Finn vinkelen mellom gradientene til funksjonene. Vektoranalyse skalarfelt av overflate og nivålinje retningsderivert derivert av skalarfeltgradient grunnleggende egenskaper for gradient invariant definisjon av

1 0 Gradienten er rettet langs normalen til den jevne overflaten (eller til nivålinjen hvis feltet er flatt).

2 0 Gradienten er rettet i retning av økende feltfunksjon.

3 0 Gradientmodulen er lik den største deriverte i retningen ved et gitt punkt i feltet:

Disse egenskapene gir en invariant karakteristikk av gradienten. De sier at gradU-vektoren indikerer retningen og størrelsen på den største endringen i skalarfeltet ved et gitt punkt.

Merknad 2.1. Hvis funksjonen U(x,y) er en funksjon av to variabler, så er vektoren

(2.3)

ligger i oksyplanet.

La U=U(x,y,z) og V=V(x,y,z) funksjoner differensierbare ved punktet М 0 (x,y,z). Da gjelder følgende likheter:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = V;

e) gradU( = gradU, hvor , U=U() har en derivert med hensyn til .

Eksempel 2.1. Funksjonen U=x 2 +y 2 +z 2 er gitt. Bestem gradienten til funksjonen i punktet M(-2;3;4).

Løsning. I følge formel (2.2) har vi

.

De plane overflatene til dette skalarfeltet er familien av kuler x 2 +y 2 +z 2, vektoren gradU=(-4;6;8) er normal vektor fly.

Eksempel 2.2. Finn gradienten til skalarfeltet U=x-2y+3z.

Løsning. I følge formel (2.2) har vi

De jevne overflatene til et gitt skalarfelt er planene

x-2y+3z=C; vektoren gradU=(1;-2;3) er normalvektoren for plan i denne familien.

Eksempel 2.3. Finn den bratteste helningen til overflaten U=x y i punktet M(2;2;4).

Løsning. Vi har:

Eksempel 2.4. Finne enhetsvektor normal til den plane overflaten til skalarfeltet U=x 2 +y 2 +z 2.

Løsning. Plane overflater av en gitt skalar Felt-sfære x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Gradienten er rettet langs normalen til den jevne overflaten, slik at

Definerer normalvektoren til den jevne overflaten i punktet M(x,y,z). For en enhetsnormalvektor får vi uttrykket

, hvor

.

Eksempel 2.5. Finn feltgradienten U= , hvor og er konstante vektorer, r er radiusvektoren til punktet.

Løsning. La

Deretter:
. Ved regelen om differensiering av determinanten får vi

Følgelig

Eksempel 2.6. Finn avstandsgradienten , der P(x,y,z) er punktet på feltet som studeres, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) er et fast punkt.

Løsning. Vi har-enhet retningsvektor.

Eksempel 2.7. Finn vinkelen mellom gradientene til funksjonene i punktet M 0 (1,1).

Løsning. Vi finner gradientene til disse funksjonene i punktet M 0 (1,1), vi har

; Vinkelen mellom gradU og gradV i punktet M 0 bestemmes fra likheten

Derfor =0.

Eksempel 2.8. Finn den deriverte med hensyn til retningen, radiusvektoren er lik

(2.4)

Løsning. Finne gradienten til denne funksjonen:

Ved å erstatte (2.5) med (2.4), får vi

Eksempel 2.9. Finn i punktet M 0 (1;1;1) retningen til den største endringen i skalarfeltet U=xy+yz+xz og størrelsen på denne største endringen på dette punktet.

Løsning. Retningen til den største endringen i feltet er indikert med vektoren grad U(M). Vi finner det:

Og derfor, . Denne vektoren bestemmer retningen for størst økning gitt felt ved punktet M0 (1;1;1). Verdien av den største endringen i feltet på dette tidspunktet er lik

.

Eksempel 3.1. Finn vektorlinjer med vektorfelt hvor er en konstant vektor.

Løsning. Det har vi

(3.3)

Multipliser telleren og nevneren til den første brøken med x, den andre med y, den tredje med z og legg den til ledd for ledd. Ved å bruke proporsjonsegenskapen får vi

Derfor xdx+ydy+zdz=0, som betyr

x 2 + y 2 + z 2 =A 1, A 1 -konst>0. Når vi nå multipliserer telleren og nevneren til den første brøken (3.3) med c 1, den andre med c 2, den tredje med c 3 og summerer den ledd for ledd, får vi

Fra hvor c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Og derfor, med 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . En 2-konst.

Nødvendige ligninger av vektorlinjer

Disse ligningene viser at vektorlinjer oppnås som et resultat av skjæringspunktet mellom kuler som har et felles senter ved origo med plan, vinkelrett på vektoren . Det følger at vektorlinjene er sirkler hvis sentre er på en rett linje som går gjennom origo i retning av vektoren c. Sirklenes plan er vinkelrett på den angitte linjen.

Eksempel 3.2. Finn vektorfeltlinje passerer gjennom punktet (1,0,0).

Løsning. Differensiallikninger vektorlinjer

derfor har vi . Løse den første ligningen. Eller hvis vi introduserer parameteren t, så vil vi ha i dette tilfellet ligningen tar formen eller dz=bdt, hvorfra z=bt+c2.

Oppgave 2. Finn cosinus til vinkelen a mellom feltgradientene i punktene A(1, 2, 2) og B(-3, 1, 0). Løsning.

Oppgave 3. For en funksjon, finn den deriverte langs den indre normalen til sylindrisk overflate x 2 + z 2 = a 2 + c 2 i punktet M 0(a, b, c). Løsning. La f(x, y, z) = x 2 + z 2. Overflaten gitt i betingelsen er den jevne overflaten for f som går gjennom punktet M 0. Vi har Funksjonen f i punktet M 0 vokser raskest i retningen grad f, derfor i retning normal til den gitte overflaten.

Basert på formen til funksjonen f, konkluderer vi med at dette er retningen til den ytre normalen. Derfor vil enhetsvektoren til den indre normalen i punktet M 0 være lik

Oppgave 5. Beregn flyten av vektorfeltet a = (z 2 - x, 1, y 5) gjennom indre overflate S: y 2 = 2 x avskåret av fly: x = 2, z = 0, z = 3. Løsning.

Løsning. Metode I Kontur L - en sirkel med radius R, som ligger i planet z = 3. La oss velge orienteringen som vist på figuren, dvs. mot klokken. Parametriske ligninger sirkler ser ut

II vei. For å beregne sirkulasjonen i henhold til Stokes-teoremet velger vi en overflate S som strekkes av konturen. Det er naturlig å ta som S en sirkel som har konturen L som grense. Overflateligningen S har formen: I henhold til den valgte orienteringen av konturen skal normalen til overflaten tas lik

Oppgave 7. Bruk Stokes-teoremet og finn sirkulasjonen til vektorfeltet over snittet x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ved planet z = 0. Løsning. I henhold til Stokes-formelen

Oppgave 8. Finn vektorstrømmen gjennom en del av sfæren x 2 + y 2 + z 2 = R 2, for x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, i retning av den ytre normalen. Løsning. Per definisjon av vektorstrømmen gjennom overflaten finner vi

Hvis ved hvert punkt i rommet eller en del av rommet er verdien av en viss mengde definert, så sies det at feltet til denne mengden er gitt. Feltet kalles skalar hvis den betraktede verdien er skalar, dvs. godt preget av sin numerisk verdi. For eksempel temperaturfeltet. Skalarfeltet er gitt av skalarfunksjonen til punktet u = /(M). Hvis et kartesisk koordinatsystem introduseres i rommet, er det en funksjon av tre variabler x, yt z - koordinatene til punktet M: Definisjon. Den plane overflaten til et skalarfelt er settet med punkter der funksjonen f(M) har samme verdi. Eksempel på nivåoverflatelikning 1. Finn nivåoverflater til et skalarfelt VEKTORANALYSE Skalarfeltnivåoverflater og nivålinjer Retningsbestemt derivert Derivert Gradient av et skalarfelt Grunnleggende gradientegenskaper Invariant Definisjon av en gradient Regler for beregning av en gradient -4 Per definisjon, et nivå overflateligning vil være. Dette er ligningen til en kule (med Ф 0) sentrert ved origo. Et skalarfelt kalles flatt hvis feltet er det samme i alle plan parallelt med et plan. Hvis det spesifiserte planet tas som xOy-planet, vil feltfunksjonen ikke avhenge av z-koordinaten, dvs. den vil være en funksjon av kun argumentene x og y og også betydning. Nivålinjeligning - Eksempel 2. Finn nivålinjer i et skalarfelt Nivålinjer er gitt ved likninger Ved c = 0 får vi et linjepar, vi får en familie med hyperbler (fig. 1). 1.1. Retningsderiverte La det være et skalarfelt definert av en skalarfunksjon u = /(Af). La oss ta punktet Afo og velge retningen bestemt av vektoren I. La oss ta et annet punkt M slik at vektoren M0M er parallell med vektoren 1 (fig. 2). La oss angi lengden til MoM-vektoren med A/, og økningen av funksjonen /(Af) - /(Afo), som tilsvarer forskyvningen D1, med Di. Holdning avgjør gjennomsnittshastighet endring av skalarfeltet per lengdeenhet til den gitte retningen La har nå en tendens til null slik at vektoren М0М forblir parallell med vektoren I hele tiden. Hvis det for D/O eksisterer en endelig grense for relasjonen (5), så kalles den den deriverte av funksjonen i et gitt punkt Afo til den gitte retningen I og er betegnet med symbolet zr!^. Så per definisjon er denne definisjonen ikke relatert til valg av koordinatsystem, det vil si at den har en **variantkarakter. La oss finne et uttrykk for den deriverte med hensyn til retningen inn Kartesisk system koordinater. La funksjonen / være differensierbar på et punkt. Tenk på verdien /(Af) ved et punkt. Deretter kan den totale økningen av funksjonen skrives i følgende form: hvor og symbolene betyr at de partielle deriverte beregnes ved punktet Afo. Derfor er mengdene jfi, ^ retningscosinusene til vektoren. Siden vektorene MoM og I er co-dirigert, er retningscosinusene deres de samme: Siden M Afo legger seg hele tiden på en rett linje, parallelt med vektoren 1, da er vinklene konstante, derfor Til slutt, fra likheter (7) og (8) får vi Eamuan og 1. Partielle deriverte er deriverte av funksjonen og i retningene til koordinataksene med den eksterne nno- Eksempel 3. Finn den deriverte av funksjonen mot punktet Vektoren har en lengde. Dens retning cosinus: Ved formel (9) vil vi ha Det faktum at, betyr at skalarfeltet i et punkt i en gitt retning av alder- For et flatt felt beregnes den deriverte i retningen I i et punkt ved hjelp av formelen hvor a er vinkelen dannet av vektoren I med aksen Oh. Zmmchmm 2. Formel (9) for å beregne den deriverte langs retningen I ved et gitt punkt Afo forblir i kraft selv når punktet M tenderer til punktet Mo langs en kurve der vektoren I tangerer i punktet PrISchr 4. Beregn den deriverte av skalarfeltet i punktet Afo(l, 1). som tilhører en parabel i retning av denne kurven (i retning av økende abscisse). Retningen ] av en parabel i et punkt er retningen til tangenten til parabelen på dette punktet (fig. 3). La tangenten til parabelen i punktet Afo danne en vinkel o med okseaksen. Så hvorfra retning cosinus av en tangent La oss beregne verdier og i et punkt. Vi har nå ved formel (10) vi får. Finn den deriverte av skalarfeltet i et punkt i retning av sirkelen Sirkelens vektorligning har formen. Vi finner enhetsvektoren m til tangenten til sirkelen Punktet tilsvarer verdien av parameteren. Skalarfeltgradient La et skalarfelt defineres av en skalarfunksjon som antas å være differensierbar. Definisjon. Gradienten til et skalarfelt » i et gitt punkt M er en vektor betegnet med symbolet grad og definert av likheten. Det er klart at denne vektoren avhenger både av funksjonen / og av punktet M der dens deriverte beregnes. La 1 være en enhetsvektor i retningen Da kan formelen for retningsderiverten skrives slik: . dermed er den deriverte av funksjonen og i retning 1 lik prikkprodukt av gradienten til funksjonen u(M) per enhetsvektor 1° av retningen I. 2.1. Grunnleggende egenskaper for gradientsetning 1. Skalarfeltgradienten er vinkelrett på den jevne overflaten (eller på nivålinjen hvis feltet er flatt). (2) Trekk gjennom vilkårlig poeng M er en jevn overflate u = const og velg en jevn kurve L på denne flaten som går gjennom punktet M (fig. 4). La I være en vektor som tangerer kurven L i punktet M. Siden på den jevne overflaten u(M) = u(M|) for et hvilket som helst punkt Mj ∈ L, så På den annen side, = (gradu, 1°) . Derfor. Dette betyr at vektorene grad og og 1° er ortogonale. Dermed er vektoren grad og ortogonal til enhver tangent til den plane overflaten i punktet M. Dermed er den ortogonal til selve den plane overflaten i punktet M. Teorem 2 Gradienten er rettet i retning av økende feltfunksjon. Tidligere har vi bevist at gradienten til skalarfeltet er rettet langs normalen til den jevne overflaten, som kan være orientert enten mot økningen av funksjonen u(M) eller mot dens reduksjon. Betegn med n normalen til den plane overflaten orientert i retningen til økende funksjon ti(M), og finn den deriverte av funksjonen u i retning av denne normalen (fig. 5). Vi har Siden i henhold til tilstanden i Fig. 5 og derfor VEKTORANALYSE Skalarfelt Overflater og nivålinjer Retningsderiverte Deriverte Skalarfeltgradient Grunnegenskaper for gradienten Invariant definisjon av gradienten Regler for beregning av gradienten Det følger at grad og er rettet i samme retning som den vi har valgt den normale n, dvs. i retning av økende funksjon u(M). Teorem 3. Lengden på gradienten er lik den største deriverte med hensyn til retningen i et gitt punkt i feltet, (her tas maks $ i alle mulige retninger i et gitt punkt M til punktet). Vi har hvor er vinkelen mellom vektorene 1 og grad n. Siden den største verdien er eksempel 1. Finn retningen til den største imonionen i skalarfeltet i punktet og også størrelsen på denne største endringen ved det angitte punktet. Retningen til den største endringen i skalarfeltet er indikert med en vektor. Vi har så Denne vektoren bestemmer retningen for den største økningen i feltet til et punkt. Verdien av den største endringen i feltet på dette tidspunktet er 2,2. Invariant definisjon av gradienten Mengder som karakteriserer egenskapene til objektet som studeres og som ikke er avhengig av valg av koordinatsystem kalles invarianter dette objektet. For eksempel er lengden på en kurve en invariant av denne kurven, men vinkelen på tangenten til kurven med x-aksen er ikke en invariant. Basert på de tre egenskapene til skalarfeltgradienten som er bevist ovenfor, kan vi gi følgende invariant definisjon gradient. Definisjon. Den skalare feltgradienten er en vektor rettet langs normalen til den jevne overflaten i retning av økende feltfunksjon og som har en lengde lik den største retningsderiverte (ved et gitt punkt). La være en enhet normal vektor rettet i retning av økende felt. Deretter Eksempel 2. Finn avstandsgradienten - et fast punkt, og M(x,y,z) - det gjeldende. 4 Vi har hvor er enhetsretningsvektoren. Regler for beregning av gradienten der c er et konstant tall. Formlene ovenfor er hentet direkte fra definisjonen av gradienten og egenskapene til derivatene. Etter regelen for differensiering av produktet. Beviset ligner beviset for egenskapen La F(u) være en differensierbar skalarfunksjon. Så 4 Ved definisjonen av gradienten har vi Bruk på alle ledd på høyre side differensieringsregelen kompleks funksjon. Spesielt følger formel (6) fra formelplanet til to faste punkter i dette planet. Tenk på en vilkårlig ellipse med foci Fj og F] og bevis at enhver lysstråle som kommer ut fra ett fokus av ellipsen, etter refleksjon fra ellipsen, går inn i dets andre fokus. Nivålinjene til funksjonen (7) er VEKTORANALYSE Skalarfelt Overflater og nivålinjer Retningsderiverte Deriverte Skalarfeltgradient Grunnegenskaper for gradienten Invariant definisjon av gradienten Gradientberegningsregler Ligningene (8) beskriver en familie av ellipser med foci i punkter F) og Fj. I følge resultatet av eksempel 2 har vi altså gradienten gitt felt lik vektoren PQ av diagonalen til en rombe bygget på enhetsvektorene til r? og radiusvektorer. trukket til punktet P(x, y) fra brennpunktene F| og Fj, og ligger derfor på halveringslinjen til vinkelen mellom disse radiusvektorene (fig. 6). I følge Tooromo 1 er gradienten PQ vinkelrett på ellipsen (8) ved punktet. Derfor viser Fig.6. normalen til ellipsen (8) ved et hvilket som helst punkt halverer vinkelen mellom radiusvektorene trukket til dette punktet. Herfra og fra det faktum at innfallsvinkelen er lik refleksjonsvinkelen, får vi: en lysstråle som kommer ut av ett fokus på ellipsen, reflektert fra det, vil helt sikkert falle inn i det andre fokuset til denne ellipsen.