• opplæringen

Alle sammen god dag. I denne artikkelen ønsker jeg å vise en av de grafiske byggemetodene matematiske modeller for dynamiske systemer, som kalles obligasjonsgraf("bond" - forbindelser, "graf" - graf). I russisk litteratur fant jeg beskrivelser av denne metoden bare i Tomsky Study Guide polyteknisk universitet, A.V. Voronin "MODELING OF MECHATRONIC SYSTEMS" 2008. Vis også den klassiske metoden gjennom Lagrange-ligningen av 2. type.

Lagrange-metoden

Jeg vil ikke male teorien, jeg vil vise stadier av beregninger og med noen få kommentarer. Personlig synes jeg det er lettere å lære av eksempler enn å lese teorien 10 ganger. Det virket for meg at i russisk litteratur er forklaringen på denne metoden, og faktisk matematikk eller fysikk, veldig rik komplekse formler, som følgelig krever en seriøs matematisk bakgrunn. Mens jeg studerte Lagrange-metoden (studerte ved Torino Polytechnic University, Italia), studerte jeg russisk litteratur for å sammenligne beregningsmetoder, og det var vanskelig for meg å følge fremdriften med å løse denne metoden. Husker til og med modellkurs i Kharkov luftfartsinstitutt”, var produksjonen av slike metoder veldig tungvint, og ingen gadd å prøve å forstå dette problemet. Dette er det jeg bestemte meg for å skrive, en manual for byggemattemodeller i henhold til Lagrange, som det viste seg, er det ikke i det hele tatt vanskelig, det er nok å vite hvordan man beregner tidsderivater og delvise derivater. For mer komplekse modeller legges det til rotasjonsmatriser, men det er heller ikke noe komplisert i dem.

Funksjoner ved modelleringsmetoder:

• Newton Euler: vektorligninger basert på dynamisk likevekt styrker (kraft) og øyeblikk
• Lagrange: skalare ligninger basert på tilstandsfunksjoner relatert til kinetikk og potensial energi
• obligasjonsgraf: flytbasert metode kraft (kraft) mellom systemelementer

La oss begynne med et enkelt eksempel. Vekt med fjær og demper. Vi neglisjerer tyngdekraften.

Figur 1. Vekt med fjær og demper

Først av alt definerer vi:

• innledende system koordinater(NSK) eller fast sk R0(i0,j0,k0). Hvor? Du kan stikke fingeren inn i himmelen, men ved å rykke i tuppene til nevronene i hjernen, passerer ideen om å sette NSC på bevegelseslinjen til M1-kroppen.
• koordinatsystemer for hver kropp med masse(vi har M1 R1(i1,j1,k1)), orienteringen kan være vilkårlig, men hvorfor komplisere livet ditt, vi setter det med en minimumsforskjell fra NSC
• generaliserte koordinater q_i (minimal mengde variabler som kan beskrive bevegelsen), i dette eksempletén generalisert koordinat, bevegelse kun langs j-aksen

Fig 2. Legge ned koordinatsystemer og generaliserte koordinater

Fig 3. Plassering og hastighet på kroppen M1

Etter at vi finner de kinetiske (C) og potensielle (P) energiene og den dissipative funksjonen (D) for spjeldet i henhold til formlene:

Fig 4. Full formel kinetisk energi

I vårt eksempel er det ingen rotasjon, den andre komponenten er 0.

Figur 5. Beregning av kinetikk, potensiell energi og dissipativ funksjon

Lagrange-ligningen har følgende form:

Fig 6. Lagrange-ligning og Lagrangian

Delta W_i dette er virtuelt arbeid perfeksjonert av påførte krefter og momenter. La oss finne det:

Fig 7. Beregning av virtuelt arbeid

Hvor delta q_1 virtuell bevegelse.

Vi erstatter alt i Lagrange-ligningen:

Figur 8. Den resulterende massemodellen med fjær og demper

Det var her Lagrange-metoden sluttet. Som du kan se, er det ikke så vanskelig, men dette er fortsatt et veldig enkelt eksempel, hvor Newton-Euler-metoden mest sannsynlig vil være enda enklere. For mer komplekse systemer, hvor det vil være flere kropper rotert i forhold til hverandre i forskjellige vinkler, vil Lagrange-metoden være enklere.

Bond graf metode

Jeg skal vise deg med en gang hvordan modellen ser ut i bindingsgrafen for et eksempel med en masse av en fjær og en demper:

Fig 9. Bond-grafmasse med fjær og demper

Her må vi fortelle litt teori, som er nok til å bygge enkle modeller. Hvis noen er interessert, kan du lese boka ( Bond Graph Metodikk) eller ( Voronin A.V. Modellering av mekatroniske systemer: opplæringen. - Tomsk: Publishing House of Tomsk Polytechnic University, 2008).

La oss først definere det komplekse systemer består av flere domener. For eksempel består en elektrisk motor av elektriske og mekaniske deler eller domener.

obligasjonsgraf er basert på kraftutveksling mellom disse domenene, undersystemene. Merk at kraftutveksling, uansett form, alltid bestemmes av to variabler ( variable potenser) som vi kan studere interaksjonen med ulike delsystemer som en del av et dynamisk system (se tabell).

Som det fremgår av tabellen er kraftuttrykket nesten det samme overalt. Oppsummert, Makt- Denne jobben " flyt - f" på " innsats - e».

En innsats(Engelsk) innsats) i det elektriske domenet er det spenning (e), i det mekaniske domenet er det kraft (F) eller moment (T), i hydraulikk er det trykk (p).

Strømme(Engelsk) strømme) i det elektriske domenet er det strømmen (i), i det mekaniske domenet er det hastigheten (v) eller vinkelhastighet(omega), i hydraulikk - flyten eller flyten av væske (Q).

Ved å ta disse notasjonene får vi et uttrykk for makt:

Figur 10. Potensformel når det gjelder potensvariabler

I obligasjonsgrafspråket er en forbindelse mellom to delsystemer som utveksler kraft representert av en obligasjon. knytte bånd). Det er derfor det heter denne metoden obligasjonsgraf eller g raf-forbindelser, koblet graf. Ta i betraktning blokkdiagram bindes i modellen med en elektrisk motor (dette er ikke en bond-graf ennå):

Figur 11. Blokkdiagram over strømflyt mellom domener

Hvis vi har en spenningskilde, genererer den følgelig spenning og gir den til motoren for tilbakespoling (derfor er pilen rettet mot motoren), avhengig av motstanden til viklingen, vises en strøm i henhold til Ohms lov (rettet fra motoren til kilden). Følgelig er en variabel en input til delsystemet, og den andre må være nødvendig. vei ut fra delsystemet. Her er spenningen ( innsats) – inngang, strøm ( strømme) - exit.

Hvis du bruker en gjeldende kilde, hvordan vil diagrammet endre seg? Riktig. Strømmen vil bli rettet til motoren, og spenningen til kilden. Deretter gjeldende ( strømme) - inngangsspenning ( innsats) - exit.

Tenk på et eksempel innen mekanikk. Kraft som virker på en masse.

Figur 12. Kraft påført masse

Blokkdiagrammet vil være som følger:

Fig 13. blokkdiagram

I dette eksemplet, Styrke ( innsats) er inngangsvariabelen for massen. (kraft påført masse)
I følge Newtons andre lov:

Masse svarer med hastighet:

I dette eksemplet, hvis én variabel ( styrke - innsats) er inngang inn i det mekaniske domenet, deretter en annen potensvariabel ( hastighet - strømme) - blir automatisk vei ut.

For å skille hvor inngangen er og hvor utgangen er, brukes en vertikal linje på slutten av pilen (forbindelsen) mellom elementene, denne linjen kalles tegn på årsakssammenheng eller kausalitet (kausalitet). Det viser seg: den påførte kraften er årsaken, og hastigheten er effekten. Dette tegnet er veldig viktig for riktig konstruksjon systemmodeller, siden kausalitet er en konsekvens fysisk oppførsel og kraftutveksling av to delsystemer, så valget av plasseringen av tegnet på kausalitet kan ikke være vilkårlig.

Figur 14. Årsaksnotasjon

Denne vertikale linjen viser hvilket delsystem som mottar kraften ( innsats) og, som en konsekvens, produsere en flyt ( strømme). I masseeksemplet vil det se slik ut:

Figur 14. Kausalitet for kraften som virker på massen

Ved pilen er det tydelig at inngangen for massen - styrke, og utgangen er hastighet. Dette er gjort for ikke å rote til opplegget og systematiseringen av modellbygget med piler.

Neste viktig poeng. Generalisert momentum(mengde bevegelse) og flytte(energivariabler).

Tabell over effekt- og energivariabler i ulike domener

Tabellen ovenfor introduserer ytterligere to fysiske størrelser som brukes i obligasjonsgrafmetoden. De heter generalisert momentum (R) og generalisert forskyvning (q) eller energivariabler, og de kan oppnås ved å integrere effektvariabler over tid:

Figur 15. Sammenheng mellom kraft- og energivariabler

I det elektriske domenet :

I henhold til Faradays lov, Spenning ved endene av lederen er lik den deriverte av magnetisk fluks gjennom denne konduktøren.

MEN Nåværende styrke - fysisk mengde, lik forholdet mellom mengden ladning Q som har passert en tid t gjennom tverrsnitt leder, til verdien av dette tidsintervallet.

Mekanisk domene:

Fra Newtons andre lov, Styrke er den tidsderiverte av momentumet

Og tilsvarende, hastighet- tidsderiverte av forskyvning:

La oss generalisere:

Grunnleggende elementer

Alle elementer i dynamiske systemer, kan deles inn i to-polet og fire-polet komponenter.
Ta i betraktning bipolare komponenter:

Kilder
Kilder er både innsats og flyt. Analogi i det elektriske domenet: kilde til innsats – spenningskilde, strømningskilde – gjeldende kilde. Årsakstegn for kilder bør kun være slike.

Figur 16. Årsakssammenhenger og angivelse av kilder

R-komponent – dissiperende element

Komponent I – treghetselement

Komponent C – kapasitivt element

Som det fremgår av figurene, forskjellige elementer av samme type R,C,I beskrevet av de samme ligningene. BARE det er forskjell for elektrisk kapasitans, du trenger bare å huske det!

Quadripol komponenter:

Tenk på to komponenter transformator og gyrator.

siste viktige komponenter koblinger er i bond-graph-metoden. Det er to typer noder:

Dette er slutten på komponentene.

Hovedtrinnene for å sette ned årsakssammenhenger etter å ha bygget en obligasjonsgraf:

1. Sett kausalitet på alt kilder
2. Gå gjennom alle nodene og skriv ned årsakssammenhenger etter punkt 1
3. Til komponenter I tilordne en inngangskausalitet (innsats er inkludert i denne komponenten), for komponenter C tilordne en utgangskausalitet (innsats kommer ut av denne komponenten)
4. Gjenta punkt 2
5. Tegn årsakssammenhenger for R komponenter

Dette avslutter minikurset om teori. Nå har vi alt vi trenger for å bygge modeller.
La oss løse et par eksempler. La oss begynne med elektrisk krets, er det bedre å forstå analogien med å bygge en obligasjonsgraf.

Eksempel 1

La oss begynne å bygge en bond-graf fra en spenningskilde. Bare skriv Se og legg inn en pil.

Du ser at alt er enkelt! Vi ser videre, R og L er koblet i serie, noe som betyr at den samme strømmen flyter i dem, hvis vi snakker i form av effektvariabler - samme flyt. Hvilken node har samme flyt? Riktig svar er 1-node. Vi fester en kilde, motstand (komponent - R) og induktans (komponent - I) til 1-noden.

Deretter har vi kapasitans og motstand parallelt, noe som betyr at de har samme spenning eller kraft. 0-node vil passe som ingen andre. Vi kobler kapasitansen (komponent C) og motstand (komponent R) til 0-noden.

Node 1 og 0 er også sammenkoblet. Retningen til pilene er valgt vilkårlig, retningen på forbindelsen påvirker kun tegnet i ligningene.

Få følgende lenkegraf:

Nå må vi legge ned årsakssammenhenger. La oss starte med kilden ved å følge instruksjonene for rekkefølgen av påføringen.

1. Vi har en kilde til stress (innsats), en slik kilde har bare ett kausalitetsalternativ - utgang. Vi putter.
2. Så er det komponent I, vi ser på hva som anbefales. Vi putter
3. Vi legger ned for 1-node. Det er
4. En 0-node må ha én inngang og alle utgangsårsakslenker. Vi har en fridag. Vi ser etter komponenter C eller I. Funnet. Vi putter
5. Viser hva som er igjen

Det er alt. Bond-graf bygget. Hurra, kamerater!

Det eneste som gjenstår er å skrive ligningene som beskriver systemet vårt. For å gjøre dette vil vi lage en tabell med 3 kolonner. Den første vil inneholde alle komponentene i systemet, den andre vil inneholde inngangsvariabelen for hvert element, og den tredje vil inneholde utgangsvariabelen for samme komponent. Vi har allerede bestemt inngang og utgang etter årsakssammenheng. Så det burde ikke være noen problemer.

La oss nummerere hver forbindelse for å gjøre det lettere å skrive ligningene. Vi tar likningene for hvert element fra listen over komponentene C, R, I.

Etter å ha kompilert tabellen, definerer vi tilstandsvariablene, i dette eksemplet er det 2, p3 og q5. Deretter må du skrive tilstandsligningene:

Det er alt modellen er klar.

Eksempel 2. Jeg vil bare beklage kvaliteten på bildet, det viktigste er at du kan lese

La oss løse et annet eksempel for mekanisk system, den samme som vi løste ved Lagrange-metoden. Jeg vil vise løsningen uten kommentarer. La oss sjekke hvilken av disse metodene som er enklere, enklere.

I matballen ble begge mattemodellene kompilert med de samme parameterne, oppnådd ved Lagrange-metoden og bond-graph. Resultat nedenfor: Legg til etiketter

LAGRANGE-METODE

Cast metode kvadratisk form til summen av kvadrater, angitt i 1759 av J. Lagrange. La det bli gitt

fra variabler x 0 , x 1 ,..., x n. med koeffisienter fra feltet k egenskaper Det kreves å bringe denne formen til kanonisk. sinn

ved hjelp av ikke-degenerert lineær transformasjon variabler. L. m. består av følgende. Vi kan anta at ikke alle koeffisienter av form (1) er lik null. Derfor er to tilfeller mulige.

1) For noen g, diagonal Da

der formen f 1 (x) ikke inneholder en variabel x g. 2) Hvis alle men deretter

der formen f 2 (x) ikke inneholder to variabler x g og x h. Skjemaene under de firkantede tegnene i (4) er lineært uavhengige. Ved å bruke transformasjoner av formen (3) og (4) form (1) etter endelig antall trinn reduseres til summen av kvadratene av lineært uavhengige lineære former. Ved å bruke partielle derivater kan formlene (3) og (4) skrives som

Tent.: G a n t m a h e r F. R., Theory of Matrices, 2. utgave, Moskva, 1966; K ur o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11. utgave, M., 1975; Alexandrov P.S., Forelesninger om analytisk geometri..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.

Matematisk leksikon. - M.: Sovjetisk leksikon. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Se hva "LAGRANGE METHOD" er i andre ordbøker:

Lagrange-metoden- Lagrange-metoden - en metode for å løse en rekke klasser av problemer matematisk programmering ved å finne sadelpunktet (x*, λ*) til Lagrange-funksjonen., som oppnås ved å likestille de partielle deriverte av denne funksjonen med null med hensyn til ... ... Økonomisk og matematisk ordbok

Lagrange-metoden- En metode for å løse en rekke klasser av matematiske programmeringsproblemer ved å finne sadelpunktet (x*,?*) til Lagrange-funksjonen, som oppnås ved å likestille de partielle deriverte av denne funksjonen med null med hensyn til xi og?i . Se Lagrangian. )