Definisjon av harmonisk gjennomsnitt. Aritmetisk gjennomsnitt og harmonisk gjennomsnitt

Harmonisk middelverdi - brukes når statistisk informasjon inneholder ikke data om vekter for individuelle varianter av befolkningen, men produktene av verdiene til et varierende attributt og deres tilsvarende vekt er kjent.

Den generelle formelen for det harmoniske vektede gjennomsnittet er som følger:

x er verdien av variabelfunksjonen,

w er produktet av verdien av variabeltrekket og dets vekter (xf)

I tilfelle at det totale volumet av fenomener, dvs. produktene til funksjonsverdiene og deres vekter er like, deretter brukes det harmoniske enkle gjennomsnittet:

x - individuelle verdier av attributtet (alternativer),

n er det totale antallet alternativer.

Det harmoniske gjennomsnittet brukes for beregninger når vektene ikke er enhetene til populasjonen - bærerne av egenskapen, men produktene til disse enhetene og verdiene til egenskapen (dvs. m = Xf). Den gjennomsnittlige harmoniske nedetiden bør brukes i tilfeller av å bestemme for eksempel gjennomsnittskostnadene for arbeid, tid, materialer per produksjonsenhet, per del for to (tre, fire, etc.) bedrifter, arbeidere som er engasjert i produksjonen av samme type produkt, samme del, produkt.

Geometrisk gjennomsnitt og kronologisk gjennomsnitt.

Geometrisk gjennomsnitt

Hvis det er n vekstfaktorer, er formelen for gjennomsnittskoeffisienten:

Dette er den geometriske gjennomsnittsformelen.

Det geometriske gjennomsnittet er lik roten av potensen n av produktet av vekstkoeffisientene som karakteriserer forholdet mellom verdien av hver påfølgende periode og verdien av den forrige.

Kronologisk gjennomsnitt - Et gjennomsnitt beregnet fra verdier som endres over tid. Brukes til å beregne gjennomsnittsnivået for momentserien. I tilfelle tilgjengelige data refererer til faste tider c med like intervaller, så brukes følgende formel:

X - verdien av nivåene i serien,

n er antall tilgjengelige indikatorer.

Det gjennomsnittlige nivået av momentserier av dynamikk med ulikt fordelte datoer bestemmes av den kronologisk vektede gjennomsnittsformelen:

Hvor er nivåene til tidsserien

— varigheten av tidsintervallet mellom nivåene

Gjennomsnittlig firkant. Sammenheng mellom makt betyr.

Hvis mengdene som skal gjennomsnittsberegnes er uttrykt i skjemaet kvadratiske funksjoner, den gjennomsnittlige kvadratisk. For eksempel, ved å bruke rotmiddelkvadrat, kan du bestemme diameteren på rør, hjul osv.

Rotens gjennomsnittlige kvadrattall bestemmes ved å trekke ut kvadratrot fra kvotienten for å dele summen av kvadrater individuelle verdier signere på nummeret deres.

Den vektede rotmiddelkvadraten er:

Konseptet med mote. Modusberegning for diskrete og intervallfordelingsserier.

For å karakterisere strukturen til den statistiske populasjonen brukes indikatorer som kalles strukturelle gjennomsnitt. Disse inkluderer modus og median.

Modus (Mo) er det vanligste alternativet. Modus er verdien av en funksjon som tilsvarer maksimumspunktet for den teoretiske fordelingskurven.

Modusen representerer den hyppigst forekommende eller typiske verdien.

Mote brukes i kommersiell praksis for å studere forbrukernes etterspørsel og rekordpriser.

PÅ diskrete serier mote er en variant med høyeste frekvens. I intervallvariasjonsserien regnes den sentrale varianten av intervallet, som har den høyeste frekvensen (særlighet), som modusen.

Innenfor intervallet er det nødvendig å finne verdien av attributtet, som er modusen.

hvor хо er den nedre grensen for det modale intervallet;

h er verdien av det modale intervallet;

fm er frekvensen til det modale intervallet;

ft-1 er frekvensen til intervallet før modalen;

fm+1 er frekvensen til intervallet etter modalen.

Modusen avhenger av størrelsen på gruppene, av den nøyaktige plasseringen av gruppenes grenser.

Modus er tallet som faktisk forekommer oftest (er verdien av en viss
nnaya), har i praksis den bredeste applikasjonen (den vanligste typen kjøper).

Gjennomsnittlig harmonisk— ϶ᴛᴏ den gjensidige av det aritmetiske gjennomsnittet, ᴛ.ᴇ. omfatter gjensidige verdier skilt.

Eksempel 5 Beregning av gjennomsnittlig prosentandel av planen. Følgende data er tilgjengelig:

I eksemplet fungerer indikatorer på graden av gjennomføring av planen (opsjoner) som et varierende trekk, og planen tas som vekter (frekvenser). I dette tilfellet oppnås gjennomsnittet som det aritmetiske vektede gjennomsnittet:

Hvis, når du bestemmer middels grad planlegg at vekten ikke skal ta oppgaven, men dens faktiske gjennomføring, så kommer det aritmetiske gjennomsnittet inn denne saken vil gi feil resultat:

Riktig resultat ved veiing i henhold til den faktiske utførelsen av oppgaven vil gi det harmoniske vektede gjennomsnittet:

hvor w— vektet gjennomsnitt harmonisk vektet.

Betingelser for å bruke den gjennomsnittlige harmoniske

Det harmoniske gjennomsnittet brukes når ikke enhetene til populasjonen (bærere av funksjonen) brukes som vekter, men produktene til disse enhetene ved verdiene til funksjonen, ᴛ.ᴇ. .

Det følger av denne regelen at det harmoniske gjennomsnittet i statistikk i hovedsak er et transformert aritmetisk gjennomsnitt, som brukes når populasjonsstørrelsen er ukjent og det er nødvendig å veie alternativene med volumet av attributtet.

2. Hvis vekten er absolutte verdier, bør enhver mellomhandling ved beregning av gjennomsnittet gi økonomisk signifikante resultater.

Når vi for eksempel beregner den gjennomsnittlige prosentandelen av planoppfyllelse, multipliserer vi planoppfyllelsesindikatoren med den planlagte oppgaven og får den faktiske planoppfyllelsen. Hvis imidlertid indikatoren for gjennomføringen av planen multipliseres med dens faktiske implementering, vil resultatet fra et økonomisk synspunkt være absurd. Dette betyr at gjennomsnittsskjemaet er brukt feil).

Les også

— Gjennomsnittlig harmonisk

Når statistisk informasjon ikke inneholder frekvenser for individuelle populasjonsalternativer, men presenteres som deres produkt, dvs. frekvensen må beregnes separat på grunnlag av den kjente varianten X og produktet X f , den harmoniske gjennomsnittet påføres. Gjennomsnittlig … [les mer].

— Gjennomsnittlig harmonisk.

Det harmoniske gjennomsnittet er den primitive formen av det aritmetiske gjennomsnittet. Det beregnes i de tilfellene hvor vektene fi ikke er gitt direkte, men inngår som en faktor i en av de tilgjengelige indikatorene. Akkurat som det aritmetiske gjennomsnittet, kan det harmoniske gjennomsnittet være … [les mer].

— Gjennomsnittlig harmonisk

— Gjennomsnittlig harmonisk.

Sammen med det aritmetiske gjennomsnittet bruker statistikken det harmoniske gjennomsnittet, det resiproke av det aritmetiske gjennomsnittet av de gjensidige verdiene til attributtet. I likhet med det aritmetiske gjennomsnittet kan det være enkelt og vektet. Kjennetegn på variasjonsserier, sammen med ... [les mer].

— Harmonisk vektet gjennomsnitt

Vektet aritmetisk gjennomsnitt Brukes når vektene som brukes er indikatorer på antall varer i i natura; hvor pq er omsetningen i rubler. Den brukes når salgsdata brukes som vekter ...

Gjennomsnittsverdier og variasjonsindikatorer

— Gjennomsnittlig harmonisk.

Sammen med det aritmetiske gjennomsnittet bruker statistikken det harmoniske gjennomsnittet, det resiproke av det aritmetiske gjennomsnittet av de gjensidige verdiene til attributtet. I likhet med det aritmetiske gjennomsnittet kan det være enkelt og vektet. Dermed formelen for å beregne gjennomsnittet ... [les mer].

— Aritmetisk gjennomsnitt og gjennomsnitt harmonisk mengde

Essensen og betydningen av gjennomsnittsverdier, deres typer Den vanligste formen statistisk indikator er gjennomsnittsverdien. Indikatoren i form av en gjennomsnittsverdi uttrykker typisk nivå egenskap til sammen. Utbredt bruk av gjennomsnitt ... [les mer].

— Gjennomsnittlig harmonisk.

— Harmonisk middelverdi, geometrisk middelverdi, kvadratisk middelverdi, potenslov

Når du løser problemer, beregning medium størrelse begynner med kompileringen av den innledende relasjonen - den logiske verbale formelen for gjennomsnittet. Den er satt sammen på grunnlag av teoretisk og logisk analyse. Noen ganger kan det aritmetiske gjennomsnittet ikke brukes. I dette tilfellet, i … [les mer].

— Gjennomsnittlig harmonisk verdi

Hvis det, i henhold til betingelsene for problemet, er nødvendig at summen av verdiene som er gjensidige av de individuelle verdiene av attributtet forblir uendret under gjennomsnittsberegningen, er gjennomsnittsverdien et harmonisk gjennomsnitt. Formelen for det harmoniske gjennomsnittet er: For eksempel en bil med … [les mer].

70. Harmonisk middelverdi

Gjennomsnittlig harmonisk positive tall o, b er tallet hvis resiproke er det aritmetiske gjennomsnittet mellom , dvs. Antall

Oppgave 358. Bevis at det harmoniske gjennomsnittet ikke overstiger det geometriske gjennomsnittet.

Gjennomsnittsverdier i statistikk: essens, egenskaper, typer. Eksempler på problemløsning

Det resiproke av det harmoniske gjennomsnittet er gjennomsnittet aritmetiske tall det resiproke av det geometriske gjennomsnittet er det geometriske gjennomsnittet av tall, så det gjenstår å referere til ulikheten om det aritmetiske og geometriske gjennomsnittet.

Oppgave 359. Tall er positive. Bevis det

Løsning. Den ønskede ulikheten kan omskrives som

dvs. det er nødvendig å bevise at det aritmetiske gjennomsnittet av tall er større enn eller lik deres harmoniske gjennomsnitt. Dette blir tydelig hvis vi setter inn det geometriske gjennomsnittet mellom dem:

den siste ulikheten reduseres til ulikheten om det aritmetiske gjennomsnittet og geometriske tall.

En annen løsning bruker følgende triks. La oss bevise mer generell ulikhet(kalt Cauchy-Bunyakovsky-ulikheten)

(hvis vi erstatter det, får vi den nødvendige).

For å bevise Cauchy-Bunyakovsky-ulikheten, vurder det kvadratiske trinomialet

Ved å åpne parentesene i den og gruppere begrepene i henhold til potensene til x, får vi trinomialet

For enhver x er dette trinomialet ikke-negativt - det er tross alt summen av kvadrater. Så dens diskriminerende er det ikke Over null, dvs.

Hvordan likte du dette trikset?

Eksempel : Å være bestemt gjennomsnittsalder student fraværsskjema opplæring på dataene gitt i følgende tabell:

Elevers alder, år ( X)	Antall studenter, personer ( f)	gjennomsnittsverdien av intervallet (x',xsentral)	*xifJeg**





26 og eldre
Total:

For å beregne gjennomsnittet i intervallserien, må du først bestemme gjennomsnittsverdien av intervallet som en halv sum av øvre og nedre grenser, og deretter beregne gjennomsnittsverdien ved å bruke den vektede aritmetiske gjennomsnittsformelen.

Ovenstående er et eksempel med like intervaller, hvor den første og siste er åpen.

Svar: gjennomsnittlig studentalder er 22,6 år eller omtrent 23 år.

Gjennomsnittlig harmonisk har en mer kompleks struktur enn det aritmetiske gjennomsnittet. Brukes i tilfeller hvor statistisk informasjon inneholder ikke frekvenser for enkeltpersoner karakteristiske verdier, og er representert ved produktet av den karakteristiske verdien ved Frekvens . Det harmoniske middelet som et slags kraftmiddel ser slik ut:

Avhengig av presentasjonsformen for de innledende dataene, kan det harmoniske gjennomsnittet beregnes som enkelt og vektet. Hvis kildedataene ikke er gruppert, vil gjennomsnitt harmonisk enkel :

Det brukes til å bestemme, for eksempel, gjennomsnittlig kostnad for arbeid, materialer, etc.

Gjennomsnittlig harmonisk enkel og vektet

per produksjonsenhet for flere virksomheter.

Når du arbeider med grupperte data, bruk harmonisk vektet gjennomsnitt:

Geometrisk gjennomsnittgjelder i de tilfellene når det totale volumet av den gjennomsnittlige funksjonen er en multiplikasjonsverdi,de. bestemmes ikke ved å summere, men ved å multiplisere de individuelle verdiene til attributtet.

Formen på det geometriske vektede gjennomsnittet i praktiske beregninger ikke aktuelt .

rot betyr kvadrat brukes i tilfeller der, når du erstatter individuelle verdier av en funksjon med en gjennomsnittsverdi, er det nødvendig å holde summen av kvadrater av de opprinnelige verdiene uendret .

hjem omfanget av bruken - måling av graden av fluktuasjon av de individuelle verdiene av egenskapen i forhold til det aritmetiske gjennomsnittet(gjennomsnitt standardavvik). I tillegg brukes rotmiddelkvadrat i tilfeller der det er nødvendig å beregne gjennomsnittsverdien av et trekk uttrykt i kvadrat eller kubikkenheter målinger (ved beregning av gjennomsnittlig størrelse på kvadratiske seksjoner, gjennomsnittlige diametere på rør, sjakter, etc.).

Rotmiddelkvadrat beregnes i to former:

Alle kraftmidler skiller seg fra hverandre med verdiene til eksponenten. hvori, jo høyere eksponent, jo merkvantitativ verdi av gjennomsnittet:

Denne egenskapen til makt betyr kalles egenskapen til hovedvekt av midler.

Gjennomsnittlig harmonisk verdi

Under betingelsen om substitusjon i generell formel(6.1) verdiene k= –1 kan oppnås gjennomsnittlig harmonisk verdi, som har enkle og vektede former.

For en rangert serie brukes det harmoniske gjennomsnittet enkel verdi, som kan skrives som følger.

hvor n er total styrke alternativ; - den omvendte betydningen av alternativene.

Anta at det er bevis for at når du transporterer poteter, er hastigheten til en bil med last 30 km / t, uten last - 60 km / t. Trenger å finne gjennomsnittshastighet kjøretøyets bevegelse. Ved første øyekast ser en veldig enkel løsning på problemet ut til å være: å bruke metoden for det aritmetiske gjennomsnittet av en enkel verdi, dvs.

Men hvis vi husker at bevegelseshastigheten er lik avstanden som er tilbakelagt delt på medgått tid, er det ganske åpenbart at resultatet (45 km / t) viser seg å være unøyaktig, siden for passering av samme vei ved bil med last og uten last ( frem og tilbake) vil tidsbruken variere betydelig. Derfor kan en mer nøyaktig gjennomsnittshastighet for en bil med last og uten last beregnes fra den gjennomsnittlige harmoniske enkle verdien:

Dermed er gjennomsnittshastigheten til en bil med last og uten last ikke 45, men 40 km/t.

Diskrete eller intervallserier bruker det harmoniske gjennomsnittet vektet verdi:

der W er produktet av opsjoner og frekvens (vektet alternativ, xf).

Ta i betraktning eksempel. Arbeidsintensiteten for produksjonen av 1 tonn poteter i den første divisjonen av landbruksorganisasjonen er 10 arbeidstimer, i den andre - 30 arbeidstimer. I begge divisjoner ble det brukt 30 tusen arbeidstimer på potetproduksjon. Det er nødvendig å beregne den aritmetiske gjennomsnittlige arbeidsintensiteten til poteter i en landbruksorganisasjon. Det ser ut til at den gjennomsnittlige arbeidsintensiteten er lett å finne som halvparten av summen av potetarbeidsintensiteten i to divisjoner, dvs. ved metoden for det aritmetiske gjennomsnittet av en enkel verdi:

Det er imidlertid to feil i denne avgjørelsen. Den første grunnleggende feilen er at når man beregner den gjennomsnittlige arbeidsintensiteten ved hjelp av metoden for det aritmetiske gjennomsnittet av en enkel verdi, er essensen av selve arbeidsintensiteten, som finnes som forholdet mellom direkte arbeidskostnader og produksjonsvolumet, ikke tatt i betraktning. Den andre feilen er at løsningen ikke tar hensyn til den spesifikke mengden arbeidskostnader for potetproduksjon gitt av tilstanden til problemet (30 tusen rubler hver).

Gjennomsnittlig harmonisk

arbeidstime i begge avdelinger). Dette lar deg beregne frekvensen (vektene) for potetarbeidsinnsats og dermed finne den aritmetiske vektede arbeidsinnsatsen, som vil bli erstattet med hell ved å bruke det harmoniske vektede gjennomsnittet:

Dermed er gjennomsnittlig arbeidsintensitet for poteter i en landbruksorganisasjon ikke 20, som ble beregnet ovenfor, men 15 personer. h/t.

Den gjennomsnittlige harmoniske verdien brukes hovedsakelig i tilfeller der variantene av serien er representert av gjensidige verdier, og frekvensene (vektene) er skjult i det totale volumet til egenskapen som studeres.

Strukturelle gjennomsnitt

I noen tilfeller, for å få en generaliserende karakteristikk av en statistisk populasjon for en eller annen attributt, må man bruke den s.k. strukturelle gjennomsnitt. De inkluderer mote og median.

Mote representerer den varianten som forekommer hyppigst i den gitte statistiske populasjonen. I en rangert serie er modusen vanligvis ikke bestemt, siden hver variant tilsvarer en frekvens lik én.

Modusen i den diskrete serien tilsvarer varianten med høyest frekvens, mens tilfeldig verdi kan ha flere mods. I nærvær av en av dem kalles vanligvis fordelingen av den statistiske populasjonen unimodal, i nærvær av to moduser - bimodal, tre eller flere moduser - multimodal. Tilstedeværelsen av flere moduser betyr ofte en kombinasjon av statistiske enheter av ulik kvalitet i ett sett.

Modusen for en intervallserie med like intervaller beregnes av formelen

(6.12)

hvor x mo sub> er den nedre grensen for det modale intervallet; i mo - verdien av intervallet;

f mo er frekvensen til det modale intervallet; f dmo er frekvensen til det pre-modale intervallet; f zmo er frekvensen til det ut-av-modale intervallet.

Anta at markedsprisene for epler i de regionale sentrene i regionen har utviklet seg som følger (tabell 6.8). Basert på disse dataene er det nødvendig å beregne modusen for markedspriser for poteter.

T a b l e 6.8. Markedspriser for epler

Fra dataene i tabell. 6.8 viser at maksimalt antall markeder er konsentrert i det tredje intervallet, og fordelingen av den statistiske populasjonen er unimodal. For å beregne modusen for markedspriser for epler, bruker vi formelen (6.12):

Dermed er den modale markedsprisen for epler i de regionale sentrene i regionen 1690 R/kg.

Den modale varianten for å karakterisere den statistiske populasjonen kan brukes i tilfeller der beregningen av gjennomsnittsverdien er vanskelig eller umulig, for eksempel i markedsforhold når man studerer tilbud og etterspørsel, prisnivåer mv.

Median- alternativer plassert i midten av variantserien. Medianen i den rangerte serien er som følger. Beregn først antallet medianen av alternativene:

hvor nme er antall medianalternativer; n er det totale antallet alternativer i raden.

For det andre, i den rangerte serien, bestemmes verdien av medianen av opsjonene: hvis det totale antallet opsjoner er oddetall, tilsvarer medianen tallet beregnet ved formel (6.13).

La oss si at den rangerte serien består av 99 enheter fordelt på sukkerroeutbytte. Mediantallet for alternativer finner du av formelen (6.13): .

Det betyr at under nr. 50 ligger ønsket medianavling, som for eksempel er 500c/ha.

Hvis det totale antallet alternativer er partall, er medianen lik halvparten av summen av to tilstøtende medianalternativer. For eksempel, i en rangert serie er det 100 statistiske enheter, igjen fordelt etter utbyttet av sukkerroer. Derfor er det to mediantall i en slik serie, som kan sees av følgende beregning ved bruk av formel (6.13):

Derfor, i dette tilfellet, anses medianene til å være nr. 50 og 51, og medianutbyttet av sukkerroer, for eksempel, kan beregnes som den neste halvsummen av to tilstøtende utbytter, dvs.

For en diskret distribusjonsserie beregnes medianen fra de akkumulerte frekvensene: først blir halvsummen av de akkumulerte frekvensene funnet; for det andre bestemmer de korrespondansen av denne halvsummen til en spesifikk variant, som vil være medianen.

For eksempel er den årlige melkeproduksjonen til kyr fordelt som en diskret serie, der summen av de akkumulerte frekvensene er 200 enheter, og følgelig er halvsummen 100 enheter.

Dette mediantallet er i gruppen av statistiske enheter i den diskrete serien og tilsvarer den årlige melkeytelsen på 5000 kg melk, som er medianen til den diskrete serien.

I intervallvariasjonsserien beregnes medianen med formelen

, (6.14)

hvor M e er medianen av intervallserien; хme er den nedre grensen for medianintervallet; i meg - verdien av medianintervallet; Σf er summen av akkumulerte frekvenser i intervallserien; f n - den akkumulerte frekvensen til pre-medianintervallet; fme er frekvensen til medianintervallet.

For å beregne medianen i intervallserien vil vi bruke følgende data (tabell 6.9).

T a b l e 6.9.

Utbyttet av poteter i personlige datterselskaper

Husholdninger i befolkningen

Fra dataene i tabell. 6,9 først og fremst er det synlig at det fjerde intervallet er medianen. I tillegg viser en enkel beregning at summen av kumulative frekvenser (totalt antall gårder) er 200 enheter, og kumulativ frekvens av pre-medianintervallet er 90 enheter.

Vi bruker formel (6.14) og beregner median potetavling:

Dermed er medianutbyttet av poteter i personlige datterselskaper av befolkningen 256 kv/ha.

Bruken av medianen har en bestemt karakter. Så hvis variasjonsserien er relativt liten, kan verdien av det aritmetiske gjennomsnittet påvirkes av tilfeldige fluktuasjoner av de ekstreme alternativene, som ikke vil påvirke størrelsen på medianen.

Forrige45678910111213141516171819Neste

Det harmoniske gjennomsnittet er det aritmetiske gjennomsnittet, beregnet fra de gjensidige av gjennomsnittstegnene. Avhengig av arten av materialet som er tilgjengelig, brukes det når vektene ikke må multipliseres, men divideres med alternativer, eller, hva som er det samme, multiplisert med deres inverse verdi. Således beregnes det harmoniske gjennomsnittet når data om volumtrekk er kjent (W=hf) og individuelle verdier egenskap (x) og ukjente vekter (φ). Siden funksjonsvolumer er produktet av funksjonsverdier (X) til frekvensen f, så bestemmes frekvensen f av flyttbar = W: x.

De harmoniske enkle og vektede middelformlene er:

Som du kan se, er det harmoniske gjennomsnittet en transformert form av det aritmetiske gjennomsnittet. I stedet for den harmoniske, kan du alltid beregne det aritmetiske gjennomsnittet, etter å ha bestemt vektene til de individuelle verdiene til attributtet. Ved beregning av gjennomsnittlige harmoniske vekter er volumene av tegn.

Det harmoniske enkle gjennomsnittet brukes i tilfeller hvor volumet av fenomener for hvert attributtnivå.

For eksempel jobber tre skurtreskere med å høste kornavlinger. Den første hogstmaskinen som høstet 1 ha i løpet av et 7-timers skift brukte 35 minutter, den andre - 31 minutter, den tredje - 33 minutter. Det er nødvendig å bestemme de gjennomsnittlige arbeidskostnadene for å høste 1 hektar med kornavlinger.

Beregningen av gjennomsnittlig tid brukt på å høste 1 ha kornavlinger ved å bruke den aritmetiske gjennomsnittlige enkle formelen ville være riktig

når alle hogstmenn i løpet av skiftet samlet inn 1 hektar eller like mange hektar kornavlinger. Imidlertid samlet individuelle kombinatorer under skiftet annet område kornavlinger.

Ulovligheten ved å bruke den aritmetiske gjennomsnittsformelen forklares også av det faktum at indikatoren for arbeidskostnader per arbeidsenhet (høste 1 hektar med kornavlinger) er det motsatte av indikatoren for arbeidsproduktivitet (høste kornavlinger per tidsenhet) .

Den gjennomsnittlige tiden som kreves for å høste 1 hektar med kornavlinger for alle kombinerere er definert som forholdet mellom tiden brukt av alle kombinerere til Total høstet hektar. I vårt eksempel er det ingen informasjon om antall hektar som faktisk høstes av hver kombinator. Imidlertid kan disse mengdene beregnes ved å bruke følgende forhold:

hvor den totale tidsbruken for hver kombinator vil være 420 minutter (7 år eller 60 minutter).

Deretter kan gjennomsnittlig tid brukt på å høste 1 hektar med kornavlinger bestemmes av formelen:

Beregninger kan forenkles sterkt hvis vi bruker den enkle harmoniske middelformelen:

Så, i henhold til dette settet med kombinatorer, brukes i gjennomsnitt 32,9 minutter på å høste 1 hektar med kornavlinger.

Vi vil vurdere fremgangsmåten for å beregne det harmoniske vektede gjennomsnittet ved å bruke følgende eksempel (tabell 4.3).

Tabell 4.3. Data for beregning av harmonisk vektet gjennomsnitt

Siden gjennomsnittlig avling er forholdet mellom bruttoavling og sådd areal, bestemmer vi først potetsåarealet for hver gård, og deretter gjennomsnittsavlingen:

I følge en av egenskapene vil det harmoniske gjennomsnittet ikke endres hvis volumene av fenomener, som er vekten av individuelle alternativer, multipliseres eller divideres med et hvilket som helst vilkårlig tall. Dette gjør det mulig, når du beregner det, å bruke ikke absolutte indikatorer, og deres egenvekt. Anta at du må bestemme den gjennomsnittlige salgsprisen på poteter i henhold til følgende data (tabell 4.4).

Tabell 4.4. Data for beregning av gjennomsnittlig salgspris på poteter

I eksemplet ovenfor er det ingen data om inntektene fra salg av individuelle potetsorter, som er produktet av salgsprisen på 1 centner og antall solgte poteter. Derfor, i stedet for volumene av fenomener, kan du bruke forholdet deres, det vil si egenvekt individuelle potetsorter i samlet inntekt. Ved å bruke tabelldataene bestemmer vi gjennomsnittlig salgspris på poteter:

Det harmoniske gjennomsnittet brukes også til å bestemme gjennomsnittlig utbytte for en gruppe homogene avlinger, hvis bruttoavlingen og utbyttet av individuelle avlinger er kjent, for å beregne gjennomsnittlig prosentandel av oppfyllelse av produksjonsplanen og salg av produkter for en homogen populasjon, hvis data om de faktisk produserte eller solgte produktene og prosentandelen av planen for enkeltobjekter osv.

Den vanligste formen for en statistikk er gjennomsnittomfanget. En indikator i form av en gjennomsnittsverdi uttrykker et typisk nivå av en egenskap i populasjonen. Den utbredte bruken av gjennomsnittsverdier forklares av det faktum at de lar deg sammenligne verdiene til attributtet i enheter som tilhører forskjellige populasjoner. For eksempel kan man sammenligne gjennomsnittlig lengde på arbeidsdagen, gjennomsnittlig lønnskategori for arbeidere, gjennomsnittlig nivå lønn for ulike virksomheter.

Essensen av gjennomsnittsverdier ligger i det faktum at de opphever avvikene til verdiene til attributtet i individuelle enheter av befolkningen, på grunn av virkningen av tilfeldige faktorer. Derfor må det beregnes gjennomsnitt for tilstrekkelig store populasjoner (i samsvar med loven om store tall). Påliteligheten til gjennomsnittsverdier avhenger også av fluktuasjonen av verdiene til egenskapen i aggregatet. PÅ generell sak, jo mindre variasjonen av attributtet er og jo større populasjonen som gjennomsnittsverdien bestemmes av, jo mer pålitelig er den.

Typiskheten til gjennomsnittsverdien er også direkte relatert til homogeniteten til den statistiske populasjonen. Gjennomsnittsverdien vil kun reflektere det typiske nivået til tegnet når det beregnes fra en kvalitativt homogen populasjon. Ellers brukes gjennomsnittsmetoden sammen med grupperingsmetoden. Hvis befolkningen er heterogen, erstattes eller suppleres de generelle gjennomsnittene med gruppegjennomsnitt beregnet for kvalitativt homogene grupper.

Velge type gjennomsnitt det bestemmes av det økonomiske innholdet i den studerte indikatoren og innledende data. Den mest brukte i statistikk følgende typer gjennomsnitt: kraftgjennomsnitt (aritmetiske, harmoniske, geometriske, kvadratiske, kubiske, etc.), kronologisk gjennomsnitt, samt strukturelle gjennomsnitt (modus og median).

Aritmetisk gjennomsnitt oftest funnet i samfunnsøkonomiske studier. Det aritmetiske gjennomsnittet brukes i form av enkelt gjennomsnitt og vektet gjennomsnitt.

Beregnet fra ugrupperte data basert på formel (4.1):

hvor x- individuelle verdier av attributtet (alternativer);

n- antall befolkningsenheter.

Eksempel. Det kreves å finne den gjennomsnittlige produksjonen til en arbeider i et team på 15 personer, hvis antall produkter produsert av en arbeider (stykker) er kjent: 21; tjue; tjue; 19; 21; 19; atten; 22; 19; tjue; 21; tjue; atten; 19; tjue.

enkel aritmetisk gjennomsnitt beregnet fra ugrupperte data basert på formel (4.2):

hvor f er frekvensen av gjentakelse av den tilsvarende verdien av funksjonen (variant);

∑f er det totale antallet befolkningsenheter (∑f = n).

Eksempel. Basert på tilgjengelige data om fordelingen av arbeidsbrigaden etter antall produkter de har produsert, er det nødvendig å finne den gjennomsnittlige produksjonen til en arbeider i brigaden.

Merknad 1. Gjennomsnittsverdien av en egenskap i populasjonen kan beregnes både på grunnlag av individuelle verdier av egenskapen, og på grunnlag av gruppe(private) gjennomsnitt beregnet for individuelle deler av befolkningen. I dette tilfellet brukes den vektede aritmetiske gjennomsnittsformelen, og gruppe (private) gjennomsnitt ( xj).

Eksempel. Det er data om gjennomsnittlig tjenestetid for arbeidere i butikkene på anlegget. Det er nødvendig å bestemme gjennomsnittlig tjenestetid for arbeidere i hele anlegget.

Notat 2. I tilfellet når verdiene av gjennomsnittsattributtet er gitt i form av intervaller, ved beregning av gjennomsnittet aritmetisk verdi som verdiene for karakteristikken i grupper, er gjennomsnittsverdiene for disse intervallene tatt ( X') . På denne måten, intervallserie konvertert til diskret. I dette tilfellet blir verdien av åpne intervaller, hvis noen (som regel, disse er de første og siste), betinget likestilt med verdien av intervallene ved siden av dem.

Eksempel. Det er data om fordelingen av arbeidere i bedriften i henhold til lønnsnivået.

Gjennomsnittlig harmonisk verdi er en modifikasjon av det aritmetiske gjennomsnittet. Den brukes i tilfeller der de individuelle verdiene til attributtet er kjent, dvs. varianter ( x), og produkter av varianten etter frekvensen (xf = M), men selve frekvensene er ukjente ( f).

Det harmoniske vektede gjennomsnittet beregnes med formelen (4.3):

Eksempel. Nødvendig for å definere gjennomsnittlig størrelse lønn til ansatte i en forening som består av tre virksomheter, dersom lønnsfondet og gjennomsnittlig lønn til ansatte for hver virksomhet er kjent.

Den gjennomsnittlige harmoniske enkel i praksis statistikk brukes ekstremt sjelden. I de tilfellene når xf = Mm = const, blir den gjennomsnittlige harmoniske vektet til den gjennomsnittlige harmoniske enkle (4.4):

Eksempel. To biler kjørte samme vei. Samtidig beveget en av dem seg med en hastighet på 60 km / t, den andre - med en hastighet på 80 km / t. Det kreves for å bestemme gjennomsnittshastigheten til biler på veien.

Andre typer effektgjennomsnitt. Gjennomsnittlig kronologisk

Det geometriske gjennomsnittet brukes i beregningen av gjennomsnittlig dynamikk. Det geometriske gjennomsnittet brukes i form av et enkelt gjennomsnitt (for ugrupperte data) og et vektet gjennomsnitt (for grupperte data).

Geometrisk gjennomsnitt enkel (4,5):

hvor n er antall funksjonsverdier;

P er tegnet på arbeidet.

Geometrisk vektet gjennomsnitt(4.6):

Medium kvadratverdi brukt i beregningen av variasjonsindikatorer. Den brukes i form av en enkel og vektet.

Gjennomsnittlig kvadratisk enkel (4.7):

Vektet gjennomsnittlig kvadrat (4,8):

Den gjennomsnittlige kubikkverdien brukes i beregningen av indikatorer for asymmetri og kurtose. Den påføres i form av en enkel vektet.

Gjennomsnittlig kubikk enkel (4,9):

Gjennomsnittlig kubikkvektet (4,10):

Det kronologiske gjennomsnittet brukes til å beregne gjennomsnittsnivået for tidsserien (4.11):

Strukturelle gjennomsnitt

I tillegg til gjennomsnittene diskutert ovenfor, bruker statistikken strukturelle gjennomsnitt, som inkluderer modus og median.

Mote(Mo) er verdien av den studerte egenskapen (varianten), som oftest finnes i aggregatet. I en diskret serie modusen bestemmes ganske enkelt - av den maksimale frekvensindeksen. I intervallvariasjonsserien tilsvarer modusen tilnærmet midten av det modale intervallet, dvs. intervallet som har en høy frekvens (frekvens).

Den spesifikke verdien av modusen beregnes av formelen (4.12):

hvor er den nedre grensen for det modale intervallet;

modal intervallbredde;

frekvens som tilsvarer det modale intervallet;

frekvensen til intervallet før modalen;

frekvensen av intervallet etter modalen.

Medianen (Meg) er verdien av funksjonen som ligger i midten av den rangerte serien. En rangert serie forstås som en serie ordnet i stigende eller synkende rekkefølge av attributtverdier. Medianen deler den rangerte serien i to deler, hvorav den ene har funksjonsverdier som ikke er større enn medianen, og den andre ikke mindre.

For en rangert serie med et oddetall medlemmer, er medianen varianten som ligger i midten av serien. Posisjonen til medianen bestemmes av serienummeret til enheten i serien i samsvar med formelen (4.13):

hvor n er antall medlemmer i den rangerte serien.

For en rangert serie med et jevnt antall medlemmer, er medianen det aritmetiske gjennomsnittet av to tilstøtende verdier i midten av serien.

I intervallvariasjonsserien brukes følgende formel (4.14) for å finne medianen:

hvor er den nedre grensen for medianintervallet;

median intervallbredde;

akkumulert frekvens av intervallet før medianen;
frekvensen av medianintervallet.

Eksempel. Arbeidsbrigade bestående av 9 pers., ha følgende tariff rangerer: 4; 3; fire; 5; 3; 3; 6; 2;6. Det er påkrevd å bestemme modale og medianverdier for tariffkategorien.

Siden dette teamet har flest arbeidere i den tredje kategorien, vil denne kategorien være modal, dvs. Mo = 3.

For å bestemme medianen la oss rangere den opprinnelige serien i stigende rekkefølge av attributtverdiene:

2; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 6; 6.

Den femte verdien av attributtet er sentral i denne serien. Følgelig er Me = 4.

Eksempel.Det er nødvendig å bestemme den modale og mediantariffkategorien til fabrikkarbeiderne i henhold til dataene i følgende distribusjonsserie.

Siden den innledende distribusjonsserien er diskret, bestemmes den modale verdien av den maksimale frekvensindeksen. I dette eksemplet har anlegget flest arbeidere av 3. kategori (f max = 30), dvs. dette utslippet er modalt (Mo = 3).

La oss bestemme posisjonen til medianen. Den første distribusjonsserien er bygget på grunnlag av en rangert serie, sortert i stigende rekkefølge av attributtverdiene. Midt på raden er mellom 50. og 51 serienummer attributtverdier. La oss finne ut hvilken gruppe arbeiderne med disse serienumrene tilhører. For dette beregner vi de akkumulerte frekvensene. De akkumulerte frekvensene indikerer at medianverdien til tariffkategorien er lik tre (Me = 3), siden verdiene til karakteristikken med serienumre fra 39 til 68, inkludert 50 og 51, er lik 3.

Eksempel. Det er påkrevd å bestemme modal- og medianlønnen til fabrikkarbeidere i henhold til følgende distribusjonsserie.

Siden den første fordelingsserien er intervall, beregnes den modale verdien av lønn ved hjelp av formelen. I dette tilfellet er det modale intervallet 360-420 med en maksimal frekvens lik 30.

Medianverdi lønnen beregnes også etter formelen. I dette tilfellet er medianen intervallet 360-420, hvor den kumulative frekvensen er 70, mens den kumulative frekvensen til det forrige intervallet bare var 40 kl. totalt antall enheter lik 100.

Gjennomsnittsverdier er delt inn i to store klasser: maktmidler og strukturmidler

Effektgjennomsnitt:

Aritmetikk

harmonisk

Geometrisk

kvadratisk

Det enkle aritmetiske gjennomsnittet er gjennomsnittsleddet, for å bestemme hvilket totalvolumet av en gitt attributt i datasettet er likt fordelt mellom alle enheter som er inkludert i dette settet. Så den gjennomsnittlige årlige produksjonen per arbeider er mengden produksjon som ville falle på hver ansatt hvis hele produksjonsvolumet var likt fordelt mellom alle ansatte i organisasjonen. Den aritmetiske gjennomsnittlige enkelverdien beregnes ved hjelp av formelen:

enkel aritmetisk gjennomsnitt- Lik forholdet mellom summen av de individuelle verdiene til attributtet og antall attributter i aggregatet

Aritmetisk vektet gjennomsnitt

Hvis volumet til datasettet er stort og representerer en distribusjonsserie, beregnes et vektet aritmetisk gjennomsnitt. Slik bestemmes den veide gjennomsnittsprisen per produksjonsenhet: den totale produksjonskostnaden (summen av produktene av dens mengde og prisen på en produksjonsenhet) deles på den totale produksjonsmengden.

Vi representerer dette i form av følgende formel:

Vektet aritmetisk gjennomsnitt- er lik forholdet (summen av produktene av attributtverdien til frekvensen av gjentakelse av denne attributten) til (summen av frekvensene til alle attributtene) Det brukes når variantene av den studerte populasjonen forekommer ulikt antall ganger.

Aritmetisk gjennomsnitt for en intervallserie

Når du beregner det aritmetiske gjennomsnittet for en intervallvariasjonsserie, bestemmer du først gjennomsnittet for hvert intervall som en halv sum av øvre og nedre grenser, og deretter gjennomsnittet av hele serien. Ved åpne intervaller bestemmes verdien av det nedre eller øvre intervallet av verdien av intervallene ved siden av dem.

Gjennomsnitt beregnet fra intervallserier er omtrentlige.

Gjennomsnitt beregnet fra intervallserier er omtrentlige. Graden av deres tilnærming avhenger av i hvilken grad den faktiske fordelingen av befolkningsenheter innenfor intervallet nærmer seg ensartet.

Ved beregning av gjennomsnitt, ikke bare absolutt, men også relative verdier(Frekvens):

Gjennomsnittlig harmonisk- brukes i de tilfellene når de individuelle verdiene for attributtet og produktet er kjent, og frekvensene er ukjente.

I eksemplet nedenfor - er avlingen kjent, - er arealet ukjent (selv om det kan beregnes ved å dele brutto kornavling på utbyttet), - brutto kornavling er kjent.

Den harmoniske middelverdien kan bestemmes av følgende formel:

Den harmoniske gjennomsnittsformelen:

harmonisk enkel

I tilfeller der produktet er det samme eller lik 1 (z \u003d 1), brukes den gjennomsnittlige harmoniske enkle til beregning, beregnet med formelen:

Gjennomsnittlig harmonisk enkel - en indikator som er den inverse av den aritmetiske gjennomsnittlige enkel, beregnet fra de gjensidige verdiene til attributtet.

Den geometriske middelverdien gjør det mulig å holde uendret ikke summen, men produktet av de individuelle verdiene av en gitt mengde. Det kan bestemmes av følgende formel:

Geometriske gjennomsnittsverdier brukes oftest i analysen av vekstrater for økonomiske indikatorer.

Gjennomsnittlig harmonisk

Parameternavn	Betydning
Artikkelemne:	Gjennomsnittlig harmonisk
Rubrikk (tematisk kategori)	kultur

Gjennomsnittlig harmonisk- ϶ᴛᴏ den gjensidige av det aritmetiske gjennomsnittet, ᴛ.ᴇ. består av de inverse verdiene til funksjonen.

Eksempel 5 Beregning av gjennomsnittlig prosentandel av planen. Følgende data er tilgjengelig:

Hvis vi, når vi bestemmer den gjennomsnittlige graden av planoppfyllelse, ikke tar oppgaven som vekter, men dens faktiske utførelse, vil det aritmetiske gjennomsnittet i dette tilfellet gi et feil resultat:

Riktig resultat ved veiing i henhold til den faktiske utførelsen av oppgaven vil gi det harmoniske vektede gjennomsnittet:

hvor w- vektet gjennomsnittlig harmonisk vektet.

Betingelser for å bruke den gjennomsnittlige harmoniske

1. Det harmoniske gjennomsnittet brukes når ikke enhetene til populasjonen (bærere av attributtet) brukes som vekter, men produktene til disse enhetene ved verdiene til attributtet, ᴛ.ᴇ. .

2. Hvis absolutte verdier fungerer som vekter, bør enhver mellomhandling ved beregning av gjennomsnittet gi økonomisk signifikante resultater.

Gjennomsnittlig harmonisk - konsept og typer. Klassifisering og funksjoner i kategorien "Harmonisk" 2017, 2018.

- Gjennomsnittlig harmonisk.

- Gjennomsnittlig harmonisk

- Gjennomsnittlig harmonisk.

- Gjennomsnittlig harmonisk vektet

Aritmetisk vektet gjennomsnitt Brukes i tilfellet når indikatorene for varemengden i fysiske termer brukes som vekter; hvor pq er omsetningen i rubler. Gjelder når salgsdata... brukes som vekt.

- Gjennomsnittlig harmonisk.

Sammen med det aritmetiske gjennomsnittet bruker statistikken det harmoniske gjennomsnittet, det resiproke av det aritmetiske gjennomsnittet av de gjensidige verdiene til attributtet. I likhet med det aritmetiske gjennomsnittet kan det være enkelt og vektet. Dermed formelen for å beregne gjennomsnittet ... .

- Aritmetisk gjennomsnitt og harmonisk gjennomsnitt

Essensen og betydningen av gjennomsnittsverdier, deres typer Den vanligste formen for en statistisk indikator er gjennomsnittsverdien. Indikatoren i form av en gjennomsnittsverdi uttrykker det typiske nivået på egenskapen i populasjonen. Bred anvendelse av medium...