Teorem. Hvis funksjonen f(x) integrerbar på intervallet [ a, b], Hvor en< b , og for alle x ∈ ulikhet holder

Ved å bruke ulikhetene fra teoremet kan man estimere det bestemte integralet, dvs. angi grensene mellom dens betydning. Disse ulikhetene uttrykker et estimat av det bestemte integralet.

Teorem [Gjennomsnittsteorem]. Hvis funksjonen f(x) integrerbar på intervallet [ a, b] og for alle x ∈ ulikhetene tilfredsstilles m ≤ f(x) ≤ M, Det

Hvor m ≤ μ ≤ M.

Kommentar. I tilfelle funksjonen f(x) er kontinuerlig i intervallet [ a, b], likheten fra teoremet tar formen

Hvor c ∈. Tall μ=f(c), definert av denne formelen, kalles gjennomsnittsverdi funksjoner f(x) på segmentet [ a, b]. Denne likheten har følgende geometrisk betydning : firkantet buet trapes, avgrenset av en sammenhengende linje y=f(x) (f(x) ≤ 0), er lik arealet til et rektangel med samme base og høyde lik ordinaten til et punkt på denne linjen.

Eksistensen av et antiderivat for en kontinuerlig funksjon

Først introduserer vi konseptet med en integral med en variabel øvre grense.

La funksjonen f(x) integrerbar på intervallet [ a, b]. Så uansett hva nummeret er x fra [ a, b], funksjon f(x) integrerbar på intervallet [ a, b]. Derfor, i intervallet [ a, b] funksjon definert

som kalles et integral med variabel øvre grense.

Teorem. Hvis integranden er kontinuerlig på intervallet [ a, b], så eksisterer den deriverte av et bestemt integral med en variabel øvre grense og er lik verdien av integranden for denne grensen, dvs.

Konsekvens. Et bestemt integral med en variabel øvre grense er en av antiderivatene for en kontinuerlig integrand. Med andre ord, for enhver funksjon som er kontinuerlig på et intervall er det en antiderivert.

Merknad 1. Merk at hvis funksjonen f(x) integrerbar på intervallet [ a, b], så er integralet med en variabel øvre grense en funksjon av øvre grense. Faktisk, fra St.2 og middelverditeoremet har vi

Merknad 2. Integralet med en variabel øvre grense for integrasjon brukes i definisjonen av mange nye funksjoner, for eksempel, . Disse funksjonene er ikke grunnleggende; som allerede nevnt, uttrykkes ikke antiderivatene til de angitte integrandene gjennom elementære funksjoner.

Grunnleggende regler for integrering

Newton-Leibniz formel

Siden alle to antideriverte funksjoner f(x) avvike med en konstant, så i henhold til forrige teorem kan det hevdes at ethvert antiderivat Φ(x) kontinuerlig på segmentet [ a, b] funksjoner f(x) ser ut som

Hvor C- noen konstante.

Forutsatt i denne formelen x=a Og x=b, ved å bruke St.1 bestemte integraler, finner vi

Disse likhetene innebærer sammenhengen

som kalles Newton-Leibniz formel.

Dermed beviste vi følgende teorem:

Teorem. Sikker integral av kontinuerlig funksjon er lik forskjellen mellom verdiene til noen av antiderivatene for de øvre og nedre grensene for integrasjon.

Newton-Leibniz-formelen kan skrives om som

Endre en variabel i et bestemt integral

Teorem. Hvis

• funksjon f(x) er kontinuerlig i intervallet [ a, b];
• segment [ a, b] er settet med funksjonsverdier φ(t), definert på segmentet α ≤ t ≤ β og har en kontinuerlig derivativ på seg;
• φ(α)=a, φ(β)=b

da er formelen riktig

Formel for integrering etter deler

Teorem. Hvis funksjonene u=u(x), v=v(x) ha kontinuerlige deriverte på intervallet [ a, b], så er formelen gyldig

Søknadsverdi middelverditeoremer ligger i muligheten for å få et kvalitativt estimat av verdien av et visst integral uten å beregne det. La oss formulere : hvis en funksjon er kontinuerlig på et intervall, så er det innenfor dette intervallet et punkt slik at .

Denne formelen er ganske egnet for å grovt estimere integralen til en kompleks eller tungvint funksjon. Det eneste punktet som gjør formelen tilnærmet , er en nødvendighet selvstendig valg prikker Hvis vi tar den enkleste veien - midten av integrasjonsintervallet (som foreslått i en rekke lærebøker), så kan feilen være ganske betydelig. For å få mer eksakt resultat vi anbefaler utfør beregningen i følgende rekkefølge:

Konstruer en graf av en funksjon på intervallet;

Tegn den øvre grensen til rektangelet slik at de avskårne delene av funksjonsgrafen er omtrent lik i areal (dette er nøyaktig det som er vist i figuren ovenfor - to krumlinjede trekanter er nesten identiske);

Bestem ut fra figuren;

Bruk middelverditeoremet.

Som et eksempel, la oss beregne en enkel integral:

Nøyaktig verdi;

For midten av intervallet vi får også en omtrentlig verdi, dvs. klart unøyaktig resultat;

Ved å konstruere en graf med oversiden av rektangelet tegnet i samsvar med anbefalingene, får vi , derav den omtrentlige verdien . Ganske tilfredsstillende resultat, feilen er 0,75 %.

Trapesformel

Nøyaktigheten av beregninger ved bruk av middelverditeoremet avhenger betydelig, som det ble vist, av visuelle formål i henhold til punktplanen. Faktisk, ved å velge, i samme eksempel, poeng eller , kan du få andre verdier av integralet, og feilen kan øke. Subjektive faktorer, grafens skala og kvaliteten på tegningen påvirker resultatet i stor grad. Dette uakseptabelt i kritiske beregninger, så gjelder middelverdisetningen kun for rask kvalitet integrerte estimater.

I denne delen vil vi vurdere en av de mest populære metodene for omtrentlig integrasjon - trapesformel . Hovedideen med å konstruere denne formelen er basert på det faktum at kurven omtrent kan erstattes av en brutt linje, som vist i figuren.

La oss for nøyaktighetens skyld (og i samsvar med figuren) anta at integrasjonsintervallet er delt inn i lik (dette er valgfritt, men veldig praktisk) deler. Lengden på hver av disse delene beregnes av formelen og kalles skritt . Abscissen til partisjonspunktene, hvis gitt, bestemmes av formelen, hvor . Ved å bruke kjente abscisser er det enkelt å beregne ordinater. Slik,

Dette er den trapesformede formelen for saken. Merk at det første leddet i parentes er halvsummen av start- og sluttordinatene, som alle mellomliggende ordinater legges til. For et vilkårlig antall partisjoner av integrasjonsintervallet generell formel trapes har formen: kvadraturformler: rektangler, Simpson, Gauss, etc. De er basert på den samme ideen om å representere en krumlinjet trapes av elementære områder ulike former, derfor, etter å ha mestret den trapesformede formelen, vil det ikke være vanskelig å forstå lignende formler. Mange formler er ikke så enkle som den trapesformede formelen, men de lar deg oppnå resultater med høy nøyaktighet med et lite antall partisjoner.

Ved å bruke den trapesformede formelen (eller lignende), er det mulig å beregne, med den nøyaktigheten som kreves i praksis, både "ikke-utførbare" integraler og integraler av komplekse eller tungvinte funksjoner.

Sikker integral. Eksempler på løsninger

Hei igjen. På denne leksjonen Vi vil analysere i detalj en så fantastisk ting som en bestemt integral. Denne gangen blir introduksjonen kort. Alle. For det er snøstorm utenfor vinduet.

For å lære hvordan du løser bestemte integraler må du:

1) Kunne finne ubestemte integraler.

2) Kunne kalkulere bestemt integral.

Som du kan se, for å mestre et bestemt integral, må du ha en ganske god forståelse av "vanlige" ubestemte integraler. Derfor, hvis du bare begynner å dykke ned i integralregning, og vannkokeren ennå ikke har kokt i det hele tatt, så er det bedre å starte med en leksjon Ubestemt integral. Eksempler på løsninger.

I generelt syn det bestemte integralet er skrevet som følger:

Hva legges til sammenlignet med det ubestemte integralet? Flere begrensninger for integrering.

Nedre grense for integrering
Øvre grense for integrering er standard betegnet med bokstaven.
Segmentet kalles integrasjonssegment.

Før vi kommer til praktiske eksempler, en liten faq om den definitive integralen.

Hva vil det si å løse et bestemt integral?Å løse et bestemt integral betyr å finne et tall.

Hvordan løser man et bestemt integral? Ved å bruke Newton-Leibniz-formelen som er kjent fra skolen:

Det er bedre å skrive om formelen på et eget stykke papir, den skal være foran øynene dine gjennom hele leksjonen.

Trinnene for å løse et bestemt integral er som følger:

1) Først finner vi antiderivative funksjon(ubestemt integral). Legg merke til at konstanten i det bestemte integralet ikke lagt til. Betegnelsen er rent teknisk, og den vertikale pinnen har faktisk ingen matematisk betydning, den er bare en markering. Hvorfor trengs selve opptaket? Forberedelse for å bruke Newton-Leibniz-formelen.

2) Erstatt verdien av den øvre grensen med antiderivertefunksjonen: .

3) Erstatt verdien av den nedre grensen med antiderivertefunksjonen: .

4) Vi beregner (uten feil!) differansen, det vil si at vi finner tallet.

Finnes det alltid en bestemt integral? Nei, ikke alltid.

For eksempel eksisterer ikke integralet, siden integrasjonssegmentet ikke er inkludert i definisjonsdomenet til integranden (verdiene under kvadratrot kan ikke være negativ). Her er et mindre åpenbart eksempel: . Et slikt integral eksisterer heller ikke, siden det ikke er noen tangent ved punktene til segmentet. Forresten, hvem har ikke lest den ennå? metodisk materiale Grafer og grunnleggende egenskaper ved elementære funksjoner– tiden for å gjøre det er nå. Det vil være flott å hjelpe til i løpet av høyere matematikk.

For det for at et bestemt integral i det hele tatt skal eksistere, er det tilstrekkelig at integraden er kontinuerlig i integrasjonsintervallet.

Av ovenstående følger det at den første viktig anbefaling: Før du begynner å løse NOEN bestemt integral, må du sørge for at integranden fungerer er kontinuerlig i integrasjonsintervallet. Da jeg var student hadde jeg gjentatte ganger en hendelse da jeg i lang tid slet med å finne et vanskelig antiderivat, og da jeg endelig fant det, tok jeg hjernen min over et annet spørsmål: «Hva slags tull ble det til å være ?” I en forenklet versjon ser situasjonen omtrent slik ut:

???! Du kan ikke erstatte negative tall under roten! Hva i helvete er dette?! Første uoppmerksomhet.

Hvis du skal løse (i prøvearbeid, på prøve, eksamen) Du får tilbud om en ikke-eksisterende integral som , så må du gi et svar på at integralen ikke eksisterer og begrunne hvorfor.

Kan et bestemt integral være lik et negativt tall? Kanskje. Og et negativt tall. Og null. Det kan til og med vise seg å være uendelig, men det vil det allerede være feil integral, som holdes et eget foredrag.

Kan den nedre grensen for integrering være større enn den øvre grensen for integrering? Kanskje denne situasjonen faktisk oppstår i praksis.

– integralet kan enkelt beregnes ved hjelp av Newton-Leibniz-formelen.

Det du ikke klarer deg uten høyere matematikk? Selvfølgelig uten alle mulige egenskaper. La oss derfor vurdere noen egenskaper til det bestemte integralet.

I en bestemt integral kan du omorganisere øvre og nedre grenser ved å endre tegnet:

For eksempel, i en bestemt integral, før integrasjon, er det tilrådelig å endre grensene for integrasjon til den "vanlige" rekkefølgen:

– i denne formen er det mye mer praktisk å integrere.

– dette gjelder ikke bare for to, men også for en rekke funksjoner.

I en bestemt integral kan man gjennomføre utskifting av integrasjonsvariabel, men sammenlignet med det ubestemte integralet har dette sine egne detaljer, som vi vil snakke om senere.

For en bestemt integral gjelder følgende: integrasjon ved delformel:

Eksempel 1

Løsning:

(1) Vi tar konstanten ut av integrertegnet.

(2) Integrer over bordet ved å bruke den mest populære formelen . Det er tilrådelig å skille den fremkommende konstanten fra og sette den utenfor braketten. Det er ikke nødvendig å gjøre dette, men det er tilrådelig - hvorfor de ekstra beregningene?

. Først erstatter vi den øvre grensen, deretter den nedre grensen. Vi foretar videre beregninger og får det endelige svaret.

Eksempel 2

Beregn bestemt integral

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd, løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.

La oss komplisere oppgaven litt:

Eksempel 3

Beregn bestemt integral

Løsning:

(1) Vi bruker linearitetsegenskapene til det bestemte integralet.

(2) Vi integrerer i henhold til tabellen, mens vi tar ut alle konstantene - de vil ikke delta i erstatningen av øvre og nedre grenser.

(3) For hvert av de tre begrepene bruker vi Newton-Leibniz-formelen:

DET SVAKE LINNET i det bestemte integralet er regnefeil og den vanlige FORVIRRING I TEGN. Vær forsiktig! Spesiell oppmerksomhet Jeg fokuserer på den tredje perioden: – førsteplass i hitparaden av feil på grunn av uoppmerksomhet, veldig ofte skriver de automatisk (spesielt når substitusjonen av øvre og nedre grenser utføres muntlig og ikke er skrevet ut så detaljert). Igjen, studer eksemplet ovenfor nøye.

Det skal bemerkes at den vurderte metoden for å løse et bestemt integral ikke er den eneste. Med litt erfaring kan løsningen reduseres betydelig. For eksempel er jeg selv vant til å løse slike integraler som dette:

Her brukte jeg verbalt linearitetsreglene og verbalt integrert ved hjelp av tabellen. Jeg endte opp med bare én parentes med grensene markert: (i motsetning til tre parenteser i den første metoden). Og inn i "hele" antiderivertefunksjonen byttet jeg først inn 4, deretter -2, og utførte igjen alle handlingene i tankene mine.

Hva er ulempene med den korte løsningen? Alt her er ikke veldig bra med tanke på rasjonaliteten til beregninger, men personlig bryr jeg meg ikke - vanlige brøker Jeg regner med en kalkulator.
I tillegg er det økt risiko for å gjøre en feil i beregningene, så det er bedre for en testudent å bruke den første metoden med "min" metode for å løse, tegnet vil definitivt gå tapt et sted.

Imidlertid er de utvilsomme fordelene med den andre metoden løsningshastigheten, kompakthet av notasjon og det faktum at antiderivatet er i en brakett.

Råd: før du bruker Newton-Leibniz-formelen, er det nyttig å sjekke: ble selve antiderivatet funnet riktig?

Så, i forhold til eksemplet under vurdering: før du erstatter de øvre og nedre grensene med antiderivertefunksjonen, er det tilrådelig å sjekke utkastet om den ubestemte integralen ble funnet riktig? La oss skille:

Den opprinnelige integrandfunksjonen er oppnådd, noe som betyr at det ubestemte integralet er funnet riktig. Nå kan vi bruke Newton-Leibniz-formelen.

En slik kontroll vil ikke være overflødig ved beregning av noen bestemt integral.

Eksempel 4

Beregn bestemt integral

Dette er et eksempel for deg å løse selv. Prøv å løse det på en kort og detaljert måte.

Endre en variabel i et bestemt integral

For et bestemt integral er alle typer substitusjoner gyldige som for det ubestemte integralet. Derfor, hvis du ikke er veldig flink med erstatninger, bør du lese leksjonen nøye Substitusjonsmetode i ubestemt integral.

Det er ikke noe skummelt eller vanskelig i dette avsnittet. Nyheten ligger i spørsmålet hvordan endre grensene for integrasjon ved utskifting.

I eksempler vil jeg prøve å gi typer erstatninger som ennå ikke er funnet noe sted på siden.

Eksempel 5

Beregn bestemt integral

Hovedspørsmålet her handler det overhodet ikke om den definitive integralen, men om hvordan man korrekt utfører utskiftingen. La oss se på tabell over integraler og finne ut hvordan integrand-funksjonen vår ser mest ut? Det er åpenbart at på lang logaritme: . Men det er en avvik, i tabellintegralen under roten, og i vår - "x" til fjerde potens. Ideen om erstatning følger også av resonnementet - det ville være fint å på en eller annen måte gjøre vår fjerde grad om til en firkant. Dette er ekte.

Først forbereder vi vår integral for utskifting:

Fra de ovennevnte betraktningene oppstår en erstatning ganske naturlig:
Dermed blir alt bra i nevneren: .
Vi finner ut hva den gjenværende delen av integranden vil bli til, for dette finner vi differensialen:

Sammenlignet med utskifting i ubestemt integral, legger vi til et ekstra trinn.

Finne nye grenser for integrering.

Det er ganske enkelt. La oss se på erstatningen vår og de gamle grensene for integrering, .

Først erstatter vi den nedre grensen for integrasjon, det vil si null, i erstatningsuttrykket:

Deretter erstatter vi den øvre grensen for integrasjon i erstatningsuttrykket, det vil si roten av tre:

Ferdig. Og bare...

La oss fortsette med løsningen.

(1) I henhold til erstatning skrive et nytt integral med nye grenser for integrasjon.

(2) Dette er den enkleste tabellintegralen, vi integrerer over bordet. Det er bedre å la konstanten ligge utenfor parentesene (du trenger ikke å gjøre dette) slik at det ikke forstyrrer videre beregninger. Til høyre tegner vi en linje som indikerer de nye grensene for integrasjon - dette er forberedelse for å bruke Newton-Leibniz-formelen.

(3) Vi bruker Newton-Leibniz-formelen .

Vi streber etter å skrive svaret i en mest mulig kompakt form her brukte jeg egenskapene til logaritmene.

En annen forskjell fra det ubestemte integralet er at etter at vi har gjort erstatningen, det er ikke nødvendig å utføre omvendte utskiftninger.

Og nå et par eksempler for uavhengig avgjørelse. Hvilke erstatninger du skal gjøre - prøv å gjette på egen hånd.

Eksempel 6

Beregn bestemt integral

Eksempel 7

Beregn bestemt integral

Dette er eksempler du kan bestemme selv. Løsninger og svar på slutten av leksjonen.

Og på slutten av avsnittet viktige poeng, analysen som dukket opp takket være besøkende på nettstedet. Den første angår lovligheten av utskifting. I noen tilfeller kan det ikke gjøres! Således kan eksempel 6, ser det ut til, løses ved å bruke universell trigonometrisk substitusjon, men den øvre grensen for integrering ("pi") ikke inkludert i definisjonsdomene denne tangenten og derfor er denne substitusjonen ulovlig! Slik, "erstatnings"-funksjonen må være kontinuerlig i alt punkter i integrasjonssegmentet.

I en annen e-post jeg fikk neste spørsmål: "Er det nødvendig å endre grensene for integrasjon når vi subsumerer funksjonen under differensialtegnet?" Først ville jeg "avfeie tullet" og automatisk svare "selvfølgelig ikke", men så tenkte jeg på årsaken til et slikt spørsmål og oppdaget plutselig at det ikke var noen informasjon ikke nok. Men det, selv om det er åpenbart, er veldig viktig:

Hvis vi subsumerer funksjonen under differensialtegnet, er det ikke nødvendig å endre grensene for integrasjon! Hvorfor? For i dette tilfellet ingen faktisk overgang til ny variabel. For eksempel:

Og her er summeringen mye mer praktisk enn den akademiske erstatningen med den påfølgende "maling" av nye grenser for integrering. Slik, hvis det bestemte integralet ikke er veldig komplisert, prøv alltid å sette funksjonen under differensialtegnet! Det er raskere, det er mer kompakt, og det er vanlig – som du vil se dusinvis av ganger!

Tusen takk for brevene dine!

Metode for integrering av deler i en bestemt integral

Det er enda mindre nyhet her. Alle beregninger av artikkelen Integrasjon av deler i det ubestemte integral er fullt gyldige for den bestemte integralen.
Det er bare en detalj som er et pluss i formelen for integrering etter deler, grensene for integrasjon er lagt til:

Newton-Leibniz-formelen må brukes to ganger her: for produktet og etter at vi tar integralen.

For eksempelet valgte jeg igjen typen integral som ennå ikke er funnet noe sted på siden. Eksemplet er ikke det enkleste, men veldig, veldig informativt.

Eksempel 8

Beregn bestemt integral

La oss bestemme.

La oss integrere etter deler:

Alle som har problemer med integralen, ta en titt på leksjonen Integraler av trigonometriske funksjoner, er det omtalt i detalj der.

(1) Vi skriver løsningen i samsvar med formelen for integrasjon etter deler.

(2) For produktet bruker vi Newton-Leibniz-formelen. For det gjenværende integralet bruker vi egenskapene til linearitet, og deler det inn i to integraler. Ikke bli forvirret av skiltene!

(4) Vi bruker Newton-Leibniz-formelen for de to funne antiderivatene.

For å være ærlig liker jeg ikke formelen. og, hvis mulig, ... jeg klarer meg uten det i det hele tatt! La oss vurdere den andre løsningen fra mitt synspunkt, den er mer rasjonell.

Beregn bestemt integral

På det første stadiet finner jeg den ubestemte integralen:

La oss integrere etter deler:

Den antiderivative funksjonen er funnet. Konstant inn i dette tilfellet det er ingen vits i å legge til.

Hva er fordelen med en slik tur? Det er ikke nødvendig å "bære rundt" grensene for integrering, det kan faktisk være utmattende å skrive ned de små symbolene på grensene for integrering et dusin ganger

På det andre stadiet sjekker jeg(vanligvis i utkast).

Også logisk. Hvis jeg fant den antideriverte funksjonen feil, vil jeg løse det definitive integralet feil. Det er bedre å finne ut umiddelbart, la oss skille svaret:

Den opprinnelige integrandfunksjonen er oppnådd, noe som betyr at antiderivatfunksjonen er funnet riktig.

Det tredje trinnet er bruken av Newton-Leibniz-formelen:

Og det er en betydelig fordel her! I "min" løsningsmetode er det mye lavere risiko for å bli forvirret i erstatninger og beregninger - Newton-Leibniz-formelen brukes bare én gang. Hvis tekannen løser en lignende integral ved hjelp av formelen (på den første måten), så vil han definitivt gjøre en feil et sted.

Den betraktede løsningsalgoritmen kan brukes for enhver bestemt integral.

Kjære student, skriv ut og lagre:

Hva skal du gjøre hvis du får en bestemt integral som virker komplisert eller det ikke umiddelbart er klart hvordan du skal løse det?

1) Først finner vi det ubestemte integralet (antiderivative funksjon). Hvis det på den første etappen var en bummer, er det ingen vits i å rocke båten ytterligere med Newton og Leibniz. Det er bare én måte - å øke kunnskapsnivået og ferdighetene dine i å løse ubestemte integraler.

2) Vi sjekker den funne antiderivative funksjonen ved differensiering. Hvis det blir funnet feil, vil det tredje trinnet være bortkastet tid.

3) Vi bruker Newton-Leibniz-formelen. Vi utfører alle beregninger EKSTREMT NØYE - dette er oppgavens svakeste ledd.

Og, for en matbit, en integrert for uavhengig løsning.

Eksempel 9

Beregn bestemt integral

Løsningen og svaret er et sted i nærheten.

Den neste anbefalte leksjonen om emnet er Hvordan beregne arealet til en figur ved å bruke et bestemt integral?
La oss integrere etter deler:

Er du sikker på at du løste dem og fikk de samme svarene? ;-) Og det er porno for en gammel kvinne.

Ved en bestemt integral fra en kontinuerlig funksjon f(x) på det siste segmentet [ en, b] (hvor ) er økningen av noen av dets antiderivater på dette segmentet. (Generelt vil forståelsen være merkbart lettere hvis du gjentar emnet for det ubestemte integralet) I dette tilfellet brukes notasjonen

Som kan sees i grafene nedenfor (økningen av antiderivertefunksjonen er indikert med ), det bestemte integralet kan enten være positivt eller negativt tall (Den beregnes som differansen mellom verdien av antiderivatet i øvre grense og verdien i den nedre grensen, dvs. F(b) - F(en)).

Tall en Og b kalles henholdsvis nedre og øvre grense for integrasjon, og segmentet [ en, b] – segment av integrasjon.

Således, hvis F(x) – noen antiderivatfunksjon for f(x), så, i henhold til definisjonen,

(38)

Likhet (38) kalles Newton-Leibniz formel . Forskjell F(b) – F(en) er kort skrevet som følger:

Derfor vil vi skrive Newton-Leibniz-formelen slik:

(39)

La oss bevise at det bestemte integralet ikke avhenger av hvilken antiderivert av integranden som tas når den beregnes. La F(x) og F( X) er vilkårlige antiderivater av integranden. Siden disse er antiderivater med samme funksjon, skiller de seg med en konstant term: Ф( X) = F(x) + C. Det er derfor

Dette fastslår at på segmentet [ en, b] trinn av alle antiderivater av funksjonen f(x) match.

Altså å beregne bestemt integral det er nødvendig å finne et hvilket som helst antiderivat av integranden, dvs. først må du finne ubestemt integral. Konstant MED ekskludert fra senere beregninger. Deretter brukes Newton-Leibniz-formelen: verdien av den øvre grensen erstattes med antiderivertefunksjonen b , videre - verdien av den nedre grensen en og differansen beregnes F(b) - F(a) . Det resulterende tallet vil være et bestemt integral..

På en = b per definisjon akseptert

Eksempel 1.

Løsning. Først, la oss finne det ubestemte integralet:

Bruk av Newton-Leibniz-formelen på antiderivatet

(på MED= 0), får vi

Men når man beregner et bestemt integral, er det bedre å ikke finne antideriverten separat, men umiddelbart skrive integralet i formen (39).

Eksempel 2. Beregn bestemt integral

Løsning. Ved hjelp av formel

Egenskaper til det bestemte integralet

Teorem 2.Verdien av det bestemte integralet avhenger ikke av betegnelsen på integrasjonsvariabelen, dvs.

(40)

La F(x) – antiderivat for f(x). Til f(t) antiderivatet har samme funksjon F(t), der den uavhengige variabelen bare er angitt annerledes. Derfor,

Basert på formel (39) betyr siste likhet integralenes likhet

Teorem 3.Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til det bestemte integralet, dvs.

(41)

Teorem 4.Bestemt integral av en algebraisk sum endelig antall funksjoner er like algebraisk sum bestemte integraler av disse funksjonene, dvs.

(42)

Teorem 5.Hvis integrasjonssegmentet er delt inn i deler, så er det definitive integralet over hele segmentet lik summen bestemte integraler over delene, dvs. Hvis

(43)

Teorem 6.Når du omorganiserer grensene for integrering absolutt verdi det bestemte integralet endres ikke, men bare dets fortegn endres, dvs.

(44)

Teorem 7(middelverditeorem). Sikker integral lik produktet lengden på integrasjonssegmentet til verdien av integranden på et tidspunkt inne i den, dvs.

(45)

Teorem 8.Hvis den øvre grensen for integrasjon er større enn den nedre og integranden er ikke-negativ (positiv), så er den bestemte integralen også ikke-negativ (positiv), dvs. Hvis

Teorem 9.Hvis den øvre grensen for integrasjon er større enn den nedre og funksjonene og er kontinuerlige, så er ulikheten

kan integreres termin for termin, dvs.

(46)

Egenskapene til det bestemte integralet gjør det mulig å forenkle den direkte beregningen av integraler.

Eksempel 5. Beregn bestemt integral

Ved å bruke setning 4 og 3, og når vi finner antiderivater - tabellintegraler (7) og (6), får vi

Definitiv integral med variabel øvre grense

La f(x) – kontinuerlig på segmentet [ en, b] funksjon, og F(x) er dets antiderivat. Tenk på den bestemte integralen

(47)

og gjennom t utpekt integrasjonsvariabel, for ikke å forveksle det med den øvre grensen. Ved endring X det bestemte integralet (47) endres også, dvs. det er en funksjon av den øvre grensen for integrering X, som vi betegner med F(X), dvs.

(48)

La oss bevise at funksjonen F(X) er et antiderivat for f(x) = f(t). Faktisk differensierende F(X), får vi

fordi F(x) – antiderivat for f(x), A F(en) er en konstant verdi.

Funksjon F(X) – en av uendelig antall antiderivater for f(x), nemlig den som x = en går til null. Dette utsagnet er oppnådd hvis i likhet (48) vi setter x = en og bruk teorem 1 i forrige avsnitt.

Beregning av bestemte integraler ved metoden for integrering av deler og metoden for endring av variabel

hvor, per definisjon, F(x) – antiderivat for f(x). Hvis vi endrer variabelen i integranden

så, i samsvar med formel (16), kan vi skrive

I dette uttrykket

antiderivative funksjon for

Faktisk er dens derivat, ifølge regel for differensiering av komplekse funksjoner, er lik

La α og β være verdiene til variabelen t, som funksjonen for

tar verdier i henhold til dette en Og b, dvs.

Men ifølge Newton-Leibniz-formelen er forskjellen F(b) – F(en) Det er