La oss se nå om det er sant bølgeligning beskriver grunnleggende egenskaper lydbølger i miljøet. Først og fremst ønsker vi å utlede det sonisk vibrasjon, eller forstyrrelse, beveger seg med konstant hastighet. I tillegg må vi bevise at to forskjellige vibrasjoner fritt kan passere gjennom hverandre, det vil si superposisjonsprinsippet. Vi ønsker også å bevise at lyd kan forplante seg både til høyre og venstre. Alle disse egenskapene må inneholdes i vår enkeltlikning.

Tidligere har vi bemerket at enhver forstyrrelse som har form av en plan bølge og beveger seg med konstant hastighet kan skrives som f(x—vt). La oss nå se om f(x— vt) løsning av bølgeligningen. Databehandling dχ/dx, vi får den deriverte av funksjonen d χ / dx= f`(x—vt). Å differensiere igjen, finner vi

Å skille den samme funksjonen χ Av t, få verdien - v, multiplisert med den deriverte, eller d χ / dt = —vf`(x — vt); den andre deriverte med hensyn til tid gir

Det er åpenbart at f (X — vt) tilfredsstiller bølgeligningen if v er lik cs.
Fra mekanikkens lover får vi altså at enhver lydforstyrrelse forplanter seg med en hastighet cs og forresten,

derved vi har relatert hastigheten til lydbølgene til egenskapenemiljø.

Det er lett å se at en lydbølge også kan forplante seg i retning negativ X, dvs. en lydforstyrrelse av formen χ(x, t)=g(x+vt) tilfredsstiller også bølgeligningen. Den eneste forskjellen mellom denne bølgen og den som forplantet seg fra venstre til høyre er tegnet v, men tegn d 2 χ / dt2 er ikke avhengig av valg x+vt eller X—vt, fordi dette derivatet bare inneholder v 2. Det følger at løsningen av ligningen beskriver bølger som beveger seg i alle retninger med en hastighet cs .


Av spesiell interesse er spørsmålet om overlagring av løsninger. La oss si at vi fant én løsning, la oss si χ 1 . Dette betyr at den andre deriverte χ 1 . Av X lik den andre deriverte χ 1 Av t, multiplisert med 1/c 2 s . Og la det være en annen løsning χ 2 har samme eiendom. Legger vi til disse to løsningene, får vi

Nå vil vi forsikre oss om det χ(x,t) representerer også en viss bølge, dvs. χ tilfredsstiller også bølgeligningen. Dette er veldig enkelt å bevise, siden

Derfor følger det d 2 χ/dx 2 = (1/c 2 s)d2χ ldt2, så gyldigheten av superposisjonsprinsippet er verifisert. Selve eksistensen av superposisjonsprinsippet skyldes det faktum at bølgeligningen lineært Av χ .


Nå vil det være naturlig å forvente at en leilighet lysbølge, forplanter seg langs aksen X og polarisert slik at det elektriske feltet er rettet langs aksen på, tilfredsstiller også bølgeligningen

Hvor Med er lysets hastighet. Bølgeligningen for en lysbølge er en av konsekvensene av Maxwells ligninger. Elektrodynamikkens likninger fører til en bølgeligning for lys, akkurat som mekanikkens likninger fører til en bølgeligning for lyd.

Bølger. bølgeligning

I tillegg til bevegelsene vi allerede har vurdert, er det på nesten alle områder av fysikk en annen type bevegelse - bølger. Særpreget trekk Denne bevegelsen, som gjør den unik, er at det ikke er materiepartiklene som forplanter seg i bølgen, men endringer i deres tilstand (perturbasjoner).

Forstyrrelser som forplanter seg i rommet over tid kalles bølger . Bølger er mekaniske og elektromagnetiske.

elastiske bølgerer forplantende forstyrrelser av det elastiske mediet.

En forstyrrelse av et elastisk medium er ethvert avvik av partiklene i dette mediet fra likevektsposisjonen. Forstyrrelser oppstår som et resultat av deformasjon av mediet på noen av dets steder.

Settet med alle punkter der bølgen har nådd inn dette øyeblikket tid, danner en overflate kalt bølgefront .

I henhold til formen på fronten er bølgene delt inn i sfæriske og plane. Retning utbredelsen av bølgefronten bestemmes vinkelrett på bølgefronten, kalt stråle . For en sfærisk bølge er strålene en radialt divergerende stråle. For en plan bølge er en stråle en stråle av parallelle linjer.

I enhver mekanisk bølge eksisterer to typer bevegelse samtidig: oscillasjoner av partiklene i mediet og forplantningen av en forstyrrelse.

En bølge der oscillasjonene til partiklene i mediet og forplantningen av forstyrrelsen skjer i samme retning kalles langsgående (fig.7.2 EN).

En bølge der partiklene i mediet oscillerer vinkelrett på utbredelsesretningen av forstyrrelser kalles tverrgående (Fig. 7.2 b).

I en langsgående bølge representerer forstyrrelser en kompresjon (eller sjeldneri) av mediet, og i en tverrbølge er de forskyvninger (skjær) av noen lag av mediet i forhold til andre. Langsgående bølger kan forplante seg i alle medier (i flytende, faste og gassformige), mens tverrgående bølger bare kan forplante seg i faste.

Hver bølge forplanter seg med en viss hastighet . Under bølgehastighet υ forstå forplantningshastigheten til forstyrrelsen. Hastigheten til en bølge bestemmes av egenskapene til mediet som denne bølgen forplanter seg i. I faste stoffer er hastigheten til langsgående bølger større enn hastigheten til tverrbølger.

Bølgelengdeλ er avstanden som en bølge forplanter seg over i en tid som er lik svingeperioden i kilden. Siden hastigheten til bølgen er en konstant verdi (for et gitt medium), er avstanden tilbakelagt av bølgen lik produktet av hastigheten og tiden for dens forplantning. Altså bølgelengden

Det følger av ligning (7.1) at partikler separert fra hverandre med et intervall λ oscillerer i samme fase. Så kan vi gi følgende definisjon av bølgelengden: bølgelengden er avstanden mellom to nærmeste punkter som svinger i samme fase.

La oss utlede ligningen til en plan bølge, som lar oss bestemme forskyvningen av et hvilket som helst punkt på bølgen til enhver tid. La bølgen forplante seg langs strålen fra kilden med en viss hastighet v.

Kilden begeistrer enkel harmoniske vibrasjoner, og forskyvningen av et hvilket som helst punkt på bølgen til enhver tid bestemmes av ligningen

S = Asinωt (7, 2)

Da vil også punktet til mediet, som er i avstand x fra kilden til bølgen, utføre harmoniske svingninger, men med en tidsforsinkelse på , dvs. tiden det tar for vibrasjonene å forplante seg fra kilden til det punktet. Forskyvningen av svingepunktet i forhold til likevektsposisjonen til enhver tid vil bli beskrevet ved relasjonen

(7. 3)

Dette er planbølgeligningen. Denne bølgen er karakterisert følgende parametere:

· S - forskyvning fra posisjonen til likevektspunktet til det elastiske mediet, som oscillasjonen har nådd;

· ω - syklisk frekvens av oscillasjoner generert av kilden, med hvilken punktene til mediet også svinger;

· υ - bølgeutbredelseshastighet (fasehastighet);

x – avstand til det punktet på mediet der svingningen har nådd og hvis forskyvning er lik S;

· t – tid regnet fra begynnelsen av svingninger;

Ved å introdusere bølgelengden λ i uttrykk (7. 3), kan planbølgeligningen skrives som følger:

(7. 4)

Hvor kalt bølgenummeret (antall bølger per lengdeenhet).

bølgeligning

Planbølgeligningen (7.5) er en av mulige løsninger generell differensialligning med partielle derivater, som beskriver prosessen med perturbasjonsutbredelse i mediet. En slik ligning kalles bølge . Ligninger (7.5) inkluderer variablene t og x, dvs. forskyvningen endres periodisk både i tid og i rom S = f(x, t). Bølgeligningen kan oppnås ved å differensiere (7.5) to ganger med hensyn til t:

Og to ganger x

Ved å erstatte den første ligningen med den andre, får vi ligningen til en plan som beveger seg langs X-aksen:

(7. 6)

Ligning (7.6) kalles bølge, og for det generelle tilfellet, når forskyvningen er en funksjon av fire variabler, har den formen

(7.7)

, hvor er Laplace-operatøren

§ 7.3 Bølgeenergi. Vektor Umov.

Når den forplanter seg i et medium av en plan bølge

(7.8)

energioverføring finner sted. La oss mentalt skille ut elementærvolumet ∆V, som er så lite at bevegelseshastigheten og deformasjonen på alle punktene kan betraktes som henholdsvis den samme og like.

Det tildelte volumet har kinetisk energi

(7.10)

m=ρ∆V er massen av materie i volumet ∆V, ρ er tettheten til mediet].

(7.11)

Ved å erstatte verdien med (7.10) får vi

(7.12)

Maksima for den kinetiske energien faller på de punktene på mediet som passerer likevektsposisjonene i et gitt tidspunkt (S = 0), ved disse tidspunktene er oscillerende bevegelsen til mediets punkter preget av den høyeste hastigheten .

Det betraktede volumet ∆V har også den potensielle energien til elastisk deformasjon

[E - Youngs modul; - relativ forlengelse eller kompresjon].

Tar vi hensyn til formel (7.8) og uttrykket for den deriverte, finner vi det potensiell energi er lik

(7.13)

Analyse av uttrykk (7.12) og (7.13) viser at maksima for potensialet og kinetisk energi matche opp. Det skal bemerkes at dette er karakteristisk trekk løpende bølger. Å bestemme full energi volum ∆V, du må ta summen av potensielle og kinetiske energier:

Ved å dele denne energien med volumet den er inneholdt i, får vi energitettheten:

(7.15)

Det følger av uttrykk (7.15) at energitettheten er en funksjon av x-koordinaten, dvs. i ulike punkter hun har plass ulike betydninger. Maksimal verdi energitettheten når de punktene i rommet hvor forskyvningen er null (S = 0). Gjennomsnittlig tetthet energi på hvert punkt av mediet er

(7.16)

fordi gjennomsnittet

Mediet som bølgen forplanter seg i har således en ekstra tilførsel av energi, som leveres fra oscillasjonskilden til ulike områder miljø.

Energioverføring i bølger er kvantitativt preget av energiflukstetthetsvektoren. Denne vektoren er for elastiske bølger kalt Umov-vektoren (etter den russiske vitenskapsmannen N. A. Umov). Retningen til Umov-vektoren faller sammen med retningen for energioverføring, og dens modul er lik energien som overføres av en bølge per tidsenhet gjennom en enhetsareal som er plassert vinkelrett på bølgeutbredelsesretningen.

Mekanismen for dannelse av mekaniske bølger i et elastisk medium.

MEKANISKE BØLGER

1. Mekanismen for dannelse av mekaniske bølger i et elastisk medium. Langsgående og tverrgående bølger. Bølgeligningen og dens løsning. Harmoniske bølger og deres egenskaper.

2. Fasehastighet og bølgespredning. Bølgepakke og gruppehastighet.

3. Begrepet sammenheng. Bølgeinterferens. stående bølger.

4. Dopplereffekt for lydbølger.

Hvis på et hvilket som helst sted i et elastisk medium (fast, flytende eller gassformig) svingninger av partiklene eksiteres, vil denne oscillasjonen på grunn av samspillet mellom partiklene forplante seg i mediet fra partikkel til partikkel med en viss hastighet. Prosessen med forplantning av oscillasjoner i rommet kalles en bølge. geometrisk sted punkter som oscillasjonene når innen t kalles bølgefronten (bølgefronten). Avhengig av formen på fronten kan bølgen være sfærisk, flat osv.

Bølgen kalles longitudinell hvis retningen for forskyvning av partikler av mediet faller sammen med retningen for bølgeutbredelse.

En langsgående bølge forplanter seg i faste, flytende og gassformige medier.

Bølgen kalles tverrgående, hvis forskyvningen av partiklene i mediet er vinkelrett på retningen for bølgeutbredelsen. tverrgående mekanisk bølge gjelder kun faste stoffer(i medier med skjærmotstand kan en slik bølge derfor ikke forplante seg i væsker og gasser).

Ligning for å bestemme forskyvning(x, t) for et hvilket som helst punkt på mediet med koordinaten x til enhver tid t kalles bølgeligningen.

For eksempel kan planbølgeligningen, dvs. bølge som forplanter seg i én retning, for eksempel i retning av x-aksen, har formen

La oss introdusere verdien , som kalles bølgetallet.

Hvis du multipliserer bølgetallet med enhetsvektor retning for bølgeutbredelse, så får du en vektor kalt bølgevektor

Bruke Laplace-operatøren (Laplacian) denne ligningen kan skrives mer konsist

(Løsningen på denne ligningen er bølgeligningen (28-1), (28-2).)

Definisjon 1

I tilfelle at en bølge forplanter seg i et homogent medium, vil dens bevegelse inn generell sak beskrive bølgeligning (differensial ligning i partielle derivater):

\[\frac((\delvis )^2\overhøyrepil(er))(\delvis t^2)=v^2\venstre(\frac((\delvis)^2\overhøyrepil(er))(\delvis x ^2)+\frac((\delvis )^2\overhøyrepil(er))(\delvis y^2)+\frac((\delvis)^2\overhøyrepil(er))(\delvis z^2)\ høyre)\venstre(1\høyre)\]

\[\triangle \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)\left(2\right), \]

der $v$ er fasehastigheten til bølgen $\triangle =\frac((\partial )^2)(\partial x^2)+\frac((\partial )^2)(\partial y^2) +\ frac((\partial )^2)(\partial z^2)$ er Laplace-operatoren. Ligning (1.2) løses av ligningen til en hvilken som helst bølge; disse ligningene tilfredsstiller for eksempel både plane og sfæriske bølger.

Hvis en plan bølge forplanter seg langs $X$-aksen, er ligning (1) representert som:

Merknad 1

Hvis fysisk mengde forplanter seg som en bølge, så tilfredsstiller den nødvendigvis bølgeligningen. Det omvendte utsagnet er sant: hvis en mengde følger bølgeligningen, forplanter den seg som en bølge. Bølgeutbredelseshastigheten vil være lik kvadratrot fra koeffisienten som står ved summen av romlige deriverte (i denne typen notasjon).

Bølgeligningen spiller en veldig viktig rolle i fysikk.

Løsning av bølgeligningen for en plan bølge

La oss skrive ned felles vedtak ligning (2), for en lysbølge som forplanter seg i vakuum hvis s skalar funksjon avhenger kun av en av de kartesiske variablene, for eksempel $z$, dvs. $s=s(z,t)$, som betyr at funksjonen $s$ har en konstant verdi i punktene i planet som er vinkelrett på $Z$ aksen. Bølgeligning (1) vil i dette tilfellet ha formen:

hvor lysets forplantningshastighet i vakuum er lik $c$.

Den generelle løsningen av ligning (4) under gitte forhold vil være uttrykket:

der $s_1\left(z+ct\right)$ er funksjonen som beskriver bølgen fri form, som beveger seg med hastigheten $c$ i negativ retning i forhold til retningen til Z$-aksen, $s_2\left(z-ct\right)$ er en funksjon som beskriver en vilkårlig bølge, som beveger seg med hastigheten $ c$ i positiv retning sammen med retningen til $Z-aksen. Det skal bemerkes at under bevegelsen er verdiene til $s_1$ og $s_2$ på et hvilket som helst punkt av bølgen og dens form på bølgen uendret.

Det viser seg at bølgen, som er beskrevet av superposisjonen av to bølger (i samsvar med formel (5)). Dessuten beveger disse komponentbølgene seg i motsatte retninger. I dette tilfellet er det ikke lenger mulig å snakke om bølgens hastighet eller retning. I selve enkel sak det viser seg stående bølge. I det generelle tilfellet er det nødvendig å vurdere et komplekst elektromagnetisk felt.

Bølgeligning og Maxwells ligningssystem

Bølgeligninger for fluktuasjoner av intensitetsvektorer elektrisk felt og magnetisk induksjonsvektor magnetfelt er lett å få tak i fra Maxwells ligningssystem i differensiell form. La oss skrive systemet med Maxwell-ligninger for et stoff der det ikke er noe gratis kostnader og ledningsstrømmer:

La oss bruke $rot$-operasjonen på ligning (7):

I uttrykk (10) er det mulig å endre rekkefølgen av differensiering på høyre side av uttrykket, siden romlige koordinater og tid er uavhengige variabler, derfor har vi:

La oss ta i betraktning at ligning (6), erstatte $rot\overrightarrow(B)$ i uttrykk (11) med høyre side formler (6), har vi:

Når vi vet at $rotrot\overrightarrow(E)=graddiv\overrightarrow(E)-(\nabla )^2\overrightarrow(E)$ og bruker $div\overrightarrow(E)=0$, får vi:

Tilsvarende kan man få bølgeligningen for magnetisk induksjonsvektor. Det ser ut som:

I uttrykk (13) og (14) er fasehastigheten til bølgeutbredelsen $(v)$ lik:

Eksempel 1

Trening: Få den generelle løsningen av bølgeligningen $\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\frac(1)(c^2)\frac((\partial )^2s)(\partial t^2 )=0(1.1)$ av en plan lysbølge.

Løsning:

La oss introdusere uavhengige typevariabler for funksjonen $s$:

\[\xi =z-ct,\ \eta =z+ct\venstre(1.2\høyre).\]

I dette tilfellet er den partielle deriverte $\frac(\partial s)(\partial z)$ lik:

\[\frac(\delvis s)(\delvis z)=\frac(\delvis s)(\delvis \xi)\frac(\delvis \xi)(\delvis z)+\frac(\delvis s)( \partial \eta )\frac(\partial \eta )(\partial z)=\frac(\partial s)(\partial \xi)+\frac(\partial s)(\partial \eta )\left(1.3 \Ikke sant).\]

Den partielle deriverte $\frac(\partial s)(\partial t)$ er:

\[\frac(\delvis s)(\delvis t)=\frac(\delvis s)(\delvis \xi)\frac(\delvis \xi)(\delvis t)+\frac(\delvis s)( \delvis \eta)\frac(\delvis \eta)(\delvis t)=-c\frac(\delvis s)(\delvis \xi)+c\frac(\delvis s)(\delvis \eta)\ til \frac(1)(c)\frac(\delvis s)(\delvis t)=-\frac(\delvis s)(\delvis \xi)+\frac(\delvis s)(\delvis \eta) \venstre(1,4\høyre).\]

Trekk begrep for begrep uttrykk (1.4) fra uttrykk (1.3), vi har:

\[\frac(\delvis s)(\delvis z)-\frac(1)(c)\frac(\delvis s)(\delvis t)=2\frac(\delvis s)(\delvis \xi) \venstre(1,5\høyre).\]

Termvis addisjon av uttrykk (1.4) og (1.3) gir:

\[\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=2\frac(\partial s)(\partial \eta ) \venstre(1,6\høyre).\]

La oss finne produktet av de venstre delene av uttrykkene (1.5) og (1.6) og ta hensyn til resultatene skrevet i de høyre delene av disse uttrykkene:

\[\venstre(\frac(\delvis s)(\delvis z)-\frac(1)(c)\frac(\delvis s)(\delvis t)\høyre)\venstre(\frac(\delvis s) )(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)\right)=\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\ frac(1)(c^2)\frac((\partial )^2s)(\partial t^2)=4\frac(\partial )(\partial \xi )\frac(\partial s)(\partial \eta )=0\venstre(1,7\høyre).\]

Hvis vi integrerer uttrykket (1.7) over $\xi $, så får vi en funksjon som ikke er avhengig av denne variabelen og kun kan avhenge av $\eta $, som betyr at den er vilkårlig funksjon$\Psi(\eta)$. I dette tilfellet vil ligning (1.7) ha formen:

\[\frac(\partial s)(\partial \eta )=\Psi \left(\eta \right)\left(1.8\right).\]

La oss integrere (1.8) over $\eta $ vi har:

der $s_1\left(3\right)$ er antideriverten, $s_2\left(\xi \right)$ er integrasjonskonstanten. Dessuten er funksjonene $s_1$ og $s_2$ vilkårlige. Med tanke på uttrykk (1.2), kan den generelle løsningen av ligning (1.1) skrives som:

Svar:$s\left(z,t\right)=s_1\left(z+ct\right)+s_2\left(z-ct\right).$

Eksempel 2

Trening: Bestem ut fra bølgeligningen hva som er fasehastigheten for forplantning av en plan lysbølge.

Løsning:

Sammenligning av bølgeligningen, for eksempel for feltvektoren, hentet fra Maxwells ligninger:

\[(\nabla )^2\overrightarrow(E)-\varepsilon (\varepsilon )_0\mu (\mu )_0\frac((\partial )^2\overrightarrow(E))(\partial t^2) =0(2.1)\]

med bølgeligningen:

\[\triangle \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)(2.2)\]

lar oss konkludere med at bølgeutbredelseshastigheten $(v)$ er lik:

Men her er det nødvendig å merke seg at konseptet med hastigheten til en elektromagnetisk bølge har en viss betydning bare med bølger med en enkel konfigurasjon; for eksempel er kategorien plane bølger egnet for slike bølger. Så $v$ vil ikke være hastigheten på bølgeutbredelsen i tilfelle av en derivert løsning av bølgeligningen, som inkluderer for eksempel stående bølger.

Svar:$v=\frac(c)(\sqrt(\mu \varepsilon )).$

En av de vanligste andreordens partielle differensialligninger i ingeniørpraksis er bølgeligningen som beskriver forskjellige typer svingninger. Siden oscillasjoner er en ikke-stasjonær prosess, er en av de uavhengige variablene tid t. I tillegg er uavhengige variabler i ligningen også romlige koordinater x, y,z. Avhengig av antall, skilles endimensjonale, todimensjonale og tredimensjonale bølgeligninger.

Endimensjonal bølgeligning- en ligning som beskriver de langsgående vibrasjonene til en stang, hvis seksjoner er laget av planparallell oscillerende bevegelser, samt tverrgående vibrasjoner av en tynn stang (streng) og andre oppgaver. 2D-bølgeligning brukes til å studere svingninger tynn plate(membraner). 3D-bølgeligning beskriver forplantningen av bølger i rommet (for eksempel lydbølger i en væske, elastiske bølger i et kontinuerlig medium, etc.).

Tenk på en endimensjonal bølgeligning, som kan skrives som

For tverrgående vibrasjoner av strengen, ønsket funksjon U(x, t) beskriver posisjonen til strengen for øyeblikket t. I dette tilfellet EN 2 = Т/ρ, Hvor T - strengspenning, ρ - dens lineære (lineære) tetthet. Svingningene antas å være små, d.v.s. amplituden er liten sammenlignet med lengden på strengen. I tillegg skrives ligning (2.63) for tilfellet frie vibrasjoner. Når tvungne vibrasjoner noen funksjon er lagt til på høyre side av ligningen f(x, t), karakteriserende ytre påvirkninger, mens motstanden til mediet oscillerende prosess ikke tatt i betraktning.

Den enkleste oppgaven for ligning (2.63) er Cauchy-problemet: in første øyeblikk tid settes to betingelser (antall betingelser er lik rekkefølgen til den deriverte mht t):

Disse forholdene beskriver innledende form streng og hastigheten på dens punkter.

I praksis er det oftere nødvendig å løse ikke Cauchy-problemet for en uendelig streng, men et blandet problem for en avgrenset streng av en viss lengde l. I dette tilfellet settes grensebetingelser i endene. Spesielt når endene er faste, er deres forskyvninger lik null, og grensebetingelsene har formen

La oss vurdere noen forskjellsskjemaer for å løse problem (2.63)-(2.65). Det enkleste er det eksplisitte trelags kryssskjemaet (malen er vist i figur 2.21). La oss erstatte andrederivertene av den ønskede funksjonen i ligning (2.63). U Av t Og X deres endelige forskjellsrelasjoner ved å bruke verdiene til rutenettfunksjonen ved rutenettnodene:

Ris. 2.21. Eksplisitt skjemamønster

Herfra kan man finne et eksplisitt uttrykk for verdien av rutenettfunksjonen på ( j + 1) lag:

Her, som vanlig i tre-lags ordninger, for å bestemme ukjente verdier på ( j + 1) lag trenger å vite løsningene på j-om og ( j- 1) lag. Derfor er det mulig å begynne å telle ved å bruke formler (2.66) kun for det andre laget, og løsningene på null- og førstelaget må være kjent. De er funnet ved å bruke startbetingelsene (2.64). På nulllaget vi har

For å få en løsning på det første laget bruker vi den andre startbetingelsen (2.64). Vi erstatter den deriverte med en tilnærming med endelig forskjell. I det enkleste tilfellet antar man

(2.68)

Fra denne relasjonen kan man finne verdiene til rutenettfunksjonen i det første tidslaget:

Merk at tilnærmingen innledende tilstand i formen (2.68) forverrer tilnærmingen til originalen differensielt problem: tilnærmingsfeilen blir i størrelsesorden , dvs. første bestilling inn τ, selv om ordningen (2.66) i seg selv har den andre tilnærmingsrekkefølgen i h Og τ. Situasjonen kan korrigeres hvis vi i stedet for (2.69) tar en mer nøyaktig representasjon:

(2.70)

Ta heller . Og uttrykket for den andre deriverte kan finnes ved å bruke den opprinnelige ligningen (2.63) og den første startbetingelsen (2.64). Få

Så (2,70) tar formen:

Differanseskjema (2.66), tatt i betraktning (2.71), har en tilnærmingsfeil av rekkefølgen

Ved løsning av et blandet problem med randbetingelser for formen (2.65), dvs. når verdiene til selve funksjonen er gitt i endene av segmentet som vurderes, er den andre tilnærmingsrekkefølgen bevart. I dette tilfellet, for enkelhets skyld, er de ekstreme nodene til rutenettet plassert ved grensepunktene ( x0=0, xI = l). Det kan imidlertid også spesifiseres grensebetingelser for den deriverte.

For eksempel når det gjelder gratis langsgående vibrasjoner stangen i sin løse ende, tilstanden

Hvis denne betingelsen er skrevet i en forskjellsform med den første tilnærmingsrekkefølgen, blir tilnærmingsfeilen til skjemaet i størrelsesorden . Derfor, for å bevare den andre rekkefølgen av denne ordningen i form av h det er nødvendig å tilnærme grensebetingelsen (2.72) med den andre orden.

Den betraktede forskjellsordningen (2.66) for å løse problem (2.63) - (2.65) er betinget stabil. Nødvendig og tilstrekkelig tilstand bærekraft:

Følgelig, under denne betingelsen og tatt i betraktning tilnærmingen, konvergerer ordningen (2.66) til originalt problem med fart O(h2 + τ 2 ). Denne ordningen brukes ofte i praktiske beregninger. Det gir akseptabel løsningsnøyaktighet. U(x, t), som har kontinuerlige fjerdeordens derivater.

Ris. 2.22. Algoritme for å løse bølgeligningen

Algoritmen for å løse problem (2.63)-(2.65) ved hjelp av dette eksplisitte differanseskjemaet er vist i fig. 2.22. Presentert her det enkleste alternativet, når alle verdiene til rutenettfunksjonen, som danner en todimensjonal matrise, er lagret i datamaskinens minne under beregningen, og etter å ha løst problemet, vises resultatene. Det ville være mulig å sørge for lagring av løsningen på bare tre lag, noe som ville spare minne. Resultatene i dette tilfellet kan vises under beregningsprosessen (se fig. 2.13).

Det finnes andre forskjellsskjemaer for å løse bølgeligningen. Spesielt er det noen ganger mer praktisk å bruke implisitte ordninger for å kvitte seg med begrensningene på trinnstørrelsen som pålegges av betingelsen (2.73). Disse ordningene er vanligvis absolutt stabile, men algoritmen for å løse problemet og dataprogrammet blir mer komplisert.

La oss konstruere den enkleste implisitte ordningen. Den andre deriverte mht t i ligning (2.63) tilnærmer vi oss, som før, ved trepunktsmønsteret ved å bruke verdiene til rutenettfunksjonen på lagene j- 1, j, j + 1. Avledet til X vi erstatter halvsummen av dens tilnærming til ( j + 1)-ohm og ( j- 1) lag (fig. 2.23):

Ris. 2.23. Implisitt skjemamønster

Fra denne relasjonen kan man få et ligningssystem for ukjente verdier av rutenettfunksjonen på ( j+ 1) lag:

Den resulterende implisitte ordningen er stabil og konvergerer med en hastighet på . Lineært system algebraiske ligninger(2.74) kan spesielt løses ved sveipemetoden. Dette systemet bør suppleres med forskjellige start- og randbetingelser. Dermed kan uttrykk (2.67), (2.69) eller (2.71) brukes til å beregne verdiene til rutenettfunksjonen på null- og førstetidslaget.

For to eller tre uavhengige romlige variabler har bølgeligningene formen

Differanseskjemaer kan også konstrueres for dem i analogi med den endimensjonale bølgeligningen. Forskjellen er at det er nødvendig å tilnærme de deriverte med hensyn til to eller tre romlige variabler, noe som naturlig nok kompliserer algoritmen og krever mye mer minne og beregningstid. Todimensjonale problemer vil bli vurdert mer detaljert nedenfor for varmeligningen.