Finn en ligning ved å bruke to punkter. Ulike linjeligninger

Definisjon. Enhver rett linje på planet kan spesifiseres med en førsteordens ligning

Axe + Wu + C = 0,

Dessuten er konstantene A og B ikke lik null på samme tid. Denne førsteordensligningen kalles generell ligning av en rett linje. Avhengig av verdiene til konstantene A, B og C, er følgende spesielle tilfeller mulig:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – den rette linjen går gjennom origo

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - rett linje parallelt med okseaksen

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – rett linje parallelt med Oy-aksen

B = C = 0, A ≠0 – den rette linjen faller sammen med Oy-aksen

A = C = 0, B ≠0 – den rette linjen faller sammen med okseaksen

Ligningen til en rett linje kan presenteres i forskjellige former avhengig av gitte startbetingelser.

Ligning av en rett linje fra et punkt og normalvektor

Definisjon. I det kartesiske rektangulære koordinatsystemet er en vektor med komponenter (A, B) vinkelrett på den rette linjen gitt av ligningen Ax + By + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til linjen som går gjennom punktet A(1, 2) vinkelrett på (3, -1).

Løsning. Med A = 3 og B = -1, la oss komponere ligningen for den rette linjen: 3x – y + C = 0. For å finne koeffisienten C, erstatter vi koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket. 3 – 2 + C = 0, derfor C = -1 . Totalt: den nødvendige ligningen: 3x – y – 1 = 0.

Ligning av en linje som går gjennom to punkter

La to punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2) gis i rommet, så er ligningen til linjen som går gjennom disse punktene:

Hvis noen av nevnerne er lik null, skal den tilsvarende telleren være lik null På planet er ligningen til linjen skrevet ovenfor forenklet:

hvis x 1 ≠ x 2 og x = x 1, hvis x 1 = x 2.

Brøken = k kalles skråning direkte.

Eksempel. Finn ligningen til linjen som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).

Løsning. Ved å bruke formelen skrevet ovenfor får vi:

Ligning av en rett linje fra et punkt og en helning

Hvis totalen Ax + Bu + C = 0, fører du til skjemaet:

og utpeke , så kalles den resulterende ligningen ligning av en rett linje med helningk.

Ligning av en rett linje fra et punkt og en retningsvektor

I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom en normalvektor, kan du angi definisjonen av en rett linje gjennom et punkt og retningsvektoren til den rette linjen.

Definisjon. Hver vektor som ikke er null (α 1, α 2), hvis komponenter tilfredsstiller betingelsen A α 1 + B α 2 = 0, kalles en retningsvektor for linjen

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punktet A(1, 2).

Løsning. Vi vil se etter ligningen til ønsket linje i formen: Ax + By + C = 0. I henhold til definisjonen skal koeffisientene tilfredsstille betingelsene:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Da har ligningen for den rette linjen formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0. for x = 1, y = 2 får vi C/ A = -3, dvs. nødvendig ligning:

Ligning av en linje i segmenter

Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ах + Ву + С = 0 С≠0, så får vi, ved å dele med –С: eller

Den geometriske betydningen av koeffisientene er at koeffisienten EN er koordinaten til skjæringspunktet for linjen med okseaksen, og b– koordinaten til skjæringspunktet mellom den rette linjen og Oy-aksen.

Eksempel. Den generelle ligningen til linjen x – y + 1 = 0 er gitt. Finn ligningen til denne linjen i segmenter.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normal ligning av en linje

Hvis begge sider av ligningen Ax + By + C = 0 multipliseres med tallet som kalles normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

normal ligning av en linje. Tegnet ± for normaliseringsfaktoren må velges slik at μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Eksempel. Den generelle ligningen til linjen 12x – 5y – 65 = 0 Det er nødvendig å skrive ulike typer ligninger for denne linjen.

ligningen for denne linjen i segmenter:

likning av denne linjen med helning: (del med 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer parallelle med aksene eller som går gjennom origo for koordinater.

Eksempel. Den rette linjen avskjærer like positive segmenter på koordinataksene. Skriv en likning av en rett linje hvis arealet av trekanten dannet av disse segmentene er 8 cm 2.

