• 09.10.2014

  Forforsterkeren vist på figuren er designet for å brukes med 4 typer lydkilder, som mikrofon, CD-spiller, radiobåndopptaker osv. Samtidig har forforsterkeren én inngang som kan endre følsomheten fra 50mV til 500mV. utgangsspenningen til forsterkeren er 1000mV. Kobler til ulike kilder signal når du bytter bryter SA1, vil vi alltid få ...

• 20.09.2014

  PSU-en er designet for en belastning med en effekt på 15 ... 20 watt. Kilden er laget i henhold til skjemaet til en enkeltsyklus pulset høyfrekvensomformer. En oscillator som opererer med en frekvens på 20 ... 40 kHz er montert på transistoren. Frekvensen justeres av kapasitansen C5. Elementene VD5, VD6 og C6 danner en krets for å starte en oscillator. I sekundærkretsen, etter brolikeretteren, er det en konvensjonell lineær stabilisator på en mikrokrets, som lar deg ha ...

• 28.09.2014

  Figuren viser en generator på en K174XA11-brikke, hvis frekvens styres av spenning. Ved å endre kapasitansen C1 fra 560 til 4700pF kan man få et bredt frekvensområde, mens frekvensen justeres ved å endre motstanden R4. For eksempel fant forfatteren ut at ved C1 \u003d 560pF kan generatorfrekvensen endres ved hjelp av R4 fra 600Hz til 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Enheten er designet for å drive en kraftig ULF, den er designet for en utgangsspenning på ± 27V og laster dermed opptil 3A på hver arm. PSU-en er bipolar, laget på komplette kompositttransistorer KT825-KT827. Begge armene til stabilisatoren er laget i henhold til samme skjema, men i den andre armen (den er ikke vist) endres polariteten til kondensatorene og transistorer til den andre brukes ...

Evnen til å beregne volumet av romlige figurer er viktig for å løse en rekke praktiske problemer innen geometri. En av de vanligste formene er pyramiden. I denne artikkelen vil vi vurdere pyramidene, både fulle og avkortede.

Pyramide som en tredimensjonal figur

Alle vet om egyptiske pyramider, derfor er det godt representert om hvilken figur vil bli diskutert. Likevel er egyptiske steinstrukturer bare et spesielt tilfelle av en enorm klasse pyramider.

Betraktes som geometrisk objekt i generell sak er en polygonal base, hvor hvert toppunkt er forbundet med et punkt i rommet som ikke hører til grunnplanet. Denne definisjonen fører til en figur som består av én n-gon og n trekanter.

Enhver pyramide består av n+1 flater, 2*n kanter og n+1 toppunkter. Siden figuren som vurderes er et perfekt polyeder, følger antallet markerte elementer Euler-ligningen:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Polygonen som ligger ved basen gir navnet på pyramiden, for eksempel trekantet, femkantet, og så videre. Et sett med pyramider med forskjellige baser er vist på bildet nedenfor.

Punktet der n trekanter i figuren er koblet sammen kalles toppen av pyramiden. Hvis en perpendikulær senkes fra den til basen og den skjærer den i det geometriske sentrum, vil en slik figur bli kalt en rett linje. Hvis denne betingelsen ikke er oppfylt, er det en skrå pyramide.

En rett figur, hvis basis er dannet av en likesidet (likkantet) n-gon, kalles regulær.

Formel for pyramidevolum

For å beregne volumet til pyramiden bruker vi integralregningen. For å gjøre dette deler vi figuren med sekantplan parallelt med basen i et uendelig antall tynne lag. Figuren under viser en firkantet pyramide med høyde h og sidelengde L, hvor et tynt snittlag er markert med en firkant.

Arealet til hvert slikt lag kan beregnes med formelen:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Her er A 0 arealet av basen, z er verdien av den vertikale koordinaten. Det kan sees at hvis z = 0, så gir formelen verdien A 0 .

For å få formelen for volumet til pyramiden, bør du beregne integralet over hele høyden på figuren, det vil si:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Ved å erstatte avhengigheten A(z) og beregne antideriverten, kommer vi til uttrykket:

V = -A0*(h-z)3/(3*h2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * t.

Vi har fått formelen for volumet til en pyramide. For å finne verdien av V, er det nok å multiplisere høyden på figuren med arealet av basen, og deretter dele resultatet med tre.

Merk at det resulterende uttrykket er gyldig for å beregne volumet til en pyramide av en vilkårlig type. Det vil si at den kan skråstilles, og basen kan være en vilkårlig n-gon.

og volumet

Mottatt i avsnitt ovenfor generell formel for volum kan foredles i tilfelle av en pyramide med en vanlig base. Arealet til en slik base beregnes ved hjelp av følgende formel:

A 0 = n/4*L2 *ctg(pi/n).

Her er L sidelengden til en regulær polygon med n toppunkter. Symbolet pi er tallet pi.

Ved å erstatte uttrykket for A 0 i den generelle formelen får vi volumet riktig pyramide:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

For eksempel, for en trekantet pyramide, fører denne formelen til følgende uttrykk:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * t.

For det riktige firkantet pyramide volumformelen har formen:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * t.

Å bestemme volumene til vanlige pyramider krever å kjenne siden av basen deres og høyden på figuren.

Pyramide avkortet

Anta at vi har tatt en vilkårlig pyramide og kuttet av en del av sideoverflaten som inneholder toppunktet. Den gjenværende figuren kalles en avkortet pyramide. Den består allerede av to n-gonale baser og n trapeser som forbinder dem. Hvis skjæreplanet var parallelt med bunnen av figuren, dannes en avkortet pyramide med parallelle lignende baser. Det vil si at lengdene på sidene til en av dem kan oppnås ved å multiplisere lengdene til den andre med en koeffisient k.

Figuren over viser en avkortet regulær.Det kan sees at dens øvre base, som den nedre, er dannet av en regulær sekskant.

En formel som kan utledes ved hjelp av noe slikt integralregning, ser ut som:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Der A 0 og A 1 er arealene til henholdsvis den nedre (store) og den øvre (små) basen. Variabelen h angir høyden på den avkortede pyramiden.

Volumet av Cheops-pyramiden

Det er nysgjerrig å løse problemet med å bestemme volumet som den største egyptiske pyramiden inneholder.

I 1984 etablerte de britiske egyptologene Mark Lehner og Jon Goodman de nøyaktige dimensjonene til Cheops-pyramiden. Den opprinnelige høyden var 146,50 meter (for tiden omtrent 137 meter). Gjennomsnittlig lengde på hver av de fire sidene av strukturen var 230.363 meter. Basen til pyramiden høy presisjon er firkantet.

La oss bruke de gitte tallene for å bestemme volumet til denne steingiganten. Siden pyramiden er en vanlig firkantet, er formelen gyldig for den:

Plugger inn tallene får vi:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m 3.

Volumet av Cheops-pyramiden er nesten 2,6 millioner m 3. Til sammenligning bemerker vi at det olympiske bassenget har et volum på 2,5 tusen m 3. Det vil si at for å fylle hele Cheops-pyramiden, vil det være behov for mer enn 1000 slike bassenger!

Pyramide. Avkuttet pyramide

Pyramide kalles et polyeder, hvor en av ansiktene er en polygon ( utgangspunkt ), og alle andre flater er trekanter med et felles toppunkt ( sideflater ) (Fig. 15). Pyramiden kalles riktig hvis basen er vanlig polygon og toppen av pyramiden projiseres inn i midten av basen (fig. 16). En trekantet pyramide der alle kanter er like kalles tetraeder .

Sideribbe pyramiden kalles siden av sideflaten som ikke hører til basen Høyde pyramiden er avstanden fra toppen til basens plan. Alle sidekanter av en vanlig pyramide er like hverandre, alle sideflater er like likebente trekanter. Høyden på sideflaten til en vanlig pyramide trukket fra toppunktet kalles apotem . diagonalt snitt En del av en pyramide kalles et plan som går gjennom to sidekanter som ikke tilhører samme flate.

Sideoverflate pyramiden kalles summen av arealene til alle sideflater. område full overflate er summen av arealene til alle sideflatene og basen.

Teoremer

1. Hvis alle sidekanter i en pyramide er like skråstilt til basens plan, projiseres toppen av pyramiden inn i midten av den omskrevne sirkelen nær basen.

2. Hvis i pyramiden alle sidekanter har like lengder, så projiseres toppen av pyramiden inn i midten av den omskrevne sirkelen nær basen.

3. Hvis alle flater i pyramiden er like tilbøyelige til basens plan, projiseres toppen av pyramiden inn i midten av sirkelen som er innskrevet i basen.

For å beregne volumet til en vilkårlig pyramide, er formelen riktig:

Hvor V- volum;

S hoved- basisareal;

H er høyden på pyramiden.

For en vanlig pyramide er følgende formler sanne:

Hvor s- omkretsen av basen;

h a- apotem;

H- høyde;

S full

S-siden

S hoved- basisareal;

V er volumet til en vanlig pyramide.

avkortet pyramide kalt den delen av pyramiden som er innelukket mellom bunnen og skjæreplanet parallelt med bunnen av pyramiden (fig. 17). Korriger avkortet pyramide kalt delen av en vanlig pyramide, innelukket mellom bunnen og et skjæreplan parallelt med bunnen av pyramiden.

Fundamenter avkortet pyramide - lignende polygoner. Sideflater - trapes. Høyde avkortet pyramide kalles avstanden mellom dens baser. Diagonal En avkortet pyramide er et segment som forbinder toppene som ikke ligger på samme side. diagonalt snitt En del av en avkortet pyramide kalles et plan som går gjennom to sidekanter som ikke tilhører samme side.

For en avkortet pyramide er formlene gyldige:

(4)

Hvor S 1 , S 2 - områder av øvre og nedre baser;

S full er det totale overflatearealet;

S-siden er det laterale overflatearealet;

H- høyde;

V er volumet til den avkortede pyramiden.

For en vanlig avkortet pyramide er følgende formel sann:

Hvor s 1 , s 2 - base omkrets;

h a- apotemet til en vanlig avkortet pyramide.

Eksempel 1 Til høyre trekantet pyramide den dihedriske vinkelen ved basen er 60º. Finn tangenten til helningsvinkelen til sidekanten til basens plan.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 18).

Pyramiden er riktig, det betyr ved basen likesidet trekant og alle sideflater er like likebente trekanter. Dihedral vinkel ved basen - dette er helningsvinkelen til sideflaten til pyramiden til basens plan. Den lineære vinkelen vil være vinkelen en mellom to perpendikulære: dvs. Toppen av pyramiden projiseres i midten av trekanten (senteret av den omskrevne sirkelen og den innskrevne sirkelen i trekanten ABC). Helningsvinkelen til sideribben (for eksempel SB) er vinkelen mellom selve kanten og dens projeksjon på grunnplanet. Til ribbe SB denne vinkelen vil være vinkelen SBD. For å finne tangenten må du kjenne beina SÅ Og OB. La lengden på segmentet BD er 3 EN. punktum OM linjestykke BD er delt inn i deler: og Fra finner vi SÅ: Fra finner vi:

Svar:

Eksempel 2 Finn volumet til en vanlig avkortet firkantet pyramide hvis diagonalene til basene er cm og cm og høyden er 4 cm.

Løsning. For å finne volumet til en avkortet pyramide bruker vi formel (4). For å finne arealene til basene må du finne sidene til grunnrutene, og kjenne diagonalene deres. Sidene av basene er henholdsvis 2 cm og 8 cm. Dette betyr arealene til basene og Ved å erstatte alle dataene i formelen, beregner vi volumet til den avkortede pyramiden:

Svar: 112 cm3.

Eksempel 3 Finn arealet av sideflaten til en vanlig trekantet avkortet pyramide hvis sider av basene er 10 cm og 4 cm, og høyden på pyramiden er 2 cm.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 19).

Sideflaten til denne pyramiden er en likebenet trapes. For å beregne arealet til en trapes, må du vite basene og høyden. Basene er gitt etter tilstand, bare høyden forblir ukjent. Finn den fra hvor EN 1 E vinkelrett fra et punkt EN 1 på planet til den nedre basen, EN 1 D- vinkelrett fra EN 1 på AC. EN 1 E\u003d 2 cm, siden dette er høyden på pyramiden. For å finne DE vi vil lage en ekstra tegning, der vi vil skildre en toppvisning (fig. 20). Punktum OM- projeksjon av sentrene til øvre og nedre baser. siden (se fig. 20) og På den annen side OK er radiusen til den innskrevne sirkelen og OM er radiusen til den innskrevne sirkelen:

MK=DE.

I følge Pythagoras teorem fra

Sideflateområde:

Svar:

Eksempel 4 Ved bunnen av pyramiden ligger en likebenet trapes, hvis baser EN Og b (en> b). Hver sideflate danner en vinkel med planet til bunnen av pyramiden j. Finn det totale overflatearealet til pyramiden.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 21). Totalt overflateareal av pyramiden SABCD er lik summen av arealene og arealet av trapesen ABCD.

Vi bruker påstanden om at hvis alle flatene til pyramiden er like tilbøyelige til basens plan, så projiseres toppunktet inn i midten av sirkelen som er innskrevet i basen. Punktum OM- toppunktprojeksjon S ved bunnen av pyramiden. Triangel SOD er den ortogonale projeksjonen av trekanten CSD til grunnplanet. Ved teoremet for ortogonalt projeksjonsareal flat figur vi får:

På samme måte betyr det Dermed ble problemet redusert til å finne området til trapesen ABCD. Tegn en trapes ABCD separat (fig. 22). Punktum OM er sentrum av en sirkel innskrevet i en trapes.

Siden en sirkel kan skrives inn i en trapes, har vi eller Ved Pythagoras teorem

- Dette er et polyeder, som er dannet av bunnen av pyramiden og en seksjon parallelt med den. Vi kan si at en avkortet pyramide er en pyramide med en avskåret topp. Denne figuren har mange unike egenskaper:

• Sideflatene til pyramiden er trapeser;
• Sidekanter av en vanlig avkortet pyramide samme lengde og skråstilt til basen i samme vinkel;
• Basene er lignende polygoner;
• I en vanlig avkortet pyramide er ansiktene de samme likebente trapeser, hvis areal er likt. De er også tilbøyelige til basen i en vinkel.

Formelen for arealet av sideoverflaten til en avkortet pyramide er summen av områdene på sidene:

Siden sidene av den avkortede pyramiden er trapeser, må du bruke formelen for å beregne parametrene trapesformet område. For en vanlig avkortet pyramide kan en annen formel for å beregne arealet brukes. Siden alle sidene, flatene og vinklene ved basen er like, er det mulig å bruke omkretsene til basen og apotemet, og også utlede arealet gjennom vinkelen ved basen.

Hvis, i henhold til forholdene i en vanlig avkortet pyramide, apotemet (høyden på siden) og lengdene på sidene av basen er gitt, kan arealet beregnes gjennom halvproduktet av summen av omkretsene til basene og apotemet:

La oss se på et eksempel på beregning av sideoverflatearealet til en avkortet pyramide.
Gitt en vanlig femkantet pyramide. Apotem l\u003d 5 cm, lengden på ansiktet i den store basen er en\u003d 6 cm, og ansiktet er på den mindre basen b\u003d 4 cm. Beregn arealet av den avkortede pyramiden.

La oss først finne omkretsen til basene. Siden vi får en femkantet pyramide, forstår vi at basene er femkanter. Dette betyr at basene er en figur med fem like sider. Finn omkretsen til den større basen:

På samme måte finner vi omkretsen til den mindre basen:

Nå kan vi beregne arealet til en vanlig avkortet pyramide. Vi erstatter dataene i formelen:

Dermed beregnet vi arealet til en vanlig avkortet pyramide gjennom omkretsen og apotem.

En annen måte å beregne sideoverflatearealet til en vanlig pyramide er formelen gjennom hjørnene ved basen og området til disse selve basene.

La oss se på et eksempel på beregning. Husk at gitt formel gjelder bare for en vanlig avkortet pyramide.

La en vanlig firkantet pyramide gis. Forsiden av den nedre basen er a = 6 cm, og overflaten til den øvre b = 4 cm. Den dihedriske vinkelen ved basen er β = 60°. Finn det laterale overflatearealet til en vanlig avkortet pyramide.

Først, la oss beregne arealet av basene. Siden pyramiden er regelmessig, er alle overflatene til basene like med hverandre. Gitt at basen er en firkant, forstår vi at det vil være nødvendig å beregne kvadratisk areal. Det er produktet av bredde og lengde, men i kvadrat er disse verdiene de samme. Finn arealet til den større basen:


Nå bruker vi de funnet verdiene for å beregne sideoverflatearealet.

Ved å vite noen få enkle formler, beregnet vi enkelt arealet til den laterale trapesen til en avkortet pyramide gjennom forskjellige verdier.