Beskrivelse av grafen til en kvadratisk funksjon. Tilfelle I, klassisk parabel

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlig informasjon hver gang du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse e-post osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Egenskaper og grafiske oppgaver kvadratisk funksjon forårsake, som praksis viser, alvorlige vanskeligheter. Dette er ganske merkelig, fordi de studerer den kvadratiske funksjonen i 8. klasse, og deretter gjennom første kvartal av 9. klasse "piner" de egenskapene til parablen og bygger dens grafer for forskjellige parametere.

Dette skyldes det faktum at når de tvinger elever til å konstruere parabler, bruker de praktisk talt ikke tid til å "lese" grafene, det vil si at de ikke øver seg på å forstå informasjonen som mottas fra bildet. Tilsynelatende antas det at etter å ha konstruert et dusin eller så grafer, vil en smart student selv oppdage og formulere forholdet mellom koeffisientene i formelen og utseende grafikk. I praksis fungerer ikke dette. For en slik generalisering er det nødvendig seriøs erfaring matematisk miniforskning, som de fleste niendeklassinger selvsagt ikke besitter. I mellomtiden foreslår Statens tilsyn å bestemme tegnene til koeffisientene ved hjelp av tidsplanen.

Vi vil ikke kreve det umulige fra skoleelever og vil ganske enkelt tilby en av algoritmene for å løse slike problemer.

Altså en funksjon av formen y = akse 2 + bx + c kalt kvadratisk, er grafen en parabel. Som navnet antyder, er hovedbegrepet øks 2. Det vil si EN skal ikke være lik null, de gjenværende koeffisientene ( b Og Med) kan være lik null.

La oss se hvordan tegnene til koeffisientene påvirker utseendet til en parabel.

Den enkleste avhengigheten for koeffisienten EN. De fleste skoleelever svarer selvsikkert: "hvis EN> 0, så er grenene til parablen rettet oppover, og hvis EN < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой EN > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

I i dette tilfellet EN = 0,5

Og nå for EN < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

I dette tilfellet EN = - 0,5

Effekten av koeffisienten Med Det er også ganske enkelt å følge. La oss forestille oss at vi ønsker å finne verdien av en funksjon ved et punkt X= 0. Bytt inn null i formelen:

y = en 0 2 + b 0 + c = c. Det viser seg at y = c. Det vil si Med er ordinaten til skjæringspunktet mellom parabelen og y-aksen. Vanligvis er dette punktet lett å finne på grafen. Og avgjør om den ligger over null eller under. Det vil si Med> 0 eller Med < 0.

Med > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Med < 0

y = x 2 + 4x - 3

Følgelig, hvis Med= 0, da vil parabelen nødvendigvis gå gjennom origo:

y = x 2 + 4x

Vanskeligere med parameteren b. Punktet vi vil finne det avhenger ikke bare av b men også fra EN. Dette er toppen av parabelen. Abscissen (aksekoordinat X) finnes av formelen x in = - b/(2a). Slik, b = - 2ax in. Det vil si at vi fortsetter som følger: vi finner toppunktet til parabelen på grafen, bestemmer tegnet på abscissen, det vil si at vi ser til høyre for null ( x inn> 0) eller til venstre ( x inn < 0) она лежит.

Det er imidlertid ikke alt. Vi må også ta hensyn til koeffisientens tegn EN. Det vil si, se på hvor grenene til parablen er rettet. Og først etter det, i henhold til formelen b = - 2ax in bestemme tegnet b.

La oss se på et eksempel:

Grenene er rettet oppover, som betyr EN> 0, skjærer parabelen aksen på under null, altså Med < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x inn> 0. Så b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: EN > 0, b < 0, Med < 0.

Mange problemer krever beregning av maksimum eller minimumsverdi kvadratisk funksjon. Maksimum eller minimum kan bli funnet hvis den opprinnelige funksjonen er skrevet inn standardskjema: eller gjennom koordinatene til toppunktet til parablen: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Dessuten kan maksimum eller minimum av enhver kvadratisk funksjon beregnes ved hjelp av matematiske operasjoner.

Trinn

Den kvadratiske funksjonen er skrevet i standardform

Skriv funksjonen i standardform. En kvadratisk funksjon er en funksjon hvis ligning involverer en variabel x 2 (\displaystyle x^(2)). Ligningen kan inkludere en variabel eller ikke x (\displaystyle x). Hvis en ligning inkluderer en variabel med en eksponent større enn 2, beskriver den ikke en kvadratisk funksjon. Om nødvendig, oppgi lignende termer og omorganiser dem for å skrive funksjonen i standardform.

• For eksempel gitt funksjonen f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Legg til termer med variabel x 2 (\displaystyle x^(2)) og medlemmer med variabel x (\displaystyle x) for å skrive ligningen i standardform:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel. Grenene til en parabel er rettet opp eller ned. Hvis koeffisienten a (\displaystyle a) med variabel x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Her a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Her er derfor parablen rettet nedover.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Her a = 1 (\displaystyle a=1), så parablen er rettet oppover.
   • Hvis parabelen er rettet oppover, må du se etter minimum. Hvis parabelen peker ned, se etter dens maksimum.

2. Beregn -b/2a. Betydning − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) er koordinaten x (\displaystyle x) toppunktene til parablen. Hvis en kvadratisk funksjon er skrevet i standardform a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), bruk koeffisientene for x (\displaystyle x) Og x 2 (\displaystyle x^(2)) som følger:

   • I funksjonskoeffisientene a = 1 (\displaystyle a=1) Og b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Som et annet eksempel, vurder funksjonen. Her a = − 3 (\displaystyle a=-3) Og b = 6 (\displaystyle b=6). Beregn derfor "x"-koordinaten til toppunktet til parablen som følger:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Finn den tilsvarende verdien av f(x). Plugg den funnet verdien av "x" inn i den opprinnelige funksjonen for å finne den tilsvarende verdien av f(x). På denne måten finner du minimum eller maksimum av funksjonen.

   • I det første eksemplet f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) du har regnet ut at x-koordinaten til toppunktet til parablen er x = − 5 (\displaystyle x=-5). I den opprinnelige funksjonen, i stedet for x (\displaystyle x) erstatte − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • I det andre eksemplet f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) du fant ut at x-koordinaten til toppunktet til parablen er x = 1 (\displaystyle x=1). I den opprinnelige funksjonen, i stedet for x (\displaystyle x) erstatte 1 (\displaystyle 1) for å finne maksimumsverdien:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Skriv ned svaret ditt. Les problemformuleringen på nytt. Hvis du trenger å finne koordinatene til toppunktet til en parabel, skriv ned begge verdiene i svaret ditt x (\displaystyle x) Og y (\displaystyle y)(eller f (x) (\displaystyle f(x))). Hvis du trenger å beregne maksimum eller minimum for en funksjon, skriv kun ned verdien i svaret y (\displaystyle y)(eller f (x) (\displaystyle f(x))). Se igjen på koeffisientens tegn a (\displaystyle a) for å sjekke om du har beregnet maksimum eller minimum.

   • I det første eksemplet f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) betydning a (\displaystyle a) positiv, så du har beregnet minimum. Toppunktet til parabelen ligger i punktet med koordinatene (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)), og minimumsverdien for funksjonen er − 26 (\displaystyle -26).
   • I det andre eksemplet f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) betydning a (\displaystyle a) negativ, så du har funnet maksimum. Toppunktet til parabelen ligger i punktet med koordinatene (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), og maksimalverdien for funksjonen er − 1 (\displaystyle -1).

5. Bestem retningen til parablen. For å gjøre dette, se på tegnet til koeffisienten a (\displaystyle a). Hvis koeffisienten a (\displaystyle a) positiv, parablen er rettet oppover. Hvis koeffisienten a (\displaystyle a) negativ, parablen er rettet nedover. For eksempel:

   • . Her a = 2 (\displaystyle a=2), det vil si at koeffisienten er positiv, så parablen er rettet oppover.
   • . Her a = − 3 (\displaystyle a=-3), det vil si at koeffisienten er negativ, så parablen er rettet nedover.
   • Hvis parablen er rettet oppover, må du beregne minimumsverdien til funksjonen. Hvis parabelen er rettet nedover, må du finne maksimalverdien til funksjonen.

6. Finn minimums- eller maksimumsverdien til funksjonen. Hvis funksjonen er skrevet i form av koordinatene til toppunktet til en parabel, minimum eller maksimum lik verdien koeffisient k (\displaystyle k). I eksemplene ovenfor:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Her k = − 4 (\displaystyle k=-4). Dette er minimumsverdien til funksjonen fordi parabelen er rettet oppover.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Her k = 2 (\displaystyle k=2). Dette er den maksimale verdien av funksjonen fordi parablen er rettet nedover.

7. Finn koordinatene til toppunktet til parabelen. Hvis problemet krever å finne toppunktet til en parabel, er dens koordinater (h, k) (\displaystyle (h,k)). Vær oppmerksom på at når en kvadratisk funksjon skrives gjennom koordinatene til toppunktet til en parabel, må subtraksjonsoperasjonen stå i parentes (x − h) (\displaystyle (x-h)), så verdien h (\displaystyle h) er tatt med motsatt fortegn.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Her er addisjonsoperasjonen (x+1) omsluttet i parentes, som kan skrives om som følger: (x-(-1)). Slik, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Derfor er koordinatene til toppunktet til parabelen til denne funksjonen lik (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Her i parentes står uttrykket (x-2). Derfor, h = 2 (\displaystyle h=2). Koordinatene til toppunktet er (2,2).

Hvordan beregne minimum eller maksimum ved hjelp av matematiske operasjoner

1. La oss først se på standardformen til ligningen. Skriv den kvadratiske funksjonen i standardform: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Om nødvendig, legg til lignende termer og omorganiser dem for å få standardligningen.

   • For eksempel: .

2. Finn den første deriverte. Den første deriverte av en kvadratisk funksjon, som er skrevet i standardform, er lik f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). Den første deriverte av denne funksjonen beregnes som følger:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Lik den deriverte med null. Husk at den deriverte av en funksjon er lik helningen til funksjonen i bestemt punkt. Minimum eller maksimum skråning lik null. Derfor, for å finne minimums- eller maksimumsverdien til en funksjon, må den deriverte settes til null. I vårt eksempel.

Hvordan bygge en parabel? Det er flere måter å tegne en kvadratisk funksjon på. Hver av dem har sine fordeler og ulemper. La oss vurdere to måter.

La oss starte med å plotte en kvadratisk funksjon av formen y=x²+bx+c og y= -x²+bx+c.

Eksempel.

Tegn grafen for funksjonen y=x²+2x-3.

Løsning:

y=x²+2x-3 er en kvadratisk funksjon. Grafen er en parabel med grener opp. Parabelens toppunktkoordinater

Fra toppunktet (-1;-4) bygger vi en graf av parabelen y=x² (som fra opprinnelsen til koordinatene. I stedet for (0;0) - toppunktet (-1;-4). Fra (-1; -4) vi går til høyre med 1 enhet og opp med 1 enhet, deretter venstre med 1 og opp med 1, deretter: 2 - høyre, 4 - opp, 2 - venstre, 3 - opp, 3 -; venstre, 9 - opp Hvis disse 7 poengene ikke er nok, så 4 til høyre, 16 til toppen, osv.).

Grafen til den kvadratiske funksjonen y= -x²+bx+c er en parabel, hvis grener er rettet nedover. For å konstruere en graf, ser vi etter koordinatene til toppunktet og fra den konstruerer vi en parabel y= -x².

Eksempel.

Tegn grafen for funksjonen y= -x²+2x+8.

Løsning:

y= -x²+2x+8 er en kvadratisk funksjon. Grafen er en parabel med grener ned. Parabelens toppunktkoordinater

Fra toppen bygger vi en parabel y= -x² (1 - til høyre, 1- ned; 1 - venstre, 1 - ned; 2 - høyre, 4 - ned; 2 - venstre, 4 - ned, etc.):

Denne metoden lar deg bygge en parabel raskt og er ikke vanskelig hvis du vet hvordan du grafer opp funksjonene y=x² og y= -x². Ulempe: hvis toppunktet koordinater er brøktall, er det ikke veldig praktisk å bygge en graf. Hvis du trenger å vite de nøyaktige verdiene for skjæringspunktene til grafen med Ox-aksen, må du i tillegg løse likningen x²+bx+c=0 (eller -x²+bx+c=0), til og med hvis disse punktene kan bestemmes direkte fra tegningen.

En annen måte å konstruere en parabel på er ved punkter, det vil si at du kan finne flere punkter på grafen og tegne en parabel gjennom dem (tar i betraktning at linjen x=xₒ er dens symmetriakse). Vanligvis for dette tar de toppunktet til parabelen, skjæringspunktene til grafen med koordinataksene og 1-2 tilleggspunkter.

Tegn en graf av funksjonen y=x²+5x+4.

Løsning:

y=x²+5x+4 er en kvadratisk funksjon. Grafen er en parabel med grener opp. Parabelens toppunktkoordinater

det vil si at toppen av parabelen er punktet (-2,5; -2,25).

Vi leter etter. I skjæringspunktet med okseaksen y=0: x²+5x+4=0. Røtter andregradsligning x1=-1, x2=-4, det vil si at vi fikk to punkter på grafen (-1; 0) og (-4; 0).

Ved skjæringspunktet for grafen med Oy-aksen x=0: y=0²+5∙0+4=4. Vi skjønte poenget (0; 4).

For å tydeliggjøre grafen kan du finne et tilleggspunkt. La oss ta x=1, så y=1²+5∙1+4=10, det vil si at et annet punkt på grafen er (1; 10). Vi markerer disse punktene på koordinatplan. Med tanke på symmetrien til parabelen i forhold til linjen som går gjennom toppunktet, markerer vi ytterligere to punkter: (-5; 6) og (-6; 10) og tegner en parabel gjennom dem:

Tegn grafen for funksjonen y= -x²-3x.

Løsning:

y= -x²-3x er en kvadratisk funksjon. Grafen er en parabel med grener ned. Parabelens toppunktkoordinater

Toppunktet (-1,5; 2,25) er det første punktet i parablen.

Ved skjæringspunktene til grafen med abscisseaksen y=0, det vil si at vi løser ligningen -x²-3x=0. Røttene er x=0 og x=-3, det vil si (0;0) og (-3;0) - ytterligere to punkter på grafen. Punktet (o; 0) er også skjæringspunktet for parabelen med ordinataksen.

Ved x=1 er y=-1²-3∙1=-4, det vil si (1; -4) et tilleggspunkt for plotting.

Å konstruere en parabel fra punkter er en mer arbeidskrevende metode sammenlignet med den første. Hvis parabelen ikke skjærer okseaksen, vil flere tilleggspunkter være nødvendig.

Før vi fortsetter å konstruere grafer av kvadratiske funksjoner av formen y=ax²+bx+c, la oss vurdere konstruksjonen av grafer for funksjoner ved å bruke geometriske transformasjoner. Det er også mest hensiktsmessig å konstruere grafer av funksjoner av formen y=x²+c ved å bruke en av disse transformasjonene – parallell oversettelse.

Kategori: |

I matematikktimene på skolen har du allerede blitt kjent med de enkleste egenskapene og grafen til en funksjon y = x 2. La oss utvide vår kunnskap om kvadratisk funksjon.

Oppgave 1.

Tegn funksjonen grafisk y = x 2. Målestokk: 1 = 2 cm Marker et punkt på Oy-aksen F(0; 1/4). Bruk et kompass eller en papirstrimmel, mål avstanden fra punktet F til et punkt M parabler. Fest deretter stripen ved punkt M og roter den rundt det punktet til den er vertikal. Enden av stripen vil falle litt under x-aksen (Fig. 1). Merk av på stripen hvor langt den strekker seg utover x-aksen. Ta nå et annet punkt på parabelen og gjenta målingen igjen. Hvor langt har kanten av stripen falt under x-aksen?

Resultat: uansett hvilket punkt på parabelen y = x 2 du tar, vil avstanden fra dette punktet til punktet F(0; 1/4) være større enn avstanden fra samme punkt til abscisseaksen med alltid samme tall - 1/4.

Vi kan si det annerledes: avstanden fra et hvilket som helst punkt på parablen til punktet (0; 1/4) er lik avstanden fra samme punkt på parablen til den rette linjen y = -1/4. Dette fantastiske punktet F(0; 1/4) kalles fokus parabler y = x 2, og rett linje y = -1/4 – rektor denne parabelen. Hver parabel har en retningslinje og et fokus.

Interessante egenskaper til en parabel:

1. Et hvilket som helst punkt på parablen er like langt fra et punkt, kalt parabelens fokus, og en rett linje, kalt dens retning.

2. Hvis du roterer en parabel rundt symmetriaksen (for eksempel parabelen y = x 2 rundt Oy-aksen), vil du få en veldig interessant flate som kalles en omdreiningsparaboloid.

Overflaten av væsken i et roterende kar har form av en rotasjonsparaboloid. Du kan se denne overflaten hvis du rører kraftig med en skje i et ufullstendig glass te, og deretter fjerner skjeen.

3. Hvis du kaster en stein inn i tomrommet i en viss vinkel mot horisonten, vil den fly i en parabel (Fig. 2).

4. Hvis du skjærer overflaten til en kjegle med et plan parallelt med en av dens generatriser, vil tverrsnittet resultere i en parabel (Fig. 3).

5. Fornøyelsesparker har noen ganger en morsom tur kalt Paraboloid of Wonders. Det virker for alle som står inne i den roterende paraboloiden som om han står på gulvet, mens resten av menneskene på en eller annen måte på mirakuløst vis holder seg fast i veggene.

6. I reflekterende teleskoper brukes også parabolske speil: lyset fra en fjern stjerne, som kommer i en parallell stråle, faller på teleskopspeilet, samles i fokus.

7. Spotlights har vanligvis et speil i form av en paraboloid. Hvis du plasserer en lyskilde i fokus for en paraboloid, danner strålene, reflektert fra det parabolske speilet, en parallell stråle.

Tegne en kvadratisk funksjon

I matematikktimene studerte du hvordan du kan få grafer for funksjoner i formen fra grafen til funksjonen y = x 2:

1) y = akse 2– strekke grafen y = x 2 langs Oy-aksen i |a| ganger (med |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, ris. 4).

2) y = x 2 + n– forskyvning av grafen med n enheter langs Oy-aksen, og hvis n > 0, er forskyvningen oppover, og hvis n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– forskyvning av grafen med m enheter langs Ox-aksen: hvis m< 0, то вправо, а если m >0, deretter venstre, (Fig. 5).

4) y = -x 2– symmetrisk visning i forhold til Ox-aksen til grafen y = x 2 .

La oss se nærmere på plotting av funksjonen y = a(x – m) 2 + n.

En kvadratisk funksjon av formen y = ax 2 + bx + c kan alltid reduseres til formen

y = a(x – m) 2 + n, hvor m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

La oss bevise det.

Virkelig,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

La oss introdusere nye notasjoner.

La m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

da får vi y = a(x – m) 2 + n eller y – n = a(x – m) 2.

La oss gjøre noen flere erstatninger: la y – n = Y, x – m = X (*).

Da får vi funksjonen Y = aX 2, hvis graf er en parabel.

Toppunktet til parablen er i origo. X = 0; Y = 0.

Ved å erstatte koordinatene til toppunktet med (*), får vi koordinatene til toppunktet til grafen y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

For å plotte en kvadratisk funksjon representert som

y = a(x – m) 2 + n

gjennom transformasjoner kan du fortsette som følger:

en) plott funksjonen y = x 2;

b) ved parallell translasjon langs Ox-aksen med m enheter og langs Oy-aksen med n enheter - overføre toppunktet til parabelen fra origo til punktet med koordinater (m; n) (Fig. 6).

Registrering av transformasjoner:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Eksempel.

Bruk transformasjoner, bygg inn Kartesisk system koordinatgraf for funksjonen y = 2(x – 3) 2 – 2.

Løsning.

Kjede av transformasjoner:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Plottet er vist i ris. 7.

Du kan øve på å tegne kvadratiske funksjoner på egenhånd. Bygg for eksempel en graf av funksjonen y = 2(x + 3) 2 + 2 i ett koordinatsystem ved hjelp av transformasjoner Hvis du har spørsmål eller ønsker å få råd fra en lærer, så har du mulighet til å gjennomføre gratis 25 minutters leksjon med nettlærer etter registrering. For å jobbe videre med læreren kan du velge den tariffplanen som passer deg.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du tegner en kvadratisk funksjon?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.