Finn skjæringspunktet mellom linjeformelen. Skjæringspunkt mellom to linjer - definisjon
For å løse et geometrisk problem ved hjelp av koordinatmetoden, trengs et skjæringspunkt, hvis koordinater brukes i løsningen. En situasjon oppstår når det er nødvendig å se etter koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer på planet eller å bestemme koordinatene til de samme linjene i rommet. denne artikkelen vurderer tilfellene med å finne koordinatene til punktene der de gitte linjene skjærer hverandre.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Det er nødvendig å definere skjæringspunktene for to linjer.
Utsnittet om den relative plasseringen av linjer på et plan viser at de kan sammenfalle, være parallelle, krysse i ett felles punkt eller krysse. To linjer i rommet kalles kryssende hvis de har ett felles punkt.
Definisjonen av skjæringspunktet for linjer høres slik ut:
Definisjon 1
Punktet der to linjer skjærer hverandre kalles deres skjæringspunkt. Med andre ord, punktet for skjæring av linjer er skjæringspunktet.
Tenk på figuren nedenfor.
Før du finner koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer, er det nødvendig å vurdere eksemplet nedenfor.
Hvis det er et koordinatsystem O x y på planet, er det gitt to rette linjer a og b. Direkte a tilsvarer generell ligning av formen A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, for en rett linje b - A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0. Da er M 0 (x 0 , y 0) et punkt i planet, det er nødvendig å bestemme om punktet M 0 vil være skjæringspunktet for disse linjene.
For å løse problemet er det nødvendig å følge definisjonen. Da må linjene krysse i et punkt hvis koordinater er løsningen av de gitte ligningene A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Dette betyr at koordinatene til skjæringspunktet er substituert inn i alle gitte ligninger. Hvis de gir riktig identitet når de erstatter, så anses M 0 (x 0 , y 0) som deres skjæringspunkt.
Eksempel 1
Gitt to kryssende linjer 5 x - 2 y - 16 = 0 og 2 x - 5 y - 19 = 0 . Vil punktet M 0 med koordinater (2, - 3) være skjæringspunktet.
Løsning
For at skjæringspunktet mellom linjer skal være reelt, er det nødvendig at koordinatene til punktet M 0 tilfredsstiller linjelikningene. Dette bekreftes ved å erstatte dem. Det skjønner vi
5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0
Begge likhetene er sanne, noe som betyr at M 0 (2, - 3) er skjæringspunktet for de gitte linjene.
La oss skildre denne avgjørelsen på koordinatlinjen i figuren nedenfor.
Svar:gitt poeng med koordinater (2, - 3) vil være skjæringspunktet for de gitte linjene.
Eksempel 2
Vil linjene 5 x + 3 y - 1 = 0 og 7 x - 2 y + 11 = 0 skjære hverandre i punktet M 0 (2 , - 3) ?
Løsning
For å løse problemet er det nødvendig å erstatte koordinatene til punktet i alle ligninger. Det skjønner vi
5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0
Den andre likheten er ikke sann, noe som betyr at det gitte punktet ikke tilhører linjen 7 x - 2 y + 11 = 0 . Derfor har vi at punktet M 0 ikke er et skjæringspunkt for linjer.
Tegningen viser tydelig at M 0 ikke er skjæringspunktet mellom linjene. De har et felles punkt med koordinater (- 1 , 2) .
Svar: punktet med koordinater (2, - 3) er ikke skjæringspunktet for de gitte linjene.
Vi går til å finne koordinatene til skjæringspunktene til to linjer ved å bruke de gitte ligningene på planet.
To kryssende linjer a og b er gitt av ligninger av formen A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 plassert i O x y. Når vi designer skjæringspunktet M 0, får vi at vi skal fortsette søket etter koordinater i henhold til ligningene A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.
Det er åpenbart fra definisjonen at M 0 er et felles skjæringspunkt for linjene. I dette tilfellet må dens koordinater tilfredsstille ligningene A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Dette er med andre ord løsningen av det resulterende systemet A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .
Dette betyr at for å finne koordinatene til skjæringspunktet, er det nødvendig å legge til alle ligningene til systemet og løse det.
Eksempel 3
Gitt to linjer x - 9 y + 14 = 0 og 5 x - 2 y - 16 = 0 på planet. du må finne skjæringspunktet deres.
Løsning
Data om tilstanden til ligningen må samles inn i et system, hvoretter vi får x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0. For å løse det, løses den første ligningen for x, uttrykket erstattes med den andre:
x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2
De resulterende tallene er koordinatene som måtte finnes.
Svar: M 0 (4, 2) er skjæringspunktet for linjene x - 9 y + 14 = 0 og 5 x - 2 y - 16 = 0 .
Søket etter koordinater reduseres til å løse et system med lineære ligninger. Hvis det i henhold til betingelsen er gitt en annen form for ligningen, bør den reduseres til normalformen.
Eksempel 4
Bestem koordinatene til skjæringspunktene til linjene x - 5 = y - 4 - 3 og x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .
Løsning
Til å begynne med er det nødvendig å bringe likningene til en generell form. Da får vi at x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R er transformert på denne måten:
x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0
Så tar vi ligningen til den kanoniske formen x - 5 = y - 4 - 3 og transformerer. Det skjønner vi
x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0
Derfor har vi at koordinatene er skjæringspunktet
x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20
La oss bruke Cramers metode for å finne koordinatene:
∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆2 = 12 2
Svar: M0 (-5, 1).
Det er en annen måte å finne koordinatene til skjæringspunktet for linjer som ligger på planet. Den er anvendelig når en av linjene er gitt ved parametriske ligninger på formen x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Da erstattes x = x 1 + a x λ og y = y 1 + a y λ med x, hvor vi får λ = λ 0 som tilsvarer at skjæringspunktet har koordinatene x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .
Eksempel 5
Bestem koordinatene til skjæringspunktet til linjen x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R og x - 5 = y - 4 - 3 .
Løsning
Det er nødvendig å utføre en substitusjon i x - 5 \u003d y - 4 - 3 ved uttrykket x \u003d 4 + 9 λ, y \u003d 2 + λ, så får vi:
4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3
Ved løsning får vi at λ = - 1 . Dette innebærer at det er et skjæringspunkt mellom linjene x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R og x - 5 = y - 4 - 3 . For å beregne koordinatene, er det nødvendig å erstatte uttrykket λ = - 1 i den parametriske ligningen. Da får vi at x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .
Svar: M0 (-5, 1).
For å forstå emnet fullt ut, må du kjenne til noen av nyansene.
Først må du forstå plasseringen av linjene. Når de krysser hverandre finner vi koordinatene, i andre tilfeller blir det ingen løsning. For å unngå denne kontrollen kan vi komponere et system av formen A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Hvis det finnes en løsning, konkluderer vi med at linjene skjærer hverandre. Hvis det ikke finnes noen løsning, er de parallelle. Når systemet har uendelig sett løsninger, så sies de å være de samme.
Eksempel 6
Gitt linjer x 3 + y - 4 = 1 og y = 4 3 x - 4 . Finn ut om de har et felles poeng.
Løsning
Forenklet de gitte ligningene får vi 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 og 4 3 x - y - 4 = 0 .
Det er nødvendig å samle ligningene i et system for påfølgende løsning:
1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4
Dette viser at likningene uttrykkes gjennom hverandre, da får vi et uendelig antall løsninger. Da definerer likningene x 3 + y - 4 = 1 og y = 4 3 x - 4 den samme rette linjen. Derfor er det ingen skjæringspunkter.
Svar: de gitte ligningene definerer den samme rette linjen.
Eksempel 7
Finn koordinatene til punktet for skjæring av linjene 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 og 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .
Løsning
Etter betingelse er det mulig at linjene ikke vil krysse hverandre. Skriv et likningssystem og løs. For løsningen er det nødvendig å bruke Gauss-metoden, siden med dens hjelp er det mulig å sjekke ligningen for kompatibilitet. Vi får et system av skjemaet:
2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2
Vi fikk feil likestilling, så systemet har ingen løsninger. Vi konkluderer med at linjene er parallelle. Det er ingen skjæringspunkter.
Den andre løsningen.
Først må du bestemme tilstedeværelsen av skjæringspunktet mellom linjer.
n 1 → = (2 , 2 - 3) er en normalvektor av linjen 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 , deretter vektoren n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - normal vektor for en rett linje 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .
Det er nødvendig å kontrollere kollineariteten til vektorene n 1 → = (2, 2 - 3) og n 2 → = (2 (3 + 2), - 7) . Vi får en likhet på formen 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Det er riktig fordi 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Det følger at vektorene er kollineære. Dette betyr at linjene er parallelle og har ingen skjæringspunkter.
Svar: det er ingen skjæringspunkter, linjene er parallelle.
Eksempel 8
Finn skjæringskoordinatene til de gitte linjene 2 x - 1 = 0 og y = 5 4 x - 2 .
Løsning
For å løse det lager vi et ligningssystem. Vi får
2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2
Finn determinanten til hovedmatrisen. For dette, 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Siden det ikke er null, har systemet 1 løsning. Det følger at linjene krysser hverandre. La oss løse systemet for å finne koordinatene til skjæringspunktene:
2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8
Vi fikk at skjæringspunktet for de gitte linjene har koordinatene M 0 (1 2 , - 11 8) .
Svar: M 0 (1 2, - 11 8) .
Finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer i rommet
På samme måte finner man skjæringspunktene mellom romlinjene.
Når linje a og b er gitt inn koordinatplan Omtrent x y z ved likningene til plan som skjærer hverandre, så er det en rett linje a, som kan bestemmes ved hjelp av gitt system A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 og rett linje b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .
Når punktet M 0 er skjæringspunktet mellom linjene, må dets koordinater være løsninger av begge ligningene. Vi får lineære ligninger i systemet:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0
La oss vurdere slike oppgaver med eksempler.
Eksempel 9
Finn koordinatene til skjæringspunktet for de gitte linjene x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 og 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0
Løsning
Vi komponerer systemet x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 og løser det. For å finne koordinatene er det nødvendig å løse gjennom matrisen. Da får vi hovedmatrisen til formen A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 og den utvidede matrisen T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4. Vi bestemmer rangeringen av matrisen i henhold til Gauss.
Det skjønner vi
1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0
Det følger at rangeringen til den utvidede matrisen er 3 . Da gir likningssystemet x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 kun én løsning.
Basis-moll har determinanten 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , da passer ikke den siste ligningen. Vi får at x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3 . Systemløsning x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .
Vi har altså at skjæringspunktet x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 og 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 har koordinater (1 , - 3 , 0) .
Svar: (1 , - 3 , 0) .
System av formen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 har bare én løsning. Så linjene a og b krysser hverandre.
I andre tilfeller har ligningen ingen løsning, det vil si felles punkter også. Det vil si at det er umulig å finne et punkt med koordinater, siden det ikke eksisterer.
Derfor er et system av formen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 løses ved Gauss-metoden. Med sin inkompatibilitet krysser ikke linjene. Hvis det er et uendelig antall løsninger, så faller de sammen.
Du kan ta en beslutning ved å beregne hoved- og utvidet rangering av matrisen, og deretter bruke Kronecker-Capelli-teoremet. Vi får ett, mange eller fullstendig fravær av løsninger.
Eksempel 10
Ligninger av linjer x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 og x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 er gitt. Finn skjæringspunktet.
Løsning
La oss først sette opp et ligningssystem. Vi får at x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Vi løser det ved hjelp av Gauss-metoden:
1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10
Systemet har åpenbart ingen løsninger, noe som betyr at linjene ikke krysser hverandre. Det er ikke noe skjæringspunkt.
Svar: ikke noe skjæringspunkt.
Hvis linjer er definert ved hjelp av cononic eller parametriske ligninger, må du bringe til form av ligninger av kryssende plan, og deretter finne koordinatene.
Eksempel 11
Gitt to linjer x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R og x 2 = y - 3 0 = z 5 i O x y z. Finn skjæringspunktet.
Løsning
Vi setter rette linjer ved likningene til to kryssende plan. Det skjønner vi
x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0
Vi finner koordinatene 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 , for dette beregner vi matrisens rekker. Matriserangering er 3 og grunnleggende bifag 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 \u003d - 3 ≠ 0, som betyr at den siste ligningen må ekskluderes fra systemet. Det skjønner vi
3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0
La oss løse systemet ved Cramers metode. Vi får at x = - 2 y = 3 z = - 5 . Herfra får vi at skjæringspunktet mellom de gitte linjene gir et punkt med koordinater (- 2 , 3 , - 5) .
Svar: (- 2 , 3 , - 5) .
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Oh-oh-oh-oh-oh ... vel, det er blikkt, som om du leser setningen for deg selv =) Men da vil avslapning hjelpe, spesielt siden jeg kjøpte passende tilbehør i dag. Derfor, la oss fortsette til den første delen, håper jeg, ved slutten av artikkelen vil jeg holde et muntert humør.
Gjensidig arrangement av to rette linjer
Saken når salen synger med i kor. To linjer kan:
1) match;
2) være parallell: ;
3) eller kryss på et enkelt punkt: .
Hjelp til dummies : Vennligst husk matematisk tegn kryss, vil det forekomme svært ofte. Oppføringen betyr at linjen skjærer linjen i punktet.
Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?
La oss starte med det første tilfellet:
To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres respektive koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er et slikt tall «lambda» at likestillingene
La oss vurdere rette linjer og komponere tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.
Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen 
multipliser med -1 (endre fortegn), og alle koeffisientene til ligningen 
reduser med 2, du får samme ligning:.
Det andre tilfellet når linjene er parallelle:
To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene ved variablene er proporsjonale: 
, men.
Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene: 
Det er imidlertid klart at.
Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:
To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene til variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det IKKE er en slik verdi av «lambda» at likestillingene oppfylles 
Så for rette linjer vil vi komponere et system: 
Fra den første ligningen følger det at , og fra den andre ligningen: , derav, systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er koeffisientene ved variablene ikke proporsjonale.
Konklusjon: linjer krysser hverandre
I praktiske problemer kan løsningsskjemaet som nettopp er vurdert, brukes. Den er forresten veldig lik algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet, som vi vurderte i leksjonen. Konseptet med lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Vektor basis. Men det er en mer sivilisert pakke:
Eksempel 1
Å finne ut gjensidig ordning direkte: 
Løsning basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:
a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: 
.
, så vektorene er ikke kollineære og linjene krysser hverandre.
I tilfelle vil jeg sette en stein med pekere ved veikrysset:
Resten hopper over steinen og følger videre, rett til Kashchei the Deathless =)
b) Finn retningsvektorene til linjene: 
Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller like. Her er ikke determinanten nødvendig.
Selvfølgelig er koeffisientene til de ukjente proporsjonale, mens .
La oss finne ut om likheten er sann: 
På denne måten,
c) Finn retningsvektorene til linjene: 
La oss beregne determinanten, sammensatt av koordinatene til disse vektorene: 
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.
Proporsjonalitetsfaktoren "lambda" er lett å se direkte fra forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid kan det også bli funnet gjennom koeffisientene til selve ligningene: 
.
La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:
Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen(det passer alle tall generelt).
Dermed faller linjene sammen.
Svar:
Svært snart vil du lære (eller til og med allerede har lært) å løse det vurderte problemet verbalt bokstavelig talt i løpet av sekunder. I denne forbindelse ser jeg ingen grunn til å tilby noe for uavhengig løsning, det er bedre å legge en annen viktig murstein i det geometriske fundamentet:
Hvordan tegne en linje parallelt med en gitt?
For uvitenhet om dette den enkleste oppgaven straffer nattergalen røveren hardt.
Eksempel 2
Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.
Løsning: Angi den ukjente linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om det? Linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, så er det åpenbart at retningsvektoren til linjen "ce" også er egnet for å konstruere linjen "te".
Vi tar ut retningsvektoren fra ligningen:
Svar:
Geometrien til eksemplet ser enkel ut: 
Analytisk verifisering består av følgende trinn:
1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis likningen til linjen ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).
2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.
Analytisk verifisering er i de fleste tilfeller enkel å utføre muntlig. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt finne ut hvordan linjene er parallelle uten noen tegning.
Eksempler på selvløsning i dag vil være kreative. For du må fortsatt konkurrere med Baba Yaga, og hun, du vet, elsker alle slags gåter.
Eksempel 3
Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if
Det er en rasjonell og lite rasjonell måte å løse på. Den korteste veien er på slutten av leksjonen.
Vi jobbet litt med parallelle linjer og kommer tilbake til dem senere. Tilfellet med sammenfallende linjer er av liten interesse, så vurder et problem som er godt kjent for deg fra skolepensum:
Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?
Hvis rett 
skjærer hverandre i punktet , så er koordinatene løsningen systemer av lineære ligninger 
Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.
Her er til deg geometrisk betydning systemer av to lineære ligninger med to ukjente er to kryssende (oftest) rette linjer på et plan.
Eksempel 4
Finn skjæringspunktet mellom linjer
Løsning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.
Grafisk måte er å ganske enkelt tegne de gitte linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen: 
Her er poenget vårt:. For å sjekke, bør du erstatte koordinatene i hver ligning på en rett linje, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt løsningen av systemet. Faktisk vurderte vi en grafisk måte å løse på systemer av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.
Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en riktig og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan ligge et sted i det trettiende rike utenfor notatbokarket.
Derfor er det mer hensiktsmessig å søke etter skjæringspunktet ved hjelp av den analytiske metoden. La oss løse systemet: 
For å løse systemet ble metoden med termvis addisjon av ligninger brukt. For å utvikle de relevante ferdighetene, besøk leksjonen Hvordan løse et ligningssystem?
Svar:
Verifikasjonen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.
Eksempel 5
Finn skjæringspunktet for linjene hvis de skjærer hverandre.
Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er praktisk å dele problemet inn i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ligningen til en rett linje.
2) Skriv ligningen til en rett linje.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.
Utviklingen av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil fokusere på dette gjentatte ganger.
Komplett løsning og svaret på slutten av leksjonen:
Et par sko er ennå ikke utslitt, da vi kom til den andre delen av leksjonen:
Vinkelrette linjer. Avstanden fra et punkt til en linje.
Vinkel mellom linjene
La oss starte med en typisk og veldig viktig oppgave. I den første delen lærte vi hvordan vi bygger en rett linje parallelt med den gitte, og nå vil hytta på kyllingbein snu 90 grader:
Hvordan tegne en linje vinkelrett på en gitt?
Eksempel 6
Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en likning for en vinkelrett linje som går gjennom et punkt.
Løsning: Det er kjent ved å anta at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til den rette linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:
Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.
Vi komponerer likningen av en rett linje med et punkt og en retningsvektor:
Svar: 
La oss brette ut den geometriske skissen:
Hmmm... Oransje himmel, oransje hav, oransje kamel.
Analytisk verifisering løsninger:
1) Trekk ut retningsvektorene fra ligningene 
og med hjelp prikkprodukt av vektorer vi konkluderer med at linjene faktisk er vinkelrette: .
Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.
2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen 
.
Verifisering, igjen, er enkel å utføre verbalt.
Eksempel 7
Finn skjæringspunktet mellom vinkelrette linjer, hvis ligningen er kjent 
og prikk.
Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er flere handlinger i oppgaven, så det er praktisk å ordne løsningen punkt for punkt.
Våre en morsom tur fortsetter:
Avstand fra punkt til linje
Foran oss ligger en rett stripe av elven og vår oppgave er å nå den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være bevegelse langs perpendikulæren. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.
Avstanden i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "ro", for eksempel: - avstanden fra punktet "em" til den rette linjen "de".
Avstand fra punkt til linje 
uttrykkes med formelen
Eksempel 8
Finn avstanden fra et punkt til en linje 
Løsning: alt du trenger er å erstatte tallene nøye i formelen og gjøre beregningene:
Svar: 
La oss utføre tegningen: 
Avstanden funnet fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du lager en tegning på rutete papir i en skala på 1 enhet. \u003d 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.
Vurder en annen oppgave i henhold til samme tegning:
Oppgaven er å finne koordinatene til punktet, som er symmetrisk med punktet i forhold til linjen 
. Jeg foreslår å utføre handlingene på egen hånd, men jeg vil utpeke løsningsalgoritmen med mellomresultater:
1) Finn en linje som er vinkelrett på en linje.
2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: 
.
Begge handlingene diskuteres i detalj i denne leksjonen.
3) Punktet er midtpunktet i segmentet. Vi kjenner koordinatene til midten og en av endene. Av formler for koordinatene til midten av segmentet finne.
Det vil ikke være overflødig å kontrollere at avstanden også er lik 2,2 enheter.
Vanskeligheter her kan oppstå i beregninger, men i tårnet hjelper en mikrokalkulator mye, slik at du kan telle vanlige brøker. Har gitt råd mange ganger og vil anbefale igjen.
Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?
Eksempel 9
Finn avstanden mellom to parallelle linjer
Dette er nok et eksempel på en uavhengig løsning. Et lite hint: det er uendelig mange måter å løse på. Debriefing på slutten av leksjonen, men prøv å gjette selv, jeg tror du klarte å spre oppfinnsomheten din godt.
Vinkel mellom to linjer
Uansett hjørne, så jamben: 
I geometri er vinkelen mellom to rette linjer tatt som den MINDRE vinkelen, hvorav det automatisk følger at den ikke kan være stump. På figuren regnes ikke vinkelen angitt av den røde buen som vinkelen mellom kryssende linjer. Og dens "grønne" nabo eller motsatt orientert crimson hjørne.
Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.
Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen for å "rulle" hjørnet grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .
Hvorfor sa jeg dette? Det ser ut til at du kan klare deg med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at i formlene som vi vil finne vinklene med, kan det lett vise seg negativt resultat og det burde ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen for en negativ vinkel er det viktig å angi orienteringen (med klokken) med en pil.
Hvordan finne vinkelen mellom to linjer? Det er to arbeidsformler:
Eksempel 10
Finn vinkelen mellom linjene
Løsning og Metode én
Tenk på to linjer gitt av ligninger i generelt syn:
Hvis rett ikke vinkelrett, deretter orientert vinkelen mellom dem kan beregnes ved hjelp av formelen: 
Mest nøye oppmerksomhet vend deg til nevneren - dette er nøyaktig skalært produkt retningsvektorer for rette linjer:
Hvis , så forsvinner nevneren til formelen, og vektorene vil være ortogonale og linjene vil være vinkelrette. Det er derfor tatt forbehold om at linjene i formuleringen ikke er vinkelrett.
Basert på det foregående er løsningen praktisk formalisert i to trinn:
1) Beregn skalært produkt retningsvektorer for rette linjer:
så linjene er ikke vinkelrette.
2) Vi finner vinkelen mellom linjene ved formelen:
Ved bruk av invers funksjon lett å finne selve hjørnet. I dette tilfellet bruker vi oddeligheten til buetangensen (se fig. Grafer og egenskaper til elementære funksjoner):
Svar: 
I svaret angir vi den nøyaktige verdien, samt den omtrentlige verdien (gjerne både i grader og i radianer), beregnet ved hjelp av en kalkulator.
Vel, minus, så minus, det er greit. Her er en geometrisk illustrasjon: 
Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, fordi i tilstanden til problemet er det første tallet en rett linje og "vridningen" av vinkelen begynte nøyaktig fra den.
Hvis du virkelig ønsker å få positiv vinkel, må du bytte linjene, det vil si ta koeffisientene fra den andre ligningen 
, og ta koeffisientene fra den første ligningen. Kort sagt, du må begynne med en direkte 
.
Skjæringspunkter på x-aksen må løse likningen y₁=y₂, dvs. k₁x+b₁=k₂x+b₂.
Transformer denne ulikheten for å få k₁x-k₂x=b₂-b₁. Uttrykk nå x: x=(b₂-b₁)/(k₁-k₂). På denne måten finner du skjæringspunktet for grafene, som ligger langs OX-aksen. Finn skjæringspunktet på y-aksen. Bare bytt inn verdien av x som du fant tidligere i en av funksjonene.
Det forrige alternativet er egnet for diagrammer. Hvis funksjonen er , bruk følgende instruksjoner. På samme måte som med lineær funksjon, finn x-verdien. For å gjøre dette, løs en andregradsligning. Finn i ligningen 2x² + 2x - 4=0 (ligningen er gitt som eksempel). For å gjøre dette, bruk formelen: D= b² - 4ac, hvor b er verdien før X og c er den numeriske verdien.
Erstatter numeriske verdier, få et uttrykk som D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Ligninger avhenger av verdien av diskriminanten. Legg nå til eller trekk (på sin side) roten fra den resulterende diskriminanten til verdien av variabelen b med tegnet "-", og del med dobbelt produkt koeffisient a. Så du vil finne røttene til ligningen, det vil si koordinatene til skjæringspunktene.
Funksjonsgrafer har en funksjon: OX-aksen vil krysse to ganger, det vil si at du finner to koordinater til x-aksen. Hvis du mottar periodisk verdi avhengighet av X av Y, så vet du at grafen skjærer i et uendelig antall punkter med x-aksen. Sjekk om du har funnet skjæringspunktene. For å gjøre dette, bytt inn X-verdiene i ligningen f(x)=0.
Kilder:
- Finne skjæringspunktene for linjer
Hvis du vet verdien av a, kan du si at du har løst en andregradsligning, fordi røttene vil bli funnet veldig enkelt.
Du vil trenge
- -formel for diskriminanten til kvadratisk ligning;
- -Kunnskap om multiplikasjonstabellen
Instruksjon
Relaterte videoer
Diskriminanten til en kvadratisk ligning kan være positiv, negativ eller lik 0.
Kilder:
- Løsning andregradsligninger
- diskriminerende er jevn
Tips 3: Hvordan finne koordinatene til skjæringspunktene til en funksjonsgraf
Grafen til funksjonen y \u003d f (x) er settet av alle punkter i planet, koordinatene x, som de tilfredsstiller forholdet y \u003d f (x). En funksjonsgraf illustrerer visuelt oppførselen og egenskapene til en funksjon. For å bygge en graf velges vanligvis flere verdier av argumentet x og de tilsvarende verdiene til funksjonen y=f(x) beregnes for dem. For en mer nøyaktig og visuell konstruksjon av en graf, er det nyttig å finne skjæringspunktene med koordinataksene.
Instruksjon
Ved kryssing av x-aksen (X-aksen) er verdien av funksjonen 0, dvs. y=f(x)=0. For å beregne x må du løse ligningen f(x)=0. For en funksjon får vi ligningen ax+b=0, og vi finner x=-b/a.
Dermed skjærer X-aksen i punktet (-b/a,0).
I mer vanskelige saker, for eksempel, i tilfelle av en kvadratisk avhengighet av y på x, har ligningen f (x) \u003d 0 to røtter, derfor krysser x-aksen to ganger. I tilfelle av avhengighet av y av x, for eksempel y=sin(x), har et uendelig antall skjæringspunkter med x-aksen.
For å kontrollere riktigheten av å finne koordinatene til skjæringspunktene til grafen til funksjonen med X-aksen, er det nødvendig å erstatte de funnet verdiene til x f (x). Verdien av uttrykket for noen av de beregnede x må være lik 0.
Instruksjon
Først er det nødvendig å diskutere valget av et koordinatsystem som er praktisk for å løse problemet. Vanligvis, i problemer av denne typen, plasseres en av trekantene på 0X-aksen slik at ett punkt faller sammen med origo. Derfor bør du ikke avvike fra de generelt aksepterte kanonene for avgjørelsen og gjøre det samme (se fig. 1). Metoden for å spesifisere selve trekanten spiller ingen grunnleggende rolle, siden du alltid kan gå fra en av dem til (som du kan se senere).
La den ønskede trekanten være gitt av to vektorer av dens sider AC og AB a(x1, y1) og b(x2, y2), henholdsvis. Dessuten, ved konstruksjon y1=0. Den tredje siden av BC tilsvarer c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), ifølge denne illustrasjonen. Punkt A er plassert ved opprinnelsen til koordinatene, det vil si dens koordinater A(0, 0). Det er også lett å se det koordinater B (x2, y2), a C (x1, 0). Fra dette kan vi konkludere med at definisjonen av en trekant med to vektorer automatisk falt sammen med dens definisjon med tre punkter.
Deretter bør du fullføre den ønskede trekanten til parallellogrammet ABDC som tilsvarer den i størrelse. Dessuten det på punktet kryss diagonaler til parallellogrammet, deles de, slik at AQ er medianen av trekanten ABC, går ned fra A til siden BC. Diagonalvektoren s inneholder denne og er, ved parallellogramregelen, geometrisk sum a og b. Da er s = a + b, og dens koordinater s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Det samme koordinater vil også være i punktet D(x1+x2, y2).
Nå kan du fortsette med å kompilere ligningen til en rett linje som inneholder s, medianen til AQ og, viktigst av alt, ønsket punkt kryss median H. Siden vektoren s selv er guiden for denne linjen, og punktet A (0, 0) som hører til den også er kjent, er det enkleste å bruke likningen til en plan linje i kanonisk form: (x -x0) / m =(y-y0)/n. Her (x0, y0) koordinater vilkårlig poeng rett linje (punkt А(0, 0)), og (m, n) – koordinater s (vektor (x1+x2, y2). Så vil den ønskede linjen l1 se slik ut: x/(x1+x2)=y/ y2.
Selve måten å finne det på er i krysset. Derfor bør det finnes en rett linje til som inneholder den såkalte.For dette, i fig. 1 konstruksjon av et annet parallellogram АPBC, hvis diagonal g=a+c =g(2x1-x2, -y2) inneholder den andre medianen CW, senket fra C til side AB. Denne diagonalen inneholder punktet C(x1, 0), koordinater som vil spille rollen som (x0, y0), og retningsvektoren her vil være g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Herfra er l2 gitt ved ligningen: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).
PÅ gamle dager Jeg var glad i datagrafikk, både 2D og 3D, inkludert matematiske visualiseringer. Det som kalles bare for moro skyld, som student, skrev jeg et program som visualiserer N-dimensjonale figurer som roterer i alle dimensjoner, selv om det i praksis bare var nok for meg å bestemme punktene for en 4-D hyperkube. Men dette er bare et hint. Kjærligheten til geometri har vært med meg siden den gang og til i dag, og jeg elsker fortsatt å løse interessante oppgaver interessante måter.En av disse oppgavene kom over meg i 2010. Selve oppgaven er ganske triviell: det er nødvendig å finne om to 2D-segmenter krysser hverandre, og hvis de krysser hverandre, finn punktet for deres skjæringspunkt. Mer interessant er løsningen, som jeg synes viste seg å være ganske elegant, og som jeg vil foreslå for leseren. Jeg later ikke til å være original i algoritmen (selv om jeg gjerne vil det), men jeg kunne ikke finne lignende løsninger på nettet.
En oppgave
To segmenter er gitt, som hver er gitt av to punkter: (v11, v12), (v21, v22). Det er nødvendig å finne ut om de krysser hverandre, og hvis de krysser hverandre, finn punktet for deres skjæringspunkt.Løsning
Først må du finne ut om segmentene krysser hverandre. Nødvendig og tilstrekkelig tilstand skjæringspunktet som må observeres for begge segmentene er følgende: endepunktene til et av segmentene må ligge i forskjellige halvplan, dersom planet er delt med linjen som det andre av segmentene ligger på. La oss demonstrere dette med en tegning.Den venstre figuren (1) viser to segmenter, for begge er betingelsen oppfylt, og segmentene krysser hverandre. På høyre (2) figur er betingelsen oppfylt for segment b, men for segment a er den ikke oppfylt, henholdsvis segmentene krysser ikke.
Det kan virke som om det ikke er en triviell oppgave å bestemme hvilken side av linjen punktet ligger på, men frykt har store øyne, og alt er ikke så vanskelig. Vi vet at vektormultiplikasjonen av to vektorer gir oss en tredje vektor, hvis retning avhenger av om vinkelen mellom den første og andre vektoren er henholdsvis positiv eller negativ, en slik operasjon er antikommutativ. Siden alle vektorer ligger på X-Y fly, da vil deres vektorprodukt (som må være vinkelrett på de multipliserte vektorene) kun ha en ikke-null komponent Z, henholdsvis, og forskjellen i produktene til vektorene vil kun være i denne komponenten. Dessuten, når du endrer rekkefølgen for multiplikasjon av vektorer (les: vinkelen mellom de multipliserte vektorene), vil det utelukkende bestå i å endre tegnet til denne komponenten.
Derfor kan vi multiplisere vektor-parvis vektoren til skillesegmentet med vektorene rettet fra begynnelsen av skillesegmentet til begge punktene i det sjekkede segmentet. 
Hvis Z-komponentene til begge produktene vil ha annet tegn, da er en av vinklene mindre enn 0 men større enn -180, og den andre er henholdsvis større enn 0 og mindre enn 180, punktene ligger langs forskjellige sider fra en rett linje. Hvis Z-komponentene til begge produktene har samme tegn, så de ligger på samme side av linjen.
Hvis en av Z-komponentene er null, har vi et grensetilfelle når punktet ligger nøyaktig på linjen som kontrolleres. La oss overlate til brukeren å bestemme om han vil betrakte dette som et veikryss.
Deretter må vi gjenta operasjonen for et annet segment og en rett linje, og sørge for at plasseringen av endepunktene også tilfredsstiller betingelsen.
Så hvis alt er bra og begge segmentene tilfredsstiller betingelsen, eksisterer krysset. La oss finne det, og vektorproduktet vil også hjelpe oss med dette.
Siden vi i vektorproduktet bare har Z-komponenten som ikke er null, vil dens modul (lengden på vektoren) være numerisk lik denne spesielle komponenten. La oss se hvordan du finner skjæringspunktet. 
Lengden på vektorproduktet til vektorene a og b (som vi fant ut, numerisk lik Z-komponenten) er lik produktet av modulene til disse vektorene og sinusen til vinkelen mellom dem (|a| |b | sin(ab)). Følgelig, for konfigurasjonen i figuren, har vi følgende: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α), og |AB x AD| = |AB||AD| sin(β). |AC|sin(α) er perpendikulæren fra punkt C til segment AB, og |AD|sin(β) er perpendikulæren fra punkt D til segment AB (leg ADD"). Siden vinklene γ og δ er vertikale vinkler, så er de like, noe som betyr at trekantene PCC" og PDD" er like, og følgelig er lengdene på alle sidene deres like proporsjonale.
Gitt Z1 (AB x AC, derav |AB||AC|sin(α)) og Z2 (AB x AD, dermed |AB||AD|sin(β)), kan vi beregne CC"/DD" (som vil være lik Z1 / Z2), og også vite at CC "/DD" = CP / DP, kan du enkelt beregne plasseringen av punkt P. Personlig gjør jeg det slik:
Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Det er alt. Det virker for meg som om det egentlig er veldig enkelt og elegant. Avslutningsvis vil jeg gi en funksjonskode som implementerer denne algoritmen. Funksjonen bruker en selvlaget malvektor
1 mal
Leksjon fra serien "Geometriske algoritmer"
Hei kjære leser!
La oss fortsette å bli kjent geometriske algoritmer. I den siste leksjonen fant vi ligningen til en rett linje i koordinatene til to punkter. Vi har en ligning av formen:
I dag skal vi skrive en funksjon som ved å bruke likningene til to rette linjer vil finne koordinatene til skjæringspunktet deres (hvis noen). For å sjekke likheten til reelle tall, vil vi bruke spesialfunksjonen RealEq().
Punkter på planet er beskrevet av et par reelle tall. Når du bruker den virkelige typen, er det bedre å ordne sammenligningsoperasjonene med spesialfunksjoner.
Årsaken er kjent: det er ingen ordrerelasjon på Real-typen i Pascal-programmeringssystemet, så oppføringene av formen a = b, hvor a og b reelle tall, er det bedre å ikke bruke.
I dag vil vi introdusere RealEq()-funksjonen for å implementere "=" (strengt lik) operasjonen:
Funksjon RealEq(Const a, b:Real):Boolsk; (strengt lik) begynne RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}
En oppgave. Ligninger av to rette linjer er gitt: og . Finn deres skjæringspunkt.
Løsning. Den åpenbare løsningen er å løse systemet med linjelikninger: 
La oss omskrive dette systemet litt annerledes:
(1)
 |
Vi introduserer notasjonen: , 
, 
. Her er D determinanten for systemet, og er determinantene som oppnås ved å erstatte kolonnen med koeffisienter for den tilsvarende ukjente med en kolonne med frie ledd. Hvis , så er system (1) bestemt, det vil si at det har en unik løsning. Denne løsningen kan finnes ved hjelp av følgende formler: , , som kalles Cramers formler. La meg minne deg på hvordan andreordens determinant beregnes. Determinanten skiller mellom to diagonaler: hoved og sekundær. Hoveddiagonalen består av elementer tatt i retning fra øvre venstre hjørne av determinanten til nedre høyre hjørne. Side diagonal - fra øvre høyre til nedre venstre. Andreordens determinant er lik produktet av elementene i hoveddiagonalen minus produktet av elementene i sekundærdiagonalen.
Koden bruker RealEq()-funksjonen for å se etter likhet. Beregninger over reelle tall gjøres med nøyaktighet opptil _Eps=1e-7.
Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(beregningsnøyaktighet) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funksjon RealEq(Const a, b:Real):Boolsk; (strengt lik) begynne RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.
Vi har satt sammen et program som du kan, ved å kjenne linjenes ligninger, finne koordinatene til skjæringspunktet deres.
Hvordan komme i gang som veileder?
Fjernundervisning i engelsk
Vanlige og uregelmessige engelske verb