Vurder integralet ved å bruke middelverditeoremet. Sikker integral

Måter å finne roten til ligningen - regneregler.

En ligning er et matematisk uttrykk som inneholder en eller flere ukjente. Å løse en ligning betyr å finne slike verdier av argumentene som likheten til venstre og riktige deler uttrykkene ( angi funksjoner). De funnet verdiene kalles røttene til ligningen.

I matematikk skilles lineære, kvadratiske og kubiske ligninger. For å finne roten til ligningen bestemt type ulike metoder brukes.

Lineær ligning

Et uttrykk som a*x=b kalles lineær ligning. I den er a koeffisienten til variabelen, b er frileddet. Det er tre mulige tilfeller der:

og 0. Roten i dette tilfellet beregnes med formelen: x=b/a. For eksempel gitt ligningen x+3=9-2*x. Uttrykk med "X" overføres i én retning, og gratis medlemmer i den andre: x + 2 * x \u003d 9-3, eller 3 * x \u003d 6. Deretter x=6/3, x=2.
a=0, b=0. Ligningen vil ha formen 0*x=0. Denne likheten vil være sann for enhver verdi av "X". Så roten av ligningen er et hvilket som helst reelt tall.
a \u003d 0, b 0. Uttrykket 0 * x \u003d b vil bli oppnådd, som det ikke er røtter for.

Kvadratisk ligning

En ligning av formen kalles kvadratisk (a 0). "A" og "B" kalles koeffisienter, og "C" er et gratis medlem. Antall røtter avhenger av verdien av diskriminanten, som beregnes av formelen. I tilfelle hvis:

D<0 – для уравнения не существует корней.
D=0 - det er én rot, som finnes av formelen: x=-b/(2*a).
D>0 - det er to røtter definert som følger: For eksempel gitt ligningen 3*x2-2*x-5=0. Diskriminerende D=4-4*3*(-5)=64. Det vil være to røtter.

kubikkligning

Det snille uttrykket heter kubikkligning. Det kan ha flere røtter, for beregningen som du trenger:

Finn en av røttene som er en divisor av konstantleddet "d" ved å erstatte alle mulige divisorer til venstre side av uttrykket blir null.
Del den opprinnelige ligningen med den funnet roten, som et resultat av at uttrykket vil bli redusert til en kvadratisk form.
Finn røttene til den resulterende ligningen. For eksempel gitt en ligning. Divisorer for frileddet 12 - ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Venstre side tar verdien lik 0 ved x=2. Så 2 er den første roten. Deretter må du dele det opprinnelige uttrykket med (x-2). Det viser seg kvadratisk ligning. Røttene er tall..

andre metoder

Utover algebraisk beregning nødvendige verdier du kan bruke:

Gratis online kalkulator (allcalc.ru).
Grafisk, når en graf for en funksjon er plottet, vil skjæringspunktene med "X"-aksen være røttene til ligningen.

Anvendt verdi middelverditeoremer ligger i muligheten for å få en kvalitativ vurdering av verdien av en viss integrert uten å beregne det. Vi formulerer : hvis funksjonen er kontinuerlig på intervallet, så er det innenfor dette intervallet et slikt punkt at .

Denne formelen er ganske egnet for et grovt estimat av integralet til en kompleks eller tungvint funksjon. Det eneste øyeblikket som gjør formelen tilnærmet , er en nødvendighet selvvalg poeng. Hvis vi tar den enkleste veien - midten av integrasjonsintervallet (som foreslått i en rekke lærebøker), så kan feilen være ganske betydelig. For mer eksakt resultat anbefale utfør beregningen i følgende rekkefølge:

Konstruer en funksjonsgraf på intervallet;

Tegn den øvre kanten av rektangelet på en slik måte at de avskårne delene av grafen til funksjonen er omtrent lik i areal (dette er nøyaktig hvordan det er vist i figuren ovenfor - to krumlinjede trekanter er nesten like);

Bestem fra figur ;

Bruk middelverditeoremet.

Som et eksempel, la oss beregne en enkel integral:

Eksakt verdi ;

For midten av intervallet vi vil også få en omtrentlig verdi , dvs. klart unøyaktig resultat;

Etter å ha bygget en graf med tegning av oversiden av rektangelet i samsvar med anbefalingene, får vi , hvorfra og den omtrentlige verdien av . Ganske tilfredsstillende resultat, feilen er 0,75 %.

Trapesformel

Nøyaktigheten av beregninger ved bruk av middelverditeoremet avhenger i hovedsak, som det ble vist, av visuelle formål punktdiagram. Faktisk, ved å velge, i samme eksempel, poeng eller , kan du få andre verdier av integralet, og feilen kan øke. Subjektive faktorer, grafens skala og kvaliteten på tegningen påvirker resultatet i stor grad. den uakseptabelt i kritiske beregninger, så gjelder middelverdisetningen kun for rask kvalitet integrerte estimater.

I denne delen vil vi vurdere en av de mest populære metodene for omtrentlig integrasjon - trapesformel . Den grunnleggende ideen om å konstruere denne formelen kommer fra det faktum at kurven kan erstattes omtrent med en brutt linje, som vist i figuren.

La oss for nøyaktighetens skyld (og i samsvar med figuren) anta at integrasjonsintervallet er delt inn i lik (dette er valgfritt, men veldig praktisk) deler. Lengden på hver av disse delene beregnes av formelen og kalles steg . Abscissen til delpunktene, hvis spesifisert, bestemmes av formelen , hvor . Det er enkelt å beregne ordinater fra kjente abscisser. På denne måten,

Dette er trapesformelen for saken. Merk at det første leddet i parentes er halvsummen av de innledende og siste ordinatene, som alle mellomliggende ordinater legges til. For et vilkårlig antall partisjoner av integrasjonsintervallet generell formel trapes ser ut som: kvadraturformler: rektangler, simpson, gauss, etc. De er bygget på den samme ideen om representasjon krumlinjet trapes elementære områder ulike former, derfor, etter å ha mestret trapesformelen, vil det ikke være vanskelig å forstå lignende formler. Mange formler er ikke så enkle som trapesformelen, men lar deg få et resultat med høy nøyaktighet med et lite antall partisjoner.

Ved hjelp av trapesformelen (eller lignende) er det mulig å beregne, med den nøyaktigheten som kreves i praksis, både "ikke-takende" integraler og integraler av komplekse eller tungvinte funksjoner.