Den første betingelsen for likevekt til et stivt legeme. Statikk

Likevekt i et mekanisk system- dette er en tilstand der alle punkter i et mekanisk system er i ro i forhold til referansesystemet som vurderes. Hvis referanserammen er treghet, kalles likevekt absolutt, hvis ikke-treghet - slektning.

For å finne likevektsforholdene til en absolutt stiv kropp, er det nødvendig å mentalt bryte den ned i et stort antall ganske små elementer, som hver kan representeres av et materiell punkt. Alle disse elementene samhandler med hverandre - disse interaksjonskreftene kalles innvendig. I tillegg kan ytre krefter virke på en rekke punkter på kroppen.

I følge Newtons andre lov, for at akselerasjonen til et punkt skal være null (og akselerasjonen til et punkt i hvile skal være null), må den geometriske summen av kreftene som virker på det punktet være null. Hvis en kropp er i ro, er alle dens punkter (elementer) også i ro. Derfor, for ethvert punkt på kroppen kan vi skrive:

hvor er den geometriske summen av alle ytre og indre krefter som virker på Jeg elementet i kroppen.

Ligningen betyr at for at et legeme skal være i likevekt, er det nødvendig og tilstrekkelig at den geometriske summen av alle krefter som virker på ethvert element i denne kroppen er lik null.

Fra dette er det lett å oppnå den første betingelsen for likevekten til en kropp (system av kropper). For å gjøre dette er det nok å oppsummere ligningen for alle elementene i kroppen:

.

Den andre summen er lik null i henhold til Newtons tredje lov: vektorsummen av alle interne krefter i systemet er lik null, siden enhver indre kraft tilsvarer en kraft som er lik i størrelse og motsatt i retning.

Derfor,

.

Den første betingelsen for likevekt til et stivt legeme(systemer av kropper) er lik null av den geometriske summen av alle ytre krefter påført kroppen.

Denne betingelsen er nødvendig, men ikke tilstrekkelig. Dette er lett å verifisere ved å huske rotasjonsvirkningen til et par krefter, hvis geometriske sum også er null.

Den andre betingelsen for likevekten til et stivt legeme er lik null av summen av momentene til alle ytre krefter som virker på kroppen i forhold til en hvilken som helst akse.

Dermed ser likevektsforholdene til et stivt legeme i tilfelle av et vilkårlig antall ytre krefter slik ut:

.

Statikk er en gren av mekanikk som studerer likevekten til legemer. Statikk gjør det mulig å bestemme kroppens likevektsbetingelser og svarer på noen spørsmål som er knyttet til kroppens bevegelse, for eksempel gir den et svar i hvilken retning bevegelsen skjer hvis balansen forstyrres. Det er verdt å se seg rundt og du vil legge merke til at de fleste kropper er i likevekt - de beveger seg enten med konstant hastighet eller i hvile. Denne konklusjonen kan trekkes fra Newtons lover.

Et eksempel er personen selv, et bilde som henger på veggen, kraner, ulike bygninger: broer, buer, tårn, bygninger. Kroppene rundt oss er utsatt for noen krefter. Ulike mengder krefter virker på legemer, men hvis vi finner den resulterende kraften, vil den for et legeme i likevekt være lik null.
Det er:

• statisk likevekt - kroppen er i ro;
• dynamisk likevekt - en kropp beveger seg med konstant hastighet.

Statisk balanse. Hvis kreftene F1, F2, F3 og så videre virker på et legeme, er hovedkravet for eksistensen av en likevektstilstand (likevekt). Dette er en vektorligning i tredimensjonalt rom, og representerer tre separate ligninger, en for hver retning av rommet. .

Projeksjonene av alle krefter påført kroppen i en hvilken som helst retning må kompenseres, det vil si at den algebraiske summen av projeksjonene av alle krefter i enhver retning må være lik 0.

Når du finner den resulterende kraften, kan du overføre alle kreftene og plassere punktet for deres påføring i massesenteret. Massesenteret er et punkt som er introdusert for å karakterisere bevegelsen til en kropp eller et system av partikler som helhet, karakteriserer massefordelingen i kroppen.

I praksis møter vi veldig ofte tilfeller av både translasjons- og rotasjonsbevegelser på samme tid: en tønne som ruller nedover et skråplan, et dansende par. Med en slik bevegelse er ikke likevektsbetingelsen alene nok.

Den nødvendige likevektstilstanden i dette tilfellet vil være:

I praksis og i livet spiller det en stor rolle kroppens stabilitet, som karakteriserer balanse.

Det finnes ulike typer balanse:

• Stabil balanse;
• Ustabil likevekt;
• Likegyldig balanse.

Stabil balanse- dette er likevekt når det, med et lite avvik fra likevektsposisjonen, oppstår en kraft som returnerer den til en likevektstilstand (en pendel av en stoppet klokke, en tennisball rullet inn i et hull, en Vanka-Vstanka eller en tumbler, tøy på en linje er i en tilstand av stabil likevekt).

Ustabil likevekt– dette er en tilstand når en kropp, etter å ha blitt fjernet fra en likevektsposisjon, avviker på grunn av den resulterende kraften enda mer fra likevektsposisjonen (en tennisball på en konveks overflate).

Likegyldig likevekt- blir overlatt til seg selv, endrer ikke kroppen sin posisjon etter å ha blitt fjernet fra en tilstand av likevekt (en tennisball som ligger på bordet, et bilde på veggen, saks, en linjal som henger på en spiker er i en tilstand av likegyldig likevekt). Rotasjonsaksen og tyngdepunktet faller sammen.

For to kropper vil kroppen være mer stabil, noe som har større støtteområde.

Et legeme er i ro (eller beveger seg jevnt og rettlinjet) hvis vektorsummen av alle krefter som virker på det er lik null. De sier at krefter balanserer hverandre. Når vi har å gjøre med et legeme med en viss geometrisk form, når vi beregner den resulterende kraften, kan alle krefter påføres kroppens massesenter.

Betingelse for likevekt av legemer

For at et legeme som ikke roterer skal være i likevekt, er det nødvendig at resultanten av alle krefter som virker på den er lik null.

F → = F 1 → + F 2 → + . . + F n → = 0.

Figuren over viser likevekten til et stivt legeme. Blokken er i en likevektstilstand under påvirkning av tre krefter som virker på den. Virkningslinjene til kreftene F 1 → og F 2 → skjærer hverandre i punkt O. Påføringspunktet for tyngdekraften er massesenteret til kroppen C. Disse punktene ligger på samme rette linje, og når den resulterende kraften beregnes, bringes F 1 →, F 2 → og m g → til punkt C.

Betingelsen om at resultanten av alle krefter er lik null er ikke nok hvis kroppen kan rotere rundt en bestemt akse.

Kraftarmen d er lengden av perpendikulæren trukket fra kraftens virkelinje til punktet for dens påføring. Kraftmomentet M er produktet av kraftarmen og dens modul.

Kraftmomentet har en tendens til å rotere kroppen rundt sin akse. De øyeblikkene som snur kroppen mot klokken anses som positive. Måleenheten for kraftmoment i det internasjonale SI-systemet er 1 Newtonmeter.

Definisjon. Rule of Moments

Hvis den algebraiske summen av alle momenter brukt på et legeme i forhold til en fast rotasjonsakse er lik null, er kroppen i en likevektstilstand.

M1 + M2+. . +Mn=0

Viktig!

I det generelle tilfellet, for at legemer skal være i likevekt, må to betingelser være oppfylt: den resulterende kraften må være lik null og momentregelen må overholdes.

I mekanikk er det forskjellige typer likevekt. Dermed skilles det mellom stabil og ustabil, samt likegyldig likevekt.

Et typisk eksempel på likegyldig likevekt er et rullende hjul (eller kule), som, hvis det stoppes når som helst, vil være i en likevektstilstand.

Stabil likevekt er en slik likevekt av et legeme når det med sine små avvik oppstår krefter eller kreftmomenter som har en tendens til å returnere kroppen til en likevektstilstand.

Ustabil likevekt er en tilstand av likevekt, med et lite avvik som krefter og kreftmomenter har en tendens til å kaste kroppen enda mer ut av balanse.

I figuren over er ballens posisjon (1) - indifferens likevekt, (2) - ustabil likevekt, (3) - stabil likevekt.

Et legeme med en fast rotasjonsakse kan være i hvilken som helst av de beskrevne likevektsposisjonene. Hvis rotasjonsaksen går gjennom massesenteret, oppstår likevekt. I stabil og ustabil likevekt er massesenteret plassert på en vertikal rett linje som går gjennom rotasjonsaksen. Når massesenteret er under rotasjonsaksen, er likevekten stabil. Ellers er det omvendt.

Et spesielt tilfelle av balanse er balansen til en kropp på en støtte. I dette tilfellet er den elastiske kraften fordelt over hele bunnen av kroppen, i stedet for å passere gjennom ett punkt. Et legeme er i ro i likevekt når en vertikal linje trukket gjennom massesenteret skjærer støtteområdet. Ellers, hvis linjen fra massesenteret ikke faller inn i konturen dannet av linjene som forbinder støttepunktene, tipper kroppen.

Et eksempel på kroppsbalanse på en støtte er det berømte skjeve tårnet i Pisa. Ifølge legenden slapp Galileo Galilei baller fra den da han utførte sine eksperimenter for å studere kroppens fritt fall.

En linje trukket fra massesenteret til tårnet skjærer basen omtrent 2,3 m fra sentrum.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Den statiske beregningen av ingeniørstrukturer kommer i mange tilfeller ned til vurderingen av likevektsforholdene til en struktur som består av et system av kropper forbundet med en slags forbindelser. Forbindelsene som forbinder delene av denne strukturen vil bli kalt innvendig I motsetning til utvendig forbindelser som forbinder strukturen til kropper som ikke er inkludert i den (for eksempel til støtter).

Hvis strukturen forblir stiv etter å ha kastet eksterne forbindelser (støtter), løses statiske problemer for den som for en absolutt stiv kropp. Imidlertid kan det være konstruksjonskonstruksjoner som ikke forblir stive etter at eksterne forbindelser er kastet. Et eksempel på et slikt design er en tre-hengslet bue. Hvis vi kaster støttene A og B, vil buen ikke være stiv: delene kan rotere rundt hengsel C.

Basert på størkningsprinsippet må kraftsystemet som virker på en slik struktur i likevekt tilfredsstille likevektsbetingelsene til et fast legeme. Men disse betingelsene, som antydet, vil ikke være tilstrekkelige, selv om de er nødvendige; derfor er det umulig å bestemme alle ukjente mengder fra dem. For å løse problemet er det nødvendig å i tillegg vurdere likevekten til en eller flere deler av strukturen.

For eksempel, ved å komponere likevektsbetingelser for kreftene som virker på en trehengslet bue, får vi tre likninger med fire ukjente X A, Y A, X B, Y B . Etter å ha vurdert likevektsforholdene til venstre (eller høyre) halvdel av den, får vi ytterligere tre ligninger som inneholder to nye ukjente X C, Y C, i fig. 61 ikke vist. Ved å løse det resulterende systemet med seks ligninger, finner vi alle seks ukjente.

14. Spesielle tilfeller av reduksjon av et romlig kraftsystem

Hvis, når du bringer et kraftsystem til en dynamisk skrue, viser hovedmomentet til dynamoen seg å være lik null, og hovedvektoren er forskjellig fra null, betyr dette at kraftsystemet reduseres til en resultant, og den sentrale aksen er handlingslinjen til denne resultanten. La oss finne ut under hvilke forhold knyttet til hovedvektoren Fp og hovedmomentet M 0 dette kan skje. Siden hovedmomentet til dynamikken M* er lik komponenten av hovedmomentet M 0 rettet langs hovedvektoren, betyr det betraktede tilfellet M* = O at hovedmomentet M 0 er vinkelrett på hovedvektoren, dvs. / 2 = Fo*M 0 = 0. Det følger umiddelbart at hvis hovedvektoren F 0 ikke er lik null, og den andre invarianten er lik null, Fo≠O, / 2 = F 0 *M 0 =0, (7.9 ) deretter vurderes systemet reduseres til resultanten.

Spesielt hvis for et hvilket som helst reduksjonssenter F 0 ≠ 0, og M 0 = 0, betyr dette at kraftsystemet reduseres til en resultant som passerer gjennom dette reduksjonssenteret; i dette tilfellet vil også betingelse (7.9) være oppfylt La oss generalisere teoremet om momentet til resultanten (Varignons teorem) gitt i kapittel V til tilfellet med et romlig kraftsystem. Hvis det romlige systemet. krefter reduseres til en resultant, da er momentet til resultanten i forhold til et vilkårlig punkt lik den geometriske summen av momentene til alle kreftene i forhold til samme punkt. P
La kraftsystemet ha en resultant R og et punkt OM ligger på handlingslinjen til denne resultanten. Hvis vi bringer et gitt kraftsystem til dette punktet, får vi at hovedmomentet er lik null.
La oss ta et annet reduksjonssenter O1; (7,10)C
på den annen side, basert på formel (4.14) har vi Mo1=Mo+Mo1(Fo), (7.11) siden M 0 = 0. Sammenligner uttrykk (7.10) og (7.11) og tar i betraktning at i dette tilfellet F 0 = R, får vi (7.12).

Dermed er teoremet bevist.

La, for ethvert valg av reduksjonssenter, Fo=O, M ≠0. Siden hovedvektoren ikke er avhengig av reduksjonssenteret, er den lik null for ethvert annet valg av reduksjonssenteret. Derfor endres heller ikke hovedmomentet når reduksjonssenteret endres, og derfor reduseres kraftsystemet i dette tilfellet til et par krefter med et moment lik M0.

La oss nå sette sammen en tabell over alle mulige tilfeller av reduksjon av det romlige kraftsystemet:

Hvis alle kreftene er i samme plan, for eksempel i planet Å, deretter projeksjonene deres på aksen G og øyeblikk om aksene X Og på vil være lik null. Derfor er Fz=0; Mox=0, Moy=0. Ved å introdusere disse verdiene i formel (7.5), finner vi at den andre invarianten til et plan kraftsystem er lik null. Vi får samme resultat for et romlig system med parallelle krefter. Faktisk, la alle krefter være parallelle med aksen z. Deretter deres projeksjoner på aksen X Og på og momentene rundt z-aksen vil være lik 0. Fx=0, Fy=0, Moz=0

Basert på det som er påvist, kan det hevdes at et plant kraftsystem og et system med parallelle krefter ikke reduseres til en dynamisk skrue.

11. Likevekt av et legeme i nærvær av glidende friksjon Hvis to kropper / og // (Fig. 6.1) samhandler med hverandre, berører på et punkt EN, da kan reaksjonen RA, som virker for eksempel fra siden av kroppen // og påføres kroppen /, alltid dekomponeres i to komponenter: N.4, rettet langs den felles normalen til overflaten av de kontaktende legemer ved punkt A, og T 4, som ligger i tangentplanet. Komponent N.4 kalles normal reaksjon kraft T l kalles glidende friksjonskraft - det hindrer kroppen i å skli / langs kroppen // I samsvar med aksiomet 4 (Newtons 3. z-on) en reaksjonskraft av lik størrelse og motsatt retning virker på kroppen // fra siden av kroppen /. Dens komponent vinkelrett på tangentplanet kalles kraft av normalt trykk. Som nevnt ovenfor, friksjonskraften T EN = Åh, hvis kontaktflatene er helt glatte. Under reelle forhold er overflater ru og i mange tilfeller kan friksjonskraften ikke neglisjeres For å klargjøre de grunnleggende egenskapene til friksjonskrefter vil vi gjennomføre et eksperiment etter skjemaet presentert i fig. 6.2, EN. Til kroppen 5, plassert på en stasjonær plate D, er det festet en gjenge kastet over blokk C, hvis frie ende er utstyrt med en støtteplattform EN. Hvis puten EN gradvis belastning, så med en økning i totalvekten vil trådspenningen øke S, som har en tendens til å flytte kroppen til høyre. Men så lenge den totale belastningen ikke er for stor, vil friksjonskraften T holde på kroppen I i ro. I fig. 6.2, b handlinger på kroppen er avbildet I krefter, og P betegner tyngdekraften, og N betegner platens normale reaksjon D. Hvis belastningen ikke er tilstrekkelig til å bryte resten, er følgende likevektsligninger gyldige: N- P = 0, (6.1) S-T = 0. (6.2) Det følger av dette at N = POg T = S. Således, mens kroppen er i ro, forblir friksjonskraften lik strekkkraften til tråden S. La oss betegne med Tmax friksjonskraft i det kritiske øyeblikket av lasteprosessen, når kroppen I mister balansen og begynner å gli på hellen D. Derfor, hvis kroppen er i likevekt, så T≤Tmax.Maksimal friksjonskraft T tah avhenger av egenskapene til materialene som kroppene er laget av, deres tilstand (for eksempel av typen overflatebehandling), samt verdien av normalt trykk N. Som erfaringen viser er den maksimale friksjonskraften tilnærmet proporsjonal med normalt trykk, d.v.s. e. det er likhet Tmax= fN. (6.4) Denne relasjonen kalles Amonton-Coulomb lov. Den dimensjonsløse koeffisienten / kalles glidende friksjonskoeffisient. Som følger av erfaring, det verdien avhenger ikke innenfor vide grenser av området med kontaktflater, men avhenger av materialet og graden av ruhet av kontaktflatene. Friksjonskoeffisientverdiene bestemmes empirisk og kan finnes i referansetabeller. Ulikhet" (6.3) kan nå skrives som T≤fN (6.5). Tilfellet med streng likhet i (6.5) tilsvarer maksimalverdien av friksjonskraften. Dette betyr at friksjonskraften kan beregnes ved hjelp av formelen T = fN kun i tilfeller hvor det på forhånd er kjent at en kritisk hendelse inntreffer. I alle andre tilfeller bør friksjonskraften bestemmes ut fra likevektslikningene.Tenk på et legeme som ligger på en ru overflate. Vi vil anta at som et resultat av virkningen av aktive krefter og reaksjonskrefter er kroppen i begrensende likevekt. I fig. 6.6, en den begrensende reaksjonen R og dens komponenter N og Tmax er vist (i posisjonen vist i denne figuren har aktive krefter en tendens til å bevege kroppen til høyre, den maksimale friksjonskraften Tmax er rettet mot venstre). Hjørne f mellom grense reaksjon R og normalen til overflaten kalles friksjonsvinkelen. La oss finne denne vinkelen. Fra fig. 6.6, og vi har tgφ=Tmax/N eller, ved hjelp av uttrykk (6.4), tgφ= f (6-7) Fra denne formelen er det klart at man i stedet for friksjonskoeffisienten kan stille inn friksjonsvinkelen (i referansetabellene s

begge mengdene er oppgitt).