Finn en vektor som er vinkelrett på vektorene. Finne en vektor vinkelrett på en gitt vektor, eksempler og løsninger

Instruksjon

Hvis den opprinnelige vektoren er vist på tegningen i et rektangulært todimensjonalt koordinatsystem og en vinkelrett må bygges på samme sted, fortsett fra definisjonen av vinkelrett på vektorer på et plan. Den sier at vinkelen mellom et slikt par rettede segmenter må være lik 90°. Det er mulig å konstruere et uendelig antall slike vektorer. Så tegn inn noen beleilig plass plan vinkelrett på den opprinnelige vektoren, sett til side et segment på den, lik lengden gitt ordnet par med punkter og tilordne en av endene som begynnelsen på en vinkelrett vektor. Gjør dette med en gradskive og en linjal.

Hvis den opprinnelige vektoren er gitt av todimensjonale koordinater ā = (X₁;Y₁), fortsett fra det faktum at skalært produkt par av vinkelrette vektorer må være lik null. Dette betyr at du må velge for ønsket vektor ō = (X₂,Y₂) slike koordinater der likheten (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 vil holde. Dette kan gjøres slik: velg enhver verdi som ikke er null for X₂-koordinaten, og beregn Y₂-koordinaten ved å bruke formelen Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. For eksempel, for en vektor ā = (15;5) vil det være en vektor ō, med en abscisse, lik en, og ordinaten lik -(15*1)/5 = -3, dvs. ō = (1;-3).

For et tredimensjonalt og ethvert annet ortogonalt koordinatsystem er den samme nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for vinkelrett på vektorer sann - deres skalarprodukt må være lik null. Derfor, hvis det opprinnelige rettede segmentet er gitt av koordinatene ā = (X₁,Y₁,Z₁), for det ordnede paret med punkter ō = (X₂,Y₂,Z₂) vinkelrett på det, velg slike koordinater som tilfredsstiller betingelsen (ā ,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Den enkleste måten er å tilordne enkeltverdier til X₂ og Y₂, og beregne Z₂ fra den forenklede ligningen Z₂ = -1*(X₁*1 + Y1*1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. For eksempel, for vektoren ā = (3,5,4) vil dette ha følgende form: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Ta så abscissen og ordinaten til vinkelrett vektor som enhet, og vil i dette tilfellet være lik -(3+5)/4 = -2.

Kilder:

• finn vektor hvis den er vinkelrett

Perpendikulær kalles vektor, vinkelen mellom disse er 90º. Vinkelrette vektorer bygges ved hjelp av tegneverktøy. Hvis koordinatene deres er kjent, kan du sjekke eller finne vinkelrettigheten til vektorene analytiske metoder.

Du vil trenge

• - gradskive;
• - kompass;
• - Hersker.

Instruksjon

Konstruer en vektor vinkelrett på den gitte. For å gjøre dette, på punktet som er begynnelsen av vektoren, gjenopprett vinkelrett på den. Dette kan gjøres med en gradskive, og sett til side en 90º vinkel. Hvis det ikke er noen gradskive, lag det med et kompass.

Sett den til startpunktet til vektoren. Tegn en sirkel med en vilkårlig radius. Bygg så to sentrert i punktene der den første sirkelen skjærer linjen som vektoren ligger på. Radiene til disse sirklene må være lik hverandre og større enn den første konstruerte sirkelen. Ved skjæringspunktene til sirklene, konstruer en rett linje som vil være vinkelrett på den opprinnelige vektoren ved begynnelsen, og sett til side på den en vektor vinkelrett på den gitte.

Enhetsvektoren er: , hvor er modulen til vektoren.

Svar:
.

Merk. Koordinatene til enhetsvektoren må ikke være større enn én.

6.3. Finn lengden og retningens cosinus til en vektor . Sammenlign med svaret i forrige avsnitt. Trekk dine egne konklusjoner.

Lengden til en vektor er dens modul:

Og vi kan finne retningskosinusene ved å bruke formelen til en av måtene å spesifisere vektorer på:

Av det vi har fått fram ser vi at retningscosinusene er koordinatene til enhetsvektoren.

Svar:
,
,
,
.

6.4. Finne
.

Det er nødvendig å utføre operasjonene for multiplikasjon av en vektor med et tall, addisjon og modul.

Vi multipliserer koordinatene til vektorene med et tall ledd for ledd.

Vi legger til koordinatene til vektorene ledd for ledd.

Finn modulen til vektoren.

Svar:

6.5. Bestem vektorkoordinater
, kollineært til vektoren , vet det
og den er rettet i retning motsatt av vektoren .

Vektor kolineært til vektoren , så dens enhetsvektor er lik enhetsvektoren bare med et minustegn, fordi rettet i motsatt retning.

En enhetsvektor har lengden 1, som betyr at hvis den multipliseres med 5, vil lengden være lik fem.

Vi finner

Svar:

6.6. Beregn prikkprodukter
og
. Er vektorene vinkelrette og ,og seg imellom?

La oss utføre skalarproduktet av vektorer.

Hvis vektorene er vinkelrette, er punktproduktet deres null.

Vi ser at i vårt tilfelle vektorene og er vinkelrett.

Svar:
,
, er vektorene ikke vinkelrette.

Merk. Den geometriske betydningen av skalarproduktet er til liten nytte i praksis, men eksisterer fortsatt. Resultatet av en slik handling kan avbildes og beregnes geometrisk.

6.7. Finn en jobb gjort materiell poeng som kraften påføres
, når du flytter den fra punkt B til punkt C.

Den fysiske betydningen av skalarproduktet er arbeid. Kraft vektor her , er forskyvningsvektoren
. Og produktet av disse vektorene vil være det ønskede arbeidet.

Finne en jobb

6.8. Finn innvendig hjørne ved toppunktet EN og ytre hjørne øverst C triangel ABC .

Fra definisjonen, skalarproduktet av vektorer, får vi formelen for å finne vinkelen: .

PÅ
vi vil se etter den indre vinkelen som vinkelen mellom vektorer som kommer ut av ett punkt.

For å finne det ytre hjørnet må du kombinere vektorene slik at de kommer ut av samme punkt. Figuren forklarer dette.

Det er verdt å merke seg det
, har bare forskjellige startkoordinater.

Finne de nødvendige vektorene og vinklene

Svar: indre hjørne ved toppunktet A \u003d , utvendig hjørne ved toppunkt B = .

6.9. Finn projeksjoner av vektorer: og

Tilbakekall vektor-orter:
,
,
.

Fremskrivningen er også funnet fra skalarproduktet

-projeksjon b på en.

Tidligere innhentet av oss vektorer

,
,

Finne en projeksjon

Finner den andre projeksjonen

Svar:
,

Merk. Minustegnet når man finner projeksjonen betyr at projeksjonen ikke faller på selve vektoren, men i motsatt retning, på linjen denne vektoren ligger på.

6.10. Regne ut
.

Utfør kryssproduktet av vektorer

La oss finne modulen

Vi finner sinusen til vinkelen mellom vektorer fra definisjonen av vektorproduktet til vektorer

Svar:
,
,
.

6.11. Finn arealet av en trekant ABC og lengden på høyden pubescent fra punkt C.

Den geometriske betydningen av modulen til kryssproduktet er at det er området til parallellogrammet dannet av disse vektorene. Arealet av en trekant er lik halvparten av arealet til et parallellogram.

Arealet til en trekant kan også finnes som produktet av høyden ganger basen delt på to, hvorfra du kan utlede formelen for å finne høyden.

Dermed finner vi høyden

Svar:
,
.

6.12. Finn enhetsvektor vinkelrett på vektorer og .

Resultatet av punktproduktet er en vektor som er vinkelrett på de to opprinnelige. En enhetsvektor er en vektor delt på lengden.

Tidligere har vi funnet:

,

Svar:
.

