Formel for pythagoras område. Historien om Pythagoras teorem

Aritmetisk progresjon. Detaljert teori med eksempler (2019)

Nummerrekkefølge

Så la oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:
Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange av dem du vil (i vårt tilfelle er det dem). Uansett hvor mange tall vi skriver, kan vi alltid si hvilket som er først, hvilket som er nummer to, og så videre til det siste, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallsekvens:

Nummerrekkefølge
For eksempel for vår sekvens:

Det tildelte nummeret er spesifikt for bare ett nummer i sekvensen. Det er med andre ord ingen tre sekunders tall i sekvensen. Det andre tallet (som det th tallet) er alltid det samme.
Tallet med tall kalles det ste leddet i sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

I vårt tilfelle:

La oss si at vi har en tallrekke der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.
For eksempel:

osv.
Denne tallsekvensen kalles en aritmetisk progresjon.
Begrepet "progresjon" ble introdusert av den romerske forfatteren Boethius tilbake på 600-tallet og ble forstått i flere i vid forstand, som en uendelig tallsekvens. Navnet "aritmetikk" ble overført fra teorien om kontinuerlige proporsjoner, som ble studert av de gamle grekerne.

Dette er en tallsekvens, hvor hvert medlem er lik den forrige lagt til det samme tallet. Dette tallet kalles forskjellen til en aritmetisk progresjon og er utpekt.

Prøv å finne ut hvilke tallsekvenser som er en aritmetisk progresjon og hvilke som ikke er det:

en)
b)
c)
d)

Har du det? La oss sammenligne svarene våre:
Er aritmetisk progresjon - b, c.
er ikke aritmetisk progresjon - a, d.

La oss gå tilbake til gitt progresjon() og prøv å finne verdien av dets th medlem. Finnes to måte å finne det på.

1. Metode

Vi kan legge til progresjonstallet til den forrige verdien til vi når den tredje ledd av progresjonen. Det er bra at vi ikke har så mye å oppsummere - bare tre verdier:

Så det tredje leddet i den beskrevne aritmetiske progresjonen er lik.

2. Metode

Hva om vi trengte å finne verdien av det tredje leddet i progresjonen? Summeringen ville tatt oss mer enn én time, og det er ikke et faktum at vi ikke ville gjort feil når vi legger til tall.
Selvfølgelig har matematikere kommet opp med en måte der det ikke er nødvendig å legge forskjellen til en aritmetisk progresjon til den forrige verdien. Ta en nærmere titt på det tegnede bildet... Du har sikkert allerede lagt merke til et bestemt mønster, nemlig:

La oss for eksempel se hva verdien av det tredje leddet i denne aritmetiske progresjonen består av:

Med andre ord:

Prøv å finne verdien av et medlem av en gitt aritmetisk progresjon selv på denne måten.

Har du regnet ut? Sammenlign notatene dine med svaret:

Vær oppmerksom på at du fikk nøyaktig samme tall som i den forrige metoden, da vi sekvensielt la til vilkårene for den aritmetiske progresjonen til den forrige verdien.
La oss prøve å "depersonalisere" denne formelen- la oss bringe henne til generelt syn og vi får:

Aritmetisk progresjonsligning.

Aritmetiske progresjoner kan være økende eller avtagende.

Økende- progresjoner der hver påfølgende verdi av begrepene er større enn den forrige.
For eksempel:

Synkende- progresjoner der hver påfølgende verdi av vilkårene er mindre enn den forrige.
For eksempel:

Den utledede formelen brukes i beregningen av ledd i både økende og avtagende termer for en aritmetisk progresjon.
La oss sjekke dette i praksis.
Vi får gitt en aritmetisk progresjon bestående av følgende tall: La oss sjekke hva tallet i denne aritmetiske progresjonen vil være hvis vi bruker formelen vår til å beregne den:

Siden da:

Dermed er vi overbevist om at formelen fungerer i både avtagende og økende aritmetisk progresjon.
Prøv å finne de th og th leddene i denne aritmetiske progresjonen selv.

La oss sammenligne resultatene:

Aritmetisk progresjonsegenskap

La oss komplisere problemet - vi vil utlede egenskapen til aritmetisk progresjon.
La oss si at vi får følgende betingelse:
- aritmetisk progresjon, finn verdien.
Lett, sier du og begynner å telle etter formelen du allerede kjenner:

La, ah, da:

Helt sant. Det viser seg at vi først finner, så legger vi det til det første tallet og får det vi leter etter. Hvis progresjonen er representert av små verdier, så er det ikke noe komplisert med det, men hva om vi får tall i tilstanden? Enig, det er en mulighet for å gjøre feil i beregningene.
Tenk nå på om det er mulig å løse dette problemet i ett trinn ved å bruke en formel? Selvfølgelig ja, og det er det vi skal prøve å få frem nå.

La oss betegne det nødvendige leddet for den aritmetiske progresjonen som formelen for å finne den er kjent for oss - dette er den samme formelen vi avledet i begynnelsen:
, Deretter:

forrige termin av progresjonen er:
neste termin i progresjonen er:

La oss oppsummere de forrige og påfølgende betingelsene for progresjonen:

Det viser seg at summen av de forrige og påfølgende leddene i progresjonen er den doble verdien av progresjonsleddet som ligger mellom dem. Med andre ord, for å finne verdien av progresjonsleddet gitt den kjente forrige og påfølgende verdier, må du legge dem sammen og dele dem med.

Det stemmer, vi har samme nummer. La oss sikre materialet. Beregn verdien for progresjonen selv, det er slett ikke vanskelig.

Godt gjort! Du vet nesten alt om progresjon! Det gjenstår å finne ut bare en formel, som ifølge legenden lett ble utledet for seg selv av en av tidenes største matematikere, "matematikernes konge" - Carl Gauss ...

Da Carl Gauss var 9 år gammel, spurte en lærer, opptatt med å sjekke arbeidet til elevene i andre klasser, følgende problem i klassen: «Regn ut summen av alle naturlige tall fra til (ifølge andre kilder opp til) inkluderende." Se for deg lærerens overraskelse da en av elevene hans (dette var Karl Gauss) et minutt senere ga riktig svar på oppgaven, mens de fleste av våghalsens klassekamerater, etter lange utregninger, fikk feil resultat...

Unge Carl Gauss la merke til et bestemt mønster som du også lett kan legge merke til.
La oss si at vi har en aritmetisk progresjon som består av -th ledd: Vi må finne summen av disse leddene av den aritmetiske progresjonen. Selvfølgelig kan vi manuelt summere alle verdiene, men hva om oppgaven krever å finne summen av termene, slik Gauss lette etter?

La oss skildre progresjonen gitt til oss. Ta en nærmere titt på de uthevede tallene og prøv å utføre ulike matematiske operasjoner med dem.

Har du prøvd det? Hva la du merke til? Høyre! Summene deres er like

Si meg nå, hvor mange slike par er det totalt i progresjonen gitt til oss? Selvfølgelig, nøyaktig halvparten av alle tall, altså.
Basert på det faktum at summen av to ledd i en aritmetisk progresjon er lik, og like par er like, får vi at totalt beløp er lik:
.
Dermed vil formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon være:

I noen problemer kjenner vi ikke begrepet, men vi vet forskjellen på progresjonen. Prøv å erstatte formelen til det te leddet med sumformelen.
Hva fikk du?

Godt gjort! La oss nå gå tilbake til problemet som ble spurt til Carl Gauss: beregn selv hva summen av tall som starter fra th er lik og summen av tallene som starter fra th.

Hvor mye fikk du?
Gauss fant at summen av leddene er lik, og summen av leddene. Var det det du bestemte deg for?

Faktisk ble formelen for summen av ledd av en aritmetisk progresjon bevist av den antikke greske forskeren Diophantus tilbake i det 3. århundre, og gjennom denne tiden vittige mennesker gjort full bruk av egenskapene til aritmetisk progresjon.
Tenk deg for eksempel Det gamle Egypt og datidens største byggeprosjekt - byggingen av en pyramide... Bildet viser den ene siden av den.

Hvor er progresjonen her, sier du? Se nøye og finn et mønster i antall sandblokker i hver rad av pyramideveggen.

Hvorfor ikke en aritmetisk progresjon? Regn ut hvor mange blokker som trengs for å bygge én vegg hvis blokkklosser er plassert ved basen. Jeg håper du ikke vil telle mens du beveger fingeren over skjermen, husker du den siste formelen og alt vi sa om aritmetisk progresjon?

I i dette tilfellet Progresjonen ser slik ut: .
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall ledd i en aritmetisk progresjon.
La oss erstatte dataene våre i de siste formlene (beregn antall blokker på 2 måter).

Metode 1.

Metode 2.

Og nå kan du beregne på skjermen: sammenlign de oppnådde verdiene med antall blokker som er i pyramiden vår. Har du det? Godt gjort, du har mestret summen av de n-te leddene i en aritmetisk progresjon.
Selvfølgelig kan du ikke bygge en pyramide fra blokker ved basen, men fra? Prøv å beregne hvor mange sandklosser som trengs for å bygge en vegg med denne tilstanden.
Klarte du deg?
Riktig svar er blokker:

Opplæring

Oppgaver:

Masha kommer i form til sommeren. Hver dag øker hun antall knebøy med. Hvor mange ganger vil Masha trene knebøy i løpet av en uke hvis hun gjorde knebøy på den første treningsøkten?
Hva er summen av alle oddetall som finnes i.
Ved lagring av tømmerstokker stabler loggere dem på en slik måte at hvert topplag inneholder én tømmerstokk mindre enn den forrige. Hvor mange stokker er det i ett murverk, hvis fundamentet til murverket er stokker?

Svar:

La oss definere parametrene for den aritmetiske progresjonen. I dette tilfellet
(uker = dager).
Svare: Om to uker bør Masha gjøre knebøy en gang om dagen.
Første oddetall, siste tall.
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall oddetall i er halvparten, la oss imidlertid sjekke dette faktum ved å bruke formelen for å finne det tredje leddet i en aritmetisk progresjon:
Tall inneholder oddetall.
La oss erstatte de tilgjengelige dataene i formelen:
Svare: Summen av alle oddetall i er lik.
La oss huske problemet med pyramider. For vårt tilfelle, en , siden hvert topplag reduseres med en stokk, så er det totalt en haug med lag, altså.
La oss erstatte dataene i formelen:
Svare: Det er stokker i murverket.

La oss oppsummere det

- en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er lik og lik. Det kan være økende eller avtagende.
Finne formel Det tredje leddet i en aritmetisk progresjon er skrevet med formelen - , hvor er antall tall i progresjonen.
Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon- - hvor er antall tall i progresjon.
Summen av leddene til en aritmetisk progresjon kan finnes på to måter:

, hvor er antall verdier.