Løsning. Ligningen til den rette linjen har formen: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Eksempel. Skriv en likning for en rett linje som går gjennom punktet A(-2, -3) og origo.

Løsning. Ligningen for den rette linjen er: hvor xl = y1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Vinkel mellom rette linjer på et plan

Definisjon. Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, vil den spisse vinkelen mellom disse linjene bli definert som

To linjer er parallelle hvis k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette hvis k 1 = -1/ k 2.

Teorem. Linjene Ax + Bу + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 er parallelle når koeffisientene A 1 = λA, B 1 = λB er proporsjonale. Hvis også C 1 = λC, så faller linjene sammen. Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer er funnet som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt linje

Definisjon. En rett linje som går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på den rette linjen y = kx + b er representert ved ligningen:

Avstand fra punkt til linje

Teorem. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er gitt, blir avstanden til linjen Ax + Bу + C = 0 bestemt som

Bevis. La punktet M 1 (x 1, y 1) være bunnen av en perpendikulær droppet fra punkt M til en gitt rett linje. Da er avstanden mellom punktene M og M 1:

(1)

Koordinatene x 1 og y 1 kan bli funnet ved å løse ligningssystemet:

Den andre ligningen til systemet er ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett på en gitt linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:

Teoremet er bevist.

Eksempel. Bestem vinkelen mellom linjene: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Eksempel. Vis at linjene 3x – 5y + 7 = 0 og 10x + 6y – 3 = 0 er vinkelrette.

Løsning. Vi finner: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, derfor er linjene vinkelrette.

Eksempel. Oppgitt er toppunktene til trekanten A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Finn ligningen for høyden trukket fra toppunktet C.

Løsning. Vi finner ligningen til siden AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Den nødvendige høydeligningen har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b. k = . Da er y = . Fordi høyden går gjennom punkt C, så tilfredsstiller koordinatene denne ligningen: fra hvor b = 17. Totalt:.

Svar: 3 x + 2 år – 34 = 0.

Linjen som går gjennom punktet K(x 0 ; y 0) og parallelt med linjen y = kx + a er funnet ved formelen:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Hvor k er helningen til linjen.

Alternativ formel:
En linje som går gjennom punktet M 1 (x 1 ; y 1) og parallelt med linjen Ax+By+C=0 er representert ved ligningen

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Eksempel nr. 1. Skriv en likning for en rett linje som går gjennom punktet M 0 (-2,1) og samtidig:
a) parallelt med den rette linjen 2x+3y -7 = 0;
b) vinkelrett på den rette linjen 2x+3y -7 = 0.
Løsning . La oss forestille oss likningen med helningen på formen y = kx + a. For å gjøre dette, flytt alle verdier unntatt y til høyre side: 3y = -2x + 7 . Del deretter høyre side med en faktor på 3. Vi får: y = -2/3x + 7/3
La oss finne ligningen NK som går gjennom punktet K(-2;1), parallelt med den rette linjen y = -2 / 3 x + 7 / 3
Ved å erstatte x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 får vi:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
eller
y = -2 / 3 x - 1 / 3 eller 3y + 2x +1 = 0

Eksempel nr. 2. Skriv likningen til en linje parallelt med linjen 2x + 5y = 0 og lag sammen med koordinataksene en trekant med arealet 5.
Løsning . Siden linjene er parallelle, er ligningen til den ønskede linjen 2x + 5y + C = 0. Arealet av en rettvinklet trekant, der a og b er dens ben. La oss finne skjæringspunktene til den ønskede linjen med koordinataksene:
;
.
Altså A(-C/2,0), B(0,-C/5). La oss erstatte det med formelen for areal: . Vi får to løsninger: 2x + 5y + 10 = 0 og 2x + 5y – 10 = 0.

Eksempel nr. 3. Skriv en ligning for en linje som går gjennom punktet (-2; 5) og parallelt med linjen 5x-7y-4=0.
Løsning. Denne rette linjen kan representeres av ligningen y = 5 / 7 x – 4 / 7 (her a = 5 / 7). Ligningen til ønsket linje er y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), dvs. 7(y-5)=5(x+2) eller 5x-7y+45=0 .