6.13. Bestem størrelsen og retningens cosinus for kraftmomentet
brukt på A med hensyn til punkt C.

Den fysiske betydningen av vektorproduktet er kraftmomentet. La oss gi en illustrasjon for denne oppgaven.

Å finne kraftens øyeblikk

Svar:
.

6.14. Lyver vektorer ,og i samme fly? Kan disse vektorene danne grunnlag for rom? Hvorfor? Hvis mulig, utvide vektoren i dette grunnlaget
.

For å sjekke om vektorene ligger i samme plan, er det nødvendig å utføre det blandede produktet av disse vektorene.

Det blandede produktet er ikke lik null, derfor ligger ikke vektorene i samme plan (ikke koplanar) og kan danne en basis. La oss dekomponere på dette grunnlaget.

Vi utvider i grunnlaget ved å løse ligningen

Svar: Vektorer ,og ikke ligg i samme plan.
.

6.15. Finne
. Hva er volumet til pyramiden med toppunktene A, B, C, D og dens høyde senket fra punkt A til basen BCD.

G den geometriske betydningen av det blandede produktet er at det er volumet til parallellepipedet som dannes av disse vektorene.

Volumet av pyramiden er seks ganger mindre enn volumet til parallellepipedet.

Volumet av pyramiden kan også bli funnet slik:

Få formelen for å finne høyden

Finne høyden

Svar: volum = 2,5, høyde = .

6.16. Regne ut
og
.

Vi inviterer deg til å tenke på denne oppgaven selv.

- La oss gjøre jobben.

Tidligere mottatt

Svar:
.

6.17. Regne ut

La oss gjøre det steg for steg

3)

Vi oppsummerer de oppnådde verdiene

Svar:
.

6.18. Finn vektor
, vel vitende om at den er vinkelrett på vektorene og , og dens projeksjon på vektoren tilsvarer 5.

La oss dele dette problemet inn i to deloppgaver.

1) Finn en vektor vinkelrett på vektorene og vilkårlig lengde.

Vi vil få en vinkelrett vektor som et resultat av kryssproduktet

Tidligere har vi funnet:

Den ønskede vektoren skiller seg bare i lengde, fra den oppnådde

2) Finn gjennom ligningen

6.19. Finn vektor
, som tilfredsstiller betingelsene
,
,
.

La oss vurdere disse forholdene mer detaljert.

Dette er et system av lineære ligninger. La oss lage og løse dette systemet.

Svar:

6.20. Bestem koordinatene til en vektor
, koplanar med vektorer og , og vinkelrett på vektoren
.

I denne oppgaven er det to forhold: vektorene er koplanære og vinkelrette, vi oppfyller først den første betingelsen, og deretter den andre.

1) Hvis vektorene er koplanare, er deres blandede produkt null.

Herfra får vi en viss avhengighet av koordinatene til vektoren

La oss finne vektoren .

2) Hvis vektorene er vinkelrette, så er deres skalarprodukt null

Vi har fått den andre avhengigheten av koordinatene til den ønskede vektoren

For enhver verdi vektoren vil tilfredsstille betingelsene. Erstatning
.

Svar:
.

Analytisk geometri

Denne artikkelen avslører betydningen av perpendikulæriteten til to vektorer på et plan i tredimensjonalt rom og å finne koordinatene til en vektor vinkelrett på en eller et helt par av vektorer. Emnet er anvendelig på problemer knyttet til likningene av linjer og plan.

Vi vil vurdere den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for at to vektorer skal være vinkelrette, bestemme metoden for å finne en vektor vinkelrett på en gitt, og berøre situasjoner for å finne en vektor som er vinkelrett på to vektorer.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at to vektorer skal være vinkelrette

La oss bruke regelen om vinkelrette vektorer på planet og i tredimensjonalt rom.

Definisjon 1

Gitt verdien av vinkelen mellom to ikke-null vektorer lik 90 ° (π 2 radianer) kalles vinkelrett.

Hva betyr dette, og i hvilke situasjoner er det nødvendig å vite om deres vinkelrett?

Etablering av vinkelrett er mulig gjennom tegningen. Når du plotter en vektor på et plan fra gitt poeng man kan geometrisk måle vinkelen mellom dem. Vinkelvinkelen til vektorene, hvis den er etablert, er ikke helt nøyaktig. Oftest lar disse oppgavene deg derfor ikke gjøre dette med en gradskive denne metoden gjelder bare når ingenting annet er kjent om vektorene.

De fleste tilfeller av å bevise vinkelrettheten til to vektorer som ikke er null på et plan eller i rommet, gjøres ved å bruke nødvendig og tilstrekkelig betingelse for perpendikularitet av to vektorer.

Teorem 1

Skalarproduktet av to ikke-null vektorer a → og b → lik null for å oppfylle likheten a → , b → = 0 er tilstrekkelig for deres perpendikularitet.

Bevis 1

La de gitte vektorene a → og b → være vinkelrette, så vil vi bevise likheten a ⇀ , b → = 0 .

Fra definisjonen av prikkprodukt av vektorer vi vet at det er lik produktet av lengdene til gitte vektorer og cosinus til vinkelen mellom dem. Ved betingelse er a → og b → vinkelrette, og derfor, basert på definisjonen, er vinkelen mellom dem 90 °. Da har vi a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

Den andre delen av beviset

Under betingelsen når a ⇀ , b → = 0 beviser perpendikulariteten til a → og b → .

Faktisk er beviset det motsatte av det forrige. Det er kjent at a → og b → ikke er null, så fra likheten a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ finner vi cosinus. Da får vi cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Siden cosinus er null, kan vi konkludere med at vinkelen a → , b → ^ til vektorene a → og b → er 90 ° . Per definisjon er dette en nødvendig og tilstrekkelig egenskap.

Vinkelrett tilstand på koordinatplanet

Kapittel prikk produkt i koordinater viser ulikheten (a → , b →) = a x b x + a y b y , gyldig for vektorer med koordinater a → = (a x , a y) og b → = (b x , b y) , på planet og (a → , b → ) = a x b x + a y b y for vektorene a → = (a x , a y , a z) og b → = (b x , b y , b z) i rommet. En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at to vektorer skal være vinkelrett inn koordinatplan har formen a x b x + a y b y = 0 , for tredimensjonalt rom a x b x + a y b y + a z b z = 0 .

La oss sette det i praksis og se på eksempler.

Eksempel 1

Sjekk egenskapen til perpendikularitet til to vektorer a → = (2 , - 3), b → = (- 6 , - 4) .

Løsning

For å løse dette problemet må du finne det skalære produktet. Hvis den etter betingelse vil være lik null, så er de vinkelrett.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . Betingelsen er oppfylt, som betyr at de gitte vektorene er vinkelrett på planet.

Svar: ja, de gitte vektorene a → og b → er vinkelrette.

Eksempel 2

Gitt koordinatvektorer i → , j → , k → . Sjekk om vektorene i → - j → og i → + 2 j → + 2 k → kan være vinkelrette.

Løsning

For å huske hvordan koordinatene til en vektor bestemmes, må du lese en artikkel om vektorkoordinater i rektangulært system koordinater. Dermed får vi at de gitte vektorene i → - j → og i → + 2 j → + 2 k → har de tilsvarende koordinatene (1, - 1, 0) og (1, 2, 2) . Erstatning numeriske verdier og vi får: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

Uttrykket er ikke null, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0 , som betyr at vektorene i → - j → og i → + 2 j → + 2 k → ikke er vinkelrett fordi betingelsen ikke er oppfylt.

Svar: nei, vektorene i → - j → og i → + 2 j → + 2 k → er ikke vinkelrett.

Eksempel 3

Gitt vektorene a → = (1 , 0 , - 2) og b → = (λ , 5 , 1) . Finn verdien λ som de gitte vektorene er vinkelrett på.

Løsning

Vi bruker betingelsen for perpendikularitet til to vektorer i rommet i firkantet form, så får vi

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Svar: vektorene er vinkelrette ved verdien λ = 2.

Det er tilfeller når spørsmålet om vinkelrett er umulig selv med de nødvendige og tilstrekkelig tilstand. Med kjente data på de tre sidene av en trekant på to vektorer er det mulig å finne vinkel mellom vektorer og sjekk det ut.

Eksempel 4

Gitt en trekant A B C med sidene A B \u003d 8, A C \u003d 6, B C \u003d 10 cm. Sjekk vektorene A B → og A C → for vinkelrett.

Løsning

Når vektorene A B → og A C → er vinkelrette, anses trekanten A B C som rektangulær. Deretter bruker vi Pythagoras teorem, der BC er hypotenusen til trekanten. Likheten B C 2 = A B 2 + A C 2 må være tilfredsstilt. Det følger at 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Derfor er A B og A C bena til trekanten A B C, derfor er A B → og A C → vinkelrette.

Det er viktig å lære å finne koordinatene til en vektor vinkelrett på en gitt. Dette er mulig både på planet og i rommet, forutsatt at vektorene er vinkelrette.

Finne en vektor vinkelrett på en gitt i et plan.

En ikke-null vektor a → kan ha et uendelig antall vinkelrette vektorer i planet. La oss representere det på koordinatlinjen.

En ikke-null vektor a → , som ligger på linjen a, er gitt. Da blir den gitte b → , plassert på en hvilken som helst linje vinkelrett på linjen a, vinkelrett og a → . Hvis vektoren j → eller noen av vektorene λ j → er vinkelrett på vektoren i → med λ lik enhver ekte nummer unntatt null, så reduseres det å finne koordinatene til vektoren b → vinkelrett på a → = (a x , a y) til et uendelig sett med løsninger. Men det er nødvendig å finne koordinatene til vektoren vinkelrett på a → = (a x , a y) . For å gjøre dette er det nødvendig å skrive ned tilstanden for vinkelrett til vektorer i følgende form a x · b x + a y · b y = 0 . Vi har b x og b y , som er de ønskede koordinatene til den perpendikulære vektoren. Når a x ≠ 0 , er verdien av b y ikke null og b x beregnes fra ulikheten a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x . Når a x = 0 og a y ≠ 0, tildeler vi b x enhver annen verdi enn null, og b y finnes fra uttrykket b y = - a x · b x a y .

Eksempel 5

Gitt en vektor med koordinater a → = (- 2 , 2) . Finn en vektor vinkelrett på den gitte.

Løsning

Angi ønsket vektor som b → (b x , b y) . Du kan finne dens koordinater fra betingelsen om at vektorene a → og b → er vinkelrett. Da får vi: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Tilordne b y = 1 og erstatte: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . Derfor får vi fra formelen b x = - 2 - 2 = 1 2 . Derfor er vektoren b → = (1 2 , 1) en vektor vinkelrett på a → .

Svar: b → = (1 2, 1) .

Hvis spørsmålet om tredimensjonalt rom reises, løses problemet etter samme prinsipp. For en gitt vektor a → = (a x , a y , a z) eksisterer det uendelig sett vinkelrette vektorer. Skal fikse det på koordinaten tredimensjonalt plan. Gitt en → liggende på linjen a . Planet vinkelrett på den rette linjen a er betegnet med α. I dette tilfellet er enhver ikke-null vektor b → fra planet α vinkelrett på a → .

Det er nødvendig å finne koordinatene b → vinkelrett på vektoren som ikke er null a → = (a x , a y , a z) .

La b → gis med koordinatene b x , b y og b z . For å finne dem er det nødvendig å bruke definisjonen av tilstanden for vinkelretthet til to vektorer. Likheten a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 må holde. Fra betingelsen a → - ikke-null, som betyr at en av koordinatene har en verdi som ikke er lik null. Anta at a x ≠ 0 , (a y ≠ 0 eller a z ≠ 0). Derfor har vi rett til å dele hele ulikheten a x b x + a y b y + a z b z = 0 med denne koordinaten, vi får uttrykket b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x . Vi tildeler en hvilken som helst verdi til koordinatene b y og b x , beregner verdien b x , basert på formelen b x = - a y · b y + a z · b z a x . Den ønskede perpendikulære vektoren vil ha verdien a → = (a x , a y , a z) .

La oss se på beviset med et eksempel.

Eksempel 6

Gitt en vektor med koordinater a → = (1 , 2 , 3) ​​  . Finn en vektor vinkelrett på den gitte.

Løsning

Angi ønsket vektor som b → = (b x , b y , b z) . Ut fra betingelsen om at vektorene er vinkelrette, må skalarproduktet være lik null.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Hvis verdien b y = 1 , b z = 1 , så er b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . Det følger at koordinatene til vektoren b → (- 5 , 1 , 1) . Vektoren b → er en av de vinkelrette vektorene til den gitte.

Svar: b → = (-5, 1, 1).

Finne koordinatene til en vektor vinkelrett på to gitte vektorer

Du må finne koordinatene til vektoren i tredimensjonalt rom. Den er vinkelrett på de ikke-kollineære vektorene a → (a x , a y , a z) og b → = (b x , b y , b z) . Under forutsetning av at vektorene a → og b → er kollineære, vil det i oppgaven være nok å finne en vektor vinkelrett på a → eller b → .

Ved løsning brukes begrepet et vektorprodukt av vektorer.

Kryssprodukt av vektorer a → og b → er en vektor som samtidig er vinkelrett på både a → og b → . For å løse dette problemet brukes vektorproduktet a → × b →. For tredimensjonalt rom har det formen a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

La oss analysere vektorproduktet mer detaljert ved å bruke eksemplet på problemet.

Eksempel 7

Vektorene b → = (0 , 2 , 3) ​​og a → = (2 , 1 , 0) er gitt. Finn koordinatene til en hvilken som helst vinkelrett vektor på dataene samtidig.

Løsning

For å løse må du finne kryssproduktet til vektorer. (Må henvise til avsnitt matrisedeterminantberegninger for å finne vektoren). Vi får:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Svar: (3 , - 6 , 4) - koordinater til en vektor som samtidig er vinkelrett på gitt a → og b → .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

I avsnittet om spørsmålet finner du en vektor vinkelrett på to gitte vektorer gitt av forfatteren Anna Afanasyeva det beste svaret er en vektor vinkelrett på to ikke parallelle vektorer er funnet som deres vektorprodukt ahb, for å finne det må du lage en determinant, den første linjen vil bestå av enhetsvektorer I, j, k, den andre er fra koordinatene til vektoren a, den tredje er fra koordinatene til vektoren c. Determinanten anses å være en utvidelse langs den første linjen, i ditt tilfelle vil det vise seg axb=20i-10k, eller axb=(20,0,-10).

Svar fra 22 svar[guru]

Hallo! Her er et utvalg av emner med svar på spørsmålet ditt: finn en vektor vinkelrett på to gitte vektorer

Svar fra Tøye ut[nybegynner]
En vektor vinkelrett på to ikke-parallelle vektorer finnes som deres kryssprodukt ahb, for å finne den må du lage en determinant, den første raden vil bestå av enhet vektorer I,j,k, den andre er fra koordinatene til vektoren a, den tredje er fra koordinatene til vektoren c. Determinanten anses å være en utvidelse langs den første linjen, i ditt tilfelle vil det vise seg axb=20i-10k, eller axb=(20,0,-10).

Svar fra HAYKA[guru]
Bestem deg omtrent slik; Men les den selv først! !
Regn ut punktproduktet til vektorene d og r hvis d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Modulen til vektor a er 4, modulen til vektor b er 6. Vinkelen mellom vektorene a og b er 60 grader, vektoren c er vinkelrett på vektorene a og b.
Punktene E og F ligger henholdsvis på sidene AD og BC til parallellogrammet ABCD, med AE=ED, BF: FC = 4: 3. a) Uttrykk vektoren EF i form av vektorer m = vektor AB og vektor n = vektor AD . b) Kan vektoren EF = x multipliseres med vektoren CD for en verdi av x? .

ohm. For å gjøre dette introduserer vi først konseptet med et segment.

Definisjon 1

Et segment er en del av en rett linje som er avgrenset av punkter på begge sider.

Definisjon 2

Endene av segmentet vil bli kalt punktene som begrenser det.

For å introdusere definisjonen av en vektor, vil en av endene av segmentet kalles begynnelsen.

Definisjon 3

Vi vil kalle en vektor (rettet segment) et slikt segment, hvor det er angitt hvilket grensepunkt som er begynnelsen og hvilket som er slutten.

Notasjon: \overline(AB) - vektor AB , som starter ved punkt A og slutter ved punkt B .

Ellers med en liten bokstav: \overline(a) (fig. 1).

Definisjon 4

Nullvektor er et hvilket som helst punkt som tilhører planet.

Betegnelse: \overline(0) .

Vi introduserer nå direkte definisjonen kollineære vektorer.

Vi introduserer også definisjonen av skalarproduktet, som vi trenger nedenfor.

Definisjon 6

Skalarproduktet av to gitte vektorer er en skalar (eller tall) som er lik produktet av lengdene til disse to vektorene med cosinus til vinkelen mellom de gitte vektorene.

Matematisk kan det se slik ut:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

Punktproduktet kan også finnes ved å bruke koordinatene til vektorene som følger

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Tegn på vinkelrett gjennom proporsjonalitet

Teorem 1

For at vektorer som ikke er null skal være vinkelrette på hverandre, er det nødvendig og tilstrekkelig at deres skalarprodukt av disse vektorene er lik null.

Bevis.

Behov: La oss gi vektorene \overline(α) og \overline(β) , som har henholdsvis koordinater (α_1,α_2,α_3) og (β_1,β_2,β_3), og de står vinkelrett på hverandre. Da må vi bevise følgende likhet

Siden vektorene \overline(α) og \overline(β) er vinkelrette, er vinkelen mellom dem 90^0 . La oss finne skalarproduktet til disse vektorene ved å bruke formelen fra definisjon 6.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

Tilstrekkelighet: La likhet være sann \overline(α)\cdot \overline(β)=0. La oss bevise at vektorene \overline(α) og \overline(β) vil være vinkelrett på hverandre.

Per definisjon 6 vil likheten være sann

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overlinje(α),\overlinje(β))=0

∠(\overlinje(α),\overlinje(β))=90^\circ

Derfor vil vektorene \overline(α) og \overline(β) være vinkelrett på hverandre.

Teoremet er bevist.

Eksempel 1

Bevis at vektorene med koordinatene (1,-5,2) og (2,1,3/2) er vinkelrette.

Bevis.

La oss finne punktproduktet for disse vektorene gjennom formelen gitt ovenfor

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

Derfor, ved teorem 1, er disse vektorene vinkelrette.

Finne en vinkelrett vektor til to gitte vektorer gjennom kryssproduktet

La oss først introdusere konseptet med et vektorprodukt.

Definisjon 7

Vektorproduktet av to vektorer vil bli kalt en vektor som vil være vinkelrett på begge gitte vektorer, og lengden vil være lik produktet av lengdene til disse vektorene med sinusen til vinkelen mellom disse vektorene, og denne vektoren med to innledende har samme orientering som kartesisk system koordinater.

Betegnelse: \overline(α)x\overline(β)x.

For å finne vektorproduktet skal vi bruke formelen

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

Siden vektoren til kryssproduktet av to vektorer er vinkelrett på begge disse vektorene, vil den være en kravvektor. Det vil si at for å finne en vektor vinkelrett på to vektorer, trenger du bare å finne deres kryssprodukt.

Eksempel 2

Finn vektor vinkelrett på vektorer med koordinater \overline(α)=(1,2,3) og \overline(β)=(-1,0,3)

Finn kryssproduktet til disse vektorene.

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x