Suvorov Mikhail, elev i 10. klasse

Dette verket er viet til beskrivelsen av synspunktene til den gamle greske filosofen Platon på universets struktur, gjennom bruken vanlige polygoner, slik som tetraeder, oktaeder, heksaeder (terning), dodekaeder og ikosaeder. I moderne matematikk kalles disse faste stoffene platoniske stoffer.

Arbeidet reflekterer også spørsmålet om hvordan platonske faste stoffer brukes i moderne naturvitenskapelige teorier.

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

For å bruke forhåndsvisningen av presentasjoner, opprett en Google-konto (konto) og logg på: https://accounts.google.com

Bildetekster:

Forskningsarbeid på geometri. Emne: "Platonske faste stoffer" Forberedte en presentasjon: Suvorovite Suvorov Mikhail Lærer i matematikk Kharkova Marina Valerievna

Platon (427-347 f.Kr.) - den store eldgamle greske filosofen, student av Sokrates, grunnlegger av akademiet. Platons viktigste fortjeneste i matematikkens historie er at han erkjente at kunnskap om matematikk er nødvendig for alle. utdannet person. Platons bidrag til matematikken er ubetydelig. Imidlertid er ideene hans om matematikkens struktur og metoder ekstremt verdifulle. Han introduserte tradisjonen med å gi upåklagelige definisjoner og bestemme hvilke påstander i matematiske betraktninger som kan aksepteres uten bevis. Platon var den første som underbygget bevismetoden med selvmotsigelse, som nå er mye brukt i geometri. På Platons skole Spesiell oppmerksomhet viet til å løse bygningsproblemer. Takket være dette ble konseptet med poengstedet dannet i det, og en metodikk ble utviklet for å løse konstruksjonsproblemer. Konvekse vanlige polyeder - tetraeder, oktaeder, heksaeder (terning), dodekaeder og icosahedron - kalles vanligvis platoniske faste stoffer.

Definisjon: PLATONS kropper - fra gresk. Platon 427-347 f.Kr. - et sett av alle regulære polyedre [dvs. volumetriske legemer avgrenset av like regulære polygoner] i den tredimensjonale verden, først beskrevet av Platon.

En vanlig polygon kalles: en flat figur avgrenset av rette linjer med like sider og like indre vinkler. En analog av en vanlig polygon i tredimensjonalt rom er en vanlig polyeder: en romlig figur med identiske flater i form av vanlige polygoner og identiske polyedriske vinkler ved toppunktene. Det er bare fem vanlige konvekse polyedere: det vanlige tetraederet, terningen, oktaederet, dodekaederet og ikosaederet.

Historien om opprettelsen av de platonske faste stoffene. Fire polyeder personifiserte i den fire essenser eller "elementer". Tetraederet symboliserte ild, siden toppen er rettet oppover; Icosahedron - Vann, siden det er det mest "strømlinjeformede" polyederet; Kube - Jorden, som det mest "stabile" polyederet; Octahedron - Luft, som det mest "luftige" polyederet. Det femte polyederet, Dodecahedron, legemliggjorde "alt som eksisterer"

Tetraeder De gamle grekerne kalte polyederet etter antall ansikter. "Tetra" betyr fire, "khedra" - betyr et ansikt (tetraeder - tetraeder) Et polyeder refererer til vanlige polyeder og er en av de fem platoniske faste stoffene. Tetraederet har følgende egenskaper: Ansiktstype - vanlig trekant; Antall sider ved kanten er 3; Det totale antallet ansikter er 4; Antall kanter ved siden av toppunktet er 3; Det totale antallet hjørner er 4; Det totale antallet kanter er 6; Et vanlig tetraeder består av fire likesidede trekanter. Hvert av hjørnene er et toppunkt av tre trekanter. Derfor er summen av planvinklene ved hvert toppunkt 180°. Tetraederet har ikke noe symmetrisenter, men har 3 symmetriakser og 6 symmetriplan.

Hexahedron (mer vanlig navn - terning) De gamle grekerne ga polyhedron et navn for antall ansikter. "Hekso" betyr seks, "khedra" - betyr et ansikt (Heksaeder - et heksaeder) Polyederet tilhører de vanlige polyedere og er en av de fem platoniske faste stoffene. Heksaederet har følgende egenskaper: Antall sider ved ansiktet er 4; Det totale antallet ansikter er 6; Antall kanter ved siden av toppunktet er 3; Det totale antallet hjørner er 8; Det totale antallet kanter er 12; Heksaederet består av seks firkanter. Hvert toppunkt i kuben er toppunktet til tre firkanter. Derfor er summen av planvinklene ved hvert toppunkt 270°. Heksaederet har ikke noe symmetrisenter, men har 3 symmetriakser og 6 symmetriplan.

Icosahedron De gamle grekerne kalte polyederet etter antall ansikter. "Ikosi" betyr tjue, "khedra" - betyr ansikt (Icosahedron - tjuesidig). Polyederet tilhører de vanlige polyedere og er en av de fem platoniske faste stoffene. Ikosaederet har følgende egenskaper: Ansiktstype - vanlig trekant; Antall sider ved kanten er 3; Det totale antallet ansikter er 20; Antall kanter ved siden av toppunktet er 5; Det totale antallet hjørner er 12; Totalt antall kanter er 30; Et vanlig ikosaeder består av tjue likesidede trekanter. Hvert toppunkt av icosahedron er et toppunkt av fem trekanter. Derfor er summen av planvinklene ved hvert toppunkt 270°. Ikosaederet har et senter for symmetri - sentrum av icosahedron, 15 symmetriakser og 15 symmetriplan.

Oktaeder De gamle grekerne kalte polyederet etter antall ansikter. "Octo" betyr åtte, "khedra" betyr ansikt (oktaeder - oktaeder) Et polyeder er et vanlig polyeder og er ett av de fem platoniske faste stoffene. Oktaederet har følgende egenskaper: Ansiktstype - vanlig trekant; Antall sider ved kanten er 3; Det totale antallet ansikter er 8; Antall kanter ved siden av toppunktet er 4; Det totale antallet hjørner er 6; Det totale antallet kanter er 12; Et vanlig oktaeder består av åtte likesidede trekanter. Hvert toppunkt av oktaederet er et toppunkt av fire trekanter. Derfor er summen av planvinklene ved hvert toppunkt 240°. Oktaederet har et symmetrisenter - midten av oktaederet, 9 symmetriakser og 9 symmetriplan.

Dodekaeder De gamle grekerne kalte polyederet etter antall ansikter. "Dodeca" betyr tolv, "khedra" betyr ansikt (dodecahedron - dodecahedron). Polyederet tilhører de vanlige polyedere og er en av de fem platoniske faste stoffene. Dodekaederet har følgende egenskaper: Ansiktstypen er en vanlig femkant; Antall sider ved kanten er 5; Det totale antallet ansikter er 12; Antall kanter ved siden av toppunktet er 3; Det totale antallet hjørner er 20; Totalt antall kanter er 30; Et vanlig dodekaeder består av tolv vanlige femkanter. Hvert toppunkt av dodekaederet er et toppunkt av tre vanlige femkanter. Derfor er summen av planvinklene ved hvert toppunkt 324°. Dodekaederet har et symmetrisenter - midten av dodekaederet, 15 symmetriakser og 15 symmetriplan.

Bruken av platonske faste stoffer i vitenskapen Johannes Kepler (1571-1630) var en tysk astronom. Oppdaget lovene for planetarisk bevegelse. I 1596 foreslo Kepler en regel der et dodekaeder er beskrevet rundt jordens sfære, og et ikosaeder er skrevet inn i det. Avstanden mellom banene til planetene kan oppnås på grunnlag av de platonske faste stoffene som er nestet i hverandre. Avstandene beregnet ved hjelp av denne modellen var ganske nær de sanne.

V. Makarov og V. Morozov mener at jordens kjerne har formen og egenskapene til en voksende krystall som utvikler alle naturlige interaksjoner og prosesser som finner sted på planeten. Kraftfeltet til denne voksende krystallen forårsaker ikosaederet - dodekaedrisk struktur Jorden (IDSZ). Disse polyedrene er innskrevet i hverandre. Alle naturlige anomalier, så vel som sentre for utvikling av sivilisasjoner, tilsvarer toppene og kantene til disse figurene.

Eksempler: Noen av de vanlige polyedre forekommer naturlig som krystallinske virus. Polioviruset har form som et dodekaeder. Den kan leve og formere seg bare i menneske- eller primatceller. På mikroskopisk nivå er dodekaeder og ikosaeder de relative parameterne til DNA, som alt liv er bygget på. Du kan se at DNA-molekylet er en roterende kube.

Anvendelser i krystallografi Platoniske faste stoffer er mye brukt i krystallografi, siden mange krystaller er vanlige polyeder. For eksempel er en kube en monokrystall av vanlig salt (NaCl), et oktaeder er en enkeltkrystall av kaliumalun, en av formene til diamantkrystaller er et oktaeder.

http:// www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320031.htm http:// www.mnogogranniki.ru/stati/129-svojstva-platonovyh-tel.html stepanov.lk.net http:/ /www.goldenmuseum.com/0213Solids_rus.html

Stakhov A.P.

"Da Vinci-koden", platoniske og arkimedeiske faste stoffer, kvasikrystaller, fullerener, Penrose-gitter og den kunstneriske verdenen til Matyushka Teija Kraszek

merknad

Arbeidet til den slovenske kunstneren Matyushka Teija Krashek er lite kjent for den russisktalende leseren. Samtidig kalles det i Vesten for «Østeuropeisk Escher» og «den slovenske gaven» til verdens kulturelle fellesskap. Hennes kunstneriske komposisjoner er inspirert av de siste vitenskapelige funnene (fullerener, Dan Shechtman kvasikrystaller, Penrose-fliser), som igjen er basert på regulære og semi-regulære polygoner (Platon og Archimedes solids), Golden Section og Fibonacci-tall.

Hva er Da Vinci-koden?

Hver person har sikkert tenkt mer enn en gang på spørsmålet hvorfor naturen er i stand til å skape slike fantastiske harmoniske strukturer som gleder og gleder øyet. Hvorfor kunstnere, poeter, komponister, arkitekter skaper fantastiske kunstverk fra århundre til århundre. Hva er hemmeligheten bak deres harmoni og hvilke lover ligger til grunn for disse harmoniske skapningene?

Jakten på disse lovene, "Universets harmonilover", begynte i gammel vitenskap. Det var i denne perioden menneskets historie forskere kommer til en rekke fantastiske funn som gjennomsyrer hele vitenskapens historie. Den første av dem anses å være en fantastisk matematisk andel som uttrykker Harmoni. Det heter annerledes: "gyldent snitt", "gyldent tall", "gylden gjennomsnitt", "gyldent snitt" Til og med "guddommelig proporsjon". Gyldent snitt også kalt PHI-nummer til ære for den store antikke greske billedhuggeren Phidias (Phidius), som brukte dette nummeret i sine skulpturer.

Thrilleren The Da Vinci Code, skrevet av den populære engelske forfatteren Dan Brown, har blitt en bestselger fra det 21. århundre. Men hva betyr Da Vinci-koden? Det finnes ulike svar på dette spørsmålet. Det er kjent at det berømte "Golden Section" var temaet nøye oppmerksomhet og hobbyene til Leonardo da Vinci. Dessuten ble selve navnet "Golden Section" introdusert i europeisk kultur av Leonardo da Vinci. På initiativ av Leonardo, publiserte den berømte italienske matematikeren og lærde munken Luca Pacioli, venn og vitenskapelig rådgiver for Leonardo da Vinci, boken "Divina Proportione", det første matematiske verket i verdenslitteraturen om det gylne snitt, som forfatteren kalte " Guddommelig proporsjon". Det er også kjent at Leonardo selv illustrerte denne berømte boken, og tegnet 60 fantastiske tegninger for den. Det er disse fakta, som ikke er særlig godt kjent for det generelle vitenskapelige miljøet, som gir rett til å fremsette en hypotese om at Da Vinci-koden ikke er annet enn det gylne snitt. Og bekreftelse på denne hypotesen kan bli funnet i en forelesning for studenter ved Harvard University, som er tilbakekalt av hovedpersonen i boken "The Da Vinci Code" prof. Langdon:

«Til tross for sitt nesten mystiske opphav, har PHI-nummeret spilt en unik rolle på sin egen måte. Mursteinens rolle i grunnlaget for å bygge alt liv på jorden. Alle planter, dyr og til og med mennesker er utstyrt med fysiske proporsjoner, omtrent lik roten fra forholdet mellom antall PHI til 1. Denne allestedsnærværet av PHI i naturen ... indikerer forbindelsen til alle levende vesener. Det pleide å bli trodd at PHI-tallet var forhåndsbestemt av skaperen av universet. Forskere fra antikken kalte ett punkt seks hundre og atten tusendeler for «guddommelig proporsjon».

Dermed er det berømte irrasjonelle tallet PHI = 1,618, som Leonardo da Vinci kalte den gyldne middelvei, Da Vinci-koden!

En annen matematisk oppdagelse av gammel vitenskap er vanlige polyedre, som ble navngitt "platoniske faste stoffer" og "semi-regulære polyedre", navngitt "Arkimediske faste stoffer". Det er disse utrolig vakre romlige geometriske formene som ligger til grunn for to av de største vitenskapelige funnene på 1900-tallet - kvasikrystaller(forfatteren av oppdagelsen er den israelske fysikeren Dan Shechtman) og fullerener(Nobelprisen 1996). Disse to funnene er den mest betydningsfulle bekreftelsen på at det er den gyldne proporsjon som er den universelle naturkoden («Da Vinci-koden»), som ligger til grunn for universet.

Oppdagelsen av kvasikrystaller og fullerener har inspirert mange samtidskunstnere til å lage verk som reflekterer i kunstform de viktigste fysiske funnene i det 20. århundre. En av disse kunstnerne er den slovenske kunstneren Mor Theia Kraszek. Denne artikkelen introduserer den kunstneriske verdenen til Matyushka Teija Krashek gjennom prismet til de siste vitenskapelige funnene.

Platoniske faste stoffer

En person viser interesse for vanlige polygoner og polyedre gjennom hele sin bevisste aktivitet - fra et to år gammelt barn som leker med treterninger til en moden matematiker. Noen av de riktige og semi riktige kropper forekommer naturlig som krystaller, andre som virus som kan sees med et elektronmikroskop.

Hva er et vanlig polyeder? Et polyeder kalles regulært hvis alle flatene er like (eller kongruente) med hverandre og samtidig er regulære polygoner. Hvor mange vanlige polyedre er det? Ved første øyekast er svaret på dette spørsmålet veldig enkelt - så mange som det er vanlige polygoner. Det er det imidlertid ikke. I Euclid's Elements finner vi et strengt bevis på at det bare er fem konvekse regulære polyedre, og at bare tre typer regulære polygoner kan være deres ansikter: trekanter, firkanter og femkanter (vanlige femkanter).

Mange bøker har blitt viet til teorien om polyeder. En av de mest kjente er boken til den engelske matematikeren M. Wenniger "Models of polyhedra". I russisk oversettelse ble denne boken utgitt av Mir-forlaget i 1974. Epigrafen til boken er uttalelsen til Bertrand Russell: "Matematikk besitter ikke bare sannhet, men også høy skjønnhet - skjønnhet finslipt og streng, sublimt ren og streber etter ekte perfeksjon, som bare er karakteristisk for de største eksempler på kunst."

Boken starter med en beskrivelse av den såkalte vanlige polyedre, det vil si polyedre dannet av de enkleste regulære polygonene av samme type. Disse polyedre kalles Platoniske faste stoffer(Figur 1) , oppkalt etter den gamle greske filosofen Platon, som brukte vanlige polyedere i sine kosmologi.

Bilde 1. Platoniske faste stoffer: (a) oktaeder ("ild"), (b) heksaeder eller kube ("jord"),

(c) oktaeder ("Air"), (d) icosahedron ("vann"), (e) dodekaeder ("Universal Mind")

Vi vil begynne vår vurdering med vanlige polyedre, hvis ansikter er likesidede trekanter. Den første av disse er tetraeder(Fig. 1-a). I et tetraeder møtes tre likesidede trekanter i ett toppunkt; mens basene deres danner en ny likesidet trekant. Tetraederet har minste antall ansikter blant de platonske faste stoffene og er en tredimensjonal analog av en flat høyre trekant, som har det minste antallet sider blant vanlige polygoner.

Den neste kroppen, som er dannet av likesidede trekanter, kalles oktaeder(Fig. 1-b). I et oktaeder møtes fire trekanter i ett toppunkt; resultatet er en pyramide med en firkantet base. Hvis du kobler to slike pyramider med baser, får du en symmetrisk kropp med åtte trekantede flater - oktaeder.

Nå kan du prøve å koble sammen fem likesidede trekanter på ett punkt. Resultatet er en figur med 20 trekantede ansikter - icosahedron(Fig. 1-d).

Neste korrekt form polygon - torget. Hvis vi kobler sammen tre firkanter på ett punkt og deretter legger til tre til, får vi en perfekt sekssidig form kalt heksaeder eller kube(Fig. 1-c).

Til slutt er det en annen mulighet for å konstruere et regulært polyeder basert på å bruke følgende regulære polygon − Pentagon. Hvis vi samler 12 femkanter på en slik måte at tre femkanter møtes i hvert punkt, får vi et annet platonisk legeme, kalt dodekaeder(Fig. 1-e).

Den neste vanlige polygonen er sekskant. Men hvis vi kobler sammen tre sekskanter på ett punkt, får vi en overflate, det vil si at det er umulig å bygge fra sekskanter volumetrisk figur. Andre vanlige polygoner over en sekskant kan ikke danne faste stoffer i det hele tatt. Av disse betraktningene følger det at det bare er fem regulære polyedre hvis ansikter bare kan være likesidede trekanter, firkanter og femkanter.

Det er fantastiske geometriske forbindelser mellom alle vanlige polyedre. For eksempel, kube(Fig. 1-b) og oktaeder(Fig.1-c) er doble, dvs. oppnås fra hverandre hvis tyngdepunktene til ansiktene til den ene tas som hjørnene til den andre og omvendt. Tilsvarende dobbelt icosahedron(fig. 1-d) og dodekaeder(Fig.1-e) . Tetraeder(Fig.1-a) er dobbelt med seg selv. Dodekaederet er hentet fra kuben ved å konstruere "tak" på dens overflater (Euklids metode), toppunktene til tetraederet er hvilke som helst fire hjørner av kuben som ikke er parvis tilstøtende langs kanten, det vil si at alle andre vanlige polyedere kan være hentet fra kuben. Selve det faktum at det eksisterer bare fem virkelig regulære polyedre er overraskende fordi det er uendelig mange regulære polygoner på planet!

Numeriske egenskaper til de platoniske faste stoffene

De viktigste numeriske egenskapene Platoniske faste stoffer er antall sider av ansiktet m, antall flater som konvergerer ved hvert toppunkt, m, antall ansikter G, antall hjørner PÅ, antall ribber R og antall flate hjørner På på overflaten av et polyeder oppdaget og beviste Euler den berømte formelen

B P + G = 2,

forbinder antall toppunkter, kanter og flater til ethvert konveks polyeder. Ovennevnte numeriske karakteristika er gitt i tabell. 1.

Tabell 1

Numeriske egenskaper til de platoniske faste stoffene

Polyeder	Antall sider av ansiktet, m	Antall flater som konvergerer i toppunktet, n	Antall ansikter	Antall hjørner	Antall ribber	Antall flate hjørner på en overflate
Tetraeder
Heksaeder (kube)
icosahedron
Dodekaeder

Gyldent snitt i dodekaeder og icosahedron

Dodekaederet og dets doble ikosaeder (fig. 1-d, e) okkuperer Spesielt sted blant Platoniske faste stoffer. Først og fremst må det understrekes at geometrien dodekaeder og icosahedron direkte knyttet til det gylne snitt. Faktisk kantene dodekaeder(fig. 1-d) er femkanter, dvs. vanlige femkanter basert på det gylne snitt. Hvis du ser nøye på icosahedron(fig. 1-d), så kan du se at fem trekanter konvergerer ved hvert av hjørnene, hvis ytre sider danner femkant. Allerede disse fakta er nok til å sikre at det gylne snitt spiller essensiell rolle i utformingen av disse to Platoniske faste stoffer.

Men det er dypere matematiske bevis for den grunnleggende rollen som det gylne snitt spiller i icosahedron og dodekaeder. Det er kjent at disse kroppene har tre spesifikke sfærer. Den første (indre) sfæren er innskrevet i kroppen og berører ansiktene. La oss betegne radiusen til denne indre sfæren som R i. Den andre eller midtre sfæren berører kantene hennes. La oss betegne radiusen til denne sfæren med Rm. Til slutt er den tredje (ytre) sfæren omskrevet rundt kroppen og passerer gjennom hjørnene. La oss betegne dens radius med Rc. I geometri er det bevist at verdiene til radiene til de angitte kulene for dodekaeder og icosahedron, som har en kant på lengdeenhet, uttrykkes i form av det gylne snitt t (tabell 2).

tabell 2

Det gylne snitt i sfærene til dodekaeder og ikosaeder

icosahedron
Dodekaeder

Merk at forholdet mellom radier = er det samme som for icosahedron, og for dodekaeder. Således, hvis dodekaeder og icosahedron har de samme innskrevne kulene, så er deres omskrevne kuler også like med hverandre. Bevis på det matematisk resultat gitt inn Begynnelser Euklid.

I geometri er andre relasjoner også kjent for dodekaeder og icosahedron bekrefter deres forbindelse med det gylne snitt. For eksempel hvis vi tar icosahedron og dodekaeder med en kantlengde lik én, og beregn deres ytre areal og volum, så uttrykkes de gjennom det gylne snitt (tabell 3).

Tabell 3

Gyldent forhold i det ytre området og volumet av dodekaeder og ikosaeder

	icosahedron	Dodekaeder
ytre område

Dermed er det et stort antall forhold oppnådd av gamle matematikere, som bekrefter det bemerkelsesverdige faktum at det er det gylne snitt er hovedandelen av dodekaeder og ikosaeder, og dette faktum er spesielt interessant fra synspunktet til den såkalte "dodekaedrisk-ikosaedrisk doktrine", som vi vil vurdere nedenfor.

Platons kosmologi

De vanlige polyedrene som er vurdert ovenfor kalles Platoniske faste stoffer, siden de inntok en viktig plass i Platons filosofiske begrep om universets struktur.

Platon (427–347 f.Kr.)

Fire polyeder personifiserte i den fire essenser eller "elementer". Tetraeder symbolisert Brann, siden toppen er rettet oppover; icosahedron — vann, siden det er det mest "strømlinjeformede" polyederet; Kube — jord, som det mest "stabile" polyeder; Oktaeder — Luft, som det mest "luftige" polyederet. Femte polyeder, Dodekaeder, legemliggjort "alt som eksisterer", "Universelt sinn", symboliserte hele universet og ble vurdert universets geometriske hovedfigur.

De gamle grekerne anså harmoniske forhold for å være grunnlaget for universet, så de fire elementene var forbundet med en slik andel: jord / vann = luft / ild. Atomene til "elementene" ble stemt av Platon i perfekte konsonanser, som de fire strengene i en lyre. Husk at konsonans er en behagelig konsonans. I forbindelse med disse kroppene vil det være på sin plass å si at et slikt system av elementer, som omfattet fire elementer - jord, vann, luft og ild - ble kanonisert av Aristoteles. Disse elementene forble universets fire hjørnesteiner i mange århundrer. Det er fullt mulig å identifisere dem med de fire materietilstandene som er kjent for oss - fast, flytende, gassformig og plasma.

Dermed assosierte de gamle grekerne ideen om "gjennom" harmonien med å være med dens legemliggjøring i de platoniske faste stoffene. Innflytelsen fra den kjente greske tenkeren Platon påvirket også Begynnelser Euklid. I denne boken, som i århundrer var den eneste læreboken i geometri, er det gitt en beskrivelse av "ideelle" linjer og "ideelle" figurer. Den mest "ideelle" linjen - rett, og den mest "ideelle" polygonen - vanlig polygon,å ha like sider og like vinkler. Den enkleste regulære polygonen kan vurderes likesidet trekant, siden den har det minste antallet sider som kan avgrense en del av planet. Det er interessant det Begynnelser Euklid begynner med en beskrivelse av konstruksjonen høyre trekant og avslutte med fem Platoniske faste stoffer. Legg merke til det Platoniske faste stoffer viet til finalen, det vil si den 13. boken Begynte Euklid. Forresten, dette faktum, det vil si plasseringen av teorien om vanlige polyedre i den siste (det er så å si den viktigste) boken Begynte Euklid, ga opphav til den antikke greske matematikeren Proclus, som var en kommentator på Euklid, til å fremsette en interessant hypotese om de sanne målene forfulgt av Euklid, og skapte hans Begynnelser. I følge Proclus skapte Euklid Begynnelser ikke for å presentere geometri som sådan, men for å gi en fullstendig systematisert teori om konstruksjonen av "ideelle" figurer, spesielt fem Platoniske faste stoffer, underveis fremhever noen av de siste prestasjonene innen matematikk!

Det er ingen tilfeldighet at en av forfatterne av oppdagelsen av fullerener, nobelprisvinneren Harold Kroto, i sitt nobelforelesning, begynner sin historie om symmetri som "grunnlaget for vår oppfatning av den fysiske verden" og dens "rolle i forsøk på å forklare det omfattende» nettopp med Platoniske faste stoffer og "elementene i alle ting": "Konseptet med strukturell symmetri går tilbake til antikken ..." De fleste bemerkelsesverdige eksempler kan selvfølgelig finnes i Timaeus-dialogen til Platon, hvor han i avsnitt 53, med henvisning til "Elementene", skriver: "For det første er det klart for alle (!), Selvfølgelig, at ild og jord, vann og luft er kropper, og hver kropp er solid ”(!!) Platon diskuterer problemene med kjemi i språket til disse fire elementene og forbinder dem med de fire platoniske faste stoffene (på den tiden bare fire, inntil Hipparchus oppdaget det femte - dodekaeder). Selv om en slik filosofi ved første øyekast kan virke noe naiv, indikerer den en dyp forståelse av hvordan naturen faktisk fungerer.

Arkimedeanske faste stoffer

Halvregulære polyedre

Mange flere perfekte kropper er kjent, kalt semi-regulære polyedre eller Arkimedeske kropper. De har også alle polyedriske vinkler like og alle flater er vanlige polygoner, men flere forskjellige typer. Det er 13 semi-regulære polyedre hvis oppdagelse tilskrives Archimedes.

Arkimedes (287 f.Kr. - 212 f.Kr.)

En haug med Arkimedeanske faste stoffer kan deles inn i flere grupper. Den første av disse består av fem polyedre, som er hentet fra Platoniske faste stoffer som et resultat av deres trunkering. En avkortet kropp er en kropp med en avskåret topp. Til Platoniske faste stoffer trunkering kan gjøres på en slik måte at både de resulterende nye flatene og de resterende delene av de gamle er vanlige polygoner. For eksempel, tetraeder(Fig. 1-a) kan avkortes slik at dens fire trekantede flater blir til fire sekskantede, og fire vanlige trekantede flater blir lagt til dem. På denne måten fem Arkimedeanske faste stoffer: avkortet tetraeder, avkortet heksaeder (kube), avkortet oktaeder, avkortet dodekaeder og avkortet ikosaeder(Fig. 2).

(en)	(b)	(i)

(G)	(e)

Figur 2. Arkimedeske faste stoffer: (a) avkortet tetraeder, (b) avkortet terning, (c) avkortet oktaeder, (d) avkortet dodekaeder, (e) avkortet icosahedron

I sitt Nobelforelesning snakker den amerikanske vitenskapsmannen Smalley, en av forfatterne av den eksperimentelle oppdagelsen av fullerener, om Arkimedes (287-212 f.Kr.) som den første forskeren av avkortede polyedere, spesielt, avkortet ikosaeder, imidlertid med betingelsen om at kanskje Arkimedes tilegner seg denne fortjenesten, og kanskje ble ikosaeder avkortet lenge før ham. Det er nok å nevne de som ble funnet i Skottland og datert rundt 2000 f.Kr. hundrevis av steingjenstander (tilsynelatende for rituelle formål) i form av kuler og div polyedre(kropper avgrenset på alle sider av flate ansikter), inkludert ikosaeder og dodekaeder. Det originale arbeidet til Archimedes er dessverre ikke bevart, og resultatene har kommet ned til oss, som de sier, "andre hånd". Under renessansen alle Arkimedeanske faste stoffer den ene etter den andre ble "oppdaget" på nytt. Til slutt ga Kepler i 1619 i sin bok "World Harmony" ("Harmonice Mundi") en uttømmende beskrivelse av hele settet med arkimedeiske faste stoffer - polyedre, hvor hver side er vanlig polygon, og alt topper er i en ekvivalent posisjon (som karbonatomer i C60-molekylet). Arkimedeanske faste stoffer består av minst to forskjellige typer polygoner, i motsetning til 5 Platoniske faste stoffer, hvor alle flater er like (som i C20-molekylet, for eksempel).

Figur 3. Konstruksjon av det arkimedeiske avkortede ikosaederet
fra platonisk icosahedron

Så hvordan konstruerer du Arkimedesk avkortet ikosaeder fra Platonisk ikosaeder? Svaret er illustrert ved hjelp av fig. 3. Faktisk, som det kan sees fra tabell. 1, 5 flater konvergerer ved noen av de 12 toppunktene til ikosaederet. Hvis ved hvert toppunkt 12 deler av ikosaederet er avskåret (avskåret) av et plan, dannes det 12 nye femkantede flater. Sammen med de allerede eksisterende 20 ansiktene, som har vendt seg fra trekantet til sekskantet etter et slikt kutt, vil de utgjøre 32 ansikter av et avkortet ikosaeder. I dette tilfellet vil det være 90 kanter og 60 hjørner.

en annen gruppe Arkimedeanske faste stoffer utgjør to kropper kalt kvasi-korrekt polyedre. "Kvasi"-partikkelen understreker at ansiktene til disse polyedre er vanlige polygoner av bare to typer, med hver side av en type omgitt av polygoner av en annen type. Disse to kroppene kalles rhombicuboctahedron og icosidodecahedron(Fig. 4).

Figur 5. Arkimediske faste stoffer: (a) rhombicuboctahedron, (b) rhombicosidodecahedron

Til slutt er det to såkalte "snub" modifikasjoner - en for kuben ( snub kube), den andre er for dodekaederet ( snub dodekaeder) (Fig. 6).

(en)	(b)

Figur 6 Arkimedeiske faste stoffer: (a) snub terning, (b) snub dodekaeder

I nevnte bok av Wenniger "Models of Polyhedra" (1974) kan leseren finne 75 forskjellige modeller av vanlige polyeder. "Teorien om polyedre, spesielt konvekse polyedre, er et av de mest fascinerende kapitlene innen geometri" Dette mener den russiske matematikeren L.A. Lyusternak, som gjorde mye på dette området av matematikk. Utviklingen av denne teorien er assosiert med navnene på fremtredende forskere. Et stort bidrag til utviklingen av teorien om polyeder ble gitt av Johannes Kepler (1571-1630). På et tidspunkt skrev han skissen "Om et snøfnugg", der han kom med følgende bemerkning: "Blant de vanlige kroppene er den aller første, begynnelsen og stamfaderen til resten kuben, og dens partner, om jeg kan si det, er oktaederet, for oktaederet har like mange vinkler som kuben har ansikter." Kepler var den første som publiserte full liste tretten Arkimedeanske faste stoffer og ga dem navnene som de er kjent med til denne dag.

Kepler var den første som studerte den såkalte stjerne polyeder, som, i motsetning til de platoniske og arkimedeiske faste stoffene, er vanlige konvekse polyedere. På begynnelsen av forrige århundre utviklet den franske matematikeren og mekanikeren L. Poinsot (1777-1859), hvis geometriske arbeider forholder seg til stjerneformede polyedere, arbeidet til Kepler og oppdaget eksistensen av ytterligere to typer regulære ikke-konvekse polyedre. Så, takket være arbeidet til Kepler og Poinsot, ble fire typer slike figurer kjent (fig. 7). I 1812 beviste O. Cauchy at det ikke finnes andre vanlige stjerneformede polyedere.

Figur 7 Vanlige stjernepolyedre (Poinsot solids)

Mange lesere kan ha et spørsmål: "Hvorfor studere vanlige polyeder i det hele tatt? Hva er nytten med dem?" Dette spørsmålet kan besvares: «Og hva er nytten av musikk eller poesi? Er alt vakkert nyttig? Polyedermodellene vist i fig. 1-7, for det første, gjør et estetisk inntrykk på oss og kan brukes som dekorative ornamenter. Men faktisk forårsaket den brede manifestasjonen av vanlige polyedre i naturlige strukturer stor interesse for denne grenen av geometri i moderne vitenskap.

Mysteriet med den egyptiske kalenderen

Hva er en kalender?

Et russisk ordtak sier: «Tiden er historiens øye». Alt som finnes i universet: Solen, Jorden, stjerner, planeter, kjente og ukjente verdener, og alt som finnes i naturen, levende og livløst, alt har en rom-tid-dimensjon. Tid måles ved å observere periodisk repeterende prosesser av en viss varighet.

Selv i gamle tider la folk merke til at dagen alltid viker for natt, og årstidene går i en streng rekkefølge: våren kommer etter vinteren, sommer etter vår, høst etter sommer. I jakten på en ledetråd til disse fenomenene, trakk mennesket oppmerksomheten til himmellegemene - Solen, Månen, stjernene - og til den strenge periodisiteten i deres bevegelser over himmelen. Dette var de første observasjonene som gikk foran fødselen til en av de eldste vitenskapene - astronomi.

Astronomi baserte målingen av tid på bevegelse. himmellegemer, som gjenspeiler tre faktorer: Jordens rotasjon rundt sin akse, Månens revolusjon rundt Jorden og Jordens bevegelse rundt Solen. På hvilke av disse fenomenene tidsmålingen er basert, avhenger også ulike tidsbegreper. Astronomi vet fantastisk tid, solfylt tid, lokale tid, midje tid, fødselspermisjon tid, atomisk tid osv.

Solen, som alle andre lyskilder, er involvert i bevegelse over himmelen. Unntatt daglig bevegelse, Sola har en såkalt årlig bevegelse, og hele banen til Solens årlige bevegelse over himmelen kalles ekliptikk. Hvis du for eksempel legger merke til plasseringen av stjernebildene i noen spesiell grad kveldstime, og deretter gjenta denne observasjonen hver måned, så vil vi se et annet bilde av himmelen. Utsikten til stjernehimmelen endres kontinuerlig: hver årstid har sitt eget bilde av kveldskonstellasjonene, og hvert slikt bilde gjentas hvert år. Følgelig, etter utløpet av året, vender solen i forhold til stjernene tilbake til sin opprinnelige plass.

For å lette orienteringen i stjerneverdenen delte astronomer hele himmelen inn i 88 konstellasjoner. Hver av dem har sitt eget navn. Av de 88 stjernebildene er en spesiell plass i astronomi okkupert av de som ekliptikken passerer gjennom. Disse konstellasjonene, i tillegg til sine egne navn, har også et generalisert navn - dyrekretsen(fra det greske ordet "zoop" dyr), samt symboler (tegn) kjent over hele verden og forskjellige allegoriske bilder inkludert i kalendersystemene.

Det er kjent at i ferd med å bevege seg langs ekliptikken, krysser solen 13 konstellasjoner. Imidlertid fant astronomer det nødvendig å dele solens bane ikke i 13, men i 12 deler, og kombinere stjernebildene Skorpionen og Ophiuchus til en enkelt under vanlig navn Skorpionen (hvorfor?)

Problemene med å måle tid håndteres av en spesiell vitenskap kalt kronologi. Det ligger til grunn for alle kalendersystemer skapt av menneskeheten. Opprettelsen av kalendere i antikken var en av de kritiske oppgaver astronomi.

Hva er en "kalender" og hva er kalendersystemer? Ord kalenderen avledet fra latinsk ord kalender, som bokstavelig talt betyr "gjeldsbok"; i slike bøker ble de første dagene i hver måned angitt - kalendere, der i det gamle Roma betalte skyldnere renter.

Siden antikken i landene i østlige og Sørøst-Asia ved sammenstilling av kalendere ble det lagt stor vekt på periodisiteten av bevegelsen til solen, månen, så vel som Jupiter og Saturn, de to gigantiske planetene i solsystemet. Det er grunn til å tro at ideen om å skape jupiterske kalenderen med himmelsk symbolikk på den 12-årige dyresyklusen forbundet med rotasjon Jupiter rundt Solen, som gjør en fullstendig revolusjon rundt Solen på omtrent 12 år (11.862 år). På den annen side, den andre gigantiske planeten i solsystemet - Saturn gjør en fullstendig revolusjon rundt solen på omtrent 30 år (29.458 år). De gamle kineserne ønsket å koordinere bevegelsessyklusene til de gigantiske planetene, og kom på ideen om å introdusere en 60-års syklus av solsystemet. I løpet av denne syklusen gjør Saturn 2 hele svinger rundt solen, og Jupiter 5 omdreininger.

Når man lager årskalendere, brukes astronomiske fenomener: endring av dag og natt, endring i månefaser og endring av årstider. Bruken av forskjellige astronomiske fenomener førte til opprettelsen av tre typer kalendere blant forskjellige folk: måne, basert på månens bevegelse, solenergi, basert på solens bevegelse, og lunisolar.

Strukturen til den egyptiske kalenderen

En av de første solkalendere var egyptisk, opprettet i det 4. årtusen f.Kr. Det opprinnelige egyptiske kalenderåret bestod av 360 dager. Året ble delt inn i 12 måneder på nøyaktig 30 dager hver. Senere ble det imidlertid funnet at en slik varighet av kalenderåret ikke samsvarer med den astronomiske. Og så la egypterne til 5 dager til i kalenderåret, som imidlertid ikke var månedenes dager. Dette var 5 helligdager som forbinder nabokalenderår. Dermed hadde det egyptiske kalenderåret følgende struktur: 365 = 12ґ 30 + 5. Merk at det er den egyptiske kalenderen som er prototypen på den moderne kalenderen.

Spørsmålet oppstår: hvorfor delte egypterne opp kalenderåret i 12 måneder? Det var tross alt kalendere med et annet antall måneder i året. For eksempel, i Maya-kalenderen, besto året av 18 måneder med 20 dager per måned. Neste spørsmål angående den egyptiske kalenderen: hvorfor hadde hver måned nøyaktig 30 dager (mer presist, dager)? Noen spørsmål kan reises om det egyptiske systemet for å måle tid, spesielt om valget av slike tidsenheter som time, minutt, sekund. Spesielt oppstår spørsmålet: hvorfor ble timeenheten valgt på en slik måte at den passer nøyaktig 24 ganger om dagen, det vil si hvorfor 1 dag = 24 (2ґ 12) timer? Videre: hvorfor 1 time = 60 minutter og 1 minutt = 60 sekunder? De samme spørsmålene gjelder for valg av enheter for vinkelstørrelser, spesielt: hvorfor er sirkelen delt inn i 360°, det vil si hvorfor 2p = 360° = 12ґ 30°? Til disse spørsmålene kommer andre, spesielt: hvorfor anså astronomer det som hensiktsmessig å vurdere at det er 12 dyrekretsen tegn, selv om solen faktisk, i ferd med sin bevegelse langs ekliptikken, krysser 13 konstellasjoner? Og enda et "rart" spørsmål: hvorfor hadde det babylonske tallsystemet en veldig uvanlig base - tallet 60?

Forholdet mellom den egyptiske kalenderen og de numeriske egenskapene til dodekaederet

Ved å analysere den egyptiske kalenderen, så vel som de egyptiske systemene for måling av tid og vinkelverdier, finner vi at fire tall gjentas med utrolig konstanthet: 12, 30, 60 og tallet 360 \u003d 12ґ 30 avledet fra dem. Spørsmålet oppstår: finnes det da en grunnleggende vitenskapelig idé som kan gi en enkel og logisk forklaring på bruken av disse tallene i de egyptiske systemene?

For å svare på dette spørsmålet går vi igjen til dodekaeder vist i fig. 1-d. Husk at alle geometriske forhold til dodekaederet er basert på det gylne snitt.

Kjente egypterne dodekaederet? Historikere av matematikk innrømmer at de gamle egypterne hadde kunnskap om vanlige polyeder. Men kjente de spesielt til alle fem vanlige polyedre? dodekaeder og icosahedron hvordan de vanskeligste? Den gamle greske matematikeren Proclus tilskriver Pythagoras konstruksjonen av vanlige polyedre. Men mange matematiske teoremer og resultater (spesielt, Pythagoras teorem) Pythagoras lånte fra de gamle egypterne under sin veldig lange "forretningsreise" til Egypt (ifølge noen rapporter bodde Pythagoras i Egypt i 22 år!). Derfor kan vi anta at Pythagoras også lånte kunnskap om vanlige polyedre fra de gamle egypterne (og muligens fra de gamle babylonerne, fordi Pythagoras ifølge legenden levde i gamle Babylon 12 år gammel). Men det er andre, mer solide bevis på at egypterne hadde informasjon om alle de fem vanlige polyedre. Spesielt i British Museum er det en terning fra Ptolemaic-tiden, som har formen icosahedron, det vil si det "platoniske faststoffet", det duale dodekaeder. Alle disse fakta gir oss rett til å fremsette hypotesen om at Egypterne kjente til dodekaederet. Og hvis dette er slik, så følger et veldig harmonisk system av denne hypotesen, som gjør det mulig å forklare opprinnelsen til den egyptiske kalenderen, og samtidig opprinnelsen til det egyptiske systemet for måling av tidsintervaller og geometriske vinkler.

Tidligere har vi fastslått at dodekaederet har 12 flater, 30 kanter og 60 flate hjørner på overflaten (tabell 1). Basert på hypotesen som egypterne visste dodekaeder og dens numeriske karakteristika er 12, 30. 60, så hva var deres overraskelse da de oppdaget at syklusene til solsystemet er uttrykt med de samme tallene, nemlig 12-års syklusen til Jupiter, 30-års syklusen til Saturn og til slutt solsystemets 60- sommersyklus. Altså, mellom en slik perfekt romlig figur som dodekaeder, og solsystemet, det er en dyp matematisk sammenheng! Denne konklusjonen ble gjort av gamle forskere. Dette førte til at dodekaeder ble adoptert som "hovedfigur", som symboliserte Universets harmoni. Og så bestemte egypterne at alle hovedsystemene deres (kalendersystem, tidsmålesystem, vinkelmålesystem) skulle svare til numeriske parametere. dodekaeder! Siden, ifølge de gamle, var solens bevegelse langs ekliptikken strengt tatt sirkulær, ved å velge 12 tegn på dyrekretsen, hvor bueavstanden mellom disse var nøyaktig 30 °, koordinerte egypterne overraskende vakkert den årlige bevegelsen til solen langs ekliptikk med strukturen til deres kalenderår: en måned tilsvarte solens bevegelse langs ekliptikken mellom to nabotegn i dyrekretsen! Dessuten tilsvarte solens bevegelse med én grad en dag i det egyptiske kalenderåret! I dette tilfellet ble ekliptikken automatisk delt inn i 360°. Egypterne delte hver dag i to deler, etter dodekaederet, og delte deretter hver halvdel av dagen i 12 deler (12 ansikter) dodekaeder) og dermed introdusert time er den viktigste tidsenheten. Deler en time i 60 minutter (60 flate hjørner på overflaten dodekaeder), introduserte egypterne på denne måten minutt er den neste viktige tidsenheten. På samme måte gikk de inn gi meg et øyeblikk- den minste tidsenheten for den perioden.

Altså å velge dodekaeder som den viktigste "harmoniske" figuren i universet, og strengt etter de numeriske egenskapene til dodekaederet 12, 30, 60, klarte egypterne å bygge en ekstremt harmonisk kalender, samt systemer for måling av tid og vinkelverdier. Disse systemene var i full overensstemmelse med deres "Theory of Harmony", basert på det gylne snitt, siden det er denne andelen som ligger til grunn dodekaeder.

Disse overraskende konklusjonene følger av sammenligningen dodekaeder med solsystemet. Og hvis hypotesen vår er riktig (la noen prøve å tilbakevise den), så følger det at menneskeheten har levd i mange årtusener under tegnet av det gylne snitt! Og hver gang vi ser på urskiven vår, som også er bygget på bruk av numeriske egenskaper dodekaeder 12, 30 og 60, berører vi hoved "Mystery of the Universe" det gyldne snitt, uten å vite det!

Quasikrystaller av Dan Shechtman

Den 12. november 1984, i en liten artikkel publisert i det autoritative tidsskriftet Physical Review Letters av den israelske fysikeren Dan Shechtman, ble det presentert eksperimentelle bevis for eksistensen av en metallegering med eksepsjonelle egenskaper. Når den ble studert med elektrondiffraksjonsmetoder, viste denne legeringen alle tegnene til en krystall. Diffraksjonsmønsteret er sammensatt av lyse og jevne mellomrom, akkurat som en krystall. Imidlertid er dette bildet preget av tilstedeværelsen av "icosahedral" eller "pentangonal" symmetri, som er strengt forbudt i en krystall på grunn av geometriske hensyn. Slike uvanlige legeringer ble kalt kvasikrystaller. På mindre enn ett år ble mange andre legeringer oppdaget denne typen. Det var så mange av dem at den kvasikrystallinske tilstanden viste seg å være mye mer vanlig enn man kunne forestille seg.

Den israelske fysikeren Dan Shechtman

Konseptet med en kvasikrystall er av grunnleggende interesse fordi det generaliserer og fullfører definisjonen av en krystall. En teori basert på dette konseptet erstatter den eldgamle ideen om "en strukturell enhet som gjentas i rommet på en strengt periodisk måte" med nøkkelbegrepet langt rekkefølge. Som understreket i artikkelen "Quasicrystals" av den berømte fysikeren D. Gratia, "Dette konseptet har ført til utvidelsen av krystallografi, de gjenoppdagede rikdommene som vi akkurat har begynt å utforske. Dens betydning i mineralverdenen kan settes på linje med tillegget av konseptet irrasjonelle tall til rasjonell i matematikk.

Hva er en kvasikrystall? Hva er dens egenskaper og hvordan kan den beskrives? Som nevnt ovenfor, iht grunnleggende lov om krystallografi Det er pålagt strenge restriksjoner på krystallstrukturen. I følge klassiske ideer er en krystall sammensatt i det uendelige fra en enkelt celle, som tett (ansikt til ansikt) skal "dekke" hele planet uten noen begrensninger.

Som kjent kan tett fylling av flyet utføres ved hjelp av trekanter(fig. 7-a), firkanter(fig. 7-b) og sekskanter(Fig. 7-d). Ved bruk av femkanter (femkanter) slik fylling er umulig (fig. 7-c).

en)	b)	i)	G)

Figur 7 Tett fylling av planet kan gjøres ved å bruke trekanter (a), firkanter (b) og sekskanter (d)

Dette var kanonene for tradisjonell krystallografi som eksisterte før oppdagelsen av en uvanlig legering av aluminium og mangan, kalt en kvasikrystall. En slik legering dannes ved ultrarask avkjøling av smelten med en hastighet på 10 6 K per sekund. Samtidig, under en diffraksjonsstudie av en slik legering, vises et ordnet mønster på skjermen, som er karakteristisk for symmetrien til icosahedron, som har de berømte forbudte symmetriaksene av 5. orden.

Flere vitenskapelige grupper rundt om i verden i løpet av de neste årene studerte denne uvanlige legeringen gjennom elektronmikroskopi høy oppløsning. Alle bekreftet den ideelle homogeniteten til materie, der femte ordens symmetri ble bevart i makroskopiske områder med dimensjoner nær atomers (flere titalls nanometer).

I følge moderne utsikt Følgende modell for å oppnå krystallstrukturen til en kvasikrystall er utviklet. Denne modellen er basert på konseptet "grunnelement". I følge denne modellen er det indre ikosaederet av aluminiumatomer omgitt av det ytre ikosaederet av manganatomer. Ikosaeder er forbundet med oktaedre av manganatomer. "Basiselementet" har 42 aluminiumatomer og 12 manganatomer. I størkningsprosessen er det en rask dannelse av "grunnelementer", som raskt kobles til hverandre av stive oktaedriske "broer". Husk at flatene til icosahedron er likesidede trekanter. For å danne en oktaedrisk bro av mangan, er det nødvendig at to slike trekanter (en i hver celle) nærmer seg nær nok hverandre og stiller seg parallelt. Som et resultat av en slik fysisk prosess dannes en kvasi-krystallinsk struktur med "icosahedral" symmetri.

De siste tiårene har mange typer kvasikrystallinske legeringer blitt oppdaget. I tillegg til å ha "icosahedral" symmetri (5. orden), finnes det også legeringer med dekagonal symmetri (10. orden) og tolvkantet symmetri (12. orden). De fysiske egenskapene til kvasikrystaller begynte å bli undersøkt først nylig.

Hva er praktisk verdi oppdagelse av kvasikrystaller? Som nevnt i Gratias artikkel sitert ovenfor, «den mekaniske styrken til kvasikrystallinske legeringer øker dramatisk; fraværet av periodisitet fører til en nedgang i forplantningen av dislokasjoner sammenlignet med vanlige metaller ... Denne egenskapen har en stor anvendt verdi: bruken av den ikosaedriske fasen vil gjøre det mulig å oppnå lette og meget sterke legeringer ved å introdusere små partikler av kvasikrystaller i aluminiumsmatrisen.

Hva består den av metodisk betydning oppdagelse av kvasikrystaller? Først av alt er oppdagelsen av kvasikrystaller øyeblikket for den store triumf av "dodecahedral-icosahedral doktrinen", som gjennomsyrer hele naturvitenskapens historie og er en kilde til dype og nyttige vitenskapelige ideer. For det andre ødela kvasikrystaller den tradisjonelle forestillingen om et uoverkommelig skille mellom mineralverdenen, der "femkantet" symmetri var forbudt, og dyrelivets verden, der "femkantet" symmetri er en av de vanligste. Og vi bør ikke glemme at hovedandelen av icosahedron er det "gyldne snittet". Og oppdagelsen av kvasikrystaller er en annen vitenskapelig bekreftelse på at det kanskje er den "gyldne proporsjonen", som manifesterer seg både i dyrelivets verden og i mineralverdenen, er hovedandelen av universet.

Penrose fliser

Da Dan Shechtman ga eksperimentelle bevis på eksistensen av kvasikrystaller med ikosaedrisk symmetri, fysikere på jakt teoretisk forklaring fenomenet kvasikrystaller, trakk oppmerksomheten til en matematisk oppdagelse gjort 10 år tidligere Engelsk matematiker Roger Penrose. Som en "flat analog" av kvasikrystaller valgte vi penrose fliser, som er aperiodiske regelmessige strukturer dannet av "tykke" og "tynne" romber, som adlyder proporsjonene til det "gyldne snittet". Nøyaktig penrose fliser ble adoptert av krystallografer for å forklare fenomenet kvasikrystaller. Samtidig rollen Penrose diamanter i løpet av tre dimensjoner begynte å spille icosahedra, ved hjelp av hvilken tett fylling av tredimensjonalt rom utføres.

Vurder igjen nøye femkanten i fig. 8.

Figur 8 Pentagon

Etter å ha tegnet diagonaler i den, kan den originale femkanten representeres som et sett med tre typer geometriske former. I midten er en ny femkant dannet av skjæringspunktene til diagonalene. I tillegg er femkanten i fig. 8 inkluderer fem gule likebenede trekanter og fem røde likebenede trekanter. De gule trekantene er "gull" fordi forholdet mellom hoften og basen er lik det gylne snittet; de har spisse vinkler på 36° ved spissen og spisse vinkler på 72° ved basen. De røde trekantene er også "gyldne", siden forholdet mellom hoften og basen er lik det gylne forholdet; de har stump vinkel ved 108° ved spissen og spisse vinkler ved 36° ved basen.

Og la oss nå koble to gule trekanter og to røde trekanter med basene deres. Som et resultat får vi to "gylden" rombe. Den første (gul) har en spiss vinkel på 36° og en stump vinkel på 144° (fig. 9).

(en)	(b)

Figur 9." Gylne" romber: a) "tynn" rombe; (b) "tykk" rombe

Rombe på fig. 9-a vil vi ringe tynn rombe, og romben på fig. 9-b - tykk rombe.

Den engelske matematikeren og fysikeren Rogers Penrose brukte "gyldne" romber i fig. 9 for byggingen av den "gyldne" parketten, som ble navngitt Penrose fliser. Penrose-fliser er en kombinasjon av tykke og tynne diamanter, vist i fig. 10.

Figur 10. Penrose-fliser

Det er det viktig å understreke penrose fliser har "femkantet" symmetri eller symmetri av 5. orden, og forholdet mellom antall tykke romber og tynne tenderer til det gylne snitt!

Fullerenes

Og la oss nå snakke om en annen enestående moderne oppdagelse innen kjemi. Denne oppdagelsen ble gjort i 1985, det vil si noen år senere enn kvasikrystaller. Vi snakker om de såkalte "fullerenene". Begrepet "fullerener" refererer til lukkede molekyler slik som C60, C70, C76, C84, hvor alle karbonatomer er lokalisert på en sfærisk eller kuleformet overflate. I disse molekylene er karbonatomer plassert ved toppunktene til vanlige sekskanter eller femkanter som dekker overflaten av en kule eller kule. Den sentrale plassen blant fullerener er okkupert av C 60-molekylet, som er preget av den høyeste symmetrien og som et resultat av den høyeste stabiliteten. I dette molekylet, som ligner et fotballdekk og har strukturen til et regulært avkortet ikosaeder (fig. 2e og fig. 3), er karbonatomer lokalisert på en sfærisk overflate ved toppunktene til 20 regulære sekskanter og 12 regulære femkanter, slik at hver sekskant grenser til tre sekskanter og tre femkanter, og hver femkant er avgrenset av sekskanter.

Begrepet "fulleren" stammer fra navnet til den amerikanske arkitekten Buckminster Fuller, som, det viser seg, brukte slike strukturer når de konstruerte kupler av bygninger (en annen bruk av et avkortet icosahedron!).

"Fullerenes" er i hovedsak "menneskeskapte" strukturer avledet fra grunnleggende fysikkforskning. De ble først syntetisert av forskerne G. Kroto og R. Smalley (som mottok Nobelprisen i 1996 for denne oppdagelsen). Men de ble uventet funnet i bergartene i den prekambriske perioden, det vil si at fullerener viste seg å være ikke bare "menneskeskapte", men naturlige formasjoner. Nå studeres fullerener intensivt i laboratorier. forskjellige land, prøver å etablere betingelsene for deres dannelse, struktur, egenskaper og mulige bruksområder. Den mest studerte representanten for fullerenfamilien er fulleren-60 (C 60) (det kalles noen ganger buckminster-fulleren. Fullerener C 70 og C 84 er også kjent. Fulleren C 60 oppnås ved fordampning av grafitt i en heliumatmosfære. Dette danner et fint, sotlignende pulver som inneholder 10 % karbon; når det er oppløst i benzen, gir pulveret en rød løsning, som det vokser C 60-krystaller fra. Fullerener har uvanlige kjemiske og fysiske egenskaper. Ved høyt trykk vil dermed C 60 blir hard som diamant. Molekylene danner en krystallinsk struktur , som om de består av perfekt glatte kuler, fritt roterende i et ansiktssentrert kubisk gitter. På grunn av denne egenskapen kan C 60 brukes som et solid smøremiddel. Fullerener har også magnetiske og superledende egenskaper.

Russiske forskere A.V. Yeletsky og B.M. Smirnov i sin artikkel "Fullerenes", publisert i tidsskriftet "Uspekhi fysiske vitenskaper"(1993, bind 163, nr. 2), merk at "fullerener, hvis eksistens ble etablert på midten av 80-tallet og effektiv teknologi isolasjonen som ble utviklet i 1990, har nå blitt gjenstand for intensiv forskning av dusinvis av vitenskapelige grupper. Resultatene av disse studiene overvåkes nøye av applikasjonsfirmaer. Siden denne modifikasjonen av karbon ga forskere hele linjen overraskelser, ville det være uklokt å diskutere prognoser og mulige konsekvenser studier av fullerener i det neste tiåret, men man bør være forberedt på nye overraskelser.»

Den kunstneriske verdenen til den slovenske kunstneren Matiushka Teija Kraszek

Matjuska Teja Krasek har en bachelorgrad i maleri fra College of Visual Arts (Ljubljana, Slovenia) og er frilanskunstner. Bor og jobber i Ljubljana. Hennes teoretiske og praktisk jobb fokuserer på symmetri som et forbindende konsept mellom kunst og vitenskap. Kunstverkene hennes har vært omtalt i mange internasjonale utstillinger og publisert i internasjonale tidsskrifter(Leonardo Journal, Leonardo online).

M.T. Kraszek på sin utstilling 'Kaleidoscopic Fragrances', Ljubljana, 2005

Det kunstneriske arbeidet til Matyushka Teija Kraszek er assosiert med ulike typer symmetri, Penrose-fliser og romber, kvasikrystaller, det gylne snitt som hovedelementet i symmetri, Fibonacci-tall osv. Ved hjelp av refleksjon, fantasi og intuisjon prøver hun å finne nye relasjoner, nye nivåer av struktur, nye og forskjellige typer orden i disse elementene og strukturene. I sine arbeider bruker hun mye datagrafikk som et svært nyttig medium for å lage kunstverk, som er bindeleddet mellom naturfag, matematikk og kunst.

På fig. 11 viser sammensetningen av T.M. Crashek assosiert med Fibonacci-tall. Hvis vi velger et av Fibonacci-tallene (for eksempel 21 cm) for lengden på siden av Penrose-diamanten i denne merkbart ustabile komposisjonen, kan vi observere hvordan lengdene til noen segmenter i komposisjonen danner Fibonacci-sekvensen.

Figur 11. Matushka Teija Kraszek "Fibonacci-tall", lerret, 1998.

Et stort nummer av kunstneriske komposisjoner av kunstneren er viet til Shechtmans kvasikrystaller og Penrose-gitter (fig. 12).

(en)	(b)

(i)	(G)

Figur 12. Theia Kraszeks verden: (a) Verden av kvasikrystaller. Datagrafikk, 1996.
(b) Stjerner. Datagrafikk, 1998 (c) 10/5. Holst, 1998 (d) Quasicube. Canvas, 1999

I komposisjonen til Matyushka Teija Kraszek og Clifford Pickover "Biogenesis", 2005 (fig. 13), presenteres et dekagon, bestående av Penrose-rombuser. Man kan observere forholdet mellom Petrouse-diamantene; hver to tilstøtende Penrose-diamanter danner en femkantet stjerne.

Figur 13. Matushka Theia Kraszek og Clifford Pickover. Biogenesis, 2005.

i bildet Dobbelstjerne GA(Figur 14) ser vi hvordan Penrose-flisene passer sammen for å danne en todimensjonal representasjon av et potensielt hyperdimensjonalt objekt med en dekagonal base. Når han avbildet maleriet, brukte kunstneren metoden med harde kanter foreslått av Leonardo da Vinci. Det er denne bildemetoden som lar deg se i projeksjonen av bildet på et fly stort antall femkanter og femkanter, som er dannet av projeksjoner av individuelle kanter av Penrose-rombuser. I tillegg, i projeksjonen av bildet på et fly, ser vi et dekagon dannet av kantene på 10 tilstøtende Penrose-rombuser. I hovedsak, i dette bildet, fant Matyushka Teija Kraszek et nytt vanlig polyeder, som ganske muligens virkelig eksisterer i naturen.

Figur 14. Matushka Teia Kraszek. Dobbelstjerne GA

I komposisjonen til Crashek "Stars for Donald" (fig. 15) kan vi observere den endeløse interaksjonen mellom Penrose-rombuser, pentagrammer, femkanter, som avtar mot komposisjonens sentrale punkt. Golden ratio-forhold er representert på mange forskjellige måter på forskjellige skalaer.

Figur 15. Matyushka Teija Kraszek "Stars for Donald", datagrafikk, 2005.

De kunstneriske komposisjonene til Matyushka Teija Kraszek vakte stor oppmerksomhet fra representanter for vitenskap og kunst. Kunsten hennes sidestilles med kunsten til Maurits Escher og den slovenske kunstneren kalles den "østeuropeiske Escher" og den "slovenske gaven" til verdenskunsten.

Stakhov A.P. "Da Vinci-koden", platoniske og arkimedeiske faste stoffer, kvasikrystaller, fullerener, Penrose-gitter og den kunstneriske verdenen til Matyushka Teija Kraszek // "Academy of Trinitarianism", M., El No. 77-6567, publ. 12561, 07.11. 2005

Introduksjon

Dette kurset er laget for å:

1) konsolidere, utdype og utvide teoretisk kunnskap innen metoder for modellering av overflater og objekter, praktiske ferdigheter og ferdigheter i programvareimplementering av metoder;

2) forbedre ferdighetene til selvstendig arbeid;

3) å utvikle evnen til å formulere vurderinger og konklusjoner, til å uttale dem logisk og konkludert.

Faste stoffer av Platon

Platons faste stoffer er konvekse polyedre, hvis ansikter alle er vanlige polygoner. Alle polyedriske vinkler til et vanlig polyeder er kongruente. Som følger allerede fra beregningen av summen av flate vinkler ved toppunktet, er det ikke mer enn fem konvekse vanlige polyedre. På den måten som er angitt nedenfor, kan det bevises at det er nøyaktig fem vanlige polyedre (dette ble bevist av Euklid). De er det vanlige tetraeder, heksaeder (kube), oktaeder, dodekaeder og icosahedron. Navnene på disse vanlige polyedrene kommer fra Hellas. I bokstavelig oversettelse fra gresk "tetraeder", "oktaeder", "heksaeder", "dodekaeder", "ikosaeder" betyr: "tetraeder", "oktaeder", "heksaeder". dodekaeder, dodekaeder.

Tabell nr. 1

Tabell nummer 2

Navn:	Radius av den omskrevne sfæren	Radius til den innskrevne sfæren
Tetraeder
Heksaeder
Dodekaeder
icosahedron

Tetraeder- et tetraeder, der alle flater er trekanter, dvs. trekantet pyramide; et regulært tetraeder er avgrenset av fire likesidede trekanter. (Figur 1).

Kube eller vanlig sekskant- et vanlig firkantet prisme med like kanter, begrenset av seks firkanter. (Figur 1).

Oktaeder- oktaeder; en kropp avgrenset av åtte trekanter; et regulært oktaeder er avgrenset av åtte likesidede trekanter; en av de fem vanlige polyedrene. (Figur 1).

Dodekaeder- dodekaeder, en kropp avgrenset av tolv polygoner; vanlig femkant. (Figur 1).

icosahedron- en tjuesidig kropp, en kropp avgrenset av tjue polygoner; et vanlig ikosaeder er avgrenset av tjue likesidede trekanter. (Figur 1).

Terningen og oktaederet er doble, dvs. oppnås fra hverandre hvis tyngdepunktene til ansiktene til den ene tas som hjørnene til den andre og omvendt. Dodekaederet og ikosaederet er på samme måte doble. Tetraederet er dobbelt med seg selv. Et vanlig dodekaeder er oppnådd fra en terning ved å konstruere "tak" på dens overflater (Euklids metode), toppunktene til et tetraeder er alle fire hjørner av kuben som ikke er parvis tilstøtende langs en kant. Slik oppnås alle andre vanlige polyedre fra kuben. Selve faktumet av eksistensen av bare fem virkelig vanlige polyedre er utrolig - tross alt er det uendelig mange vanlige polygoner på flyet!

Alle vanlige polyedre var kjent i antikkens Hellas, og den 13. boken av Euklids "Begynnelser" er dedikert til dem. De kalles også Platons kropper, fordi. de inntok en viktig plass i Platons filosofiske begrep om universets struktur. Fire polyeder personifiserte i den fire essenser eller "elementer". Tetraederet symboliserte ild, fordi. toppen er rettet oppover; icosahedron? vann, fordi han er den mest "strømlinjeformede"; kube - jord, som den mest "støe"; oktaeder? luft, som den mest "luftige". Det femte polyederet, dodekaederet, legemliggjorde "alt som eksisterer", symboliserte hele universet, og ble ansett som det viktigste.

De gamle grekerne anså harmoniske forhold for å være grunnlaget for universet, så de fire elementene var forbundet med en slik andel: jord / vann = luft / ild.

I forbindelse med disse organene vil det være på sin plass å si at det første systemet av elementer, som inkluderte fire elementer? jord, vann, luft og ild - ble kanonisert av Aristoteles. Disse elementene forble universets fire hjørnesteiner i mange århundrer. Det er fullt mulig å identifisere dem med de fire materietilstandene som er kjent for oss - fast, flytende, gassformig og plasma.

En viktig plass ble okkupert av vanlige polyedre i systemet med den harmoniske strukturen i verden av I. Kepler. All den samme troen på harmoni, skjønnhet og den matematisk regelmessige strukturen til universet førte I. Kepler til ideen om at siden det er fem vanlige polyedere, svarer bare seks planeter til dem. Etter hans mening er sfærene til planetene sammenkoblet av de platonske faste stoffene som er innskrevet i dem. Siden sentrene til de innskrevne og omskrevne kulene sammenfaller for hvert vanlig polyeder, vil hele modellen ha et enkelt senter, der solen vil være plassert.

Etter å ha gjort et stort beregningsarbeid publiserte I. Kepler i 1596 resultatene av oppdagelsen hans i boken "The Secret of the Universe". Han skriver inn en kube i sfæren til Saturns bane, i en kube? sfæren til Jupiter, sfæren til Jupiter - et tetraeder, og så videre suksessivt passe inn i hverandre sfæren til Mars? dodekaeder, jordens sfære? icosahedron, Venus sfære? oktaeder, sfæren til Merkur. Hemmeligheten bak universet virker åpen.

I dag er det trygt å si at avstandene mellom planetene ikke er relatert til noen polyeder. Det er imidlertid mulig at uten "Universets hemmeligheter", "Harmony of the World" av I. Kepler, vanlige polyeder, ville det ikke vært tre kjente lover til I. Kepler, som spiller viktig rolle i å beskrive planetenes bevegelse.

Hvor ellers kan du se disse fantastiske kroppene? I boken til den tyske biologen fra begynnelsen av forrige århundre E. Haeckel "Skjønnheten til former i naturen" kan man lese følgende linjer: "Naturen lever i sin barm en uuttømmelig mengde fantastiske skapninger som i skjønnhet og mangfold langt overgår alle former skapt av menneskelig kunst. "Naturens skapninger gitt i denne boken er vakre og symmetriske. Dette er en uatskillelig egenskap ved naturlig harmoni. Men encellede organismer er også synlige her? feodarii, the form som nøyaktig formidler ikosaederet Hva er denne naturlige geometriseringen forårsaket av det faktum at av alle polyedrene med samme antall ansikter, er det ikosaederet som har det største volumet og minste område overflater. Denne geometriske egenskapen hjelper den marine mikroorganismen med å overvinne trykket fra vannsøylen.

Det er også interessant at det var icosahedron som viste seg å være fokus for oppmerksomheten til biologer i deres tvister om formen på virus. Viruset kan ikke være helt rundt, som tidligere antatt. For å etablere formen tok de forskjellige polyeder, rettet lys mot dem i samme vinkler som strømmen av atomer til viruset. Det viste seg at bare ett polyeder gir nøyaktig samme skygge? icosahedron. Hans geometriske egenskaper, nevnt ovenfor, lar deg lagre genetisk informasjon. Vanlige polyeder? de mest lønnsomme tallene. Og naturen utnytter dette. Krystallene av noen stoffer som er kjent for oss, er i form av vanlige polyedre. Så, kuben formidler formen av natriumkloridkrystaller NaCl, enkeltkrystallen av aluminium-kaliumalun (KAlSO4) 2 12H2O har formen av et oktaeder, krystallen av svovelkis FeS har formen av et dodekaeder, antimonnatriumsulfat er et tetraeder, bor er et ikosaeder. Vanlige polyedre bestemmer formen på krystallgitteret til noen kjemikalier.

Så de vanlige polyedrene avslørte for oss forsøkene til forskere på å nærme seg hemmeligheten bak verdensharmonien og viste den uimotståelige attraktiviteten og skjønnheten til disse geometriske figurene.

PLATONISKE KROPP MED DETALJERT BESKRIVELSE

PLATONS kropper [P. - fra gresk. Platon (427-347 f.Kr. / T. - opprinnelse. se BODY), samlingen av alle vanlige polyedre [dvs. e. volumetriske (tredimensjonale) legemer avgrenset av like regulære polygoner] av den tredimensjonale verden, først beskrevet av Platon (den siste, XIII-te boken av "Begynnelsen" til Platons elev Euklid er også viet til dem); // med alle de uendelige variasjonene av regulære polygoner (todimensjonale geometriske former avgrenset av like sider, tilstøtende par av disse danner like vinkler), er det bare fem volumetriske P.T. (se tabell 6), i samsvar med hvilken, siden Platons tid, de fem elementene i universet har blitt plassert; forbindelsen som eksisterer mellom heksaederet og oktaederet, så vel som mellom dodekaederet og ikosaederet, er merkelig: de geometriske sentrene til ansiktene til hver av de første er toppunktene til hver av de andre.

En person viser interesse for polyeder gjennom hele sin bevisste aktivitet - fra et to år gammelt barn som leker med treterninger til en moden matematiker. Noen av de regulære og semi-regulære kroppene forekommer i naturen i form av krystaller, andre i form av virus som kan sees med et elektronmikroskop. Hva er et polyeder? For å svare på dette spørsmålet, la oss huske at geometri i seg selv noen ganger er definert som vitenskapen om rom og romlige figurer - todimensjonale og tredimensjonale. En todimensjonal figur kan defineres som et sett med linjestykker som avgrenser en del av et plan. En slik flat figur kalles en polygon. Det følger at et polyeder kan defineres som et sett med polygoner som avgrenser en del av tredimensjonalt rom. Polygonene som danner et polyeder kalles dets ansikter.

Siden antikken har forskere vært interessert i "ideelle" eller vanlige polygoner, det vil si polygoner som har like sider og like vinkler. En likesidet trekant kan betraktes som den enkleste regulære polygonen, siden den har det minste antallet sider som kan begrense en del av et plan. Det generelle bildet av vanlige polygoner av interesse for oss, sammen med en likesidet trekant, er: en firkant (fire sider), en femkant (fem sider), en sekskant (seks sider), en åttekant (åtte sider), en tikant ( ti sider) osv. Åpenbart er det teoretisk sett ingen begrensninger på antall sider av en vanlig polygon, det vil si at antallet vanlige polygoner er uendelig.

Hva er et vanlig polyeder? Et polyeder kalles regulært hvis alle flatene er like (eller kongruente) med hverandre og samtidig er regulære polygoner. Hvor mange vanlige polyedre er det? Ved første øyekast er svaret på dette spørsmålet veldig enkelt - så mange som det er vanlige polygoner. Det er det imidlertid ikke. I Euclids Elements finner vi et strengt bevis på at det bare er fem regulære polyedre, og at bare tre typer regulære polygoner kan være deres ansikter: trekanter, firkanter og femkanter.

Navn Antall ansikter Element
Tetrahedron 4 Brann
Hexahedron/Cube 6 Earth
Octahedron 8 Air
Icosahedron 10 Vann
Dodecahedron 12 Ether

Verden av stjernekantede polyedre

Vår verden er full av symmetri. Siden antikken har våre ideer om skjønnhet vært assosiert med det. Kanskje dette forklarer menneskets vedvarende interesse for de fantastiske symbolene på symmetri, som tiltrakk seg oppmerksomheten til mange fremtredende tenkere, fra Platon og Euklid til Euler og Cauchy.

Imidlertid er polyedre på ingen måte bare et objekt for vitenskapelig forskning. Formene deres er komplette og bisarre, mye brukt i dekorativ kunst.

Stjerneformede polyeder er veldig dekorative, noe som gjør at de kan brukes mye i smykkeindustrien i produksjon av alle slags smykker. De brukes også i arkitektur. Mange former for stjernepolyeder er foreslått av naturen selv. Snøfnugg er stjerneformede polyeder. Siden antikken har folk prøvd å beskrive alle mulige typer snøflak, og har laget spesielle atlas. Flere tusen forskjellige typer snøflak er nå kjent.

stjernedodekaeder

Den store stjernedodekaederen tilhører familien av Kepler-Poinsot-faststoffer, det vil si vanlige ikke-konvekse polyedere. Ansiktene til det store stjernedodekaederet er pentagrammer, som ansiktene til det lille stjernedodekaedret. Hver toppunkt forbinder tre ansikter. Toppunktene til det store stjernedodekaederet faller sammen med toppunktene til det omskrevne dodekaederet.

Det store stjernedodekaederet ble først beskrevet av Kepler i 1619. Dette er den siste stjerneformede formen av det vanlige dodekaederet.

Dodekaeder

De gamle vismennene sa: "For å kjenne det usynlige, se nøye på det synlige." Når det gjelder hellige krefter, er dodekaederet det kraftigste polyederet. Ikke rart at Salvador Dali valgte denne figuren til sin «Nattverd». I den, fra tolv femkanter – også en sterk figur, er krefter konsentrert på ett punkt – om Jesus Kristus.

Dodekaeder(fra gresk dodeka - tolv og hedra - kant) er et vanlig polyeder, sammensatt av tolv likesidede femkanter.

Dodekaederet har 20 hjørner og 30 kanter.
Toppunktet til dodekaederet er toppunktet til tre femkanter, så summen av planvinklene ved hvert toppunkt er 324°.
Summen av lengdene til alle kanter er 30a.
Dodekaederet har et symmetrisenter og 15 symmetriakser.

Hver av aksene går gjennom midtpunktene til motsatte parallelle ribber. Dodekaederet har 15 symmetriplan. Ethvert av symmetriplanene passerer i hver side gjennom toppunktet og midten av den motsatte kanten.

Vanlige polyeder tiltrekker seg med perfeksjon av sine former, fullstendig symmetri. Noen av de korrekte og semi-regulære kroppene forekommer i naturen i form av krystaller, andre - i form av virus, de enkleste mikroorganismene.
Krystaller er kropper som har en mangefasettert form. Her er ett eksempel på slike kropper: en svovelkiskrystall (svovelkis FeS) er en naturlig modell av et dodekaeder.
Polioviruset har form som et dodekaeder. Den kan leve og formere seg bare i menneske- og primatceller. Dette betyr spesielt at du kun kan få polio fra mennesker. I tillegg overføres mange virus gjennom vektorer, ofte utført av leddyr (f.eks. flått). Slike virus kan ha et bredt spekter av verter, inkludert både virveldyr og virvelløse dyr.

Volvox-alger - en av de enkleste flercellede organismene - er et sfærisk skall, hovedsakelig sammensatt av heptagonale, sekskantede og femkantede celler (det vil si celler som har syv, seks eller fem tilstøtende; tre celler konvergerer ved hvert "toppunkt").

Det er tilfeller som har både firkantede og åttekantede celler, men biologer har lagt merke til at hvis det ikke finnes slike "ikke-standard" celler (med mindre enn fem og mer enn syv) sider, så er det alltid nøyaktig tolv flere femkantede celler enn sekskantede celler. (det kan være flere hundre eller til og med tusenvis av celler totalt). Denne uttalelsen følger av den velkjente Euler-formelen.
Fullerener er en av karbonformene. De ble oppdaget mens de prøvde å modellere prosessene som skjer i rommet. Senere klarte forskere i terrestriske laboratorier å syntetisere og studere en rekke derivater av disse sfæriske molekylene. Kjemien til fullerener oppsto. Noen forbindelser inkludert i krystallgitteret til C60 fulleren viste seg å være "varme superledere" med en kritisk temperatur på opptil 117 K.
Det gjøres forsøk på å lage materialer basert på fullerener for begynnende molekylær elektronikk. Alt dette er interessant og viktig. Men fullerener, som det viste seg, finnes også i terrestriske bergarter. Nå, med tilstedeværelsen av fullerener i shungitter, forbinder noen entusiaster den helbredende effekten av kampvannet oppdaget i 1714, som Peter den store ble behandlet med. Og de siste funnene til geokjemikere får oss til å vende tilbake til problemet med opprinnelsen til fullerener. Det er mulig at nye kjemisk forskning terrestriske fullerener vil litt åpne andre sider av den rike historien til planeten Jorden!
I alkymi snakker man vanligvis bare om disse elementene: ild, jord, luft og vann; eter er sjelden nevnt fordi det er så hellig. I den pytagoreiske skolen, hvis du bare nevnte ordet "dodekaeder" utenfor skolens vegger, ville du bli drept på stedet. Denne figuren ble ansett som så hellig. De snakket ikke engang om henne. To hundre år senere, under Platons liv, snakket de om henne, men bare veldig nøye. Hvorfor? Fordi dodekaederet er plassert i ytterkanten av din energifelt og er den høyeste form for bevissthet. Når du når grensen på 55 fot til energifeltet ditt, vil det være i form av en kule. Men den indre figuren nærmest sfæren er dodekaederet (faktisk forholdet mellom dodekaeder og ikosaeder). I tillegg til dette bor vi inne i et stort dodekaeder som inneholder universet. Når sinnet ditt når grensen for verdensrommet - og det er en grense - da snubler det over et dodekaeder lukket i en sfære. Dodekaederet er den endelige figuren for geometri, og den er veldig viktig.
På et mikroskopisk nivå er dodekaeder og ikosaeder de relative dimensjonene av DNA som alt liv er bygget av. Du kan også se at DNA-molekylet er en roterende kube. Når kuben roteres sekvensielt med 72 grader i henhold til en viss modell, oppnås et ikosaeder, som igjen er et par av et dodekaeder.
Dermed er den doble strengen til DNA-spiralen bygget på prinsippet om toveis korrespondanse: icosahedron blir fulgt av dodecahedron, så igjen icosahedron, og så videre. Denne rotasjonen gjennom kuben skaper et DNA-molekyl.
Strukturen til DNA er basert på hellig geometri, selv om andre skjulte forhold kan bli avslørt.
Dan Winters bok Heartmath viser at DNA-molekylet er sammensatt av dualitetsforholdene mellom dodekaeder og ikosaeder.

Nåværende side: 4 (totalt bok har 36 sider) [tilgjengelig leseutdrag: 9 sider]

Platon I: Struktur fra symmetri - platoniske faste stoffer

Platoniske faste stoffer støtter en slags magi rundt dem. De har alltid vært og forblir de gjenstandene du kan arbeide magi med. De er forankret dypt i menneskehetens forhistoriske tider og lever nå som objekter som lover lykke eller uflaks i de mest kjente brettspillene, spesielt i de berømte Dungeons and Dragons. I tillegg har deres mystiske kraft inspirert forskere til noen av de mest banebrytende oppdagelsene innen utviklingen av matematikk og fysikk. Deres uutsigelige skjønnhet er verdig dyp konsentrasjon om dem.

Albrecht Dürer, i sin gravering "Melancholia I" (ill. 4), antyder sjarmen til vanlige polyeder, selv om kroppen som er avbildet i bildet hans ikke er helt platonisk. (Teknisk sett er det et avkortet trekantet trapesoeder. Det kan oppnås ved å strekke oktaederets ansikter på en bestemt måte.) Kanskje det bevingede geni falt i melankoli fordi han ikke kunne forstå hvorfor det onde flaggermus kastet inn på kontoret sitt akkurat dette, ikke helt en platonisk solid i stedet for en vanlig figur.

jeg vil. 4. Albrecht Durer "Melancholia I"

Maleriet viser et avkortet platonisk legeme, magisk firkant og mange andre esoteriske symboler. Fra mitt ståsted illustrerer det perfekt irritasjonen jeg ofte føler når jeg prøver å forstå virkeligheten med en ren idé. Heldigvis er dette ikke alltid tilfelle.

Vanlige polygoner

Før vi går videre til de platoniske solidene, la oss starte med noe enklere – med deres nærmeste analoger i to dimensjoner, nemlig regulære polygoner. En vanlig polygon er en flat figur der alle sider er like og møtes i like vinkler. Det enkleste regulære polygonet har tre sider - det er en likesidet trekant. Deretter kommer en firkant med fire sider. Deretter - en vanlig femkant, eller femkant (som ble valgt som et symbol på pytagoreerne og tatt som grunnlag i utformingen av det velkjente hovedkvarteret til de væpnede styrkene 9
Dette refererer til Pentagon - den viktigste administrative bygningen til det amerikanske forsvarsdepartementet. - Merk. per.

), en sekskant (del av en bikube og, som vi skal se senere, grafen 10
Et lag med karbonatomer koblet i et sekskantet todimensjonalt krystallgitter. - Merk. per.

), en sjukant (den kan finnes på forskjellige mynter), en åttekant (obligatoriske stoppskilt), en ikke-kant ... Denne serien kan fortsettes på ubestemt tid: for hvert heltall, fra tre, er det en unik vanlig polygon. I hvert tilfelle er antall toppunkter lik antall sider. Vi kan også betrakte sirkelen som et ekstremtilfelle av en vanlig polygon, hvor antall sider blir uendelig.

Vanlige polygoner, i en eller annen intuitiv forstand, kan få betydningen av den ideelle utførelsen av plane "atomer". De kan tjene som konseptuelle atomer som vi kan komponere mer komplekse strukturer av orden og symmetri fra.

Platoniske faste stoffer

La oss nå gå videre fra flate figurer til tredimensjonale. For maksimal enhetlighet kan vi generalisere forestillingen om et vanlig polyeder på forskjellige måter. Den mest naturlige av dem, som viser seg å være den mest fruktbare, fører til de platoniske faste stoffene. Vi snakker om tredimensjonale legemer, hvis ansikter er vanlige polygoner, alle like og lukker seg på samme måte ved hvert toppunkt. Så, i stedet for en uendelig rekke av løsninger, får vi nøyaktig fem kropper!

jeg vil. 5. Fem platoniske solider - magiske figurer

De fem platoniske faste stoffene er:

tetraeder med fire trekantede flater og fire hjørner, i hver av disse tre flater konvergerer;

oktaeder med åtte trekantede flater og seks toppunkter, som hver konvergerer fire flater;

icosahedron med 20 trekantede flater og 12 hjørner, i hver av disse konvergerer fem flater;

Dodekaeder med 20 femkantede flater og 20 hjørner, i hver av disse tre flater konvergerer;

Kube med seks firkantede flater og åtte hjørner, som hver har tre ansikter som møtes.

Eksistensen av disse fem polyedrene er lett å forstå, og modeller av dem kan konstrueres uten store problemer. Men hvorfor er det bare fem? (Eller er det andre?)

For å håndtere dette spørsmålet, legg merke til at toppunktene til tetraederet, oktaederet og ikosaederet forener tre, fire og fem trekanter som konvergerer sammen, og still spørsmålet: "Hva skjer hvis vi fortsetter og det er seks?" Da vil vi forstå at seks likesidede trekanter med felles toppunkt vil ligge på planet. Uansett hvor mye vi gjentar dette flate objektet, vil det ikke tillate oss å bygge en komplett figur som begrenser et visst volum. I stedet vil figuren spre seg på ubestemt tid over planet, som vist i fig. 6 (til venstre).

jeg vil. 6. Tre uendelige platoniske flater

Figuren viser bare deres siste deler. Disse tre riktige erstatningene for flyet kan og bør oppfattes som beslektet med de platonske solidene - deres fortapte brødre som dro på pilegrimsreise og aldri kommer tilbake.

Vi får de samme resultatene hvis vi matcher fire ruter eller tre sekskanter. Disse tre riktige avsnitt på flyet - verdige tillegg til de platoniske faste stoffene. Videre skal vi se hvordan de kommer til liv i mikrokosmos (ill. 29).

Hvis vi prøver å tilpasse mer enn seks likesidede trekanter, fire firkanter eller tre store regulære polygoner, vil vi gå tom for plass og kan rett og slett ikke plassere deres totale vinkel rundt toppunktet. Og så de fem platoniske faste stoffene er alle endelige regulære polyedere som kan eksistere.

Det er viktig at sikkert endelig antall- fem - fremgår av betraktninger om geometrisk korrekthet og symmetri. Korrekthet og symmetri er naturlige og fantastiske ting å tenke på, men de har ingen åpenbar eller direkte forbindelse til visse tall. Som vi skal se, tolket Platon dette vanskelig sak deres fremvekst på en utrolig kreativ måte.

bakgrunn

Ofte berømte mennesker berømmelse gis for oppdagelsene andre har gjort. Dette er "Matthew-effekten", oppdaget av sosiolog Robert Merton og basert på linjene fra Matteusevangeliet:

For hver den som har, skal det gis, og han skal ha overflod, men fra den som ikke har, skal også det han har, tas. 11
Matteusevangeliet 13:12. - Merk. per.

Dette er hva som skjedde med de platonske faste stoffene.

På Ashmoline Museum ved Oxford University 12
Museum of Art and Archaeology, Oxford. - Merk. per.

Du kan se et stativ med fem utskårne steiner, laget rundt 2000 f.Kr. e. i Skottland, som ser ut til å være realiseringer av de fem platoniske faste stoffene (selv om noen forskere bestrider dette). Tilsynelatende ble de brukt i et slags terningspill. Man kan forestille seg hvordan hulemenn samlet seg rundt en felles ild og skåret inn i "Dungeons and Dragons" fra paleolittisk tid. Det er godt mulig at ikke Platon, men hans samtidige Theaetetus (417-369 f.Kr.) var den første som matematisk beviste at de samme fem kroppene er de eneste mulige regulære polyedrene. Det er ikke klart i hvilken grad Platon inspirerte Theaetetus eller omvendt, eller om det var noe i luften i det gamle Athen som begge inspirerte. I alle fall fikk de platoniske faste stoffene navnet sitt fordi Platon opprinnelig brukte dem i arbeidet til et begavet geni kreativ fantasiå lage en teori om den fysiske verden på en visjonær måte.

jeg vil. 7. Før-platoniske bilder av de platonske faste stoffene, som kan ha blitt brukt i terningspill rundt 2000 f.Kr. e.

Når vi ser inn i en mye mer fjern fortid, forstår vi at noen av de enkleste skapningene i biosfæren, inkludert virus og kiselalger (ikke par av atomer, som man kanskje tror fra navnet, men alger, som ofte vokser forseggjorte skjell i form av Platoniske faste stoffer), ikke bare "oppdaget", men også bokstavelig talt legemliggjorde de platoniske faste stoffer lenge før de første menneskene dukket opp på jorden. herpesvirus; viruset som forårsaker hepatitt B; det humane immunsviktviruset og virus fra mange andre sykdommer er formet som et ikosaeder eller et dodekaeder. De omslutter sitt genetiske materiale – DNA eller RNA – i proteineksoskjelettkapsler som definerer deres ytre former, som vist i fargepanel D. Kapslene er fargekodet slik at de samme fargene står for de samme byggesteinene. Forbindelsen av tre femkanter, karakteristisk for dodekaederet, fanger øyet. Men hvis vi tegner rette linjer gjennom sentrene til de blå områdene, vil vi se et ikosaeder.

Mer komplekse mikroskopiske skapninger, inkludert radiolariene som Ernst Haeckel likte å skildre i sin utmerkede bok The Beauty of Forms in Nature, bringer også de platonske faste stoffene til live. På syk. 8 ser vi det intrikate eksoskjelettet av silisium til disse encellede organismene. Radiolarier er en eldgammel livsform som finnes i de tidligste fossilene. Havet er fullt av dem i dag. Hvert av de fem platoniske legemene er nedfelt i et visst antall arter levende organismer. Navnene på noen av dem fikset til og med formen, inkludert Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra og Circorrhegma dodecahedra.

Euklids inspirerende idé

Euklids elementer er den beste læreboken gjennom tidene, og andre bøker er ingen match for dem. Denne boken brakte system og strenghet til geometri. Mer bredt introduserte hun i ideenes rike - gjennom praktisk anvendelse - metoden for analyse og syntese.

jeg vil. 8. Radiolarians blir synlige under linsen til det enkleste mikroskopet. Eksoskjelettene deres viser ofte symmetrien til de platoniske faste stoffene.

Analyse og syntese er den foretrukne formuleringen av "reduksjonisme" for Isaac Newton og for oss også. Her er hva Newton sier:

Ved en slik analyse kan vi gå fra forbindelser til ingredienser, fra bevegelser til kreftene som produserer dem, og generelt fra virkninger til deres årsaker, fra spesielle årsaker til mer generelle, til argumentet ender med den mest generelle årsaken. Slik er analysemetoden, mens syntese forutsetter årsaker oppdaget og etablert som prinsipper; den består i å forklare fenomenene som utgår fra dem ved hjelp av prinsipper, og i å bevise forklaringene 13
Cit. Sitert fra: Newton I. Optics, or a Treatise on reflections, refractions, bendings and colors of light. - M.-L.: Gosizdat, 1927. - S. 306.

Denne strategien kan sammenlignes med Euklids tilnærming til geometri, hvor han starter med enkle, intuitive aksiomer for så å utlede mer komplekse og overraskende konsekvenser av dem. Newtons store Principia Mathematica, grunnlagsdokumentet for moderne matematisk fysikk, følger også den eksponentielle stilen til Euklid, og beveger seg trinn for trinn fra aksiomer gjennom logiske konstruksjoner til mer betydningsfulle resultater.

Det er viktig å understreke at aksiomene (eller fysikkens lover) ikke forteller deg hva du skal gjøre med dem. Ved å samle dem uten noen hensikt, er det enkelt å lage et stort antall ingenting. meningsfulle fakta som snart vil bli glemt. Det er som et stykke eller et musikkstykke som vandrer rundt som en villfaren og ikke kommer noen vei. Som de som har prøvd å tilpasse kunstig intelligens for å løse kreative matematiske problemer har funnet ut, er det vanskeligste i denne bransjen å bestemme målene. Med et verdifullt mål i tankene blir det lettere å finne midler for å nå det. Jeg elsker lykkekaker, og når jeg kom over den heldigste kaken i verden, oppsummerer ordtaket jeg fant det hele perfekt:

Selve arbeidet vil lære deg hvordan du gjør det.

Og selvfølgelig, for bedre læring, er det fristende for studenter og potensielle lesere å ha et inspirerende mål foran seg. Helt fra begynnelsen er de dypt imponert over kunnskapen om at de kan forutse følelsen av det fantastiske trikset med å lage en konstruksjon som beveger seg ubønnhørlig fra «åpenbare» aksiomer til langt fra åpenbare konklusjoner.

Så hva var Euklids mål i elementene? Det trettende og siste bindet av dette mesterverket avsluttes med konstruksjonen av de fem platoniske solidene og beviset på hvorfor bare fem eksisterer. Det gleder meg å tenke – enda mer siden det er ganske plausibelt – at Euklid tenkte på denne konklusjonen da han begynte å jobbe med hele boken og mens han skrev den. Uansett, det er en passende og tilfredsstillende konklusjon.

Platoniske faste stoffer som atomer

De gamle grekerne anerkjente fire grunnleggende komponenter, eller elementer, i den materielle verden: ild, vann, jord og luft. Du har kanskje lagt merke til at antall elementer - fire - er nær fem, antallet vanlige polyedre. Platon la selvfølgelig merke til det! I hans mest autoritative, profetiske og uforståelige dialog, Timaeus, finner man en teori om elementene basert på polyedre. Den består av følgende.

Hvert element er bygd opp av visse typer atomer. Atomer har form av platoniske faste stoffer: ildatomer har form av et tetraeder, vannatomer har et ikosaeder, jordatomer har en terning, luftatomer har et oktaeder.

Det er en viss plausibilitet i disse påstandene. De gir forklaringer. Brannatomer er skarpt formet, noe som forklarer hvorfor ild er smertefullt å ta på. Vannatomer er de jevneste og rundeste, så de kan flyte jevnt rundt hverandre. Jordens atomer kan presses tett til hverandre og fylle rommet uten tomrom. Luft, som kan være både varm og fuktig, har en mellomform for atomer mellom ild og vann.

Selv om fire er nær fem, kan de ikke være like, så det kan ikke være et fullstendig samsvar mellom vanlige polyedre, betraktet som atomer, og elementer. En mindre begavet tenker ville kanskje bli motløs av denne vanskeligheten, men den briljante Platon mistet ikke sin tilstedeværelse. Han tok det både som en utfordring og en mulighet. Han foreslo at det gjenværende regulære polyederet, dodekaederet, også spilte en rolle i hendene på Skaper-byggeren, men ikke som et atom. Nei, dodekaederet er ikke bare et slags atom, snarere gjentar det formen til universet som helhet.

Aristoteles, som alltid prøvde å overgå Platon, foreslo en annen, mer konservativ og konsistent teori. De to hovedideene til disse innflytelsesrike filosofene var at månen, planetene og stjernene som bor i himmelens hvelv, bestå av en helt annen sak enn den vi kan finne i den undermåneske verden, og at "naturen ikke tåler tomhet"; dermed kunne ikke himmelrommet være tomt. Dette resonnementet krevde eksistensen av et femte element, eller kvintessens, annet enn jord, ild, vann og luft, for å fylle himmelhvelvet. Dermed fant dodekaederet sin plass som kvintessensens atom eller eter.

I dag er det vanskelig å være enig i detaljene i begge disse teoriene. Det er til ingen nytte for vitenskapen å analysere verden i form av disse fire (eller fem) elementene. I det moderne synet er ikke atomer det i det hele tatt solide kropper, og enda mer så har de ikke form av platoniske faste stoffer. Platons teori om elementene fra dagens ståsted ser grov og håpløst feil ut på alle måter.

Struktur fra symmetri

Men selv om Platons synspunkter mislyktes som en vitenskapelig teori, var de vellykkede som en prediksjon og, vil jeg si, som et verk av intellektuell kunst. For å sette pris på konseptet i denne egenskapen, må vi gå bort fra detaljene og se på det som en helhet. En dyp, sentral gjetning i systemet til den fysiske verden fra Platons synspunkt er at denne verden i det store og hele skal legemliggjøre vakre konsepter. Og denne skjønnheten må være en skjønnhet av et spesielt slag: skjønnheten i matematisk korrekthet, perfekt symmetri. For Platon, som for Pythagoras, var denne formodningen på samme tid en tro, et lengtende ønske og et grunnleggende prinsipp. De lengtet etter å bringe sinnet i harmoni med stoffet, og viste at stoffet består av sinnets reneste produkter.

Det er viktig å understreke at Platon i sine ideer hevet seg over det allment aksepterte nivået av filosofiske generaliseringer i sin tid for å komme med visse utsagn om hva materie er. Hans idiosynkratiske, om enn feil, ideer faller ikke inn i den beryktede kategorien "ikke engang feil". 14
Den berømte teoretiske fysikeren Wolfgang Pauli skal en gang ha kritisert det hjelpeløse arbeidet til en ung vitenskapsmann med de velkjente ordene: "Dette er ikke bare galt, det kommer ikke engang til kort å være feil!" - Merk. per.

Som vi har sett, tok Platon til og med noen skritt mot å sammenligne denne teorien med virkeligheten. Ild brenner fordi tetraederet har skarpe kanter, vann renner fordi ikosaeder lett ruller over hverandre, og så videre. kjemiske reaksjoner og egenskaper til komplekse (bestående av mer enn ett element) stoffer. Disse forklaringene er basert på geometrien til atomer. Men disse bortkastede anstrengelsene er deprimerende langt fra det vi, med alt vårt ønske, kunne betrakte som et seriøst eksperimentelt bevis på en vitenskapelig teori, og enda lenger fra bruken av vitenskapelig kunnskap til praktiske formål.

Likevel foregriper Platons synspunkter på flere måter moderne ideer som er i forkant av vitenskapelig tenkning i dag.

Selv om byggesteinene av materie som Platon foreslo ikke i det hele tatt er det vi kjenner i dag, forblir selve ideen om at det bare er noen få byggesteiner som finnes i mange identiske kopier grunnleggende.

Men selv om denne vage inspirerende ideen ikke tas i betraktning, er det mer spesifikke prinsippet for å konstruere Platons teori å fremheve strukturer fra symmetri satte sitt preg på århundrene. Vi kommer til et lite antall spesielle strukturer fra rent matematiske betraktninger - betraktninger om symmetri - og presenterer dem for naturen som mulige elementer bygningene hennes. Den typen matematisk symmetri som Platon valgte for å sette sammen sin liste over bestanddeler er ganske forskjellig fra symmetrien vi bruker i dag. Men ideen om hva som ligger i hjertet av naturen ligger symmetri har kommet til å dominere vår oppfatning av den fysiske virkeligheten. Den spekulative ideen om at symmetri definerer struktur – det vil si at man kan bruke høye krav til matematisk perfeksjon for å komme opp med en liten liste over mulige implementeringer, og deretter bruke den listen som en guide til å bygge en modell av verden – ble vår rettesnor. stjerne på grensen til det ukjente, ikke markert på noe kart. Denne ideen er nesten blasfemisk i sin hensynsløshet, siden den hevder at vi kan finne ut hvordan Mesteren handlet og vet nøyaktig hvordan alt ble gjort. Og, som vi skal se senere, viste det seg å være helt riktig.

For å utpeke Skaperen av den fysiske verden, brukte Platon ordet "demiurge". Dens bokstavelige betydning er "mester"; vanligvis er det oversatt med ordet "skaper", som ikke er helt sant. Platon valgte dette greske ordet veldig nøye. Det reflekterte hans tro på at den fysiske verden ikke var den ultimate virkeligheten. Det er også en evig og tidløs verden av ideer som eksisterer før noen, med behov for en ufullkommen, fysisk inkarnasjon og uavhengig av den. Det rastløse kreative sinnet - Mesteren eller Skaperen - former sine kreasjoner fra ideer, og bruker sistnevnte som former.

Timaeus er et vanskelig verk å forstå, og det er alltid en fristelse til å forveksle uklarhet eller feil med dybde. Når jeg innser dette, finner jeg det likevel interessant og inspirerende at Platon ikke dveler ved de platoniske faste stoffene, men reflekterer at atomer i andre former, som f.eks. fysiske gjenstander, på sin side kan bestå av mer primitive trekanter. Detaljene «er ikke engang feil», men intuisjonen som krever å ta modellen på alvor, snakke dens språk og flytte grensene, er grunnleggende korrekt. Ideen om at atomer kan ha bestanddeler foregriper den moderne driften til å analysere dypere og dypere. Og ideen om at disse bestanddelene under normale forhold ikke kan eksistere som separate objekter, men bare finnes som deler av mer komplekse objekter, er kanskje nettopp realisert i dagens kvarker og gluoner, evig bundet inne i atomkjerner.

Blant annet vil vi blant Platons refleksjoner finne ideen som er sentral i våre refleksjoner – ideen om at verden i sin dype struktur legemliggjør Skjønnhet. Det er den gjenopplivede ånden i Platons resonnement. Han antar at selve grunnlaget for verdens struktur - dens atomer - er legemliggjørelsene av rene ideer som kan oppdages og tydelig formuleres ved en ren anstrengelse av sinnet.

Sparer penger

Tilbake til virus: hvor lærte de geometrien deres?

Dette er tilfellet når enkelhet tar form av kompleksitet, eller for å være mer presis, når enkle regler bestemmer strukturen til tilsynelatende komplekse strukturer, som ved moden refleksjon blir ideelt enkelt. Poenget er at DNAet til virus 15
Ikke alle virus har genetisk materiale i form av DNA; Det finnes også RNA-holdige virus. - Merk. utg.

Som skal bære informasjon om alle aspekter av livet deres, er svært begrenset i størrelse. For å spare på lengden byggemateriale, er det verdt å gjøre noe fra enkle identiske deler koblet på samme måte. Vi har allerede hørt denne sangen: "enkle, identiske deler, like forbundet" - og akkurat i definisjonen av de platoniske solidene! Siden delen utgjør helheten, trenger ikke virus å vite om dodekaeder eller ikosaeder, bare om trekanter, pluss en eller to regler for å koble dem sammen. Det er bare det at mer heterogene, uregelmessige og ved første øyekast til og med tilfeldige kropper – som mennesker – krever mer detaljerte monteringsinstruksjoner. Symmetri vises som standardstruktur når informasjon og ressurser er begrenset.