En veldig kort historie med å løse andregradsligninger. Kvadratiske ligninger i al-Khorezmi

Fra forekomstens historie andregradsligninger

Algebra oppsto i forbindelse med løsning av ulike problemer ved hjelp av ligninger. Vanligvis i problemer er det nødvendig å finne en eller flere ukjente, mens du kjenner resultatene av noen handlinger utført på ønskede og gitte mengder. Slike problemer reduseres til å løse en eller et system med flere ligninger, til å finne de ønskede ved hjelp av algebraiske operasjoner på gitte størrelser. Algebrastudier generelle egenskaper handlinger på mengder.

Noen algebraiske teknikker for å løse lineære og kvadratiske ligninger var kjent så tidlig som for 4000 år siden i Det gamle Babylon.

Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder med land og jordarbeid av militær karakter, samt utviklingen av astronomi og matematikken selv. Babylonerne visste hvordan de skulle løse andregradsligninger rundt 2000 f.Kr. Ved å bruke moderne algebraisk notasjon kan vi si at i deres kileskrifttekster er det, i tillegg til ufullstendige, slike for eksempel komplette kvadratiske ligninger:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Regelen for å løse disse ligningene, angitt i de babylonske tekstene, sammenfaller i hovedsak med den moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom til denne regelen. Nesten alle kileskriftstekstene som er funnet så langt gir kun problemer med løsninger oppgitt i form av oppskrifter, uten indikasjon på hvordan de ble funnet. På tross av høy level utvikling av algebra i Babylon, i kileskrifttekster er det ikke noe begrep om et negativt tall og vanlige metoder løsninger av andregradsligninger.

Diophantus' Aritmetikk inneholder ikke en systematisk fremstilling av algebra, men den inneholder en systematisk rekke problemer, ledsaget av forklaringer og løst ved å tegne opp ligninger av ulike grader.

Ved kompilering av ligninger velger Diophantus dyktig ukjente for å forenkle løsningen.

Her er for eksempel en av oppgavene hans.

Oppgave 2. "Finn to tall, vel vitende om at summen deres er 20 og produktet deres er 96."

Diophantus argumenterer som følger: det følger av betingelsen for problemet at de ønskede tallene ikke er like, siden hvis de var like, så ville deres produkt ikke være lik 96, men 100. Dermed vil en av dem være mer enn halvparten av summen deres, dvs. .10 + x. Den andre er mindre, dvs. 10 - x. Forskjellen mellom dem er 2x. Derav ligningen:

(10+x)(10-x)=96,

Derfor er x = 2. Et av de ønskede tallene er 12, det andre er 8. Løsningen x = - 2 for Diophantus eksisterer ikke, siden gresk matematikk bare kjente positive tall.

Hvis vi løser dette problemet ved å velge et av de ukjente tallene som det ukjente, kan vi komme til løsningen av ligningen:

Det er tydelig at Diophantus forenkler løsningen ved å velge halvforskjellen til de ønskede tallene som det ukjente; han klarer å redusere problemet til å løse en ufullstendig andregradsligning.

Kvadratiske ligninger i India

Problemer for kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske avhandlingen Aryabhattam, kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk lærd, Brahmagupta (7. århundre), forklarte generell regel løsninger av kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

ax2 + bx = c, a>

I ligning (1) kan koeffisienter være negative. Brahmaguptas styre faller i hovedsak sammen med vårt.

I India var offentlige konkurranser for å løse vanskelige problemer vanlig. I en av de gamle indiske bøkene står det følgende om slike konkurranser: «Som solen overstråler stjernene med sin glans, så vitenskapsmann formørke herligheten populære forsamlinger, foreslå og løse algebraiske problemer". Oppgaver var ofte kledd i poetisk form.

Her er et av problemene til den berømte indiske matematikeren fra XII århundre. Bhaskara.

Bhaskaras løsning indikerer at forfatteren var klar over to-verdien av røttene til kvadratiske ligninger.

Ligningen som tilsvarer oppgave 3 er:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

og for å fullføre venstre side av denne ligningen til kvadratet, legger han til 322 på begge sider, og får da:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Al-Khwarizmis kvadratiske ligninger

Al-Khwarizmis algebraiske avhandling gir en klassifisering av lineære og kvadratiske ligninger. Forfatteren lister opp 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

1) "Kvadrater er lik røtter", dvs. ax2 = bx.

2) "Kvadrater er lik tall", dvs. ax2 = c.

3) "Røttene er lik tallet", dvs. øks \u003d c.

4) "Kvadrater og tall er lik røtter", dvs. ax2 + c = bx.

5) "Kvadrater og røtter er lik tall", dvs. ax2 + bx = c.

6) “Røtter og tall er lik kvadrater”, dvs. bx + c == ax2.

For Al-Khwarizmi, som unngikk bruken negative tall, betingelsene for hver av disse ligningene er termer, ikke subtraheringer. I dette tilfellet er det åpenbart ikke tatt hensyn til ligninger som ikke har positive løsninger. Forfatteren skisserer måter å løse de angitte ligningene, ved å bruke teknikkene til al-jabr og al-muqabala. Hans avgjørelse er selvfølgelig ikke helt sammenfallende med vår. For ikke å nevne det faktum at det er rent retorisk, bør det for eksempel bemerkes at når man løser en ufullstendig andregradsligning av den første typen, tar ikke Al-Khwarizmi, som alle matematikere før 1600-tallet, hensyn til nullen. løsning, sannsynligvis fordi det i spesifikke praktiske oppgaver ikke spiller noen rolle. Når du løser de komplette kvadratiske ligningene til Al-Khwarizmi på partial numeriske eksempler angir beslutningsreglene, og deretter deres geometriske bevis.

La oss ta et eksempel.

Oppgave 4. «Kvadratet og tallet 21 er lik 10 røtter. Finn roten "(roten av ligningen x2 + 21 \u003d 10x er underforstått).

Løsning: del antall røtter i to, du får 5, gang 5 med seg selv, trekk 21 fra produktet, 4 gjenstår Ta roten av 4, du får 2. Trekk fra 2 fra 5, du får 3, dette blir ønsket rot. Eller legg til 2 til 5, som vil gi 7, dette er også en rot.

Al-Khwarizmis avhandling er den første boken som har kommet ned til oss, der klassifiseringen av andregradsligninger presenteres systematisk og formler for løsningen deres er gitt.

Kvadratiske ligninger i EuropaXII- XVIIV.

Skjemaer for å løse kvadratiske ligninger på modellen til Al-Khwarizmi i Europa ble først beskrevet i "Book of the Abacus", skrevet i 1202. Den italienske matematikeren Leonard Fibonacci. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler problemløsning og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall.

Denne boken bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange oppgaver fra denne boken ble overført til nesten alle europeiske lærebøker på 1300- og 1600-tallet. Den generelle regelen for løsning av kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form x2 + bx = c med alle mulige kombinasjoner av tegn og koeffisienter b, c, ble formulert i Europa i 1544 av M. Stiefel.

Vieta har en generell avledning av formelen for å løse en kvadratisk ligning, men Vieta gjenkjente bare positive røtter. De italienske matematikerne Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. ta hensyn til, i tillegg til positive, og negative røtter. Bare i det XVII århundre. takket være verkene til Girard, Descartes, Newton og andre vitenskapsmenns måte løsning av andregradsligninger får en moderne form.

opprinnelse algebraiske metoder løsninger på praktiske problemer er relatert til vitenskap eldgamle verden. Som kjent fra matematikkens historie, hadde en betydelig del av problemene av matematisk natur, løst av egyptiske, sumeriske, babylonske skriftlærde-datamaskiner (XX-VI århundrer f.Kr.), en kalkulert natur. Men selv da, fra tid til annen, oppsto det problemer der ønsket verdi av en mengde ble spesifisert av noen indirekte forhold som krevde, med vår moderne poeng visjon, tegne en ligning eller et system av ligninger. Opprinnelig ble aritmetiske metoder brukt for å løse slike problemer. Senere begynte begynnelsen av algebraiske representasjoner å dannes. For eksempel kunne babylonske kalkulatorer løse problemer som kan reduseres mht moderne klassifisering til ligninger av andre grad. Løsningsmetoden ble opprettet ordproblemer, som senere fungerte som grunnlag for valget av den algebraiske komponenten og dens uavhengige studie.

Denne studien ble allerede utført i en annen tid, først av arabiske matematikere (VI-X århundrer e.Kr.), som pekte ut de karakteristiske handlingene som ligningene ble redusert til standard skjema reduksjon av lignende ledd, overføring av ledd fra en del av ligningen til en annen med fortegnsendring. Og så av de europeiske matematikerne fra renessansen, som et resultat av et langt søk, skapte de språket til moderne algebra, bruken av bokstaver, introduksjonen av symboler for aritmetiske operasjoner, parentes, etc. Ved begynnelsen av 16. 1600-tallet. Algebra som en spesifikk del av matematikken, som har sitt eget fag, metode, bruksområder, er allerede dannet. Dens videre utvikling, frem til vår tid, besto i å forbedre metodene, utvide omfanget av applikasjoner, klargjøre begrepene og deres forbindelser med begrepene til andre grener av matematikk.

Så, i lys av viktigheten og omfanget av materialet knyttet til konseptet med en ligning, studeres det i moderne metodikk matematikk er assosiert med tre hovedområder for opprinnelse og funksjon.

For å løse en annengradsligning, må du vite:

formelen for å finne diskriminanten;

formelen for å finne røttene til en kvadratisk ligning;

· Algoritmer for å løse denne typen ligninger.

løse ufullstendige andregradsligninger;

løse komplette andregradsligninger;

løse de gitte kvadratiske ligningene;

finne feil i de løste ligningene og rette dem;

Gjør en sjekk.

Løsningen til hver ligning består av to hoveddeler:

transformasjon av denne ligningen til de enkleste;

løse likninger iht kjente regler, formler eller algoritmer.

Generaliseringen av metodene for elevenes aktivitet for å løse andregradsligninger skjer gradvis. Følgende stadier kan skilles fra hverandre når du studerer emnet "Kvadratiske ligninger":

Trinn I - "Løse ufullstendige kvadratiske ligninger."

Trinn II - "Løsning av komplette kvadratiske ligninger."

Trinn III - "Løsning av de reduserte kvadratiske ligningene."

På det første trinnet vurderes ufullstendige kvadratiske ligninger. Siden matematikere først lærte å løse ufullstendige kvadratiske ligninger, siden de ikke måtte, som de sier, finne opp noe for dette. Dette er likninger av formen: ax2 = 0, ax2 + c = 0, hvor c≠ 0, ax2 + bx = 0, hvor b ≠ 0. Tenk på løsningen av flere av disse likningene:

1. Hvis ax2 = 0. Ligninger av denne typen løses i henhold til algoritmen:

1) finn x2;

2) finn x.

For eksempel, 5x2 = 0 . Ved å dele begge sider av ligningen med 5, viser det seg: x2 = 0, derav x = 0.

2. Hvis ax2 + c = 0, blir c≠ 0 likninger av denne typen løst i henhold til algoritmen:

1) flytt vilkårene til høyre side;

2) finn alle tallene hvis ruter er lik tallet c.

For eksempel, x2 - 5 = 0, Denne ligningen tilsvarer ligningen x2 = 5. Derfor må du finne alle tallene hvis kvadrater er lik tallet 5..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> og har ingen andre røtter.

3. Hvis ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Ligninger av denne typen løses i henhold til algoritmen:

1) flytte fellesfaktoren ut av parentes;

2) finn x1, x2.

For eksempel x2 - 3x \u003d 0. La oss omskrive ligningen x2 - 3x \u003d 0 i formen x (x - 3) \u003d 0. Denne ligningen har åpenbart røtter x1 \u003d 0, x2 \u003d 3. Den har ingen andre røtter, fordi hvis du erstatter et annet tall enn null og 3 i stedet for x, får du på venstre side av ligningen x (x - 3) \u003d 0 et tall som ikke er lik null.

Så disse eksemplene viser hvordan ufullstendige kvadratiske ligninger løses:

1) hvis ligningen har formen ax2 = 0, så har den én rot x = 0;

2) hvis ligningen har formen ax2 + bx = 0, så brukes faktoriseringsmetoden: x (ax + b) = 0; så enten x = 0 eller ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> I tilfelle -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, dvs. - = m, hvor m>0, har ligningen x2 = m to røtter

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (i dette tilfellet er en kortere notasjon = tillatt.

Så en ufullstendig andregradsligning kan ha to røtter, en rot, ingen røtter.

På det andre trinnet utføres overgangen til løsningen av den komplette kvadratiske ligningen. Dette er likninger av formen ax2 + bx + c = 0, hvor a, b, c er gitt tall, a ≠ 0, x er det ukjente.

Enhver komplett kvadratisk ligning kan konverteres til skjemaet , for å bestemme antall røtter til en kvadratisk ligning og finne disse røttene. Ansett følgende tilfeller løsninger av komplette kvadratiske ligninger: D< 0, D = 0, D > 0.

1. Hvis D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

For eksempel, 2x2 + 4x + 7 = 0. Løsning: her er a = 2, b = 4, c = 7.

D \u003d b2 - 4ac \u003d 42 - 4 * 2 * 7 \u003d 16 - 56 \u003d - 40.

Siden D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Hvis D \u003d 0, så har den kvadratiske ligningen ax2 + bx + c \u003d 0 en rot, som finnes av formelen.

For eksempel, 4x - 20x + 25 = 0. Løsning: a = 4, b = - 20, c = 25.

D \u003d b2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4 * 4 * 25 \u003d 400 - 400 \u003d 0.

Siden D = 0, da gitt ligning har én rot. Denne roten er funnet ved å bruke formelen ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">.

En algoritme for å løse en ligning av formen ax2 + bx + c = 0 er kompilert.

1. Beregn diskriminanten D ved å bruke formelen D = b2 - 4ac.

2. Hvis D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Hvis D = 0, har andregradsligningen én rot, som finnes av formelen

4..gif" width="101" height="45">.

Denne algoritmen er universell, den kan brukes for både ufullstendige og komplette kvadratiske ligninger. Imidlertid løses ufullstendige kvadratiske ligninger vanligvis ikke med denne algoritmen.

Matematikere er praktiske, økonomiske mennesker, så de bruker formelen: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src="> med samme fortegn som D..gif" width="89" height="49"> så har ligning (3) to røtter ;

2) hvis så ligningen har to sammenfallende røtter;

3) hvis så ligningen har ingen røtter.

Et viktig poeng i studiet av andregradsligninger er vurderingen av Vieta-setningen, som angir eksistensen av et forhold mellom røttene og koeffisientene til den reduserte kvadratiske ligningen.

Vietas teorem. Summen av røttene til den gitte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten, hentet fra motsatt tegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

Med andre ord, hvis x1 og x2 er røttene til ligningen x2 + px + q = 0, så

Disse formlene kalles Vieta-formler til ære for den franske matematikeren F. Vieta (), som introduserte et system med algebraiske symboler, utviklet grunnlaget for elementær algebra. Han var en av de første som begynte å angi tall med bokstaver, noe som i betydelig grad utviklet teorien om ligninger.

For eksempel har ligningen ovenfor x2 - 7x +10 \u003d 0 røttene 2 og 5. Summen av røttene er 7, og produktet er 10. Det kan sees at summen av røttene er lik den andre koeffisienten , tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

Det er også et teorem som er omvendt til Vietas teorem.

Teorem invers til Vietas teorem. Hvis formlene (5) er gyldige for tallene x1, x2, p, q, så er x1 og x2 røttene til ligningen x2 + px + q = 0.

Vietas teorem og dens inverse teorem brukes ofte til å løse ulike problemer.

For eksempel. La oss skrive den gitte kvadratiske ligningen, hvis røtter er tallene 1 og -3.

I følge Vietas formler

– p = x1 + x2 = - 2,

Derfor har den ønskede ligningen formen x2 + 2x - 3 = 0.

Kompleksiteten ved å mestre Vieta-teoremet er assosiert med flere omstendigheter. Først av alt er det nødvendig å ta hensyn til forskjellen mellom direkte og inverse teoremer. I Vietas direkte teorem er en andregradsligning og dens røtter gitt; i inverse er det bare to tall, og andregradsligningen vises ved avslutningen av teoremet. Elever gjør ofte feilen ved å underbygge resonnementet sitt med en feil henvisning til en direkte eller invers teorem Vieta.

For eksempel, når du finner røttene til en andregradsligning ved å velge, må du referere til den inverse Vieta-setningen, og ikke til den direkte, som studenter ofte gjør. For å utvide Vieta-setningene til tilfellet med null diskriminant, må vi være enige om at i dette tilfellet har den kvadratiske ligningen to lik rot. Bekvemmeligheten med en slik avtale manifesteres i dekomponeringen kvadratisk trinomium for multiplikatorer.

Det er ingen HTML-versjon av verket ennå.

Lignende dokumenter

Historien om utviklingen av formler for røttene til kvadratiske ligninger. Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon. Løsning av andregradsligninger av Diophantus. Kvadratiske ligninger i India, i Khorezm og i Europa XIII- XVII århundrer. Vietas teorem, moderne algebraisk notasjon.

test, lagt til 27.11.2010

En historie om kvadratiske ligninger: ligninger i det gamle Babylon og India. Formler for en jevn koeffisient ved x. Kvadratiske ligninger av en spesiell art. Vietas teorem for polynomer høyere grader. Studere biquadratiske ligninger. Essensen av Cordanos formel.

sammendrag, lagt til 05.09.2009

Utledning av formelen for å løse en andregradsligning i matematikkens historie. Komparativ analyse teknologier ulike måter løsninger av ligninger av andre grad, eksempler på deres anvendelse. Kort teori løse andregradsligninger, sette sammen en oppgavebok.

sammendrag, lagt til 18.12.2012

Betydningen av matematikk i livet vårt. Historien til kontoen. Utviklingen av metoder for beregningsmatematikk på nåværende tidspunkt. Bruken av matematikk i andre vitenskaper, rollen matematisk modellering. Stat matematikkundervisning i Russland.

artikkel, lagt til 01.05.2010

gresk matematikk. Middelalder og renessanse. Begynnelsen av moderne matematikk. Moderne matematikk. Matematikk er ikke basert på logikk, men på sunn intuisjon. Problemene med grunnlaget for matematikk er filosofiske.

sammendrag, lagt til 09.06.2006

Utviklingshistorie matematisk vitenskap i Europa VI-XIV århundrer, dets representanter og prestasjoner. Matematikkens utvikling i renessansen. Oppretting av bokstavelig kalkulus, aktivitet til François Vieta. Forbedre databehandling i sent XVI – tidlig XVIårhundrer

presentasjon, lagt til 20.09.2015

Gjennomgang av utviklingen av europeisk matematikk i XVII-XVIII århundrer. Ujevn utvikling Europeisk vitenskap. Analytisk geometri. Opprettelse matematisk analyse. vitenskapelig skole Leibniz. generelle egenskaper vitenskap på 1700-tallet. Utviklingsretninger for matematikk.

presentasjon, lagt til 20.09.2015

Perioden for fødselen av matematikk (frem til 700-500-tallet f.Kr.). Matematikk tid konstanter(VII-V århundrer f.Kr. - XVII århundre e.Kr.). Matematikk variabler(XVII-XIX århundrer). Moderne utviklingsperiode for matematikk. Funksjoner av datamatematikk.

presentasjon, lagt til 20.09.2015

Prestasjonene til gamle greske matematikere som levde mellom det 6. århundre f.Kr. og det 5. århundre e.Kr. Egendommer innledende periode utvikling av matematikk. Den pytagoreiske skolens rolle i utviklingen av matematikk: Platon, Eudoxus, Zeno, Democritus, Euclid, Archimedes, Apollonius.

test, lagt til 17.09.2010

Historien om dannelsen av matematikk som vitenskap. Periode med elementær matematikk. Perioden for opprettelse av matematikk av variabler. Oppretting av analytisk geometri, differensial- og integralregning. Utviklingen av matematikk i Russland i XVIII-XIX århundrer.

Forskning

Om temaet

"Metoder for å løse andregradsligninger"

Utført:
gruppe 8 "G" klasse

Arbeidsleder:
Benkovskaya Maria Mikhailovna

Mål og mål for prosjektet.

1. Vis at i matematikk, som i enhver annen vitenskap, er det nok uløste mysterier.
2. Legg vekt på hva som utmerker matematikere ut av boksen tenkning. Og noen ganger er oppfinnsomheten og intuisjonen til en god matematiker rett og slett beundringsverdig!
3. Vis at selve forsøket på å løse andregradsligninger bidro til utviklingen av nye begreper og ideer i matematikk.
4. Lær å jobbe med ulike informasjonskilder.
5. Fortsett forskningsarbeid matematikk

Forskningsstadier

1. Historien om fremveksten av andregradsligninger.

2. Definisjon av en andregradsligning og dens typer.

3. Løse andregradsligninger ved hjelp av diskriminantformelen.

4. Francois Viet og hans teorem.

5. Egenskaper til koeffisienter for raskt å finne røttene til en kvadratisk ligning.

6. Praktisk orientering.

Gjennom ligninger, teoremer

Jeg har løst mange problemer.

(Chaucer, engelsk poet, middelalderen.)

scene. Historien om fremveksten av kvadratiske ligninger.

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad, tilbake i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder tomter og jordarbeider av militær karakter, samt med utviklingen av astronomi og matematikk selv.

Babylonerne var i stand til å løse andregradsligninger rundt 2000 f.Kr. Regelen for å løse disse ligningene, angitt i de babylonske tekstene, faller i hovedsak sammen med moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne fant regelen. Nesten alle kileskriftstekstene som er funnet så langt gir kun problemer med løsninger oppgitt i form av oppskrifter, uten indikasjon på hvordan de ble funnet.

Til tross for det høye utviklingsnivået av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger.

"Aritmetikken" til Diophantus inneholder en systematisk rekke problemer, ledsaget av forklaringer og løst ved å formulere ligninger ulike grader, men den mangler en systematisk fremstilling av algebra.

Problemer for kvadratiske ligninger finnes allerede i de astronomiske avhandlingene "Aryabhattiam", satt sammen i 499. Indisk matematiker og astronom Aryabhatta. En annen indisk forsker, Brahmagupta (7. århundre), skisserte den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

Al-Khorezmis algebraiske avhandling gir en klassifisering av lineære og kvadratiske ligninger. Forfatteren har 6 typer ligninger. For al-Khwarizmi, som ikke kjente negative tall, er vilkårene i hver ligning addisjoner, ikke subtraksjoner. Samtidig blir ligninger som ikke har positive løsninger bevisst tatt i betraktning, når man løser en ufullstendig kvadratisk ligning, tar ikke al-Khwarizmi, som alle forskere før 1600-tallet, hensyn til nullløsningen.

Avhandlingen om al-Khwarizmi er den første boken som har kommet ned til oss, der klassifiseringen av kvadratiske ligninger og formler for deres løsning er systematisk presentert.

Formler for å løse kvadratiske ligninger på modellen til al-Khwarizmi i Europa ble først fremsatt i Book of the Abacus, skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrike verket utmerker seg ved sin fullstendighet og klarhet i presentasjonen. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske metoder for å løse problemer, og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange problemer fra Abacus-boken gikk over i nesten alle europeiske lærebøker på 1500- og 1600-tallet og delvis 1700-tallet.

Generell regel for å løse andregradsligninger redusert til en enkelt kanonisk form med alle mulige kombinasjoner av tegn koeffisienter b,c ble formulert i Europa først i 1544 av M. Stiefel.

Vieta har en generell avledning av formelen for å løse en kvadratisk ligning, men Vieta gjenkjente bare positive røtter. De italienske matematikerne Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet som tok hensyn til ikke bare positive, men også negative røtter. Først på 1600-tallet, takket være verkene til Girrard, Descartes, Newton og andre forskere, fikk metoden for å løse kvadratiske ligninger en moderne form.

VISER SEG:

Problemer med kvadratiske ligninger finnes allerede i 499.

I det gamle India offentlige konkurranser i å løse vanskelige problemer ble delt ut - OLYMPIADS .

©2015-2019 nettsted
Alle rettigheter tilhører deres forfattere. Dette nettstedet krever ikke forfatterskap, men tilbyr gratis bruk.
Opprettelsesdato for side: 2016-04-11

Kopyevskaya landlige ungdomsskole

10 måter å løse kvadratiske ligninger på

Leder: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematikklærer

s. Kopyevo, 2007

1. Historie om utviklingen av andregradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

1.2 Hvordan Diophantus kompilerte og løste andregradsligninger

1.3 Kvadratiske ligninger i India

1.4 Kvadratiske ligninger i al-Khwarizmi

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - XVII århundrer

1.6 Om Vietas teorem

2. Metoder for å løse andregradsligninger

Konklusjon

Litteratur

1. Historie om utviklingen av andregradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

Ved å bruke moderne algebraisk notasjon kan vi si at i deres kileskrifttekster er det, i tillegg til ufullstendige, slike for eksempel komplette kvadratiske ligninger:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Til tross for det høye utviklingsnivået av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger.

1.2 Hvordan Diophantus kompilerte og løste andregradsligninger.

Ved kompilering av ligninger velger Diophantus dyktig ukjente for å forenkle løsningen.

Her er for eksempel en av oppgavene hans.

Oppgave 11."Finn to tall og vite at summen deres er 20 og produktet deres er 96"

Diophantus argumenterer som følger: det følger av betingelsen for problemet at de ønskede tallene ikke er like, siden hvis de var like, ville deres produkt ikke være 96, men 100. Dermed vil en av dem være mer enn halvparten av deres sum, dvs. 10+x, den andre er mindre, dvs. 10-tallet. Forskjellen mellom dem 2x .

Derav ligningen:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Herfra x = 2. Et av de ønskede tallene er 12 , annet 8 . Løsning x = -2 for Diophantus eksisterer ikke, siden gresk matematikk bare kjente positive tall.

Hvis vi løser dette problemet ved å velge et av de ønskede tallene som det ukjente, så kommer vi til løsningen av ligningen

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

1.3 Kvadratiske ligninger i India

Problemer for kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske kanalen "Aryabhattam", kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk forsker, Brahmagupta (7. århundre), skisserte den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

I ligning (1), koeffisientene, bortsett fra EN, kan også være negativ. Brahmaguptas styre faller i hovedsak sammen med vårt.

I det gamle India var offentlige konkurranser for å løse vanskelige problemer vanlig. I en av de gamle indiske bøkene sies følgende om slike konkurranser: "Som solen overstråler stjernene med sin glans, slik vil en lærd person overstråle en annens herlighet på offentlige møter, foreslå og løse algebraiske problemer." Oppgaver var ofte kledd i poetisk form.

Her er et av problemene til den berømte indiske matematikeren fra XII århundre. Bhaskara.

Oppgave 13.

"En sprudlende flokk aper og tolv i vinstokker ...

Etter å ha spist kraft, hatt det gøy. De begynte å hoppe, henge ...

Del åtte av dem i en firkant Hvor mange aper var det,

Ha det gøy på enga. Fortell meg, i denne flokken?

Bhaskaras løsning indikerer at han visste om toverdien til røttene til kvadratiske ligninger (fig. 3).

Ligningen som tilsvarer oppgave 13 er:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara skriver under dekke av:

x 2 - 64x = -768

og for å fullføre venstre side av denne ligningen til et kvadrat, legger han til på begge sider 32 2 , får da:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratiske ligninger i al-Khorezmi

Al-Khorezmis algebraiske avhandling gir en klassifisering av lineære og kvadratiske ligninger. Forfatteren lister opp 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

1) "Kvadrater er lik røtter", dvs. akse 2 + c = b X.

2) "Kvadrater er lik tall", dvs. akse 2 = s.

3) "Røttene er lik tallet", dvs. ah = s.

4) "Kvadrater og tall er lik røtter", dvs. akse 2 + c = b X.

5) "Kvadrater og røtter er lik tallet", dvs. ah 2+ bx = s.

6) "Røtter og tall er lik kvadrater", dvs. bx + c \u003d akse 2.

For al-Khwarizmi, som unngikk bruken av negative tall, er vilkårene for hver av disse ligningene addisjoner, ikke subtraksjoner. I dette tilfellet er det åpenbart ikke tatt hensyn til ligninger som ikke har positive løsninger. Forfatteren skisserer metodene for å løse disse ligningene ved å bruke metodene til al-jabr og al-muqabala. Hans avgjørelser er selvsagt ikke helt sammenfallende med våre. For ikke å nevne det faktum at det er rent retorisk, bør det for eksempel bemerkes at når man løser en ufullstendig kvadratisk ligning av den første typen

al-Khorezmi, som alle matematikere før 1600-tallet, tar ikke hensyn til nullløsningen, sannsynligvis fordi den ikke spiller noen rolle i spesifikke praktiske problemer. Når du løser komplette kvadratiske ligninger, angir al-Khorezmi reglene for løsning, og deretter geometriske bevis, ved å bruke spesielle numeriske eksempler.

Oppgave 14.«Kvadraten og tallet 21 er lik 10 røtter. Finn roten" (forutsatt roten av ligningen x 2 + 21 = 10x).

Forfatterens løsning går omtrent slik: del antall røtter i to, du får 5, gang 5 med seg selv, trekk 21 fra produktet, 4 gjenstår Ta roten av 4, du får 2. Trekk 2 fra 5, du får 3, vil dette være ønsket rot. Eller legg til 2 til 5, som vil gi 7, dette er også en rot.

Treatise al - Khorezmi er den første boken som har kommet ned til oss, der klassifiseringen av andregradsligninger er systematisk oppgitt og formler for deres løsning er gitt.

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - XVII århundrer

Formler for å løse kvadratiske ligninger på modellen til al - Khorezmi i Europa ble først fremsatt i "Book of the Abacus", skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrike arbeidet, som gjenspeiler påvirkningen av matematikk, både landene i islam og Antikkens Hellas, er forskjellig i både fullstendighet og klarhet i presentasjonen. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler på problemløsning og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange oppgaver fra "Book of the Abacus" gikk over i nesten alle europeiske lærebøker på 1500- og 1600-tallet. og delvis XVIII.

Den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

x 2+ bx = med,

for alle mulige kombinasjoner av tegn på koeffisientene b , Med ble formulert i Europa først i 1544 av M. Stiefel.

Vieta har en generell avledning av formelen for å løse en kvadratisk ligning, men Vieta gjenkjente bare positive røtter. De italienske matematikerne Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. Ta i betraktning, i tillegg til positive og negative røtter. Bare i det XVII århundre. Takket være arbeidet til Girard, Descartes, Newton og andre forskere, får måten å løse andregradsligninger på et moderne utseende.

1.6 Om Vietas teorem

Teoremet som uttrykker forholdet mellom koeffisientene til en kvadratisk ligning og dens røtter, som bærer navnet Vieta, ble formulert av ham for første gang i 1591 som følger: "Hvis B + D ganget med EN - EN 2 , er lik BD, Det EN er lik I og likeverdig D ».

For å forstå Vieta må man huske det EN, som enhver vokal, betydde for ham det ukjente (vår X), vokalene I, D- koeffisienter for det ukjente. På språket til moderne algebra betyr Vietas formulering ovenfor: hvis

(et + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Uttrykke forholdet mellom røttene og koeffisientene til ligningene generelle formler, skrevet ved hjelp av symboler, etablerte Viet enhetlighet i metodene for å løse ligninger. Men symbolikken til Vieta er fortsatt langt fra moderne utseende. Han gjenkjente ikke negative tall, og derfor vurderte han bare tilfeller der alle røtter er positive når han løste ligninger.

2. Metoder for å løse andregradsligninger

Kvadratiske ligninger er grunnlaget som det majestetiske byggverket til algebra hviler på. Kvadratiske ligninger er mye brukt for å løse trigonometriske, eksponentielle, logaritmiske, irrasjonelle og transcendentale ligninger og ulikheter. Vi vet alle hvordan vi løser andregradsligninger fra skolen (8. klasse) til eksamen.

Hvordan Diophantus kompilerte og løste andregradsligninger. Derav ligningen: (10 + x) (10 - x) \u003d 96 eller: 100 - x2 \u003d 96 x2 - 4 \u003d 0 (1) Løsningen x \u003d -2 for Diophantus eksisterer ikke, siden gresk matematikk visste bare positive tall.

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt=" kvadratiske ligninger i India. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Kvadratiske ligninger i al-Khorezmi. 1) "Kvadratene er lik røttene", dvs. ax2 + c \u003d bx. 2) "Kvadrater er lik tall", dvs. ax2 = c. 3) "Røttene er lik tallet", dvs. ah \u003d c. 4) "Kvadrater og tall er lik røtter", dvs. ax2 + c = bx. 5) "Kvadrater og røtter er lik et tall", dvs. ax2 + bx = c. 6) "Røtter og tall er lik kvadrater", dvs. bx + c \u003d ax2.

Kvadratiske ligninger i Europa på 1200-–1600-tallet. x2 + bx = c, med alle mulige kombinasjoner av tegn til koeffisientene b, c ble formulert i Europa først i 1544 av M. Stiefel.

På Vietas teorem. "Hvis B + D ganger A - A 2 er lik BD, så er A lik B og lik D." På språket til moderne algebra betyr Vietas formulering ovenfor: hvis (a + b)x - x2 = ab, dvs. x2 - (a + b)x + ab = 0, så x1 = a, x2 = b.

Metoder for å løse andregradsligninger. 1. METODE: Dekomponering av venstre side av ligningen i faktorer. Løs ligningen x2 + 10 x - 24 = 0. Faktoriser venstre side: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Derfor kan ligningen omskrives som følger: (x + 12) (x - 2) = 0 Siden produktet er null, så er minst en av faktorene null. Derfor forsvinner venstre side av ligningen ved x = 2, og også ved x = - 12. Dette betyr at tallet 2 og - 12 er røttene til ligningen x2 + 10 x - 24 = 0.

2. METODE: Hel kvadratisk valgmetode. Vi løser ligningen x2 + 6 x - 7 \u003d 0. Velg på venstre side full firkant. For å gjøre dette skriver vi uttrykket x2 + 6 x in følgende skjema: x2 + 6 x \u003d x2 + 2 x 3. i det resulterende uttrykket er det første leddet kvadratet av tallet x, og det andre er dobbelt produkt x med 3. Derfor, for å få en hel firkant, må du legge til 32, siden x2 + 2 x 3 + 32 \u003d (x + 3) 2. Vi transformerer nå venstre side av ligningen x2 + 6 x - 7 \u003d 0, legger til den og trekker fra 32. Vi har: x2 + 6 x - 7 \u003d x2 + 2 x 3 + 32 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16. Dermed kan denne ligningen skrives som følger: (x + 3) 2 - 16 \u003d 0, (x + 3) 2 \u003d 16 Derfor er x + 3 - 4 \u003d 0, x1 = 1, eller x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METODE: Løsning av andregradsligninger ved formel. Multipliser begge sider av ligningen ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 med 4 a og suksessivt har vi: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax) 2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b) 2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ac ,

4. METODE: Løse ligninger ved hjelp av Vieta-setningen. Som du vet, har den gitte kvadratiske ligningen formen x2 + px + c \u003d 0. (1) Røttene tilfredsstiller Vieta-setningen, som for en \u003d 1 har formen x 1 x 2 \u003d q, x 1 + x 2 \u003d - p a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 og x 2 = 1, siden q = 2 > 0 og p = - 3 0 og p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 \u003d - 5 og x 2 \u003d 1, siden q \u003d - 5 0; x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 \u003d 9 og x 2 \u003d - 1, siden q \u003d - 9

5. METODE: Løse ligninger ved hjelp av "transfer"-metoden. Tenk på den andregradsligningen ax2 + bx + c \u003d 0, hvor a ≠ 0. Multipliserer begge delene med a, får vi ligningen a 2 x2 + abx + ac \u003d 0. La ax \u003d y, hvorfra x \ u003d y/a; da kommer vi til ligningen y2 + ved + ac = 0, som tilsvarer den gitte. Vi finner røttene y1 og y2 ved å bruke Vieta-setningen. Til slutt får vi x1 = y1/a og x1 = y2/a.

Eksempel. La oss løse ligningen 2 x2 - 11 x + 15 = 0. Løsning. "Kast" koeffisienten 2 til frileddet, som et resultat får vi ligningen y2 - 11 y + 30 = 0. I følge Vieta-setningen y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Svar : 2, 5; 3. x 1 = 2, 5 x 2 = 3.

6. METODE: Egenskaper til koeffisientene til en andregradsligning. A. La en andregradsligning ax2 + bx + c \u003d 0 gis, hvor a ≠ 0. 1) Hvis, a + b + c \u003d 0 (dvs. summen av koeffisientene er null), så er x1 \u003d 1, x2 \u003d c / A. Bevis. Del begge sider av ligningen med a ≠ 0, vi får den reduserte andregradsligningen x 2 + b / a x + c / a \u003d 0. I følge Vieta-setningen x 1 + x 2 \u003d - b / a, x 1 x 2 \u003d 1 c/a. Ved betingelse a - b + c = 0, hvorav b = a + c. Dermed x 1 + x 2 \u003d - a + b / a \u003d -1 - c / a, x 1 x 2 \u003d - 1 (- c / a), dvs. x1 \u003d -1 og x2 \u003d c / a, som skulle bevises.

B. Hvis den andre koeffisienten b = 2 k - partall, deretter rotformelen B. Ovenstående likning x2 + px + q= 0 sammenfaller med likningen generelt syn, hvor a = 1, b = p og c = q. Derfor, for den reduserte kvadratiske ligningen, formelen for røttene

7. METODE: Grafisk løsning kvadratisk ligning. Hvis vi i likningen x2 + px + q = 0 overfører andre og tredje ledd til høyre side, får vi x2 = - px - q. La oss bygge avhengighetsgrafer y \u003d x2 og y \u003d - px - q.

Eksempel 1) La oss grafisk løse ligningen x2 - 3 x - 4 = 0 (fig. 2). Løsning. Vi skriver likningen på formen x2 \u003d 3 x + 4. Vi konstruerer en parabel y \u003d x2 og en rett linje y \u003d 3 x + 4. En rett linje y \u003d 3 x + 4 kan bygges ved å bruke to punktene M (0; 4) og N (3; 13). Svar: x1 = - 1; x2 = 4

8. METODE: Løse andregradsligninger med kompass og linjal. finne røttene til et firkantet kompass og en linjal (fig. 5). Ligninger Så, ved sekantsetningen, har vi OB OD = OA OC, hvorav OC = OB OD/ OA= x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 med

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Sirkelradius større enn senterordinaten (AS > SK, eller R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет !} felles punkter med abscisseaksen (fig. 6, c), i dette tilfellet har ligningen ingen løsning.

9. METODE: Løse andregradsligninger ved hjelp av et nomogram. z 2 + pz + q = 0. Den krumlinjede skalaen til nomogrammet er bygget i henhold til formlene (fig. 11): Forutsatt OS = p, ED = q, OE = a (alle i cm), Fra likheten til trekanter SAN og CDF får vi andelen

Eksempler. 1) For ligningen z 2 - 9 z + 8 = 0, gir nomogrammet røttene z 1 = 8, 0 og z 2 = 1, 0 (fig. 12). 2) Ved hjelp av nomogrammet løser vi ligningen 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Del koeffisientene til denne ligningen med 2, vi får ligningen z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Nomogrammet gir røttene z 1 = 4 og z 2 = 0, 5. 3) For ligningen z 2 - 25 z + 66 \u003d 0 er koeffisientene p og q ute av skala, vi utfører substitusjonen z \u003d 5 t, vi få ligningen t 2 - 5 t + 2, 64 \u003d 0, som vi løser med nomogrammer og får t 1 = 0,6 og t 2 = 4,4, hvorav z 1 = 5 t 1 = 3,0 og z 2 = 5 t 2 = 22.0.

10. METODE: Geometrisk måte å løse andregradsligninger på. Eksempler. 1) La oss løse likningen x2 + 10 x = 39. I originalen er denne oppgaven formulert slik: "Kvadraten og ti røttene er lik 39" (fig. 15). For ønsket side x av den opprinnelige firkanten får vi

y2 + 6 y - 16 = 0. Løsningen er vist i fig. 16, hvor y2 + 6 y = 16, eller y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Løsning. Uttrykkene y2 + 6 y + 9 og 16 + 9 er geometrisk samme kvadrat, og den opprinnelige ligningen y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 er den samme ligningen. Derfra får vi at y + 3 = ± 5, eller y1 = 2, y2 = - 8 (fig. 16).