Finn sannsynligheten for den angitte hendelsen ved å bruke Bernoulli-formelen. Bernoulli-opplegg

La oss ikke tenke på de høye tingene på lenge - la oss starte med en gang med definisjonen.

- dette er når n identiske uavhengige eksperimenter utføres, i hver av dem kan hendelsen A av interesse for oss vises, og sannsynligheten for denne hendelsen P(A) = p er kjent. Vi må bestemme sannsynligheten for at hendelse A etter n forsøk vil inntreffe nøyaktig k ganger.

Problemene som kan løses ved hjelp av Bernoullis opplegg er ekstremt varierte: fra enkle (for eksempel "finn sannsynligheten for at skytteren vil treffe 1 gang av 10") til svært alvorlige (for eksempel problemer med prosenter eller spillekort) . I virkeligheten brukes denne ordningen ofte til å løse problemer knyttet til overvåking av kvaliteten på produktene og påliteligheten til ulike mekanismer, hvis alle egenskapene må være kjent før du starter arbeidet.

La oss gå tilbake til definisjonen. Siden vi snakker om uavhengige forsøk, og i hver prøvelse sannsynligheten for hendelse A er den samme, er bare to utfall mulig:

A er forekomsten av hendelse A med sannsynlighet p;
"ikke A" - hendelse A dukket ikke opp, noe som skjer med sannsynlighet q = 1 − p.

Den viktigste betingelsen, uten hvilken Bernoullis opplegg mister sin mening, er konstans. Uansett hvor mange eksperimenter vi utfører, er vi interessert i den samme hendelsen A, som inntreffer med samme sannsynlighet p.

For øvrig er ikke alle problemer i sannsynlighetsteori redusert til konstante forhold. Enhver kompetent høyere matematikkveileder vil fortelle deg om dette. Selv noe så enkelt som å ta fargerike baller ut av en boks er ikke en opplevelse med konstante forhold. De tok ut en ny ball - fargeforholdet i boksen endret seg. Følgelig har også sannsynlighetene endret seg.

Hvis betingelsene er konstante, kan vi nøyaktig bestemme sannsynligheten for at hendelse A vil inntreffe nøyaktig k ganger ut av n mulige. La oss formulere dette faktum i form av et teorem:

La sannsynligheten for forekomst av hendelse A i hvert eksperiment være konstant og lik p. Deretter beregnes sannsynligheten for at hendelse A vil dukke opp nøyaktig k ganger i n uavhengige forsøk med formelen:

hvor C n k er antall kombinasjoner, q = 1 − p.

Denne formelen kalles:. Det er interessant å merke seg at problemene gitt nedenfor kan løses fullstendig uten å bruke denne formelen. Du kan for eksempel bruke formlene for å legge til sannsynligheter. Mengden av beregninger vil imidlertid ganske enkelt være urealistisk.

Oppgave. Sannsynligheten for å produsere et defekt produkt på en maskin er 0,2. Bestem sannsynligheten for at i et parti på ti deler produsert på denne maskinen vil nøyaktig k deler være uten defekter. Løs oppgaven for k = 0, 1, 10.

I henhold til betingelsen er vi interessert i tilfelle A med frigjøring av produkter uten defekter, som skjer hver gang med sannsynlighet p = 1 − 0,2 = 0,8. Vi må bestemme sannsynligheten for at denne hendelsen vil inntreffe k ganger. Hendelse A kontrasteres med hendelsen "ikke A", dvs. frigivelse av et defekt produkt.

Dermed har vi: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Så vi finner sannsynligheten for at alle delene i en batch er defekte (k = 0), at det bare er én del uten defekter (k = 1), og at det ikke er noen defekte deler i det hele tatt (k = 10):

Oppgave. Mynten kastes 6 ganger. Det er like sannsynlig å lande et våpenskjold og hoder. Finn sannsynligheten for at:

våpenskjoldet vises tre ganger;

våpenskjoldet vises en gang;

våpenskjoldet vises minst to ganger.

Så vi er interessert i hendelse A, når våpenskjoldet faller ut. Sannsynligheten for denne hendelsen er p = 0,5. Hendelse A kontrasteres med hendelsen "ikke A", når resultatet er hoder, som skjer med sannsynlighet q = 1 − 0,5 = 0,5. Vi må bestemme sannsynligheten for at våpenskjoldet vises k ganger.

Dermed har vi: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

La oss bestemme sannsynligheten for at våpenskjoldet er tegnet tre ganger, dvs. k = 3:

La oss nå bestemme sannsynligheten for at våpenskjoldet bare kom opp én gang, dvs. k = 1:

Det gjenstår å bestemme med hvilken sannsynlighet våpenskjoldet vil vises minst to ganger. Hovedfangsten er i uttrykket "ikke mindre." Det viser seg at enhver k unntatt 0 og 1 vil passe oss, dvs. vi må finne verdien av summen X = P 6 (2) + P 6 (3) + … + P 6 (6).

Merk at denne summen også er lik (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), dvs. Fra alle mulige alternativer er det nok å "klippe ut" de når våpenskjoldet falt ut 1 gang (k = 1) eller ikke dukket opp i det hele tatt (k = 0). Siden vi allerede kjenner P 6 (1), gjenstår det å finne P 6 (0):

Oppgave. Sannsynligheten for at TV-en har skjulte feil er 0,2. 20 TV-er ankom lageret. Hvilken hendelse er mer sannsynlig: at det i denne gruppen er to TV-apparater med skjulte defekter eller tre?

Hendelse av interesse A er tilstedeværelsen av en latent defekt. Det er n = 20 TV-er totalt, sannsynligheten for en skjult defekt er p = 0,2. Følgelig er sannsynligheten for å motta en TV uten en skjult defekt q = 1 − 0,2 = 0,8.

Vi får startbetingelsene for Bernoulli-ordningen: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

La oss finne sannsynligheten for å få to "defekte" TV-er (k = 2) og tre (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\venstre(2 \høyre) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20)}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Åpenbart er P 20 (3) > P 20 (2), dvs. sannsynligheten for å motta tre fjernsynsapparater med skjulte defekter er større enn sannsynligheten for å motta kun to slike fjernsynsapparater. Dessuten er ikke forskjellen svak.

En rask merknad om faktorialer. Mange mennesker opplever en vag følelse av ubehag når de ser oppføringen "0!" (les "nullfaktoriell"). Altså 0! = 1 per definisjon.

P.S. Og den største sannsynligheten i den siste oppgaven er å få fire TV-er med skjulte feil. Beregn selv og se selv.

Se også:

Takk for at du leser og deler med andre.

Ved løsning av sannsynlighetsproblemer møter man ofte situasjoner der samme test gjentas mange ganger og utfallet av hver test er uavhengig av andres utfall. Dette eksperimentet kalles også gjentatt uavhengig testskjema eller Bernoulli-opplegg.

Eksempler på gjentatte tester:

1) gjentatt fjerning av en kule fra urnen, forutsatt at den fjernede ballen settes tilbake i urnen etter å ha registrert fargen;

2) repetisjon av en skytter av skudd på samme skive, forutsatt at sannsynligheten for et vellykket treff med hvert skudd antas å være den samme (nullstillingens rolle er ikke tatt i betraktning).

Så la testene være mulige som et resultat to utfall: enten vises en hendelse EN, eller den motsatte hendelsen. La oss gjennomføre n Bernoulli-tester. Dette betyr at alle n forsøk er uavhengige; Sannsynligheten for forekomst av hendelse $A$ i hvert enkelt eller enkelt forsøk er konstant og endres ikke fra forsøk til forsøk (dvs. forsøk utføres under de samme forholdene). La oss betegne sannsynligheten for at hendelsen $A$ inntreffer i en enkelt prøvelse med bokstaven $p$, dvs. $p=P(A)$, og sannsynligheten for den motsatte hendelsen (hendelsen $A$ skjedde ikke) - med bokstaven $q=P(\overline(A))=1-p$.

Deretter sannsynligheten for at hendelsen EN vil vises i disse n tester nøyaktig k ganger, uttrykt Bernoullis formel

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$

Fordelingen av antall suksesser (forekomster av en hendelse) kalles binomial fordeling.

Online kalkulatorer for Bernoullis formel

Noen av de mest populære typene problemer som bruker Bernoulli-formelen er diskutert i artikler og utstyrt med en online kalkulator, du kan følge lenkene:

Eksempler på løsninger på problemer ved hjelp av Bernoullis formel

Eksempel. Det er 20 hvite og 10 svarte kuler i en urne. 4 kuler tas ut, og hver fjernet kule returneres til urnen før neste tas ut og kulene i urnen blandes.

Bernoullis formel. Problemløsning

Finn sannsynligheten for at av fire trukket kuler blir det 2 hvite.

Løsning. Begivenhet EN- tok ut en hvit ball. Så sannsynlighetene
, .
I følge Bernoullis formel er den nødvendige sannsynligheten lik
.

Eksempel. Bestem sannsynligheten for at en familie med 5 barn ikke vil ha mer enn tre jenter. Sannsynligheten for å få en gutt og en jente antas å være den samme.

Løsning. Sannsynlighet for å få en jente
, Deretter .

La oss finne sannsynlighetene for at det ikke er noen jenter i familien, en, to eller tre jenter ble født:

, ,

, .

Derfor den nødvendige sannsynligheten

Eksempel. Blant delene som behandles av en arbeider, er i gjennomsnitt 4% ikke-standard. Finn sannsynligheten for at av 30 deler tatt for testing, vil to være ikke-standard.

Løsning. Her består opplevelsen av å sjekke hver av de 30 delene for kvalitet.

Hendelse A er "utseendet til en ikke-standard del", sannsynligheten er da . Herfra finner vi ved å bruke Bernoullis formel
.

Eksempel. Med hvert enkelt skudd fra en pistol er sannsynligheten for å treffe målet 0,9. Finn sannsynligheten for at antall vellykkede skudd av 20 skudd vil være minst 16 og ikke mer enn 19.

Løsning. Vi regner med Bernoullis formel:

Eksempel. Uavhengig testing fortsetter frem til arrangementet EN vil ikke skje k en gang. Finn sannsynligheten for at det vil være nødvendig n tester (n ³ k), hvis i hver av dem .

Løsning. Begivenhet I- nøyaktig n tester før k- forekomst av en hendelse EN– er et produkt av følgende to hendelser:

D – inn n-te prøven EN skjedde;

C - først (n–1)-te prøver EN dukket opp (k-1) en gang.

Multiplikasjonsteoremet og Bernoullis formel gir den nødvendige sannsynligheten:

Det skal bemerkes at bruken av binomialloven ofte er forbundet med beregningsvansker. Derfor med økende verdier n Og m Det blir tilrådelig å bruke omtrentlige formler (Poisson, Moivre-Laplace), som vil bli diskutert i de følgende avsnittene.

Videoopplæring Bernoulli formel

For de som foretrekker en konsekvent videoforklaring, en 15-minutters video:

Total sannsynlighetsformel: teori og eksempler på problemløsning

Total sannsynlighetsformel og betingede sannsynligheter for hendelser

Total sannsynlighetsformel er en konsekvens av de grunnleggende reglene for sannsynlighetsteori - reglene for addisjon og reglene for multiplikasjon.

Totalsannsynlighetsformelen lar deg finne sannsynligheten for en hendelse EN, som bare kan forekomme med hver av n gjensidig utelukkende hendelser som danner et komplett system, hvis sannsynlighetene deres er kjent, og betingede sannsynligheter arrangementer EN i forhold til hver av systemhendelsene er like.

Hendelser kalles også hypoteser; de utelukker hverandre. Derfor, i litteraturen kan du også finne deres betegnelse ikke med bokstaven B, og brevet H(hypotese).

For å løse problemer med slike forhold, er det nødvendig å vurdere 3, 4, 5 eller i det generelle tilfellet n muligheten for at en hendelse inntreffer EN- med hvert arrangement.

Ved å bruke teoremene om addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter får vi summen av produktene av sannsynligheten for hver av hendelsene i systemet ved å betinget sannsynlighet arrangementer EN angående hver av systemhendelsene.

21 Bernoulli-tester. Bernoullis formel

Det vil si sannsynligheten for en hendelse EN kan beregnes ved hjelp av formelen

eller generelt

som kalles total sannsynlighetsformel .

Total sannsynlighetsformel: eksempler på problemløsning

Eksempel 1. Det er tre identiske urner: den første har 2 hvite kuler og 3 svarte, den andre har 4 hvite og en svart, den tredje har tre hvite kuler. Noen nærmer seg en av urnene tilfeldig og tar ut en ball fra den. Utnytte total sannsynlighetsformel, finn sannsynligheten for at denne ballen blir hvit.

Løsning. Begivenhet EN- utseendet til en hvit ball. Vi legger frem tre hypoteser:

— den første stemmeurnen er valgt;

— den andre stemmeurnen er valgt;

— den tredje urnen er valgt.

Betingede sannsynligheter for en hendelse EN angående hver av hypotesene:

, , .

Vi bruker den totale sannsynlighetsformelen, noe som resulterer i den nødvendige sannsynligheten:

Eksempel 2. På det første anlegget, av hver 100 lyspærer, produseres det i gjennomsnitt 90 standard lyspærer, på det andre - 95, på det tredje - 85, og produktene fra disse fabrikkene utgjør 50%, 30% og 20% , henholdsvis av alle lyspærer som leveres til butikker i et bestemt område. Finn sannsynligheten for å kjøpe en standard lyspære.

Løsning. La oss betegne sannsynligheten for å kjøpe en standard lyspære med EN, og hendelsene at den kjøpte lyspæren ble produsert på henholdsvis den første, andre og tredje fabrikken gjennom . Etter betingelse er sannsynlighetene for disse hendelsene kjent: , , og betingede sannsynligheter for hendelsen EN om hver av dem: , , . Dette er sannsynlighetene for å kjøpe en standard lyspære, forutsatt at den ble produsert på henholdsvis den første, andre og tredje fabrikken.

Begivenhet EN vil skje hvis en hendelse inntreffer K— lyspæren er produsert på det første anlegget og er standard, eller et arrangement L— lyspæren er produsert på det andre anlegget og er standard, eller et arrangement M— lyspæren ble produsert ved det tredje anlegget og er standard.

Andre muligheter for at arrangementet kan skje EN Nei. Derfor arrangementet EN er summen av hendelser K, L Og M, som er inkompatible. Ved å bruke sannsynlighetsaddisjonsteoremet forestiller vi oss sannsynligheten for en hendelse EN som

og ved sannsyfår vi

det er, spesialtilfelle av totalsannsynlighetsformelen.

Ved å erstatte sannsynlighetsverdiene på venstre side av formelen får vi sannsynligheten for hendelsen EN:

Har du ikke tid til å fordype deg i løsningen? Du kan bestille jobb!

Eksempel 3. Flyet lander på flyplassen. Hvis været tillater det, lander piloten flyet ved å bruke, i tillegg til instrumenter, også visuell observasjon. I dette tilfellet er sannsynligheten for en sikker landing lik . Hvis flyplassen er dekket med lave skyer, lander piloten flyet, kun ledet av instrumenter. I dette tilfellet er sannsynligheten for en sikker landing lik; .

Enheter som gir blindlanding er pålitelige (sannsynlighet for feilfri drift) P. I nærvær av lave skyer og mislykkede blindlandingsinstrumenter er sannsynligheten for en vellykket landing lik; . Statistikk viser at i k% av landingene er flyplassen dekket med lave skyer. Finne total sannsynlighet for en hendelseEN— sikker landing av flyet.

Løsning. Hypoteser:

— ingen lave skyer;

— det er lite overskyet.

Sannsynligheter for disse hypotesene (hendelsene):

;

Betinget sannsynlighet.

Vi vil igjen finne den betingede sannsynligheten ved å bruke formelen for total sannsynlighet med hypoteser

— blindlandingsanordninger er operative;

— blindlandingsinstrumentene sviktet.

Sannsynlighetene for disse hypotesene:

I henhold til total sannsynlighetsformelen

Eksempel 4. Enheten kan fungere i to moduser: normal og unormal. Normal modus observeres i 80 % av alle tilfeller av enhetsdrift, og unormal modus observeres i 20 % av tilfellene. Sannsynlighet for feil på enheten innen en viss tid t lik 0,1; i unormal 0,7. Finne full sannsynlighet feil på enheten over tid t.

Løsning. Vi angir igjen sannsynligheten for enhetsfeil gjennom EN. Så, når det gjelder driften av enheten i hver modus (hendelse), er sannsynlighetene kjent i henhold til tilstanden: for normal modus er dette 80% (), for unormal modus - 20% (). Sannsynlighet for hendelse EN(det vil si enhetsfeil) avhengig av den første hendelsen (normal modus) er lik 0,1 (); avhengig av den andre hendelsen (unormal modus) - 0,7 ( ). Vi erstatter disse verdiene i den totale sannsynlighetsformelen (det vil si summen av produktene av sannsynligheten for hver av hendelsene i systemet med den betingede sannsynligheten for hendelsen EN angående hver av systemhendelsene) og foran oss er det nødvendige resultatet.

La oss ikke tenke på de høye tingene på lenge - la oss starte med en gang med definisjonen.

Bernoullis skjema er når det utføres n uavhengige eksperimenter av samme type, i hver av dem kan hendelsen av interesse for oss vises A, og sannsynligheten for denne hendelsen P (A) = p er kjent. Vi må bestemme sannsynligheten for at hendelse A etter n forsøk vil inntreffe nøyaktig k ganger.

La oss gå tilbake til definisjonen. Siden vi snakker om uavhengige forsøk, og i hver prøvelse sannsynligheten for hendelse A er den samme, er bare to utfall mulig:

A er forekomsten av hendelse A med sannsynlighet p;
"ikke A" - hendelse A dukket ikke opp, noe som skjer med sannsynlighet q = 1 − p.

Hvis betingelsene er konstante, kan vi nøyaktig bestemme sannsynligheten for at hendelse A vil inntreffe nøyaktig k ganger ut av n mulige. La oss formulere dette faktum i form av et teorem:

Bernoullis teorem. La sannsynligheten for forekomst av hendelse A i hvert eksperiment være konstant og lik p. Deretter beregnes sannsynligheten for at hendelse A vil dukke opp nøyaktig k ganger i n uavhengige forsøk med formelen:

hvor C n k er antall kombinasjoner, q = 1 − p.

Denne formelen kalles Bernoullis formel. Det er interessant å merke seg at problemene gitt nedenfor kan løses fullstendig uten å bruke denne formelen. Du kan for eksempel bruke formlene for å legge til sannsynligheter. Mengden av beregninger vil imidlertid ganske enkelt være urealistisk.

Oppgave. Sannsynligheten for å produsere et defekt produkt på en maskin er 0,2. Bestem sannsynligheten for at i et parti på ti deler produsert på denne maskinen vil nøyaktig k deler være uten defekter. Løs oppgaven for k = 0, 1, 10.

Dermed har vi: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Så vi finner sannsynligheten for at alle delene i en batch er defekte (k = 0), at det bare er én del uten defekter (k = 1), og at det ikke er noen defekte deler i det hele tatt (k = 10):

Oppgave. Mynten kastes 6 ganger. Det er like sannsynlig å lande et våpenskjold og hoder. Finn sannsynligheten for at:

våpenskjoldet vises tre ganger;

våpenskjoldet vises en gang;

våpenskjoldet vises minst to ganger.

Så vi er interessert i hendelsen A, når våpenskjoldet faller ut. Sannsynligheten for denne hendelsen er p = 0,5. Hendelse A kontrasteres med hendelsen "ikke A", når resultatet er hoder, som skjer med sannsynlighet q = 1 − 0,5 = 0,5. Vi må bestemme sannsynligheten for at våpenskjoldet vises k ganger.

Dermed har vi: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

La oss bestemme sannsynligheten for at våpenskjoldet er tegnet tre ganger, dvs. k = 3:

La oss nå bestemme sannsynligheten for at våpenskjoldet bare kom opp én gang, dvs. k = 1:

Det gjenstår å bestemme med hvilken sannsynlighet våpenskjoldet vil vises minst to ganger. Hovedfangsten er i uttrykket "ikke mindre." Det viser seg at vi vil være fornøyd med hvilken som helst k unntatt 0 og 1, dvs. vi må finne verdien av summen X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Oppgave. Sannsynligheten for at TV-en har skjulte feil er 0,2. 20 TV-er ankom lageret. Hvilken hendelse er mer sannsynlig: at det i denne gruppen er to TV-apparater med skjulte defekter eller tre?

Vi får startbetingelsene for Bernoulli-ordningen: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

La oss finne sannsynligheten for å få to "defekte" TV-er (k = 2) og tre (k = 3):

En rask merknad om faktorialer. Mange mennesker opplever en vag følelse av ubehag når de ser oppføringen "0!" (les "nullfaktoriell"). Altså 0! = 1 per definisjon.

P. S. Og den største sannsynligheten i den siste oppgaven er å få fire TV-er med skjulte feil. Beregn selv og se selv.

Før han presenterer det tredje spørsmålet i forelesningen, identifiserer læreren et problem som gjør det nødvendig å vurdere teoremet om repetisjon av eksperimenter, mens han legger merke til at i sannsynlighetsteorikurset som studeres, er det bare et bestemt teorem som er relatert til repetisjon av uavhengige eksperimenter, i hver av hvilke hendelser A vises med en konstant sannsynlighet, vil bli vurdert.

Deretter viser læreren beviset på denne teoremet (avledning av Bernoullis formel).

For å forklare den fysiske essensen av teoremet som vurderes, bruker læreren en overheadprojektor og forberedte lysbilder.

På slutten av forelesningen forklarer læreren hvorfor sannsynlighetsfordelingen for forekomsten av hendelse A i en serie med n tester, under forhold der de er inkonsistente og danner en komplett gruppe hendelser, kalles binomial og gjør oppmerksom på viktigheten å kjenne denne fordelingen for å løse anvendte problemer.

Til nå har vi vurdert kombinasjoner av et relativt lite antall hendelser, når direkte anvendelse av reglene for addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter ikke forårsaket store beregningsvansker. Men etter hvert som antallet hendelser eller antallet forsøk der den aktuelle hendelsen kan dukke opp øker, blir den innlærte beregningsmetoden svært tungvint.

Dessuten ble problemet løst ganske enkelt bare hvis eksperimentene var uavhengige.

Flere eksperimenter kalles uavhengig, hvis sannsynligheten for et eller annet utfall av hvert eksperiment ikke avhenger av hvilke utfall andre eksperimenter hadde.

I praksis er det tilfeller når sannsynligheten for at en hendelse inntreffer EN i alle uavhengige eksperimenter kan det enten være det samme eller variere fra eksperiment til eksperiment. For eksempel, hvis du justerer ilden etter hvert skudd, vil sannsynligheten for å treffe målet endres med hvert skudd.

I tilfellet når i uavhengige eksperimenter sannsynligheten for forekomsten av en hendelse endres fra eksperiment til eksperiment, brukes den generelle teoremet om gjentakelse av eksperimenter, og når i uavhengige eksperimenter endres sannsynligheten for forekomsten av en hendelse ikke fra eksperiment for å eksperimentere brukes et spesielt teorem om gjentakelse av eksperimenter.

I sannsynlighetsteorikurset vi studerer, vil vi kun vurdere det spesielle emnet for gjentatte eksperimenter når det er nødvendig å bestemme sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe EN i en serie uavhengige eksperimenter, i hver av hvilke hendelse A vises med like stor sannsynlighet.

For eksempel er det nødvendig å beregne sannsynligheten for at med fem skudd fra en pistol ved konstante innstillinger vil nøyaktig to treff på målet oppnås hvis skuddene er uavhengige og med hvert skudd er sannsynligheten for å treffe målet kjent og ikke endring.

Hvis vi komponerer mulige kombinasjoner av forekomsten av hendelsen vi er interessert i A 1, får vi:

Det vil være 10 mulige kombinasjoner der hendelsen A=(få 2 treff med fem skudd) inntreffer.

Ved å bruke teoremet om summen og produktet av uavhengige hendelser, har vi:

En økning i antall hendelser eller tester som interesserer oss vil føre til en enda større økning i volumet av beregningsoperasjoner, så oppgaven oppstår med å finne mindre arbeidskrevende beregningsmetoder.

Formulering av problemet:

La oss anta, under identiske forhold, å utføre n uavhengige tester, resultatet av hver av disse kan være forekomsten av begge hendelsene EN, eller det motsatte .

La oss betegne med EN 1 forekomst av en hendelse EN på den første testen, EN 2 - på den andre testen, EN n- ved siste prøve.

På grunn av konstansen til testforholdene:

P(A 1 ) = P(A 2 ) = … P(A n ) = s

Vi er interessert i sannsynligheten for at hendelse A vil inntreffe nøyaktig m ganger i n forsøk, og ikke vil skje i de resterende n-m forsøkene (dvs. den motsatte hendelsen til hendelse A vil inntreffe - ).

La oss anta at arrangementet vi er interessert i EN forekommer fortløpende m ganger, med start fra den første, dvs. en begivenhet finner sted - E.

E= A 1 EN 2 … A m -1 EN m 
(1)

m n- m

I henhold til betingelsen for gjentakelse av tester, er hendelsene inkludert i denne kombinasjonen uavhengige, mens sannsynlighetene for forekomsten av hendelser A 1, EN 2 ,... A m -1 , A m samme og like p: P(A 1 ) = P(A 2 ) =…= P(A m ) = p, og sannsynligheten for at hendelser ikke inntreffer
samme og like q=1-р:.

Ved å bruke regelen om å multiplisere sannsynligheter for uavhengige hendelser på uttrykk 1, får vi:

P(E) = P(A 1 ) P(A 2 ) … P(A m -1 ) P(A m ) R(
= s m (1-r) n  - m = s m q n - m

På grunn av konstante testforhold, antok vi at arrangementet var interessant for oss EN forekommer på rad m ganger, fra den første. Men begivenheten EN V n prøvelser kan komme nøyaktig m ganger i forskjellige sekvenser eller kombinasjoner. I dette tilfellet er vi likegyldige til den nøyaktige rekkefølgen i hvilken hendelse A vises nøyaktig m en gang.

Antall slike kombinasjoner er lik antall kombinasjoner av n elementer ved m.

Siden disse kombinasjonene av hendelser (lik kombinasjon E) er inkompatible, og vi er ikke interessert i rekkefølgen av hendelsen EN i testen akkurat m ganger, for så å angi sannsynligheten vi er interessert i gjennom R m, vi får:

R m =
R m (1-r) n - m =
=

Hvor
- antall kombinasjoner av n elementer av m.

Denne formelen kalles Bernoullis formel.

Bernoullis formel lar oss få svar på spørsmålet: hva er sannsynligheten for at når n uavhengige tester gjentas, vil en hendelse EN kommer akkurat m ganger, hvis i hver av disse forsøkene sannsynligheten for at hendelsen inntreffer EN er konstant og lik P(A) = p.

Bernoulli-formelen ovenfor er ekstremt viktig i sannsynlighetsteori av den grunn at den er assosiert med å gjenta tester under de samme forholdene, dvs. med slike forhold der sannsynlighetsteoriens lover manifesterer seg.

Konklusjon på foredraget:

I forelesningen undersøkte vi de grunnleggende spørsmålene om sannsynlighetsteori i forhold til tilfeldige variabler, introduserte det grunnleggende konseptuelle apparatet som er nødvendig for videre studier av disiplinen: definisjonen av en tilfeldig variabel, deres klassifisering; begreper om fordelingsloven og dens form for ulike typer tilfeldige variabler.

Som forberedelse til påfølgende forelesninger og praktiske øvelser må du selvstendig supplere forelesningsnotatene mens du studerer anbefalt litteratur i dybden og løser de foreslåtte problemene.

I tillegg vil vi i påfølgende leksjoner studere teoremer og avhengigheter som lar oss bestemme sannsynligheten for at en tilfeldig variabel vises det nødvendige antall ganger eller ved et visst intervall, for eksempel sannsynligheten for å treffe et mål.

Utforske:

Ventzel E.S. Sannsynlighetsteori. Lærebok. Åttende utgave, stereotypisk. – M.: Videregående skole, 2002 - 575 s. – s. 67-78, 80-84

Ventzel E.S., Ovcharov L.A.. Sannsynlighetsteori og dens tekniske anvendelser. Opplæringen. Tredje utgave, revidert og utvidet. – M.: “Academy”, 2003 – 464 s. – s. 73-93

Gmurman V.E. Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. Opplæringen. Tiende utgave, stereotypisk. - M.: Higher School", 2004 - 480 s. Side 64-73

I denne leksjonen vil vi finne sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i uavhengige forsøk ved gjentatte forsøk . Prøver kalles uavhengige hvis sannsynligheten for et eller annet utfall av hvert forsøk ikke avhenger av hvilke utfall andre forsøk hadde. . Uavhengige tester kan utføres både under samme forhold og under forskjellige forhold. I det første tilfellet er sannsynligheten for at en eller annen hendelse inntreffer den samme i alle rettssaker, i det andre tilfellet varierer det fra rettssak til rettssak.

Eksempler på uavhengige omtester :

en av enhetsnodene eller to eller tre noder vil mislykkes, og feilen til hver node avhenger ikke av den andre noden, og sannsynligheten for feil på en node er konstant i alle tester;
en del, eller tre, fire, fem deler produsert under visse konstante teknologiske forhold, vil vise seg å være ikke-standard, og en del kan vise seg å være ikke-standard uavhengig av hvilken som helst annen del og sannsynligheten for at delen vil snu ut til å være ikke-standard er konstant i alle tester;
av flere skudd mot en skive treffer ett, tre eller fire skudd målet uavhengig av utfallet av de andre skuddene, og sannsynligheten for å treffe skiven er konstant i alle forsøk;
når du slipper en mynt, vil maskinen fungere riktig én, to eller et annet antall ganger, uavhengig av utfallet av andre myntfall, og sannsynligheten for at maskinen vil fungere riktig er konstant i alle forsøk.

Disse hendelsene kan beskrives i ett diagram. Hver hendelse skjer i hvert forsøk med samme sannsynlighet, som ikke endres hvis resultatene fra tidligere forsøk blir kjent. Slike tester kalles uavhengige, og kretsen kalles Bernoulli-opplegg . Det forutsettes at slike tester kan gjentas så mange ganger som ønskelig.

Hvis sannsynligheten s forekomst av en hendelse EN er konstant i hvert forsøk, så er sannsynligheten for at i n uavhengig testhendelse EN Skal komme m ganger, ligger ved Bernoullis formel :

(Hvor q= 1 – s- sannsynligheten for at hendelsen ikke vil inntreffe)

La oss sette oppgaven - å finne sannsynligheten for at en hendelse av denne typen kommer inn n uavhengige tester vil komme m en gang.

Bernoullis formel: eksempler på problemløsning

Eksempel 1. Finn sannsynligheten for at blant fem deler tatt tilfeldig er to standard, hvis sannsynligheten for at hver del viser seg å være standard er 0,9.

Løsning. Sannsynlighet for hendelse EN, som består i at en del tatt tilfeldig er standard, det er s=0,9 , og det er en sannsynlighet for at det ikke er standard q=1–s=0,1. Hendelsen angitt i problemformuleringen (vi betegner den med I) vil oppstå hvis for eksempel de to første delene viser seg å være standard, og de tre neste er ikke-standard. Men begivenheten I vil også forekomme hvis første og tredje del viser seg å være standard og resten er ikke-standard, eller hvis andre og femte del er standard og resten er ikke-standard. Det er andre muligheter for at arrangementet kan skje I. Enhver av dem er preget av det faktum at av fem deler som er tatt, vil to, som opptar en hvilken som helst plass av fem, vise seg å være standard. Derfor er det totale antallet forskjellige muligheter for forekomsten av en hendelse I er lik antall muligheter for å plassere to standarddeler på fem steder, dvs. er lik antall kombinasjoner av fem elementer med to, og .

Sannsynligheten for hver mulighet i henhold til sannser lik produktet av fem faktorer, hvorav to, som tilsvarer utseendet til standarddeler, er lik 0,9, og de resterende tre, tilsvarer utseendet til ikke-standardiserte deler. deler, er lik 0,1, dvs. denne sannsynligheten er . Siden disse ti mulighetene er uforenlige hendelser, vil ved addisjonsteoremet sannsynligheten for en hendelse I, som vi betegner

Eksempel 2. Sannsynligheten for at maskinen vil kreve oppmerksomhet fra en arbeider innen en time er 0,6. Forutsatt at problemene på maskinene er uavhengige, finn sannsynligheten for at en arbeiders oppmerksomhet innen en time vil kreve en maskin av de fire han betjener.

Løsning. Ved hjelp av Bernoullis formel på n=4 , m=1 , s=0,6 og q=1–s=0,4, får vi

Eksempel 3. For normal drift av samkjøringen må det være minst åtte kjøretøy på linjen, og det er ti av dem. Sannsynligheten for at hvert kjøretøy ikke kommer inn på linjen er 0,1. Finn sannsynligheten for normal drift av bildepotet neste dag.

Løsning. Samkjøringen vil fungere normalt (arrangement F), hvis åtte eller åtte kommer på nettet (begivenhet EN), eller ni (hendelse I), eller alle ti biler-arrangementet (event C). I følge teoremet om addisjon av sannsynligheter,

Vi finner hvert begrep i henhold til Bernoullis formel. Her n=10 , m=8; 10 og s=1-0,1=0,9, siden s skal indikere sannsynligheten for at kjøretøyet kommer inn på linjen; Deretter q=0,1. Som et resultat får vi

Eksempel 4. La sannsynligheten for at en kunde trenger herresko størrelse 41 være 0,25. Finn sannsynligheten for at minst to av seks kjøpere trenger sko i størrelse 41.

La n tester utføres angående hendelse A. La oss introdusere hendelsene: Ak - hendelse A skjedde under den kth prøven, $ k=1,2,\dots , n$. Da er $\bar(A)_(k) $ den motsatte hendelsen (hendelse A skjedde ikke under den kth prøven, $k=1,2,\dots , n$).

Hva er homogene og uavhengige tester?

Definisjon

Tester sies å være av samme type med hensyn til hendelse A hvis sannsynlighetene for hendelser $A1, A2, \dots , Аn$ sammenfaller: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An)$ (dvs. sannsynligheten for forekomst av hendelser A i ett forsøk er konstant i alle forsøk).

I dette tilfellet faller selvsagt sannsynlighetene for motsatte hendelser også sammen: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(A) ) _(n))$.

Definisjon

Tester kalles uavhengige med hensyn til hendelse A hvis hendelsene $A1, A2, \dots, Аn$ er uavhengige.

I dette tilfellet

I dette tilfellet bevares likhet når enhver hendelse Аk erstattes med $\bar(A)_(k) $.

La en serie på n uavhengige tester av samme type utføres i forhold til hendelse A. Vi bruker følgende notasjon: p - sannsynligheten for at hendelse A inntreffer i en prøvelse; q er sannsynligheten for den motsatte hendelsen. Dermed er P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ for enhver k og p+q=1.

Sannsynligheten for at hendelse A i en serie med n forsøk vil inntreffe nøyaktig k ganger (0 ≤ k ≤ n) beregnes med formelen:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Likhet (1) kalles Bernoullis formel.

Sannsynligheten for at i en serie på n identiske uavhengige forsøk vil hendelse A inntreffe minst k1 ganger og ikke mer enn k2 ganger, beregnes ved hjelp av formelen:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Bruken av Bernoullis formel for store verdier av n fører til tungvinte beregninger, så i disse tilfellene er det bedre å bruke andre formler - asymptotiske.

Generalisering av Bernoullis opplegg

La oss vurdere en generalisering av Bernoullis opplegg. Hvis i en serie på n uavhengige forsøk, som hver har m parvis inkompatible og mulige resultater Ak med tilsvarende sannsynligheter Pk = pk(Ak). Da er polynomfordelingsformelen gyldig:

Eksempel 1

Sannsynligheten for å få influensa under en epidemi er 0,4. Finn sannsynligheten for at av 6 ansatte i bedriften blir syke

nøyaktig 4 ansatte;
ikke mer enn 4 ansatte.

Løsning. 1) Selvfølgelig er Bernoulli-formelen anvendelig for å løse dette problemet, hvor n=6; k=4; p=0,4; q=1-р=0,6. Ved å bruke formel (1), får vi: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ca. 0.138$.

For å løse dette problemet er formel (2) anvendelig, der k1=0 og k2=4. Vi har:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ ca. 0,959.) \end(array)\]

Det skal bemerkes at dette problemet er lettere å løse ved å bruke den motsatte hendelsen - mer enn 4 ansatte ble syke. Deretter, med tanke på formel (7) om sannsynlighetene for motsatte hendelser, får vi:

Svar: $\$0,959.

Eksempel 2

Det er 20 hvite og 10 svarte kuler i en urne. 4 kuler tas ut, og hver fjernet kule settes tilbake i urnen før neste tas ut og kulene i urnen blandes. Finn sannsynligheten for at av fire trukket kuler vil det være 2 hvite (Figur 1).

Bilde 1.

Løsning. La hendelse A være at den hvite ballen tas ut. Da er sannsynlighetene $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

I følge Bernoullis formel er den nødvendige sannsynligheten lik $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\ frac(1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.

Svar: $\frac(8)(27) $.

Eksempel 3

Bestem sannsynligheten for at en familie med 5 barn ikke vil ha mer enn tre jenter. Sannsynligheten for å få en gutt og en jente antas å være den samme.

Løsning. Sannsynligheten for å få en jente $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $ er sannsynligheten for å få en gutt. Det er ikke mer enn tre jenter i en familie, noe som betyr at enten en, to eller tre jenter ble født, eller familien er alle gutter.

La oss finne sannsynlighetene for at det ikke er noen jenter i familien, en, to eller tre jenter ble født: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Derfor vil den ønskede sannsynligheten $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $.

Svar: $\frac(13)(16) $.

Eksempel 4

Den første skytteren med ett skudd kan treffe de ti beste med en sannsynlighet på 0,6, de ni med en sannsynlighet på 0,3 og de åtte med en sannsynlighet på 0,1. Hva er sannsynligheten for at han med 10 skudd treffer de ti beste seks ganger, de ni tre ganger og de åtte en gang?