ARITMETISK PROGRESJON. MIDDELNIVÅ

Nummerrekkefølge

La oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:

Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange av dem du vil. Men vi kan alltid si hvilken som er først, hvilken som er nummer to, og så videre, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallrekke.

Nummerrekkefølge er et sett med tall, som hver kan tildeles et unikt nummer.

Med andre ord kan hvert tall assosieres med et visst naturlig tall, og et unikt. Og vi vil ikke tildele dette nummeret til noe annet nummer fra dette settet.

Tallet med nummeret kalles det th medlem av sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

Det er veldig praktisk hvis det tredje leddet i sekvensen kan spesifiseres med en formel. For eksempel formelen

setter sekvensen:

Og formelen er følgende sekvens:

For eksempel er en aritmetisk progresjon en sekvens (det første leddet her er likt, og forskjellen er det). Eller (, forskjell).

formel for n. ledd

Vi kaller en formel tilbakevendende der du, for å finne ut begrepet, må kjenne til de forrige eller flere tidligere:

For å finne for eksempel det tredje leddet i progresjonen ved å bruke denne formelen, må vi beregne de ni foregående. For eksempel, la det. Da:

Vel, er det klart nå hva formelen er?

I hver linje legger vi til, multiplisert med et eller annet tall. Hvilken? Veldig enkelt: dette er nummeret på gjeldende medlem minus:

Mye mer praktisk nå, ikke sant? Vi sjekker:

Bestem selv:

I en aritmetisk progresjon, finn formelen for det n'te leddet og finn det hundrede leddet.

Løsning:

Det første leddet er likt. Hva er forskjellen? Her er hva:

(Dette er grunnen til at det kalles forskjell fordi det er lik forskjellen mellom påfølgende ledd i progresjonen).

Så formelen:

Da er det hundrede leddet lik:

Hva er summen av alle naturlige tall fra til?

I følge legenden, stor matematiker Karl Gauss, som en 9 år gammel gutt, regnet ut dette beløpet på noen få minutter. Han la merke til at summen av første og siste tall er lik, summen av andre og nest siste er den samme, summen av tredje og tredje fra slutten er den samme, og så videre. Hvor mange slike par er det totalt? Det stemmer, nøyaktig halvparten av alle tall, altså. Så,

Den generelle formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon vil være:

Eksempel:
Finn summen av alle tosifrede tall, multipler.

Løsning:

Det første slike nummer er dette. Hver påfølgende oppnås ved å legge til forrige dato. Dermed dannes tallene vi er interessert i aritmetisk progresjon med første ledd og forskjell.

Formel for begrepet for denne progresjonen:

Hvor mange ledd er det i progresjonen hvis de alle må være tosifrede?

Veldig enkelt:.

Den siste perioden av progresjonen vil være lik. Så summen:

Svar: .

Bestem nå selv:

Hver dag løper utøveren flere meter enn dagen før. Hvor mange kilometer totalt vil han løpe i løpet av en uke hvis han løper km m den første dagen?
En syklist reiser flere kilometer hver dag enn dagen før. Den første dagen reiste han km. Hvor mange dager trenger han å reise for å tilbakelegge en kilometer? Hvor mange kilometer vil han reise i løpet av den siste dagen av reisen?
Prisen på kjøleskap i butikk synker like mye hvert år. Bestem hvor mye prisen på et kjøleskap falt hvert år hvis det ble lagt ut for salg for rubler seks år senere ble solgt for rubler.

Svar:

Det viktigste her er å gjenkjenne den aritmetiske progresjonen og bestemme dens parametere. I dette tilfellet (uker = dager). Du må bestemme summen av de første leddene i denne progresjonen:
.
Svare:
Her er det gitt: , må finnes.
Selvfølgelig må du bruke samme sumformel som i forrige oppgave:
.
Bytt ut verdiene:
Roten passer tydeligvis ikke, så svaret er.
La oss beregne banen som ble reist i løpet av den siste dagen ved å bruke formelen til begrepet:
(km).
Svare:
Gitt:. Finn: .
Det kunne ikke vært enklere:
(gni).
Svare:

ARITMETISK PROGRESJON. KORT OM HOVEDTINGENE

Dette er en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.

Aritmetisk progresjon kan være økende () og avtagende ().

For eksempel:

Formel for å finne det n-te leddet i en aritmetisk progresjon

er skrevet av formelen, hvor er antall tall i progresjon.

Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon

Den lar deg enkelt finne et ledd i en progresjon hvis naboleddet er kjent - hvor er antallet tall i progresjonen.

Summen av ledd i en aritmetisk progresjon

Det er to måter å finne beløpet på:

Hvor er antall verdier.

Inngangsnivå

Aritmetisk progresjon. Detaljert teori med eksempler (2019)

Nummerrekkefølge

Nummerrekkefølge
For eksempel for vår sekvens:

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

I vårt tilfelle:

La oss si at vi har en tallrekke der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.
For eksempel:

osv.
Denne tallsekvensen kalles en aritmetisk progresjon.
Begrepet "progresjon" ble introdusert av den romerske forfatteren Boethius tilbake på 600-tallet og ble forstått i bredere forstand som en uendelig numerisk rekkefølge. Navnet "aritmetikk" ble overført fra teorien om kontinuerlige proporsjoner, som ble studert av de gamle grekerne.

