Grunnleggende begreper for matematisk modellering. §en

Forelesning #1

Introduksjon. Konseptet med matematiske modeller og metoder

Del 1 Innledning

2. Metoder for å konstruere matematiske modeller. Konseptet med en systematisk tilnærming. en

3. Grunnleggende begreper for matematisk modellering av økonomiske systemer.. 4

4. Metoder for analytisk, simulering og naturlig modellering. 5

Sikkerhetsspørsmål.. 6

1. Innhold, mål og mål for faget "Modelleringsmetoder"

Denne disiplinen er viet til studiet av modelleringsmetoder og praktisk anvendelse av den ervervede kunnskapen. Formålet med disiplinen er å lære studentene generelle problemstillinger innen modelleringsteori, metoder for å konstruere matematiske modeller og formell beskrivelse av prosesser og objekter, bruk av matematiske modeller for gjennomføring av beregningseksperimenter og løsning av optimaliseringsproblemer ved bruk av moderne dataverktøy.

Oppgavene til disiplinen inkluderer:

Å gjøre studentene kjent med de grunnleggende begrepene i teorien om matematisk modellering, systemteori, likhetsteori, teori om eksperimentplanlegging og prosessering av eksperimentelle data som brukes til å bygge matematiske modeller,

Å gi studentene ferdigheter innen å sette et modelleringsproblem, matematisk beskrivelse av objekter / prosesser /, numeriske metoder for å implementere matematiske modeller på en datamaskin og løse optimaliseringsproblemer.

Som et resultat av å studere disiplinen skal studenten beherske metodene for matematisk modellering av prosesser og objekter fra problemformulering til implementering av matematiske modeller på datamaskin og presentasjon av resultatene av studiet av modeller.

Disiplinkurset er tilrettelagt for 12 forelesninger og 12 praktiske arbeider. Som et resultat av å studere disiplinen, må studenten mestre metodene for matematisk modellering fra problemformulering til implementering av matematiske modeller på en datamaskin

2. Metoder for å konstruere matematiske modeller. Konseptet med en systematisk tilnærming

5. Løsning av problemet.

Den konsekvente bruken av operasjonsforskningsmetoder og deres implementering på moderne informasjons- og datateknologi gjør det mulig å overvinne subjektivisme, å utelukke de såkalte frivillige beslutningene basert ikke på en streng og nøyaktig vurdering av objektive omstendigheter, men på tilfeldige følelser og personlig interesse. av ledere på ulike nivåer, som dessuten ikke kan bli enige om disse frivillige beslutningene.

Systemanalyse gjør det mulig å ta hensyn til og bruke i ledelsen all tilgjengelig informasjon om det administrerte objektet, for å koordinere beslutningene som tas i form av et objektivt, snarere enn subjektivt, effektivitetskriterium. Å spare på beregninger når du kjører er det samme som å spare på sikting når du skyter. Imidlertid gjør datamaskinen det ikke bare mulig å ta hensyn til all informasjon, men sparer også lederen fra unødvendig informasjon, og lar all nødvendig informasjon omgå personen, og presenterer ham bare den mest generaliserte informasjonen, kvintessensen. Systemtilnærmingen i økonomi er effektiv i seg selv, uten bruk av datamaskin, som forskningsmetode, mens den ikke endrer tidligere oppdagede økonomiske lover, men bare lærer hvordan man bruker dem bedre.

4. Metoder for analytisk, simulering og naturlig modellering

Modellering er en kraftig metode for vitenskapelig kunnskap, der objektet som studeres erstattes av et enklere objekt kalt en modell. De viktigste variantene av modelleringsprosessen kan betraktes som dens to typer - matematisk og fysisk modellering. I fysisk (naturlig) modellering erstattes systemet som studeres med et annet materialsystem som tilsvarer det, som reproduserer egenskapene til systemet som studeres med bevaring av deres fysiske natur. Et eksempel på denne typen modellering er et pilotnettverk, som utforsker den grunnleggende muligheten for å bygge et nettverk basert på bestemte datamaskiner, kommunikasjonsenheter, operativsystemer og applikasjoner.

Mulighetene for fysisk modellering er ganske begrenset. Det gjør det mulig å løse individuelle problemer ved å spesifisere et lite antall kombinasjoner av de studerte parametrene til systemet. Faktisk, i naturlig simulering av et datanettverk er det nesten umulig å kontrollere funksjonen for alternativer ved hjelp av ulike typer kommunikasjonsenheter - rutere, brytere, etc. Verifisering i praksis av omtrent et dusin forskjellige typer rutere er ikke bare forbundet med stor innsats og tid, men også med betydelige materialkostnader.

Men selv i de tilfellene hvor nettverksoptimalisering ikke endrer typene enheter og operativsystemer, men bare parametrene deres, er det praktisk talt umulig å utføre sanntidseksperimenter for et stort antall forskjellige kombinasjoner av disse parameterne i overskuelig fremtid. Selv en enkel endring i maksimal pakkestørrelse i en hvilken som helst protokoll krever rekonfigurering av operativsystemet i hundrevis av datamaskiner på nettverket, noe som krever mye arbeid fra nettverksadministratoren.

Derfor, ved optimalisering av nettverk, er det i mange tilfeller å foretrekke å bruke matematisk modellering. En matematisk modell er et sett med relasjoner (formler, ligninger, ulikheter, logiske forhold) som bestemmer prosessen med å endre tilstanden til systemet avhengig av dets parametere, inngangssignaler, startbetingelser og tid.

Simuleringsmodeller er en spesiell klasse matematiske modeller. Slike modeller er et dataprogram som trinn for trinn gjengir hendelsene som skjer i et virkelig system. Når det gjelder datanettverk, reproduserer simuleringsmodellene prosessene med å generere meldinger av applikasjoner, splitte meldinger i pakker og rammer for visse protokoller, forsinkelser knyttet til behandling av meldinger, pakker og rammer i operativsystemet, prosessen med å skaffe tilgang av en datamaskin til et delt nettverksmiljø, prosessen med å behandle innkommende pakker av en ruter osv. Når du simulerer et nettverk, er det ikke nødvendig å kjøpe dyrt utstyr - arbeidet simuleres av programmer som nøyaktig gjengir alle hovedfunksjonene og parametrene til slike utstyr.

Fordelen med simuleringsmodeller er muligheten til å erstatte prosessen med å endre hendelser i systemet som studeres i sanntid med en akselerert prosess med å endre hendelser i programmets tempo. Som et resultat, på noen få minutter, kan du reprodusere driften av nettverket i flere dager, noe som gjør det mulig å evaluere ytelsen til nettverket i et bredt spekter av variable parametere.

Resultatet av simuleringsmodellen er statistiske data samlet inn under overvåking av pågående hendelser om de viktigste egenskapene til nettverket: responstider, utnyttelsesgrad av kanaler og noder, sannsynlighet for pakketap, etc.

Det er spesielle simuleringsspråk som letter prosessen med å lage en programvaremodell sammenlignet med bruk av universelle programmeringsspråk. Eksempler på simuleringsspråk er språk som SIMULA, GPSS, SIMDIS.

Det finnes også simuleringsmodelleringssystemer som fokuserer på en smal klasse av systemer som studeres og lar deg bygge modeller uten programmering.

test spørsmål

Formuler en definisjon av modelleringsprosessen. Hva er en modell? Simuleringsegenskaper. Formuler hovedstadiene for å bygge en modell ved å bruke den klassiske metoden. Formuler hovedstadiene for å bygge en modell med en systematisk tilnærming. Nevn funksjonene til modellene. Hva er stadiene i prosessen med å løse økonomiske problemer? De viktigste variantene av modelleringsprosessen.

Matematiske modeller

Matematisk modell - omtrentlig opibeskrivelse av objektet for modellering, uttrykt ved hjelp avschyu matematisk symbolikk.

Matematiske modeller dukket opp sammen med matematikk for mange århundrer siden. En enorm drivkraft til utviklingen av matematisk modellering ble gitt av utseendet til datamaskiner. Bruken av datamaskiner gjorde det mulig å analysere og sette ut i livet mange matematiske modeller som tidligere ikke hadde vært tilgjengelige for analytisk forskning. Dataimplementert matematiskhimmelmodell kalt matematisk datamaskinmodell, en utføre målrettede beregninger ved hjelp av en datamodell kalt beregningseksperiment.

Stadier av datamaskin matematisk mosletting vist i figuren. Den førstescene - definisjon av modelleringsmål. Disse målene kan være forskjellige:

en modell er nødvendig for å forstå hvordan et bestemt objekt fungerer, hva er dets struktur, grunnleggende egenskaper, utviklingslover og interaksjon
med omverdenen (forståelse);
en modell er nødvendig for å lære å administrere et objekt (eller prosess) og bestemme de beste måtene å administrere for gitte mål og kriterier (ledelse);
modellen er nødvendig for å forutsi de direkte og indirekte konsekvensene av implementeringen av de spesifiserte metodene og påvirkningsformene på objektet (prognoser).

La oss forklare med eksempler. La undersøkelsesobjektet være samspillet mellom en væske- eller gassstrøm med et legeme som er en hindring for denne strømmen. Erfaring viser at kraften av motstand mot strømning fra siden av kroppen øker med økende strømningshastighet, men ved til dels tilstrekkelig høy hastighet avtar denne kraften brått for å øke igjen med en ytterligere økning i hastighet. Hva forårsaket reduksjonen i motstandskraft? Matematisk modellering lar oss få et klart svar: i øyeblikket med en brå reduksjon i motstand begynner virvlene som dannes i strømmen av væske eller gass bak den strømlinjeformede kroppen å bryte bort fra den og blir ført bort av strømmen.

Et eksempel fra et helt annet område: fredelig sameksisterende med stabile antall populasjoner av to arter av individer med en felles matbase, begynner "plutselig" å dramatisk endre antallet. Og her tillater matematisk modellering (med en viss grad av sikkerhet) å fastslå årsaken (eller i det minste å tilbakevise en viss hypotese).

Utvikling av konseptet objektstyring er et annet mulig mål med modellering. Hvilken flymodus bør velges for at flyturen skal være trygg og mest økonomisk fordelaktig? Hvordan planlegge hundrevis av typer arbeid med bygging av et stort anlegg slik at det avsluttes så snart som mulig? Mange slike problemer oppstår systematisk foran økonomer, designere og vitenskapsmenn.

Til slutt, å forutsi konsekvensene av visse påvirkninger på et objekt kan være både en relativt enkel sak i enkle fysiske systemer, og ekstremt kompleks - på grensen til gjennomførbarhet - i biologiske, økonomiske, sosiale systemer. Hvis det er relativt enkelt å svare på spørsmålet om endringen i modusen for varmeutbredelse i en tynn stang med endringer i dens legering, så er det uforlignelig vanskeligere å spore (forutsi) de miljømessige og klimatiske konsekvensene av konstruksjonen av en store vannkraftverk eller de sosiale konsekvensene av endringer i skattelovgivningen. Kanskje også her vil matematiske modelleringsmetoder gi mer betydelig hjelp i fremtiden.

Andre fase: definisjon av input og output parametere for modellen; inndeling av inngangsparametere i henhold til graden av betydning av virkningen av endringene deres på produksjonen. Denne prosessen kalles rangering, eller divisjon etter rangering (se nedenfor). "Formalisasjon og modellering").

Tredje trinn: konstruksjon av en matematisk modell. På dette stadiet er det en overgang fra den abstrakte formuleringen av modellen til en formulering som har en spesifikk matematisk representasjon. En matematisk modell er ligninger, ligningssystemer, ulikhetssystemer, differensialligninger eller systemer av slike ligninger, etc.

Fjerde trinn: valg av metode for å studere den matematiske modellen. Oftest brukes numeriske metoder her, som egner seg godt til programmering. Som regel er flere metoder egnet for å løse det samme problemet, forskjellig i nøyaktighet, stabilitet, etc. Suksessen til hele modelleringsprosessen avhenger ofte av riktig valg av metode.

Femte trinn: utvikling av en algoritme, kompilering og feilsøking av et dataprogram er en prosess som er vanskelig å formalisere. Av programmeringsspråkene foretrekker mange fagfolk for matematisk modellering FORTRAN: både på grunn av tradisjon, og på grunn av den uovertrufne effektiviteten til kompilatorer (for beregningsarbeid) og tilstedeværelsen av enorme, nøye feilsøkte og optimaliserte biblioteker med standardprogrammer for matematiske metoder skrevet i den. Språk som PASCAL, BASIC, C er også i bruk, avhengig av oppgavens art og programmererens tilbøyeligheter.

Sjette trinn: programtesting. Driften av programmet testes på en testoppgave med kjent svar. Dette er bare begynnelsen på en testprosedyre som er vanskelig å beskrive på en formelt uttømmende måte. Vanligvis avsluttes testingen når brukeren, i henhold til sine faglige egenskaper, anser programmet som riktig.

Syvende trinn: faktisk beregningseksperiment, hvor det blir klart om modellen tilsvarer et reelt objekt (prosess). Modellen er tilstrekkelig tilstrekkelig til den virkelige prosessen hvis noen egenskaper ved prosessen oppnådd på en datamaskin sammenfaller med de eksperimentelt oppnådde karakteristikkene med en gitt grad av nøyaktighet. Hvis modellen ikke samsvarer med den virkelige prosessen, går vi tilbake til et av de foregående stadiene.

Klassifisering av matematiske modeller

Klassifiseringen av matematiske modeller kan baseres på ulike prinsipper. Det er mulig å klassifisere modeller etter vitenskapsgrener (matematiske modeller i fysikk, biologi, sosiologi, etc.). Det kan klassifiseres i henhold til det anvendte matematiske apparatet (modeller basert på bruk av vanlige differensialligninger, partielle differensialligninger, stokastiske metoder, diskrete algebraiske transformasjoner, etc.). Til slutt, hvis vi går ut fra de generelle oppgavene med modellering i forskjellige vitenskaper, uavhengig av det matematiske apparatet, er følgende klassifisering mest naturlig:

beskrivende (beskrivende) modeller;
optimaliseringsmodeller;
multikriteria modeller;
spillmodeller.

La oss forklare dette med eksempler.

Beskrivende (beskrivende) modeller. For eksempel er simuleringer av bevegelsen til en komet som invaderer solsystemet laget for å forutsi flyveien, avstanden den vil passere fra jorden, og så videre. I dette tilfellet er målene for modellering beskrivende, siden det ikke er noen måte å påvirke kometens bevegelse, for å endre noe i den.

Optimaliseringsmodeller brukes til å beskrive prosessene som kan påvirkes i et forsøk på å nå et gitt mål. I dette tilfellet inkluderer modellen en eller flere parametere som kan påvirkes. For eksempel, ved å endre det termiske regimet i et kornmagasin, kan man sette seg et mål om å velge et slikt regime for å oppnå maksimal kornbevaring, d.v.s. optimalisere lagringsprosessen.

Multikriteriemodeller. Ofte er det nødvendig å optimalisere prosessen i flere parametere samtidig, og målene kan være svært motstridende. For eksempel, ved å kjenne matpriser og en persons behov for mat, er det nødvendig å organisere måltider for store grupper mennesker (i hæren, barnas sommerleir, etc.) fysiologisk riktig og samtidig så billig som mulig. Det er tydelig at disse målene ikke er sammenfallende i det hele tatt; ved modellering vil det benyttes flere kriterier som det må søkes balanse mellom.

Spillmodeller kan relateres ikke bare til dataspill, men også til svært alvorlige ting. For eksempel, før et slag, hvis det er ufullstendig informasjon om den motsatte hæren, må en sjef utvikle en plan: i hvilken rekkefølge for å bringe visse enheter inn i kamp, etc., under hensyntagen til fiendens mulige reaksjon. Det er en spesiell del av moderne matematikk - spillteori - som studerer metodene for beslutningstaking under forhold med ufullstendig informasjon.

I skolekurset i informatikk får studentene en innledende idé om matematisk datamodellering som en del av grunnkurset. På videregående kan matematisk modellering studeres dypt i et allmennutdanningskurs for klasser i fysikk og matematikk, så vel som innenfor et spesialisert valgfag.

De viktigste formene for undervisning i matematisk modellering på videregående skole er forelesninger, laboratorie- og studiepoengklasser. Vanligvis tar arbeidet med å lage og forberede studiet av hver ny modell 3-4 leksjoner. I løpet av presentasjonen av materialet settes det oppgaver som i fremtiden skal løses av elevene på egen hånd, generelt skisseres måter å løse dem på. Spørsmål er formulert, svarene bør fås når du utfører oppgaver. Ytterligere litteratur er indikert, som gjør det mulig å skaffe tilleggsinformasjon for mer vellykket gjennomføring av oppgaver.

Formen for å organisere klasser i studiet av nytt materiale er vanligvis en forelesning. Etter gjennomføringen av diskusjonen om neste modell studenter ha til disposisjon nødvendig teoretisk informasjon og et sett med oppgaver for videre arbeid. Som forberedelse til oppgaven velger elevene riktig løsningsmetode, ved å bruke en kjent privat løsning, tester de det utviklede programmet. Ved mulige vanskeligheter med å utføre oppgaver, gis konsultasjon, det foreslås å utarbeide disse avsnittene mer detaljert i litteraturen.

Den mest relevante for den praktiske delen av undervisning i datamodellering er metoden for prosjekter. Oppgaven er formulert for studenten i form av et pedagogisk prosjekt og gjennomføres over flere timer, og hovedorganisasjonsformen i dette tilfellet er datalaboratoriearbeid. Å lære å modellere ved hjelp av læringsprosjektmetoden kan implementeres på ulike nivåer. Den første er en problemstilling for prosjektgjennomføringsprosessen, som ledes av læreren. Den andre er implementeringen av prosjektet av studenter under veiledning av en lærer. Den tredje er den uavhengige implementeringen av studenter av et pedagogisk forskningsprosjekt.

Resultatene av arbeidet skal presenteres i numerisk form, i form av grafer, diagrammer. Om mulig presenteres prosessen på dataskjermen i dynamikk. Ved ferdigstillelse av beregningene og mottak av resultatene analyseres de, sammenlignet med kjente fakta fra teorien, påliteligheten bekreftes og det gjennomføres en meningsfull tolkning, som deretter gjenspeiles i en skriftlig rapport.

Hvis resultatene tilfredsstiller eleven og læreren, så arbeidet teller fullført, og den siste fasen er utarbeidelsen av en rapport. Rapporten inneholder kort teoretisk informasjon om emnet som studeres, den matematiske formuleringen av problemet, løsningsalgoritmen og dens begrunnelse, et dataprogram, resultatene av programmet, analyse av resultatene og konklusjonene, en referanseliste.

Når alle rapportene er utarbeidet, på prøveøkten, lager studentene korte rapporter om utført arbeid, forsvarer prosjektet sitt. Dette er en effektiv form for rapport fra prosjektteamet til klassen, inkludert å sette problemet, bygge en formell modell, velge metoder for å jobbe med modellen, implementere modellen på en datamaskin, arbeide med den ferdige modellen, tolke resultatene, prognoser. Som et resultat kan studentene motta to karakterer: den første - for utarbeidelsen av prosjektet og suksessen til forsvaret, den andre - for programmet, optimaliteten til algoritmen, grensesnittet, etc. Studentene får også karakterer i løpet av undersøkelser om teori.

Et vesentlig spørsmål er hva slags verktøy som skal brukes i skoleinformatikkkurset for matematisk modellering? Datamaskinimplementering av modeller kan utføres:

ved hjelp av et regneark (vanligvis MS Excel);
ved å lage programmer på tradisjonelle programmeringsspråk (Pascal, BASIC, etc.), så vel som i deres moderne versjoner (Delphi, Visual
Grunnleggende for applikasjon, etc.);
bruke spesielle applikasjonspakker for å løse matematiske problemer (MathCAD, etc.).

På grunnskolenivå ser det første middelet ut til å være det foretrukne. Men på videregående, når programmering, sammen med modellering, er et sentralt tema innen informatikk, er det ønskelig å involvere det som et modelleringsverktøy. I prosessen med programmering blir detaljene i matematiske prosedyrer tilgjengelige for elevene; dessuten er de rett og slett tvunget til å mestre dem, og dette bidrar også til matematisk utdanning. Når det gjelder bruk av spesielle programvarepakker, er dette hensiktsmessig i et profildatafagkurs som et supplement til andre verktøy.

Trening :

Skissere nøkkelbegreper.

En matematisk modell av et teknisk objekt er et sett av matematiske objekter og relasjoner mellom dem som i tilstrekkelig grad gjenspeiler egenskapene til objektet som studeres som er av interesse for forskeren (ingeniøren).

Modellen kan representeres på ulike måter.

Modellrepresentasjonsskjemaer:

invariant - registrering av modellrelasjoner ved bruk av et tradisjonelt matematisk språk, uavhengig av metoden for å løse modellligninger;

analytisk - registrering av modellen i form av resultatet av en analytisk løsning av de innledende ligningene til modellen;

algoritmisk - registrering av relasjonene til modellen og den valgte numeriske løsningsmetoden i form av en algoritme.

skjematisk (grafisk) - representasjon av modellen på et eller annet grafisk språk (for eksempel språket til grafer, ekvivalente kretser, diagrammer, etc.);

fysisk

analog

Den mest universelle er den matematiske beskrivelsen av prosesser - matematisk modellering.

Konseptet med matematisk modellering inkluderer også prosessen med å løse et problem på en datamaskin.

Generalisert matematisk modell

Den matematiske modellen beskriver forholdet mellom startdata og ønskede verdier.

Elementene i den generaliserte matematiske modellen er (fig. 1): et sett med inngangsdata (variabler) X,Y;

X - sett med variable variabler; Y - uavhengige variabler (konstant);

matematisk operator L som definerer operasjoner på disse dataene; som forstås som et komplett system av matematiske operasjoner som beskriver numeriske eller logiske forhold mellom sett med inn- og utdata (variabler);

sett med utdata (variabler) G(X,Y); er et sett med kriteriefunksjoner, inkludert (om nødvendig) objektivfunksjonen.

Den matematiske modellen er en matematisk analog av det utformede objektet. Graden av tilstrekkelighet til objektet bestemmes av formuleringen og riktigheten av løsninger på designproblemet.

Settet med variable parametere (variabler) X danner rommet av variable parametere Rx (søkerom), som er metrisk med dimensjon n lik antall variable parametere.

Settet med uavhengige variabler Y danner det metriske rommet til inngangsdata Ry. I tilfellet når hver komponent av rommet Ry er gitt av en rekke mulige verdier, blir settet med uavhengige variabler kartlagt til et begrenset underrom av rommet Ry.

Settet med uavhengige variabler Y bestemmer miljøet for driften av objektet, dvs. ytre forhold som det utformede objektet vil fungere under

Det kan bli:

- tekniske parametere for objektet som ikke kan endres under designprosessen;
- fysiske forstyrrelser av miljøet som designobjektet samhandler med;
- taktiske parametere som designobjektet skal oppnå.

Utdataene til den betraktede generaliserte modellen danner et metrisk rom av kriterie-indikatorer RG.

Opplegget for å bruke en matematisk modell i et datastøttet designsystem er vist i fig.2.

Krav til den matematiske modellen

Hovedkravene til matematiske modeller er kravene til tilstrekkelighet, universalitet og økonomi.

Tilstrekkelighet. Modellen anses som tilstrekkelig dersom den reflekterer de gitte egenskapene med akseptabel nøyaktighet. Nøyaktighet er definert som graden av samsvar mellom verdiene til utgangsparametrene til modellen og objektet.

Nøyaktigheten til modellen er forskjellig i forskjellige betingelser for funksjonen til objektet. Disse forholdene er preget av eksterne parametere. I området med eksterne parametere, velg området for modelltilstrekkelighet, der feilen er mindre enn den spesifiserte maksimalt tillatte feilen. Å bestemme domenet for modelltilstrekkelighet er en kompleks prosedyre som krever store beregningskostnader, som vokser raskt med en økning i dimensjonen til rommet til eksterne parametere. Denne oppgaven kan betydelig overskride oppgaven med parametrisk optimalisering av selve modellen i volum, derfor kan den ikke løses for nydesignede objekter.

Universalitet - bestemmes hovedsakelig av antall og sammensetning av eksterne parametere og utgangsparametre tatt i betraktning i modellen.

Økonomien til modellen er preget av kostnadene for dataressurser for implementeringen - kostnadene for datamaskintid og minne.

De motstridende kravene til at en modell skal ha et bredt spekter av tilstrekkelighet, høy grad av universalitet og høy effektivitet bestemmer bruken av en rekke modeller for objekter av samme type.

Metoder for modellinnhenting

Å skaffe modeller i den generelle saken er en uformalisert prosedyre. De viktigste avgjørelsene angående valg av type matematiske relasjoner, arten av variablene og parameterne som brukes, tas av designeren. Samtidig blir slike operasjoner som beregning av numeriske verdier av modellparametrene, bestemmelse av tilstrekkelighetsområder og andre algoritmert og løst på en datamaskin. Derfor utføres modelleringen av elementene i det utformede systemet vanligvis av spesialister innen spesifikke tekniske felt ved bruk av tradisjonelle eksperimentelle studier.

Metoder for å oppnå funksjonelle modeller av elementer er delt inn i teoretiske og eksperimentelle.

Teoretiske metoder er basert på studiet av de fysiske regelmessighetene til prosessene som skjer i objektet, bestemme den matematiske beskrivelsen som tilsvarer disse regelmessighetene, underbygge og akseptere forenklede antakelser, utføre de nødvendige beregningene og bringe resultatet til den aksepterte formen for modellrepresentasjonen. .

Eksperimentelle metoder er basert på bruk av ytre manifestasjoner av egenskapene til et objekt, festet under driften av objekter av samme type eller under målrettede eksperimenter.

Til tross for den heuristiske naturen til mange operasjoner, har modellering en rekke bestemmelser og teknikker som er felles for å skaffe modeller av forskjellige objekter. De er ganske generelle av natur.

makromodelleringsteknikk,

matematiske metoder for planlegging av eksperimenter,

algoritmer for formaliserte operasjoner for beregning av numeriske verdier av parametere og bestemmelse av tilstrekkelighetsområde.

Bruke matematiske modeller

Datakraften til moderne datamaskiner, kombinert med levering av alle systemressurser til brukeren, muligheten for en interaktiv modus når du løser et problem og analyserer resultatene, gjør det mulig å minimere tiden for å løse et problem.

Ved sammenstilling av en matematisk modell er forskeren pålagt å:

studere egenskapene til objektet som studeres;

evnen til å skille hovedegenskapene til objektet fra de sekundære;

vurdere forutsetningene som er gjort.

Modellen beskriver forholdet mellom inngangsdata og ønskede verdier. Sekvensen av handlinger som må utføres for å flytte fra de opprinnelige dataene til de ønskede verdiene kalles en algoritme.

Algoritmen for å løse problemet på en datamaskin er knyttet til valget av en numerisk metode. Avhengig av representasjonsformen til den matematiske modellen (algebraisk eller differensialform), brukes ulike numeriske metoder.

Essensen av økonomisk og matematisk modellering ligger i beskrivelsen av sosioøkonomiske systemer og prosesser i form av økonomiske og matematiske modeller.

La oss vurdere spørsmål om klassifisering av økonomiske og matematiske metoder. Disse metodene, som nevnt ovenfor, er et kompleks av økonomiske og matematiske disipliner som er en legering av økonomi, matematikk og kybernetikk.

Derfor er klassifiseringen av økonomiske og matematiske metoder redusert til klassifiseringen av de vitenskapelige disiplinene som er inkludert i deres sammensetning. Selv om den generelt aksepterte klassifiseringen av disse disiplinene ennå ikke er utviklet, med en viss grad av tilnærming, kan følgende seksjoner skilles i sammensetningen av økonomiske og matematiske metoder:

* økonomisk kybernetikk: systemanalyse av økonomi, teori om økonomisk informasjon og teori om kontrollsystemer;
* matematisk statistikk: økonomiske anvendelser av denne disiplinen - prøvetakingsmetode, variansanalyse, korrelasjonsanalyse, regresjonsanalyse, multivariat statistisk analyse, faktoranalyse, indeksteori, etc.;
* matematisk økonomi og økonometri studerer de samme spørsmålene fra den kvantitative siden: teorien om økonomisk vekst, teorien om produksjonsfunksjoner, intersektorielle balanser, nasjonalregnskap, analyse av etterspørsel og forbruk, regional og romlig analyse, global modellering, etc.;
* metoder for å ta optimale beslutninger, inkludert studiet av operasjoner i økonomien. Dette er den mest omfangsrike delen, som inkluderer følgende disipliner og metoder: optimal (matematisk) programmering, inkludert gren- og bundne metoder, nettverksplanlegging og kontrollmetoder, programmålplanlegging og kontrollmetoder, lagerstyringsteori og metoder, køteori , spillteori, beslutningsteori og metoder, planleggingsteori. Optimal (matematisk) programmering inkluderer i sin tur lineær programmering, ikke-lineær programmering, dynamisk programmering, diskret (heltalls) programmering, brøkdel lineær programmering, parametrisk programmering, separerbar programmering, stokastisk programmering, geometrisk programmering;
* Metoder og disipliner som er spesifikke for både en sentralt planøkonomi og en markeds(konkurranse)økonomi. Den første inkluderer teorien om optimal funksjon av økonomien, optimal planlegging, teorien om optimal prising, logistikkmodeller, etc. Den andre er metoder som tillater utvikling av modeller for fri konkurranse, modeller for den kapitalistiske syklusen, modeller for monopol, modeller av indikativ planlegging, modeller av teorien til firmaet etc.

Mange av metodene utviklet for en sentralt planøkonomi kan også være nyttige i økonomisk og matematisk modellering i en markedsøkonomi;

* metoder for eksperimentell studie av økonomiske fenomener. Disse inkluderer som regel matematiske metoder for analyse og planlegging av økonomiske eksperimenter, metoder for maskinsimulering (simulering), forretningsspill. Dette inkluderer også metoder for ekspertvurderinger utviklet for å evaluere fenomener som ikke kan måles direkte.

La oss nå gå til spørsmålene om klassifisering av økonomiske og matematiske modeller, med andre ord matematiske modeller av sosioøkonomiske systemer og prosesser.

Et enhetlig klassifiseringssystem for slike modeller eksisterer foreløpig heller ikke, men mer enn ti hovedtrekk ved deres klassifisering, eller klassifiseringsoverskrifter, skilles vanligvis. La oss ta en titt på noen av disse delene.

I henhold til det generelle formålet er økonomiske og matematiske modeller delt inn i teoretiske og analytiske, brukt i studiet av generelle egenskaper og mønstre av økonomiske prosesser, og brukt, brukt til å løse spesifikke økonomiske problemer med analyse, prognoser og styring. Ulike typer anvendte økonomiske og matematiske modeller vurderes i denne opplæringen.

I henhold til graden av aggregering av modelleringsobjekter er modellene delt inn i makroøkonomiske og mikroøkonomiske. Selv om det ikke er noe klart skille mellom dem, inkluderer den første av dem modeller som reflekterer økonomiens funksjon som helhet, mens mikroøkonomiske modeller som regel er assosiert med slike deler av økonomien som foretak og firmaer.

I henhold til et spesifikt formål, det vil si i henhold til formålet med opprettelse og anvendelse, skilles balansemodeller ut, som uttrykker kravet om at tilgjengeligheten av ressurser samsvarer med bruken deres; trendmodeller, der utviklingen av det modellerte økonomiske systemet reflekteres gjennom trenden (langsiktig trend) til hovedindikatorene; optimaliseringsmodeller designet for å velge det beste alternativet fra et visst antall produksjons-, distribusjons- eller forbruksalternativer; simuleringsmodeller beregnet for bruk i prosessen med maskinsimulering av systemene eller prosessene som studeres, etc.

I henhold til typen informasjon som brukes i modellen, er økonomisk-matematiske modeller delt inn i analytisk, bygd på a priori-informasjon, og identifiserbar, bygd på a posteriori-informasjon.

Ved å ta hensyn til tidsfaktoren deles modellene inn i statiske, der alle avhengigheter er knyttet til ett tidspunkt, og dynamiske, som beskriver økonomiske systemer i utvikling.

Ved å ta hensyn til usikkerhetsfaktoren, er modellene delt inn i deterministiske, hvis utgangsresultatene i dem er unikt bestemt av kontrollhandlinger, og stokastiske (sannsynligvis), hvis når et visst sett med verdier er spesifisert ved modellinngangen , forskjellige resultater kan oppnås avhengig av virkningen av en tilfeldig faktor.

Økonomiske og matematiske modeller kan også klassifiseres etter egenskapene til de matematiske objektene som inngår i modellen, med andre ord etter typen matematisk apparat som brukes i modellen. På dette grunnlaget, matrisemodeller, lineære og ikke-lineære programmeringsmodeller, korrelasjonsregresjonsmodeller,

Grunnleggende begreper for matematisk modellering av køteorimodellen, nettverksplanlegging og kontrollmodell, spillteorimodell, etc.

Til slutt, i henhold til typen tilnærming til de studerte sosioøkonomiske systemene, skilles deskriptive og normative modeller. Med en beskrivende (deskriptiv) tilnærming oppnås modeller som er designet for å beskrive og forklare faktisk observerte fenomener eller forutsi disse fenomenene; Som et eksempel på beskrivende modeller kan vi nevne de tidligere nevnte balanse- og trendmodellene. I den normative tilnærmingen er man ikke interessert i hvordan det økonomiske systemet er organisert og utvikler seg, men hvordan det skal innrettes og hvordan det skal fungere i visse kriteriers forstand. Spesielt er alle optimaliseringsmodeller av normativ type; normative modeller for levestandard kan tjene som et annet eksempel.

La oss se som et eksempel den økonomisk-matematiske modellen for input-output-balansen (EMM IOB). Med hensyn til klassifikasjonsoverskriftene ovenfor, er dette en anvendt, makroøkonomisk, analytisk, beskrivende, deterministisk, balanse-, matrisemodell; Det finnes både statiske metoder og dynamiske metoder.

Lineær programmering er en spesiell gren av optimal programmering. I sin tur er optimal (matematisk) programmering en gren av anvendt matematikk som studerer problemer med betinget optimalisering. I økonomi oppstår slike problemer i den praktiske implementeringen av prinsippet om optimalitet i planlegging og ledelse.

En nødvendig forutsetning for å bruke den optimale tilnærmingen til planlegging og styring (optimitetsprinsippet) er fleksibilitet, alternativ produksjon og økonomiske situasjoner der planlegging og styringsbeslutninger må tas. Det er som regel disse situasjonene som utgjør den daglige praksisen til en økonomisk enhet (valg av produksjonsprogram, tilknytning til leverandører, ruting, skjæring av materialer, tilberedning av blandinger, etc.).

Essensen av prinsippet om optimalitet er ønsket om å velge en slik planleggings- og ledelsesbeslutning X = (xi, X2 xn), hvor Xu, (y = 1. x) - dens komponenter, som best vil ta hensyn til de interne evnene og eksterne forhold for produksjonsaktiviteten til en økonomisk enhet.

Ordene "på beste måte" betyr her valget av et eller annet optimalitetskriterium, dvs. en økonomisk indikator som lar deg sammenligne effektiviteten til visse planleggings- og ledelsesbeslutninger. Tradisjonelle optimalitetskriterier: «maksimal profitt», «minimumskostnader», «maksimal lønnsomhet» osv. Ordene «ville ta hensyn til produksjonsaktivitetens interne kapasiteter og ytre forhold» betyr at det stilles en rekke betingelser for valg av en planleggings- og ledelsesbeslutning (atferd), t .e. valget av X utføres fra en viss region av mulige (tillatte) løsninger D; dette området kalles også problemdefinisjonsområdet. et generelt problem med optimal (matematisk) programmering, ellers en matematisk modell av et optimalt programmeringsproblem, hvis konstruksjon (utvikling) er basert på prinsippene om optimalitet og konsistens.

En vektor X (et sett med kontrollvariabler Xj, j = 1, n) kalles en gjennomførbar løsning, eller en optimal programmeringsproblemplan, hvis den tilfredsstiller systemet med begrensninger. Og at plan X (tillatt løsning) som leverer maksimum eller minimum av objektivfunksjonen f(xi, *2, ..., xn) kalles den optimale planen (optimal oppførsel, eller ganske enkelt løsning) for det optimale programmeringsproblemet.

Dermed er valget av optimal lederatferd i en spesifikk produksjonssituasjon assosiert med å utføre økonomisk og matematisk modellering fra et ståsted om konsistens og optimalitet og løse problemet med optimal programmering. Optimale programmeringsproblemer i den mest generelle formen klassifiseres i henhold til følgende kriterier.

1. Av arten av forholdet mellom variabler --
a) lineær
b) ikke-lineær.

I tilfelle a) er alle funksjonelle forbindelser i restriksjonssystemet og målfunksjonen lineære funksjoner; tilstedeværelsen av en ikke-linearitet i minst ett av de nevnte elementene fører til tilfelle b).

2. Av arten av endringen i variabler --
a) kontinuerlig
b) diskret.

I tilfelle a) kan verdiene til hver av kontrollvariablene fullstendig fylle et visst område med reelle tall; i tilfelle b) kan alle eller minst én variabel kun ha heltallsverdier.

3. Ved å ta hensyn til tidsfaktoren -
a) statisk
b) dynamisk.

I oppgave a) utføres modellering og beslutningstaking under forutsetning av at elementene i modellen er uavhengige av tid i det tidsrommet det tas en planleggings- og styringsbeslutning. I tilfelle b) kan en slik forutsetning ikke aksepteres med tilstrekkelig grunn og tidsfaktoren må tas i betraktning.

4. I henhold til tilgjengeligheten av informasjon om variabler --
a) oppgaver under fullstendig sikkerhet (deterministisk),
b) oppgaver under forhold med ufullstendig informasjon,
c) oppgaver under usikkerhetsforhold.

I oppgavene b) er individuelle elementer sannsynlige størrelser, men deres distribusjonslover er kjent eller ytterligere statistiske studier kan etableres. I tilfelle c) kan man gjøre en antagelse om mulige utfall av tilfeldige elementer, men det er ikke mulig å trekke en konklusjon om sannsynlighetene for utfallene.

5. I henhold til antall kriterier for å vurdere alternativer -
a) enkle oppgaver med ett kriterium,
b) komplekse, multikriteria oppgaver.

I oppgave a) er det økonomisk akseptabelt å bruke ett optimalitetskriterium eller det er mulig ved spesielle prosedyrer (for eksempel "prioritetsvekting")

FORORD

Formålet med kurset om modellering av heise- og transportsystemer er å lære det grunnleggende om modellering av heise- og transportmaskiner (PTM), som inkluderer kompilering av matematiske modeller av PTM, programvareimplementering av modeller på en datamaskin, samt innhenting av, bearbeide og analysere simuleringsresultater.

For selvkjennskap til de oppførte problemene anbefales følgende litteratur: Braude V. I., Ter-Mkhitarov M. S. "Systemmetoder for beregning av løftemaskiner", Ignatiev N. B., Ilyevsky B. Z., Klaus L. P. "Modellering av maskinsystemer", Rachkov E. V., Silikov Yu V. "Heising og transport maskiner og mekanismer", samt oppslagsverk og veiledninger om numeriske metoder for beregningsmatematikk og bruk av matematisk redaktør MathCad.

§en. HOVEDMÅL, DEFINISJONER OG PRINSIPPER FOR MATEMATISK MODELLERING, MODELLTYPER

1.1 Grunnleggende definisjoner

Modellering er en teoretisk og eksperimentell metode for kognitiv aktivitet, det er en metode for forskning og forklaring av fenomener, prosesser og systemer (originale objekter) basert på skapelse av nye objekter - modeller.

Modellering er erstatning av det undersøkte objektet (original) med dets betingede bilde eller et annet objekt (modell) og studiet av egenskapene til originalen ved å undersøke egenskapene til modellen.

Avhengig av implementeringsmetode kan alle modeller deles inn i 4 grupper: fysisk, matematisk, fag-matematisk og kombinert [,].

En fysisk modell er en reell utførelse av de egenskapene til originalen som er av interesse for forskeren. Fysiske modeller kalles også layouter, så fysisk modellering kalles layout.

En matematisk modell er en formalisert beskrivelse av et system (eller prosess) som bruker et eller annet abstrakt språk (matematisk), for eksempel i form av grafer, ligninger, algoritmer, matematiske korrespondanser, etc.

Fagmatematiske modeller er analoge, dvs. samtidig brukes prinsippet om samme matematiske beskrivelse av prosesser, reelle og forekommende i modellen, for modellering.

Kombinerte modeller er en kombinasjon av en matematisk eller fagmatematisk og fysisk modell. De brukes når den matematiske beskrivelsen av et av elementene i systemet som studeres er ukjent eller vanskelig, og også, i henhold til forholdene for modellering, er det nødvendig å introdusere en fysisk modell (for eksempel en simulator) som et element .

Matematisk modellering er erstatning av originalen med en matematisk modell og studiet av egenskapene til originalen på denne modellen.

Et system er en kombinasjon av flere objekter (elementer) sammenkoblet, og danner en viss integritet.

Et element er en relativt uavhengig del av systemet, sett på dette analysenivået som helhet, beregnet på å implementere en viss funksjon.

Systemet har følgende, såkalte. "system egenskaper:

struktur, dvs. en strengt definert rekkefølge for å kombinere elementer i grupper;

målrettethet eller funksjonalitet, dvs. tilstedeværelsen av formålet som systemet ble opprettet for;

effektivitet, evnen til å oppnå mål med minst mulig ressursforbruk;

stabilitet, evnen til å opprettholde egenskapene til dens egenskaper uendret innenfor visse grenser når ytre forhold endres.

For tiden, i teknologi, for å studere driften av maskinkomplekser og maskiner, brukes konseptet med et "mann-maskinsystem" (HMS), dvs. blandet system, som sammen med tekniske objekter inkluderer en menneskelig operatør [, ]. I tillegg samhandler HMS med miljøet. For å modellere PTS er det derfor nødvendig å vurdere Human-Machine-Environment-systemet, som kan vises med følgende graf (fig. 1).

R
er. 1 Graf over menneske-maskin-miljø-systemet.

Pilene på grafen viser strømmene av energi, materie og informasjon som utveksles mellom elementene i systemet.

Prosessene som skjer i tekniske systemer er dannet av et sett med enkle operasjoner. Operasjoner - transformasjoner av fysiske inndatamengder til utgangsmengder i et lavnivåelement i systemet (fig. 2).

I hvert element i systemet (E i) transformeres inngangshandlingene (X i) til utgangshandlinger (Y i), og utgangshandlingene til ett element kan være inngangen til det neste. Koblingen av elementer i et blokkskjema i henhold til arten av overføringen av påvirkninger skjer i serie eller parallelt.

Ris. 2 Blokkskjema over systemet.

Løfte- og transportsystemer (PTS), studert innenfor rammen av dette emnet, vil vi kalle systemer som inkluderer en person, miljø og løfte- og transportmaskiner (PTM).

PTM-er er maskiner designet for å flytte last over relativt korte avstander uten å behandle den. PTM brukes til å lette, akselerere, øke effektiviteten av omlastingsoperasjoner.

1.2 Prinsipper og typer matematisk modellering

Matematiske modeller bør ha følgende egenskaper:

tilstrekkelighet, egenskapen til å matche modellen og gjenstanden for forskning;

pålitelighet, som sikrer en gitt sannsynlighet for at simuleringsresultatene faller inn i konfidensintervallet,

nøyaktighet, ubetydelig (innenfor den tillatte feilen) avvik mellom simuleringsresultatene og indikatorene til virkelige objekter (prosesser);

stabilitet, egenskapen til korrespondanse av små endringer i utgangsparametere til små endringer i input;

effektivitet, evnen til å nå mål med lave ressurskostnader;

tilpasningsevne, evnen til enkelt å bygge om for å løse ulike problemer.

For å oppnå disse egenskapene er det noen prinsipper (regler) for matematisk modellering, en rekke av disse er gitt nedenfor.

Prinsippet om målrettethet er at modellen skal sikre oppnåelse av strengt definerte mål og først og fremst reflektere de egenskapene til originalen som er nødvendige for å nå målet.

Prinsippet om tilstrekkelig informasjon består i å begrense mengden informasjon om objektet når man lager sin modell og søker etter det optimale mellom inputinformasjonen og simuleringsresultatene. Det kan illustreres med følgende diagram.

Alle mulige simuleringstilfeller er plassert i kolonne 2.

Gjennomførbarhetsprinsipp er at modellen skal sikre oppnåelse av oppsatt mål med en sannsynlighet nær 1 og på en begrenset tid. Dette prinsippet kan uttrykkes i to forhold

og
, (1)

hvor
- sannsynlighet for å nå målet, - tid for å nå målet,
og - tillatte verdier for sannsynligheten og tidspunktet for å nå målet.

Prinsippet om aggregering er at modellen skal bestå av delsystemer på 1. nivå, som igjen består av delsystemer på 2. nivå osv. Delsystemer bør utformes som separate uavhengige blokker. En slik konstruksjon av modellen tillater bruk av standard beregningsprosedyrer, og gjør det også lettere å tilpasse modellen for å løse ulike problemer.

Parametriseringsprinsipp består i å erstatte, ved modellering, visse parametere for delsystemer beskrevet av funksjoner med tilsvarende numeriske egenskaper.

Prosessen med å modellere ved å bruke disse reglene er å utføre de følgende 5 trinnene (stadier).

Definisjon av formålene med modellering.

Utvikling av konseptuell modell (beregningsskjema).

Formalisering.

Modellimplementering.

Analyse og tolkning av simuleringsresultater.

Betydelige forskjeller i gjennomføringen av trinn 3-5 lar oss snakke om to tilnærminger til å bygge en modell.

Analytisk modellering- dette er bruken av en matematisk modell i form av ligninger supplert med et system av begrensninger som forbinder inngangsvariabler med utgangsparametere. Analytisk modellering brukes hvis det foreligger en fullstendig redegjørelse for forskningsproblemet og det er nødvendig å oppnå ett endelig resultat som tilsvarer det.

Simulering- dette er bruk av en matematisk modell for å beskrive hvordan systemet fungerer i tide for ulike kombinasjoner av systemparametere og ulike ytre påvirkninger. Simuleringsmodellering brukes hvis den endelige problemformuleringen ikke eksisterer og det er nødvendig å undersøke prosessene som skjer i systemet. Simuleringsmodellering forutsetter respekt for tidsskalaen. De. hendelser på modellen skjer med tidsintervaller proporsjonale med hendelsene på originalen med en konstant proporsjonalitetskoeffisient.

I henhold til bruken av verktøy for implementering av modellen, kan det skilles ut en annen type modellering, datamodellering. Datamodellering er matematisk modellering ved bruk av datateknologi.

1.3 Klassifisering av matematiske modeller

Alle matematiske modeller kan deles inn i flere grupper etter følgende klassifiseringskriterier.

I henhold til typen system som modelleres, er modellene statiske og dynamiske. Statiske modeller tjener til å studere statiske systemer, dynamiske modeller for å studere dynamiske. Dynamiske systemer kjennetegnes ved at de har mange tilstander som endrer seg over tid.

I henhold til formålene med modellering er modellene delt inn i belastning, ledelsesmessig og funksjonell. Lastmodeller brukes til å bestemme lastene som virker på elementene i systemet, kontrollmodeller brukes til å bestemme kinematiske parametere til systemet som studeres, som inkluderer hastigheter og forskyvninger av systemelementene, funksjonelle modeller brukes til å bestemme koordinatene av modellen i rommet med mulige funksjonelle tilstander i systemet.

I henhold til graden av diskretisering er modellene delt inn i diskrete, blandede og kontinuerlige. Diskrete modeller inneholder sammenkoblede elementer hvis egenskaper er konsentrert i punkter. Dette kan være masser, volumer, kraft og andre påvirkninger konsentrert på punkter. Kontinuummodeller inneholder elementer hvis parametere er fordelt langs lengden, arealet eller volumet til hele elementet. Blandede modeller inneholder elementer av begge typer.

Modell (fra latin modulus - mål) og modellering er generelle vitenskapelige begreper. Modellering fra et generelt vitenskapelig synspunkt fungerer som en måte for erkjennelse gjennom konstruksjon av spesielle objekter, systemer - modeller av objekter, fenomener eller prosesser som studeres. Samtidig kalles et eller annet objekt en modell når det brukes til å innhente informasjon om et annet objekt - prototypen til modellen.

Modelleringsmetoden brukes i praktisk talt alle vitenskaper uten unntak og på alle stadier av vitenskapelig forskning. Den heuristiske styrken til denne metoden bestemmes av det faktum at ved hjelp av modelleringsmetoden er det mulig å redusere studiet av komplekset til det enkle, det usynlige og umerkelige, og det synlige og håndgripelige, etc.

Når du studerer et objekt (prosess eller fenomen) ved hjelp av modelleringsmetoden, som modell, kan du velge de egenskapene som er av interesse for oss for øyeblikket. Vitenskapelig forskning av ethvert objekt er alltid relativt. I en spesifikk studie er det umulig å vurdere objektet i alt dets mangfold. Derfor kan ett og samme objekt ha mange forskjellige modeller, og ingen av dem kan sies å være den eneste virkelige modellen av det gitte objektet.

Det er vanlig å skille fire hoved eiendommer modeller:

enkelhet sammenlignet med objektet som studeres;

evnen til å reflektere eller reprodusere studieobjektet;

evnen til å erstatte studieobjektet på visse stadier av dets erkjennelse;

muligheten til å få ny informasjon om objektet som studeres.

Studiet av ulike fenomener eller prosesser med matematiske metoder utføres ved hjelp av en matematisk modell. Matematisk modell er en formalisert beskrivelse på matematikkspråket av objektet som studeres. En slik formalisert beskrivelse kan være et system med lineære, ikke-lineære eller differensialligninger, et system av ulikheter, et bestemt integral, et polynom med ukjente koeffisienter osv. En matematisk modell bør dekke de viktigste egenskapene til objektet som studeres og gjenspeile forhold mellom dem.

Før du lager en matematisk modell av et objekt (prosess eller fenomen), studeres det i lang tid ved forskjellige metoder: observasjon, spesielt organiserte eksperimenter, teoretisk analyse, etc., det vil si at de studerer den kvalitative siden av fenomenet ganske godt , avslører relasjonene som elementene i objektet befinner seg i. Deretter blir objektet forenklet, fra hele utvalget av egenskaper som er iboende i det, blir de viktigste skilt ut. Ved behov gjøres det antakelser om eksisterende forbindelser med omverdenen.

Som nevnt tidligere er ikke en hvilken som helst modell identisk med selve fenomenet, den gir bare en viss tilnærming til virkeligheten. Men modellen lister opp alle forutsetningene som ligger til grunn. Disse antakelsene kan være grove og likevel gi en ganske tilfredsstillende tilnærming til virkeligheten. For det samme fenomenet kan flere modeller, inkludert matematiske, bygges. For eksempel, for å beskrive bevegelsen til planetene i solsystemet, kan du bruke:

8 Keplers modell, som består av tre lover, inkludert matematiske formler (ellipselikning);

8 av Newtons modell, som består av én formel, men likevel er den mer generell og nøyaktig.

Flere modeller av lys ble vurdert i optikk: corpuscular, bølge og elektromagnetisk. Tallrike regelmessigheter av kvantitativ karakter ble avledet for dem. Hver av disse modellene krevde sin egen matematiske tilnærming og passende matematiske verktøy. Korpuskulær optikk brukte midlene til euklidisk geometri og kom til konklusjonen av lovene for refleksjon og brytning av lys. Bølgemodellen til teorien om lys krevde nye matematiske ideer, og ved rent beregningsmessige midler ble det oppdaget nye fakta knyttet til fenomenene diffraksjon og interferens av lys, som ikke hadde blitt observert før. Geometrisk optikk, knyttet til den korpuskulære modellen, viste seg å være maktesløs her.

Den konstruerte modellen bør være slik at den kan erstatte et objekt (prosess eller fenomen) i forskning, bør ha lignende egenskaper med seg. Likhet oppnås enten gjennom likhet i struktur (isomorfisme) eller analogi i atferd eller funksjon (isofunksjonalitet). Basert på likheten mellom strukturen eller funksjonen til modellen og den originale, kontrollerer, beregner og designer moderne teknologi de mest komplekse systemene, maskinene og strukturene.

Som nevnt ovenfor kan mange forskjellige modeller bygges for samme objekt, prosess eller fenomen. Noen av dem (ikke nødvendigvis alle) kan være isomorfe. For eksempel, i analytisk geometri, brukes en kurve i et plan som modell for den tilsvarende to-variable ligningen. I dette tilfellet er modellen (kurven) og prototypen (ligningen) isomorfe systemer (av punkter som ligger på kurven og tilsvarende tallpar som tilfredsstiller ligningen),

I boken "Mathematics puts an experiment" skriver akademiker N.N. Moiseev at enhver matematisk modell kan oppstå på tre måter:

Som et resultat av direkte studie og forståelse av et objekt (prosess eller fenomen) (fenomenologisk) (eksempel - ligninger som beskriver dynamikken i atmosfæren, havet),

Som et resultat av en eller annen deduksjonsprosess, når en ny modell oppnås som et spesielt tilfelle av en mer generell modell (asymptomatisk) (for eksempel ligningene for atmosfærens hydrotermodynamikk),

· Som et resultat av en eller annen induksjonsprosess, når den nye modellen er en naturlig generalisering av "elementære" modeller (modell av ensembler eller generalisert modell).

Prosessen med å utvikle matematiske modeller består av følgende etapper:

formulering av problemet;

bestemmelse av formålet med modellering;

organisering og gjennomføring av studiet av fagområdet (forskning av egenskapene til modelleringsobjektet);

utvikling av modellen;

kontrollere nøyaktigheten og samsvar med virkeligheten;

praktisk bruk, dvs. overføre kunnskapen som er oppnådd ved hjelp av modellen til objektet eller prosessen som studeres.

Modellering, som en måte å forstå naturens lover og fenomener på, får spesiell betydning i studiet av objekter som ikke er fullt tilgjengelige for direkte observasjon eller eksperimentering. Disse inkluderer sosiale systemer, den eneste mulige måten å studere på som ofte er modellering.

Det finnes ingen generelle metoder for å konstruere matematiske modeller. I hvert tilfelle er det nødvendig å gå ut fra tilgjengelige data, målorientering, ta hensyn til målene for studien, og også balansere nøyaktigheten og detaljene til modellen. Det bør gjenspeile de viktigste trekkene ved fenomenet, de essensielle faktorene som suksessen til modellering hovedsakelig avhenger av.

Når du utvikler modeller, er det nødvendig å følge følgende grunnleggende metodiske prinsipper for modellering av sosiale fenomener:

· prinsippet om problematiskhet, som innebærer bevegelsen ikke fra ferdige "universelle" matematiske modeller til problemer, men fra virkelige, presserende problemer - til søk, utvikling av spesielle modeller;

prinsippet om konsistens, som vurderer alle sammenkoblinger av det modellerte fenomenet når det gjelder elementene i systemet og dets miljø;

· prinsippet om variabilitet i formalisering av forvaltningsprosesser knyttet til spesifikke forskjeller i lovene for utvikling av natur og samfunn. For å forklare det er det nødvendig å avsløre den grunnleggende forskjellen mellom modeller av sosiale prosesser og modeller som beskriver naturfenomener.