Firkantede former.
Betydningen av skjemaer. Sylvesters kriterium

Adjektivet "kvadrat" antyder umiddelbart at noe her er forbundet med en firkant (andre grad), og veldig snart vil vi vite dette "noe" og hva en form er. Det viste seg med en gang :)

Velkommen til min nye leksjon, og som en umiddelbar oppvarming skal vi se på den stripete formen lineær. Lineær form variabler kalt homogen 1. grads polynom:

- noen spesifikke tall * (vi antar at minst én av dem er forskjellig fra null), og er variabler som kan ta vilkårlige verdier.

* I dette emnet vil vi bare vurdere reelle tall .

Vi har allerede møtt begrepet "homogen" i leksjonen om homogene systemer av lineære ligninger, og i dette tilfellet innebærer det at polynomet ikke har en addert konstant.

For eksempel: – lineær form av to variabler

Nå er formen kvadratisk. kvadratisk form variabler kalt homogen 2. grads polynom, hver termin inneholder enten kvadratet av variabelen eller dobbelt produkt av variabler. Så, for eksempel, den kvadratiske formen til to variabler har følgende form:

Merk følgende! Dette er en standard oppføring, og du trenger ikke å endre noe i den! Til tross for det "forferdelige" utseendet, er alt enkelt her - doble abonnenter av konstanter signaliserer hvilke variabler som er inkludert i et eller annet begrep:
– denne termen inneholder produktet og (kvadrat);
- her er arbeidet;
- og her er arbeidet.

- Jeg forventer umiddelbart en grov feil når de mister "minus" av koeffisienten, uten å innse at det refererer til begrepet:

Noen ganger er det en "skole" versjon av designet i ånden, men da bare noen ganger. Vær forresten oppmerksom på at konstantene her ikke forteller oss noe i det hele tatt, og derfor er det vanskeligere å huske den "enkle notasjonen". Spesielt når det er flere variabler.

Og den kvadratiske formen av tre variabler inneholder allerede seks termer:

... hvorfor er "to" multiplikatorer satt i "blandet" termer? Dette er praktisk, og det vil snart bli klart hvorfor.

Imidlertid vil vi skrive ned den generelle formelen, det er praktisk å ordne det med et "ark":

- studer nøye hver linje - det er ingenting galt med det!

Den kvadratiske formen inneholder ledd med kvadratiske variabler og ledd med deres parprodukter (cm. kombinatorisk formel for kombinasjoner) . Ingenting annet - ingen "ensom x" og ingen addert konstant (da får du ikke en kvadratisk form, men heterogen 2. grads polynom).

Matrisenotasjon av en kvadratisk form

Avhengig av verdiene, kan den betraktede formen ha både positive og negative verdier, og det samme gjelder for enhver lineær form - hvis minst en av koeffisientene ikke er null, kan den vise seg å være enten positiv eller negativ (avhengig av verdiene). på verdier).

Dette skjemaet kalles alternerende. Og hvis alt er gjennomsiktig med den lineære formen, så er ting mye mer interessant med den kvadratiske formen:

Det er helt klart at denne formen kan ta på seg verdiene til ethvert tegn, dermed den kvadratiske formen kan også være vekslende.

Det kan ikke være:

– alltid, med mindre begge er lik null.

- for alle vektor bortsett fra null.

Og generelt sett, hvis for noen ikke-null vektor , , da kalles den kvadratiske formen positiv bestemt; hvis da negativt klart.

Og alt ville være bra, men bestemtheten til den kvadratiske formen er bare synlig i enkle eksempler, og denne synligheten går tapt allerede med en liten komplikasjon:
– ?

Man kan anta at formen er positivt definert, men er det virkelig slik? Plutselig er det verdier der det er mindre enn null?

På denne kontoen, der teorem: Hvis alle egenverdier matriser av kvadratisk form er positive * , så er det positivt definert. Hvis alle er negative, så er de negative.

* Det er bevist i teorien at alle egenverdier til en reell symmetrisk matrise gyldig

La oss skrive matrisen til skjemaet ovenfor:
og fra ligningen la oss finne henne egenverdier:

Vi løser det gode gamle kvadratisk ligning:

, så skjemaet er positivt definert, dvs. for alle verdier som ikke er null, er den større enn null.

Den vurderte metoden ser ut til å fungere, men det er ett stort MEN. Allerede for matrisen "tre av tre" er det en lang og ubehagelig oppgave å lete etter egenverdier; med stor sannsynlighet får du et polynom av 3. grad med irrasjonelle røtter.

Hvordan være? Det er en enklere måte!

Sylvesters kriterium

Nei, ikke Sylvester Stallone :) Først, la meg minne deg på hva kantete mindreårige matriser. den determinanter som "vokser" fra øvre venstre hjørne:

og den siste er nøyaktig lik determinanten til matrisen.

Nå, faktisk, kriterium:

1) Kvadratisk form definert positivt hvis og bare hvis ALLE dens vinkel-moll er større enn null: .

2) Kvadratisk form definert negativ hvis og bare hvis dens kantede moll veksler i fortegn, mens 1. moll er mindre enn null: , , hvis er partall eller , hvis er oddetall.

Hvis minst én kantete moll har motsatt fortegn, så skjemaet tegn vekslende. Hvis de kantede mindreårige er av "det" tegnet, men det er nuller blant dem, er dette et spesielt tilfelle, som jeg vil analysere litt senere, etter at vi har klikket på mer vanlige eksempler.

La oss analysere de vinkelformede minorene i matrisen :

Og dette forteller oss umiddelbart at formen ikke er negativt bestemt.

Konklusjon: alle vinkel mindre er større enn null, så formen positivt definert.

Er det forskjell på egenverdimetoden? ;)

Vi skriver formmatrisen fra Eksempel 1:

dens første kantete moll, og den andre , hvorav det følger at formen er tegnvekslende, dvs. avhengig av verdiene, kan ta både positive og negative verdier. Dette er imidlertid så åpenbart.

Ta skjemaet og dets matrise fra Eksempel 2:

her i det hele tatt uten innsikt ikke å forstå. Men med Sylvester-kriteriet bryr vi oss ikke:
, derfor er formen definitivt ikke negativ.

, og definitivt ikke positivt. (fordi alle mindreårige må være positive).

Konklusjon: formen er vekslende.

Oppvarmingseksempler for selvløsning:

Eksempel 4

Undersøk kvadratiske former for tegnbestemthet

en)

I disse eksemplene er alt jevnt (se slutten av leksjonen), men faktisk for å fullføre en slik oppgave Sylvesters kriterium er kanskje ikke tilstrekkelig.

Poenget er at det finnes «grense»-tilfeller, nemlig: hvis for noen ikke-null vektor , så er formen definert ikke-negativ, hvis da ikke-positive. Disse skjemaene har ikke-null vektorer som .

Her kan du ta med et slikt "knappetrekkspill":

Utheving full firkant, ser vi umiddelbart ikke-negativitet form: dessuten er den lik null for enhver vektor med like koordinater, for eksempel: .

Eksempel på "speil". ikke-positive bestemt form:

og et enda mer trivielt eksempel:
– her er formen lik null for enhver vektor , hvor er et vilkårlig tall.

Hvordan avsløre ikke-negativiteten eller ikke-positiviteten til en form?

Til dette trenger vi konseptet større mindreårige matriser. Hovedmoll er en moll sammensatt av elementer som er i skjæringspunktet mellom rader og kolonner med samme tall. Så, matrisen har to hovedfag i 1. orden:
(elementet er i skjæringspunktet mellom 1. rad og 1. kolonne);
(elementet er i skjæringspunktet mellom 2. rad og 2. kolonne),

og en stor 2. ordens moll:
- sammensatt av elementer i 1., 2. rad og 1., 2. kolonne.

Matrise "tre og tre" Det er syv hovedbarn, og her må du allerede vifte med biceps:
- tre mindreårige av 1. orden,
tre mindreårige av 2. orden:
- sammensatt av elementer i 1., 2. rad og 1., 2. kolonne;
- sammensatt av elementer i 1., 3. rad og 1., 3. kolonne;
- sammensatt av elementer i andre, tredje rad og andre, tredje kolonne,
og en 3. ordens moll:
- sammensatt av elementer i 1., 2., 3. rad og 1., 2. og 3. kolonne.
Trening for forståelse: skriv ned alle de viktigste birollene i matrisen .
Vi sjekker på slutten av timen og fortsetter.

Schwarzenegger-kriterium:

1) Ikke-null* kvadratisk form definert ikke-negativ hvis og bare hvis ALLE de viktigste mindreårige ikke-negativ(større enn eller lik null).

* Den null (degenererte) kvadratiske formen har alle koeffisienter lik null.

2) Ikke-null kvadratisk form med matrise definert ikke-positive hvis og bare hvis det er:
– hovedåringer av 1. orden ikke-positive(mindre enn eller lik null);
er hovedmindreårige av 2. orden ikke-negativ;
– hovedmindreårige av 3. orden ikke-positive(veksling har begynt);
…
– major moll av th orden ikke-positive, hvis er oddetall eller ikke-negativ, hvis er jevnt.

Hvis minst én mindreårig har motsatt fortegn, er formen fortegnsvekslende.

La oss se hvordan kriteriet fungerer i eksemplene ovenfor:

La oss lage en formmatrise, og først av alt la oss beregne de kantete mindreårige - hva om det er positivt eller negativt definert?

De oppnådde verdiene tilfredsstiller ikke Sylvester-kriteriet, men den andre mindre ikke negativ, og dette gjør det nødvendig å sjekke det andre kriteriet (i tilfelle av det andre kriteriet, vil det ikke bli oppfylt automatisk, dvs. en konklusjon gjøres umiddelbart om tegnvekslingen til formen).

Større mindreårige av 1. orden:
- er positive
2. ordens major-moll:
- ikke negativt.

Dermed er ALLE større mindreårige ikke-negative, så formen ikke-negativ.

La oss skrive formmatrisen , som åpenbart ikke er oppfylt Sylvester-kriteriet. Men vi mottok heller ikke motsatte fortegn (fordi begge kantede moll er lik null). Derfor sjekker vi oppfyllelsen av kriteriet om ikke-negativitet / ikke-positivitet. Større mindreårige av 1. orden:
- Ikke positivt
2. ordens major-moll:
- ikke negativt.

I følge Schwarzenegger-kriteriet (punkt 2) bestemmes altså formen ikke-positivt.

Nå, fullt bevæpnet, vil vi analysere et mer underholdende problem:

Eksempel 5

Undersøk den kvadratiske formen for tegnbestemthet

Dette skjemaet er dekorert med rekkefølgen "alfa", som kan være lik et hvilket som helst reelt tall. Men det blir bare mer moro Bestemme seg for.

Først, la oss skrive ned formmatrisen, sannsynligvis har mange allerede tilpasset seg for å gjøre det muntlig: på hoveddiagonal vi setter koeffisientene ved firkantene, og på de symmetriske stedene - halvkoeffisienten til de tilsvarende "blandede" produktene:

La oss beregne de vinkelformede minorene:

Jeg vil utvide den tredje determinanten langs den tredje linjen:

En kvadratisk form er et homogent polynom av 2. grad i flere variabler.

Den kvadratiske formen i variabler består av termer av to typer: kvadratene til variablene og deres parvise produkter med noen koeffisienter. Det er vanlig å skrive den kvadratiske formen i form av følgende kvadratiske skjema:

Par med lignende ledd skrives med de samme koeffisientene, slik at hver av dem er halvparten av koeffisienten til det tilsvarende produktet av variablene. Dermed er hver kvadratisk form naturlig assosiert med sin koeffisientmatrise, som er symmetrisk.

Det er også praktisk å representere den kvadratiske formen i følgende matrisenotasjon. Betegn med X en kolonne med variabler med X - en rad, dvs. en matrise transponert med X. Deretter

Kvadratiske former finnes i mange grener av matematikk og dens anvendelser.

I tallteori og krystallografi betraktes kvadratiske former under antagelsen om at variablene bare tar heltallsverdier. I analytisk geometri er den kvadratiske formen en del av ligningen til en kurve (eller overflate) av orden. I mekanikk og fysikk ser den kvadratiske formen ut til å uttrykke den kinetiske energien til systemet i form av komponentene til generaliserte hastigheter osv. Men i tillegg er studiet av kvadratiske former også nødvendig i analyse når man studerer funksjoner til mange variabler, i spørsmål for løsningen som det er viktig å finne ut hvordan den gitte funksjonen i nærheten av det gitte punktet avviker fra den lineære funksjonen som tilnærmer den. Et eksempel på et problem av denne typen er studiet av en funksjon for maksimum og minimum.

Tenk for eksempel på problemet med å utforske maksimum og minimum for en funksjon av to variabler som har kontinuerlige partielle deriverte opp til rekkefølge. En nødvendig betingelse for at et punkt skal gi maksimum eller minimum av en funksjon er likheten til null av de partielle deriverte av rekkefølgen ved punktet La oss anta at denne betingelsen er oppfylt. Vi gir variablene x og y små inkrementer og k og vurderer den tilsvarende økningen til funksjonen. I følge Taylor-formelen er denne økningen, opp til små høyere ordener, lik den kvadratiske formen hvor er verdiene til den andre derivater beregnet ved punktet Hvis denne kvadratiske formen er positiv for alle verdiene av og k (bortsett fra da har funksjonen et minimum i et punkt; hvis den er negativ, har den et maksimum. Til slutt, hvis formen får både positive og negative verdier, vil det ikke være noe maksimum eller minimum. Funksjoner til et større antall variabler studeres på lignende måte.

Studiet av kvadratiske former består hovedsakelig i studiet av problemet med ekvivalens av former med hensyn til et eller annet sett med lineære transformasjoner av variabler. To kvadratiske former sies å være ekvivalente hvis en av dem kan oversettes til den andre ved hjelp av en av transformasjonene til den gitte mengden. Nært knyttet til problemet med ekvivalens er problemet med formreduksjon, dvs. konvertere den til en muligens enkleste form.

I ulike spørsmål knyttet til kvadratiske former vurderes også ulike sett med tillatte transformasjoner av variabler.

I analysespørsmål brukes alle ikke-singulære transformasjoner av variabler; For analytisk geometri er ortogonale transformasjoner av størst interesse, det vil si de som tilsvarer overgangen fra ett system med variable kartesiske koordinater til et annet. Til slutt, i tallteori og i krystallografi, vurderes lineære transformasjoner med heltallskoeffisienter og med en determinant lik én.

Vi vil vurdere to av disse problemene: spørsmålet om å redusere en kvadratisk form til dens enkleste form ved hjelp av eventuelle ikke-singulære transformasjoner, og det samme spørsmålet for ortogonale transformasjoner. Først av alt, la oss finne ut hvordan en matrise av en kvadratisk form transformeres under en lineær transformasjon av variabler.

La , hvor A er en symmetrisk matrise av formkoeffisienter, er X en kolonne med variabler.

La oss lage en lineær transformasjon av variabler ved å skrive den i forkortet form. Her betegner C matrisen av koeffisienter for denne transformasjonen, X er en kolonne med nye variabler. Da og derav, slik at matrisen til den transformerte kvadratiske formen er

Matrisen viser seg automatisk å være symmetrisk, noe som lett kan verifiseres. Dermed er problemet med å redusere en kvadratisk form til dens enkleste form ekvivalent med problemet med å redusere en symmetrisk matrise til dens enkleste form ved å multiplisere den fra venstre og høyre med gjensidig transponerte matriser.

Konseptet med en kvadratisk form. Matrise av kvadratisk form. Kanonisk form av en kvadratisk form. Lagrange-metoden. Normalformen av en kvadratisk form. Rangering, indeks og signatur av en kvadratisk form. Positiv bestemt kvadratisk form. Quadris.

Konseptet med en kvadratisk form: en funksjon på et vektorrom gitt av et homogent polynom av andre grad i vektorens koordinater.

kvadratisk form fra n ukjent kalles summen, hvor hvert ledd er enten kvadratet av en av disse ukjente, eller produktet av to forskjellige ukjente.

Kvadratisk matrise: Matrisen kalles matrisen av kvadratisk form i det gitte grunnlaget. Hvis feltkarakteristikken ikke er lik 2, kan vi anta at matrisen til kvadratformen er symmetrisk, det vil si .

Skriv en matrise av kvadratisk form:

Følgelig

I vektormatriseform er den kvadratiske formen:

A, hvor

Kanonisk form av en kvadratisk form: En kvadratisk form kalles kanonisk om alle dvs.

Enhver kvadratisk form kan reduseres til en kanonisk form ved å bruke lineære transformasjoner. I praksis brukes vanligvis følgende metoder.

Lagrange-metoden : suksessivt utvalg av hele ruter. For eksempel hvis

Deretter gjøres en lignende prosedyre med kvadratisk form osv. Hvis i kvadratisk form alt men er deretter, etter en foreløpig transformasjon, reduseres saken til den behandlede prosedyren. Så hvis, for eksempel, så setter vi

Den normale formen for en kvadratisk form er: En normal kvadratisk form er en kanonisk kvadratisk form der alle koeffisienter er lik +1 eller -1.

Rangering, indeks og signatur for en kvadratisk form: Rangeringen av den kvadratiske formen MEN kalt rangeringen av matrisen MEN. Rangeringen til en kvadratisk form endres ikke under ikke-degenererte transformasjoner av de ukjente.

Antall negative koeffisienter kalles den negative formindeksen.

Antall positive ledd i den kanoniske formen kalles den positive treghetsindeksen til den kvadratiske formen, antall negative ledd kalles den negative indeksen. Forskjellen mellom positive og negative indekser kalles signaturen til den kvadratiske formen

Positiv bestemt kvadratisk form: Ekte kvadratisk form kalles positiv-definitiv (negativ-definit) hvis for noen reelle verdier av variablene som ikke samtidig er lik null

. (36)

I dette tilfellet kalles matrisen også positiv bestemt (negativ bestemt).

Klassen av positive-bestemte (negativ-bestemte) former er en del av klassen av ikke-negative (henholdsvis ikke-positive) former.

Quads: Quadric - n-dimensjonal hyperoverflate i n+1-dimensjonalt rom, definert som settet med nuller i et polynom av andre grad. Hvis du legger inn koordinatene ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (i euklidisk eller affint rom), den generelle kvadratiske ligningen har formen

Denne ligningen kan skrives om mer kompakt i matrisenotasjon:

hvor x = ( x 1 , x 2 , x n+1) er en radvektor, x T er den transponerte vektoren, Q er størrelsesmatrisen ( n+1)×( n+1) (det antas at minst ett av elementene ikke er null), P er en radvektor, og R er en konstant. Oftest vurderes kvadrikker over reelle eller komplekse tall. Definisjonen kan utvides til kvadrikker i projektivt rom, se nedenfor.

Mer generelt er settet med nuller i et system med polynomlikninger kjent som en algebraisk variasjon. Dermed er en kvadrisk en (affin eller projektiv) algebraisk variasjon av andre grad og kodimensjon 1.

Plan- og romtransformasjoner.

Definisjon av plantransformasjon. Definisjon av bevegelse. bevegelsesegenskaper. To typer bevegelser: bevegelse av den første typen og bevegelse av den andre typen. Eksempler på bevegelser. Analytisk uttrykk for bevegelse. Klassifisering av planbevegelser (avhengig av tilstedeværelsen av faste punkter og invariante linjer). Gruppe av flybevegelser.

Plantransformasjonsdefinisjon: Definisjon. En plantransformasjon som bevarer avstanden mellom punktene kalles bevegelse(eller forskyvning) av flyet. Plantransformasjonen kalles affine, hvis det tar noen tre punkter som ligger på samme linje til tre punkter som også ligger på samme linje og samtidig bevarer den enkle relasjonen til de tre punktene.

Bevegelsesdefinisjon: Dette er en formtransformasjon som bevarer avstandene mellom punktene. Hvis to figurer er nøyaktig kombinert med hverandre ved hjelp av bevegelse, så er disse figurene like, like.

Bevegelsesegenskaper: hver orienteringsbevarende bevegelse av et plan er enten en parallell translasjon eller en rotasjon; hver orienteringsendrende bevegelse av et plan er enten en aksial symmetri eller en glidesymmetri. Punkter som ligger på en rett linje, når de beveger seg, går over i punkter som ligger på en rett linje, og rekkefølgen på deres gjensidige arrangement bevares. Ved flytting bevares vinklene mellom halvlinjene.

To typer bevegelser: bevegelse av den første typen og bevegelse av den andre typen: Bevegelser av den første typen er de bevegelsene som bevarer orienteringen til basene til en viss figur. De kan realiseres med kontinuerlige bevegelser.

Bevegelser av den andre typen er de bevegelsene som endrer orienteringen til basene til det motsatte. De kan ikke realiseres ved kontinuerlige bevegelser.

Eksempler på bevegelser av den første typen er translasjon og rotasjon rundt en rett linje, og bevegelser av den andre typen er sentrale og speilsymmetrier.

Sammensetningen av et hvilket som helst antall bevegelser av den første typen er en bevegelse av den første typen.

Sammensetningen av et partall av bevegelser av den andre typen er en sats av den 1. typen, og sammensetningen av et oddetall av satser av den andre typen er en sats av den 2. typen.

Eksempler på bevegelser:Parallell overføring. La a være en gitt vektor. Parallell overføring til vektoren a er kartleggingen av planet på seg selv, der hvert punkt M er avbildet til punktet M 1, at vektoren MM 1 er lik vektoren a.

Parallell oversettelse er en bevegelse fordi den er en kartlegging av flyet på seg selv, og bevarer avstander. Visuelt kan denne bevegelsen representeres som en forskyvning av hele planet i retning av en gitt vektor a ved sin lengde.

Snu. La oss angi et punkt O på planet ( snusenter) og sett vinkelen α ( rotasjonsvinkel). Rotasjonen av planet rundt punktet O med vinkelen α er kartleggingen av planet på seg selv, der hvert punkt M er avbildet til punktet M 1, at OM = OM 1 og vinkelen MOM 1 er lik α. I dette tilfellet forblir punktet O på sin plass, det vil si at det vises i seg selv, og alle andre punkter roterer rundt punktet O i samme retning - med eller mot klokken (figuren viser en rotasjon mot klokken).

En sving er en bevegelse fordi den er en kartlegging av flyet på seg selv, som bevarer avstander.

Analytisk uttrykk for bevegelse: den analytiske sammenhengen mellom koordinatene til forbildet og bildet av punktet har formen (1).

Klassifisering av planbevegelser (avhengig av tilstedeværelsen av faste punkter og invariante linjer): Definisjon:

Et punkt i et plan er invariant (fast) hvis det under en gitt transformasjon transformerer seg til seg selv.

Eksempel: Med sentral symmetri er punktet til symmetrisenteret invariant. Ved vending er rotasjonssenteret invariant. Med aksial symmetri er linjen invariant - symmetriaksen er linjen med invariante punkter.

Teorem: Hvis bevegelsen ikke har noe invariant punkt, så har den minst én invariant retning.

Eksempel: Parallelloverføring. Faktisk er linjer parallelle med denne retningen invariante som en figur som helhet, selv om den ikke består av invariante punkter.

Teorem: Hvis en stråle beveger seg, oversetter strålen til seg selv, så er denne bevegelsen enten en identisk transformasjon, eller en symmetri med hensyn til linjen som inneholder den gitte strålen.

Derfor, i henhold til tilstedeværelsen av invariante punkter eller figurer, er det mulig å klassifisere bevegelser.

Bevegelsesnavn	Invariante poeng	Invariante linjer
Bevegelse av den første typen.
1. - sving	(sentrum) - 0	Nei
2. Identitetstransformasjon	alle punkter i flyet	alt rett
3. Sentral symmetri	punkt 0 - sentrum	alle linjer som går gjennom punkt 0
4. Parallelloverføring	Nei	alt rett
Bevegelse av den andre typen.
5. Aksial symmetri.	sett med punkter	symmetriakse (rett) helt rett

Flybevegelsesgruppe: I geometri spiller selvtilfeldige figurer en viktig rolle. Hvis - en figur på flyet (eller i rommet), så kan vi vurdere settet med alle de bevegelsene til flyet (eller rommet), der figuren går inn i seg selv.

Dette settet er en gruppe. For eksempel, for en likesidet trekant, består gruppen av planbevegelser som tar trekanten inn i seg selv av 6 elementer: rotasjoner med vinkler rundt et punkt og symmetrier rundt tre linjer.

De er vist i fig. 1 med røde linjer. Elementene i selvsammenfallsgruppen til en vanlig trekant kan spesifiseres på en annen måte. For å tydeliggjøre dette, la oss nummerere toppunktene til en vanlig trekant med tallene 1, 2, 3. kan angis betinget i form av en av disse parentesene:

etc.

hvor tallene 1, 2, 3 angir tallene til de toppunktene som toppunktene 1, 2, 3 passerer inn som et resultat av den betraktede bevegelsen.

Prosjektive rom og deres modeller.

Konsept for projektivt rom og modell av projektivt rom. Grunnleggende fakta om projektiv geometri. En haug med linjer sentrert ved punkt O er en projektiv planmodell. projeksjonspunkter. Det utvidede planet er en modell av det projektive planet. Et utvidet tredimensjonalt affint eller euklidisk rom er en projektiv rommodell. Bilder av plane og romlige figurer i parallell design.

Konsept for projektivt rom og modell av projektivt rom:

Et projektivt rom over et felt er et rom som består av linjer (endimensjonale underrom) av et eller annet lineært rom over et gitt felt. De rette mellomrommene kalles prikker projektivt rom. Denne definisjonen egner seg til generalisering til et vilkårlig organ

Hvis den har dimensjon , kalles dimensjonen til det projektive rommet tallet , og selve det projektive rommet betegnes og kalles assosiert med (for å indikere dette, er notasjonen tatt i bruk).

Overgangen fra et vektorrom av dimensjon til det tilsvarende projektive rommet kalles projektivisering mellomrom.

Punkter kan beskrives ved hjelp av homogene koordinater.

Grunnleggende fakta om projektiv geometri: Projektiv geometri er en gren av geometri som studerer projektive plan og rom. Hovedtrekket til projektiv geometri er prinsippet om dualitet, som gir en grasiøs symmetri til mange design. Projektiv geometri kan studeres både fra et rent geometrisk synspunkt, og fra et analytisk (ved hjelp av homogene koordinater) og salgebraisk synspunkt, med tanke på det projektive planet som en struktur over et felt. Ofte, og historisk sett, blir det virkelige projektive planet behandlet som det euklidiske planet med tillegg av en "linje i det uendelige".

Mens egenskapene til figurene som euklidisk geometri omhandler er metrisk(spesifikke verdier av vinkler, segmenter, områder), og ekvivalensen av figurer er ekvivalent med deres sammenfallende(dvs. når figurer kan oversettes til hverandre ved hjelp av bevegelse mens metriske egenskaper bevares), er det mer "dypere" egenskaper til geometriske figurer som er bevart ved transformasjoner av en mer generell type enn bevegelse. Projektiv geometri studerer egenskapene til figurer som er invariante under klassen projektive transformasjoner, så vel som selve transformasjonene.

Projektiv geometri utfyller Euklidisk ved å tilby vakre og enkle løsninger på mange problemer komplisert av tilstedeværelsen av parallelle linjer. Den projektive teorien om kjeglesnitt er spesielt enkel og elegant.

Det er tre hovedtilnærminger til projektiv geometri: uavhengig aksiomatisering, tillegg til euklidisk geometri og struktur over et felt.

Aksiomatisering

Et projektivt rom kan defineres ved å bruke et annet sett med aksiomer.

Coxeter gir følgende:

1. Det er en linje og et punkt er ikke på den.

2. Det er minst tre punkter på hver linje.

3. Nøyaktig én rett linje kan trekkes gjennom to punkter.

4. Hvis EN, B, C, og D forskjellige punkter og AB og CD krysse, da AC og BD krysse.

5. Hvis ABC er et fly, så er det minst ett punkt som ikke er i planet ABC.

6. To distinkte plan skjærer hverandre i minst to punkter.

7. Tre diagonale punkter på en komplett firkant er ikke kollineære.

8. Hvis det er tre punkter på en rett linje X X

Det projektive planet (uten den tredje dimensjonen) er definert av noe forskjellige aksiomer:

1. Nøyaktig én rett linje kan trekkes gjennom to punkter.

2. To linjer krysser hverandre.

3. Det er fire punkter, hvorav det ikke er tre kollineære.

4. Tre diagonale punkter av komplette firkanter er ikke kollineære.

5. Hvis det er tre punkter på en rett linje X er invariante under projektiviteten til φ, så alle punkter på X er invariante med hensyn til φ.

6. Desargues' teorem: Hvis to trekanter er perspektiv gjennom et punkt, så er de perspektiv gjennom en linje.

I nærvær av en tredje dimensjon kan Desargues' teorem bevises uten å introdusere det ideelle punktet og linjen.

Utvidet plan - projektiv planmodell: i et affint rom A3, ta en bunt med linjer S(O) sentrert i et punkt O og et plan Π som ikke går gjennom midten av bunten: O 6∈ Π. En bunt med linjer i et affint rom er en modell av det projektive planet. La oss sette kartleggingen av settet med punkter i planet Π til settet med linjer til bunten S (Fy faen, be hvis du har dette spørsmålet, beklager)

Utvidet tredimensjonalt affint eller euklidisk rom - projektiv rommodell:

For å gjøre kartleggingen surjektiv, gjentar vi prosessen med å formelt utvide det affine planet Π til det projektive planet, Π, og komplementere planet Π med et sett med upassende punkter (M∞) slik at: ((M∞)) = P0(O). Siden i kartleggingen det inverse bildet av hvert plan i bunten av plan S(O) er en linje på planet d, er det åpenbart at settet med alle upassende punkter i det utvidede planet: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), er en feil linje d∞ av det utvidede planet som er det inverse bildet av singularplanet Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) La oss bli enige om at vi her og nedenfor vil forstå den siste likheten P0(O) = Π0 i betydningen likhet av sett med punkter, men utstyrt med forskjellige strukturer. Ved å komplementere det affine planet med en feil linje, har vi sørget for at kartleggingen (I.21) blir bijektiv på settet av alle punkter i det utvidede planet:

Bilder av flate og romlige figurer i parallell design:

I stereometri studeres romlige figurer, men på tegningen er de avbildet som flate figurer. Hvordan skal da en romlig figur avbildes på et fly? Vanligvis i geometri brukes parallell design for dette. La p være et fly, l- en rett linje som skjærer den (fig. 1). Gjennom et vilkårlig punkt EN, som ikke tilhører linjen l tegne en linje parallelt med linjen l. Skjæringspunktet for denne linjen med planet p kalles den parallelle projeksjonen av punktet EN til planet p i retning av den rette linjen l. La oss betegne det EN". Hvis poenget EN tilhører linjen l, deretter parallellprojeksjonen EN til planet regnes p som skjæringspunktet for linjen l med fly s.

Altså hvert punkt EN rommet er kartlagt til dets projeksjon EN" på planet p. Denne korrespondansen kalles den parallelle projeksjonen på planet p i retning av den rette linjen l.

Gruppe av projektive transformasjoner. Søknad til problemløsning.

Konseptet med projektiv transformasjon av flyet. Eksempler på projektive plantransformasjoner. Egenskaper til projektive transformasjoner. Homologi, egenskaper ved homologi. Gruppe av projektive transformasjoner.

Konseptet med en projektiv plantransformasjon: Forestillingen om en projektiv transformasjon generaliserer forestillingen om en sentral projeksjon. Hvis vi utfører den sentrale projeksjonen av planet α på et plan α 1 , så projeksjonen av α 1 på α 2 , α 2 på α 3 , ... og til slutt, et plan α n igjen på α 1, så er sammensetningen av alle disse projeksjonene den projektive transformasjonen av planet α; en slik kjede kan inkludere parallelle projeksjoner.

Eksempler på projektive plantransformasjoner: En projektiv transformasjon av et utvidet plan er dets en-til-en-kartlegging av seg selv, som bevarer kollineariteten til punktene, eller med andre ord, bildet av en rett linje er en rett linje. Enhver projektiv transformasjon er en sammensetning av en kjede av sentrale og parallelle projeksjoner. En affin transformasjon er et spesielt tilfelle av en projektiv, der linjen i det uendelige går inn i seg selv.

Egenskaper til projektive transformasjoner:

Under en projektiv transformasjon blir tre punkter som ikke er på en linje kartlagt til tre punkter som ikke er på en linje.

Under en projektiv transformasjon går rammen over til rammen.

Under en projektiv transformasjon går en linje inn i en rett linje, en løve går inn i en løve.

Homologi, homologiegenskaper:

En projektiv transformasjon av et plan som har en linje med invariante punkter og dermed en blyant med invariante linjer kalles en homologi.

1. En linje som går gjennom tilsvarende ikke-sammenfallende homologipunkter er en invariant linje;

2. Linjene som går gjennom de tilsvarende ikke-sammenfallende homologipunktene tilhører den samme blyanten, hvis senter er et invariant punkt.

3. Et punkt, dets bilde og homologiens sentrum ligger på samme rette linje.

Gruppe av projektive transformasjoner: vurdere en projektiv kartlegging av det projektive planet P 2 på seg selv, det vil si en projektiv transformasjon av dette planet (P 2 ' = P 2).

Som før er sammensetningen f av projektive transformasjoner f 1 og f 2 av det projektive planet P 2 resultatet av suksessiv utførelse av transformasjoner f 1 og f 2: f = f 2 ° f 1 .

Teorem 1: Mengden H av alle projektive transformasjoner av det projektive planet P 2 er en gruppe under sammensetningen av projektive transformasjoner.

Positive bestemte kvadratiske former

Definisjon. Kvadratisk form fra n ukjent kalles positiv bestemt, hvis rangeringen er lik den positive treghetsindeksen og er lik antall ukjente.

Teorem. En kvadratisk form er positiv bestemt hvis og bare hvis den tar positive verdier på et hvilket som helst sett med variabelverdier som ikke er null.

Bevis. La den kvadratiske formen være en ikke-degenerert lineær transformasjon av de ukjente

tilbake til det normale

.

For ethvert sett med variabelverdier som ikke er null, minst ett av tallene forskjellig fra null, dvs. . Nødvendigheten av teoremet er bevist.

Anta at den kvadratiske formen har positive verdier på ethvert sett med variabler som ikke er null, men treghetsindeksen er positiv. Ved en ikke-degenerert lineær transformasjon av de ukjente

La oss bringe det tilbake til det normale. Uten tap av generalitet kan vi anta at i denne normalformen er kvadratet til den siste variabelen enten fraværende eller går inn i det med et minustegn, dvs. , hvor eller . Anta at det er et ikke-null sett med verdier av variabler, oppnådd som et resultat av å løse systemet med lineære ligninger

I dette systemet er antall ligninger lik antall variabler og determinanten for systemet er ikke null. Etter Cramers teorem har systemet en unik løsning, og den er ikke null. For dette settet. Motsetning med tilstanden. Vi kommer til en selvmotsigelse med antakelsen, som beviser teoremets tilstrekkelighet.

Ved å bruke dette kriteriet er det ikke mulig å bestemme ut fra koeffisientene om en kvadratisk form er positiv-bestemt. Svaret på dette spørsmålet er gitt av et annet teorem, for formuleringen som vi introduserer et konsept til. Hoveddiagonal Matrix Minors er de mindreårige plassert i øvre venstre hjørne:

, , , … , .

Teorem.En kvadratisk form er positiv bestemt hvis og bare hvis alle dens hoveddiagonale minorer er positive.

Bevis vi vil utføre ved metoden for fullstendig matematisk induksjon på tallet n kvadratiske formvariabler f.

Hypotese om induksjon. Anta at for kvadratiske former med færre variabler n påstanden er riktig.

Betrakt den kvadratiske formen fra n variabler. Samle i én parentes alle termene som inneholder . De resterende leddene danner en kvadratisk form i variabler. Ved induksjonshypotesen er utsagnet sant for det.

Anta at den kvadratiske formen er positiv bestemt. Da er den kvadratiske formen også positiv bestemt. Hvis vi antar at dette ikke er tilfelle, er det et sett med variabelverdier som ikke er null , for hvilket og tilsvarende, , som motsier det faktum at den kvadratiske formen er positiv bestemt. Ved induksjonshypotesen er alle hoveddiagonale minorer av en kvadratisk form positive, dvs. alle første hovedbirolle av en kvadratisk form f er positive. Siste hovedmoll av en andregradsform – er determinanten for matrisen. Denne determinanten er positiv, siden fortegnet sammenfaller med tegnet til matrisen i dens normale form, dvs. med tegnet til identitetsmatrisedeterminanten.

La alle hoveddiagonal-moll av kvadratisk form være positive. Da er alle hoveddiagonal-moll av kvadratisk form positive fra likheten . Ved induksjonshypotesen er den kvadratiske formen positiv bestemt, så det er en ikke-degenerert lineær transformasjon av variabler som reduserer formen til formen av summen av kvadrater av nye variabler. Denne lineære transformasjonen kan utvides til en ikke-degenerert lineær transformasjon av alle variabler ved å sette . Den kvadratiske formen reduseres ved denne transformasjonen til formen

Kvadratiske former

kvadratisk form f(x 1, x 2,..., x n) av n variabler kalles summen, hvor hvert ledd er enten kvadratet av en av variablene, eller produktet av to forskjellige variabler, tatt med en viss koeffisient: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Matrisen A, sammensatt av disse koeffisientene, kalles den kvadratiske formmatrisen. Det er det alltid symmetrisk matrise (dvs. en matrise symmetrisk om hoveddiagonalen, a ij = a ji).

I matrisenotasjon har den kvadratiske formen f(X) = X T AX, hvor

Faktisk

La oss for eksempel skrive kvadratisk form i matriseform.

For å gjøre dette finner vi en matrise av en kvadratisk form. Dens diagonale elementer er lik koeffisientene ved kvadratene til variablene, og de resterende elementene er lik halvparten av de tilsvarende koeffisientene til kvadratisk form. Derfor

La matrisekolonnen av variablene X oppnås ved en ikke-degenerert lineær transformasjon av matrisekolonnen Y, dvs. X = CY, hvor C er en ikke-degenerert matrise av orden n. Så den kvadratiske formen
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

Under en ikke-degenerert lineær transformasjon C, har matrisen til den kvadratiske formen formen: A * = C T AC.

La oss for eksempel finne den kvadratiske formen f(y 1, y 2) oppnådd fra den kvadratiske formen f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ved en lineær transformasjon.

Den kvadratiske formen kalles kanonisk(Det har kanonisk syn) hvis alle dens koeffisienter a ij = 0 for i ≠ j, dvs.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Matrisen er diagonal.

Teorem(beviset er ikke gitt her). Enhver kvadratisk form kan reduseres til en kanonisk form ved å bruke en ikke-degenerert lineær transformasjon.

La oss for eksempel redusere den kvadratiske formen til den kanoniske formen
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

For å gjøre dette, velg først hele kvadratet for variabelen x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Nå velger vi hele kvadratet for variabelen x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Deretter bringer en ikke-degenerert lineær transformasjon y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 og y 3 \u003d x 3 denne kvadratiske formen til den kanoniske formen f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20) y 3 2 .

Merk at den kanoniske formen til en kvadratisk form er definert tvetydig (den samme kvadratiske formen kan reduseres til den kanoniske formen på forskjellige måter). Imidlertid har kanoniske former oppnådd ved forskjellige metoder en rekke felles egenskaper. Spesielt er antallet ledd med positive (negative) koeffisienter av en kvadratisk form ikke avhengig av hvordan formen reduseres til denne formen (for eksempel vil det i det betraktede eksemplet alltid være to negative og en positiv koeffisient). Denne egenskapen kalles treghetsloven til kvadratiske former.

La oss verifisere dette ved å redusere den samme kvadratiske formen til den kanoniske formen på en annen måte. La oss starte transformasjonen med variabelen x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, hvor y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 og y 3 = x 1 . Her en positiv koeffisient 2 for y 3 og to negative koeffisienter (-3) for y 1 og y 2 (og ved bruk av en annen metode fikk vi en positiv koeffisient 2 for y 1 og to negative koeffisienter - (-5) for y 2 og (-1/20) for y 3).

Det bør også bemerkes at rangeringen av en matrise av en kvadratisk form, kalt rangeringen av den kvadratiske formen, er lik antall ikke-null koeffisienter for den kanoniske formen og endres ikke under lineære transformasjoner.

Den kvadratiske formen f(X) kalles positivt (negativ) sikker, hvis for alle verdier av variablene som ikke er lik null samtidig, er den positiv, dvs. f(X) > 0 (negativ, dvs.
f(X)< 0).

For eksempel er kvadratisk form f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 positiv bestemt, fordi er summen av kvadrater, og kvadratisk form f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 er negativ bestemt, fordi representerer det kan representeres som f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

I de fleste praktiske situasjoner er det noe vanskeligere å fastslå fortegnsbestemtheten til en kvadratisk form, så en av følgende teoremer brukes til dette (vi formulerer dem uten bevis).

Teorem. En kvadratisk form er positiv (negativ) bestemt hvis og bare hvis alle egenverdiene til matrisen er positive (negative).

Teorem (Sylvesters kriterium). En kvadratisk form er positiv bestemt hvis og bare hvis alle hovedbirollene i matrisen til denne formen er positive.

Major (hjørne) moll Den k-te orden av matrisen A av n-te orden kalles determinanten til matrisen, sammensatt av de første k radene og kolonnene i matrisen A ().

Legg merke til at for negativ-bestemte kvadratiske former veksler fortegnene til de viktigste mindreårige, og førsteordens moll må være negativ.

For eksempel undersøker vi den kvadratiske formen f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 for tegnbestemthet.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Derfor er den kvadratiske formen positiv bestemt.

Metode 2. Hovedmoll av første orden av matrisen A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hovedmoll av andre orden D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Derfor, ifølge Sylvester-kriteriet, den kvadratiske formen er positiv bestemt.

Vi undersøker en annen kvadratisk form for tegnbestemthet, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. La oss konstruere en matrise med kvadratisk form А = . Den karakteristiske ligningen vil ha formen = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Derfor er den kvadratiske formen negativ bestemt.