Omkretsen av en likebenet trekant tabell 3 løsning. Omkrets og areal av en trekant

Omkretsen til en trekant, som i andre ting og enhver figur, kalles summen av lengdene på alle sider. Ganske ofte hjelper denne verdien med å finne området eller brukes til å beregne andre parametere i figuren.
Formelen for omkretsen av en trekant ser slik ut:

Et eksempel på beregning av omkretsen til en trekant. La en trekant gis med sidene a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm Bytt ut dataene i formelen: cm

Formel for å beregne omkretsen likebent trekant vil se slik ut:

Formel for å beregne omkretsen likesidet trekant:

Et eksempel på beregning av omkretsen til en likesidet trekant. Når alle sidene i figuren er like, kan de ganske enkelt multipliseres med tre. La oss si at en vanlig trekant med en side på 5 cm er gitt i dette tilfellet: cm

Generelt, når alle sider er gitt, er det ganske enkelt å finne omkretsen. I andre situasjoner kreves det å finne størrelsen på den manglende siden. I en rettvinklet trekant kan du finne den tredje siden Pythagoras teorem. For eksempel, hvis lengden på bena er kjent, kan du finne hypotenusen ved å bruke formelen:

Tenk på et eksempel på beregning av omkretsen til en likebenet trekant, forutsatt at vi vet lengden på bena i en rettvinklet likebenet trekant.
Gitt en trekant med ben a \u003d b \u003d 5 cm. Finn omkretsen. La oss først finne den manglende siden med . cm
La oss nå beregne omkretsen: cm
Omkretsen til en rett likebenet trekant vil være 17 cm.

I tilfellet når hypotenusen og lengden på ett ben er kjent, kan den manglende finne ved hjelp av formelen:
Hvis hypotenusen og en av de spisse vinklene er kjent i en rettvinklet trekant, blir den manglende siden funnet av formelen.

Enhver trekant er lik summen av lengdene av de tre sidene. Den generelle formelen for å finne omkretsen til trekanter er:

P = en + b + c

hvor P er omkretsen av trekanten en, b og c- hans sider.

Den kan bli funnet ved å legge til lengdene på sidene i serie eller ved å multiplisere lengden på siden med 2 og legge til lengden på basen til produktet. Den generelle formelen for å finne omkretsen av likebenede trekanter vil se slik ut:

P = 2en + b

hvor P er omkretsen av en likebenet trekant, en- noen av sidene, b- utgangspunkt.

Du kan finne den ved å legge til lengdene på sidene i serie eller ved å multiplisere lengden på en av sidene med 3. Den generelle formelen for å finne omkretsen til likesidede trekanter vil se slik ut:

P = 3en

hvor P er omkretsen av en likesidet trekant, en- noen av sidene.

Torget

For å måle arealet til en trekant, kan du sammenligne det med et parallellogram. Tenk på en trekant ABC:

Hvis du tar en trekant lik den og fester den slik at du får et parallellogram, får du et parallellogram med samme høyde og base som denne trekanten:

I dette tilfellet er den vanlige siden av trekantene foldet sammen diagonalen til det dannede parallellogrammet. Fra egenskapen til parallellogrammer er det kjent at diagonalen alltid deler parallellogrammet i to like trekanter, noe som betyr at arealet til hver trekant er lik halvparten av parallellogrammets areal.

Siden arealet til et parallellogram er lik produktet av basen og høyden, vil arealet av en trekant være lik halvparten av dette produktet. Så for Δ ABC arealet vil være lik

Tenk nå på en rettvinklet trekant:

To like rettvinklede trekanter kan brettes til et rektangel hvis de lenes mot hverandre av hypotenusen. Siden arealet av et rektangel er lik produktet av dets tilstøtende sider, er arealet av en gitt trekant:

Fra dette kan vi konkludere med at arealet til enhver rettvinklet trekant er lik produktet av bena delt på 2.

Fra disse eksemplene kan det konkluderes at arealet av en hvilken som helst trekant er lik produktet av lengden på basen og høyden falt til basen, delt på 2. Den generelle formelen for å finne arealet av trekanter vil se slik ut:

S =	ah a
	2

hvor S er arealet av trekanten, en- dets grunnlag h a- høyde senket til basen en.

Foreløpig informasjon

Omkretsen til enhver flat geometrisk figur i planet er definert som summen av lengdene på alle sidene. Trekanten er intet unntak fra dette. Først gir vi konseptet med en trekant, samt typene trekanter avhengig av sidene.

Definisjon 1

Vi vil kalle en trekant en geometrisk figur, som er sammensatt av tre punkter forbundet med segmenter (fig. 1).

Definisjon 2

Punktene innenfor definisjon 1 vil bli kalt toppunktene til trekanten.

Definisjon 3

Segmentene innenfor rammen av definisjon 1 vil bli kalt sidene i trekanten.

Enhver trekant vil åpenbart ha 3 toppunkter samt 3 sider.

Avhengig av forholdet mellom sidene og hverandre, er trekanter delt inn i skala, likebenet og likesidet.

Definisjon 4

En trekant sies å være skalaen hvis ingen av sidene er lik noen annen.

Definisjon 5

Vi vil kalle en trekant likebenet hvis to av sidene er like hverandre, men ikke lik den tredje siden.

Definisjon 6

En trekant kalles likesidet hvis alle sidene er like hverandre.

Du kan se alle typer av disse trekantene i figur 2.

Hvordan finne omkretsen til en skalatrekant?

La oss få en skala trekant med sidelengder lik $α$, $β$ og $γ$.

Produksjon: For å finne omkretsen til en skala-trekant legger du sammen alle lengdene på sidene.

Eksempel 1

Finn omkretsen til en skala trekant lik $34$ cm, $12$ cm og $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Svar: $57 se.

Eksempel 2

Finn omkretsen til en rettvinklet trekant hvis ben er $6$ og $8$ cm.

Først finner vi lengden på hypotenusene til denne trekanten ved å bruke Pythagoras teorem. Betegn det med $α$, da

$α=10$ I henhold til regelen for å beregne omkretsen til en skalatrekant får vi

$P=10+8+6=24$ cm

Svar: $24 se.

Hvordan finne omkretsen til en likebenet trekant?

La oss få en likebenet trekant hvis sidelengder vil være lik $α$, og lengden på basen vil være lik $β$.

Per definisjon av omkretsen til en flat geometrisk figur, får vi det

$P=α+α+β=2α+β$

Produksjon: For å finne omkretsen til en likebenet trekant, legg til to ganger lengden på sidene til lengden på basen.

Eksempel 3

Finn omkretsen til en likebenet trekant hvis sidene er $12$ cm og basen er $11$ cm.

Fra eksemplet ovenfor ser vi det

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Svar: $35 se.

Eksempel 4

Finn omkretsen til en likebenet trekant hvis høyden trukket til basen er $8$ cm og basen er $12$ cm.

Vurder figuren i henhold til tilstanden til problemet:

Siden trekanten er likebenet, er $BD$ også en median, derav $AD=6$ cm.

Ved Pythagoras teorem, fra trekanten $ADB$, finner vi siden. Betegn det med $α$, da

I henhold til regelen for å beregne omkretsen til en likebenet trekant får vi

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Svar: $32 se.

Hvordan finne omkretsen til en likesidet trekant?

La oss få en likesidet trekant med lengder på alle sider lik $α$.

Per definisjon av omkretsen til en flat geometrisk figur, får vi det

$P=α+α+α=3α$

Produksjon: For å finne omkretsen til en likesidet trekant, multipliser sidelengden til trekanten med $3$.

Eksempel 5

Finn omkretsen til en likesidet trekant hvis siden er $12$ cm.

Fra eksemplet ovenfor ser vi det

$P=3\cdot 12=36$ cm

Foreløpig informasjon

Definisjon 1

Vi vil kalle en trekant en geometrisk figur, som er sammensatt av tre punkter forbundet med segmenter (fig. 1).

Definisjon 2

Punktene innenfor definisjon 1 vil bli kalt toppunktene til trekanten.

Definisjon 3

Segmentene innenfor rammen av definisjon 1 vil bli kalt sidene i trekanten.

Enhver trekant vil åpenbart ha 3 toppunkter samt 3 sider.

Avhengig av forholdet mellom sidene og hverandre, er trekanter delt inn i skala, likebenet og likesidet.

Definisjon 4

En trekant sies å være skalaen hvis ingen av sidene er lik noen annen.

Definisjon 5

Vi vil kalle en trekant likebenet hvis to av sidene er like hverandre, men ikke lik den tredje siden.

Definisjon 6

En trekant kalles likesidet hvis alle sidene er like hverandre.

Du kan se alle typer av disse trekantene i figur 2.

Hvordan finne omkretsen til en skalatrekant?

La oss få en skala trekant med sidelengder lik $α$, $β$ og $γ$.

Produksjon: For å finne omkretsen til en skala-trekant legger du sammen alle lengdene på sidene.

Eksempel 1

Finn omkretsen til en skala trekant lik $34$ cm, $12$ cm og $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Svar: $57 se.

Eksempel 2

Finn omkretsen til en rettvinklet trekant hvis ben er $6$ og $8$ cm.

Først finner vi lengden på hypotenusene til denne trekanten ved å bruke Pythagoras teorem. Betegn det med $α$, da

$α=10$ I henhold til regelen for å beregne omkretsen til en skalatrekant får vi

$P=10+8+6=24$ cm

Svar: $24 se.

Hvordan finne omkretsen til en likebenet trekant?

La oss få en likebenet trekant hvis sidelengder vil være lik $α$, og lengden på basen vil være lik $β$.

Per definisjon av omkretsen til en flat geometrisk figur, får vi det

$P=α+α+β=2α+β$

Produksjon: For å finne omkretsen til en likebenet trekant, legg til to ganger lengden på sidene til lengden på basen.

Eksempel 3

Finn omkretsen til en likebenet trekant hvis sidene er $12$ cm og basen er $11$ cm.

Fra eksemplet ovenfor ser vi det

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Svar: $35 se.

Eksempel 4

Finn omkretsen til en likebenet trekant hvis høyden trukket til basen er $8$ cm og basen er $12$ cm.

Vurder figuren i henhold til tilstanden til problemet:

Siden trekanten er likebenet, er $BD$ også en median, derav $AD=6$ cm.

Ved Pythagoras teorem, fra trekanten $ADB$, finner vi siden. Betegn det med $α$, da

I henhold til regelen for å beregne omkretsen til en likebenet trekant får vi

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Svar: $32 se.

Hvordan finne omkretsen til en likesidet trekant?

La oss få en likesidet trekant med lengder på alle sider lik $α$.

Per definisjon av omkretsen til en flat geometrisk figur, får vi det

$P=α+α+α=3α$

Produksjon: For å finne omkretsen til en likesidet trekant, multipliser sidelengden til trekanten med $3$.

Eksempel 5

Finn omkretsen til en likesidet trekant hvis siden er $12$ cm.

Fra eksemplet ovenfor ser vi det

$P=3\cdot 12=36$ cm

Omkrets er summen av alle sider av en figur. Denne egenskapen, sammen med området, er like etterspurt for alle figurer. Formelen for omkretsen av en likebenet trekant følger logisk fra dens egenskaper, men formelen er ikke så komplisert som å skaffe og konsolidere praktiske ferdigheter.

Omkretsformel

Sidene i en likebenet trekant er like med hverandre. Dette følger av definisjonen og er godt synlig selv fra navnet på figuren. Det er fra denne egenskapen omkretsformelen følger:

P=2a+b, der b er basisen til trekanten, a er sideverdien.

Ris. 1. Likebenet trekant

Det kan sees fra formelen at for å finne omkretsen, er det nok å vite størrelsen på basen og en av sidene. Vurder flere problemer med å finne omkretsen til en likebenet trekant. Vi vil løse problemene etter hvert som kompleksiteten øker, dette vil tillate oss å bedre forstå tankegangen som må følges for å finne omkretsen.

Oppgave 1

I en likebenet trekant er basen 6, og høyden trukket til denne basen er 4. Du må finne omkretsen til figuren.

Ris. 2. Tegning til oppgave 1

Høyden på en likebenet trekant trukket til basen er også medianen og høyden. Denne egenskapen brukes veldig ofte til å løse problemer knyttet til likebenede trekanter.

Trekant ABC med høyde VM er delt inn i to rettvinklede trekanter: ABM og BCM. I trekanten AVM er benet VM kjent, benet AM er lik halvparten av bunnen av trekanten ABC, siden VM er medianen av halveringslinjen og høyden. Ved å bruke Pythagoras teorem finner vi verdien av hypotenusen AB.

$$AB^2=AM^2+BM^2$$

$$AB=\sqrt(AM^2+BM^2)=\sqrt(3^2+4^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Finn omkretsen: P=AC+AB*2=6+5*2=16

Oppgave 2

I en likebenet trekant er høyden trukket til basen 10, og den spisse vinkelen ved basen er 30 grader. du må finne omkretsen til trekanten.

Ris. 3. Tegning til oppgave 2

Denne oppgaven kompliseres av mangel på informasjon om sidene i trekanten, men ved å vite verdien av høyden og vinkelen kan man finne benet AH i den rette trekanten ABH, og da vil løsningen følge samme scenario som i oppgaven 1.

La oss finne AH gjennom verdien av sinusen:

$$sin (ABH)=(BH\over AB)=(1\over2)$$ - sinusen på 30 grader er en tabellverdi.

La oss uttrykke ønsket side:

$$AB=((BH\over (1\over 2))) =BH*2=10*2=20$$

Gjennom cotangensen finner vi verdien av AH:

$$ctg(BAH)=(AH\over BH)=(1\over\sqrt(3))$$

$$AH=(BH\over\sqrt(3))=10*\sqrt(3)=17.32$$ - rund den resulterende verdien til nærmeste hundredel.

La oss finne grunnlaget:

AC=AH*2=17,32*2=34,64

Nå som alle nødvendige verdier er funnet, la oss definere omkretsen:

P=AC+2*AB=34,64+2*20=74,64

Oppgave 3

En likebenet trekant ABC har et areal lik $$16\over\sqrt(3)$$ og en spiss vinkel ved bunnen av 30 grader. Finn omkretsen til trekanten.

Verdiene i tilstanden er ofte gitt som produktet av roten og tallet. Dette gjøres for å beskytte den etterfølgende beslutningen mot feil så mye som mulig. Det er bedre å avrunde resultatet på slutten av beregningene

Med en slik formulering av problemet kan det virke som det ikke er noen løsninger, fordi det er vanskelig å uttrykke en av sidene eller høyden fra de tilgjengelige dataene. La oss prøve å bestemme annerledes.

La oss betegne høyden og halvparten av basen med latinske bokstaver: BH=h og AH=a

Da blir basen: AC=AH+HC=AH*2=2a

Område: $$S=(1\over 2)*AC*BH=(1\over 2)*2a*h=ah$$

På den annen side kan verdien av h uttrykkes fra trekanten ABH i form av tangenten til en spiss vinkel. Hvorfor tangere? For i trekanten ABH har vi allerede markert to ben a og h. Det ene må uttrykkes i det andre. To ben sammen forbinder tangenten og cotangenten. Tradisjonelt brukes cotangens og cosinus kun når tangenten eller sinusen ikke passer. Dette er ikke en regel, du kan bestemme hvor praktisk det er, det er bare akseptert.

$$tg(BAH)=(h\over(a))=(1\over\sqrt(3))$$

$$h=(a\over\sqrt(3))$$

Erstatt den resulterende verdien i områdeformelen.

$$S=a*h=a*(a\over\sqrt(3))=((a^2)\over\sqrt(3))$$

Uttrykk en:

$$a=\sqrt(S*\sqrt(3))=\sqrt(16\over\sqrt(3)*\sqrt(3))=\sqrt(16)=4$$

Bytt ut verdien av a i områdeformelen og bestem verdien av høyden:

$$S=a*h=(16\over\sqrt(3))$$

$$h=(S\over(a))=((16\over\sqrt(3))\over(4))=(4\over\sqrt(3))=2,31$$- verdi mottatt rundet opp til hundredeler.

Gjennom Pythagoras teorem finner vi siden av trekanten:

$$AB^2=AH^2+BH^2$$

$$AB=\sqrt(AH^2+BH^2)=\sqrt(4^2+2.31^2)=4.62$$

Bytt verdiene inn i omkretsformelen:

P=AB*2+AH*2=4,62*2+4*2=17,24

Hva har vi lært?

Vi fant ut i detalj alle vanskelighetene ved å finne omkretsen til en likebenet trekant. Vi løste tre problemer med ulike nivåer av kompleksitet, og viste ved eksempel hvordan typiske problemer løses for å løse en likebenet trekant.

Emnequiz

Artikkelvurdering

Gjennomsnittlig rangering: 4.4. Totalt mottatte vurderinger: 83.