Finn en løsning på ligningen ved å bruke metoden for å variere vilkårlige konstanter. Metode for variasjon av vilkårlige konstanter

La oss nå vurdere den lineære inhomogene ligningen
. (2)
La y 1 , y 2 ,.., y n - grunnleggende system beslutninger, og - generell løsning passende homogen ligning L(y)=0. I likhet med tilfellet med førsteordens ligninger, vil vi se etter en løsning på ligning (2) i formen
. (3)
La oss sørge for at det finnes en løsning i denne formen. For å gjøre dette, erstatter vi funksjonen i ligningen. For å erstatte denne funksjonen i ligningen finner vi dens deriverte. Den første deriverte er lik
. (4)
Ved beregning av den andre deriverte vil fire ledd vises på høyre side av (4), ved beregning av den tredje deriverte vil åtte ledd vises, og så videre. Derfor, for å lette videre beregninger, settes det første leddet i (4) lik null. Tar dette i betraktning, er den andre deriverte lik
. (5)
Av samme grunner som før setter vi i (5) også det første leddet lik null. Endelig, n-te avledet lik
. (6)
Å erstatte de oppnådde verdiene av derivatene i den opprinnelige ligningen, har vi
. (7)
Det andre leddet i (7) er lik null, siden funksjonene y j , j=1,2,..,n, er løsninger på den tilsvarende homogene ligningen L(y)=0. Ved å kombinere med den forrige får vi systemet algebraiske ligninger for å finne funksjonene C" j (x)
(8)
Determinanten til dette systemet er Wronski-determinanten for det fundamentale systemet av løsninger y 1 , y 2 ,.., y n av den tilsvarende homogene ligningen L(y)=0 og er derfor ikke lik null. Følgelig er det en unik løsning på systemet (8). Etter å ha funnet det, oppnår vi funksjonene C" j (x), j=1,2,...,n, og følgelig C j (x), j=1,2,...,n Ved å erstatte disse verdiene i (3), får vi en løsning på en lineær inhomogen ligning.
Metoden som er skissert kalles metoden for variasjon av en vilkårlig konstant eller Lagrange-metoden.

Eksempel nr. 1. La oss finne den generelle løsningen av ligningen y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Tenk på den tilsvarende homogene ligningen y"" + 4y" + 3y = 0. Dens røtter karakteristisk ligning r 2 + 4r + 3 = 0 er lik -1 og -3. Derfor består det grunnleggende løsningssystemet til en homogen ligning av funksjonene y 1 = e - x og y 2 = e -3 x. Vi ser etter en løsning på den inhomogene ligningen på formen y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. For å finne de deriverte C" 1 , C" 2 komponerer vi et likningssystem (8)

løse hvilke, vi finner , Integrering av de oppnådde funksjonene vi har

Endelig får vi

Eksempel nr. 2. Løs lineær differensialligninger andre ordre med konstante koeffisienter ved hjelp av metoden for å variere vilkårlige konstanter:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Løsning:
Denne differensialligningen refererer til lineære differensialligninger med konstante koeffisienter.
Vi vil se etter en løsning på ligningen på formen y = e rx. For å gjøre dette komponerer vi den karakteristiske ligningen til en lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Røttene til den karakteristiske ligningen: r 1 = 4, r 2 = 2
Følgelig består det grunnleggende løsningssystemet av funksjonene:
y 1 = e 4x, y 2 = e 2x
Den generelle løsningen av den homogene ligningen har formen:

Søk etter en bestemt løsning ved å variere en vilkårlig konstant.
For å finne de deriverte av C" i komponerer vi et system med ligninger:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
La oss uttrykke C" 1 fra den første ligningen:
C" 1 = -c2e -2x
og bytt den inn i den andre. Som et resultat får vi:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Vi integrerer de oppnådde funksjonene C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Fordi , så skriver vi de resulterende uttrykkene i formen:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Dermed har den generelle løsningen til differensialligningen formen:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
eller
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

La oss finne en spesiell løsning under betingelsen:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Ved å erstatte x = 0 i den funnet ligningen får vi:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Vi finner den første deriverte av den oppnådde generelle løsningen:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Ved å erstatte x = 0 får vi:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Vi får et system med to ligninger:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
eller
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
eller
C*1+C*2=2
2C1 + C2 = 2
Hvor:
C 1 = 0, C * 2 = 2
Den private løsningen vil bli skrevet som:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Teoretisk minimum
I teorien om differensialligninger er det en metode som hevder å ha en ganske høy grad av universalitet for denne teorien.
Vi snakker om metoden for variasjon av en vilkårlig konstant, anvendelig for å løse forskjellige klasser av differensialligninger og deres
systemer Dette er nettopp tilfellet når teorien - hvis vi tar bevisene for utsagnene ut av parentes - er minimal, men lar oss oppnå
betydelige resultater, så det vil bli lagt vekt på eksempler.
Den generelle ideen om metoden er ganske enkel å formulere. La gitt ligning(ligningssystem) er vanskelig å løse eller helt uforståelig,
hvordan løse det. Det er imidlertid klart at ved å eliminere noen termer fra ligningen, er det løst. Da løser de akkurat dette forenklet
ligning (system), får vi en løsning som inneholder et visst antall vilkårlige konstanter - avhengig av rekkefølgen på ligningen (tallet
ligninger i systemet). Da antas det at konstantene i den funnet løsningen faktisk ikke er konstanter
erstattes med den opprinnelige ligningen (systemet), oppnås en differensialligning (eller system av ligninger) for å bestemme "konstantene".
Det er en viss spesifisitet i anvendelsen av metoden for variasjon av en vilkårlig konstant til ulike oppgaver, men dette er allerede detaljer som vil være
demonstrert med eksempler.
La oss vurdere løsningen av lineær separat inhomogene ligninger høyere ordre, dvs. formens ligninger
.
Den generelle løsningen av en lineær inhomogen ligning er summen av den generelle løsningen av den tilsvarende homogene ligningen og en spesiell løsning
gitt ligning. La oss anta at en generell løsning på den homogene ligningen allerede er funnet, nemlig at et fundamentalt system av løsninger (FSS) er konstruert
. Da er den generelle løsningen av den homogene ligningen lik .
Vi må finne en bestemt løsning på den inhomogene ligningen. For dette formålet anses konstanter å avhenge av en variabel.
Deretter må du løse ligningssystemet
.
Teorien garanterer at dette systemet av algebraiske ligninger med hensyn til deriverte av funksjoner har en unik løsning.
Når man finner funksjonene i seg selv, vises ikke integrasjonskonstantene: Tross alt søkes en hvilken som helst løsning.
Når det gjelder å løse systemer med lineære inhomogene første ordens ligninger av formen

Algoritmen forblir nesten uendret. Først må du finne FSR for det tilsvarende homogene likningssystemet, komponere den grunnleggende matrisen
system, hvis kolonner representerer elementene i FSR. Deretter tegnes ligningen
.
Når vi løser systemet, bestemmer vi funksjonene, og finner dermed en spesiell løsning på det opprinnelige systemet
(den grunnleggende matrisen multipliseres med kolonnen med funnfunksjoner).
Vi legger det til den generelle løsningen av det tilsvarende systemet med homogene ligninger, som er konstruert på grunnlag av den allerede funnet FSR.
Den generelle løsningen til det originale systemet er oppnådd.
Eksempler.
Eksempel 1. Lineære inhomogene ligninger av første orden.
La oss vurdere den tilsvarende homogene ligningen (vi betegner den ønskede funksjonen):
.
Denne ligningen kan enkelt løses ved å bruke separasjonsmetoden for variabler:

.
La oss nå forestille oss løsningen på den opprinnelige ligningen i skjemaet , hvor funksjonen ennå ikke er funnet.
Vi erstatter denne typen løsning i den opprinnelige ligningen:
.
Som du kan se, opphever andre og tredje vilkår på venstre side hverandre - dette er karakteristisk trekk metode for variasjon av en vilkårlig konstant.

Her er det allerede en virkelig vilkårlig konstant. Slik,
.
Eksempel 2. Bernoullis ligning.
Vi fortsetter på samme måte som det første eksemplet - vi løser ligningen

metode for separasjon av variabler. Det viser seg, så vi ser etter en løsning på den opprinnelige ligningen i skjemaet
.
Vi erstatter denne funksjonen i den opprinnelige ligningen:
.
Og igjen skjer reduksjonene:
.
Her må du huske å sørge for at når du deler med løsningen ikke går tapt. Og løsningen på den originale samsvarer med saken
ligninger La oss huske det. Så,
.
La oss skrive det ned.
Dette er løsningen. Når du skriver ned svaret, bør du også angi den tidligere funnet løsningen, siden den ikke samsvarer med noen endelig verdi
konstanter
Eksempel 3. Lineære inhomogene ligninger av høyere orden.
La oss umiddelbart merke seg at denne ligningen kan løses enklere, men det er praktisk å demonstrere metoden som bruker den. Selv om noen fordeler
Variasjonsmetoden har en vilkårlig konstant også i dette eksemplet.
Så du må starte med FSR for den tilsvarende homogene ligningen. La oss huske at for å finne FSR, kompileres en karakteristisk kurve
ligning
.
Dermed den generelle løsningen av den homogene ligningen
.
Konstantene som er inkludert her må varieres. Å lage et system

Metoden for variasjon av en vilkårlig konstant, eller Lagrange-metoden, er en annen måte å løse førsteordens lineære differensialligninger og Bernoulli-ligningen.

Lineære differensialligninger av første orden er likninger av formen y’+p(x)y=q(x). Hvis det er en null på høyre side: y’+p(x)y=0, så er dette en lineær homogen 1. ordens ligning. Følgelig en ligning med ikke-null høyre side, y’+p(x)y=q(x), — heterogen lineær ligning 1. orden.

Metode for variasjon av en vilkårlig konstant (Lagrange-metoden) er som følger:

1) Vi leter etter en generell løsning på den homogene ligningen y’+p(x)y=0: y=y*.

2) I den generelle løsningen betrakter vi C ikke som en konstant, men en funksjon av x: C = C (x). Vi finner den deriverte av den generelle løsningen (y*)’ og erstatter det resulterende uttrykket for y* og (y*)’ i starttilstanden. Fra den resulterende ligningen finner vi funksjonen C(x).

3) I den generelle løsningen av den homogene ligningen, i stedet for C, erstatter vi det funnet uttrykket C(x).

La oss se på eksempler på metoden for å variere en vilkårlig konstant. La oss ta de samme oppgavene som i, sammenligne fremdriften til løsningen og forsikre oss om at svarene som er oppnådd er sammenfallende.

1) y'=3x-y/x

La oss omskrive ligningen i standardform (i motsetning til Bernoullis metode, hvor vi trengte notasjonsformen bare for å se at ligningen er lineær).

y’+y/x=3x (I). Nå fortsetter vi etter planen.

1) Løs den homogene ligningen y’+y/x=0. Dette er en ligning med separerbare variabler. Se for deg y’=dy/dx, erstatte: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Vi multipliserer begge sider av ligningen med dx og deler på xy≠0: dy/y=-dx/x. La oss integrere:

2) I den resulterende generelle løsningen av den homogene ligningen vil vi betrakte C ikke som en konstant, men en funksjon av x: C=C(x). Herfra

Vi erstatter de resulterende uttrykkene i betingelse (I):

La oss integrere begge sider av ligningen:

her er C allerede en ny konstant.

3) I den generelle løsningen av den homogene ligningen y=C/x, der vi antok C=C(x), det vil si y=C(x)/x, erstatter vi det funnet uttrykket x³ i stedet for C(x) +C: y=(x3 +C)/x eller y=x²+C/x. Vi fikk samme svar som ved løsning etter Bernoullis metode.

Svar: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Her er ligningen allerede skrevet i standardform, det er ikke nødvendig å transformere den.

1) Løs den homogene lineære ligningen y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. La oss integrere:

For å få en mer praktisk form for notasjon, tar vi eksponenten til potensen av C som den nye C:

Denne transformasjonen ble utført for å gjøre det mer praktisk å finne derivatet.

2) I den resulterende generelle løsningen av den lineære homogene ligningen betrakter vi C ikke som en konstant, men en funksjon av x: C=C(x). Under denne tilstanden

Vi erstatter de resulterende uttrykkene y og y' i betingelsen:

Multipliser begge sider av ligningen med

Vi integrerer begge sider av ligningen ved å bruke formelen for integrering etter deler, vi får:

Her er ikke C lenger en funksjon, men en ordinær konstant.

3) I den generelle løsningen av den homogene ligningen

erstatte funnfunksjonen C(x):

Vi fikk samme svar som ved løsning etter Bernoullis metode.

Metoden for variasjon av en vilkårlig konstant er også anvendelig for å løse.

y’x+y=-xy².

Vi reduserer ligningen til standard visning: y’+y/x=-y² (II).

1) Løs den homogene ligningen y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Vi multipliserer begge sider av ligningen med dx og deler på y: dy/y=-dx/x. La oss nå integrere:

Vi erstatter de resulterende uttrykkene i betingelse (II):

La oss forenkle:

Vi fikk en likning med separerbare variabler for C og x:

Her er C allerede en vanlig konstant. Under integreringsprosessen skrev vi ganske enkelt C i stedet for C(x), for ikke å overbelaste notasjonen. Og på slutten kom vi tilbake til C(x), for ikke å forveksle C(x) med den nye C.

3) I den generelle løsningen av den homogene ligningen y=C(x)/x erstatter vi den funnet funksjonen C(x):

Vi fikk det samme svaret som da vi løste det med Bernoulli-metoden.

Eksempler på selvtest:

1. La oss omskrive ligningen i standardform: y’-2y=x.

1) Løs den homogene ligningen y’-2y=0. y’=dy/dx, derav dy/dx=2y, multipliser begge sider av ligningen med dx, del på y og integrer:

Herfra finner vi y:

Vi erstatter uttrykkene for y og y' i betingelsen (for korthets skyld bruker vi C i stedet for C(x) og C' i stedet for C"(x)):

For å finne integralet på høyre side bruker vi formelen for integrering etter deler:

Nå erstatter vi u, du og v i formelen:

Her er C =konst.

3) Nå erstatter vi homogen i løsningen

Tenk på en lineær inhomogen differensialligning med konstante koeffisienter av vilkårlig n-te orden:
(1) .
Metoden for variasjon av en konstant, som vi vurderte for en førsteordens ligning, er også anvendelig for ligninger av høyere orden.

Løsningen utføres i to trinn. I det første trinnet forkaster vi høyre side og løser den homogene ligningen. Som et resultat får vi en løsning som inneholder n vilkårlige konstanter. På det andre trinnet varierer vi konstantene. Det vil si at vi tror at disse konstantene er funksjoner av den uavhengige variabelen x og finner formen til disse funksjonene.

Selv om vi vurderer ligninger med konstante koeffisienter her, men Lagranges metode er også anvendelig for å løse alle lineære inhomogene ligninger. For dette må imidlertid det grunnleggende løsningssystemet til den homogene ligningen være kjent.

Trinn 1. Løse den homogene ligningen

Som i tilfellet med førsteordens ligninger, ser vi først etter den generelle løsningen av den homogene ligningen, og likestiller den høyre inhomogene siden til null:
(2) .
Den generelle løsningen på denne ligningen er:
(3) .
Her er vilkårlige konstanter; - n lineært uavhengige løsninger av homogen likning (2), som danner et grunnleggende system av løsninger til denne likningen.

Trinn 2. Variasjon av konstanter - erstatte konstanter med funksjoner

På det andre trinnet vil vi ta for oss variasjonen av konstanter. Med andre ord vil vi erstatte konstantene med funksjoner til den uavhengige variabelen x:
.
Det vil si at vi ser etter en løsning på den opprinnelige ligningen (1) i følgende form:
(4) .

Hvis vi erstatter (4) med (1), får vi én differensialligning for n funksjoner. I dette tilfellet kan vi koble disse funksjonene med tilleggsligninger. Da får du n ligninger som n funksjoner kan bestemmes ut fra. Ytterligere ligninger kan skrives

på ulike måter . Men vi skal gjøre dette slik at løsningen har den enkleste formen. For å gjøre dette, når du differensierer, må du likestille med null termene som inneholder deriverte av funksjonene. La oss demonstrere dette.
.
For å erstatte den foreslåtte løsningen (4) i den opprinnelige ligningen (1), må vi finne de deriverte av de første n ordenene til funksjonen skrevet i formen (4). Vi skiller (4) ved hjelp av

.
regler for differensiering av summer
(5.1) .
og fungerer:
(6.1) .

La oss gruppere medlemmene. Først skriver vi ned begrepene med derivater av , og deretter begrepene med derivater av :

.
La oss pålegge funksjonene den første betingelsen:
(5.2) .
Da vil uttrykket for den første deriverte med hensyn til ha en enklere form:
(6.2) .
Ved å bruke samme metode finner vi den andre deriverte:

La oss pålegge funksjonene en annen betingelse:
Da ,
Og så videre. I tilleggsbetingelser likestiller vi termer som inneholder deriverte av funksjoner til null.
Så hvis vi velger følgende tilleggsligninger for funksjonene: .
(5.k)

da vil de første deriverte med hensyn til ha den enkleste formen:
(6.k)
.

Her .
(1) ;

.
Finn den n-te deriverte:
.
(6.n)
(7) .

Bytt inn i den opprinnelige ligningen (1):
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
La oss ta i betraktning at alle funksjoner tilfredsstiller ligning (2): ;
Da gir summen av ledd som inneholder null null. Som et resultat får vi: .

Som et resultat mottok vi et system med lineære ligninger for derivater:
.
(5.n-1)

(7′) Ved å løse dette systemet finner vi uttrykk for deriverte som en funksjon av x. Ved å integrere får vi:

Her er konstanter som ikke lenger er avhengige av x. Ved å sette inn i (4), får vi en generell løsning på den opprinnelige ligningen.

Merk at for å bestemme verdiene til derivatene, brukte vi aldri det faktum at koeffisientene a i er konstante. Det er derfor

Lagranges metode er anvendelig for å løse alle lineære inhomogene ligninger

, hvis det fundamentale systemet av løsninger til den homogene ligningen (2) er kjent. Eksempler Løs likninger ved å bruke metoden for variasjon av konstanter (Lagrange).

La oss gå til betraktningen av lineære inhomogene differensialligninger av formen
.

Hvor

- den nødvendige funksjonen til argumentet homogen likning som tilsvarer den inhomogene likningen (2.31).

Følgende teorem gjelder strukturen til den generelle løsningen til den inhomogene lineære ligningen (2.31).

Teorem 2.6. Den generelle løsningen av den lineære inhomogene ligningen (2.31) i regionen

er summen av en bestemt løsning av den og den generelle løsningen av den tilsvarende homogene ligningen (2.32) i domenet (2.33), dvs.

, hvis det fundamentale systemet av løsninger til den homogene ligningen (2) er kjent. - spesiell løsning av ligningen (2.31),
er det grunnleggende løsningssystemet til den homogene ligningen (2.32), og
- vilkårlige konstanter.

Du finner beviset for denne teoremet i.

Ved å bruke eksemplet med en andreordens differensialligning, vil vi skissere en metode som man kan bruke til å finne en bestemt løsning på en lineær inhomogen ligning. Denne metoden kalles Lagrangemetode for variasjon av vilkårlige konstanter.

Så la oss få en inhomogen lineær ligning

(2.35)

hvor er koeffisientene
og høyre side
kontinuerlig i noen intervaller
.

La oss betegne med
Og
grunnleggende system av løsninger til den homogene ligningen

(2.36)

Da har dens generelle løsning formen

(2.37)

, hvis det fundamentale systemet av løsninger til den homogene ligningen (2) er kjent. Og - vilkårlige konstanter.

Vi skal se etter en løsning til ligning (2.35) i samme form , så vel som den generelle løsningen av den tilsvarende homogene ligningen, som erstatter vilkårlige konstanter med noen differensierbare funksjoner av (vi varierer vilkårlige konstanter), de.

, hvis det fundamentale systemet av løsninger til den homogene ligningen (2) er kjent.
Og
- noen differensierbare funksjoner fra , som fortsatt er ukjente og som vi vil prøve å bestemme slik at funksjon (2.38) ville være en løsning på den inhomogene ligningen (2.35). Ved å differensiere begge sider av likhet (2,38), får vi

Så det når man regner andreordens derivater av
Og
, vi krever det overalt i
betingelsen var oppfylt

Så for vi vil ha

La oss beregne den andre deriverte

Erstatter uttrykk for ,,fra (2.38), (2.40), (2.41) inn i ligning (2.35), får vi

Uttrykk i firkantede parenteser, er lik null overalt i
, fordi Og - partielle løsninger av ligning (2.36). I dette tilfellet vil (2.42) ha formen Ved å kombinere denne tilstanden med betingelsen (2.39), får vi et likningssystem for å bestemme
Og

(2.43)

Det siste systemet er et system av to algebraiske lineære inhomogene ligninger mht
Og
. Determinanten for dette systemet er Wronski-determinanten for det grunnleggende løsningssystemet ,og er derfor ikke null overalt i
. Dette betyr at system (2.43) har en unik løsning. Har løst det på noen måte relativt
,
vi finner

, hvis det fundamentale systemet av løsninger til den homogene ligningen (2) er kjent.
Og
- kjente funksjoner.

Utføre integrasjon og ta hensyn til at som
,
vi bør ta ett par funksjoner og sette integrasjonskonstantene lik null. Vi får

Ved å erstatte uttrykk (2.44) i relasjoner (2.38), kan vi skrive ønsket løsning til den inhomogene ligningen (2.35) i formen

Denne metoden kan generaliseres for å finne en spesiell løsning på den lineære inhomogene ligningen -te orden.

Eksempel 2.6. Løs ligningen
på
hvis fungerer

danne et grunnleggende system av løsninger til den tilsvarende homogene ligningen.

La oss finne en spesiell løsning på denne ligningen. For å gjøre dette, i samsvar med Lagrange-metoden, må vi først løse systemet (2.43), som i vårt tilfelle har formen
Redusere begge sider av hver ligning med vi får

Trekker vi den første ligningen ledd for ledd fra den andre ligningen, finner vi
og deretter fra den første ligningen følger det
Å utføre integrasjon og sette integrasjonskonstantene til null, vil vi ha

En spesiell løsning på denne ligningen kan representeres som

Den generelle løsningen av denne ligningen har formen

, hvis det fundamentale systemet av løsninger til den homogene ligningen (2) er kjent. Og - vilkårlige konstanter.

Til slutt, la oss merke oss en bemerkelsesverdig egenskap, som ofte kalles prinsippet for superposisjon av løsninger og er beskrevet av følgende teorem.

Teorem 2.7. Hvis i mellom
funksjon
- spesiell løsning av ligningsfunksjonen
en spesiell løsning av ligningen på samme intervall er funksjonen
det er en spesiell løsning på ligningen