Dette er en tallsekvens, hvor hvert medlem er lik den forrige lagt til det samme tallet. Dette tallet kalles forskjellen til en aritmetisk progresjon og er utpekt.

Prøv å finne ut hvilke tallsekvenser som er en aritmetisk progresjon og hvilke som ikke er det:

en)
b)
c)
d)

Har du det? La oss sammenligne svarene våre:
Er aritmetisk progresjon - b, c.
er ikke aritmetisk progresjon - a, d.

La oss gå tilbake til den gitte progresjonen () og prøve å finne verdien av dets tredje ledd. Finnes to måte å finne det på.

1. Metode

Vi kan legge til progresjonstallet til den forrige verdien til vi når den tredje ledd av progresjonen. Det er bra at vi ikke har så mye å oppsummere - bare tre verdier:

Så det tredje leddet i den beskrevne aritmetiske progresjonen er lik.

2. Metode

La oss for eksempel se hva verdien av det tredje leddet i denne aritmetiske progresjonen består av:

Med andre ord:

Prøv å finne verdien av et medlem av en gitt aritmetisk progresjon selv på denne måten.

Har du regnet ut? Sammenlign notatene dine med svaret:

Aritmetisk progresjonsligning.

Aritmetiske progresjoner kan være økende eller avtagende.

Økende- progresjoner der hver påfølgende verdi av begrepene er større enn den forrige.
For eksempel:

Synkende- progresjoner der hver påfølgende verdi av vilkårene er mindre enn den forrige.
For eksempel:

Den utledede formelen brukes i beregningen av ledd i både økende og avtagende termer for en aritmetisk progresjon.
La oss sjekke dette i praksis.
Vi får en aritmetisk progresjon som består av følgende tall: La oss sjekke hva tallet i denne aritmetiske progresjonen vil være hvis vi bruker formelen vår til å beregne den:

Siden da:

Dermed er vi overbevist om at formelen fungerer i både avtagende og økende aritmetisk progresjon.
Prøv å finne de th og th leddene i denne aritmetiske progresjonen selv.

La oss sammenligne resultatene:

Aritmetisk progresjonsegenskap

La, ah, da:

La oss betegne det nødvendige leddet for den aritmetiske progresjonen som formelen for å finne den er kjent for oss - dette er den samme formelen vi avledet i begynnelsen:
, Deretter:

forrige termin av progresjonen er:
neste termin i progresjonen er:

La oss oppsummere de forrige og påfølgende betingelsene for progresjonen:

Det viser seg at summen av de forrige og påfølgende leddene i progresjonen er den doble verdien av progresjonsleddet som ligger mellom dem. Med andre ord, for å finne verdien av et progresjonsledd med kjente tidligere og påfølgende verdier, må du legge dem til og dele med.

Det stemmer, vi har samme nummer. La oss sikre materialet. Beregn verdien for progresjonen selv, det er slett ikke vanskelig.

Da Carl Gauss var 9 år gammel, spurte en lærer, opptatt med å sjekke arbeidet til elevene i andre klasser, følgende oppgave i klassen: "Regn ut summen av alle naturlige tall fra til (ifølge andre kilder til) inklusive." Se for deg lærerens overraskelse da en av elevene hans (dette var Karl Gauss) et minutt senere ga riktig svar på oppgaven, mens de fleste av våghalsens klassekamerater, etter lange utregninger, fikk feil resultat...

Si meg nå, hvor mange slike par er det totalt i progresjonen gitt til oss? Selvfølgelig, nøyaktig halvparten av alle tall, altså.
Basert på det faktum at summen av to ledd i en aritmetisk progresjon er lik, og like par er like, får vi at den totale summen er lik:
.
Dermed vil formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon være:

I noen problemer kjenner vi ikke begrepet, men vi vet forskjellen på progresjonen. Prøv å erstatte formelen til det te leddet med sumformelen.
Hva fikk du?

Godt gjort! La oss nå gå tilbake til problemet som ble spurt til Carl Gauss: beregn selv hva summen av tall som starter fra th er lik og summen av tallene som starter fra th.

Hvor mye fikk du?
Gauss fant at summen av leddene er lik, og summen av leddene. Var det det du bestemte deg for?

Faktisk ble formelen for summen av ledd av en aritmetisk progresjon bevist av den antikke greske forskeren Diophantus tilbake på 300-tallet, og gjennom denne tiden benyttet vittige mennesker egenskapene til en aritmetisk progresjon.
Tenk deg for eksempel det gamle Egypt og datidens største byggeprosjekt - byggingen av en pyramide... Bildet viser den ene siden av den.

I dette tilfellet ser progresjonen slik ut: .
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall ledd i en aritmetisk progresjon.
La oss erstatte dataene våre i de siste formlene (beregn antall blokker på 2 måter).

Metode 1.

Metode 2.

Opplæring

Oppgaver:

Masha kommer i form til sommeren. Hver dag øker hun antall knebøy med. Hvor mange ganger vil Masha trene knebøy i løpet av en uke hvis hun gjorde knebøy på den første treningsøkten?
Hva er summen av alle oddetall som finnes i.
Ved lagring av tømmerstokker stabler loggere dem på en slik måte at hvert topplag inneholder én tømmerstokk mindre enn den forrige. Hvor mange stokker er det i ett murverk, hvis fundamentet til murverket er stokker?

Svar:

La oss definere parametrene for den aritmetiske progresjonen. I dette tilfellet
(uker = dager).
Svare: Om to uker bør Masha gjøre knebøy en gang om dagen.
Første oddetall, siste tall.
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall oddetall i er halvparten, la oss imidlertid sjekke dette faktum ved å bruke formelen for å finne det tredje leddet i en aritmetisk progresjon:
Tall inneholder oddetall.
La oss erstatte de tilgjengelige dataene i formelen:
Svare: Summen av alle oddetall i er lik.
La oss huske problemet med pyramider. For vårt tilfelle, en , siden hvert topplag reduseres med en stokk, så er det totalt en haug med lag, altså.
La oss erstatte dataene i formelen:
Svare: Det er stokker i murverket.

La oss oppsummere det

- en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er lik og lik. Det kan være økende eller avtagende.
Finne formel Det tredje leddet i en aritmetisk progresjon er skrevet med formelen - , hvor er antall tall i progresjonen.
Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon- - hvor er antall tall i progresjon.
Summen av leddene til en aritmetisk progresjon kan finnes på to måter:

, hvor er antall verdier.

ARITMETISK PROGRESJON. MIDDELNIVÅ

Nummerrekkefølge

La oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:

Nummerrekkefølge er et sett med tall, som hver kan tildeles et unikt nummer.

Med andre ord kan hvert tall assosieres med et visst naturlig tall, og et unikt. Og vi vil ikke tildele dette nummeret til noe annet nummer fra dette settet.

Tallet med nummeret kalles det th medlem av sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

Det er veldig praktisk hvis det tredje leddet i sekvensen kan spesifiseres med en formel. For eksempel formelen

setter sekvensen:

Og formelen er følgende sekvens:

For eksempel er en aritmetisk progresjon en sekvens (det første leddet her er likt, og forskjellen er det). Eller (, forskjell).

formel for n. ledd

Vi kaller en formel tilbakevendende der du, for å finne ut begrepet, må kjenne til de forrige eller flere tidligere:

For å finne for eksempel det tredje leddet i progresjonen ved å bruke denne formelen, må vi beregne de ni foregående. For eksempel, la det. Da:

Vel, er det klart nå hva formelen er?

I hver linje legger vi til, multiplisert med et eller annet tall. Hvilken? Veldig enkelt: dette er nummeret på gjeldende medlem minus:

Mye mer praktisk nå, ikke sant? Vi sjekker:

Bestem selv:

I en aritmetisk progresjon, finn formelen for det n'te leddet og finn det hundrede leddet.

Løsning:

Det første leddet er likt. Hva er forskjellen? Her er hva:

(Dette er grunnen til at det kalles forskjell fordi det er lik forskjellen mellom påfølgende ledd i progresjonen).

Så formelen:

Da er det hundrede leddet lik:

Hva er summen av alle naturlige tall fra til?

Ifølge legenden beregnet den store matematikeren Carl Gauss, som en 9 år gammel gutt, dette beløpet på noen få minutter. Han la merke til at summen av første og siste tall er lik, summen av andre og nest siste er den samme, summen av tredje og tredje fra slutten er den samme, og så videre. Hvor mange slike par er det totalt? Det stemmer, nøyaktig halvparten av alle tall, altså. Så,

Den generelle formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon vil være:

Eksempel:
Finn summen av alle tosifrede multipler.

Løsning:

Det første slike nummer er dette. Hvert etterfølgende nummer oppnås ved å legge til det forrige nummeret. Dermed danner tallene vi er interessert i en aritmetisk progresjon med det første leddet og differansen.

Formel for begrepet for denne progresjonen:

Hvor mange ledd er det i progresjonen hvis de alle må være tosifrede?

Veldig enkelt:.

Den siste perioden av progresjonen vil være lik. Så summen:

Svar: .

Bestem nå selv:

Hver dag løper utøveren flere meter enn dagen før. Hvor mange kilometer totalt vil han løpe i løpet av en uke hvis han løper km m den første dagen?
En syklist reiser flere kilometer hver dag enn dagen før. Den første dagen reiste han km. Hvor mange dager trenger han å reise for å tilbakelegge en kilometer? Hvor mange kilometer vil han reise i løpet av den siste dagen av reisen?
Prisen på kjøleskap i butikk synker like mye hvert år. Bestem hvor mye prisen på et kjøleskap falt hvert år hvis det ble lagt ut for salg for rubler seks år senere ble solgt for rubler.

Svar:

Det viktigste her er å gjenkjenne den aritmetiske progresjonen og bestemme dens parametere. I dette tilfellet (uker = dager). Du må bestemme summen av de første leddene i denne progresjonen:
.
Svare:
Her er det gitt: , må finnes.
Selvfølgelig må du bruke samme sumformel som i forrige oppgave:
.
Bytt ut verdiene:
Roten passer tydeligvis ikke, så svaret er.
La oss beregne banen som ble reist i løpet av den siste dagen ved å bruke formelen til begrepet:
(km).
Svare:
Gitt:. Finn: .
Det kunne ikke vært enklere:
(gni).
Svare:

ARITMETISK PROGRESJON. KORT OM HOVEDTINGENE

Dette er en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.

Aritmetisk progresjon kan være økende () og avtagende ().

For eksempel:

Formel for å finne det n-te leddet i en aritmetisk progresjon

er skrevet av formelen, hvor er antall tall i progresjon.

Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon

Den lar deg enkelt finne et ledd i en progresjon hvis naboleddet er kjent - hvor er antallet tall i progresjonen.

Summen av ledd i en aritmetisk progresjon

Det er to måter å finne beløpet på:

Hvor er antall verdier.

Leksjonstype: lære nytt materiale.

Leksjonens mål:

utvide og utdype elevenes forståelse av problemer løst ved hjelp av aritmetisk progresjon; organisere elevenes søkeaktiviteter når man utleder formelen for summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon;
utvikle evnen til selvstendig å tilegne seg ny kunnskap og bruke allerede ervervet kunnskap for å oppnå en gitt oppgave;
utvikle ønsket og behovet for å generalisere de oppnådde fakta, utvikle uavhengighet.

Oppgaver:

oppsummere og systematisere eksisterende kunnskap om temaet "Aritmetisk progresjon";
utlede formler for å beregne summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon;
lære hvordan du bruker de oppnådde formlene når du løser ulike problemer;
gjøre elevene oppmerksomme på fremgangsmåten for å finne verdien av et numerisk uttrykk.

Utstyr:

kort med oppgaver for arbeid i grupper og par;
resultatskjema;
presentasjon"Aritmetisk progresjon."

I. Oppdatering av grunnleggende kunnskap.

1. Selvstendig arbeid i par.

1. alternativ:

Definer aritmetisk progresjon. Skriv det ned gjentakelsesformel, som brukes til å definere en aritmetisk progresjon. Gi et eksempel på en aritmetisk progresjon og angi forskjellen.

Andre alternativ:

Skriv ned formelen for det n. leddet i en aritmetisk progresjon. Finn det 100. leddet i den aritmetiske progresjonen ( en n}: 2, 5, 8 …
På dette tidspunktet to studenter baksiden styrene forbereder svar på de samme spørsmålene.
Elevene evaluerer partnerens arbeid ved å sjekke dem på tavlen. (Ark med svar leveres inn.)

2. Spilløyeblikk.

Oppgave 1.

Lærer. Jeg tenkte på en viss aritmetisk progresjon. Still meg bare to spørsmål slik at du etter svarene raskt kan navngi det 7. leddet i denne progresjonen. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Spørsmål fra studenter.

Hva er det sjette leddet i progresjonen og hva er forskjellen?
Hva er det åttende leddet i progresjonen og hva er forskjellen?

Hvis det ikke er flere spørsmål, kan læreren stimulere dem - et "forbud" mot d (forskjell), det vil si at det ikke er lov å spørre hva forskjellen er lik. Du kan stille spørsmål: hva er 6. ledd i progresjonen lik og hva er 8. ledd i progresjonen lik?

Oppgave 2.

Det er skrevet 20 tall på tavlen: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Læreren står med ryggen mot brettet. Elevene roper nummeret, og læreren roper umiddelbart opp nummeret selv. Forklar hvordan jeg kan gjøre dette?

Læreren husker formelen for n. semester a n = 3n – 2 og, ved å erstatte de spesifiserte verdiene n, finner de tilsvarende verdiene en n.

II. Sette en læringsoppgave.

Jeg foreslår å løse et eldgammelt problem som dateres tilbake til det 2. årtusen f.Kr., funnet i egyptiske papyrus.

Oppgave:"La det bli sagt til dere: del 10 mål bygg på 10 personer, forskjellen mellom hver person og hans nabo er 1/8 av målet."

Hvordan er dette problemet relatert til emnet aritmetisk progresjon? (Hver neste person mottar 1/8 av målet mer, noe som betyr at forskjellen er d=1/8, 10 personer, som betyr n=10.)
Hva tror du mål 10 betyr? (Summen av alle vilkår for progresjonen.)
Hva mer trenger du å vite for å gjøre det enkelt og enkelt å dele byggen etter forholdene for problemet? (Første periode av progresjon.)

Leksjonens mål– få avhengigheten av summen av vilkårene for progresjonen på antallet, den første terminen og differansen, og sjekke om problemet ble løst riktig i eldgamle tider.

Før vi utleder formelen, la oss se på hvordan de gamle egypterne løste problemet.

Og de løste det som følger:

1) 10 mål: 10 = 1 mål – gjennomsnittlig andel;
2) 1 mål ∙ = 2 mål – doblet gjennomsnittlig dele.
Doblet gjennomsnittlig andel er summen av andelene til den 5. og 6. personen.
3) 2 mål – 1/8 mål = 1 7/8 mål – dobbel andel av den femte personen.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – brøkdel av en femtedel; og så videre, kan du finne andelen til hver forrige og etterfølgende person.

Vi får sekvensen:

III. Løser problemet.

1. Arbeid i grupper

Gruppe I: Finn summen av 20 påfølgende naturlige tall: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Generelt sett

II gruppe: Finn summen av naturlige tall fra 1 til 100 (The Legend of Little Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Konklusjon:

III gruppe: Finn summen av naturlige tall fra 1 til 21.

Løsning: 1+21=2+20=3+19=4+18...

Konklusjon:

IV gruppe: Finn summen av naturlige tall fra 1 til 101.

Konklusjon:

Denne metoden for å løse problemene som vurderes kalles "Gauss-metoden".

2. Hver gruppe presenterer løsningen på problemet på tavlen.

3. Generalisering av de foreslåtte løsningene for en vilkårlig aritmetisk progresjon:

a 1, a 2, a 3,..., en n-2, en n-1, en n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +...+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

La oss finne denne summen ved å bruke lignende resonnement:

4. Har vi løst problemet?(Ja.)

IV. Primær forståelse og anvendelse av de oppnådde formlene ved problemløsning.

1. Sjekke løsningen på et gammelt problem ved å bruke formelen.

2. Anvendelse av formelen for å løse ulike problemer.

3. Øvelser for å utvikle evnen til å anvende formler ved problemløsning.

A) nr. 613

Gitt: ( a n) – aritmetisk progresjon;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Finne: S 1500

Løsning: , a 1 = 1 og 1500 = 1500,

B) Gitt: ( a n) – aritmetisk progresjon;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Finne: n
Løsning:

V. Selvstendig arbeid med gjensidig verifisering.

Denis begynte å jobbe som kurer. I den første måneden var lønnen hans 200 rubler, i hver påfølgende måned økte den med 30 rubler. Hvor mye tjente han totalt i løpet av et år?

Gitt: ( a n) – aritmetisk progresjon;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Finne: S 12
Løsning:

Svar: Denis mottok 4380 rubler for året.

VI. Lekseundervisning.

Del 4.3 – lær deg utledningen av formelen.
№№ 585, 623 .
Lag en oppgave som kan løses ved hjelp av formelen for summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon.

VII. Oppsummering av leksjonen.

1. Scoreark

2. Fortsett setningene

I dag i timen lærte jeg...
Formler lært...
Jeg tror at...

3. Kan du finne summen av tall fra 1 til 500? Hvilken metode vil du bruke for å løse dette problemet?

Referanser.

1. Algebra, 9. klasse. Opplæring for utdanningsinstitusjoner. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Enlightenment", 2009.

Inngangsnivå

Aritmetisk progresjon. Detaljert teori med eksempler (2019)

Nummerrekkefølge

Nummerrekkefølge
For eksempel for vår sekvens:

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

I vårt tilfelle:

La oss si at vi har en tallrekke der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.
For eksempel:

osv.
Denne tallsekvensen kalles en aritmetisk progresjon.
Begrepet "progresjon" ble introdusert av den romerske forfatteren Boethius tilbake på 600-tallet og ble forstått i bredere forstand som en uendelig numerisk rekkefølge. Navnet "aritmetikk" ble overført fra teorien om kontinuerlige proporsjoner, som ble studert av de gamle grekerne.

Dette er en tallsekvens, hvor hvert medlem er lik den forrige lagt til det samme tallet. Dette tallet kalles forskjellen til en aritmetisk progresjon og er utpekt.

Prøv å finne ut hvilke tallsekvenser som er en aritmetisk progresjon og hvilke som ikke er det:

en)
b)
c)
d)

Har du det? La oss sammenligne svarene våre:
Er aritmetisk progresjon - b, c.
er ikke aritmetisk progresjon - a, d.

La oss gå tilbake til den gitte progresjonen () og prøve å finne verdien av dets tredje ledd. Finnes to måte å finne det på.

1. Metode

Vi kan legge til progresjonstallet til den forrige verdien til vi når den tredje ledd av progresjonen. Det er bra at vi ikke har så mye å oppsummere - bare tre verdier:

Så det tredje leddet i den beskrevne aritmetiske progresjonen er lik.

2. Metode

La oss for eksempel se hva verdien av det tredje leddet i denne aritmetiske progresjonen består av:

Med andre ord:

Prøv å finne verdien av et medlem av en gitt aritmetisk progresjon selv på denne måten.

Har du regnet ut? Sammenlign notatene dine med svaret:

Aritmetisk progresjonsligning.

Aritmetiske progresjoner kan være økende eller avtagende.

Økende- progresjoner der hver påfølgende verdi av begrepene er større enn den forrige.
For eksempel:

Synkende- progresjoner der hver påfølgende verdi av vilkårene er mindre enn den forrige.
For eksempel:

Siden da:

Dermed er vi overbevist om at formelen fungerer i både avtagende og økende aritmetisk progresjon.
Prøv å finne de th og th leddene i denne aritmetiske progresjonen selv.

La oss sammenligne resultatene:

Aritmetisk progresjonsegenskap

La, ah, da:

La oss betegne det nødvendige leddet for den aritmetiske progresjonen som formelen for å finne den er kjent for oss - dette er den samme formelen vi avledet i begynnelsen:
, Deretter:

forrige termin av progresjonen er:
neste termin i progresjonen er:

La oss oppsummere de forrige og påfølgende betingelsene for progresjonen:

Det stemmer, vi har samme nummer. La oss sikre materialet. Beregn verdien for progresjonen selv, det er slett ikke vanskelig.

Si meg nå, hvor mange slike par er det totalt i progresjonen gitt til oss? Selvfølgelig, nøyaktig halvparten av alle tall, altså.
Basert på det faktum at summen av to ledd i en aritmetisk progresjon er lik, og like par er like, får vi at den totale summen er lik:
.
Dermed vil formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon være:

I noen problemer kjenner vi ikke begrepet, men vi vet forskjellen på progresjonen. Prøv å erstatte formelen til det te leddet med sumformelen.
Hva fikk du?

Godt gjort! La oss nå gå tilbake til problemet som ble spurt til Carl Gauss: beregn selv hva summen av tall som starter fra th er lik og summen av tallene som starter fra th.

Hvor mye fikk du?
Gauss fant at summen av leddene er lik, og summen av leddene. Var det det du bestemte deg for?

Metode 1.

Metode 2.

Opplæring

Oppgaver:

Masha kommer i form til sommeren. Hver dag øker hun antall knebøy med. Hvor mange ganger vil Masha trene knebøy i løpet av en uke hvis hun gjorde knebøy på den første treningsøkten?
Hva er summen av alle oddetall som finnes i.
Ved lagring av tømmerstokker stabler loggere dem på en slik måte at hvert topplag inneholder én tømmerstokk mindre enn den forrige. Hvor mange stokker er det i ett murverk, hvis fundamentet til murverket er stokker?

Svar:

La oss definere parametrene for den aritmetiske progresjonen. I dette tilfellet
(uker = dager).
Svare: Om to uker bør Masha gjøre knebøy en gang om dagen.
Første oddetall, siste tall.
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall oddetall i er halvparten, la oss imidlertid sjekke dette faktum ved å bruke formelen for å finne det tredje leddet i en aritmetisk progresjon:
Tall inneholder oddetall.
La oss erstatte de tilgjengelige dataene i formelen:
Svare: Summen av alle oddetall i er lik.
La oss huske problemet med pyramider. For vårt tilfelle, en , siden hvert topplag reduseres med en stokk, så er det totalt en haug med lag, altså.
La oss erstatte dataene i formelen:
Svare: Det er stokker i murverket.

La oss oppsummere det

- en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er lik og lik. Det kan være økende eller avtagende.
Finne formel Det tredje leddet i en aritmetisk progresjon er skrevet med formelen - , hvor er antall tall i progresjonen.
Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon- - hvor er antall tall i progresjon.
Summen av leddene til en aritmetisk progresjon kan finnes på to måter:

, hvor er antall verdier.

ARITMETISK PROGRESJON. MIDDELNIVÅ

Nummerrekkefølge

La oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:

Nummerrekkefølge er et sett med tall, som hver kan tildeles et unikt nummer.

Med andre ord kan hvert tall assosieres med et visst naturlig tall, og et unikt. Og vi vil ikke tildele dette nummeret til noe annet nummer fra dette settet.

Tallet med nummeret kalles det th medlem av sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

Det er veldig praktisk hvis det tredje leddet i sekvensen kan spesifiseres med en formel. For eksempel formelen

setter sekvensen:

Og formelen er følgende sekvens:

For eksempel er en aritmetisk progresjon en sekvens (det første leddet her er likt, og forskjellen er det). Eller (, forskjell).

formel for n. ledd

Vi kaller en formel tilbakevendende der du, for å finne ut begrepet, må kjenne til de forrige eller flere tidligere:

For å finne for eksempel det tredje leddet i progresjonen ved å bruke denne formelen, må vi beregne de ni foregående. For eksempel, la det. Da:

Vel, er det klart nå hva formelen er?

I hver linje legger vi til, multiplisert med et eller annet tall. Hvilken? Veldig enkelt: dette er nummeret på gjeldende medlem minus:

Mye mer praktisk nå, ikke sant? Vi sjekker:

Bestem selv:

I en aritmetisk progresjon, finn formelen for det n'te leddet og finn det hundrede leddet.

Løsning:

Det første leddet er likt. Hva er forskjellen? Her er hva:

(Dette er grunnen til at det kalles forskjell fordi det er lik forskjellen mellom påfølgende ledd i progresjonen).

Så formelen:

Da er det hundrede leddet lik:

Hva er summen av alle naturlige tall fra til?

Den generelle formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon vil være:

Eksempel:
Finn summen av alle tosifrede multipler.

Løsning:

Formel for begrepet for denne progresjonen:

Hvor mange ledd er det i progresjonen hvis de alle må være tosifrede?

Veldig enkelt:.

Den siste perioden av progresjonen vil være lik. Så summen:

Svar: .

Bestem nå selv:

Hver dag løper utøveren flere meter enn dagen før. Hvor mange kilometer totalt vil han løpe i løpet av en uke hvis han løper km m den første dagen?
En syklist reiser flere kilometer hver dag enn dagen før. Den første dagen reiste han km. Hvor mange dager trenger han å reise for å tilbakelegge en kilometer? Hvor mange kilometer vil han reise i løpet av den siste dagen av reisen?
Prisen på kjøleskap i butikk synker like mye hvert år. Bestem hvor mye prisen på et kjøleskap falt hvert år hvis det ble lagt ut for salg for rubler seks år senere ble solgt for rubler.

Svar:

Det viktigste her er å gjenkjenne den aritmetiske progresjonen og bestemme dens parametere. I dette tilfellet (uker = dager). Du må bestemme summen av de første leddene i denne progresjonen:
.
Svare:
Her er det gitt: , må finnes.
Selvfølgelig må du bruke samme sumformel som i forrige oppgave:
.
Bytt ut verdiene:
Roten passer tydeligvis ikke, så svaret er.
La oss beregne banen som ble reist i løpet av den siste dagen ved å bruke formelen til begrepet:
(km).
Svare:
Gitt:. Finn: .
Det kunne ikke vært enklere:
(gni).
Svare:

ARITMETISK PROGRESJON. KORT OM HOVEDTINGENE

Dette er en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.

Aritmetisk progresjon kan være økende () og avtagende ().

For eksempel:

Formel for å finne det n-te leddet i en aritmetisk progresjon

er skrevet av formelen, hvor er antall tall i progresjon.

Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon

Den lar deg enkelt finne et ledd i en progresjon hvis naboleddet er kjent - hvor er antallet tall i progresjonen.

Summen av ledd i en aritmetisk progresjon

Det er to måter å finne beløpet på:

Hvor er antall verdier.