Negative tall på en tallsirkel. Tallsirkel leksjon

Hvis du allerede er kjent med trigonometrisk sirkel , og du bare vil oppdatere individuelle elementer i minnet ditt, eller du er helt utålmodig, så er det her, :

Her vil vi analysere alt i detalj trinn for trinn.

Den trigonometriske sirkelen er ikke en luksus, men en nødvendighet

Trigonometri mange er forbundet med ufremkommelig kratt. Plutselig hoper det seg opp så mange verdier for trigonometriske funksjoner, så mange formler ... Men det er tross alt at det ikke fungerte med det første, og ... av og på ... ren misforståelse .. .

Det er veldig viktig å ikke vinke med hånden verdier av trigonometriske funksjoner,- sier de, du kan alltid se på sporen med en verditabell.

Hvis du hele tiden ser på tabellen med verdiene til trigonometriske formler, la oss bli kvitt denne vanen!

Vil redde oss! Du skal jobbe med det flere ganger, og så dukker det opp i hodet ditt av seg selv. Hvorfor er det bedre enn et bord? Ja, i tabellen finner du et begrenset antall verdier, men på sirkelen - ALT!

For eksempel, si å se på standard verditabell for trigonometriske formler , som er sinusen til for eksempel 300 grader, eller -45.

Ingen måte? .. du kan selvfølgelig koble til reduksjonsformler... Og ser du på den trigonometriske sirkelen, kan du enkelt svare på slike spørsmål. Og du vil snart vite hvordan!

Og når du løser trigonometriske ligninger og ulikheter uten en trigonometrisk sirkel - ingen steder i det hele tatt.

Introduksjon til den trigonometriske sirkelen

La oss gå i rekkefølge.

Skriv først ned følgende serie med tall:

Og nå dette:

Og til slutt denne:

Selvfølgelig er det klart at faktisk i første omgang er, i andre omgang er, og i siste -. Det vil si at vi vil være mer interessert i kjeden .

Men så vakkert det ble! I så fall vil vi gjenopprette denne "fantastiske stigen".

Og hvorfor trenger vi det?

Denne kjeden er hovedverdiene for sinus og cosinus i første kvartal.

La oss tegne en sirkel med enhetsradius i et rektangulært koordinatsystem (det vil si at vi tar hvilken som helst radius langs lengden og erklærer lengden til enhet).

Fra "0-Start"-bjelken setter vi til side i pilens retning (se fig.) hjørnene.

Vi får de tilsvarende punktene på sirkelen. Så hvis vi projiserer punktene på hver av aksene, vil vi få nøyaktig verdiene fra kjeden ovenfor.

Hvorfor er det det, spør du?

La oss ikke ta alt fra hverandre. Ta i betraktning prinsipp, som vil tillate deg å takle andre, lignende situasjoner.

Trekant AOB er en rettvinklet trekant med . Og vi vet at motsatt av vinkelen ved ligger et ben dobbelt så lite som hypotenusen (hypotenusen vår = radiusen til sirkelen, det vil si 1).

Derfor AB= (og dermed OM=). Og etter Pythagoras teorem

Jeg håper noe er klart nå.

Så punkt B vil tilsvare verdien, og punkt M vil tilsvare verdien

Tilsvarende med resten av verdiene i første kvartal.

Som du forstår, vil aksen som er kjent for oss (okse) være cosinus aksen, og aksen (oy) - sinus aksen . seinere.

Til venstre for null på cosinus-aksen (under null på sinusaksen) vil det selvfølgelig være negative verdier.

Så, her er den, den ALLKRAFTIGE, uten som ingen steder i trigonometri.

Men hvordan du bruker den trigonometriske sirkelen, skal vi snakke om.

Kapittel 2
3) nummer

la oss matche prikken.

Enhetskretsen med den etablerte korrespondansen vil bli tilkalt

tallsirkel.

Dette er den andre geometriske modellen for settet av ekte

tall. Den første modellen – talllinjen – kjenner elevene allerede. Det er

analogi: for talllinjen, korrespondanseregelen (fra tall til punkt)

nesten ordrett det samme. Men det er også en grunnleggende forskjell – kilden

hovedvansker med å jobbe med en tallsirkel: på en rett linje, hver

prikk tilsvarer den eneste tall, på en sirkel er det ikke det. Hvis

sirkel tilsvarer et tall, så tilsvarer den alle

skjemaets tall

Hvor er lengden på enhetssirkelen, og er et heltall

Ris. 1

et tall som indikerer antall komplette runder av sirkelen i en eller annen retning

side.

Dette øyeblikket er vanskelig for elevene. De bør tilbys

forstå essensen av den virkelige oppgaven:

Stadionløpebanen er 400 meter lang, løperen er 100 meter unna

fra utgangspunktet. Hvilken vei tok han? Hvis han bare begynte å løpe, da

løp 100 m; hvis du klarte å løpe en runde, så - (

To sirkler - (); hvis du kan løpe

sirkler, så blir banen (

). Nå kan du sammenligne

resultatet oppnådd med uttrykket

Eksempel 1 Hvilke tall tilsvarer prikken

tallsirkel

Beslutning. Siden lengden på hele sirkelen

Det er lengden på kvartalet hennes

Derfor, for alle tall i skjemaet

Tilsvarende fastslås hvilke tall som tilsvarer punktene

kalt henholdsvis den første, andre, tredje,

fjerde fjerdedeler av tallsirkelen.

All skoletrigonometri er basert på en numerisk modell

sirkler. Erfaring viser at manglene med denne modellen også er det

forhastet innføring av trigonometriske funksjoner tillater ikke å lage

et solid grunnlag for vellykket assimilering av materialet. Derfor ikke

du må skynde deg, og ta deg tid til å vurdere følgende

fem forskjellige typer problemer med en tallsirkel.

Den første typen oppgaver. Finne punkter på den numeriske sirkelen,

tilsvarende gitte tall, uttrykt i brøkdeler av et tall

Eksempel 2

tall

Beslutning. La oss dele buen

i to med et punkt i tre like deler -

prikker

(Fig. 2). Deretter

Altså tallet

Tilsvarende poeng

Antall
Eksempel

3.
på

numerisk

sirkler

poeng,

tilsvarende tall:

Beslutning. Vi skal bygge

a) Utsettelse av lysbuen

(lengden

) Fem ganger

fra punktet

i negativ retning

få et poeng

b) Utsettelse av lysbuen

(lengden

) syv ganger fra

i positiv retning får vi et poeng som skiller

tredje del av buen

Det vil tilsvare nummeret

c) Utsettelse av lysbuen

(lengden

) fem ganger fra punktet

positivt

retning, får vi et poeng

Skille den tredje delen av buen. Hun og

vil matche nummeret

(erfaring viser at det er bedre å ikke utsette det

fem ganger

Og 10 ganger

Etter dette eksemplet er det hensiktsmessig å gi to hovedoppsett av det numeriske

sirkler: på den første av dem (fig. 3) er alle kvartalene delt i to, på

den andre (fig. 4) - i tre like deler. Disse layoutene er nyttige å ha på kontoret

matematikk.

Ris. 2

Ris. 3 Ris. fire

Sørg for å diskutere med elevene spørsmålet: hva vil skje hvis

hver av oppsettene beveger seg ikke i positiv, men i negativ

retning? På den første layouten må de valgte punktene tildeles

andre "navn": hhv

etc.; på det andre oppsettet:

Den andre typen oppgaver. Finne punkter på den numeriske sirkelen,

tilsvarende gitte tall, ikke uttrykt i brøkdeler av et tall

Eksempel 4 Finn punkter på tallsirkelen som tilsvarer

tall 1; 2; 3; -fem.

Beslutning.

Her må vi stole på det faktum at

Derfor punkt 1

plassert på buen

nærmere poenget

Punkt 2 og 3 er på buen, den første er

Den andre er nærmere (fig. 5).

La oss ta en nærmere titt

ved å finne punktet som tilsvarer tallet - 5.

Flytt fra et punkt

i negativ retning, dvs. med urviseren

Ris. fem

pil. Hvis vi går i denne retningen til poenget

Få

Dette betyr at punktet som tilsvarer tallet - 5 er plassert

litt til høyre for prikken

(se fig.5).

Den tredje typen oppgaver. Utarbeidelse av analytiske poster (dobbel

ulikheter) for buer av en numerisk sirkel.

Faktisk handler vi videre

samme plan som ble brukt i 5.-8

klasser for å studere talllinjen:

finn først et punkt etter tall, deretter etter

prikk - tall, bruk deretter dobbel

ulikheter for å skrive hull på

nummer linje.

Tenk for eksempel på en åpen

Hvor er midten av den første

fjerdedeler av en tallsirkel, og

- det er i midten

andre kvartal (fig. 6).

Ulikhetene som karakteriserer buen, dvs. representerer

En analytisk modell av lysbuen foreslås satt sammen i to trinn. På den første

scenen utgjør kjernen analytisk rekord(dette er det viktigste å følge

lære elevene) for en gitt bue

På den andre

scene utgjør en generell rekord:

Hvis vi snakker om bue

Deretter, når du skriver kjernen, må du ta hensyn til det

() ligger inne i buen, og derfor må du flytte til begynnelsen av buen

i negativ retning. Derfor kjernen i den analytiske notasjonen til buen

har formen

Ris. 6

Begrepene "kjernen til det analytiske

arc records", "analytisk rekord

buer" er ikke generelt akseptert,

hensyn.

Fjerde

oppgaver.

Finne

kartesisk

koordinater

tall sirkelpunkter, senter

som er kombinert med begynnelsen av systemet

koordinater.

La oss først vurdere et ganske subtilt poeng, inntil nå

praktisk talt ikke nevnt i gjeldende skolebøker.

Begynner å studere modellen "numerisk sirkel på en koordinat

fly", bør lærere være tydelig klar over hvilke vanskeligheter som venter

studenter her. Disse vanskelighetene er knyttet til det faktum at i studiet av dette

modeller fra skoleelever er pålagt å ha et tilstrekkelig høyt nivå

matematisk kultur, fordi de må jobbe samtidig i

to koordinatsystemer - i "kurvilineær", når informasjon om

posisjonen til punktet tas langs sirkelen (tall

tilsvarer

sirkelpunkt

(); er den "kurvilineære koordinaten" til punktet), og i

Kartesisk rektangulært koordinatsystem (på punktet

Som hvert punkt

koordinatplan, det er en abscisse og en ordinat). Lærerens oppgave er å hjelpe

skolebarn for å overvinne disse naturlige vanskelighetene. Dessverre,

vanligvis i skolebøkene tar de ikke hensyn til dette og fra begynnelsen

første leksjoner bruker notater

Ikke med tanke på at brevet inn

i hodet til et skolebarn er tydelig assosiert med abscissen i kartesisk

rektangulært koordinatsystem, og ikke med lengden reist langs det numeriske

sti sirkler. Når man jobber med en tallsirkel bør man derfor ikke

bruke symboler

Ris. 7

La oss gå tilbake til den fjerde typen oppgaver. Det handler om å gå fra å skrive

poster

(), dvs. fra krumlinjede til kartesiske koordinater.

La oss kombinere tallsirkelen med det kartesiske rektangulære systemet

koordinater som vist i fig. 7. Deretter prikker

vil ha

følgende koordinater:

() () () (). Veldig viktig

lære elevene å bestemme koordinatene til alle de punktene som

merket på to hovedoppsett (se Fig.3,4). For poeng

Det hele kommer ned til

vurderer en likebenet rettvinklet trekant med en hypotenusa

Bena hans er like

Så koordinatene

). Det samme gjelder poeng.

Men den eneste forskjellen er at du må ta hensyn

abscisse og ordinattegn. Nærmere bestemt:

Hva bør elevene huske? Bare at modulene til abscissen og

ordinatene ved midtpunktene til alle fjerdedeler er like

Og de må kjenne tegnene

bestemme for hvert punkt direkte fra tegningen.

For poeng

Det hele kommer ned til å vurdere en rektangulær

trekant med hypotenusa 1 og vinkel

(Fig. 9). Så kateten

motsatt hjørne

Vil være lik

ved siden av

√

Midler,

punktkoordinater

Det samme gjelder for poenget

bare bena "bytter plass", og derfor

Ris. 8

Ris. ni

vi får

). Det er betydningene

(opp til skilt) og blir

"server" alle punkter i det andre oppsettet (se fig. 4), bortsett fra punkter

som abscisse og ordinat. Foreslått måte å huske på: "hvor er kortere,

; der den er lengre

Eksempel 5 Finn koordinatene til et punkt

(se fig.4).

Beslutning. Punktum

Nærmere den vertikale aksen enn til

horisontalt, dvs. modulen til abscissen er mindre enn modulen til ordinaten.

Så modulen til abscissen er

Ordinatens modul er

tegn i begge

saker er negative (tredje kvartal). Konklusjon: prikk

Har koordinater

I den fjerde typen problemer, de kartesiske koordinatene til alle

punkter presentert på den første og andre layouten som er nevnt

I løpet av denne typen oppgaver forbereder vi faktisk elevene på

beregning av verdier av trigonometriske funksjoner. Hvis alt er her

fungerte ganske pålitelig, så overgangen til et nytt abstraksjonsnivå

(ordinat - sinus, abscisse - cosinus) vil være mindre smertefullt enn

Den fjerde typen inkluderer oppgaver av denne typen: for et poeng

finne tegn på kartesiske koordinater

Avgjørelsen skal ikke skape vanskeligheter for elevene: antallet

matchpoeng

Fjerde kvartal betyr .

Femte type oppgaver. Finne punkter på den numeriske sirkelen ved

gitte koordinater.

Eksempel 6 Finn punkter med ordinat på en tallsirkel

skriv ned hvilke tall de tilsvarer.

Beslutning. Rett

Krysser tallsirkelen på punkter
(Fig. 11). Ved hjelp av det andre oppsettet (se fig. 4) satte vi det punktet

tilsvarer tallet

Så hun

samsvarer med alle tallene i skjemaet
tilsvarer tallet

Og det betyr

alle tall i skjemaet

Svar:

Eksempel 7 Finn på numerisk

sirkelpunkt med abscisse

skriv ned hvilke tall de tilsvarer.

Beslutning. Rett
√

skjærer tallsirkelen i punkter

- i midten av andre og tredje kvartal (fig. 10). Ved hjelp av den første

layout satt det punktet

tilsvarer tallet

Og det betyr alle

skjemaets tall

tilsvarer tallet

Og det betyr alle

skjemaets tall

Svar:

Du må vise det andre alternativet.

ta opp svaret for eksempel 7. Tross alt, poenget

tilsvarer tallet

De. alle tall i skjemaet

vi får:

Ris. 10

Fig.11

Understrek den ubestridelige betydningen

den femte typen oppgaver. Faktisk underviser vi

skolebarn

beslutning

protozoer

trigonometriske ligninger: i eksempel 6

det handler om ligningen

Og i eksemplet

- om ligningen

forståelse av essensen av saken er viktig å undervise

skoleelever løser ligninger av typene

langs tallsirkelen

ikke skynd deg inn i formler

Erfaring viser at hvis det første trinnet (arbeid på

numerisk sirkel) er ikke utarbeidet pålitelig nok, deretter den andre fasen

(arbeid med formler) oppfattes av skoleelever formelt, at

Naturligvis må det overvinnes.

I likhet med eksempel 6 og 7 skal finnes på tallsirkelen

punkter med alle "store" ordinater og abscisser

Som spesialfag er det hensiktsmessig å trekke frem følgende:

Merknad 1. I propedeutiske termer, forberedende

arbeid med temaet "Lengde på en sirkel" i løpet av geometri på 9. klasse. Viktig

råd: øvelsessystemet bør inkludere oppgaver av den foreslåtte typen

under. Enhetssirkelen er delt inn i fire like deler med punkter

buen er halvert av et punkt og buen er halvert av punkter

i tre like deler (fig. 12). Hva er lengden på buene

(det antas at omseilingen av sirkelen utføres positivt

retning)?

Ris. 12

Den femte typen oppgaver inkluderer arbeid med forhold som

midler
til

beslutning

protozoer

trigonometriske ulikheter, "passer" vi også gradvis.

fem leksjoner og bare i sjette leksjon skal definisjonene av sinus og

cosinus som koordinatene til et punkt på en numerisk sirkel. Hvori

det er tilrådelig å løse alle typer problemer med skoleelever igjen, men med

ved å bruke den introduserte notasjonen, tilby å utføre slikt

for eksempel oppgaver: beregne

løse ligningen

ulikhet

etc. Det legger vi vekt på i de første timene

trigonometri enkle trigonometriske ligninger og ulikheter

er ikke hensikt trening, men brukes som midler til

mestre det viktigste - definisjonene av sinus og cosinus som koordinater av punkter

tallsirkel.

La nummeret

matchpoeng

tallsirkel. Så er det abscisse

kalt cosinus av et tall

og betegnet

Og ordinaten kalles sinusen til et tall

og er merket. (Fig. 13).

Fra denne definisjonen kan man umiddelbart

sett fortegnene for sinus og cosinus iht

kvartaler: for sinus

For kosinus

Dediker en hel leksjon til dette (som det er

akseptert) er neppe passende. Det følger ikke med

tvinge skolebarn til å huske disse tegnene: alle mekaniske

memorering, memorering er en voldelig teknikk som elever,

>> Tallsirkel

Mens vi studerte algebrakurset på klassetrinn 7-9, har vi så langt behandlet algebraiske funksjoner, dvs. funksjoner gitt analytisk av uttrykk, i notasjonen som algebraiske operasjoner på tall og en variabel ble brukt (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, inndeling, eksponentiering, kvadratrotekstraksjon). Men matematiske modeller av virkelige situasjoner er ofte assosiert med funksjoner av en annen type, ikke algebraiske. Med de første representantene for klassen av ikke-algebraiske funksjoner - trigonometriske funksjoner - vil vi bli kjent i dette kapittelet. Du vil studere trigonometriske funksjoner og andre typer ikke-algebraiske funksjoner (eksponentielle og logaritmiske) mer detaljert på videregående.
For å introdusere trigonometriske funksjoner trenger vi en ny matematisk modell- en tallsirkel, som du ennå ikke har møtt, men som er godt kjent med tallinjen. Husk at en talllinje er en linje der startpunktet O, skalaen (enkelt segment) og den positive retningen er gitt. Vi kan assosiere et hvilket som helst reelt tall med et punkt på en rett linje og omvendt.

Hvordan finne det tilsvarende punktet M på linjen gitt tallet x? Tallet 0 tilsvarer startpunktet O. Hvis x > 0, må du bevege deg i en rett linje fra punktet 0 i positiv retning, gå n^te lengde x; slutten av denne banen vil være det ønskede punktet M(x). Hvis x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

Og hvordan løste vi det omvendte problemet, dvs. hvordan fant du x-koordinaten til et gitt punkt M på tallinjen? Vi fant lengden på segmentet OM og tok det med tegnet "+" eller * - "avhengig av hvilken side av punktet O punktet M ligger på den rette linjen.

Men i det virkelige liv må du ikke bare bevege deg i en rett linje. Ganske ofte vurderes bevegelse sirkler. Her er et konkret eksempel. Vi vil betrakte stadionløpebanen som en sirkel (faktisk er det selvfølgelig ikke en sirkel, men husk, som sportskommentatorer vanligvis sier: "løperen løp en sirkel", "det er en halv sirkel igjen å løpe" til målstreken”, etc.), dens lengde er 400 m. Starten er markert - punkt A (fig. 97). Løperen fra punkt A beveger seg i en sirkel mot klokken. Hvor vil han være på 200 meter? etter 400 m? etter 800 m? etter 1500 m? Og hvor skal man trekke målstreken hvis han løper en maratondistanse på 42 km 195 m?

Etter 200 m vil han være i punkt C, diametralt motsatt punkt A (200 m er lengden på halve tredemøllen, dvs. lengden på halve sirkelen). Etter å ha løpt 400 m (dvs. "én runde", som utøverne sier), vil han gå tilbake til punkt A. Etter å ha løpt 800 m (dvs. "to runder"), vil han igjen være på punkt A. Og hva er 1500 m? Dette er "tre sirkler" (1200 m) pluss ytterligere 300 m, dvs. 3

Tredemølle - avslutningen på denne distansen vil være ved punkt 2) (Fig. 97).

Vi må forholde oss til maraton. Etter å ha løpt 105 runder vil utøveren overvinne distansen 105-400 = 42 000 m, dvs. 42 km. Det er 195 m igjen til mål, som er 5 m mindre enn halve omkretsen. Dette betyr at målgang på maratondistansen vil være ved punkt M, som ligger nær punkt C (fig. 97).

Kommentar. Selvfølgelig forstår du konvensjonen til det siste eksemplet. Ingen løper maratondistansen rundt stadion, maks er 10.000 m, d.v.s. 25 sirkler.

Du kan løpe eller gå en sti av hvilken som helst lengde langs stadions løpebane. Dette betyr at ethvert positivt tall tilsvarer et punkt - "avslutningen på avstanden". Dessuten kan ethvert negativt tall knyttes til et sirkelpunkt: du trenger bare å få utøveren til å løpe i motsatt retning, dvs. start fra punkt A ikke i motsatt retning, men med klokken. Da kan stadionløpebanen betraktes som en numerisk sirkel.

I prinsippet kan enhver sirkel betraktes som en numerisk, men i matematikk ble det avtalt å bruke en enhetssirkel til dette formålet - en sirkel med radius 1. Dette vil være vår "tredemølle". Lengden b av en sirkel med radius K beregnes med formelen Lengden på en halvsirkel er n, og lengden på en kvart sirkel er AB, BC, SB, DA i fig. 98 - lik Vi er enige om å kalle buen AB den første fjerdedelen av enhetssirkelen, buen BC - den andre fjerdedelen, buen CB - den tredje fjerdedelen, buen DA - den fjerde fjerdedelen (fig. 98). I dette tilfellet snakker vi vanligvis om en åpen bue, dvs. om en bue uten ender (noe som et intervall på en talllinje).

Definisjon. En enhetssirkel er gitt, startpunktet A er markert på den - den høyre enden av den horisontale diameteren (fig. 98). Knytt hvert reelt tall I til et sirkelpunkt i henhold til følgende regel:

1) hvis x > 0, så, ved å bevege oss fra punkt A i retning mot klokken (den positive retningen for å gå rundt sirkelen), beskriver vi en lengdebane rundt sirkelen og endepunktet M for denne banen vil være det ønskede punktet : M = M (x);

2) hvis x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

0 tildeler vi punkt A: A = A(0).

En enhetssirkel med etablert korrespondanse (mellom reelle tall og punkter i sirkelen) vil bli kalt en tallsirkel.
Eksempel 1 Finn på tallsirkelen
Siden de første seks av de gitte syv tallene er positive, må du for å finne de tilsvarende punktene på sirkelen gå langs sirkelen en bane med en gitt lengde, og bevege deg fra punkt A i positiv retning. Samtidig tar vi hensyn til det

Punkt A tilsvarer tallet 2, siden etter å ha passert en bane med lengde 2 langs sirkelen, dvs. nøyaktig én sirkel, kommer vi igjen til startpunktet A Så, A \u003d A (2).
Hva Så når du beveger deg fra punkt A i en positiv retning, må du gå gjennom en hel sirkel.

Kommentar. Når vi går i 7. eller 8. klasse jobbet med tallinjen ble vi for korthets skyld enige om ikke å si "punktet på linjen som tilsvarer tallet x", men å si "punktet x". Vi vil holde oss til nøyaktig samme avtale når vi arbeider med en numerisk sirkel: "punkt f" - dette betyr at vi snakker om et sirkelpunkt som tilsvarer tallet
Eksempel 2
Ved å dele det første kvartalet AB i tre like deler med punktene K og P, får vi:

Eksempel 3 Finn punkter på tallsirkelen som tilsvarer tall
Vi vil lage konstruksjoner ved hjelp av fig. 99. Utsettelse av buen AM (lengden er lik -) fra punktet A fem ganger i negativ retning, får vi punktet!, - midten av buen BC. Så,

Kommentar. Legg merke til noen friheter vi tar ved å bruke matematisk språk. Det er klart at buen AK og lengden på buen AK er forskjellige ting (det første konseptet er en geometrisk figur, og det andre konseptet er et tall). Men begge er betegnet på samme måte: AK. Videre, hvis punktene A og K er forbundet med et segment, er både det resulterende segmentet og dets lengde betegnet på samme måte: AK. Det fremgår vanligvis tydelig av konteksten hvilken betydning som er knyttet til betegnelsen (bue, buelengde, segment eller segmentlengde).

Derfor vil to oppsett av tallsirkelen være svært nyttige for oss.

FØRSTE LAYOUT
Hver av de fire fjerdedelene av den numeriske sirkelen er delt inn i to like deler, og deres "navn" er skrevet nær hvert av de åtte tilgjengelige punktene (fig. 100).

ANDRE LAYOUT Hver av de fire fjerdedelene av den numeriske sirkelen er delt inn i tre like deler, og deres "navn" er skrevet nær hvert av de tolv tilgjengelige punktene (fig. 101).

Vær oppmerksom på at på begge layoutene kan vi tildele andre "navn" til de gitte punktene.
Har du lagt merke til at i alle eksemplene som er analysert, er lengden på buene
uttrykt ved noen brøkdeler av tallet n? Dette er ikke overraskende: tross alt er lengden på en enhetssirkel 2n, og hvis vi deler sirkelen eller dens fjerdedel i like deler, får vi buer hvis lengder er uttrykt som brøkdeler av tallet og. Og hva tror du, er det mulig å finne et slikt punkt E på enhetssirkelen at lengden på buen AE blir lik 1? La oss gjette:

Ved å argumentere på en lignende måte konkluderer vi med at man på enhetssirkelen kan finne både punktet Eg, for hvilket AE, = 1, og punktet E2, for hvilket AEg = 2, og punktet E3, for hvilket AE3 = 3, og punktet E4, for hvilket AE4 = 4, og punktet Eb, for hvilket AEb = 5, og punktet E6, for hvilket AE6 = 6. I fig. 102 (omtrent) er de tilsvarende punktene merket (i tillegg, for orientering er hvert av kvartalene i enhetssirkelen delt med streker i tre like deler).

Eksempel 4 Finn på tallsirkelen punktet som tilsvarer tallet -7.

Vi trenger, med utgangspunkt i punktet A (0) og beveger oss i negativ retning (med klokken), gå rundt sirkelbanen med lengde 7. Hvis vi går gjennom én sirkel, får vi (omtrent) 6,28, som betyr at vi må fortsatt gå (i samme retning) en vei med lengde 0,72. Hva er denne buen? Litt mindre enn en halv kvart sirkel, dvs. lengden er mindre enn antall -.

Så, en numerisk sirkel, som en numerisk rett linje, tilsvarer hvert reelle tall ett punkt (bare, selvfølgelig, er det lettere å finne det på en rett linje enn på en sirkel). Men for en rett linje er det motsatte også sant: hvert punkt tilsvarer et enkelt tall. For en numerisk sirkel er et slikt utsagn ikke sant, vi har gjentatte ganger overbevist oss selv om dette ovenfor. For en tallsirkel er følgende utsagn sann.
Hvis punktet M i den numeriske sirkelen tilsvarer tallet I, tilsvarer det også tallet på formen I + 2k, hvor k er et hvilket som helst heltall (k e 2).

Faktisk er 2n lengden på den numeriske (enhets)sirkelen, og heltallet |d| kan betraktes som antall komplette runder av sirkelen i en eller annen retning. Hvis for eksempel k = 3, betyr dette at vi gjør tre runder av sirkelen i positiv retning; hvis k \u003d -7, betyr dette at vi lager syv (| k | \u003d | -71 \u003d 7) runder av sirkelen i negativ retning. Men hvis vi er ved punktet M(1), så ved å gjøre mer | til | fulle sirkler, vil vi igjen finne oss selv ved punktet M.

A.G. Mordkovich Algebra klasse 10

Leksjonens innhold leksjonssammendrag støtteramme leksjonspresentasjon akselerative metoder interaktive teknologier Øve på oppgaver og øvelser selvransakelsesverksteder, treninger, case, oppdrag lekser diskusjonsspørsmål retoriske spørsmål fra studenter Illustrasjoner lyd, videoklipp og multimedia fotografier, bilder grafikk, tabeller, skjemaer humor, anekdoter, vitser, tegneserier lignelser, ordtak, kryssord, sitater Tillegg sammendrag artikler brikker for nysgjerrige jukseark lærebøker grunnleggende og tilleggsordliste andre Forbedre lærebøker og leksjonerrette feil i læreboka oppdatere et fragment i læreboken elementer av innovasjon i leksjonen erstatte foreldet kunnskap med ny Kun for lærere perfekte leksjoner kalenderplan for året metodiske anbefalinger av diskusjonsprogrammet Integrerte leksjoner

Når man studerer trigonometri på skolen, blir hver elev møtt med et veldig interessant konsept om "numerisk sirkel". Det avhenger av skolelærerens evne til å forklare hva det er og hvorfor det trengs, hvor godt eleven vil gå til trigonometri senere. Dessverre er det ikke alle lærere som kan forklare dette materialet på en tilgjengelig måte. Som et resultat blir mange elever forvirret selv med hvordan de skal feire punkter på tallsirkelen. Hvis du leser denne artikkelen til slutten, vil du lære hvordan du gjør det uten problemer.

Så la oss komme i gang. La oss tegne en sirkel, hvis radius er lik 1. Det mest "riktige" punktet i denne sirkelen vil bli merket med bokstaven O:

Gratulerer, du har nettopp tegnet en enhetssirkel. Siden radiusen til denne sirkelen er 1, er lengden .

Hvert reelt tall kan assosieres med lengden på banen langs tallsirkelen fra punktet O. Bevegelsesretningen er mot klokken som positiv retning. For negativ - med klokken:

Arrangement av punkter på en tallsirkel

Som vi allerede har bemerket, er lengden på den numeriske sirkelen (enhetssirkelen) lik. Hvor vil da nummeret ligge på denne sirkelen? Tydeligvis fra poenget O mot klokken må du gå halve lengden av sirkelen, og vi vil finne oss selv på ønsket punkt. La oss betegne det med en bokstav B:

Merk at det samme punktet kan nås ved å føre halvsirkelen i negativ retning. Så ville vi sette tallet på enhetssirkelen. Det vil si tallene og tilsvarer samme punkt.

Dessuten tilsvarer det samme punktet også tallene , , , og generelt sett et uendelig sett med tall som kan skrives på formen , der , det vil si tilhører settet med heltall. Alt dette er fordi fra poenget B du kan foreta en "jorden rundt"-tur i alle retninger (legge til eller trekke fra omkretsen) og komme til samme punkt. Vi får en viktig konklusjon som må forstås og huskes.

Hvert tall tilsvarer et enkelt punkt på tallsirkelen. Men hvert punkt på tallsirkelen tilsvarer uendelig mange tall.

La oss nå dele den øvre halvsirkelen av den numeriske sirkelen i buer av lik lengde med et punkt C. Det er lett å se at buelengden OC er lik . La oss legge til side nå fra poenget C en bue av samme lengde i retning mot klokken. Som et resultat kommer vi til poenget B. Resultatet er ganske forventet, siden . La oss utsette denne buen i samme retning igjen, men nå fra punktet B. Som et resultat kommer vi til poenget D, som allerede vil samsvare med tallet:

Merk igjen at dette punktet tilsvarer ikke bare tallet , men også for eksempel tallet , fordi dette punktet kan nås ved å sette til side fra punktet O kvartsirkel i retning med klokken (i negativ retning).

Og generelt merker vi igjen at dette punktet tilsvarer et uendelig antall tall som kan skrives i formen . Men de kan også skrives som . Eller, om du vil, i form av . Alle disse postene er helt likeverdige, og de kan fås fra hverandre.

La oss nå bryte buen inn OC halvert prikk M. Tenk nå hva lengden på buen er OM? Det stemmer, halve buen OC. Det er . Hvilke tall tilsvarer prikken M på en tallsirkel? Jeg er sikker på at du nå vil innse at disse tallene kan skrives i skjemaet.

Men det er mulig ellers. La oss ta inn den presenterte formelen. Da får vi det . Det vil si at disse tallene kan skrives som . Det samme resultatet kan oppnås ved å bruke en tallsirkel. Som jeg sa, begge oppføringene er likeverdige, og de kan fås fra hverandre.

Nå kan du enkelt gi et eksempel på tall som tilsvarer poeng N, P og K på tallsirkelen. For eksempel tall , og :

Ofte er det nettopp de minimale positive tallene som brukes for å betegne de tilsvarende punktene på tallsirkelen. Selv om dette slett ikke er nødvendig, og poenget N, som du allerede vet, tilsvarer et uendelig antall andre tall. Inkludert for eksempel nummeret .

Hvis du bryter buen OC i tre like buer med prikker S og L, så poenget S vil ligge mellom punktene O og L, deretter buelengden OS vil være lik , og lengden på buen OL vil være lik . Ved å bruke kunnskapen du mottok i forrige del av leksjonen, kan du enkelt finne ut hvordan resten av punktene på tallsirkelen ble:

Tall som ikke er multipler av π på tallsirkelen

La oss nå stille oss selv spørsmålet, hvor på talllinjen skal vi markere punktet som tilsvarer tallet 1? For å gjøre dette er det nødvendig fra det mest "riktige" punktet i enhetssirkelen O sett til side en bue hvis lengde vil være lik 1. Vi kan bare omtrentlig angi plasseringen av ønsket punkt. La oss fortsette som følger.

Tallsirkel er en enhetssirkel hvis punkter tilsvarer visse reelle tall.

En enhetssirkel er en sirkel med radius 1.

Generell oversikt over tallsirkelen.

1) Dens radius er tatt som en måleenhet.

2) De horisontale og vertikale diameterne deler den numeriske sirkelen i fire fjerdedeler. De kalles henholdsvis første, andre, tredje og fjerde kvartal.

3) Den horisontale diameteren er betegnet med AC, hvor A er den ekstreme Ikke sant punktum.
Den vertikale diameteren er betegnet BD, med B som det høyeste punktet.
Henholdsvis:

første kvartal er buen AB

andre kvartal - bue f.Kr

tredje kvartal - arc CD

fjerde kvartal - bue DA

4) Utgangspunktet for den numeriske sirkelen er punkt A.

Tallsirkelen kan telles enten med eller mot klokken.

Teller fra punkt A vs med klokken kalles positiv retning.

Teller fra punkt A på med klokken kalles negativ retning.

Tallsirkel på koordinatplanet.

Sentrum av radiusen til den numeriske sirkelen tilsvarer origo (nummer 0).

Horisontal diameter tilsvarer aksen x, vertikale - akser y.

Utgangspunkt En tallsirkelti er på aksenxog har koordinater (1; 0).

Navn og plassering av hovedpunktene i tallsirkelen:

Hvordan huske navnene på tallsirkelen.

Det er noen få enkle mønstre som vil hjelpe deg med å huske de grunnleggende navnene på tallsirkelen.

Før vi starter, husker vi: nedtellingen er i positiv retning, det vil si fra punkt A (2π) mot klokken.

1) La oss ta utgangspunkt i ytterpunktene på koordinataksene.

Startpunktet er 2π (punktet lengst til høyre på aksen X lik 1).

Som du vet, er 2π omkretsen av en sirkel. Så halve sirkelen er 1π eller π. Akser X deler sirkelen i to. Følgelig punktet lengst til venstre på aksen X lik -1 kalles π.

Høyeste punkt på aksen på, lik 1, halverer den øvre halvsirkelen. Så hvis halvsirkelen er π, så er halvsirkelen π/2.

Samtidig er π/2 også en kvart sirkel. Vi teller tre slike kvartaler fra første til tredje - og vi kommer til det laveste punktet på aksen på lik -1. Men hvis det inkluderer tre fjerdedeler, er navnet 3π/2.

2) La oss nå gå videre til resten av punktene. Vennligst merk: alle motsatte punkter har samme nevner - dessuten er disse motsatte punkter og i forhold til aksen på, og i forhold til sentrum av aksene, og i forhold til aksen X. Dette vil hjelpe oss å kjenne poengverdiene deres uten å stappe.

Det er nødvendig å huske bare verdien av punktene i første kvartal: π / 6, π / 4 og π / 3. Og så vil vi "se" noen mønstre:

- Akse relativ på ved punktene i andre kvartal, i motsetning til punktene i første kvartal, er tallene i tellerne 1 mindre enn nevnerne. Ta for eksempel punktet π/6. Motsatt punkt om aksen på har også 6 i nevneren, og 5 i telleren (1 mindre). Det vil si navnet på dette punktet: 5π/6. Punktet motsatt av π/4 har også 4 i nevneren, og 3 i telleren (1 mindre enn 4) - det vil si at dette er punktet 3π/4.
Punktet motsatt av π/3 har også 3 i nevneren, og 1 mindre i telleren: 2π/3.

- I forhold til midten av koordinataksene det motsatte er sant: tallene i tellerne til de motsatte punktene (i tredje kvartal) er 1 mer enn verdiene til nevnerne. Ta punktet π/6 igjen. Punktet motsatt i forhold til sentrum har også 6 i nevneren, og i telleren er tallet 1 til - det vil si at det er 7π / 6.
Punktet motsatt av punktet π/4 har også 4 i nevneren, og tallet i telleren er 1 til: 5π/4.
Punktet motsatt av punktet π/3 har også 3 i nevneren, og tallet i telleren er 1 til: 4π/3.

- Akse relativ X(fjerde kvarter) saken er vanskeligere. Her er det nødvendig å legge til verdien av nevneren et tall som er 1 mindre - denne summen vil være lik den numeriske delen av telleren til det motsatte punktet. La oss starte på nytt med π/6. La oss legge til verdien av nevneren, lik 6, et tall som er 1 mindre enn dette tallet - det vil si 5. Vi får: 6 + 5 = 11. Derfor motsatt av det med hensyn til aksen X punktet vil ha 6 i nevneren, og 11 i telleren - det vil si 11π / 6.

Punkt π/4. Vi legger til verdien av nevneren et tall 1 mindre: 4 + 3 = 7. Derfor motsatt med hensyn til aksen X punktet har 4 i nevneren og 7 i telleren, dvs. 7π/4.
Punkt π/3. Nevneren er 3. Vi legger til 3 ett tall mindre - det vil si 2. Vi får 5. Derfor har det motsatte punktet 5 i telleren - og dette er punktet 5π / 3.

3) En annen regularitet for midtpunktene i kvartalene. Det er tydelig at nevneren deres er 4. La oss ta hensyn til tellerne. Telleren for midten av første kvartal er 1π (men 1 er ikke vanlig å skrive). Telleren for midten av andre kvartal er 3π. Telleren for midten av tredje kvartal er 5π. Telleren for midten av fjerde kvartal er 7π. Det viser seg at i tellerne til midtpunktene til kvartalene er det de fire første oddetallene i stigende rekkefølge:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Det er også veldig enkelt. Siden midten av alle kvartaler har 4 i nevneren, kjenner vi allerede deres fulle navn: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Funksjoner av tallsirkelen. Sammenligning med en talllinje.

Som du vet, på talllinjen tilsvarer hvert punkt et enkelt tall. For eksempel, hvis punkt A på en rett linje er lik 3, kan det ikke være lik noe annet tall.

Det er annerledes på tallsirkelen fordi det er en sirkel. For eksempel, for å komme fra punkt A i sirkelen til punkt M, kan du gjøre det som på en rett linje (bare etter å ha passert buen), eller du kan gå rundt hele sirkelen og så komme til punkt M. Konklusjon:

La punktet M være lik et tall t. Som vi vet er omkretsen av en sirkel 2π. Derfor kan vi skrive punktet til sirkelen t på to måter: t eller t + 2π. Dette er tilsvarende verdier.
Det vil si t = t + 2π. Den eneste forskjellen er at i det første tilfellet kom du til punkt M umiddelbart uten å lage en sirkel, og i det andre tilfellet laget du en sirkel, men endte opp i samme punkt M. Du kan lage to, tre og to hundre slike sirkler.. Hvis vi angir antall sirkler med bokstaven n, får vi et nytt uttrykk:
t = t + 2π n.

Derav formelen: