen.

For å forstå dette emnet, må du vite hvordan du bruker en derivert tabell, være kjent med de grunnleggende reglene for differensiering og forstå hva en derivert av en kompleks funksjon er.

Hvordan utlede formelen for den logaritmiske deriverte

For å få denne formelen må du først ta en logaritme til grunntall e, og deretter forenkle den resulterende funksjonen ved å bruke grunnleggende egenskaper logaritme Etter dette må du beregne den deriverte av den implisitt spesifiserte funksjonen:

y = f (x) ln y = ln (f (x)) (ln y) " = (ln (f (x))) " 1 y y " = (ln (f (x))) " ⇒ y "= y (ln(f(x)))"

Eksempler på bruk av formelen

La oss vise med et eksempel hvordan dette gjøres.

Eksempel 1

Beregn den deriverte av en eksponentiell potensfunksjon av variabelen x til potensen av x.

Løsning

Vi utfører logaritmering ved å bruke den spesifiserte basen og oppnår ln y = ln x x. Tar man hensyn til egenskapene til logaritmen, kan dette uttrykkes som ln y = x · ln x. Nå skiller vi venstre og høyre side av likheten og får resultatet:

ln y = x ln x ln y " = x ln x " 1 y y " = x " ln x + ln x " ⇒ y " = y 1 ln x + x 1 x = y (ln x + 1) = x x (ln x + 1)

Svare: x x " = x x (ln x + 1)

Dette problemet kan løses på en annen måte, uten den logaritmiske deriverte. Først må vi transformere det opprinnelige uttrykket for å gå fra å differensiere en eksponentiell potensfunksjon til å beregne den deriverte av en kompleks funksjon, for eksempel:

y = x x = e ln x x = e x · ln x ⇒ y " = (e x · ln x) " = e x · ln x · x · ln x " = x x · x " · ln x + x · (ln x) " = = x x · 1 · ln x + x · 1 x = x x · ln x + 1

La oss vurdere et problem til.

Eksempel 2

Regn ut den deriverte av funksjonen y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x .

Løsning

Den opprinnelige funksjonen presenteres som en brøk, noe som betyr at vi kan løse problemet ved hjelp av differensiering. Denne funksjonen er imidlertid ganske kompleks, noe som betyr at det vil kreves mange transformasjoner. Så vi er bedre å bruke den logaritmiske deriverte her y " = y ln (f (x)) " . La oss forklare hvorfor denne beregningen er mer praktisk.

La oss starte med å finne ln(f(x)). For videre transformasjon trenger vi følgende egenskaper logaritme:

• logaritmen til en brøk kan representeres som forskjellen av logaritmer;
• logaritmen til produktet kan representeres som en sum;
• hvis uttrykket under logaritmen har en potens, kan vi ta det ut som en koeffisient.

La oss transformere uttrykket:

ln (f (x)) = ln (x 2 + 1) 1 3 x 3 sin x 1 2 = ln (x 2 + 1) 1 3 - ln (x 3 sin x) 1 2 = = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x

Som et resultat fikk vi et ganske enkelt uttrykk, hvis deriverte er lett å beregne:

(ln (f (x))) " = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x " = = 1 3 ln (x 2 + 1) " - 3 2 ln x " - 1 2 ln sin x " = = 1 3 (ln (x 2 + 1)) " - 3 2 (ln x) " - 1 2 (ln sin x) " = = 1 3 1 x 2 + 1 x 2 + 1 " - 3 2 1 x - 1 2 1 sin x (sin x) " = = 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

Nå må det vi har erstattet med formelen for den logaritmiske deriverte.

Svare: y " = y ln (f (x)) " = x 2 + 1 3 x 3 sin x 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

For å forsterke materialet, studer et par flere av de følgende eksemplene. Kun beregninger med minimum kommentarer vil bli gitt her.

Eksempel 3

Gitt veiledende strømfunksjon y = (x 2 + x + 1) x 3 . Beregn dens deriverte.

Løsning:

y " = y · (ln (f (x))) " = (x 2 + x + 1) x 3 · ln (x 2 + x + 1) x 3 " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3" ln (x 2 + x + 1) + x 3 ln (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 1 x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1 ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

Svare: y " = y · (ln (f (x))) " = (x 2 + x + 1) x 3 · 3 x 2 · ln (x 2 + x + 1) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x+1

Eksempel 4

Regn ut den deriverte av uttrykket y = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2.

Løsning

Vi bruker formelen for den logaritmiske deriverte.

y " = y · ln x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 " = = y · ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 - ln x 2 + 2 x + 2 " = = y 1 3 ln (x 2 + 1) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln (x 3 + 1) - 1 2 ln (x 2 + 2 x + 2) " = = y · (x 2 + 1) " 3 (x 2 + 1) + x + 1 " 2 (x + 1) + (x 3 + 1) " 4 x 3 + 1 - x 2 + 2 x + 2 " 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2)

Svare:

y " = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1 ) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2).

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Føler du at det fortsatt er mye tid før eksamen? Er dette en måned? To? År? Praksis viser at en student mestrer en eksamen hvis han begynner å forberede seg til den på forhånd. Det er mange vanskelige oppgaver, som står i veien for skoleelever og fremtidige søkere til de høyeste poengsummene. Du må lære å overvinne disse hindringene, og dessuten er det ikke vanskelig å gjøre. Du må forstå prinsippet om å jobbe med ulike oppgaver fra billetter. Da blir det ingen problemer med de nye.

Logaritmer virker ved første øyekast utrolig komplekse, men med en detaljert analyse blir situasjonen mye enklere. Hvis du ønsker å ta Unified State Examination høyeste poengsum, bør du forstå konseptet det gjelder, og det er det vi foreslår å gjøre i denne artikkelen.

Først, la oss skille disse definisjonene. Hva er en logaritme (log)? Dette er en eksponent som basen må heves til for å oppnå spesifisert antall. Hvis det ikke er klart, la oss se på et elementært eksempel.

I dette tilfellet må basen i bunnen heves til andre potens for å få tallet 4.

La oss nå se på det andre konseptet. Den deriverte av en funksjon i enhver form er et konsept som karakteriserer endringen av en funksjon på et gitt punkt. Imidlertid dette skolepensum, og hvis du har problemer med disse konseptene individuelt, er det verdt å gjenta emnet.

Derivert av logaritme

I Unified State Exam-oppgaver På dette temaet kan flere problemer gis som eksempler. Til å begynne med den enkleste logaritmiske deriverte. Det er nødvendig å finne den deriverte av følgende funksjon.

Vi må finne den neste avledet

Det er en spesiell formel.

I dette tilfellet x=u, log3x=v. Vi erstatter verdiene fra funksjonen vår i formelen.

Den deriverte av x vil være lik én. Logaritmen er litt vanskeligere. Men du vil forstå prinsippet hvis du bare erstatter verdiene. Husk at den deriverte av lg x er den deriverte desimal logaritme, og den deriverte ln x er den deriverte av den naturlige logaritmen (til grunntall e).

Plugg nå bare de resulterende verdiene inn i formelen. Prøv selv, så sjekker vi svaret.

Hva kan være problemet her for noen? Vi introduserte konseptet naturlig logaritme. La oss snakke om det, og samtidig finne ut hvordan vi kan løse problemer med det. Du vil ikke se noe komplisert, spesielt når du forstår prinsippet om driften. Du bør venne deg til det, siden det ofte brukes i matematikk (i høyere utdanningsinstitusjoner særlig).

Derivert av den naturlige logaritmen

I kjernen er det den deriverte av logaritmen til basen e (dette er irrasjonelt tall, som er omtrent 2,7). Faktisk er ln veldig enkelt, så det brukes ofte i matematikk generelt. Egentlig vil det heller ikke være noe problem å løse problemet med det. Det er verdt å huske at den deriverte av den naturlige logaritmen til basen e vil være lik en delt på x. Løsningen på følgende eksempel vil være den mest avslørende.

La oss forestille oss det som en kompleks funksjon som består av to enkle.

Det er nok å konvertere

Vi ser etter den deriverte av u med hensyn til x

La
(1)
er en differensierbar funksjon av variabelen x. Først skal vi se på det for settet med verdier av x som y tar for positive verdier : ..

I det følgende vil vi vise at alle oppnådde resultater også gjelder for
,
negative verdier
.
I noen tilfeller, for å finne den deriverte av funksjon (1), er det praktisk å pre-logaritme den
(2) .

og regn deretter ut den deriverte. Deretter, i henhold til regelen om differensiering av en kompleks funksjon,
.

Herfra Den deriverte av logaritmen til en funksjon kalles den logaritmiske deriverte: er den deriverte av den naturlige logaritmen til denne funksjonen: (ln f(x))′.

Tilfellet av negative y-verdier

Vurder nå tilfellet når en variabel kan ta både positive og negative verdier. I dette tilfellet, ta logaritmen til modulen og finn dens deriverte:
.
I noen tilfeller, for å finne den deriverte av funksjon (1), er det praktisk å pre-logaritme den
(3) .
Det vil si i generell sak, må du finne den deriverte av logaritmen til modulen til funksjonen.

Ved å sammenligne (2) og (3) har vi:
.
Det vil si at det formelle resultatet av å beregne den logaritmiske deriverte ikke avhenger av om vi tok moduloen eller ikke. Når vi beregner den logaritmiske deriverte, trenger vi derfor ikke å bekymre oss for hvilket fortegn funksjonen har.

Denne situasjonen kan avklares ved hjelp av komplekse tall. La, for noen verdier av x, være negative: . Hvis vi bare vurderer reelle tall , da er ikke funksjonen definert. Men hvis vi introduserer i betraktning komplekse tall
.
, så får vi følgende:
.
Det vil si funksjonene og avviker med en kompleks konstant:
.

Siden den deriverte av en konstant er null, da

Egenskapen til den logaritmiske deriverte Av en slik vurdering følger det at :
.
den logaritmiske deriverte vil ikke endres hvis du multipliserer funksjonen med en vilkårlig konstant Faktisk bruker egenskapene til logaritmen , formler Og avledet sum derivert av en konstant

.

, vi har:

Anvendelse av logaritmisk derivert Det er praktisk å bruke den logaritmiske deriverte i tilfeller der den opprinnelige funksjonen består av et produkt av potens eller eksponentielle funksjoner

. I dette tilfellet gjør logaritmeoperasjonen produktet av funksjoner til summen deres. Dette forenkler beregningen av den deriverte.

Eksempel 1
.

Finn den deriverte av funksjonen:

Løsning
.

La oss logaritme den opprinnelige funksjonen:
La oss differensiere med hensyn til variabelen x.
.
I tabellen over derivater finner vi:
;
;
;
;
Vi bruker regelen om differensiering av komplekse funksjoner. .
(A1.1)

.

Multipliser med:
.
Så vi fant den logaritmiske deriverte:
.

Herfra finner vi den deriverte av den opprinnelige funksjonen:

Note
.
Hvis vi bare vil bruke reelle tall, bør vi ta logaritmen til modulen til den opprinnelige funksjonen:
;
.
Da

Og vi fikk formelen (A1.1). Derfor har ikke resultatet endret seg.

Svare

Eksempel 2
.

Finn den deriverte av funksjonen:

Bruk den logaritmiske deriverte, finn den deriverte av funksjonen
La oss ta logaritmer: .
(A2.1)
;
;

;
;
;
.

Differensier med hensyn til variabelen x:
.
Multipliser med:
.

Herfra får vi den logaritmiske deriverte:
.

Herfra finner vi den deriverte av den opprinnelige funksjonen:

Avledet av den opprinnelige funksjonen:
.
Her er den opprinnelige funksjonen ikke-negativ: .

Det er definert ved.
,
da vil det ikke påvirke endelig resultat.

Og vi fikk formelen (A1.1). Derfor har ikke resultatet endret seg.

Eksempel 3

Finn den deriverte
.

Finn den deriverte av funksjonen:

Vi utfører differensiering ved å bruke den logaritmiske deriverte. La oss ta en logaritme, og ta i betraktning at:
(A3.1) .

Ved å differensiere får vi den logaritmiske deriverte.
;
;
;
(A3.2) .

Siden da

.

Herfra finner vi den deriverte av den opprinnelige funksjonen:

La oss utføre beregningene uten å anta at logaritmen kan defineres for negative verdier av argumentet. For å gjøre dette, ta logaritmen til modulen til den opprinnelige funksjonen:
.
Så i stedet for (A3.1) har vi:
;

.
Sammenligner vi med (A3.2) ser vi at resultatet ikke er endret.