Finn z-transformasjonen til et diskret signal. Invers z-transform

I analysen og syntesen av diskrete og digitale enheter de såkalte z-transformene er mye brukt, som spiller samme rolle i forhold til diskrete signaler som integrert transformasjon Fourier og Laplace i forhold til kontinuerlige signaler.

Definisjon av z-transform

La - nummerrekkefølge, endelig eller uendelig, som inneholder prøveverdier av et eller annet signal. La oss sette det i unik korrespondanse med summen av serien i negative krefter kompleks variabel z:

La oss kalle denne summen, hvis den eksisterer, z-transformasjonen av sekvensen. Hensiktsmessigheten av å introdusere et slikt matematisk objekt skyldes det faktum at egenskapene diskrete sekvenser tall kan studeres ved å undersøke deres z-transformasjoner ved bruk av konvensjonelle metoder matematisk analyse. I matematikk kalles z-transformen også genereringsfunksjonen til den opprinnelige sekvensen.

Basert på formel (1.46) kan man direkte finne z-transformasjonene til diskrete signaler med endelig antall teller. Dermed tilsvarer det enkleste diskrete signalet med en enkelt prøve . Hvis for eksempel da

Seriekonvergens

Hvis antallet ledd i serien (1,46) er uendelig stort, er det nødvendig å undersøke konvergensen. Følgende er kjent fra teorien om funksjoner til en kompleks variabel. La koeffisientene til serien under vurdering tilfredsstille betingelsen

på hvilken som helst . Her og er konstante reelle tall.

Deretter konvergerer serier (1.46) for alle verdier av z slik at . I denne konvergensregionen er summen av serien analytisk funksjon variabel z, som verken har poler eller vesentlig enkeltstående punkter.

Tenk for eksempel på et diskret signal dannet av identiske enhetsprøver og fungerer som en modell av den vanlige svitsjefunksjonen. Uendelig serie

er summen geometrisk progresjon og konvergerer for enhver z i ringen. Oppsummering av progresjonen får vi:

Ved grensen til analytisitetsregionen kl z = 1 denne funksjonen har en enkel stang. På samme måte får vi z-transformasjonen av uendelig diskret signal, Hvor EN– noen reelt tall. Her:

Dette uttrykket gir mening i et bestemt ringområde.

Z-transformasjon av kontinuerlige funksjoner

Forutsatt at prøver er verdier kontinuerlig funksjon ved punkter kan ethvert signal assosieres med z-transformasjonen ved det valgte samplingstrinnet:

For eksempel, hvis , så den tilsvarende z-transformen

er en analytisk funksjon for .

Invers z-transform

La p-content/image_post/osncifr/pic45_8.gif> være en funksjon av den komplekse variabelen z, analytisk i ringdomenet. Den bemerkelsesverdige egenskapen til z-transformen er at funksjonen definerer hele det uendelige settet med prøver. Faktisk, la oss multiplisere begge sider av serien (1,46) med faktoren:

Deretter beregner vi integralene til begge sider av den resulterende likheten, og tar som integrasjonskontur en vilkårlig lukket kurve som ligger helt i analytisitetsdomenet og dekker alle poler:

Integrasjonssløyfen krysses i positiv retning, mot klokken.

For å løse ligningen (1.50), bruker vi den grunnleggende posisjonen som kommer fra Cauchys teorem:

Det er klart at integralene til alle ledd på høyre side av uttrykket (1,50) vil forsvinne, med unntak av termen med tall m, Det er derfor

Formel (1.51) kalles invers z-transform.

Eksempel

En z-transformasjon av skjemaet er spesifisert. Finn koeffisientene til det diskrete signalet som tilsvarer denne funksjonen.

Først av alt bestemmer vi at funksjonen er analytisk i hele planet, med unntak av punktet, så det kan virkelig være en z-transformasjon av et diskret signal.

Før du bestemmer deg denne oppgaven, husk fra kurset høyere matematikk løsningsmetode krumlinjede integraler ved bruk av restteori og Cauchys restsetningsteorem. La punktet være et isolert entallspunkt i funksjonen. Resten av en funksjon i et punkt er et tall angitt med et symbol og definert av likheten:

Som en kontur g kan vi ta en sirkel med et senter i et punkt med en tilstrekkelig liten radius slik at sirkelen ikke går utover funksjonens analytiske domene

Og den inneholdt ikke funksjoner i andre spesialpunkter. Funksjonssubtraksjon lik koeffisienten ved minus første grad i Laurent-utvidelsen i nærheten av punktet:. Residuet ved et fjernbart enkeltpunkt er lik null.

Hvis et punkt er en pol n rekkefølgen av funksjonen, da

I tilfelle enkel pol()

Hvis en funksjon i et nabolag til et punkt kan representeres som kvotienten av to analytiske funksjoner

dessuten, dvs. det er en enkel pol av funksjonen, da

Når vi ser på formel (1.48), finner vi det

for enhver idth=41 height=19 src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic46_12.gif> . Dermed har det originale diskrete signalet formen:

Forbindelse med Laplace og Fourier transform

La oss definere ved et signal av formen til en ideell MIP:

Etter å ha transformert det i henhold til Laplace, får vi et bilde for eventuelle konstanter a og b. Bevise denne eiendommen kan gjøres ved å erstatte summen i formel (1.46). – en tallsekvens hvis fellesledd er lik:

Slik diskret konvolusjon, i motsetning til sirkulær konvolusjon, kalles noen ganger lineær konvolusjon.

La oss beregne z-transformasjonen av diskret konvolusjon:

Konvolusjonen av to diskrete signaler tilsvarer produktet av deres z-transformer.

Z-transform(Laurent-transformasjon) er konvolusjonen av det opprinnelige signalet, gitt av sekvens reelle tall i tidsdomenet, til en analytisk funksjon av kompleks frekvens. Hvis signalet representerer impulsresponsen til et lineært system, så viser Z-transformasjonskoeffisientene systemets respons på komplekse eksponentialer, det vil si på harmoniske svingninger med forskjellige frekvenser og stige/fallhastigheter.

En vanlig måte å analysere diskrete digitale sekvenser på er z-transformasjonen.

Den største fordelen med z-transformer er deres enkelhet. matematiske operasjoner med potenspolynomer, noe som er av ikke liten betydning ved beregning av digitale filtre og spektralanalyse.

En vilkårlig kontinuerlig funksjon s(t), jevnt samplet og vist av samples s k = s(kDt), så vel som direkte diskret funksjon, kan vi assosiere et potenspolynom i z, hvis suksessive koeffisienter er verdiene til s k:

s k = s(kDt) Û TZ = s k z k = S(z). (8.3.1)

der z = s+jw = r×exp(-jj) er en vilkårlig kompleks variabel. Polynomet S(z) kalles z-bildet eller z-bildet til funksjonen s(kDt). Transformasjonen gir mening for regionen til de verdiene av z der serien S(z) konvergerer, dvs. summen av rekken er en analytisk funksjon av variabelen z, som ikke har poler eller entallspunkter.

Betydningen av verdien z i z-polynomet er at det er en enhetsforsinkelsesoperator over koordinatene til funksjonen. Å multiplisere z-bildet til signalet s(k) med verdien z n betyr at signalet er forsinket med n intervaller: z n S(z) Û s(k-n).

Egenskaper til z-transform.

Uten å fordype oss i teorien kan vi slå fast at alle egenskapene til DFT er gyldige for z-transformen. La oss merke noen av dem.

Linearitet: Hvis S(k) = a x(k)+b y(k), så er S(z) = aX(z)+bY(z). Følgelig er z-transformen bare gyldig for analyse lineære systemer og signaler som tilfredsstiller superposisjonsprinsippet.

Utsette for n klokkesykluser: y(k) = x(k-n).

Y(z) = y(k)×z k = x(k-n)×z k =z n x(k-n)×z k - n = z n x(m)×z m = z n X(z).

Følgelig vil multiplisering av z-bildet til signalet med faktoren z n få signalet til å skifte med n samplingssykluser.

For z-transformen er alle gyldige kjente teoremer om spektre. Spesielt vises konvolusjonen av to signaler i z-domenet av produktet av deres z-bilder, og omvendt:

s(k) * h(k) Û S(z)H(z), s(k) h(k) Û S(z) * H(z).

For z = exp(-jwDt) er z-transformen spesiell form representasjon av diskrete signaler, der polynomet S(z) kan refereres til som både en tidsfunksjon (basert på verdiene til koeffisientene kDt) og en funksjon av frekvensspekteret til signalet (basert på verdiene av argumentet w).

Viser z-transformen utført på det komplekse z-planet med Re z og Im z langs koordinataksene (fig. 8.3.1). Spektralfrekvensaksen w på z-planet tilsvarer en sirkel med radius:

|z| = |exp(-jwDt)| = = 1.

Substitusjon av verdien av en hvilken som helst frekvens w til z = exp(-jwDt) vises ved et punkt på sirkelen. Frekvensen w = 0 tilsvarer punktet Re z = 1 og Im z = 0 på høyre side av abscisseaksen. Når frekvensen øker, beveger punktet seg mot klokken rundt sirkelen, og inntar posisjonen lengst til venstre ved Nyquist-frekvensen w N = p/Dt (Re z = -1, Im z = 0).

Z-transformen tillater dekomponering av signaler og funksjoner, f.eks. overføringsfunksjoner filtrerer inn i korte komponenter av konvolusjonsoperasjonen, for hvilke det er nok å likestille z-polynomet til null, finne røttene a i og omskrive polynomet som et produkt av binomialer:

S(z) = a 0 (z-a 1)(z-a 2)...,

hvor a 0 er den siste signalprøven (koeffisient ved høyeste potens av z).

I analysen og syntesen av diskrete og digitale enheter er den såkalte z-transformen mye brukt, som spiller samme rolle i forhold til diskrete signaler som Fourier- og Laplace-integrerte transformasjoner i forhold til kontinuerlige signaler. Denne delen skisserer det grunnleggende om teorien om denne funksjonelle transformasjonen og noen av dens egenskaper.

Definisjon z -transformasjoner. La være en numerisk sekvens, endelig eller uendelig, som inneholder referanseverdiene til et eller annet signal. La oss sette det i unik korrespondanse med summen av serien i negative potenser av en kompleks variabel z:

La oss kalle dette beløpet, hvis det eksisterer, z-transformasjon sekvenser (X Til }. Hensiktsmessigheten av å introdusere et slikt matematisk objekt skyldes det faktum at egenskapene til diskrete tallsekvenser kan studeres ved å studere deres z-transformasjoner ved å bruke konvensjonelle metoder for matematisk analyse.

Basert på formel (2.113) kan man direkte finne z-transformasjonene til diskrete signaler med et begrenset antall sampler. Dermed det enkleste diskrete signalet med en enkelt tilsvarer den offisielle tellingen.

Hvis f.eks.

Konvergens av serien. Hvis antallet ledd i serien (2.113) er uendelig stort, er det nødvendig å undersøke konvergensen. Følgende er kjent fra teorien om funksjoner til en kompleks variabel. La koeffisientene til serien under vurdering tilfredsstille betingelsen

på hvilken som helst . Her M > 0 og R 0 > 0 er konstante reelle tall. Deretter konvergerer serien (2.113) for alle verdier av z slik at |z| > R 0 . I dette konvergensområdet er summen av serien en analytisk funksjon av variabelen z, som verken har poler eller i det vesentlige entallspunkter.

Tenk for eksempel på et diskret signal dannet av identiske enhetsprøver og fungerer som en modell av den vanlige svitsjefunksjonen. En uendelig serie er summen av en geometrisk progresjon og konvergerer for enhver z i ringen.

Oppsummering av progresjonen får vi

Ved grensen til analytisitetsområdet ved z = 1 har denne funksjonen en enkel pol.

Z-transformasjonen til et uendelig diskret signal oppnås på samme måte, hvor A - et reelt tall. Her

Dette uttrykket gir mening i en ringregion.

z -transformasjon av kontinuerlige funksjoner. Forutsatt at prøvene er verdiene til en kontinuerlig funksjon x(t) på poeng , noe signal x(t) du kan sammenligne z-transformasjonen ved det valgte prøvetakingstrinnet:

For eksempel hvis , deretter den tilsvarende z-transformasjonen

er en analytisk funksjon ved .

Omvendtz-transformasjon. La X(z) er en funksjon av den komplekse variabelen z, analytisk i ringdomenet |z| > R 0 . En bemerkelsesverdig egenskap ved z-transformen er at funksjonen X(z) definerer hele det uendelige settet med prøver.

Faktisk, la oss multiplisere begge sider av serien (2.113) med faktoren:

. (2.115)

og så beregner vi integralene til begge sider av den resulterende likheten, og tar som integrasjonskontur en vilkårlig lukket kurve som ligger helt i analytisitetsdomenet og dekker alle polene til funksjonen X(z). I dette tilfellet vil vi bruke den grunnleggende posisjonen som følger av Cauchys teorem:

Åpenbart vil integralene til alle ledd på høyre side forsvinne, med unntak av termen med tall T, Det er derfor

Denne formelen kalles omvendt z -transformasjon .

Forbindelse med Laplace- og Fourier-transformasjoner . La oss definere for et signal i form av en ideell MIP:

Transformere det i henhold til Laplace, får vi bildet

som går direkte inn i z-transformen hvis du utfører substitusjonen . Hvis vi setter , så uttrykket

Z-transformen brukes hovedsakelig for å beregne diskrete filtre. Matematisk apparat Z-transformen spiller den samme rollen for digitale enheter som den gjør for analoge kretser. Ved å bruke z-transformen kan frekvensfiltre, fasekorrektorer eller Hilbert-transformatorer enkelt beregnes for digital implementering. La oss umiddelbart skille begrepene diskrete og digitale filtre. I diskrete filtre er impulsresponsen diskret i tid, men signalprøvene og filterparametrene kan anta hvilken som helst verdi. I digitale filtre er både signalprøver og filterparametere (som koeffisienter) representert binære tall viss bitdybde. Et eksempel på et diskret filter er et svitsjet kondensatorfilter.

Når vi vurderer signalsampling, fant vi at spekteret til det analoge inngangssignalet, når det konverteres til diskret form, gjentas langs frekvensaksen et uendelig antall ganger. Det samme skjer med frekvensresponsen til et diskret filter. Et eksempel på en endring i amplitude-frekvensresponsen til et lavpassfilter under dets diskrete implementering er vist i figur 1.

Figur 1. Eksempel på amplitude-frekvensrespons for et diskret filter

I det viste eksemplet er samplingsfrekvensen 50 kHz. Derfor, nær denne frekvensen, dannes ytterligere to passbånd av det diskrete filteret. Til riktig drift diskret filter, for eksempel et svitsjet kondensatorfilter eller et digitalt filter, vil kreve et analogt anti-aliasing-filter som undertrykker høyfrekvente komponenter i inngangssignalet. Dens idealiserte amplitude-frekvensrespons er vist i figur 1 i rødt.

Hvis det er en overføringskarakteristikk for et analogt filter H(s) i form av nuller og poler til filteret, så i et diskret filter blir nullene og polene periodisk gjentatt med en periode på 1/ T, hvor T er prøveperioden. Filteret gjentas med andre ord på denne måten som vist i figur 1. Posisjonen til nuller og poler på s-planets frekvensakse for vanlige og diskrete filtre er vist i figur 2.

Figur 2. Periodisk repetisjon av nuller og poler på s-planet

For et diskret filter ser vi et uendelig antall nuller og poler, noe som ikke er helt praktisk for implementeringen. I stedet for en endeløs repetisjon av nuller og poler på en uendelig frekvensakse, kan du transformere denne aksen til en sirkulær (bruk den i stedet for en kartesisk) polare system koordinater). En lignende transformasjon er vist i figur 3.

Figur 3. Konvertering av et komplekst s-plan til et komplekst z-plan

Med denne transformasjonen inntar nullfrekvensen posisjonen til punktet +1 på z-planets reelle akse, frekvensen lik ∞ transformeres til punktet −1 på z-planets reelle akse, og frekvensen selve aksen omdannes til en sirkel med enhetsradius. Når frekvensen øker, vil vi bevege oss i en sirkel mot klokken, og dermed realisere en endeløs repetisjon av amplitude-frekvenskarakteristikkene til det diskrete filteret.

Matematisk er kartleggingen fra det komplekse s-planet til det komplekse z-planet som følger:

Z = e s T (1)

hvor s = σ + jω

Da blir Laplace-transformasjonen av et diskret signal til en z-transform:

(2)

Når man beveger seg fra det komplekse s-planet til det komplekse z-planet, blir alle de uendelig repeterende nullene og polene til et diskret filter i s-planet kartlagt til et endelig antall nuller og poler i z-planet. Da kan uttrykket for overføringskarakteristikken til et diskret filter representeres i følgende skjema:

(3)

La oss gå tilbake til den diskrete Fourier-transformformelen:

I teorien diskrete systemer Det er vanlig å bruke en litt annen form for notasjon knyttet til introduksjonen av Z - transformasjonen. La oss gjøre følgende erstatning:

Deretter vil formelen ovenfor bli betydelig forenklet:

Den nylig oppnådde funksjonen X(z) til variabelen z kalles Z – bilde eller Z – bilde av det diskrete signalet x(k).

Z – transformasjoner for diskrete signaler og systemer spiller samme rolle som Laplace-transformasjonen for analoge systemer. La oss derfor vurdere en rekke eksempler på å bestemme Z - bilder av noen typiske diskrete signaler.

1.Enkel impuls(Fig. 9.14) er en diskret analog av δ - pulsen og representerer en enkelt rapport med en enkelt verdi:

Z – enhetsimpulstransformasjon er funnet som

som for δ - Dirac momentum.

2. Diskret enhetshopp(Fig. 9.15) er en komplett analog av Heaviside-inkluderingsfunksjonen:

Z – bildet av et enkelt hopp kan bli funnet som

Den resulterende summen er summen av leddene til en uendelig geometrisk progresjon med et startledd lik 1 og en nevner
. Summen av vilkårene i serien er:

3. Diskret eksponentiell(Fig. 9.16) er et signal definert av uttrykket:

På
den diskrete eksponentialen er avtagende (fig. 9.16), med
- økende, med
- alternating.Z – bilde av en slik eksponentiell

Som i forrige tilfelle fikk vi en geometrisk progresjon med nullledd, lik en, men med nevneren
. Den uendelige summen av ledd av progresjonen bestemmer Z – bildet av eksponentialen:

4. Diskret dempet harmonisk. I motsetning til de foregående eksemplene, la oss skrive det i generell form:

G hvor α er den harmoniske dempningskoeffisienten,

ω – harmonisk frekvens,

φ – innledende fase av svingninger,

- prøvetakingsperiode.

La oss introdusere følgende notasjon:

Figur 9.17 viser en graf av en diskret dempet harmonisk med følgende data: a=0,9,
, φ=π/9. Med hensyn til den aksepterte notasjonen, kan uttrykket for en diskret dempet harmonisk representeres som:

Når man oppnår Z-bildet til den harmoniske, bør cosinusfunksjonen uttrykkes gjennom summen av to komplekse eksponentialer. Så, etter å ha utført en hel serie algebraiske og trigonometriske transformasjoner, vil det til slutt være mulig å oppnå følgende uttrykk:

Fra de gitte eksemplene er det klart at Z - bilder av de fleste diskrete signaler er brøkrasjonelle funksjoner av variabelen
. Opprinnelsen til Z-transformen fra Laplace- og Fourier-transformasjonene fører til at Z-transformen har lignende egenskaper.

1. Linearitet.

Z – transformasjonen er lineær, så hvis det er to signaler, er summen av disse signalene
har et Z-bilde
.

2. Tidsforsinkelse for et diskret signal.

Hvis et diskret signal x(k) med Z er bildet av X(z), utsett det med m samplingstrinn
, så har det forsinkede signalet(k)=x(k-m) et Z – bilde
. Uttrykk
kan betraktes som en operatør som forsinker signalet med ett samplingstrinn.

3. Konvolusjon av diskrete signaler.

Ligner på konvolusjon av analoge signaler

Fourier - bildet som er lik produktet av Fourier - bilder av de konvolverte signalene, konvolusjonen av to diskrete signaler er definert som

Z - bildet av konvolusjonen av to signaler er lik produktet av Z - bildene av de originale diskrete signalene

4. Multiplisere med en diskret eksponential.

Hvis et diskret signal
, med et Z-bilde
, multiplisert med eksponent
, så vil Z – bildet av produktet ha formen
.

De vurderte egenskapene til Z - transformasjonen gjør det i mange tilfeller mulig å enkelt finne Z - bildet til et gitt signal eller løse det omvendte problemet - ved å bruke et kjent Z - bilde av signalet, finne dets representasjon i tid.