Monomialet er standardformen og -graden. Leksjon om emnet: "Standard form for et monomial

Vi bemerket at enhver monomial kan være bringe til standard form. I denne artikkelen vil vi forstå hva som kalles reduksjon av en monomial til en standardform, hvilke handlinger som lar denne prosessen utføres, og vurdere løsningene på eksempler med detaljerte forklaringer.

Sidenavigering.

Hva betyr det å bringe en monomial til standardform?

Det er praktisk å jobbe med monomialer når de er skrevet i standardform. Imidlertid er monomialer ganske ofte gitt i en annen form enn standard. I disse tilfellene kan man alltid gå fra den opprinnelige monomialen til standardformen monomial ved å utføre identiske transformasjoner. Prosessen med å utføre slike transformasjoner kalles å bringe monomialet til standardformen.

La oss generalisere resonnementet ovenfor. Ta monomial til standardform- dette betyr å opptre med ham slik identiske transformasjoner for å få det til å se standard ut.

Hvordan bringe monomial til standardform?

Det er på tide å finne ut hvordan du kan bringe monomialer til standardformen.

Som det er kjent fra definisjonen, er monomer av en ikke-standard form produkter av tall, variabler og deres krefter, og muligens repeterende. Og monomialet til standardformen kan bare inneholde ett tall og ikke-repeterende variabler eller deres grader. Nå gjenstår det å forstå hvordan produktene av den første typen kan reduseres til formen av den andre?

For å gjøre dette, må du bruke følgende regelen for å redusere en monomial til standardform bestående av to trinn:

• Først utføres gruppering av numeriske faktorer, samt identiske variabler og deres grader;
• For det andre beregnes og brukes produktet av tall.

Som et resultat av å bruke den angitte regelen, vil enhver monomial reduseres til standardskjemaet.

Eksempler, løsninger

Det gjenstår å lære hvordan du bruker regelen fra forrige avsnitt når du løser eksempler.

Eksempel.

Ta den monomiale 3·x·2·x 2 til standardform.

Løsning.

La oss gruppere de numeriske faktorene og faktorene med variabel x . Etter gruppering vil den originale monomialen ha formen (3 2) (x x 2) . Produktet av tallene i de første parentesene er 6, og regelen for å multiplisere potenser med samme begrunnelse lar uttrykket i de andre parentesene representeres som x 1 +2=x 3 . Som et resultat får vi et polynom av standardformen 6·x 3 .

La oss ta med kort notat løsninger: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.

Svar:

3 x 2 x 2 =6 x 3.

Så, for å bringe en monomial til en standardform, er det nødvendig å kunne gruppere faktorer, utføre multiplikasjon av tall og arbeide med potenser.

For å konsolidere materialet, la oss løse ett eksempel til.

Eksempel.

Uttrykk monomialet i standardform og angi koeffisienten.

Løsning.

Den originale monomialen har en enkelt numerisk faktor −1 i notasjonen, la oss flytte den til begynnelsen. Etter det grupperer vi faktorene separat med variabelen a , separat - med variabelen b , og det er ingenting å gruppere variabelen m med, la det være som det er, vi har . Etter å ha utført operasjoner med grader i parentes, vil monomialen ta standardformen vi trenger, hvorfra du kan se koeffisienten til monomialen, lik −1. Minus én kan erstattes med et minustegn: .

I denne leksjonen vil vi gi en streng definisjon av en monomial, tenk over ulike eksempler fra læreboka. Husk reglene for å multiplisere potenser med samme grunntall. La oss gi en definisjon av standardformen til en monomial, koeffisienten til en monomial og dens bokstavelige del. La oss vurdere to grunnleggende typiske operasjoner på monomialer, nemlig reduksjon til standardformen og beregning av en spesifikk numerisk verdi av et monomial for sette poeng dens bokstavelige variabler. La oss formulere regelen for å redusere monomialen til standardformen. La oss lære å bestemme typiske oppgaver med eventuelle monomer.

Emne:monomer. Aritmetiske operasjoner på monomer

Lekse:Konseptet med en monomial. standard visning monomial

Tenk på noen eksempler:

3. ;

La oss finne vanlige trekk for de gitte uttrykkene. I alle tre tilfellene er uttrykket produktet av tall og variabler hevet til en potens. Basert på dette gir vi definisjon av et monomial : en monomial kalles slik algebraisk uttrykk, som består av produktet av potenser og tall.

Nå gir vi eksempler på uttrykk som ikke er monomialer:

La oss finne forskjellen mellom disse uttrykkene og de forrige. Den består i at i eksemplene 4-7 er det operasjoner med addisjon, subtraksjon eller divisjon, mens i eksempel 1-3, som er monomer, er det ikke disse operasjonene.

Her er noen flere eksempler:

Uttrykk nummer 8 er et monomial, siden det er produktet av en potens og et tall, mens eksempel 9 ikke er et monomial.

La oss nå finne ut av det handlinger på monomialer .

1. Forenkling. Tenk på eksempel #3 ;og eksempel #2 /

I det andre eksemplet ser vi bare én koeffisient - , hver variabel forekommer bare én gang, det vil si variabelen " en" er representert i en enkelt forekomst, som "", på samme måte forekommer variablene "" og "" bare én gang.

I eksempel nr. 3 er det tvert imot to forskjellige koeffisienter - og , vi ser variabelen "" to ganger - som "" og som "", på samme måte forekommer variabelen "" to ganger. Det vil si at dette uttrykket bør forenkles, dermed kommer vi til den første handlingen som utføres på monomialer er å bringe monomial til standardform . For å gjøre dette, bringer vi uttrykket fra eksempel 3 til standardformen, deretter definerer vi denne operasjonen og lærer hvordan du bringer et hvilket som helst monomialt til standardformen.

Så tenk på et eksempel:

Det første trinnet i standardiseringsoperasjonen er alltid å multiplisere alle numeriske faktorer:

;

Resultat denne handlingen vil bli kalt monomial koeffisient .

Deretter må du multiplisere gradene. Vi multipliserer gradene av variabelen " X"i henhold til regelen for å multiplisere potenser med samme grunntall, som sier at når de multipliseres, summeres eksponentene:

La oss nå multiplisere potensene på»:

;

Så her er et forenklet uttrykk:

;

Enhver monomial kan reduseres til standardform. La oss formulere standardiseringsregel :

Multipliser alle numeriske faktorer;

Sett den resulterende koeffisienten på første plass;

Multipliser alle grader, det vil si få bokstavdelen;

Det vil si at enhver monomial er preget av en koeffisient og en bokstavdel. Ser vi fremover, legger vi merke til at monomer som har samme bokstavdel kalles like.

Nå må du tjene teknikk for å redusere monomialer til standardform . Tenk på eksempler fra læreboken:

Oppgave: bringe monomialen til standardformen, navngi koeffisienten og bokstavdelen.

For å fullføre oppgaven bruker vi regelen om å bringe monomialen til standardformen og egenskapene til gradene.

1. ;

3. ;

Kommentarer til det første eksemplet: Til å begynne med, la oss finne ut om dette uttrykket virkelig er et monomial, for dette sjekker vi om det inneholder multiplikasjonsoperasjoner av tall og potenser og om det inneholder addisjons-, subtraksjons- eller divisjonsoperasjoner. Vi kan si at dette uttrykket er et monomialt, siden betingelsen ovenfor er oppfylt. Videre, i henhold til regelen om å bringe monomialen til standardformen, multipliserer vi de numeriske faktorene:

- vi har funnet koeffisienten til det gitte monomiet;

; ; ; det vil si at den bokstavelige delen av uttrykket mottas:;

skriv ned svaret: ;

Kommentarer til det andre eksemplet: Etter regelen utfører vi:

1) multipliser numeriske faktorer:

2) multipliser potensene:

Variabler og presenteres i en enkelt kopi, det vil si at de ikke kan multipliseres med noe, de skrives om uten endringer, graden multipliseres:

skriv ned svaret:

;

PÅ dette eksemplet monomial koeffisient lik en, og den bokstavelige delen .

Kommentarer til det tredje eksemplet: a på samme måte som de foregående eksemplene, utfører vi følgende handlinger:

1) multipliser numeriske faktorer:

;

2) multipliser potensene:

;

skriv ut svaret: ;

PÅ denne saken koeffisienten til monomialen er "", og den bokstavelige delen .

Vurder nå andre standardoperasjon på monomialer . Siden en monomial er et algebraisk uttrykk som består av bokstavelige variabler som kan ta på seg spesifikke numeriske verdier, så har vi aritmetikken numerisk uttrykk, som skal beregnes. Det vil si at følgende operasjon på polynomer er beregne deres spesifikke numeriske verdi .

Tenk på et eksempel. Monomialet er gitt:

denne monomialen er allerede redusert til standardform, koeffisienten er lik en, og den bokstavelige delen

Tidligere sa vi at et algebraisk uttrykk ikke alltid kan beregnes, det vil si at variablene som kommer inn i det kanskje ikke har noen verdi. Når det gjelder en monomial, kan variablene som er inkludert i den være hvilken som helst, dette er en egenskap ved monomialen.

Så inn gitt eksempel det er nødvendig å beregne verdien av monomialet ved , , , .

Grad av monomial

For en monomial er det konseptet med graden. La oss finne ut hva det er.

Definisjon.

Grad av monomial standardform er summen av eksponentene til alle variabler inkludert i posten; hvis det ikke er noen variabler i den monomiale oppføringen, og den er forskjellig fra null, anses dens grad for å være null; tallet null betraktes som et monomial, hvis grad ikke er definert.

Definisjonen av graden av en monomial tillater oss å gi eksempler. Graden av monomial a er lik én, siden a er en 1 . Graden av monomial 5 er null, siden den er ikke-null og notasjonen inneholder ingen variabler. Og produktet 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 er et monomial av åttende grad, siden summen av eksponentene til alle variablene a, x og y er 2+1+3+2=8.

Forresten, graden av en monomial som ikke er skrevet i standardform er lik graden av den tilsvarende standardformen monomial. For å illustrere det som er sagt, beregner vi graden av monomial 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Denne monomialen i standardform har formen −6·x 8 ·y 4 , graden er 8+4=12 . Dermed er graden av den originale monomialen 12 .

Monomial koeffisient

Et monomial i standardform, med minst en variabel i notasjonen, er et produkt med en enkelt numerisk faktor - en numerisk koeffisient. Denne koeffisienten kalles monomial koeffisient. La oss formalisere resonnementet ovenfor i form av en definisjon.

Definisjon.

Monomial koeffisient er den numeriske faktoren til monomialen skrevet i standardformen.

Nå kan vi gi eksempler på koeffisientene til ulike monomialer. Tallet 5 er koeffisienten til monomial 5 a 3 per definisjon, på samme måte har monomial (−2,3) x y z koeffisienten −2,3 .

Koeffisientene til monomialer lik 1 og -1 fortjener spesiell oppmerksomhet. Poenget her er at de vanligvis ikke er eksplisitt til stede i journalen. Det antas at koeffisienten til monomialer av standardformen, som ikke har en numerisk faktor i notasjonen, er lik en. For eksempel monomer a , x z 3 , a t x , etc. har koeffisient 1, siden a kan betraktes som 1 a, x z 3 som 1 x z 3 osv.

På samme måte anses koeffisienten til monomialer, hvis oppføringer i standardskjemaet ikke har en numerisk faktor og begynner med et minustegn, som minus en. For eksempel monomialene −x , −x 3 y z 3, etc. har koeffisient −1 , siden −x=(−1) x , −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 etc.

Forresten, konseptet med koeffisienten til en monomial blir ofte referert til som monomialer av standardformen, som er tall uten bokstavfaktorer. Koeffisientene til slike monomial-tall anses å være disse tallene. Så for eksempel regnes koeffisienten til monomial 7 som lik 7.

Bibliografi.

• Algebra: lærebok for 7 celler. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 17. utg. - M. : Utdanning, 2008. - 240 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Kl. 14. Del 1. Elevens lærebok utdanningsinstitusjoner/ A. G. Mordkovich. - 17. utgave, legg til. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for søkere til tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

Leksjon om emnet: "Standardform av et monomial. Definisjon. Eksempler"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, tilbakemeldinger, forslag. Alt materiale kontrolleres av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i nettbutikken "Integral" for 7. klasse
Elektronisk lærebok "Forståelig geometri" for 7.-9
Multimediastudieveiledning «Geometri på 10 minutter» for 7.-9

Monomial. Definisjon

Monomial er et matematisk uttrykk som representerer produktet primærfaktor og en eller flere variabler.

Monomialer inkluderer alle tall, variabler, deres grader med naturlig indikator:
42; 3; 0; 62; 2 3; b 3; aks4; 4x3; 5a2; 12xyz 3.

Ganske ofte er det vanskelig å avgjøre om et gitt matematisk uttrykk refererer til en monomial eller ikke. For eksempel $\frac(4a^3)(5)$. Er den monomial eller ikke? For å svare på dette spørsmålet må vi forenkle uttrykket, dvs. representere i formen: $\frac(4)(5)*а^3$.
Vi kan med sikkerhet si at dette uttrykket er et monomial.

Standard form for en monomial

Ved beregning er det ønskelig å bringe monomialen til standardformen. Dette er den korteste og mest forståelige notasjonen av monomialen.

Rekkefølgen for å bringe monomialen til standardformen er som følger:
1. Multipliser koeffisientene til de monomiale (eller numeriske faktorene) og sett resultatet i første rekke.
2. Velg alle grader med samme bokstavgrunnlag og gang dem.
3. Gjenta punkt 2 for alle variabler.

Eksempler.
I. Reduser den gitte monomialen $3x^2zy^3*5y^2z^4$ til standardform.

Løsning.
1. Multipliser koeffisientene til monomialet $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Nå presenterer vi som vilkår$15x^2y^5z^5$.

II. Konverter den gitte monomialen $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ til standardform.

Løsning.
1. Multipliser koeffisientene til monomial $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. La oss nå presentere lignende termer $\frac(10)(7)a^5b^5c$.

Monomialer er en av hovedtypene av uttrykk som studeres innenfor skolekurs algebra. I dette materialet vil vi fortelle deg hva disse uttrykkene er, definere standardformen deres og vise eksempler, samt behandle relaterte konsepter, for eksempel graden av en monomial og dens koeffisient.

Hva er et monomial

Skolebøker gir vanligvis følgende definisjon av dette konseptet:

Definisjon 1

Monomerer inkluderer tall, variabler, samt deres grader med en naturlig indikator og forskjellige typer verk laget av dem.

Ut fra denne definisjonen kan vi gi eksempler på slike uttrykk. Så alle tallene 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 vil referere til monomialer. Alle variabler, for eksempel x , a , b , p , q , t , y , z vil også være monomer per definisjon. Dette inkluderer også potensene til variabler og tall, for eksempel 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 og t 15, samt uttrykk som 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z osv. Vær oppmerksom på at et monomer kan inneholde enten ett tall eller variabel, eller flere, og de kan nevnes flere ganger som en del av ett polynom.

Slike typer tall som heltall, rasjonaler, naturlige tilhører også monomialer. Det kan også inkludere ekte og komplekse tall. Så uttrykk som 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 vil også være monomer.

Hva er standardformen til en monomial og hvordan konvertere et uttrykk til det

For enkelhets skyld blir alle monomialer først redusert til en spesiell form, kalt standard. La oss være spesifikke om hva dette betyr.

Definisjon 2

Standardformen for monomialet kall det en slik form der det er produktet av en numerisk faktor og naturlige grader forskjellige variabler. Den numeriske faktoren, også kalt monomial koeffisient, skrives vanligvis først fra venstre side.

For klarhetens skyld velger vi flere monomialer av standardformen: 6 (dette er en monomial uten variabler), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Dette inkluderer også uttrykket x y(her vil koeffisienten være lik 1), - x 3(her er koeffisienten - 1).

Nå gir vi eksempler på monomialer som må bringes til standardform: 4 a a 2 a 3(her må du kombinere de samme variablene), 5 x (− 1) 3 y 2(her må du kombinere de numeriske faktorene til venstre).

Vanligvis, i tilfellet når en monomial har flere variabler skrevet med bokstaver, skrives bokstavfaktorene i alfabetisk rekkefølge. For eksempel den foretrukne oppføringen 6 a b 4 c z 2, hvordan b 4 6 a z 2 c. Rekkefølgen kan imidlertid være annerledes hvis formålet med beregningen krever det.

Enhver monomial kan reduseres til standardform. For å gjøre dette må du utføre alle nødvendige identiske transformasjoner.

Konseptet med graden av en monomial

Den medfølgende forestillingen om graden av et monomial er veldig viktig. La oss skrive ned definisjonen av dette konseptet.

Definisjon 3

Grad av monomial, skrevet i standardform, er summen av eksponentene til alle variabler som er inkludert i posten. Hvis det ikke er en enkelt variabel i den, og selve monomialen er forskjellig fra 0, vil graden være null.

La oss gi eksempler på graden av monomial.

Eksempel 1

Så monomial a har grad 1 fordi a = a 1 . Hvis vi har en monomial 7, vil den ha nullgrad, siden den ikke har noen variabler og er forskjellig fra 0 . Og her er oppføringen 7 a 2 x y 3 a 2 vil være en monomial av 8. grad, fordi summen av eksponentene til alle gradene av variablene inkludert i den vil være lik 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Det standardiserte monomet og det opprinnelige polynomet vil ha samme grad.

Eksempel 2

La oss vise hvordan du beregner graden av en monomial 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. I standardform kan det skrives som − 6 x 8 y 4. Vi beregner graden: 8 + 4 = 12 . Derfor er graden av det opprinnelige polynomet også lik 12 .

Konseptet med en monomial koeffisient

Hvis vi har et standardisert monomial som inkluderer minst én variabel, snakker vi om det som et produkt med én numerisk faktor. Denne faktoren kalles den numeriske koeffisienten, eller den monomiale koeffisienten. La oss skrive ned definisjonen.

Definisjon 4

Koeffisienten til en monomial er den numeriske faktoren til en monomial redusert til standardform.

Ta for eksempel koeffisientene til forskjellige monomialer.

Eksempel 3

Altså i uttrykket 8 og 3 koeffisienten vil være tallet 8, og inn (− 2, 3) x y z de vil − 2 , 3 .

Spesiell oppmerksomhet bør rettes mot forholdene lik en og minus én. Som regel er de ikke eksplisitt angitt. Det antas at i et monomial av standardformen, der det ikke er noen numerisk faktor, er koeffisienten 1, for eksempel i uttrykkene a, x z 3, a t x, siden de kan betraktes som 1 a, x z 3 - hvordan 1 x z 3 etc.

Tilsvarende, i monomialer som ikke har en numerisk faktor og som begynner med et minustegn, kan vi vurdere koeffisienten - 1.

Eksempel 4

For eksempel vil uttrykkene − x, − x 3 y z 3 ha en slik koeffisient, siden de kan representeres som − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 osv.

Hvis en monomial ikke har en eneste bokstavelig multiplikator i det hele tatt, så er det mulig å snakke om en koeffisient i dette tilfellet også. Koeffisientene til slike monomial-tall vil være disse tallene selv. Så for eksempel vil koeffisienten til monomial 9 være lik 9.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter