Identiske faktorer reduseres ikke. Velge hele delen av en brøkdel

Denne artikkelen fortsetter temaet transformasjon algebraiske brøker: vurdere en slik handling som å redusere algebraiske brøker. La oss definere selve begrepet, formulere en reduksjonsregel og analysere praktiske eksempler.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Betydningen av å redusere en algebraisk brøk

I materialer om vanlige brøker så vi på reduksjonen. Vi definerte å redusere en brøk som å dele telleren og nevneren med en felles faktor.

Å redusere en algebraisk brøk er en lignende operasjon.

Definisjon 1

Redusere en algebraisk brøk er delingen av telleren og nevneren med en felles faktor. I dette tilfellet, i motsetning til reduksjonen av en ordinær brøk (fellesnevneren kan bare være et tall), kan fellesfaktoren til telleren og nevneren til en algebraisk brøk være et polynom, spesielt et monomial eller et tall.

For eksempel kan den algebraiske brøken 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 reduseres med tallet 3, noe som resulterer i: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Vi kan redusere den samme brøken med variabelen x, og dette vil gi oss uttrykket 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Også for gitt brøk kan reduseres med en monomial 3 x eller noen av polynomene x + 2 år, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y eller 3 x 2 + 6 x y.

Det endelige målet med å redusere en algebraisk brøk er en brøk større enn enkel type, V beste scenario– irreduserbar fraksjon.

Er alle algebraiske brøker gjenstand for reduksjon?

Igjen, fra materialer på vanlige fraksjoner, vet vi at det finnes reduserbare og irreduserbare fraksjoner. Irreduserbare brøker er brøker som ikke har andre felles teller- og nevnerfaktorer enn 1.

Det er det samme med algebraiske brøker: de kan ha felles faktorer i telleren og nevneren, eller de kan ikke. Tilstedeværelsen av vanlige faktorer lar deg forenkle den opprinnelige brøken gjennom reduksjon. Når det ikke er noen felles faktorer, er det umulig å optimalisere en gitt brøk ved hjelp av reduksjonsmetoden.

I generelle saker Ved gitt type Det er ganske vanskelig for en brøkdel å forstå om det kan reduseres. Selvfølgelig er tilstedeværelsen av en felles faktor mellom telleren og nevneren åpenbar i noen tilfeller. For eksempel, i den algebraiske brøken 3 x 2 3 y er det klart at den felles faktoren er tallet 3.

I brøken - x · y 5 · x · y · z 3 forstår vi også umiddelbart at den kan reduseres med x, eller y, eller x · y. Og likevel, mye oftere er det eksempler på algebraiske brøker, når den felles faktoren til telleren og nevneren ikke er så lett å se, og enda oftere er den ganske enkelt fraværende.

For eksempel kan vi redusere brøken x 3 - 1 x 2 - 1 med x - 1, mens den angitte fellesfaktoren ikke er til stede i oppføringen. Men brøken x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 kan ikke reduseres, siden telleren og nevneren ikke har en felles faktor.

Spørsmålet om å bestemme reduserbarheten til en algebraisk brøk er altså ikke så enkelt, og det er ofte lettere å arbeide med en brøkdel av en gitt form enn å prøve å finne ut om den er reduserbar. I dette tilfellet skjer slike transformasjoner som i spesielle tilfeller gjør det mulig å bestemme fellesfaktoren til telleren og nevneren eller å trekke en konklusjon om irreducerbarheten til en brøk. Vi vil undersøke dette problemet i detalj i neste avsnitt av artikkelen.

Regel for å redusere algebraiske brøker

Regel for å redusere algebraiske brøker består av to sekvensielle handlinger:

• finne felles faktorer for telleren og nevneren;
• hvis noen blir funnet, utføres handlingen med å redusere fraksjonen direkte.

Den mest praktiske metoden for å finne fellesnevnere er å faktorisere polynomene som er tilstede i telleren og nevneren til en gitt algebraisk brøk. Dette lar deg umiddelbart tydelig se tilstedeværelsen eller fraværet av vanlige faktorer.

Selve handlingen med å redusere en algebraisk brøk er basert på hovedegenskapen til en algebraisk brøk, uttrykt ved likheten udefinert, der a, b, c er noen polynomer, og b og c er ikke-null. Det første trinnet er å redusere brøken til formen a · c b · c, der vi umiddelbart legger merke til fellesfaktoren c. Det andre trinnet er å utføre en reduksjon, dvs. overgang til en brøkdel av formen a b .

Typiske eksempler

Til tross for noen selvfølgeligheter, la oss avklare om spesielt tilfelle når telleren og nevneren til en algebraisk brøk er like. Lignende brøker er identisk lik 1 på hele ODZ av variablene til denne brøken:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Siden vanlige brøker er et spesialtilfelle av algebraiske brøker, la oss huske hvordan de reduseres. De naturlige tallene skrevet i telleren og nevneren blir faktorisert inn i primfaktorer, deretter annulleres de felles faktorene (hvis noen).

For eksempel, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Produktet av enkle identiske faktorer kan skrives som potenser, og i prosessen med å redusere en brøk, bruk egenskapen til å dele potenser med på samme grunnlag. Da vil løsningen ovenfor være:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(teller og nevner delt på en felles faktor 2 2 3). Eller for klarhet, basert på egenskapene til multiplikasjon og divisjon, gir vi løsningen følgende form:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analogt utføres reduksjonen av algebraiske brøker, der telleren og nevneren har monomer med heltallskoeffisienter.

Eksempel 1

Den algebraiske brøken er gitt - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Det må reduseres.

Løsning

Det er mulig å skrive telleren og nevneren til en gitt brøk som et produkt av enkle faktorer og variabler, og deretter utføre reduksjonen:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

En mer rasjonell måte ville imidlertid være å skrive løsningen som et uttrykk med krefter:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Svare:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Når telleren og nevneren til en algebraisk brøk har numeriske brøkkoeffisienter, er to måter mulige ytterligere handlinger: eller del disse separat brøkodds, eller først bli kvitt brøkkoeffisienter ved å multiplisere telleren og nevneren med en viss naturlig tall. Den siste transformasjonen utføres på grunn av den grunnleggende egenskapen til en algebraisk brøk (du kan lese om den i artikkelen "Redusere en algebraisk brøk til en ny nevner").

Eksempel 2

Den gitte brøken er 2 5 x 0, 3 x 3. Det må reduseres.

Løsning

Det er mulig å redusere brøken på denne måten:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

La oss prøve å løse problemet annerledes, etter først å ha blitt kvitt brøkkoeffisienter - multipliser telleren og nevneren med det minste felles multiplum av nevnerne til disse koeffisientene, dvs. på LCM (5, 10) = 10. Da får vi:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Svar: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Når vi reduserer algebraiske brøker generelt syn, der tellerne og nevnerne kan være enten monomer eller polynomer, kan det være et problem når fellesfaktoren ikke alltid er umiddelbart synlig. Eller dessuten eksisterer den rett og slett ikke. Deretter, for å bestemme fellesfaktoren eller registrere fraværet, blir telleren og nevneren til den algebraiske brøken faktorisert.

Eksempel 3

Den rasjonelle brøken 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 er gitt. Det må reduseres.

Løsning

La oss faktorisere polynomene i telleren og nevneren. La oss sette det utenfor parentes:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vi ser at uttrykket i parentes kan konverteres ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Man ser tydelig at det er mulig å redusere en brøk med en felles faktor b 2 (a + 7). La oss gjøre en reduksjon:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

La oss skrive en kort løsning uten forklaring som en kjede av likheter:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Svare: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Det hender at vanlige faktorer er skjult av numeriske koeffisienter. Deretter, når du reduserer brøker, er det optimalt å sette de numeriske faktorene ved høyere potenser av telleren og nevneren utenfor parentes.

Eksempel 4

Gitt den algebraiske brøken 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Det er nødvendig å redusere det hvis mulig.

Løsning

Ved første øyekast har ikke teller og nevner en fellesnevner. La oss imidlertid prøve å konvertere den gitte brøken. La oss ta ut faktoren x i telleren:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Nå kan du se en viss likhet mellom uttrykket i parentes og uttrykket i nevneren på grunn av x 2 y . La oss ta ut de numeriske koeffisientene til de høyere potensene til disse polynomene:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Nå blir fellesfaktoren synlig, vi gjennomfører reduksjonen:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Svare: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

La oss understreke at ferdigheten til sammentrekning rasjonelle brøker avhenger av evnen til å faktorisere polynomer.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

I denne artikkelen skal vi se nærmere på hvordan reduserende fraksjoner. La oss først diskutere det som kalles å redusere en brøk. Etter dette, la oss snakke om å redusere en reduserbar brøkdel til en irreduserbar form. Deretter vil vi få tak i regelen for å redusere brøker og til slutt vurdere eksempler på anvendelsen av denne regelen.

Sidenavigering.

Hva vil det si å redusere en brøkdel?

Vi vet at vanlige brøker deles inn i reduserbare og irreduserbare brøker. Fra navnene kan du gjette at reduserbare brøker kan reduseres, men irreduserbare brøker ikke.

Hva vil det si å redusere en brøkdel? Reduser en brøkdel- dette betyr å dele telleren og nevneren med deres positive og forskjellig fra enhet. Det er klart at som et resultat av å redusere en brøk, oppnås en ny brøk med en mindre teller og nevner, og på grunn av den grunnleggende egenskapen til brøken er den resulterende brøken lik den opprinnelige.

La oss for eksempel redusere fellesbrøken 8/24 ved å dele telleren og nevneren med 2. Med andre ord, la oss redusere brøken 8/24 med 2. Siden 8:2=4 og 24:2=12, resulterer denne reduksjonen i brøken 4/12, som er lik den opprinnelige brøken 8/24 (se like og ulik brøk). Som et resultat har vi .

Reduserer vanlige fraksjoner til irreduserbar form

Vanligvis er det endelige målet med å redusere en brøk å oppnå en irreduserbar brøk som er lik den opprinnelige reduserbare brøken. Dette målet kan oppnås ved å redusere den opprinnelige reduserbare brøken til dens teller og nevner. Som et resultat av en slik reduksjon oppnås alltid en irreduserbar fraksjon. Faktisk en brøkdel er irreduserbar, siden det er kjent at Og -. Her vil vi si at den største felles deler Telleren og nevneren for brøken er det største antallet, som denne fraksjonen kan reduseres med.

Så, redusere en vanlig brøk til en irreduserbar form består av å dele telleren og nevneren til den opprinnelige reduserbare brøken med deres gcd.

La oss se på et eksempel, hvor vi går tilbake til brøken 8/24 og reduserer den med den største felles divisor av tallene 8 og 24, som er lik 8. Siden 8:8=1 og 24:8=3, kommer vi til den irreduserbare brøken 1/3. Så, .

Legg merke til at uttrykket "reduser en brøk" ofte betyr å redusere den opprinnelige brøken til dens irreduserbare form. Med andre ord, å redusere en brøk refererer veldig ofte til å dele telleren og nevneren med deres største felles faktor (i stedet for med noen felles faktor).

Hvordan redusere en brøkdel? Regler og eksempler for å redusere brøker

Det gjenstår bare å se på regelen for reduksjon av brøker, som forklarer hvordan man reduserer en gitt brøk.

Regel for reduksjon av brøker består av to trinn:

• først, gcd av telleren og nevneren for brøken er funnet;
• for det andre deles telleren og nevneren til brøken på deres gcd, noe som gir en irreduserbar brøk lik den opprinnelige.

La oss ordne opp i det eksempel på å redusere en brøkdel etter oppgitt regel.

Eksempel.

Reduser brøken 182/195.

Løsning.

La oss utføre begge trinnene foreskrevet av regelen for å redusere en brøkdel.

Først finner vi GCD(182, 195) . Det er mest praktisk å bruke den euklidiske algoritmen (se): 195=182·1+13, 182=13·14, det vil si GCD(182, 195)=13.

Nå deler vi telleren og nevneren til brøken 182/195 med 13, og vi får den irreduserbare brøken 14/15, som er lik den opprinnelige brøken. Dette fullfører reduksjonen av fraksjonen.

Kort fortalt kan løsningen skrives slik: .

Svare:

Det er her vi kan avslutte med å redusere brøker. Men for å fullføre bildet, la oss se på ytterligere to måter å redusere brøker på, som vanligvis brukes i enkle tilfeller.

Noen ganger er telleren og nevneren til brøken som reduseres ikke vanskelig. Å redusere en brøk i dette tilfellet er veldig enkelt: du trenger bare å fjerne alle vanlige faktorer fra telleren og nevneren.

Det er verdt å merke seg at denne metoden følger direkte av regelen om reduserende brøker, siden produktet av alle vanlige primfaktorer for telleren og nevneren er lik deres største felles divisor.

La oss se på løsningen på eksempelet.

Eksempel.

Reduser fraksjonen 360/2 940.

Løsning.

La oss faktorisere telleren og nevneren til enkle faktorer: 360=2·2·2·3·3·5 og 2,940=2·2·3·5·7·7. Slik, .

Nå blir vi kvitt de vanlige faktorene i telleren og nevneren for enkelhets skyld, vi krysser dem ganske enkelt ut: .

Til slutt multipliserer vi de resterende faktorene: , og reduksjonen av brøken er fullført.

Her kort notat løsninger: .

Svare:

La oss vurdere en annen måte å redusere en brøk på, som består av sekvensiell reduksjon. Her, ved hvert trinn, reduseres brøken med en felles deler av telleren og nevneren, som enten er åpenbar eller lett å bestemme ved hjelp av

Når en elev flytter til videregående skole, matematikk er delt inn i 2 fag: algebra og geometri. Det blir flere og flere konsepter, oppgavene blir vanskeligere og vanskeligere. Noen mennesker har problemer med å forstå brøker. Gikk glipp av den første leksjonen om dette emnet, og vips. brøker? Et spørsmål som vil plage hele skolehverdagen min.

Konseptet med en algebraisk brøk

La oss starte med en definisjon. Under algebraisk brøk refererer til uttrykkene P/Q, der P er telleren og Q er nevneren. Et tall kan være skjult under bokstavoppføringen, numerisk uttrykk, numerisk bokstavuttrykk.

Før du lurer på hvordan du løser algebraiske brøker, må du først forstå at et slikt uttrykk er en del av helheten.

Som regel er et heltall 1. Tallet i nevneren viser hvor mange deler enheten er delt inn i. Telleren er nødvendig for å finne ut hvor mange elementer som tas. Brøkstreken tilsvarer divisjonstegnet. Opptak tillatt brøkuttrykk som en matematisk operasjon "Division". I dette tilfellet er telleren utbyttet, nevneren er divisor.

Grunnregel for vanlige brøker

Når elevene består dette emnet på skolen får de eksempler for å forsterke. For å løse dem riktig og finne forskjellige veier fra vanskelige situasjoner, må du bruke den grunnleggende egenskapen til brøker.

Det går slik: Hvis du multipliserer både telleren og nevneren med samme tall eller uttrykk (annet enn null), endres ikke verdien av fellesbrøken. Et spesielt tilfelle av denne regelen er delingen av begge sider av et uttrykk med samme tall eller polynom. Slike transformasjoner kalles identiske likheter.

Nedenfor skal vi se på hvordan man løser addisjon og subtraksjon av algebraiske brøker, multiplisere, dele og redusere brøker.

Matematiske operasjoner med brøker

La oss se på hvordan du løser, hovedegenskapen til en algebraisk brøk, og hvordan du bruker den i praksis. Hvis du trenger å multiplisere to brøker, addere dem, dele på hverandre eller trekke fra, må du alltid følge reglene.

For operasjonen av addisjon og subtraksjon må det altså finnes en tilleggsfaktor for å bringe uttrykkene til en fellesnevner. Hvis brøkene i utgangspunktet er gitt med de samme uttrykkene Q, bør dette avsnittet utelates. Når fellesnevner funnet, hvordan løse algebraiske brøker? Du må legge til eller trekke fra tellere. Men! Det må huskes at hvis det er et "-"-tegn foran en brøk, blir alle tegn i telleren reversert. Noen ganger bør du ikke gjøre noen erstatninger og matematiske operasjoner. Det er nok å endre tegnet foran brøken.

Konseptet brukes ofte som reduserende fraksjoner. Dette betyr følgende: hvis telleren og nevneren er delt med et uttrykk som er forskjellig fra ett (likt for begge deler), så oppnås en ny brøk. Utbytte og divisor er mindre enn før, men på grunn av den grunnleggende brøkregelen forblir de lik det opprinnelige eksemplet.

Hensikten med denne operasjonen er å få et nytt irreduserbart uttrykk. Avgjøre denne oppgaven Du kan gjøre dette ved å redusere telleren og nevneren med den største felles faktoren. Operasjonsalgoritmen består av to punkter:

1. Finne gcd for begge sider av brøken.
2. Dele telleren og nevneren med det funnet uttrykket og oppnå en irreduserbar brøk lik den forrige.

Nedenfor er en tabell som viser formlene. For enkelhets skyld kan du skrive den ut og ha den med deg i en notatbok. Imidlertid, slik at det i fremtiden, når du løser en test eller eksamen, ikke vil være noen problemer med spørsmålet om hvordan du løser algebraiske brøker, de angitte formlene må læres utenat.

Flere eksempler med løsninger

MED teoretisk poeng Fra et perspektiv vurderes spørsmålet om hvordan man løser algebraiske brøker. Eksemplene gitt i artikkelen vil hjelpe deg å forstå materialet bedre.

1. Gjør om brøker og få dem til en fellesnevner.

2. Gjør om brøker og få dem til en fellesnevner.

Etter å ha studert den teoretiske delen og vurdert praktiske spørsmål det burde ikke være mer.

Inndeling og telleren og nevneren av brøken på deres felles deler, forskjellig fra en, kalles redusere en brøkdel.

Å forkorte vanlig brøk, må du dele telleren og nevneren med det samme naturlige tallet.

Dette tallet er den største felles divisor for telleren og nevneren for den gitte brøken.

Følgende er mulig skjema for beslutningsopptak Eksempler for å redusere vanlige brøker.

Studenten har rett til å velge hvilken som helst form for opptak.

Eksempler. Forenkle brøker.

Reduser brøken med 3 (del telleren med 3;

del nevneren med 3).

Reduser brøken med 7.

Vi utfører de angitte handlingene i telleren og nevneren til brøken.

Den resulterende fraksjonen reduseres med 5.

La oss redusere denne brøkdelen 4) på 5·7³- den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren, som består av fellesfaktorene til telleren og nevneren, tatt i potens med den minste eksponenten.

La oss faktorisere telleren og nevneren til denne brøken i primfaktorer.

Vi får: 756=2²·3³·7 Og 1176=2³·3·7².

Bestem GCD (største felles divisor) for telleren og nevneren til brøken 5) .

Dette er produktet av vanlige faktorer tatt med de laveste eksponentene.

GCD(756; 1176)= 2²·3·7.

Vi deler telleren og nevneren for denne brøken med deres gcd, dvs. med 2²·3·7 vi får en irreduserbar brøk 9/14 .

Eller det var mulig å skrive nedbrytningen av teller og nevner i form av et produkt av primfaktorer, uten å bruke potensbegrepet, og deretter redusere brøken ved å krysse ut de samme faktorene i telleren og nevneren. Når det ikke er identiske faktorer igjen, multipliserer vi de resterende faktorene separat i telleren og separat i nevneren og skriver ut den resulterende brøken 9/14 .

Og til slutt var det mulig å redusere denne brøkdelen 5) gradvis, ved å bruke tegn på å dele tall på både telleren og nevneren av brøken. Vi resonnerer slik: tall 756 Og 1176 ende på et partall, som betyr at begge er delbare med 2 . Vi reduserer brøken med 2 . Telleren og nevneren til den nye brøken er tall 378 Og 588 også delt inn i 2 . Vi reduserer brøken med 2 . Vi merker at tallet 294 - til og med, og 189 er oddetall, og reduksjon med 2 er ikke lenger mulig. La oss sjekke delebarheten til tall 189 Og 294 på 3 .

(1+8+9)=18 er delelig med 3 og (2+9+4)=15 er delelig med 3, derav tallene i seg selv 189 Og 294 er delt inn i 3 . Vi reduserer brøken med 3 . Neste, 63 er delelig med 3 og 98 - Nei. La oss se på andre hovedfaktorer. Begge tallene er delbare med 7 . Vi reduserer brøken med 7 og vi får den irreduserbare brøken 9/14 .

I denne artikkelen skal vi se på grunnleggende operasjoner med algebraiske brøker:

• reduserende fraksjoner
• multiplisere brøker
• dele brøker

La oss begynne med reduksjon av algebraiske brøker.

Det ser ut til algoritmeåpenbar.

Til redusere algebraiske brøker, trenger å

1. Faktor telleren og nevneren til brøken.

2. Reduser like faktorer.

Imidlertid gjør skolebarn ofte feilen med å "redusere" ikke faktorene, men vilkårene. For eksempel er det amatører som "reduserer" brøker med og får som et resultat, noe som selvfølgelig ikke er sant.

La oss se på eksempler:

1. Reduser en brøkdel:

1. La oss faktorisere telleren ved å bruke formelen for kvadratet av summen, og nevneren ved å bruke formelen for kvadratforskjellen

2. Del teller og nevner med

2. Reduser en brøkdel:

1. La oss faktorisere telleren. Siden telleren inneholder fire termer, bruker vi gruppering.

2. La oss faktorisere nevneren. Vi kan også bruke gruppering.

3. La oss skrive ned brøken vi fikk og redusere de samme faktorene:

Multiplisere algebraiske brøker.

Når vi multipliserer algebraiske brøker, multipliserer vi telleren med telleren, og multipliserer nevneren med nevneren.

Viktig! Det er ikke nødvendig å skynde seg å multiplisere telleren og nevneren til en brøk. Etter at vi har skrevet ned produktet av tellerne av brøkene i telleren, og produktet av nevnerne i nevneren, må vi faktorisere hver faktor og redusere brøken.

La oss se på eksempler:

3. Forenkle uttrykket:

1. La oss skrive produktet av brøker: i telleren produktet av tellerne, og i nevneren produktet av nevnerne:

2. La oss faktorisere hver parentes:

Nå må vi redusere de samme faktorene. Legg merke til at uttrykkene og bare er forskjellige i fortegn: og som et resultat av å dele det første uttrykket med det andre får vi -1.

Så,

Vi deler algebraiske brøker i henhold til følgende regel:

Det vil si For å dele med en brøk, må du multiplisere med den "omvendte".

Vi ser at å dele brøker kommer ned til å multiplisere, og Multiplikasjon kommer til syvende og sist ned på å redusere brøker.

La oss se på et eksempel:

4. Forenkle uttrykket: