Arealet til en rombe er produktet av diagonalene. Fire formler for å beregne arealet til en rombe

En rombe er et spesielt tilfelle av et parallellogram. Det er en flat firkantet figur der alle sider er like. Denne egenskapen bestemmer at romber har parallelle motsatte sider og like motsatte vinkler. Diagonalene til romben skjærer hverandre i rett vinkel, skjæringspunktet er midt i hver diagonal, og hjørnene de kommer ut fra er delt i to. Det vil si at de er diagonalene til romben er halveringslinjene til vinklene. Basert på definisjonene ovenfor og de listede egenskapene til romber, kan deres område bestemmes på forskjellige måter.

1. Hvis begge diagonalene til rhombus AC og BD er kjent, kan arealet av rhombus bestemmes som halvparten av produktet av diagonalene.

S = ½ ∙ AC ∙ BD

hvor AC, BD er lengden på diagonalene til romben.

For å forstå hvorfor det er slik, kan du mentalt innskrive et rektangel i en rombe på en slik måte at sidene til sistnevnte er vinkelrett på diagonalene til romben. Det blir åpenbart at arealet av romben vil være lik halvparten av arealet av rektangelet som er skrevet inn på denne måten i romben, hvis lengde og bredde vil tilsvare størrelsen på diagonalene til romben.

2. I analogi med et parallellepiped, kan arealet til en rombe finnes som produktet av siden, ved høyden på vinkelrett fra motsatt side senket til den gitte siden.

S = a ∙ h

hvor a er siden av romben;
h er høyden på perpendikulæren som faller til den gitte siden.

3. Arealet til en rombe er også lik kvadratet på siden multiplisert med sinusen til vinkelen α.

S = a2 ∙ synd α

hvor, a er siden av romben;
α er vinkelen mellom sidene.

4. Også området til en rombe kan finnes gjennom siden og radiusen til sirkelen som er innskrevet i den.

S=2 ∙ en ∙ r

hvor, a er siden av romben;
r er radiusen til sirkelen innskrevet i romben.

Interessante fakta
Ordet rombe kommer fra det gamle greske rombus, som betyr "tamburin". På den tiden hadde tamburiner virkelig en diamantform, og ikke runde, slik vi er vant til å se dem i dag. Siden den gang har navnet på kortfargen "tamburin" også forekommet. Svært utbredt romber av forskjellige typer brukes i heraldikk.

En rombe er en spesiell figur i geometri. På grunn av dens spesielle egenskaper er det ikke en, men flere formler som beregner arealet til en rombe. Hva er disse egenskapene og hva er de vanligste formlene for å finne området til denne figuren? La oss finne ut av det.

Hvilken geometrisk figur kalles en rombe

Før du finner ut hva området til en rombe er, er det verdt å vite hva slags figur det er.

Siden den euklidiske geometriens tid har en rombe blitt kalt en symmetrisk firkant, hvor alle fire sidene er like lange og parallelle i par.

Opprinnelsen til begrepet

Navnet på denne figuren kom til de fleste moderne språk fra gresk, gjennom formidling av latin. "Progenitor" til ordet "rombus" var det greske substantivet ῥόμβος (tamburin). Selv om innbyggerne i det tjuende århundre, vant til runde tamburiner, er det vanskelig å forestille seg dem i en annen form, men blant hellenerne ble disse musikkinstrumentene tradisjonelt laget ikke i en rund, men i en diamantform.

I de fleste moderne språk brukes dette matematiske begrepet, som på latin: rombus. Men på engelsk kalles diamanter noen ganger diamant (diamant eller diamant). Denne figuren fikk et slikt kallenavn på grunn av sin spesielle form, som minner om en edelstein. Som regel brukes ikke et lignende begrep for alle romber, men bare for de der skjæringsvinkelen mellom de to sidene er seksti eller førtifem grader.

For første gang ble denne figuren nevnt i skriftene til den greske matematikeren som levde i det første århundre av en ny æra - Heron of Alexandria.

Hva er egenskapene til denne geometriske figuren

For å finne arealet til en rombe, må du først vite hvilke funksjoner en gitt geometrisk figur har.

Under hvilke forhold er et parallellogram en rombe?

Som du vet, er hver rombe et parallellogram, men ikke alle parallellogram er en rombe. For nøyaktig å hevde at figuren som presenteres faktisk er en rombe, og ikke et enkelt parallellogram, må det tilsvare ett av de tre hovedtrekkene som skiller romben. Eller alle tre på en gang.

1. Diagonalene til et parallellogram skjærer hverandre i en vinkel på nitti grader.
2. Diagonalene deler hjørnene i to, og fungerer som halveringslinjer.
3. Ikke bare parallelle, men også tilstøtende sider har samme lengde. Dette er forresten en av hovedforskjellene mellom en rombe og et parallellogram, siden den andre figuren bare har parallelle sider som er like lange, men ikke tilstøtende.

Under hvilke forhold er en rombe en firkant?

I henhold til egenskapene kan en rombe i noen tilfeller samtidig bli en firkant. For å visuelt bekrefte denne uttalelsen, er det nok bare å rotere firkanten i hvilken som helst retning med førtifem grader. Den resulterende figuren vil være en rombe, hvor hvert av hjørnene er lik nitti grader.

For å bekrefte at kvadratet er en rombe, kan du også sammenligne tegnene til disse figurene: i begge tilfeller er alle sider like, og diagonalene er halveringslinjer og skjærer hverandre i en vinkel på nitti grader.

Hvordan finne området til en rombe ved hjelp av diagonalene

I den moderne verden kan du på Internett finne nesten alt materiale for å utføre de nødvendige beregningene. Så det er mange ressurser utstyrt med programmer for automatisk å beregne arealet til en bestemt figur. Dessuten, hvis (som i tilfellet med en rombe) det er flere formler for dette, er det mulig å velge hvilken som vil være mest praktisk å bruke. Men først av alt må du selv kunne beregne arealet til en rombe uten hjelp av en datamaskin og navigere i formlene. Det er mange av dem for en rombe, men de mest kjente av dem er fire.

En av de enkleste og vanligste måtene å finne ut området til denne figuren er hvis du har informasjon om lengden på diagonalene. Hvis problemet har disse dataene, i dette tilfellet, kan du bruke følgende formel for å finne området: S = KM x LN / 2 (KM og LN er diagonalene til KLMN-romben).

Du kan sjekke gyldigheten av denne formelen i praksis. La oss si at KLMN-romben har lengden på en av diagonalene KM - 10 cm, og den andre LN - 8 cm. Deretter erstatter vi disse dataene i formelen ovenfor, og vi får følgende resultat: S \u003d 10 x 8 / 2 \u003d 40 cm 2.

Formel for å beregne arealet til et parallellogram

Det er en annen formel. Som nevnt ovenfor i definisjonen av en rombe, er det ikke bare en firkant, men også et parallellogram, og har alle funksjonene til denne figuren. I dette tilfellet, for å finne området, er det ganske tilrådelig å bruke formelen som brukes for et parallellogram: S \u003d KL x Z. I dette tilfellet er KL lengden på siden av parallellogrammet (rhombus), og Z er lengden på høyden tegnet til denne siden.

I noen problemer er lengden på siden ikke gitt, men omkretsen til romben er kjent. Siden formelen for å finne den ble angitt ovenfor, kan den også brukes til å finne ut lengden på siden. Så omkretsen av figuren er 10 cm. Lengden på siden kan bli funnet ved å invertere omkretsformelen og dele 10 med 4. Resultatet vil være 2,5 cm - dette er ønsket sidelengde på romben.

Nå er det verdt å prøve å erstatte dette tallet i formelen, vel vitende om at lengden på høyden trukket til siden også er 2,5 cm. La oss nå prøve å sette disse verdiene inn i formelen ovenfor for arealet av \u200b\ u200b parallellogrammet. Det viser seg at arealet av romben er S = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm 2.

Andre måter å beregne arealet til en rombe

De som allerede har mestret sinus og cosinus kan bruke formler som inneholder dem for å finne området til en rombe. Et klassisk eksempel er følgende formel: S = KM 2 x Sin KLM. I dette tilfellet er arealet av figuren lik produktet av de to sidene av romben, multiplisert med sinusen til vinkelen mellom dem. Og siden i en rombe alle sidene er like, er det lettere å umiddelbart gjøre den ene siden til en firkant, som vist i formelen.

Vi sjekker dette opplegget i praksis, og ikke bare til en rombe, men til en firkant, der, som du vet, alle vinkler er rette, noe som betyr at de er lik nitti grader. Anta at en av sidene er 15 cm. Det er også kjent at sinusen til en vinkel på 90 ° er lik en. Deretter, i henhold til formelen, S \u003d 15 x 15 x Sin 90 ° \u003d 255x1 \u003d 255 cm 2.

I tillegg til det ovennevnte, brukes i noen tilfeller en annen formel, ved å bruke en sinus for å bestemme arealet til en rombe: S \u003d 4 x R 2 / Sin KLM. I denne versjonen brukes radiusen til sirkelen som er innskrevet i romben. Den heves til kvadratets potens og multipliseres med fire. Og hele resultatet er delt med sinusen til vinkelen ved siden av den innskrevne figuren.

Som et eksempel, for enkelhets skyld, la oss ta et kvadrat igjen (sinus til vinkelen vil alltid være lik en). Radiusen til sirkelen som er innskrevet i den er 4,4 cm. Da vil arealet av romben beregnes som følger: S \u003d 4 x 4,4 2 / Sin 90 ° \u003d 77,44 cm 2

Formlene ovenfor for å finne radiusen til en rombe er langt fra de eneste i sitt slag, men de er enklest å forstå og utføre beregninger.

Hva er Rhombus? En rombe er et parallellogram med alle sider like.

Rombe, en figur på et plan, en firkant med like sider. En rombe er et spesialtilfelle av et PARALLELOGRAM, der enten to tilstøtende sider er like, eller diagonalene skjærer hverandre i rette vinkler, eller diagonalen halverer vinkelen. En rombe med rette vinkler kalles en firkant.

Den klassiske formelen for arealet til en rombe er beregningen av verdien gjennom høyden. Arealet til en rombe er lik produktet av en side og høyden trukket til den siden.

1. Arealet til en rombe er lik produktet av en side og høyden trukket til denne siden:

\[ S = a \cdot h \]

2. Hvis siden av romben er kjent (alle sider av romben er like) og vinkelen mellom sidene, kan arealet finnes ved hjelp av følgende formel:

\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]

3. Arealet av romben er også lik halvproduktet av diagonalene, det vil si:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Hvis radius r til sirkelen som er innskrevet i romben er kjent, og siden av romben a, beregnes arealet av formelen:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Rombus egenskaper

På bildet ovenfor er \(ABCD \) en diamant, \(AC = DB = CD = AD \) . Siden en rombe er et parallellogram, har den alle egenskapene til et parallellogram, men det er også egenskaper som er unike for en rombe.

En sirkel kan skrives inn i hvilken som helst rombe. Sentrum av en sirkel innskrevet i en rombe er skjæringspunktet for diagonalene. Sirkelradius lik halve høyden av romben:

\[ r = \frac( AH )(2) \]

Rombus egenskaper

Diagonalene til romben er vinkelrette;

Diagonalene til en rombe er halveringslinjene til vinklene.

Tegn på en rombe

Et parallellogram hvis diagonaler skjærer hverandre i rette vinkler er en rombe;

Et parallellogram hvis diagonaler er halveringslinjene til vinklene er en rombe.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
ActiveX-kontroller må være aktivert for å kunne gjøre beregninger!

- dette er et parallellogram, der alle sider er like, da gjelder alle de samme formlene for det som for et parallellogram, inkludert formelen for å finne arealet gjennom produktet av høyde og side.

Området til en rombe kan bli funnet ved også å kjenne diagonalene. Diagonalene deler romben i fire helt like rette trekanter. Hvis vi sorterer dem for å få et rektangel, vil lengden og bredden være lik en hel diagonal og halvparten av den andre diagonalen. Derfor blir arealet til en rombe funnet ved å multiplisere diagonalene til romben, redusert med to (som arealet av det resulterende rektangelet).

Hvis bare vinkelen og siden er tilgjengelig, kan du bevæpne deg med en diagonal som assistent og tegne den motsatt av den kjente vinkelen. Deretter vil hun dele romben i to kongruente trekanter, hvis arealer totalt vil gi oss arealet til romben. Arealet til hver av trekantene vil være lik halvparten av produktet av kvadratet på siden og sinusen til den kjente vinkelen, som arealet av en likebenet trekant. Siden det er to slike trekanter, kansellerer koeffisientene, og etterlater bare siden til andre grad og sinus:

Hvis en sirkel er skrevet inn i en rombe, vil radiusen referere til siden i en vinkel på 90 °, noe som betyr at to ganger radius vil være lik høyden på romben. Ved å erstatte i stedet for høyden h=2r i forrige formel, får vi arealet S=ha=2ra

Hvis det sammen med radiusen til den innskrevne sirkelen ikke er gitt en side, men en vinkel, må du først finne siden ved å tegne høyden på en slik måte at du får en rettvinklet trekant med en gitt vinkel. Da kan siden a finnes fra trigonometriske relasjoner ved formelen . Å erstatte dette uttrykket med den samme standardformelen for området til en rombe, viser det seg

En rombe (fra det antikke greske ῥόμβος og fra det latinske rombus "tamburin") er et parallellogram, som er preget av tilstedeværelsen av sider av samme lengde. I tilfellet når vinklene er 90 grader (eller en rett vinkel), kalles en slik geometrisk figur en firkant. En rombe er en geometrisk figur, en slags firkanter. Det kan være både et kvadrat og et parallellogram.

Opprinnelsen til begrepet

La oss snakke litt om historien til denne figuren, som vil bidra til å avsløre litt de mystiske hemmelighetene til den antikke verden. Det kjente ordet for oss, ofte funnet i skolelitteraturen, "rhombus", stammer fra det gamle greske ordet "tamburin". I antikkens Hellas ble disse musikkinstrumentene laget i form av en rombe eller firkant (i motsetning til moderne inventar). Du har sikkert lagt merke til at kortdrakten - en tamburin - har en rombisk form. Dannelsen av denne drakten går tilbake til tiden da runde diamanter ikke ble brukt i hverdagen. Derfor er romben den eldste historiske figuren som ble oppfunnet av menneskeheten lenge før fremkomsten av hjulet.

For første gang ble et slikt ord som "rhombus" brukt av så kjente personligheter som Heron og paven av Alexandria.

Rombus egenskaper

1. Siden sidene av romben er motsatte av hverandre og er parvis parallelle, er romben utvilsomt et parallellogram (AB || CD, AD || BC).
2. Rombediagonaler skjærer hverandre i rette vinkler (AC ⊥ BD), og er derfor vinkelrett. Derfor halverer skjæringspunktet diagonalene.
3. Halveringslinjene til rombevinklene er diagonalene til romben (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, etc.).
4. Fra identiteten til parallellogrammer følger det at summen av alle kvadratene til diagonalene til en rombe er tallet på kvadratet på siden, som multipliseres med 4.

Tegn på en rombe

En rombe er i disse tilfellene et parallellogram når den oppfyller følgende betingelser:

1. Alle sider av et parallellogram er like.
2. Diagonalene til romben skjærer en rett vinkel, det vil si at de er vinkelrett på hverandre (AC⊥BD). Dette beviser regelen om tre sider (sidene er like og er i en vinkel på 90 grader).
3. Diagonalene til et parallellogram deler vinklene likt, siden sidene er like.

Rombusområdet

1. Arealet til en rombe er lik tallet som er halvparten av produktet av alle diagonalene.
2. Siden en rombe er et slags parallellogram, er arealet til en rombe (S) tallet på produktet av siden av parallellogrammet og dets høyde (h).
3. I tillegg kan arealet til en rombe beregnes ved å bruke formelen som er produktet av den kvadratiske siden av romben og sinusen til vinkelen. Vinkelens sinus er alfa - vinkelen mellom sidene til den opprinnelige romben.
4. En formel som er produktet av to ganger vinkelen alfa og radiusen til den innskrevne sirkelen (r) anses som ganske akseptabel for riktig løsning.