Eksempel nr. 4. Etter å ha løst eksempel 3 (A=5, B=-7) ved hjelp av formel (2), finner vi 5(x+2)-7(y-5)=0.

Eksempel nr. 5. Skriv en ligning for en linje som går gjennom punktet (-2;5) og parallelt med linjen 7x+10=0.
Løsning. Her er A=7, B=0. Formel (2) gir 7(x+2)=0, dvs. x+2=0. Formel (1) er ikke aktuelt, siden denne ligningen ikke kan løses med hensyn til y (denne rette linjen er parallell med ordinataksen).

Egenskaper til en rett linje i euklidisk geometri.

Et uendelig antall rette linjer kan trekkes gjennom et hvilket som helst punkt.

Gjennom to ikke-sammenfallende punkter kan en enkelt rett linje trekkes.

To divergerende linjer i et plan enten krysser hverandre i et enkelt punkt eller er

parallell (følger av den forrige).

I tredimensjonalt rom er det tre alternativer for den relative plasseringen av to linjer:

linjer krysser hverandre;

linjer er parallelle;

rette linjer krysser hverandre.

Rett linje— algebraisk kurve av første orden: en rett linje i det kartesiske koordinatsystemet

er gitt på planet av en ligning av første grad (lineær ligning).

Generell ligning for en rett linje.

Definisjon. Enhver rett linje på planet kan spesifiseres med en førsteordens ligning

Axe + Wu + C = 0,

og konstant A, B er ikke lik null på samme tid. Denne førsteordensligningen kalles general

ligning av en rett linje. Avhengig av verdiene til konstantene A, B Og MED Følgende spesielle tilfeller er mulige:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- en rett linje går gjennom origo

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- rett linje parallelt med aksen Åh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- rett linje parallelt med aksen Åh

. B = C = 0, A ≠ 0- den rette linjen faller sammen med aksen Åh

. A = C = 0, B ≠ 0- den rette linjen faller sammen med aksen Åh

Ligningen til en rett linje kan presenteres i forskjellige former avhengig av hvilken som helst gitt

innledende forhold.

Ligning av en rett linje fra et punkt og en normalvektor.

Definisjon. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem, en vektor med komponenter (A, B)

vinkelrett på linjen gitt av ligningen

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en linje som går gjennom et punkt A(1, 2) vinkelrett på vektoren (3, -1).

Løsning. Med A = 3 og B = -1, la oss komponere ligningen for den rette linjen: 3x - y + C = 0. For å finne koeffisienten C

La oss erstatte koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket. Vi får derfor: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Totalt: den nødvendige ligningen: 3x - y - 1 = 0.

Ligning av en linje som går gjennom to punkter.

La to poeng gis i rom M 1 (x 1, y 1, z 1) Og M2 (x 2, y 2, z 2), Da ligning av en linje,

passerer gjennom disse punktene:

Hvis noen av nevnerne er null, skal den tilsvarende telleren settes lik null. På

planet, er ligningen til den rette linjen skrevet ovenfor forenklet:

Hvis x 1 ≠ x 2 Og x = x 1, Hvis x 1 = x 2 .

Brøk = k ringte skråning direkte.

Eksempel. Finn ligningen til linjen som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).

Løsning. Ved å bruke formelen skrevet ovenfor får vi:

Ligning av en rett linje ved hjelp av et punkt og en helning.

Hvis den generelle ligningen av linjen Axe + Wu + C = 0 føre til:

og utpeke , så kalles den resulterende ligningen

ligning av en rett linje med helning k.

Ligning av en rett linje fra et punkt og en retningsvektor.

I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom normalvektoren, kan du gå inn i oppgaven

en rett linje gjennom et punkt og en retningsvektor av en rett linje.

Definisjon. Hver vektor som ikke er null (α 1 , α 2), hvis komponenter tilfredsstiller betingelsen

Aα 1 + Bα 2 = 0 ringte retningsvektor for en rett linje.

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punktet A(1, 2).

Løsning. Vi vil se etter ligningen til ønsket linje i skjemaet: Axe + By + C = 0. I henhold til definisjonen,

koeffisienter må tilfredsstille følgende betingelser:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Da har ligningen for den rette linjen formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0.

på x = 1, y = 2 vi får C/A = -3, dvs. nødvendig ligning:

x + y - 3 = 0

Ligning av en rett linje i segmenter.

Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ах + Ву + С = 0 С≠0, så får vi, ved å dele med -С:

eller hvor

Den geometriske betydningen av koeffisientene er at koeffisienten a er koordinaten til skjæringspunktet

rett med akse Å, EN b- koordinat for skjæringspunktet mellom linjen og aksen Oh.

Eksempel. Den generelle ligningen for en rett linje er gitt x - y + 1 = 0. Finn ligningen til denne linjen i segmenter.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normal ligning av en linje.

Hvis begge sider av ligningen Axe + Wu + C = 0 dividere med tall som kalles

normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal ligning av en linje.

Tegnet ± for normaliseringsfaktoren må velges slik at μ*C< 0.

r- lengden på perpendikulæren falt fra origo til den rette linjen,

EN φ - vinkelen som dannes av denne perpendikulæren med den positive retningen til aksen Oh.

Eksempel. Den generelle ligningen for linjen er gitt 12x - 5y - 65 = 0. Nødvendig for å skrive forskjellige typer ligninger

denne rette linjen.

Ligningen til denne linjen i segmenter:

Ligningen til denne linjen med helningskoeffisienten: (del med 5)

Ligning av en linje:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer,

parallelt med aksene eller går gjennom origo.

Vinkelen mellom rette linjer på et plan.

Definisjon. Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, deretter den spisse vinkelen mellom disse linjene

vil bli definert som

To linjer er parallelle if k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette

Hvis k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Direkte Axe + Wu + C = 0 Og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallell når koeffisientene er proporsjonale

A 1 = λA, B 1 = λB. Hvis også С 1 = λС, da faller linjene sammen. Koordinater til skjæringspunktet mellom to linjer

finnes som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

Ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt linje.

Definisjon. Linje som går gjennom et punkt M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på linjen y = kx + b

representert ved ligningen:

Avstand fra et punkt til en linje.

Teorem. Hvis det gis et poeng M(x 0, y 0), deretter avstanden til den rette linjen Axe + Wu + C = 0 definert som:

Bevis. La poenget M 1 (x 1, y 1)- bunnen av en perpendikulær falt fra et punkt M for en gitt

direkte. Deretter avstanden mellom punktene M Og M 1:

(1)

Koordinater x 1 Og kl 1 kan finnes som en løsning på ligningssystemet:

Den andre ligningen i systemet er ligningen av en rett linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett

gitt rett linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:

Teoremet er bevist.

Ligning av en linje på et plan.

Som kjent er ethvert punkt på planet bestemt av to koordinater i et eller annet koordinatsystem. Koordinatsystemer kan være forskjellige avhengig av valg av grunnlag og opphav.

Definisjon. Linjeligning kalles forholdet y = f(x) mellom koordinatene til punktene som utgjør denne linjen.

Merk at ligningen til en linje kan uttrykkes parametrisk, det vil si at hver koordinat til hvert punkt uttrykkes gjennom en uavhengig parameter t.

Et typisk eksempel er banen til et bevegelig punkt. I dette tilfellet spilles parameterens rolle av tid.

Ligning av en rett linje på et plan.

Definisjon. Enhver rett linje på planet kan spesifiseres med en førsteordens ligning

Axe + Wu + C = 0,

Dessuten er ikke konstantene A og B lik null på samme tid, dvs. A 2 + B 2  0. Denne førsteordensligningen kalles generell ligning av en rett linje.

Avhengig av verdiene til konstantene A, B og C, er følgende spesielle tilfeller mulig:

C = 0, A  0, B  0 – den rette linjen går gjennom origo

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - rett linje parallelt med Ox-aksen

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – rett linje parallelt med Oy-aksen

B = C = 0, A  0 – den rette linjen faller sammen med Oy-aksen

A = C = 0, B  0 – den rette linjen faller sammen med okseaksen

Ligningen til en rett linje kan presenteres i forskjellige former avhengig av gitte startbetingelser.

Ligning av en rett linje fra et punkt og en normalvektor.

Definisjon. I det kartesiske rektangulære koordinatsystemet er en vektor med komponenter (A, B) vinkelrett på den rette linjen gitt av ligningen Ax + By + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til linjen som går gjennom punktet A(1, 2) vinkelrett på vektoren (3, -1).

Med A = 3 og B = -1, la oss komponere ligningen til den rette linjen: 3x – y + C = 0. For å finne koeffisienten C, erstatter vi koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket.

Vi får: 3 – 2 + C = 0, derfor C = -1.

Totalt: den nødvendige ligningen: 3x – y – 1 = 0.

Ligning av en linje som går gjennom to punkter.

La to punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2) gis i rommet, så er ligningen til linjen som går gjennom disse punktene:

Hvis noen av nevnerne er null, skal den tilsvarende telleren settes lik null.

På planet er ligningen til den rette linjen skrevet ovenfor forenklet:

hvis x 1  x 2 og x = x 1, hvis x 1 = x 2.

Brøk
=k kalles skråning direkte.

Eksempel. Finn ligningen til linjen som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).

Ved å bruke formelen skrevet ovenfor får vi:

Ligning av en rett linje ved hjelp av et punkt og en helning.

Hvis den generelle ligningen for den rette linjen Ax + By + C = 0 reduseres til formen:

og utpeke
, så kalles den resulterende ligningen ligning av en rett linje med helningk.

Ligning av en rett linje fra et punkt og en retningsvektor.

I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom en normalvektor, kan du angi definisjonen av en rett linje gjennom et punkt og retningsvektoren til den rette linjen.

Definisjon. Hver vektor som ikke er null ( 1,  2), komponentene som tilfredsstiller betingelsen A 1 + B 2 = 0 kalles retningsvektoren til linjen

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punkt A(1, 2).

Vi vil se etter ligningen til ønsket linje i formen: Ax + By + C = 0. I henhold til definisjonen skal koeffisientene tilfredsstille betingelsene:

1A + (-1)B = 0, dvs. A = B.

Da har ligningen til den rette linjen formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C/A = 0.

ved x = 1, y = 2 får vi C/A = -3, dvs. nødvendig ligning:

Ligning av en rett linje i segmenter.

Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ах + Ву + С = 0 С 0, så får vi, ved å dele med –С:
eller

, Hvor

Eksempel. Den generelle ligningen til linjen x – y + 1 = 0 er gitt. Finn ligningen til denne linjen i segmenter.

C = 1,
, a = -1, b = 1.

Normal ligning av en linje.

Hvis begge sider av ligningen Ax + By + C = 0 deles på tallet
som kalles normaliserende faktor, så får vi

xcos + ysin - p = 0 –

normal ligning av en linje.

Tegnet  til normaliseringsfaktoren må velges slik at С< 0.

p er lengden på perpendikulæren som faller fra origo til den rette linjen, og  er vinkelen som dannes av denne perpendikulæren med den positive retningen til okseaksen.

Eksempel. Den generelle ligningen til linjen 12x – 5y – 65 = 0 Det er nødvendig å skrive ulike typer ligninger for denne linjen.

ligningen for denne linjen i segmenter:

likning av denne linjen med helning: (del med 5)

normal ligning av en linje:

;

cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Eksempel. Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer parallelle med aksene eller som går gjennom origo for koordinater.

Den rette linjen avskjærer like positive segmenter på koordinataksene. Skriv en ligning for en rett linje hvis arealet av trekanten dannet av disse segmentene er 8 cm 2.
Ligningen for den rette linjen er:

a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 er ikke egnet i henhold til forholdene for problemet.
Total:

Eksempel. eller x + y – 4 = 0.

Den rette linjen avskjærer like positive segmenter på koordinataksene. Skriv en ligning for en rett linje hvis arealet av trekanten dannet av disse segmentene er 8 cm 2.
Skriv en likning for en rett linje som går gjennom punkt A(-2, -3) og origo.

hvor xl = y1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Definisjon. Vinkelen mellom rette linjer på et plan.

Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, vil den spisse vinkelen mellom disse linjene bli definert som

To linjer er parallelle hvis k 1 = k 2.

Teorem. To linjer er vinkelrette hvis k 1 = -1/k 2. 1 Direkte linjer Ax + Wu + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 =  = 0 er parallelle når koeffisientene A er proporsjonale 1 =  A, B 1 =  B. Hvis også C

C, så faller linjene sammen.

Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer er funnet som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt

Definisjon. vinkelrett på denne linjen.

En rett linje som går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på den rette linjen y = kx + b er representert ved ligningen:

Teorem. Avstand fra et punkt til en linje. 0 Hvis punktet M(x) er gitt 0 , y

Bevis. La punktet M 1 (x 1, y 1) være bunnen av en perpendikulær droppet fra punkt M til en gitt rett linje. Da er avstanden mellom punktene M og M 1:

Koordinatene x 1 og y 1 kan bli funnet ved å løse likningssystemet:

Den andre ligningen til systemet er ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett på en gitt linje.

Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:

Teoremet er bevist.

Eksempel. Bestem vinkelen mellom linjene: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;

Eksempel. = /4.

Vis at linjene 3x – 5y + 7 = 0 og 10x + 6y – 3 = 0 er vinkelrette.

Eksempel. Vi finner: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, derfor er linjene vinkelrette.

Oppgitt er toppunktene til trekanten A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Finn ligningen for høyden trukket fra toppunktet C.
Vi finner ligningen til siden AB:

;

4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0; Den nødvendige høydeligningen har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b.
k =
. Så y =
.

. Fordi høyden går gjennom punkt C, så tilfredsstiller koordinatene denne ligningen:

hvorav b = 17. Totalt:

Svar: 3x + 2y – 34 = 0.

Analytisk geometri i rommet.

Ligning av en linje i rommet.

Ligning av en linje i rommet gitt et punkt og retningsvektor. La oss ta en vilkårlig linje og en vektor (m, n, p), parallelt med den gitte linjen. Vektor direkte.

ringte

guidevektor

På den rette linjen tar vi to vilkårlige punkter M 0 (x 0 , y 0 , z 0) og M (x, y, z).

z M 1 La oss betegne radiusvektorene til disse punktene som - =
.

Og
M 1 , det er åpenbart at
= Fordi vektorer

er kollineære, så er relasjonen sann = + t, hvor t er en parameter.

Til sammen kan vi skrive: t..

Fordi denne ligningen er tilfredsstilt av koordinatene til ethvert punkt på linjen, så er den resulterende ligningen

parametrisk ligning for en linje

Definisjon. Denne vektorligningen kan representeres i koordinatform: Ved å transformere dette systemet og likestille verdiene til parameteren t, får vi de kanoniske ligningene til en rett linje i rommet: Retning kosinus

;

.

direkte er retningscosinusene til vektoren

, som kan beregnes ved hjelp av formlene: Herfra får vi: m: n: p = cos : cos : cos. Tallene m, n, p kalles vinkelkoeffisienter

direkte. Fordi

er en vektor som ikke er null, kan ikke m, n og p være lik null samtidig, men ett eller to av disse tallene kan være lik null. I dette tilfellet, i linjens ligning, skal de tilsvarende tellerne settes lik null.

Hvis vi på en rett linje i rommet markerer to vilkårlige punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2), så må koordinatene til disse punktene tilfredsstille rettlinjeligningen oppnådd ovenfor:

I tillegg, for punkt M 1 kan vi skrive:

Løser vi disse ligningene sammen får vi:

Dette er ligningen til en linje som går gjennom to punkter i rommet.

Generelle ligninger av en rett linje i rommet.

Ligningen til en rett linje kan betraktes som ligningen for skjæringslinjen mellom to plan.

Som diskutert ovenfor, kan et plan i vektorform spesifiseres av ligningen:

+ D = 0, hvor

- plan normal; - radius er vektoren til et vilkårlig punkt på planet.

Kanoniske ligninger av en linje i rommet er ligninger som definerer en linje som går gjennom et gitt punkt i linje med retningsvektoren.

La et punkt og en retningsvektor gis. Et vilkårlig punkt ligger på en linje l bare hvis vektorene og er kollineære, dvs. betingelsen er oppfylt for dem:

Ovennevnte ligninger er de kanoniske ligningene til den rette linjen.

Tall m , n Og s er projeksjoner av retningsvektoren på koordinataksene. Siden vektoren ikke er null, så er alle tall m , n Og s kan ikke samtidig være lik null. Men en eller to av dem kan vise seg å være null. I analytisk geometri, for eksempel, er følgende oppføring tillatt:

som betyr at projeksjonene av vektoren på aksen Oy Og Oz er lik null. Derfor er både vektoren og linjen definert av de kanoniske ligningene vinkelrett på aksene Oy Og Oz, dvs. fly yOz .

Eksempel 1. Skriv ligninger for en linje i rommet vinkelrett på et plan og passerer gjennom skjæringspunktet for dette planet med aksen Oz .

Løsning. La oss finne skjæringspunktet mellom dette planet og aksen Oz. Siden ethvert punkt ligger på aksen Oz, har koordinater , da, forutsatt i den gitte ligningen av planet x = y = 0, vi får 4 z- 8 = 0 eller z= 2. Derfor skjæringspunktet for dette planet med aksen Oz har koordinater (0; 0; 2) . Siden den ønskede linjen er vinkelrett på planet, er den parallell med normalvektoren. Derfor kan retningsvektoren til den rette linjen være normalvektoren gitt fly.

La oss nå skrive ned de nødvendige ligningene for en rett linje som går gjennom et punkt EN= (0; 0; 2) i retning av vektoren:

Ligninger av en linje som går gjennom to gitte punkter

En rett linje kan defineres av to punkter som ligger på den Og I dette tilfellet kan retningsvektoren til den rette linjen være vektoren. Deretter tar de kanoniske ligningene til linjen formen

Ligningene ovenfor bestemmer en linje som går gjennom to gitte punkter.

Eksempel 2. Skriv en ligning for en linje i rommet som går gjennom punktene og .

Løsning. La oss skrive ned de nødvendige rettlinjede ligningene i formen gitt ovenfor i den teoretiske referansen:

Siden er den ønskede rette linjen vinkelrett på aksen Oy .

Rett som skjæringslinjen mellom fly

En rett linje i rommet kan defineres som skjæringslinjen mellom to ikke-parallelle plan, dvs. som et sett med punkter som tilfredsstiller et system med to lineære ligninger

Likningene til systemet kalles også de generelle ligningene til en rett linje i rommet.

Eksempel 3. Komponer kanoniske ligninger av en linje i rommet gitt av generelle ligninger

Løsning. For å skrive de kanoniske likningene til en linje eller, hva er det samme, likningene til en linje som går gjennom to gitte punkter, må du finne koordinatene til to punkter på linjen. De kan for eksempel være skjæringspunktene for en rett linje med hvilke som helst to koordinatplan yOz Og xOz .

Skjæringspunktet mellom en linje og et plan yOz har abscisse x= 0 . Derfor, forutsatt i dette likningssystemet x= 0, får vi et system med to variabler:

Hennes avgjørelse y = 2 , z= 6 sammen med x= 0 definerer et punkt EN(0; 2; 6) ønsket linje. Deretter antar i det gitte likningssystemet y= 0, får vi systemet

Hennes avgjørelse x = -2 , z= 0 sammen med y= 0 definerer et punkt B(-2; 0; 0) skjæring av en linje med et plan xOz .

La oss nå skrive ned ligningene til linjen som går gjennom punktene EN(0; 2; 6) og B (-2; 0; 0) :

eller etter å ha dividert nevnerne med -2: