I mer komplekse strukturer Det kan være nødvendig å bruke dekomponeringsteoremet gjentatte ganger. Så, Fig. 2.2 viser dekomponeringen med hensyn til element 7 (øverste linje), og deretter med hensyn til element 8 (nedre linje). De resulterende fire undernettverkene har seriell-parallelle strukturer og krever ikke lenger dekomponering. Det er lett å se at ved hvert trinn reduseres antall elementer i de resulterende subnettene med ett og antallet subnett som krever videre vurdering dobler. Derfor er den beskrevne prosessen i alle fall begrenset, og antallet resulterende serie-parallelle strukturer vil være 2 m, der T - antall grunnstoffer som dekomponeringen måtte utføres i. Kompleksiteten til denne metoden kan estimeres til 2 m, som er mindre enn kompleksiteten til uttømmende søk, men er likevel uakseptabel for å beregne påliteligheten til ekte svitsjenettverk.

Figur 2.2 Sekvensiell nettverksdekomponering

Metode for seksjoner eller samling av stier

La oss vurdere en annen metode for å beregne den strukturelle påliteligheten til nettverk. La oss anta, som før, at det er nødvendig å bestemme sannsynligheten for nettverkstilkobling mellom gitt par noder A,B. Kriteriet for riktig nettverksdrift i i dette tilfellet er tilstedeværelsen av minst én vei for overføring av informasjon mellom de aktuelle nodene. Anta at vi har en liste mulige måter i form av en liste over elementer (noder og kommunikasjonsretninger) inkludert i hver vei. I generell sak banene vil være avhengige, siden ethvert element kan inkluderes i mer enn én bane. Pålitelighet R s enhver s-ro-bane kan beregnes ved å bruke serieforbindelsesformelen R s =p 1s p 2s …p ts , hvor p er - pålitelighet i-th element s-ro bane.

Den nødvendige påliteligheten H AB avhenger av påliteligheten til hver bane og alternativene for deres kryss langs felles elementer. La oss betegne påliteligheten som er sikret av den første r stier, gjennom H r. Å legge til den neste (r+1)-te banen med pålitelighet R r+1 vil åpenbart føre til en økning i strukturell pålitelighet, som nå vil bli bestemt av kombinasjonen av to hendelser: minst en av de første r er operative stier eller den (r+1)'te banen er operativ. Sannsynligheten for forekomsten av denne kombinerte hendelsen tatt i betraktning mulig avhengighet. feil (r+1) - th og andre veier

H r+i =H r +R r+i -R r+1 H r/(r+1), (2.10)

hvor H r/ (r+1) er sannsynligheten for brukbarhet for minst én av de første r-banene, forutsatt at (r+1)-banen er brukbar.

Fra definisjonen betinget sannsynlighet H r/ (r+1) det følger at når man beregner det, må sannsynligheten for riktig drift av alle elementene som er inkludert i den (r+1) th banen settes lik en. For å gjøre det lettere for ytterligere beregninger, presenterer vi det siste uttrykket (2.10) i følgende form:

R r+1 H r/ (r+1) = R r+1 ¤ H r (2.11)

der symbolet (¤) betyr at når du multipliserer, erstattes pålitelighetsindikatorene for alle elementene som er inkludert i de første r banene og felles med (r+l) th banen med én. Med (2.11) i betraktning kan vi omskrive (2.10):

?H r+1 = R r+1 ¤ Q r (2.12)

hvor -Hr+l =Hr+1 -Hr - økning i strukturell pålitelighet med introduksjonen av (r+1) - th bane; Q r =1 - H r er sannsynligheten for at en samtidig feil på de første r banene vil oppstå.

Tatt i betraktning at økningen i reliabilitet?H r+1 er numerisk lik reduksjonen i upålitelighet?Q r+1, får vi følgende ligning i endelige forskjeller:

Q r+1 =R r+1 ¤ Q r (2.13)

Det er lett å sjekke at løsningen til ligning (2.13) er funksjonen

Q r = (1-R 1) ¤ (1-R 2) ¤…¤ (1-R r) ( 2.14)

Når det gjelder uavhengige baner, sammenfaller operasjonen av symbolsk multiplikasjon med ordinær multiplikasjon og uttrykk (2.14), tilsvarende (2.4), gir nedetidskoeffisienten til et system bestående av elementer koblet parallelt. I det generelle tilfellet tvinger behovet for å ta hensyn til de vanlige elementene i baner frem multiplikasjon i henhold til (2.14) i algebraisk form. I dette tilfellet dobles antall ledd i den resulterende formelen med multiplikasjon med hver neste binomial og endelig resultat vil ha 2 r termer, som tilsvarer et fullstendig søk av settet med alle r stier. For eksempel, med r=10 vil antallet ledd i den endelige formelen overstige 1000, som allerede er utenfor rekkevidden av manuell beregning. Med en ytterligere økning i antall stier blir mulighetene til moderne datamaskiner raskt oppbrukt.

Imidlertid gjør egenskapene til den symbolske multiplikasjonsoperasjonen introdusert ovenfor det mulig å kraftig redusere kompleksiteten til beregninger. La oss se på disse egenskapene mer detaljert. I henhold til operasjonen av symbolsk multiplikasjon, gjelder følgende regel for pålitelighetsindikatoren pi for ethvert element:

s jeg ¤ s jeg =p jeg . (2.15)

La oss huske at den andre faktoren (2.15) har betydningen av sannsynligheten for riktig drift av det i-te elementet, forutsatt at det er i god stand, som åpenbart er lik én.

For å forkorte ytterligere beregninger, introduserer vi følgende betegnelse for upåliteligheten til det i-te elementet:

=1-s jeg (2.16)

Med (2.15) og (2.16) i betraktning kan vi skrive følgende enkle regler konvertere uttrykk som inneholder p og p :

p i ¤p i =p i (2.17)

p i p j ¤ =p i p j -p i p s

For et eksempel på bruk av disse reglene ved beregning av pålitelighet, vurder det enkleste kommunikasjonsnettverket vist i. Fig.2.3 Bokstavene plassert ved kantene av grafen indikerer pålitelighetsindikatorene for de tilsvarende kommunikasjonslinjene.

For enkelhets skyld vil vi vurdere nodene som ideelt pålitelige. La oss anta at for kommunikasjon mellom nodene A og B kan alle veier som består av tre eller færre sekvensielt koblede linjer brukes, dvs. et undersett av baner (m) = (ab, cdf, cgb, ahf) bør tas i betraktning. La oss bestemme økningen i pålitelighet gitt av hver påfølgende bane ved å bruke formel (2.12) under hensyntagen til (2.14):

Зr+1=Rr+1¤ (¤1¤…¤) (2,18),

Figur 2.3 - Eksempel på et beregningsnettverk på et begrenset delsett av stier

Figur 2.4 - Et eksempel på et nettverk for beregning av pålitelighet over et komplett sett med baner, hvor Ri=1-R1 er lik (2.16).

Konsekvent bruk av formel (2.18) og reglene for symbolsk multiplikasjon (2.17). til nettverket som vurderes, får vi

Z2 =cdf¤ () =cdf*;

3 =cgb¤ (¤) =cgb**;

Z 4 =ahf¤ (¤¤) =ahf**.

Når vi beregnet siste inkrement, brukte vi regel 4, som kan kalles regelen for absorpsjon av lange kjeder med korte; i dette tilfellet gir applikasjonen b¤cgb=b . Hvis andre baner er tillatt, for eksempel cdhb-banen , da er det ikke vanskelig å beregne økningen i pålitelighet det gir?H 5 =cdhb¤ (a¤ f¤ g¤ af) = =cdfb*a*f*g. Den resulterende nettverkspåliteligheten kan nå beregnes som summen av inkrementene gitt av hver av de betraktede banene:

H R =?H jeg (2.19)

Så, for det betraktede eksemplet, under antagelsen om at pålitelighet. av alle nettverkselementer er den samme, dvs. a=b=c=d=f=h=g=p, vi får H 5 =p 2 +p 3 (1-p 2) + +2p 3 (1-p) (1-p 2) +p 4 (1-p) 3. Ved maskinimplementering kan beregningen også baseres på formel (2.13), idet det tas hensyn til at

Q r =?Q jeg (2.20)

I følge (2.13) har vi følgende gjentakelsesforhold

Q r+jeg =Q r -R r+1 ¤ Q r . (2.21)

På starttilstand Q 0 =l ved hvert påfølgende trinn, fra det tidligere oppnådde uttrykket for Q r, bør man trekke fra produktet av påliteligheten til den neste (r+1)-te banen med det samme uttrykket, der bare pålitelighetsindikatorene for alle elementer inkludert i den (r+1)-te banen må settes lik én.

Som et eksempel, la oss beregne påliteligheten til nettverket vist i fig. 2.4 i forhold til nodene A og B , mellom hvilke det er 11 mulige måter å overføre informasjon på. Alle beregninger er oppsummert i tabell 2.1: en liste over elementer inkludert i hver bane, resultatet av å multiplisere påliteligheten til en gitt bane med verdien av Q r oppnådd ved å vurdere alle tidligere baner, og resultatet av å forenkle innholdet i den tredje. kolonne etter reglene (2.17). Den endelige formelen for q AB er i siste kolonne når den leses fra topp til bunn. Tabellen viser fullstendig alle beregningene som er nødvendige for å beregne den strukturelle påliteligheten til det aktuelle nettverket.

Tabell 2.1 Resultater av beregning av påliteligheten til nettverket vist i fig. 2.4

For å redusere mengden beregning, unngå å utvide parenteser unødvendig; Hvis mellomresultatåpner for forenklinger (å bringe lignende termer, sette en felles faktor ut av parentes, etc.), bør de utføres.

La oss forklare flere beregningstrinn. Siden Q 0 = 1 (i fravær av baner er nettverket brutt), så for Q 1 fra (2.21) Q 1 =1 - ab=ab. Vi tar neste steg (6.21) for Q 2 =ab-fghab==ab*fgh osv.

La oss vurdere mer detaljert trinnet der bidraget til sti 9 tas i betraktning. Produktet av pålitelighetsindikatorene til dets bestanddeler, skrevet i den andre kolonnen i tabell 2.1, overføres til den tredje. Neste inn firkantede parenteser sannsynligheten for å bryte alle de foregående åtte banene er skrevet ned, akkumulert i den fjerde kolonnen (startende fra første rad), under hensyntagen til regelen (2.15), ifølge hvilken pålitelighetsindikatorene for alle elementene som er inkludert i bane 9 erstattes av seg. Bidraget til den fjerde, sjette og syvende linjen viser seg å være null i henhold til regel 1. Deretter forenkles uttrykket i hakeparenteser etter reglene (2.17) som følger: b =b (fhc-hfc-fhc) = bc (h-fh) =bchf . Beregningen utføres tilsvarende for alle andre veier.

Ved å bruke metoden under vurdering kan vi oppnå generell formel strukturell pålitelighet, som i tilfellet kun inneholder 15 termer i stedet for det maksimale antallet 2 11 = 2048, oppnådd ved direkte å multiplisere feilsannsynlighetene til disse banene. Når du implementerer metoden i en maskin, er det praktisk å representere alle nettverkselementer i posisjonskode som en streng av biter og bruke innebygde boolske funksjoner for å implementere logiske elementer av transformasjoner (2.17).

Til nå har vi vurdert indikatorer for den strukturelle påliteligheten til nettverket i forhold til et utvalgt nodepar. Totaliteten av slike indikatorer for alle eller en viss undergruppe av par kan ganske fullt karakterisere den strukturelle påliteligheten til nettverket som helhet. Noen ganger brukes et annet, integrert, kriterium for strukturell pålitelighet. Etter dette kriteriet anses et nettverk som sunt dersom det er kommunikasjon mellom alle dets noder og det stilles krav til sannsynligheten for en slik hendelse.

For å beregne strukturell pålitelighet ved å bruke dette kriteriet, er det nok å introdusere en generalisering av konseptet med en bane i form av et tre som forbinder alle gitte nettverksnoder. Deretter vil nettverket kobles til hvis det er minst ett koblingstre, og beregningen kommer ned til å multiplisere feilsannsynlighetene til alle trærne som vurderes, under hensyntagen til tilstedeværelsen av vanlige elementer. Sannsynlighet. Qs svikt i det s-te treet bestemmes på samme måte som sannsynligheten for banefeil

hvor p er - pålitelighetsindikator i-ro-element inkludert i s-e tre; ns antall elementer i det s-te treet.

La oss for eksempel vurdere det enkleste nettverket i form av en trekant, en side. som er vektet av pålitelighetsindikatorene a, b, c tilsvarende grener. For at et slikt nettverk skal kobles til, er det tilstrekkelig at det finnes minst ett av trærne ab, bc, ca . Ved å bruke gjentaksrelasjon (2.12), bestemmer vi sannsynligheten for tilkobling til dette nettverket H . cb =ab+bca+cab. Hvis a=b=c=p , vi får neste verdi sannsynlighet for tilkobling, som er lett å sjekke med brute force: H . cb =3р 2 -2р 3 .

For å beregne sannsynligheten for tilkobling av tilstrekkelig forgrenede nettverk, i stedet for en liste over koblingstre, er det som regel mer praktisk å bruke en liste over seksjoner (y) som fører til tap av nettverkstilkobling i henhold til kriteriet under vurdering . Det er lett å vise at alle reglene for symbolsk multiplikasjon introdusert ovenfor er gyldige for seksjonen, bare i stedet for pålitelighetsindikatorer for nettverkselementer, bør upålitelighetsindikatorer q=1-p brukes som initialdata . Faktisk, hvis alle stier eller trær kan betraktes som inkludert "parallelt", med tanke på deres gjensidige avhengighet, blir alle seksjoner inkludert i denne betydningen "sekvensielt". La oss betegne sannsynligheten for at det i noen seksjoner s ikke er et eneste brukbart element med р s. Så kan vi skrive

r s =q 1s q 2s …q ms , (2.22)

hvor q er - en indikator på upåliteligheten til i-ro-elementet inkludert i s-e-delen.

Sannsynligheten H cb for nettverkstilkobling kan da representeres på samme måte som (2.14) i symbolsk form

N cb = (1-р 1 ) ¤ ( 1 2 ) ¤…¤ ( 1 r) (2.23)

hvor r - antall seksjoner som vurderes. Med andre ord, for at nettverket skal kunne kobles sammen, er det nødvendig at minst ett element i hver seksjon er operativt samtidig, tatt i betraktning seksjonenes gjensidige avhengighet av felles elementer. Formel (2.23) er på en måte dual i forhold til formel (2.14) og oppnås fra sistnevnte ved å erstatte baner med seksjoner og sannsynlighetene for riktig drift med sannsynlighetene for å være i en tilstand av feil. Tilsvarende dobbelt med formel (2.21) er gjentakelsesrelasjonen

H r+1 =H r - s r+1 ¤ H r (2.24)

Som et eksempel, la oss beregne sannsynligheten for tilkobling av det trekantede nettverket vurdert ovenfor med et sett med seksjoner ab, bc, ca. I følge (2.23) har vi under startbetingelsen H 0 =1 H cd =ab-bca-cab. Med de samme upålitelighetsindikatorene for nettverkselementene a=b=c=q får vi H cb =1-q 2 -2q 2 (1 - q). Dette resultatet faller sammen med det tidligere oppnådd ved bruk av treoppregningsmetoden.

Seksjonsmetoden kan selvfølgelig brukes til å beregne sannsynligheten for nettverkstilkobling i forhold til et utvalgt nodepar, spesielt i tilfeller hvor antall seksjoner i nettverket som vurderes er betydelig mindre antall nuller. Den største effekten når det gjelder å redusere kompleksiteten i beregninger kommer imidlertid fra samtidig bruk av begge metodene, som vil bli diskutert videre.

Å finne en ubestemt integral (et sett med antiderivater eller "antiderivater") betyr å rekonstruere en funksjon fra den kjente deriverte av denne funksjonen. Restaurert sett med antiderivater F(x) + MED for funksjon f(x) tar hensyn til integrasjonskonstanten C. Ved bevegelseshastighet materiell poeng(derivert) bevegelsesloven til dette punktet (antiderivativ) kan gjenopprettes; i henhold til akselerasjonen av et punkts bevegelse - dets hastighet og bevegelsesloven. Som du kan se, er integrering et bredt felt for aktivitetene til fysikkens Sherlock Holmeses. Og i økonomi er mange konsepter representert gjennom funksjoner og deres derivater, og derfor er det for eksempel mulig å gjenopprette volumet av produkter produsert på tilsvarende tidspunkt ved å bruke arbeidsproduktivitet på et bestemt tidspunkt (derivat).

Å finne en ubestemt integral krever et ganske lite antall grunnleggende integrasjonsformler. Men prosessen med å finne det er mye vanskeligere enn bare å bruke disse formlene. All kompleksiteten er ikke knyttet til integrasjon, men til å bringe det integrerbare uttrykket til en form som gjør det mulig å finne det ubestemte integralet ved hjelp av grunnformlene nevnt ovenfor. Dette betyr at for å begynne praksisen med integrering, må du aktivere det du har lært i videregående skole ferdigheter for å transformere uttrykk.

Vi skal lære å finne integraler ved hjelp av egenskaper og tabell over ubestemte integraler fra en leksjon om de grunnleggende begrepene i dette emnet (åpnes i et nytt vindu).

Det finnes flere metoder for å finne integralet, hvorav variabel erstatningsmetode Og integrasjon etter delemetode- et obligatorisk herresett for alle som har bestått høyere matematikk. Imidlertid er det mer nyttig og morsomt å begynne å mestre integrasjon ved å bruke utvidelsesmetoden, basert på følgende to teoremer om egenskapene til det ubestemte integralet, som vi gjentar her for enkelhets skyld.

Teorem 3. Konstantfaktoren i integranden kan tas ut av tegnet til det ubestemte integralet, dvs.

Teorem 4. Ubestemt integral av en algebraisk sum endelig antall funksjoner er like algebraisk sum ubestemte integraler av disse funksjonene, dvs.

(2)

I tillegg kan følgende regel være nyttig i integrasjon: hvis uttrykket av integranden inneholder en konstant faktor, multipliseres uttrykket av antideriverten med inversen av konstantfaktoren, dvs.

(3)

Siden denne leksjonen er en introduksjon til løsning av integreringsproblemer, er det viktig å merke seg to ting som enten allerede innledende fase, eller litt senere kan de overraske deg. Overraskelsen skyldes det faktum at integrasjon er den inverse operasjonen av differensiering og det ubestemte integralet med rette kan kalles "antiderivatet".

Det første du ikke bør bli overrasket over når du integrerer. I tabellen over integraler det er formler som ikke har noen analoger blant de deriverte tabellformlene . Dette er følgende formler:

Du kan imidlertid sørge for at de deriverte av uttrykkene på høyresiden av disse formlene faller sammen med de tilsvarende integrandene.

Den andre tingen som ikke burde være overraskende ved integrering. Selv om den deriverte av enhver elementær funksjon også er en elementær funksjon, ubestemte integraler av noen elementære funksjoner er ikke lenger elementære funksjoner . Eksempler på slike integraler kan være følgende:

For å utvikle integrasjonsteknikker vil følgende ferdigheter være nyttige: å redusere brøker, dele et polynom i telleren av en brøk med et monom i nevneren (for å få summen av ubestemte integraler), konvertere røtter til potenser, multiplisere et monom med en polynom, heve til en potens. Disse ferdighetene er nødvendige for transformasjoner av integranden, som skal resultere i summen av integralene som er tilstede i tabellen over integraler.

Å finne ubestemte integraler sammen

Eksempel 1. Finn det ubestemte integralet

.

Løsning. Vi ser i nevneren til integranden et polynom der x er kvadratisk. Dette er et nesten sikkert tegn på at du kan bruke tabellintegral 21 (med en arctangent som resultat). Vi tar ut faktor-to fra nevneren (det er en slik egenskap ved integralet - konstantfaktoren kan tas ut utover fortegnet til integralet; den ble nevnt ovenfor som setning 3). Resultatet av alt dette:

Nå er nevneren summen av kvadrater, som betyr at vi kan bruke den nevnte tabellintegralen. Til slutt får vi svaret:

.

Eksempel 2. Finn det ubestemte integralet

Løsning. Vi bruker igjen teorem 3 - egenskapen til integralet, på grunnlag av hvilken den konstante faktoren kan tas ut av tegnet til integralet:

Vi bruker formel 7 fra tabellen over integraler (variabel til en potens) på integrandfunksjonen:

.

Vi reduserer de resulterende brøkene og vi har det endelige svaret:

Eksempel 3. Finn det ubestemte integralet

Løsning. Ved å bruke først teorem 4 og deretter teorem 3 på egenskaper, finner vi dette integralet som summen av tre integraler:

Alle tre oppnådde integraler er tabellformede. Vi bruker formel (7) fra tabellen over integraler for n = 1/2, n= 2 og n= 1/5, og deretter

kombinerer alle tre vilkårlige konstanter som ble introdusert når finne tre integraler. I lignende situasjoner bør derfor bare én vilkårlig integrasjonskonstant introduseres.

Eksempel 4. Finn det ubestemte integralet

Løsning. Når nevneren til integranden inneholder en monomial, kan vi dele telleren med nevneren ledd for ledd. Det opprinnelige integralet ble til summen av to integraler:

.

For å bruke tabellintegralen transformerer vi røttene til potenser og her er det endelige svaret:

Vi fortsetter å finne ubestemte integraler sammen

Eksempel 7. Finn det ubestemte integralet

Løsning. Hvis vi transformerer integranden ved å kvadrere binomialet og dele telleren med nevneren ledd for ledd, så blir det opprinnelige integralet summen av tre integraler.

Denne korte leksjonen vil ikke bare hjelpe deg å lære typisk oppgave, som er ganske vanlig i praksis, men også for å konsolidere materialene til artikkelen Utvidelse av funksjoner til potensserier. Vi trenger tabell over funksjonsutvidelser i kraftserie , som kan fås på siden Matematiske formler og tabeller. I tillegg må leseren forstå geometrisk betydning definitivt integrert og har grunnleggende integreringsferdigheter.

Det bør også bemerkes at presisjon opptil tre desimaler er den mest populære. Andre beregningspresisjoner er også i bruk, vanligvis 0,01 eller 0,0001.

Nå den andre fasen av løsningen:
Først endrer vi integranden til den resulterende potensserien:

Hvorfor kan dette gjøres i det hele tatt? Dette faktum forklart i leksjonen om utvidelse av funksjoner til kraftserier– graf av et uendelig polynom sammenfaller nøyaktig med grafen til funksjonen! Dessuten, i dette tilfellet er utsagnet sant for enhver verdi av "x", og ikke bare for integrasjonssegmentet.

I neste trinn forenkler vi hvert begrep så mye som mulig:

Det er bedre å gjøre dette med en gang slik at du ikke blir forvirret med unødvendige beregninger ved neste trinn.

Beregningsteknikken er standard: først erstatter vi 0,3 i hvert ledd, og deretter null. For beregninger bruker vi en kalkulator:

Hvor mange termer av serien må tas for de endelige beregningene? Hvis en konvergent serie signalvekslende, Det absolutt feil beregningsmodulo overskrider ikke det siste forkastede leddet i serien. I vårt tilfelle allerede tredje ledd i serien er mindre enn den nødvendige nøyaktigheten på 0,001, og derfor hvis vi forkaster den, vil vi absolutt ikke ta mer enn 0,000972 feil (skjønte hvorfor!). Således, for den endelige beregningen, er de to første leddene tilstrekkelige: .

Svare: , nøyaktig til 0,001

Hva slags tall viste dette seg å være? geometrisk punkt syn? er det omtrentlige området til den skraverte figuren (se figuren over).

Eksempel 2

Beregn ca bestemt integral, etter å ha utvidet integranden tidligere til en potensserie, nøyaktig til 0,001

Dette er et eksempel for uavhengig avgjørelse. Komplett løsning og svaret på slutten av leksjonen.

På en eller annen måte, ufortjent, omgikk jeg arctangenten, og la den aldri ut på rad en gang. La oss rette feilen.

Eksempel 3

Beregn det bestemte integralet med en nøyaktighet på 0,01 ved å bruke serieutvidelsen av integranden.

Løsning: Det er en sterk mistanke om at dette integralet er reversibelt, selv om løsningen ikke er den enkleste.

La oss utvide integranden til en Maclaurin-serie. Vi bruker utvidelsen:

I dette tilfellet


Det var heldig her at gradene til slutt forble intakte, brøkkrefter vil være vanskeligere å integrere.

Slik:

Det skjer sånn. Medlemmer med en handlevogn - det er lettere for en student.

Svare: med en nøyaktighet på 0,01.

Igjen, merk at nøyaktigheten på 0,01 er garantert her bare fordi den konvergerende serien signalvekslende. For rad med positive medlemmer for eksempel en serie En slik vurdering kan ikke utføres, siden mengden av den kasserte "halen" lett kan overstige 0,00089. Hva skal man gjøre i slike tilfeller? Jeg skal fortelle deg det på slutten av leksjonen. I mellomtiden skal jeg fortelle deg en hemmelighet: i alle dagens eksempler veksler radene.

Og selvfølgelig bør du kontrollere seriekonvergensregion. I det betraktede eksemplet er det forresten "kuttet ned": (på grunn av kvadratrot) Vårt segment av integrering ligger imidlertid utelukkende i denne regionen.

Hva skjer hvis du prøver å løse en ulovlig sak som ? Funksjonen vil også bli perfekt utvidet til en serie, og vilkårene for serien vil også integreres perfekt. Men når vi begynner å erstatte verdien øvre grense i følge Newton-Leibniz-formelen ser vi det tallene vil vokse i det uendelige, det vil si hver neste nummer vil være større enn den forrige. Serien konvergerer kun på segmentet. Dette er ikke paranoia i praksis, dette skjer fra tid til annen. Årsaken er en skrivefeil i samlingen av problemer eller opplæringsmanualen, da forfatterne ikke klarte å legge merke til at integrasjonsintervallet "kryper ut" utenfor seriens konvergensregion.

Jeg vil ikke vurdere integralet med arcsine, siden det er oppført i den røde boken. Det er bedre å i tillegg vurdere noe "budsjett":

Eksempel 4

Beregn det bestemte integralet med en nøyaktighet på 0,001 ved å utvide integranden til en serie og integrere denne serien ledd for ledd.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Når det gjelder null, er det ikke en hindring her - integranden tolererer bare reparerbar gap på punktet, og derfor feil integral ikke ligge her, dvs. vi snakker fortsatt om bestemt integral. Når du løser, vil du se at den resulterende serien konvergerer perfekt til null.

Til slutt, la oss se på et par flere eksempler som er litt mer kompliserte.

Eksempel 5

Beregn det bestemte integralet med en nøyaktighet på 0,001 ved å bruke utvidelsen av integranden til en serie og term-for-term integrasjon av denne serien.

Løsning: Ved å analysere integranden kommer vi til den konklusjon at vi må bruke den binomiale utvidelsen. Men først må funksjonen representeres i riktig form:

Dessverre ingen spesielt tilfelle Den binomiale utvidelsen er ikke egnet, og vi må bruke den tungvinte generelle formelen:

I dette tilfellet: ,

Det er bedre å forenkle dekomponeringen så mye som mulig på dette stadiet. Vi bemerker også at vi åpenbart ikke trenger det fjerde leddet i serien, siden selv før integrasjonen dukket brøken opp i den, som åpenbart er mindre enn den nødvendige nøyaktigheten på 0,001.

På denne leksjonen vi skal lære å finne integraler av noen typer brøker. For å lykkes med å mestre materialet, må du tydelig forstå utformingen av artiklene og.

Som allerede nevnt, i integralregning det er ingen praktisk formel for å integrere en brøk:

Og derfor er det en trist trend: Jo mer sofistikert brøken er, desto vanskeligere er det å finne sin integral. I denne forbindelse må du ty til forskjellige triks, som vi nå skal snakke om.

Utvidelsesmetode for teller

Eksempel 1

Finn det ubestemte integralet

Utfør sjekk.

I klassen Ubestemt integral. Eksempler på løsninger vi ble kvitt produktet av funksjoner i integranden, og gjorde det til en sum som er praktisk for integrering. Det viser seg at noen ganger kan du gjøre en brøk om til en sum (forskjell)!

Ved å analysere integrandfunksjonen legger vi merke til at både i telleren og nevneren har vi polynomer av første grad: x og ( x+3). Når telleren og nevneren inneholder polynomer det samme grad, så hjelper følgende kunstige teknikk: i telleren må vi uavhengig organisere det samme uttrykket som i nevneren:

.

Begrunnelsen kan være som følger: "I telleren er det nødvendig å organisere ( x+ 3) for å bringe integralet til tabellen, men hvis jeg legger til en treer til "X", så, for at uttrykket ikke skal endres, må jeg trekke fra de samme tre."

Nå kan du dele telleren med nevneren begrep for begrep:

Som et resultat oppnådde vi det vi ønsket. Vi bruker de to første reglene for integrering:

Ferdig. Om ønskelig, utfør kontrollen selv. merk det

i det andre integralet er "enkelt" kompleks funksjon. Funksjoner ved integreringen ble diskutert i klassen Variabel endringsmetode i ubestemt integral.

Forresten, det betraktede integralet kan også løses ved endring av variabel metode, som betegner , men å skrive løsningen vil være mye lenger.

Eksempel 2

Finn det ubestemte integralet

Kjør sjekk

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Det skal bemerkes at metoden for variabel erstatning ikke lenger vil fungere her.

Oppmerksomhet, viktig! Eksempler nr. 1, 2 er typiske og forekommer hyppig.

Spesielt oppstår slike integraler ofte under løsningen av andre integraler, spesielt når integrering irrasjonelle funksjoner (røtter).

Den vurderte teknikken fungerer også i saken hvis den høyeste graden av telleren er større enn den høyeste graden av nevneren.

Eksempel 3

Finn det ubestemte integralet

Utfør sjekk.

Vi begynner å velge telleren. Algoritmen for å velge telleren er omtrent slik:

1) I telleren må vi organisere 2 x-1, men der x 2. Hva skal jeg gjøre? Jeg konkluderer med 2 x-1 i parentes og multipliser med x, Hvordan: x(2x-1).

2) Nå prøver vi å åpne disse parentesene, hva skjer? Få: (2 x 2 -x). Det er allerede bedre, men ingen toer på x 2 er ikke til å begynne med i telleren. Hva skal jeg gjøre? Vi må gange med (1/2), vi får:

3) Åpne brakettene igjen, får vi:

Det viste seg akkurat x 2! Men problemet er at en ekstra term har dukket opp (-1/2) x. Hva skal jeg gjøre? For å unngå at uttrykket endres, må vi legge til det samme (1/2) i konstruksjonen vår x:

. Livet har blitt lettere. Er det mulig å organisere igjen i telleren (2 x-1)?

4) Det er mulig. La oss prøve: . Åpne parentesene til det andre leddet:

. Beklager, men vi hadde det i forrige trinn (+1/2) x, ikke (+ x). Hva skal jeg gjøre? Du må gange det andre leddet med (+1/2):

.

5) Igjen, for å sjekke, åpne parentesene i andre ledd:

. Nå er det normalt: mottatt (+1/2) x fra den endelige utformingen av punkt 3! Men igjen er det et lite "men", et ekstra begrep (-1/4) har dukket opp, som betyr at vi må legge til (1/4) til uttrykket vårt:

.

Hvis alt er gjort riktig, bør vi få den opprinnelige telleren til integranden når vi åpner alle parentesene. Vi sjekker:

Det fungerte.

Slik:

Ferdig. I det siste leddet brukte vi metoden for å subsumere en funksjon under en differensial.

Hvis vi finner den deriverte av svaret og reduserer uttrykket til fellesnevner, så får vi nøyaktig den opprinnelige integrand-funksjonen

Vurderes dekomponeringsmetode x 2 til en sum er ikke noe mer enn den omvendte handlingen av å bringe et uttrykk til en fellesnevner.

Algoritme for å velge teller i lignende eksempler Det er bedre å gjøre det i utkastform. Med noen ferdigheter vil det fungere mentalt.

I tillegg til valgalgoritmen kan du bruke kolonnedeling av et polynom med et polynom, men jeg er redd forklaringene vil ta enda mer plass, så en annen gang.

Eksempel 4

Finn det ubestemte integralet

Utfør sjekk.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd.