Bestem hellingsvinkelen til tangenten til grafen til funksjonen. Ligningen for tangenten til grafen til funksjonen

Det er gitt 8 eksempler på faktorisering av polynomer. De inkluderer eksempler med løsning av firkanter og biquadratiske ligninger, eksempler med tilbakevendende polynomer, og eksempler med å finne heltallsrøtter av tredje- og fjerdegradspolynomer.

1. Eksempler med løsning av en andregradsligning

Eksempel 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Løsning

Ta ut x 2 for parentes:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Ligningsrøtter:
, .

.

Svar

Eksempel 1.2

Faktorering av et tredjegrads polynom:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Løsning

Vi tar x ut av parentes:
.
Vi løser den andregradsligningen x 2 + 6 x + 9 = 0:
Dens diskriminerende er .
Siden diskriminanten er lik null, er røttene til ligningen multipler: ;
.

Herfra får vi dekomponeringen av polynomet i faktorer:
.

Svar

Eksempel 1.3

Faktorering av et femtegrads polynom:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Løsning

Ta ut x 3 for parentes:
.
Vi løser den andregradsligningen x 2 - 2 x + 10 = 0.
Dens diskriminerende er .
Siden diskriminanten er mindre enn null, er røttene til ligningen komplekse: ;
, .

Faktoriseringen av et polynom har formen:
.

Hvis vi er interessert i å faktorisere med reelle koeffisienter, så:
.

Svar

Eksempler på faktorisering av polynomer ved hjelp av formler

Eksempler med biquadratiske polynomer

Eksempel 2.1

Faktoriser det biquadratiske polynomet:
x 4 + x 2 - 20.

Løsning

Bruk formlene:
en 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
en 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Svar

Eksempel 2.2

Faktorering av et polynom som reduserer til en biquadratisk:
x 8 + x 4 + 1.

Løsning

Bruk formlene:
en 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
en 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Svar

Eksempel 2.3 med rekursivt polynom

Faktorering av det rekursive polynomet:
.

Løsning

Det rekursive polynomet har en oddetall. Derfor har den en rot x = - 1 . Vi deler polynomet med x - (-1) = x + 1. Som et resultat får vi:
.
Vi gjør en erstatning:
, ;
;


;
.

Svar

Eksempler på faktorisering av polynomer med heltallsrøtter

Eksempel 3.1

Faktorering av et polynom:
.

Løsning

Anta ligningen

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Så vi har funnet tre røtter:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Siden det opprinnelige polynomet er av tredje grad, har det ikke mer enn tre røtter. Siden vi har funnet tre røtter, er de enkle. Deretter
.

Svar

Eksempel 3.2

Faktorering av et polynom:
.

Løsning

Anta ligningen

har minst én heltallsrot. Da er det divisor av tallet 2 (et medlem uten x ). Det vil si at hele roten kan være ett av tallene:
-2, -1, 1, 2 .
Bytt ut disse verdiene én etter én:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Hvis vi antar at denne ligningen har en heltallsrot, så er den en divisor av tallet 2 (et medlem uten x ). Det vil si at hele roten kan være ett av tallene:
1, 2, -1, -2 .
Erstatter x = -1 :
.

Så vi har funnet en annen rot x 2 = -1 . Det ville være mulig, som i forrige tilfelle, å dele polynomet med , men vi vil gruppere begrepene:
.

Siden ligningen x 2 + 2 = 0 har ingen reelle røtter, så har faktoriseringen av polynomet formen.

Det firkantede trinomium kalles et polynom av formen ax2+bx +c, hvor x- variabel, en,b,c er noen tall, og a ≠ 0.

Koeffisient en kalt senior koeffisient, c – gratis medlem kvadratisk trinomium.

Eksempler på kvadratiske trinomialer:

2 x 2 + 5x + 4(her en = 2, b = 5, c = 4)

x 2 - 7x + 5(her en = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9(her en = 9, b = 9, c = -9)

Koeffisient b eller koeffisient c eller begge koeffisientene kan være lik null samtidig. For eksempel:

5 x 2 + 3x(hera = 5b = 3c = 0, så verdien av c er ikke i ligningen).

6x 2 - 8 (hera=6, b=0, c=-8)

2x2(hera=2, b=0, c=0)

Verdien av en variabel der polynomet forsvinner kalles polynomrot.

For å finne røttene til et kvadratisk trinomiumax2+ bx + c, vi må likestille det til null -
dvs. løse den andregradsligningenax2+ bx + c= 0 (se avsnittet "Kvadrisk ligning").

Faktorisering av et kvadratisk trinomium

Eksempel:

Vi faktoriserer trinomial 2 x 2 + 7x - 4.

Vi ser koeffisienten en = 2.

La oss nå finne røttene til trinomialet. For å gjøre dette, setter vi likhetstegn mellom den til null og løser ligningen

2x 2 + 7x - 4 = 0.

Hvordan en slik likning løses - se avsnittet "Røtters formler kvadratisk ligning. Diskriminerende". Her navngir vi umiddelbart resultatet av beregningene. Trinomialet vårt har to røtter:

x 1 \u003d 1/2, x 2 \u003d -4.

La oss erstatte verdiene til røttene i formelen vår, og ta ut fra parentes verdien av koeffisienten en, og vi får:

2x 2 + 7x - 4 = 2(x - 1/2) (x + 4).

Resultatet som oppnås kan skrives annerledes ved å multiplisere koeffisienten 2 med binomialet x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

Problemet er løst: trinomialet dekomponeres i faktorer.

En slik dekomponering kan oppnås for ethvert kvadratisk trinomium med røtter.

MERK FØLGENDE!

Hvis diskriminanten til et kvadrattrinomial er null, har dette trinomialet én rot, men når trinomialet dekomponeres, tas denne roten som verdien av to røtter - det vil si som samme verdi x 1 ogx 2 .

For eksempel har et trinomium en rot lik 3. Deretter x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlig informasjon når som helst når du kontakter oss.

Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige varsler og meldinger.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Offentliggjøring til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettssaker, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre formål av allmenn interesse.
• Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

På nåværende stadium utvikling av utdanning som en av hovedoppgavene er dannelsen av en kreativt tenkende personlighet. Evnen til kreativitet hos elevene kan bare utvikles dersom de er systematisk involvert i det grunnleggende. forskningsaktiviteter. Grunnlaget for at studentene skal bruke sine kreative krefter, evner og talenter er dannet fullverdig kunnskap og ferdigheter. I denne forbindelse er problemet med å danne et system grunnleggende kunnskap og ferdigheter for hvert emne skolekurs matematikk er av stor betydning. Samtidig bør fullverdige ferdigheter være didaktisk formål ikke individuelle oppgaver, men et nøye gjennomtenkt system av dem. I selve vid forstand Et system forstås som et sett av interrelaterte samvirkende elementer som har integritet og en stabil struktur.

Tenk på en metodikk for å lære elevene hvordan de kan tegne en likning av en tangent til en funksjonsgraf. I hovedsak er alle problemer med å finne tangentligningen redusert til behovet for å velge fra settet (skjær, familie) av linjer de av dem som tilfredsstiller et visst krav– tangerer grafen til en funksjon. I dette tilfellet kan settet med linjer som valget utføres fra spesifiseres på to måter:

a) et punkt som ligger på xOy-planet (sentral blyant av linjer);
b) vinkelkoeffisient (parallell bunt av linjer).

I denne forbindelse, når vi studerte emnet "Tangent til grafen til en funksjon" for å isolere elementene i systemet, identifiserte vi to typer oppgaver:

1) oppgaver på en tangent, punkt som den passerer gjennom;
2) oppgaver på en tangent gitt av skråningen.

Å lære å løse problemer på en tangent ble utført ved hjelp av algoritmen foreslått av A.G. Mordkovich. Dens grunnleggende forskjell fra de allerede kjente er at abscissen til tangentpunktet er angitt med bokstaven a (i stedet for x0), i forbindelse med hvilken tangentligningen har formen

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(sammenlign med y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Dette metodisk teknikk, etter vår mening, lar elevene raskt og enkelt innse hvor i den generelle tangentligningen koordinatene til det gjeldende punktet er skrevet, og hvor er berøringspunktene.

Algoritme for å kompilere likningen av tangenten til grafen til funksjonen y = f(x)

1. Angi abscissen til kontaktpunktet med bokstaven a.
2. Finn f(a).
3. Finn f "(x) og f "(a).
4. Bytt inn de funnet tallene a, f (a), f "(a). generell ligning tangent y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Denne algoritmen kan kompileres på grunnlag av studentenes uavhengige utvalg av operasjoner og rekkefølgen av deres utførelse.

Det har praksis vist konsekvent løsning hver av nøkkeloppgavene ved hjelp av algoritmen lar deg danne muligheten til å skrive tangenslikningen til grafen til funksjonen i trinn, og trinnene i algoritmen tjener som sterke punkter for handlinger. Denne tilnærmingen tilsvarer teorien om fase-for-trinn-dannelse mentale handlinger utviklet av P.Ya. Galperin og N.F. Talyzina.

I den første typen oppgaver ble to nøkkeloppgaver identifisert:

• tangenten går gjennom et punkt som ligger på kurven (oppgave 1);
• tangenten går gjennom et punkt som ikke ligger på kurven (Oppgave 2).

Oppgave 1. Lik tangenten til grafen til funksjonen ved punktet M(3; – 2).

Løsning. Punktet M(3; – 2) er kontaktpunktet, siden

1. a = 3 - abscisse av berøringspunktet.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 er tangentligningen.

Oppgave 2. Skriv likningene til alle tangentene til grafen til funksjonen y = - x 2 - 4x + 2, som går gjennom punktet M(- 3; 6).

Løsning. Punktet M(– 3; 6) er ikke et tangentpunkt, siden f(– 3) 6 (fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangentligning.

Tangenten går gjennom punktet M(– 3; 6), derfor tilfredsstiller dens koordinater tangensligningen.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Hvis a = – 4, er tangentligningen y = 4x + 18.

Hvis a \u003d - 2, har tangentligningen formen y \u003d 6.

I den andre typen vil nøkkeloppgavene være følgende:

• tangenten er parallell med en rett linje (oppgave 3);
• tangenten går i en eller annen vinkel til den gitte linjen (Oppgave 4).

Oppgave 3. Skriv likningene til alle tangenter til grafen til funksjonen y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, parallelt med linjen y \u003d 9x + 1.

1. a - abscisse av berøringspunktet.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Men på den annen side, f "(a) \u003d 9 (parallelismebetingelse). Så vi må løse ligningen 3a 2 - 6a \u003d 9. Dens røtter a \u003d - 1, a \u003d 3 (fig. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 er tangentligningen;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 er tangentligningen.

Oppgave 4. Skriv likningen av tangenten til grafen til funksjonen y = 0,5x 2 - 3x + 1, passerer i en vinkel på 45 ° til den rette linjen y = 0 (fig. 4).

Løsning. Fra betingelsen f "(a) \u003d tg 45 ° finner vi a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - abscisse av berøringspunktet.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - ligningen til tangenten.

Det er lett å vise at løsningen av ethvert annet problem reduseres til løsningen av ett eller flere nøkkelproblemer. Tenk på følgende to problemer som et eksempel.

1. Skriv tangentlikningene til parablen y = 2x 2 - 5x - 2, hvis tangentene skjærer hverandre i rett vinkel og en av dem berører parablen i punktet med abscissen 3 (fig. 5).

Løsning. Siden abscissen til kontaktpunktet er gitt, reduseres den første delen av løsningen til nøkkelproblemet 1.

1. a = 3 - abscisse av berøringspunktet til en av sidene rett vinkel.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - ligningen til den første tangenten.

La a være helningen til den første tangenten. Siden tangentene er vinkelrette, er helningsvinkelen til den andre tangenten. Fra ligningen y = 7x – 20 av den første tangenten har vi tg a = 7. Finn

Det betyr at skråningen den andre tangenten er .

Den videre løsningen er redusert til nøkkeloppgave 3.

La B(c; f(c)) være tangentpunktet til den andre linjen, da

1. - abscisse av det andre kontaktpunktet.
2.
3.
4.
er ligningen til den andre tangenten.

Merk. Vinkelkoeffisienten til tangenten kan lettere finnes hvis elevene kjenner forholdet mellom koeffisientene til vinkelrette linjer k 1 k 2 = - 1.

2. Skriv likningene til alle vanlige tangenter til funksjonsgrafer

Løsning. Problemet er redusert til å finne abscissen til de vanlige tangentpunktene, det vil si å løse nøkkeloppgave 1 i generelt syn, kompilering av et ligningssystem og dets påfølgende løsning (fig. 6).

1. La a være abscissen til berøringspunktet som ligger på grafen til funksjonen y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. La c være abscissen til tangentpunktet som ligger på grafen til funksjonen
2.
3. f "(c) = c.
4.

Siden tangentene er vanlige, altså

Så y = x + 1 og y = - 3x - 3 er vanlige tangenter.

Hovedformålet med de vurderte oppgavene er å forberede studentene på selverkjennelse av typen nøkkeloppgave når de skal løse flere utfordrende oppgaver som krever visse forskningsferdigheter (evnen til å analysere, sammenligne, generalisere, fremsette en hypotese, etc.). Slike oppgaver inkluderer enhver oppgave der nøkkeloppgave inkludert som en komponent. Tenk på problemet som et eksempel ( omvendt problem 1) å finne en funksjon etter familien til dens tangenter.

3. For hvilke b og c er linjene y \u003d x og y \u003d - 2x tangent til grafen til funksjonen y \u003d x 2 + bx + c?

La t være abscissen til kontaktpunktet til linjen y = x med parabelen y = x 2 + bx + c; p er abscissen til kontaktpunktet til linjen y = - 2x med parabelen y = x 2 + bx + c. Da vil tangentligningen y = x ha formen y = (2t + b)x + c - t 2 , og tangentligningen y = - 2x vil ha formen y = (2p + b)x + c - p 2 .

Komponer og løs et ligningssystem

Svar:

Tenk på følgende figur:

Den viser en funksjon y = f(x) som er differensierbar i punktet a. Merket punkt M med koordinater (a; f(a)). Gjennom vilkårlig poeng P(a + ∆x; f(a + ∆x)) i grafen ble en sekant MR tegnet.

Hvis nå punktet P forskyves langs grafen til punktet M, vil den rette linjen MP rotere rundt punktet M. I dette tilfellet vil ∆x tendere til null. Herfra kan vi formulere definisjonen av en tangent til grafen til en funksjon.

Tangent til funksjonsgraf

Tangenten til grafen til funksjonen er grenseposisjonen til sekanten når økningen av argumentet har en tendens til null. Det skal forstås at eksistensen av den deriverte av funksjonen f i punktet x0 betyr at det på dette punktet av grafen er tangent til ham.

I dette tilfellet vil stigningstallet til tangenten være lik den deriverte av denne funksjonen på dette punktet f’(x0). Dette er geometrisk betydning derivat. Tangenten til grafen til funksjonen f som kan differensieres i punktet x0 er en rett linje som går gjennom punktet (x0;f(x0)) og har en helning f’(x0).

Tangentligning

La oss prøve å få ligningen for tangenten til grafen til en funksjon f i punktet A(x0; f(x0)). Ligningen til en rett linje med en helning k har neste visning:

Siden helningen vår er lik den deriverte f'(x0), så vil ligningen ha følgende form: y = f'(x0)*x + b.

La oss nå beregne verdien av b. For å gjøre dette bruker vi det faktum at funksjonen går gjennom punkt A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, herfra uttrykker vi b og får b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Vi erstatter den resulterende verdien i tangentligningen:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Tenk på følgende eksempel: finn ligningen for tangenten til grafen til funksjonen f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 ved punktet x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Erstatt de oppnådde verdiene i tangentformelen, vi får: y = 1 + 4*(x - 2). Åpne parentesene og legge til som vilkår vi får: y = 4*x - 7.

Svar: y = 4*x - 7.

Generelt skjema for kompilering av tangentligningen til grafen til funksjonen y = f(x):

1. Bestem x0.

2. Beregn f(x0).

3. Beregn f'(x)