Introduksjon

Dette kursarbeid er designet for å:

1) konsolidere, utdype og utvide teoretisk kunnskap innen metoder for modellering av overflater og objekter, praktiske ferdigheter i programvareimplementering av metoder;

2) forbedre selvstendige arbeidsferdigheter;

3) utvikle evnen til å formulere vurderinger og konklusjoner, presentere dem logisk og overbevisende.

Platons faste stoffer

Platons faste stoffer er konvekse polyedre, hvor alle flater er vanlige polygoner. Alle polyedriske vinkler til et vanlig polyeder er kongruente. Som følger av å beregne summen av planvinkler ved et toppunkt, er det ikke mer enn fem konvekse regulære polyedre. Ved å bruke metoden som er angitt nedenfor, kan man bevise at det er nøyaktig fem vanlige polyedre (dette ble bevist av Euklid). De er vanlige tetraeder, heksaeder (kube), oktaeder, dodekaeder og ikosaeder. Navnene på disse vanlige polyedrene kommer fra Hellas. Bokstavelig oversatt fra gresk betyr "tetraeder", "oktaeder", "heksaeder", "dodekaeder", "ikosaeder" betyr: "tetraeder", "oktaeder", "heksaeder". "dodekaeder", "tjue-hedron".

Tabell nr. 1

Tabell nr. 2

Navn:	Radius av omskrevet sfære	Radius av den innskrevne sfæren
Tetraeder
Heksaeder
Dodekaeder
Icosahedron

Tetraeder- et tetraeder, hvis ansikter alle er trekanter, dvs. trekantet pyramide; et regulært tetraeder er avgrenset av fire likesidede trekanter. (Fig. 1).

Kube eller vanlig sekskant- et vanlig firkantet prisme med like kanter, begrenset av seks kvadrater. (Fig. 1).

Oktaeder- oktaeder; en kropp avgrenset av åtte trekanter; et regulært oktaeder er avgrenset av åtte likesidede trekanter; en av de fem vanlige polyedrene. (Fig. 1).

Dodekaeder- dodekaeder, en kropp avgrenset av tolv polygoner; vanlig femkant. (Fig. 1).

Icosahedron- tjuesidig, en kropp avgrenset av tjue polygoner; Det vanlige ikosaederet er begrenset av tjue likesidede trekanter. (Fig. 1).

Terningen og oktaederet er doble, dvs. oppnås fra hverandre hvis tyngdepunktene til ansiktene til den ene tas som hjørnene til den andre og omvendt. Dodekaeder og ikosaeder er på samme måte doble. Tetraederet er dobbelt med seg selv. Et vanlig dodekaeder er oppnådd fra en terning ved å konstruere "tak" på dens overflater (euklidisk metode) toppunktene til tetraederet er alle fire hjørner av kuben som ikke er parvis tilstøtende langs en kant. Slik oppnås alle andre vanlige polyedre fra kuben. Selve faktumet av eksistensen av bare fem virkelig vanlige polyedre er overraskende - tross alt vanlige polygoner det er uendelig mange på flyet!

Alle vanlige polyedre var kjent tilbake i Antikkens Hellas, og den 13. boken av Euklids elementer er dedikert til dem. De kalles også platoniske faste stoffer, fordi. de okkuperte viktig sted i Platons filosofiske begrep om universets struktur. Fire polyeder personifiserte fire essenser eller "elementer" i den. Tetraederet symboliserte ild, fordi. toppen er rettet oppover; Ikosaeder? vann, fordi det er den mest "strømlinjeformede"; kube - jord, som den mest "stabile"; oktaeder? luft, som den mest "luftige". Det femte polyederet, dodekaederet, legemliggjorde «alt som eksisterer», symboliserte hele universet, og ble ansett som det viktigste.

De gamle grekerne anså harmoniske forhold for å være grunnlaget for universet, så deres fire elementer ble forbundet med følgende forhold: jord/vann = luft/ild.

I forbindelse med disse organene vil det være på sin plass å si at det første systemet av elementer, som omfattet fire elementer? jord, vann, luft og ild - ble kanonisert av Aristoteles. Disse elementene forble universets fire hjørnesteiner i mange århundrer. Det er fullt mulig å identifisere dem med de fire materietilstandene som er kjent for oss - fast, flytende, gassformig og plasma.

Vanlige polyedre inntok en viktig plass i I. Keplers system for harmonisk struktur i verden. Den samme troen på harmoni, skjønnhet og den matematisk regelmessige strukturen til universet førte I. Kepler til ideen om at siden det er fem vanlige polyedere, svarer bare seks planeter til dem. Etter hans mening er sfærene til planetene sammenkoblet av de platonske faste stoffene som er innskrevet i dem. Siden sentrene til de innskrevne og omskrevne kulene for hvert regulært polyeder faller sammen, vil hele modellen ha one-stop senter, der solen vil være plassert.

Etter å ha gjort en enorm mengde beregningsarbeid publiserte I. Kepler i 1596 resultatene av sin oppdagelse i sin bok "The Mystery of the Universe." Han skriver inn en kube i sfæren til Saturns bane, i en kube? sfæren til Jupiter, tetraederet i sfæren til Jupiter, og så videre, passer Mars sfære inn i hverandre sekvensielt? dodekaeder, jordens sfære? Icosahedron, Venus sfære? oktaeder, sfære av Merkur. Mysteriet med universet ser ut til å være åpent.

I dag kan vi med sikkerhet si at avstandene mellom planetene ikke er relatert til noen polyeder. Imidlertid er det mulig at uten "Mystery of the Universe", "Harmony of the World" av I. Kepler, vanlige polyeder, ville det ikke vært tre kjente lover til I. Kepler, som spiller viktig rolle i å beskrive planetenes bevegelser.

Hvor ellers kan du se disse fantastiske kropper? I boken til den tyske biologen fra begynnelsen av forrige århundre, E. Haeckel, «The Beauty of Forms in Nature», kan man lese følgende linjer: «Naturen nærer i sin barm en uuttømmelig mengde fantastiske skapninger, som i skjønnhet og mangfold langt overgår alle former skapt av menneskelig kunst." Naturskapningene som presenteres i denne boken er vakre og symmetriske. Dette er en uatskillelig egenskap ved naturlig harmoni. Men her kan du også se encellede organismer? Feodaria , hvis form nøyaktig formidler ikosaederet. Hvorfor er denne naturlige geometriseringen kanskje forårsaket av det faktum at av alle polyedre med samme antall ansikter, er det ikosaederet som har det største volumet? minste område overflater. Denne geometriske egenskapen hjelper den marine mikroorganismen med å overvinne trykket fra vannsøylen.

Det er også interessant at det var icosahedron som ble fokus for oppmerksomheten til biologer i deres tvister om formen på virus. Viruset kan ikke være helt rundt, som tidligere antatt. For å etablere formen tok de forskjellige polyedre og rettet lys mot dem i samme vinkler som strømmen av atomer ved viruset. Det viste seg at bare ett polyeder gir nøyaktig samme skygge? icosahedron Hans geometriske egenskaper nevnt ovenfor lar deg lagre genetisk informasjon. Vanlige polyedre? de mest lønnsomme tallene. Og naturen benytter seg i stor grad av dette. Krystallene av noen stoffer som er kjent for oss har form av vanlige polyedere. Så, kuben formidler formen til krystallene bordsalt NaCl, en enkeltkrystall av aluminium-kaliumalun (KAlSO4)2 12H2O har formen av et oktaeder, en krystall av svovelkis FeS har formen av et dodekaeder, antimonnatriumsulfat har formen av et tetraeder, bor har formen av et ikosaeder. Vanlige polyedre bestemmer formen krystallgitter noen kjemikalier.

Så vanlige polyeder avslørte for oss forsøkene til forskere på å komme nærmere hemmeligheten bak verdensharmonien og viste den uimotståelige attraktiviteten og skjønnheten til disse geometriske figurene.

Siden antikken har vanlige polyedre tiltrukket seg oppmerksomheten til filosofer, byggherrer, arkitekter, kunstnere og matematikere. De ble overrasket over skjønnheten, perfeksjonen og harmonien til disse figurene.

Vanlig polyeder - volumetrisk konveks geometrisk figur, hvor alle flater er identiske regulære polygoner og alle polyedriske vinkler ved toppunktene er like med hverandre. Det er mange vanlige polygoner, men det er bare fem vanlige polyedre. Navnene på disse polyedrene kommer fra antikkens Hellas, og de indikerer antallet ("tetra" - 4, "hexa" - 6, "octa" - 8, "dodeca" - 12, "icos" - 20) av ansikter (" hedra").

Disse vanlige polyedrene ble kalt platonske faste stoffer etter den gamle greske filosofen Platon, som ga dem en mystisk betydning, men de var kjent før Platon. Tetraederet personifiserte ild, siden toppen peker oppover, som en blussende flamme; icosahedron - som det mest strømlinjeformede - vann; kuben er den mest stabile av figurene - jorden, og oktaederet er luften. Dodekaederet ble identifisert med hele universet og ble ansett som det viktigste.

Vanlige polyedre finnes i levende natur. For eksempel et skjelett encellet organisme Feodaria er formet som et ikosaeder. Krystallen av svovelkis (pyrittsvovel, FeS2) har form som et dodekaeder.

Tetraederet er en vanlig trekantet pyramide, og sekskantet er en kube - figurer som vi stadig møter i det virkelige liv. For bedre å føle formen til andre platoniske faste stoffer, bør du lage dem selv av tykt papir eller papp. Det er ikke vanskelig å lage en flat utvikling av figurer. Å lage vanlige polyeder er ekstremt interessant i prosessen med å forme seg selv.

Komplette og bisarre former for vanlige polyedre er mye brukt i dekorativ kunst. Tredimensjonale figurer kan gjøres mer interessante hvis flate regulære polygoner er representert av andre figurer som passer inn i polygonen. For eksempel: en vanlig femkant kan erstattes med en stjerne. En slik tredimensjonal figur vil ikke ha kanter. Du kan sette den sammen ved å binde endene av stjernestrålene. Og 10 stjerner er satt sammen flat scan. En tredimensjonal figur oppnås etter å ha sikret de resterende 2 stjernene.

Hvis barnet ditt liker å lage håndverk med sine egne med dyktige hender, invitere ham til å sette sammen en tredimensjonal figur, et polyederdodekaeder, fra flate plaststjerner. Resultatet av arbeidet vil glede barnet ditt: han vil lage et originalt dekorativt design med egne hender, som kan brukes til å dekorere et barnerom. Men det mest bemerkelsesverdige er at den gjennombrutte ballen lyser i mørket. Plaststjerner er laget med tilsetning av et moderne ufarlig stoff - fosfor.

Platon er ansvarlig for utviklingen av noen viktige metodiske problemer matematisk kunnskap: aksiomatisk konstruksjon av matematikk, studie av sammenhenger mellom matematiske metoder og dialektikk, analyse av de grunnleggende formene for matematisk kunnskap. Dermed kobler bevisprosessen nødvendigvis et sett med påviste bestemmelser inn i et system, som er basert på noen ubeviselige bestemmelser. Det faktum at begynnelsen av matematiske vitenskaper er "essensen av antagelse" kan reise tvil om sannheten til alle etterfølgende konstruksjoner. Platon anså slik tvil som ubegrunnet. Ifølge hans forklaring, skjønt matematiske vitenskaper, "ved å bruke antagelser, lar de dem være immobile og kan ikke gi grunner for dem," antagelser finner årsaker gjennom dialektikk. Platon uttrykte også en rekke andre forslag som viste seg å være fruktbare for utviklingen av matematikken. I dialogen «Feasten» blir altså begrepet en grense fremmet; ideen fremstår her som grensen for dannelsen av en ting.

PLATOS FASTSTOFFER.

Platoniske faste stoffer er konvekse polyedre, hvis ansikter alle er vanlige polygoner. Alle polyedriske vinkler til et vanlig polyeder er kongruente. Som følger av å beregne summen av planvinkler ved et toppunkt, er det ikke mer enn fem konvekse regulære polyedre. Ved å bruke metoden som er angitt nedenfor, kan man bevise at det er nøyaktig fem vanlige polyedre (dette ble bevist av Euklid). De er vanlige tetraeder, terninger, oktaeder, dodekaeder og ikosaeder.

TABELL NR. 1

TABELL NR 2

Navn:	Radius av omskrevet sfære	Radius av den innskrevne sfæren	Volum
Tetraeder	a\/6 4	a\/6 12	a3\/2 12
Kube	a\/3 2	en 2	a3
Oktaeder	a\/2 2	a\/6 6	a3\/2 12
Dodekaeder	en 4\/18+6\/5	1 2 25+11\/5 10	a3 4 (15+7\/5)
Icosahedron	en 12(3+\/5)\/3	5 12 a3(3+\/5)

Et tetraeder er et tetraeder, hvis ansikter alle er trekanter, dvs. trekantet pyramide; et regulært tetraeder er avgrenset av fire likesidede trekanter; en av de fem regulære polygonene. (Fig. 1).

En kube eller vanlig sekskant er et regulært firkantet prisme med like kanter, avgrenset av seks kvadrater. (Fig. 2).

Oktaeder-oktaeder; en kropp avgrenset av åtte trekanter; et regulært oktaeder er avgrenset av åtte likesidede trekanter; en av de fem vanlige polyedrene. (Fig. 3).

Et dodekaeder er et dodekaeder, et legeme avgrenset av tolv polygoner; vanlig femkant; en av de fem vanlige polyedrene. (Fig. 4).

Icosahedron er et tjuetaeder, et legeme avgrenset av tjue polygoner; det vanlige ikosaederet er begrenset av tjue likesidede trekanter; en av de fem vanlige polyedrene. (Fig. 5).

Terningen og oktaederet er doble, dvs. oppnås fra hverandre hvis tyngdepunktene til ansiktene til den ene tas som hjørnene til den andre og omvendt. Dodekaeder og ikosaeder er på samme måte doble. Tetraederet er dobbelt med seg selv. Et vanlig dodekaeder er oppnådd fra en terning ved å konstruere "tak" på dens overflater (euklidisk metode) toppunktene til tetraederet er alle fire hjørner av kuben som ikke er parvis tilstøtende langs en kant. Slik oppnås alle andre vanlige polyedre fra kuben. Selve faktumet av eksistensen av bare fem virkelig regulære polyedre er overraskende - det er tross alt et uendelig antall vanlige polygoner på flyet!

Alle vanlige polyedre var kjent tilbake i antikkens Hellas, og den siste XII-boken med Euklids berømte prinsipper er dedikert til dem. Disse polyedrene kalles ofte også platoniske faste stoffer i det idealistiske bildet av verden gitt av den store antikke greske tenkeren Platon. Fire av dem personifiserte de fire elementene: tetraeder-ild, kube-jord, icosahedron-vann og oktaeder-luft; det femte polyederet, dodekaederet, symboliserte hele universet på latin begynte de å kalle det quintaessentia («femte essens»). Tilsynelatende var det ikke vanskelig å komme opp med riktig tetraeder, terning, oktaeder, spesielt siden disse formene har naturlige krystaller, for eksempel: kube-monokrystall av bordsalt (NaCl), oktaeder-monokrystall av kaliumalun ((KalSO4)2 *12H2O). Det er en antagelse om at de gamle grekerne fikk formen til dodekaederet ved å undersøke krystaller av svovelkis (svovelkis FeS). Med et dodekaeder er det ikke vanskelig å konstruere et ikosaeder: dets toppunkter vil være sentrene til de tolv flatene til dodekaederet.

Referanser

1." Sovjetisk leksikon» Moskva 1979

2.Matematisk encyklopedisk ordbok/ "Sovjetleksikon", 1988.

3. Matematikk: Skoleleksikon/Ch. utg. M 34 S.M. Nikolsky. - M.: Vitenskapelig forlag "Big Russian Encyclopedia", 1996, -527 S.: ill.

Vanlige polyedre kalles platoniske faste stoffer de inntar en fremtredende plass i det filosofiske bildet av verden utviklet av den store tenkeren i antikkens Hellas, Platon.

Så Platon kjente fem vanlige polyedre, og antallet elementer (ild, luft, vann og jord) var nøyaktig fire. Av fem polyedre må det derfor velges fire som kan sammenlignes med elementene.

Hvilke hensyn ledet Platon i dette? Først av alt fordi noen elementer, som han trodde, kunne forvandle seg til hverandre. Transformasjonen av noen polyedre til andre kan utføres ved å restrukturere deres indre struktur. Men for dette, i disse kroppene var det nødvendig å finne slike strukturelle elementer, som ville være felles for dem. Fra utseende vanlige polyedre, er det tydelig at ansiktene til tre polyedre - tetraeder, oktaeder, icosahedron - har formen likesidet trekant. De to gjenværende polyedrene - kuben og dodekaederet - er konstruert: den første - fra firkanter, og den andre - fra vanlige femkanter, så de kan ikke transformeres verken til hverandre eller til de tre kroppene som vurderes. Dette betyr at hvis vi gir partiklene til de tre grunnstoffene formen til et tetraeder, oktaeder og ikosaeder, så vil partiklene til det fjerde elementet betraktes som terninger eller dodekaeder, men dette fjerde elementet vil ikke kunne forvandles til de tre andre , men vil alltid forbli seg selv. Platon bestemte at bare jorden kunne være et slikt element og det små partikler, som jorden består av, må være terninger. Tetraederet, oktaederet og ikosaederet ble sammenlignet med henholdsvis ild, luft og vann.

Når det gjelder det femte polyederet - dodekaederet, forblir det uten arbeid. Når det gjelder det, begrenser Platon seg i Timaeus til bemerkningen om at "Gud bestemte det for universet og brukte det da han malte og dekorerte det."

Spørsmålet oppstår: "Hvilke hensyn ledet Platon da han tilskrev formen til et tetraeder til ildpartikler, formen til en terning til jordpartikler, osv.?" Her tar han hensyn til de sanseoppfattelige egenskapene til de tilsvarende elementene. Brann er det mest mobile elementet, det har en destruktiv effekt, og trenger inn i andre kropper (brenner eller smelter eller fordamper dem); når vi kommer i kontakt med det, opplever vi en følelse av smerte, som om vi ble stukket eller kuttet.

Hvilke partikler kan forårsake alle disse egenskapene og handlingene? Tydeligvis de mest mobile og lette partiklene, og dessuten har skjærekanter og gjennomtrengende vinkler. Av de fire polyedrene som kan diskuteres, er tetraederet det mest tilfredsstillende. Derfor, sier Platon, bør bildet av en pyramide (dvs. et tetraeder) være i samsvar med korrekt resonnement og med sannhet, det første prinsippet og frøet til ild, tvert imot, jorden fremstår i vår erfaring som den mest ubevegelige og stabil av alle elementene. Derfor må partiklene den består av ha de mest stabile basene. Av alle fire kropper har kuben denne egenskapen i maksimal grad. Derfor vil vi ikke krenke plausibiliteten hvis vi tilskriver jordpartiklene kubikkform. På lignende måte vil vi korrelere partikler med mellomliggende egenskaper med de to andre grunnstoffene. Ikosaederet, som er det mest strømlinjeformede, representerer en partikkel av vann, oktaederet - en luftpartikkel.

Det femte polyederet - dodekaederet - legemliggjorde "alt som eksisterer", symboliserte hele verden og ble ansett som det viktigste.

Vi ser hvordan verisimilitude-prinsippet kombineres hos Platon med bruk av data fra hverdagserfaring. Det er merkelig at Platon nesten ikke berører andre, rent spekulative, motiver (for eksempel relatert til proporsjonsteorien) som spilte avgjørende rolle i konstruksjonen av hans kosmologiske konsept og som kunne ha påvirket noen aspekter av hans teori om materiens struktur.

Det er sant at Timaeus selv snakker inn i dette tilfellet som professor som holder foredrag om verdens struktur, er han etter alt å dømme en representant for den pytagoreiske skolen. Imidlertid er det fortsatt ikke klart om Timaeus eksisterte som historisk skikkelse eller var en fiktiv karakter oppfunnet av Platon for ikke å gjøre forfatteren av kosmologiske og fysiske teorier hans vanlige helt - Sokrates, fordi dette ville være for inkonsekvent med bildet av sistnevnte.

Platon systematiserte "plausibelt" bildet av verden. Dette var et av de første forsøkene på å introdusere selve ideen om systematisering i vitenskapen, noe som viste seg å være veldig fruktbart. Hun hjalp til med å skille noen kunnskapsområder fra andre, lage vitenskapelig forskning mer målrettet.