Vi presenterer de ukjente ligningene til venstre. Hvordan lære et barn å løse ligninger

Lineære ligninger. Løsning, eksempler.

Oppmerksomhet!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Lineære ligninger.

Lineære ligninger er ikke det vanskeligste temaet i skolematematikk. Men det er noen triks der som kan pusle selv en utdannet student. La oss finne ut av det?)

Vanligvis er en lineær ligning definert som en ligning av formen:

øks + b = 0 Hvor a og b– alle tall.

2x + 7 = 0. Her a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Her a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Her a=12, b=1/2

Ikke noe komplisert, ikke sant? Spesielt hvis du ikke legger merke til ordene: "der a og b er alle tall"... Og hvis du legger merke til og uforsiktig tenker på det?) Tross alt, hvis a=0, b=0(noen tall er mulig?), så får vi et morsomt uttrykk:

Men det er ikke alt! Hvis, si, a=0, EN b=5, Dette viser seg å være noe helt utenom det vanlige:

Noe som er irriterende og undergraver selvtilliten til matematikk, ja...) Spesielt under eksamen. Men ut av disse merkelige uttrykkene må du også finne X! Som ikke eksisterer i det hele tatt. Og overraskende nok er denne X veldig lett å finne. Vi skal lære å gjøre dette. I denne leksjonen.

Hvordan gjenkjenne en lineær ligning ved utseendet? Det avhenger av utseendet.) Trikset er at lineære ligninger ikke bare er formlikninger øks + b = 0 , men også alle ligninger som kan reduseres til denne formen ved transformasjoner og forenklinger. Og hvem vet om det kommer ned eller ikke?)

En lineær ligning kan tydelig gjenkjennes i noen tilfeller. La oss si, hvis vi har en ligning der det bare er ukjente i første grad og tall. Og i ligningen er det nei brøker delt på ukjent , dette er viktig! Og divisjon etter tall, eller en tallbrøk - det er velkomment! For eksempel:

Dette er en lineær ligning. Det er brøker her, men det er ingen x-er i kvadratet, terningen osv., og ingen x-er i nevnerne, dvs. Ingen divisjon på x. Og her er ligningen

kan ikke kalles lineær. Her er X-ene alle i første grad, men det er det divisjon etter uttrykk med x. Etter forenklinger og transformasjoner kan du få en lineær ligning, en kvadratisk ligning eller hva du vil.

Det viser seg at det er umulig å gjenkjenne den lineære ligningen i et eller annet komplisert eksempel før du nesten løser det. Dette er opprørende. Men i oppgaver spør de som regel ikke om formen på ligningen, ikke sant? Oppgavene ber om likninger avgjøre. Dette gjør meg glad.)

Løse lineære ligninger. Eksempler.

Hele løsningen av lineære ligninger består av identiske transformasjoner av ligningene. Disse transformasjonene (to av dem!) er forresten grunnlaget for løsningene alle matematikkens ligninger. Med andre ord, løsningen noen ligningen begynner med nettopp disse transformasjonene. Når det gjelder lineære ligninger, er den (løsningen) basert på disse transformasjonene og ender med et fullstendig svar. Det er fornuftig å følge lenken, ikke sant?) Dessuten er det også eksempler på å løse lineære ligninger der.

La oss først se på det enkleste eksemplet. Uten noen fallgruver. Anta at vi må løse denne ligningen.

x - 3 = 2 - 4x

Dette er en lineær ligning. X-ene er alle i første potens, det er ingen divisjon med X-er. Men faktisk spiller det ingen rolle for oss hva slags ligning det er. Vi må løse det. Opplegget her er enkelt. Samle alt med X-er på venstre side av ligningen, alt uten X-er (tall) til høyre.

For å gjøre dette må du overføre - 4x til venstre side, med fortegnsendring, selvfølgelig, og - 3 - til høyre. Dette er forresten den første identiske transformasjonen av ligninger. Overrasket? Dette betyr at du ikke fulgte linken, men forgjeves...) Vi får:

x + 4x = 2 + 3

Her er lignende, vi vurderer:

Hva trenger vi for fullstendig lykke? Ja, slik at det er en ren X til venstre! Fem er i veien. Bli kvitt de fem med hjelp den andre identiske transformasjonen av ligninger. Vi deler nemlig begge sider av ligningen med 5. Vi får et klart svar:

Et elementært eksempel, selvfølgelig. Dette er for oppvarming.) Det er ikke veldig klart hvorfor jeg husket identiske transformasjoner her? OK. La oss ta oksen ved hornene.) La oss bestemme noe mer solid.

For eksempel, her er ligningen:

Hvor skal vi begynne? Med X-er - til venstre, uten X-er - til høyre? Det er mulig. Små skritt langs en lang vei. Eller du kan gjøre det med en gang, på en universell og kraftig måte. Hvis du selvfølgelig har identiske transformasjoner av ligninger i arsenalet ditt.

Jeg stiller deg et sentralt spørsmål: Hva misliker du mest med denne ligningen?

95 av 100 personer vil svare: brøker ! Svaret er riktig. Så la oss bli kvitt dem. Derfor starter vi umiddelbart med andre identitetstransformasjon. Hva trenger du for å gange brøken til venstre med slik at nevneren blir fullstendig redusert? Det stemmer, på 3. Og til høyre? Med 4. Men matematikken lar oss multiplisere begge sider med samme nummer. Hvordan kan vi komme oss ut? La oss multiplisere begge sider med 12! De. til en fellesnevner. Da blir både de tre og de fire redusert. Ikke glem at du må multiplisere hver del fullstendig. Slik ser det første trinnet ut:

Utvide parentesene:

Vær oppmerksom! Teller (x+2) Jeg setter den i parentes! Dette er fordi når du multipliserer brøker, multipliseres hele telleren! Nå kan du redusere brøker:

Utvid de resterende parentesene:

Ikke et eksempel, men ren nytelse!) La oss nå huske en trolldom fra barneskolen: med X - til venstre, uten X - til høyre! Og bruk denne transformasjonen:

Her er noen lignende:

Og del begge deler med 25, dvs. bruk den andre transformasjonen igjen:

Det er det. Svare: X=0,16

Vennligst merk: for å bringe den originale forvirrende ligningen til en fin form, brukte vi to (bare to!) identitetstransformasjoner– oversettelse venstre-høyre med endring av fortegn og multiplikasjon-divisjon av en ligning med samme tall. Dette er en universell metode! Vi skal jobbe på denne måten med noen ligninger! Absolutt hvem som helst. Det er derfor jeg kjedelig gjentar disse identiske transformasjonene hele tiden.)

Som du kan se, er prinsippet for å løse lineære ligninger enkelt. Vi tar ligningen og forenkler den ved å bruke identiske transformasjoner til vi får svaret. Hovedproblemene her ligger i beregningene, ikke i løsningsprinsippet.

Men... Det er slike overraskelser i prosessen med å løse de mest elementære lineære ligningene at de kan drive deg inn i en sterk stupor...) Heldigvis kan det bare være to slike overraskelser. La oss kalle dem spesielle tilfeller.

Spesielle tilfeller ved løsning av lineære ligninger.

Første overraskelse.

Anta at du kommer over en veldig grunnleggende ligning, noe sånt som:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Litt kjedelige flytter vi den med X til venstre, uten X - til høyre... Med fortegnsskifte er alt perfekt... Vi får:

2x-5x+3x=5-2-3

Vi teller, og... ops!!! Vi får:

Denne likestillingen i seg selv er ikke kritikkverdig. Null er virkelig null. Men X mangler! Og vi må skrive ned i svaret, hva er x lik? Ellers teller ikke løsningen, ikke sant...) Deadlock?

Rolig! I slike tvilsomme tilfeller vil de mest generelle reglene redde deg. Hvordan løse likninger? Hva vil det si å løse en ligning? Dette betyr, finn alle verdiene av x som, når de erstattes med den opprinnelige ligningen, vil gi oss den riktige likheten.

Men vi har ekte likhet allerede det fungerte! 0=0, hvor mye mer nøyaktig?! Det gjenstår å finne ut ved hvilke x-er dette skjer. Hvilke verdier av X kan erstattes med opprinnelig ligning hvis disse x-ene vil de fortsatt reduseres til null? Kom igjen?)

Ja!!! X-er kan erstattes noen! Hvilke vil du ha? Minst 5, minst 0,05, minst -220. De vil fortsatt krympe. Hvis du ikke tror meg, kan du sjekke det.) Bytt inn alle verdier av X opprinnelig ligning og regn ut. Hele tiden vil du få den rene sannheten: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 og så videre.

Her er svaret ditt: x - et hvilket som helst tall.

Svaret kan skrives i forskjellige matematiske symboler, essensen endres ikke. Dette er et helt riktig og fullstendig svar.

Andre overraskelse.

La oss ta den samme elementære lineære ligningen og endre bare ett tall i den. Dette er hva vi skal bestemme:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Etter de samme identiske transformasjonene får vi noe spennende:

Som dette. Vi løste en lineær ligning og fikk en merkelig likhet. I matematiske termer fikk vi falsk likestilling. Men forenklet sett er dette ikke sant. Rave. Men ikke desto mindre er dette tullet en veldig god grunn for den riktige løsningen av ligningen.)

Igjen tenker vi basert på generelle regler. Hva x-er, når de erstattes med den opprinnelige ligningen, vil gi oss ekte likestilling? Ja, ingen! Det finnes ingen slike X-er. Uansett hva du legger inn, vil alt reduseres, bare tull blir igjen.)

Her er svaret ditt: det finnes ingen løsninger.

Dette er også et helt komplett svar. I matematikk finner man ofte slike svar.

Som dette. Nå håper jeg at forsvinningen av X-er i ferd med å løse en hvilken som helst (ikke bare lineær) ligning ikke vil forvirre deg i det hele tatt. Dette er allerede en kjent sak.)

Nå som vi har behandlet alle fallgruvene i lineære ligninger, er det fornuftig å løse dem.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

å løse matematikk. Finn raskt løse en matematisk ligning i modus online. Nettstedet www.site tillater løse ligningen nesten hvilken som helst gitt algebraisk, trigonometrisk eller transcendental ligning online. Når du studerer nesten hvilken som helst gren av matematikk på forskjellige stadier, må du bestemme deg ligninger på nettet. For å få svar umiddelbart, og viktigst av alt et nøyaktig svar, trenger du en ressurs som lar deg gjøre dette. Takket være nettstedet www.site løse ligninger på nett vil ta noen minutter. Den største fordelen med www.site når du løser matematiske ligninger på nettet- dette er hastigheten og nøyaktigheten til svaret som gis. Siden er i stand til å løse alle algebraiske ligninger på nettet, trigonometriske ligninger på nettet, transcendentale ligninger på nettet, og også ligninger med ukjente parametere i modus online. Ligninger tjene som et kraftig matematisk apparat løsninger praktiske problemer. Med hjelpen matematiske ligninger det er mulig å uttrykke fakta og sammenhenger som kan virke forvirrende og komplekse ved første øyekast. Ukjente mengder ligninger kan finnes ved å formulere problemet i matematisk språk i formen ligninger Og avgjøre mottatt oppgave i modus online på nettsiden www.site. Noen algebraisk ligning, trigonometrisk ligning eller ligninger inneholder transcendental funksjoner du enkelt kan avgjøre online og få det nøyaktige svaret. Når du studerer naturvitenskap, møter du uunngåelig behovet løse ligninger. I dette tilfellet må svaret være nøyaktig og må innhentes umiddelbart i modusen online. Derfor for løse matematiske ligninger på nettet vi anbefaler nettstedet www.site, som vil bli din uunnværlige kalkulator for løse algebraiske ligninger online, trigonometriske ligninger på nettet, og også transcendentale ligninger på nettet eller ligninger med ukjente parametere. For praktiske problemer med å finne røttene til ulike matematiske ligninger ressurs www.. Løsning ligninger på nettet selv, er det nyttig å sjekke det mottatte svaret ved hjelp av online ligningsløsning på nettsiden www.site. Du må skrive ligningen riktig og umiddelbart få nettløsning, hvoretter det gjenstår bare å sammenligne svaret med løsningen din på ligningen. Å sjekke svaret tar ikke mer enn et minutt, det er nok løse ligningen på nettet og sammenligne svarene. Dette vil hjelpe deg å unngå feil i avgjørelse og korriger svaret i tide når løse ligninger på nett være det algebraisk, trigonometrisk, transcendental eller ligning med ukjente parametere.

La oss analysere to typer løsninger på ligningssystemer:

1. Løse systemet ved hjelp av substitusjonsmetoden.
2. Løse systemet ved ledd-for-ledd addisjon (subtraksjon) av systemlikningene.

For å løse ligningssystemet etter substitusjonsmetode du må følge en enkel algoritme:
1. Express. Fra enhver ligning uttrykker vi én variabel.
2. Vikar. Vi erstatter den resulterende verdien i en annen ligning i stedet for den uttrykte variabelen.
3. Løs den resulterende ligningen med én variabel. Vi finner en løsning på systemet.

Å bestemme system etter term-for-term addisjon (subtraksjon) metode trenger å:
1. Velg en variabel som vi skal lage identiske koeffisienter for.
2. Vi legger til eller subtraherer ligninger, noe som resulterer i en ligning med én variabel.
3. Løs den resulterende lineære ligningen. Vi finner en løsning på systemet.

Løsningen på systemet er skjæringspunktene til funksjonsgrafene.

La oss vurdere i detalj løsningen av systemer ved å bruke eksempler.

Eksempel #1:

La oss løse med substitusjonsmetode

Løse et ligningssystem ved hjelp av substitusjonsmetoden

2x+5y=1 (1 ligning)
x-10y=3 (andre ligning)

1. Express
Man kan se at i den andre ligningen er det en variabel x med koeffisient 1, som betyr at det er lettest å uttrykke variabelen x fra den andre ligningen.
x=3+10y

2.Etter at vi har uttrykt det, erstatter vi 3+10y i den første ligningen i stedet for variabelen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Løs den resulterende ligningen med én variabel.
2(3+10y)+5y=1 (åpne parentesene)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Løsningen til ligningssystemet er skjæringspunktene til grafene, derfor må vi finne x og y, fordi skjæringspunktet består av x og y La oss finne x, i det første punktet der vi uttrykte det erstatter vi y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Det er vanlig å skrive poeng i første omgang skriver vi variabelen x, og for det andre variabelen y.
Svar: (1; -0,2)

Eksempel #2:

La oss løse ved å bruke term-for-term addisjon (subtraksjon) metoden.

Løse et ligningssystem ved hjelp av addisjonsmetoden

3x-2y=1 (1 ligning)
2x-3y=-10 (andre ligning)

1. Vi velger en variabel, la oss si at vi velger x. I den første likningen har variabelen x en koeffisient på 3, i den andre - 2. Vi må gjøre koeffisientene like, for dette har vi rett til å multiplisere likningene eller dele med et hvilket som helst tall. Vi multipliserer den første ligningen med 2, og den andre med 3 og får en total koeffisient på 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Trekk den andre fra den første ligningen for å bli kvitt variabelen x Løs den lineære ligningen.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finn x. Vi erstatter funnet y i hvilken som helst av ligningene, la oss si inn i den første ligningen.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Skjæringspunktet vil være x=4,6; y=6,4
Svar: (4.6; 6.4)

Vil du forberede deg til eksamen gratis? Lærer online gratis. Ingen spøk.

Andregradsligninger studeres i 8. klasse, så det er ikke noe komplisert her. Evnen til å løse dem er helt nødvendig.

En andregradsligning er en ligning av formen ax 2 + bx + c = 0, hvor koeffisientene a, b og c er vilkårlige tall, og a ≠ 0.

Før du studerer spesifikke løsningsmetoder, merk at alle kvadratiske ligninger kan deles inn i tre klasser:

1. Har ingen røtter;
2. Ha nøyaktig én rot;
3. De har to forskjellige røtter.

Dette er en viktig forskjell mellom kvadratiske ligninger og lineære, der roten alltid eksisterer og er unik. Hvordan bestemme hvor mange røtter en ligning har? Det er en fantastisk ting for dette - diskriminerende.

Diskriminerende

La andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0 gis Da er diskriminanten ganske enkelt tallet D = b 2 − 4ac.

Du må kunne denne formelen utenat. Hvor det kommer fra er ikke viktig nå. En annen ting er viktig: ved fortegnet til diskriminanten kan du bestemme hvor mange røtter en kvadratisk ligning har. Nemlig:

1. Hvis D< 0, корней нет;
2. Hvis D = 0, er det nøyaktig én rot;
3. Hvis D > 0, vil det være to røtter.

Vær oppmerksom på: diskriminanten indikerer antall røtter, og ikke i det hele tatt deres tegn, som mange av en eller annen grunn tror. Ta en titt på eksemplene og du vil forstå alt selv:

Oppgave. Hvor mange røtter har kvadratiske ligninger:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

La oss skrive ut koeffisientene for den første ligningen og finne diskriminanten:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Så diskriminanten er positiv, så ligningen har to forskjellige røtter. Vi analyserer den andre ligningen på en lignende måte:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminanten er negativ, det er ingen røtter. Den siste ligningen som er igjen er:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminanten er null - roten vil være én.

Vær oppmerksom på at koeffisientene er skrevet ned for hver ligning. Ja, det er langt, ja, det er kjedelig, men du vil ikke blande oddsen og gjøre dumme feil. Velg selv: hastighet eller kvalitet.

Forresten, hvis du får taket på det, trenger du etter en stund ikke å skrive ned alle koeffisientene. Du vil utføre slike operasjoner i hodet ditt. De fleste begynner å gjøre dette et sted etter 50-70 løste ligninger - generelt sett ikke så mye.

Røttene til en andregradsligning

La oss nå gå videre til selve løsningen. Hvis diskriminanten D > 0, kan røttene bli funnet ved å bruke formlene:

Grunnformel for røttene til en andregradsligning

Når D = 0, kan du bruke hvilken som helst av disse formlene - du vil få samme tall, som vil være svaret. Til slutt, hvis D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Første ligning:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ligningen har to røtter. La oss finne dem:

Andre ligning:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ligningen har igjen to røtter. La oss finne dem

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Til slutt den tredje ligningen:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ligningen har én rot. Enhver formel kan brukes. For eksempel den første:

Som du kan se fra eksemplene, er alt veldig enkelt. Hvis du kan formlene og kan telle, vil det ikke være noen problemer. Oftest oppstår feil når du erstatter negative koeffisienter i formelen. Her igjen vil teknikken beskrevet ovenfor hjelpe: se på formelen bokstavelig talt, skriv ned hvert trinn - og veldig snart vil du bli kvitt feil.

Ufullstendige andregradsligninger

Det hender at en andregradsligning er litt forskjellig fra det som er gitt i definisjonen. For eksempel:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Det er lett å legge merke til at disse ligningene mangler ett av begrepene. Slike kvadratiske ligninger er enda enklere å løse enn standardligninger: de krever ikke engang beregning av diskriminanten. Så la oss introdusere et nytt konsept:

Ligningen ax 2 + bx + c = 0 kalles en ufullstendig andregradsligning hvis b = 0 eller c = 0, dvs. koeffisienten til variabelen x eller det frie elementet er lik null.

Selvfølgelig er et veldig vanskelig tilfelle mulig når begge disse koeffisientene er lik null: b = c = 0. I dette tilfellet har ligningen formen ax 2 = 0. En slik ligning har åpenbart en enkelt rot: x = 0.

La oss vurdere de resterende tilfellene. La b = 0, så får vi en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c = 0. La oss transformere den litt:

Siden den aritmetiske kvadratroten kun eksisterer av et ikke-negativt tall, gir den siste likheten bare mening for (−c /a) ≥ 0. Konklusjon:

1. Hvis ulikheten (−c /a) ≥ 0 er tilfredsstilt i en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c = 0, vil det være to røtter. Formelen er gitt ovenfor;
2. Hvis (−c /a)< 0, корней нет.

Som du kan se, var det ikke nødvendig med en diskriminant - det er ingen komplekse beregninger i det hele tatt i ufullstendige kvadratiske ligninger. Faktisk er det ikke engang nødvendig å huske ulikheten (−c /a) ≥ 0. Det er nok å uttrykke verdien x 2 og se hva som er på den andre siden av likhetstegnet. Hvis det er et positivt tall, vil det være to røtter. Hvis det er negativt, blir det ingen røtter i det hele tatt.

La oss nå se på ligninger av formen ax 2 + bx = 0, der det frie elementet er lik null. Alt er enkelt her: det vil alltid være to røtter. Det er nok å faktorisere polynomet:

Å ta den felles faktoren ut av parentes

Produktet er null når minst én av faktorene er null. Det er her røttene kommer fra. Avslutningsvis, la oss se på noen av disse ligningene:

Oppgave. Løs kvadratiske ligninger:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Det er ingen røtter, fordi et kvadrat kan ikke være lik et negativt tall.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.