Komplett trigonometritabell. Sinus, cosinus, tangent og cotangens - alt du trenger å vite på OGE og USE
Trigonometri, som en vitenskap, oppsto i det gamle østen. De første trigonometriske forholdstallene ble utviklet av astronomer for å lage en nøyaktig kalender og orientere seg etter stjernene. Disse beregningene knyttet til sfærisk trigonometri, mens de i skolekurset studerer forholdet mellom sidene og vinkelen til en flat trekant.
Trigonometri er en gren av matematikken som omhandler egenskapene til trigonometriske funksjoner og forholdet mellom sidene og vinklene til trekanter.
Under kulturens og vitenskapens storhetstid i det 1. årtusen e.Kr. spredte kunnskap seg fra det gamle østen til Hellas. Men de viktigste oppdagelsene av trigonometri er fortjenesten til mennene i det arabiske kalifatet. Spesielt introduserte den turkmenske forskeren al-Marazvi slike funksjoner som tangent og cotangens, kompilerte de første tabellene med verdier for sinus, tangenter og cotangens. Konseptet sinus og cosinus ble introdusert av indiske forskere. Mye oppmerksomhet er viet trigonometri i verkene til så store skikkelser fra antikken som Euklid, Arkimedes og Eratosthenes.
Grunnleggende mengder trigonometri
De grunnleggende trigonometriske funksjonene til et numerisk argument er sinus, cosinus, tangens og cotangens. Hver av dem har sin egen graf: sinus, cosinus, tangens og cotangens.
Formlene for å beregne verdiene til disse mengdene er basert på Pythagoras teorem. Det er bedre kjent for skolebarn i formuleringen: "Pythagoreiske bukser, like i alle retninger," siden beviset er gitt på eksemplet med en likebenet rettvinklet trekant.
Sinus, cosinus og andre avhengigheter etablerer et forhold mellom spisse vinkler og sider av en rettvinklet trekant. Vi gir formler for å beregne disse størrelsene for vinkel A og sporer forholdet mellom trigonometriske funksjoner:
Som du kan se, er tg og ctg inverse funksjoner. Hvis vi representerer ben a som produktet av sin A og hypotenus c, og ben b som cos A * c, får vi følgende formler for tangent og cotangens:
trigonometrisk sirkel
Grafisk kan forholdet mellom de nevnte mengdene representeres som følger:
Sirkelen, i dette tilfellet, representerer alle mulige verdier av vinkelen α - fra 0° til 360°. Som det fremgår av figuren, har hver funksjon en negativ eller positiv verdi avhengig av vinkelen. For eksempel vil sin α være med et "+"-tegn hvis α tilhører I og II fjerdedeler av sirkelen, det vil si at den er i området fra 0 ° til 180 °. Med α fra 180° til 360° (III og IV kvartaler), kan sin α bare være en negativ verdi.
La oss prøve å bygge trigonometriske tabeller for spesifikke vinkler og finne ut betydningen av mengdene.
Verdiene til α lik 30°, 45°, 60°, 90°, 180° og så videre kalles spesielle tilfeller. Verdiene av trigonometriske funksjoner for dem beregnes og presenteres i form av spesielle tabeller.
Disse vinklene ble ikke valgt ved en tilfeldighet. Betegnelsen π i tabellene er for radianer. Rad er vinkelen hvor lengden av en sirkelbue tilsvarer radiusen. Denne verdien ble introdusert for å etablere et universelt forhold; når man beregner i radianer, spiller den faktiske lengden på radien i cm ingen rolle.
Vinklene i tabellene for trigonometriske funksjoner tilsvarer radianverdier:
Så det er ikke vanskelig å gjette at 2π er en hel sirkel eller 360°.
Egenskaper til trigonometriske funksjoner: sinus og cosinus
For å vurdere og sammenligne de grunnleggende egenskapene til sinus og cosinus, tangent og cotangens, er det nødvendig å tegne funksjonene deres. Dette kan gjøres i form av en kurve som ligger i et todimensjonalt koordinatsystem.
Tenk på en sammenlignende tabell over egenskaper for en sinusbølge og en cosinusbølge:
| sinusformet | cosinusbølge |
|---|---|
| y = sin x | y = cos x |
| ODZ [-1; en] | ODZ [-1; en] |
| sin x = 0, for x = πk, hvor k ϵ Z | cos x = 0, for x = π/2 + πk, hvor k ϵ Z |
| sin x = 1, for x = π/2 + 2πk, hvor k ϵ Z | cos x = 1, for x = 2πk, hvor k ϵ Z |
| sin x = - 1, ved x = 3π/2 + 2πk, hvor k ϵ Z | cos x = - 1, for x = π + 2πk, hvor k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, dvs. oddetallsfunksjon | cos (-x) = cos x, dvs. funksjonen er partall |
| funksjonen er periodisk, den minste perioden er 2π | |
| sin x › 0, med x som tilhører kvartalene I og II eller fra 0° til 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, med x som tilhører kvartalene I og IV eller fra 270° til 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, med x som tilhører kvartalene III og IV eller fra 180° til 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, med x som tilhører kvartalene II og III eller fra 90° til 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| øker med intervallet [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | øker på intervallet [-π + 2πk, 2πk] |
| avtar på intervallene [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | avtar i intervaller |
| derivert (sin x)' = cos x | derivert (cos x)’ = - sin x |
Det er veldig enkelt å bestemme om en funksjon er partall eller ikke. Det er nok å forestille seg en trigonometrisk sirkel med tegn på trigonometriske mengder og mentalt "brette" grafen i forhold til OX-aksen. Hvis tegnene er de samme, er funksjonen partall, ellers er den oddetall.
Innføringen av radianer og oppregningen av hovedegenskapene til sinus- og cosinusbølgen tillater oss å bringe følgende mønster:
Det er veldig enkelt å verifisere riktigheten av formelen. For eksempel, for x = π/2, er sinus lik 1, det samme er cosinus til x = 0. Kontroll kan gjøres ved å se på tabeller eller ved å spore funksjonskurver for gitte verdier.
Egenskaper til tangentoid og cotangentoid
Grafene for tangent- og cotangensfunksjonene skiller seg betydelig fra sinus- og cosinusbølgen. Verdiene tg og ctg er omvendt til hverandre.
- Y = tgx.
- Tangenten har en tendens til verdiene til y ved x = π/2 + πk, men når dem aldri.
- Den minste positive perioden til tangentoiden er π.
- Tg (- x) \u003d - tg x, dvs. funksjonen er merkelig.
- Tg x = 0, for x = πk.
- Funksjonen øker.
- Tg x › 0, for x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, for x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Derivat (tg x)' = 1/cos 2 x .
Tenk på den grafiske representasjonen av cotangentoiden nedenfor i teksten.
Hovedegenskapene til cotangentoiden:
- Y = ctgx.
- I motsetning til sinus- og cosinusfunksjonene, kan Y i tangentoiden ta på seg verdiene til settet med alle reelle tall.
- Cotangentoiden har en tendens til verdiene til y ved x = πk, men når dem aldri.
- Den minste positive perioden til cotangentoiden er π.
- Ctg (- x) \u003d - ctg x, dvs. funksjonen er merkelig.
- Ctg x = 0, for x = π/2 + πk.
- Funksjonen er avtagende.
- Ctg x › 0, for x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, for x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Derivat (ctg x)' = - 1/sin 2 x Fix
Vi begynner studiet av trigonometri med en rettvinklet trekant. La oss definere hva sinus og cosinus er, samt tangenten og cotangensen til en spiss vinkel. Dette er det grunnleggende om trigonometri.
Husk det rett vinkel er en vinkel lik 90 grader. Med andre ord halvparten av det utfoldede hjørnet.
Skarpt hjørne- mindre enn 90 grader.
Stump vinkel- større enn 90 grader. I forhold til en slik vinkling er ikke "stump" en fornærmelse, men et matematisk begrep :-)
La oss tegne en rettvinklet trekant. En rett vinkel er vanligvis betegnet . Merk at siden motsatt hjørnet er merket med samme bokstav, bare liten. Så siden som ligger motsatt vinkelen A er angitt.
En vinkel er angitt med den tilsvarende greske bokstaven.
Hypotenus En rettvinklet trekant er siden motsatt den rette vinkelen.
Ben- sider motsatt skarpe hjørner.
Benet motsatt hjørnet kalles motsatte(i forhold til vinkel). Det andre benet, som ligger på den ene siden av hjørnet, kalles ved siden av.
Sinus spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen:
Cosinus spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:
Tangent spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende:
En annen (tilsvarende) definisjon: tangenten til en spiss vinkel er forholdet mellom sinusen til en vinkel og dens cosinus:
Cotangens spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom det tilstøtende benet og det motsatte (eller tilsvarende forholdet mellom cosinus og sinus):
Vær oppmerksom på de grunnleggende forholdene for sinus, cosinus, tangens og cotangens, som er gitt nedenfor. De vil være nyttige for oss for å løse problemer.
La oss bevise noen av dem.
Ok, vi har gitt definisjoner og skrevet formler. Men hvorfor trenger vi sinus, cosinus, tangens og cotangens?
Vi vet det summen av vinklene til en hvilken som helst trekant er.
Vi kjenner forholdet mellom fester høyre trekant. Dette er Pythagoras teorem: .
Det viser seg at når du kjenner to vinkler i en trekant, kan du finne den tredje. Når du kjenner to sider i en rettvinklet trekant, kan du finne den tredje. Så for vinkler - deres forhold, for sider - deres egne. Men hva skal jeg gjøre hvis en vinkel (bortsett fra en rett) og en side i en rettvinklet trekant er kjent, men du må finne andre sider?
Dette er hva folk møtte tidligere, og laget kart over området og stjernehimmelen. Det er tross alt ikke alltid mulig å måle alle sidene i en trekant direkte.
Sinus, cosinus og tangens – de kalles også trigonometriske funksjoner til vinkelen- gi forholdet mellom fester og hjørner triangel. Når du kjenner vinkelen, kan du finne alle trigonometriske funksjoner ved hjelp av spesielle tabeller. Og når du kjenner sinus, cosinus og tangens til vinklene til en trekant og en av sidene, kan du finne resten.
Vi vil også tegne en tabell med sinus-, cosinus-, tangens- og cotangensverdier for "gode" vinkler fra til.
Legg merke til de to røde strekene i tabellen. For de tilsvarende verdiene til vinklene eksisterer ikke tangens og cotangens.
La oss analysere flere problemer i trigonometri fra Bank of FIPI-oppgaver.
1. I en trekant er vinkelen , . Finn .
Problemet er løst på fire sekunder.
Fordi det , .
2. I en trekant er vinkelen , , . Finn .
La oss finne ved Pythagoras teorem.
Problem løst.
Ofte i oppgaver er det trekanter med vinkler og eller med vinkler og . Lær de grunnleggende forholdstallene for dem utenat!
For en trekant med vinkler og benet motsatt vinkelen på er lik halvparten av hypotenusen.
En trekant med vinkler og er likebenet. I den er hypotenusen ganger større enn benet.
Vi vurderte problemer for å løse rettvinklede trekanter - det vil si for å finne ukjente sider eller vinkler. Men det er ikke alt! I variantene av eksamen i matematikk er det mange oppgaver hvor sinus, cosinus, tangens eller cotangens til trekantens ytre vinkel vises. Mer om dette i neste artikkel.
Begrepene sinus (), cosinus (), tangens (), cotangens () er uløselig knyttet til begrepet vinkel. For å få en god forståelse av disse, ved første øyekast, komplekse konsepter (som forårsaker en tilstand av redsel hos mange skolebarn), og for å sikre at "djevelen ikke er så skummel som han er malt", la oss starte helt fra begynnelsen og forstå konseptet med en vinkel.
Vinkelbegrepet: radian, grad
La oss se på bildet. Vektoren "snudde" i forhold til punktet med en viss mengde. Så målet for denne rotasjonen i forhold til utgangsposisjonen vil være hjørne.
Hva annet trenger du å vite om begrepet vinkel? Vel, vinkelenheter, selvfølgelig!
Vinkel, både i geometri og trigonometri, kan måles i grader og radianer.
Vinkelen ved (én grad) er den sentrale vinkelen i sirkelen, basert på en sirkelbue lik delen av sirkelen. Dermed består hele sirkelen av "biter" av sirkelbuer, eller vinkelen som beskrives av sirkelen er lik.
Det vil si at figuren over viser en vinkel som er lik, det vil si at denne vinkelen er basert på en sirkelbue på størrelse med omkretsen.
En vinkel i radianer kalles den sentrale vinkelen i en sirkel, basert på en sirkelbue, hvis lengde er lik sirkelens radius. Vel, forsto du? Hvis ikke, så la oss se på bildet.
Så, figuren viser en vinkel lik en radian, det vil si at denne vinkelen er basert på en sirkelbue, hvis lengde er lik radiusen til sirkelen (lengden er lik lengden eller radiusen er lik lengden på buen). Dermed beregnes lengden på buen med formelen:
Hvor er den sentrale vinkelen i radianer.
Vel, når du vet dette, kan du svare på hvor mange radianer som inneholder en vinkel beskrevet av en sirkel? Ja, for dette må du huske formelen for omkretsen av en sirkel. Der er hun:
Vel, la oss nå korrelere disse to formlene og få at vinkelen beskrevet av sirkelen er lik. Det vil si å korrelere verdien i grader og radianer, vi får det. Henholdsvis. Som du kan se, i motsetning til "grader", er ordet "radian" utelatt, siden måleenheten vanligvis er tydelig fra konteksten.
Hvor mange radianer er det? Det er riktig!
Har det? Fest deretter fremover:
Noen vanskeligheter? Så se svar:
Rettvinklet trekant: sinus, cosinus, tangens, cotangens av en vinkel
Så, med konseptet med vinkelen funnet ut. Men hva er sinus, cosinus, tangens, cotangens til en vinkel? La oss finne ut av det. For dette vil en rettvinklet trekant hjelpe oss.
Hva kalles sidene i en rettvinklet trekant? Det stemmer, hypotenusen og bena: hypotenusen er siden som ligger motsatt den rette vinkelen (i vårt eksempel er dette siden); bena er de to gjenværende sidene og (de som er ved siden av den rette vinkelen), dessuten, hvis vi vurderer bena med hensyn til vinkelen, så er benet det tilstøtende benet, og benet er det motsatte. Så la oss nå svare på spørsmålet: hva er sinus, cosinus, tangent og cotangens til en vinkel?
Sinus av en vinkel er forholdet mellom motsatt (fjern) ben og hypotenusen.
i trekanten vår.
Cosinus av en vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.
i trekanten vår.
Vinkeltangens- dette er forholdet mellom det motsatte (fjerne) beinet til det tilstøtende (nære).
i trekanten vår.
Kotangens av en vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (langt).
i trekanten vår.
Disse definisjonene er nødvendige huske! For å gjøre det lettere å huske hvilket ben du skal dele med hva, må du tydelig forstå det i tangent og cotangens bare bena sitter, og hypotenusen vises bare i sinus og kosinus. Og så kan du komme opp med en kjede av assosiasjoner. For eksempel denne:
cosinus→berøring→berøring→tilstøtende;
Kotangens→berøring→berøring→tilstøtende.
Først av alt er det nødvendig å huske at sinus, cosinus, tangens og cotangens som forhold mellom sidene i en trekant ikke avhenger av lengdene på disse sidene (i en vinkel). Ikke stol på? Pass deretter på ved å se på bildet:
Tenk for eksempel på cosinus til en vinkel. Per definisjon, fra en trekant: , men vi kan beregne cosinus til en vinkel fra en trekant: . Du ser, lengdene på sidene er forskjellige, men verdien av cosinus til en vinkel er den samme. Dermed avhenger verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens utelukkende av størrelsen på vinkelen.
Hvis du forstår definisjonene, så fortsett og fiks dem!
For trekanten vist i figuren nedenfor finner vi.
Vel, fikk du det? Så prøv det selv: beregn det samme for hjørnet.
Enhetssirkel (trigonometrisk).
For å forstå begrepene grader og radianer, betraktet vi en sirkel med en radius lik. En slik sirkel kalles enkelt. Det er veldig nyttig i studiet av trigonometri. Derfor dveler vi litt mer detaljert ved det.
Som du kan se er denne sirkelen bygget i det kartesiske koordinatsystemet. Sirkelens radius er lik én, mens sentrum av sirkelen ligger ved origo, er startposisjonen til radiusvektoren fast langs den positive retningen til aksen (i vårt eksempel er dette radiusen).
Hvert punkt i sirkelen tilsvarer to tall: koordinaten langs aksen og koordinaten langs aksen. Hva er disse koordinattallene? Og generelt, hva har de med emnet å gjøre? For å gjøre dette, husk om den betraktede rettvinklede trekanten. I figuren over kan du se to hele rette trekanter. Tenk på en trekant. Den er rektangulær fordi den er vinkelrett på aksen.
Hva er lik fra en trekant? Det er riktig. I tillegg vet vi at det er radiusen til enhetssirkelen, og derfor . Bytt denne verdien inn i cosinusformelen vår. Her er hva som skjer:
Og hva er lik fra en trekant? Selvfølgelig, ! Bytt inn verdien av radiusen i denne formelen og få:
Så, kan du fortelle meg hva er koordinatene til et punkt som tilhører sirkelen? Vel, ingen måte? Og hvis du innser det og bare er tall? Hvilken koordinat tilsvarer det? Vel, selvfølgelig, koordinaten! Hvilken koordinat tilsvarer det? Det stemmer, koordinere! Dermed er poenget.
Og hva er da like og? Det stemmer, la oss bruke de passende definisjonene av tangent og cotangens og få det, en.
Hva om vinkelen er større? Her, for eksempel, som på dette bildet:
Hva har endret seg i dette eksemplet? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, vender vi igjen til en rettvinklet trekant. Tenk på en rettvinklet trekant: en vinkel (som ved siden av en vinkel). Hva er verdien av sinus, cosinus, tangens og cotangens til en vinkel? Det er riktig, vi holder oss til de tilsvarende definisjonene av trigonometriske funksjoner:
Vel, som du kan se, tilsvarer verdien av sinusen til vinkelen fortsatt koordinaten; verdien av vinkelens cosinus - koordinaten; og verdiene av tangent og cotangens til de tilsvarende forholdene. Dermed er disse relasjonene anvendelige for alle rotasjoner av radiusvektoren.
Det er allerede nevnt at startposisjonen til radiusvektoren er langs den positive retningen til aksen. Så langt har vi rotert denne vektoren mot klokken, men hva skjer hvis vi roterer den med klokken? Ikke noe ekstraordinært, du vil også få en vinkel av en viss størrelse, men bare den vil være negativ. Når vi roterer radiusvektoren mot klokken, får vi altså positive vinkler, og når du roterer med klokken - negativ.
Så vi vet at en hel omdreining av radiusvektoren rundt sirkelen er eller. Er det mulig å rotere radiusvektoren med eller ved? Vel, selvfølgelig kan du det! I det første tilfellet vil derfor radiusvektoren gjøre en hel omdreining og stoppe ved posisjon eller.
I det andre tilfellet, det vil si at radiusvektoren vil gjøre tre hele omdreininger og stoppe ved posisjon eller.
Fra eksemplene ovenfor kan vi derfor konkludere med at vinkler som er forskjellige med eller (hvor er et heltall) tilsvarer den samme posisjonen til radiusvektoren.
Figuren under viser en vinkel. Det samme bildet tilsvarer hjørnet, og så videre. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse vinklene kan skrives med den generelle formelen eller (hvor er et heltall)
Nå, når du kjenner definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene og bruker enhetssirkelen, prøv å svare på hva verdiene er lik:
Her er en enhetssirkel for å hjelpe deg:
Noen vanskeligheter? Så la oss finne ut av det. Så vi vet at:
Herfra bestemmer vi koordinatene til punktene som tilsvarer visse mål på vinkelen. Vel, la oss starte i rekkefølge: hjørnet ved tilsvarer et punkt med koordinater, derfor:
Eksisterer ikke;
Videre, ved å følge den samme logikken, finner vi ut at hjørnene i samsvarer med henholdsvis punkter med koordinater. Når du vet dette, er det lett å bestemme verdiene til trigonometriske funksjoner på de tilsvarende punktene. Prøv selv først, og sjekk deretter svarene.
Svar:
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Dermed kan vi lage følgende tabell:
Det er ikke nødvendig å huske alle disse verdiene. Det er nok å huske korrespondansen mellom koordinatene til punktene på enhetssirkelen og verdiene til trigonometriske funksjoner:
Men verdiene for de trigonometriske funksjonene til vinklene i og gitt i tabellen nedenfor, må huskes:
Ikke vær redd, nå skal vi vise et av eksemplene ganske enkel memorering av de tilsvarende verdiene:
For å bruke denne metoden er det viktig å huske verdiene til sinusen for alle tre målene på vinkelen (), samt verdien av tangenten til vinkelen i. Når du kjenner disse verdiene, er det ganske enkelt å gjenopprette hele tabellen - cosinusverdiene overføres i samsvar med pilene, det vil si:
Når du vet dette, kan du gjenopprette verdiene for. Telleren " " vil matche og nevneren " " vil matche. Kotangensverdier overføres i samsvar med pilene vist på figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med piler, vil det være nok å huske hele verdien fra tabellen.
Koordinater til et punkt på en sirkel
Er det mulig å finne et punkt (dets koordinater) på en sirkel, kjenne koordinatene til sirkelens sentrum, radius og rotasjonsvinkel?
Vel, selvfølgelig kan du det! La oss ta frem generell formel for å finne koordinatene til et punkt.
Her har vi for eksempel en slik sirkel:
Vi er gitt at punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere punktet i grader.
Som det fremgår av figuren, tilsvarer koordinaten til punktet lengden på segmentet. Lengden på segmentet tilsvarer koordinaten til sentrum av sirkelen, det vil si at den er lik. Lengden på et segment kan uttrykkes ved å bruke definisjonen av cosinus:
Så har vi det for punktet koordinaten.
Med samme logikk finner vi verdien av y-koordinaten for punktet. På denne måten,
Så generelt sett bestemmes koordinatene til punktene av formlene:
Sirkelsenterkoordinater,
sirkelradius,
Rotasjonsvinkelen til radiusvektoren.
Som du kan se, for enhetssirkelen vi vurderer, er disse formlene betydelig redusert, siden koordinatene til sentrum er null, og radiusen er lik en:
Vel, la oss prøve disse formlene for en smak, og øve på å finne punkter på en sirkel?
1. Finn koordinatene til et punkt på en enhetssirkel oppnådd ved å slå på et punkt.
2. Finn koordinatene til et punkt på en enhetssirkel oppnådd ved å rotere et punkt på.
3. Finn koordinatene til et punkt på en enhetssirkel oppnådd ved å slå på et punkt.
4. Punkt - midten av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.
5. Punkt - midten av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.
Har du problemer med å finne koordinatene til et punkt på en sirkel?
Løs disse fem eksemplene (eller forstå løsningen godt) og du vil lære hvordan du finner dem!
1.
Det kan sees. Og vi vet hva som tilsvarer en hel vending av utgangspunktet. Dermed vil ønsket punkt være i samme posisjon som når du svinger til. Når vi vet dette, finner vi de ønskede koordinatene til punktet:
2. Sirkelen er enhet med et senter i et punkt, noe som betyr at vi kan bruke forenklede formler:
Det kan sees. Vi vet hva som tilsvarer to hele rotasjoner av utgangspunktet. Dermed vil ønsket punkt være i samme posisjon som når du svinger til. Når vi vet dette, finner vi de ønskede koordinatene til punktet:
Sinus og cosinus er tabellverdier. Vi husker verdiene deres og får:
Dermed har ønsket punkt koordinater.
3. Sirkelen er enhet med et senter i et punkt, noe som betyr at vi kan bruke forenklede formler:
Det kan sees. La oss skildre det vurderte eksemplet i figuren:
Radius gjør vinkler med aksen lik og. Når vi vet at tabellverdiene til cosinus og sinus er like, og etter å ha bestemt at cosinus her tar en negativ verdi, og sinus er positiv, har vi:
Lignende eksempler analyseres mer detaljert når man studerer formlene for å redusere trigonometriske funksjoner i emnet.
Dermed har ønsket punkt koordinater.
4.
Rotasjonsvinkelen til radiusvektoren (etter tilstand)
For å bestemme de tilsvarende tegnene på sinus og cosinus, konstruerer vi en enhetssirkel og en vinkel:
Som du kan se, er verdien, det vil si, positiv, og verdien, det vil si, er negativ. Når vi kjenner tabellverdiene til de tilsvarende trigonometriske funksjonene, får vi at:
La oss erstatte de oppnådde verdiene i formelen vår og finne koordinatene:
Dermed har ønsket punkt koordinater.
5. For å løse dette problemet bruker vi formler i generell form, hvor
Koordinatene til sentrum av sirkelen (i vårt eksempel,
Sirkelradius (etter tilstand)
Rotasjonsvinkel for radiusvektoren (etter tilstand).
Bytt inn alle verdiene i formelen og få:
og - tabellverdier. Vi husker og erstatter dem med formelen:
Dermed har ønsket punkt koordinater.
SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMEL
Sinusen til en vinkel er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og hypotenusen.
Cosinus av en vinkel er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.
Tangensen til en vinkel er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og det tilstøtende (nære).
Kotangensen til en vinkel er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (langt).
På det femte århundre f.Kr. formulerte den antikke greske filosofen Zeno av Elea sine berømte aporier, den mest kjente av disse er aporien "Akilles og skilpadden". Slik høres det ut:La oss si at Akilles løper ti ganger raskere enn skilpadden og er tusen skritt bak den. I løpet av tiden Akilles løper denne distansen, kryper skilpadden hundre skritt i samme retning. Når Akilles har løpt hundre skritt, vil skilpadden krype ytterligere ti skritt, og så videre. Prosessen vil fortsette i det uendelige, Akilles vil aldri ta igjen skilpadden.
Dette resonnementet ble et logisk sjokk for alle påfølgende generasjoner. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alle av dem betraktet på en eller annen måte Zenons aporier. Sjokket var så sterkt at " ... diskusjoner fortsetter på det nåværende tidspunkt, det vitenskapelige samfunnet har ennå ikke klart å komme til en felles mening om essensen av paradokser ... matematisk analyse, settteori, nye fysiske og filosofiske tilnærminger var involvert i studiet av problemet ; ingen av dem ble en universelt akseptert løsning på problemet ..."[Wikipedia," Zenos Aporias "]. Alle forstår at de blir lurt, men ingen forstår hva bedraget er.
Fra et matematisk synspunkt demonstrerte Zeno i sin aporia tydelig overgangen fra verdien til. Denne overgangen innebærer å bruke i stedet for konstanter. Så vidt jeg forstår, er det matematiske apparatet for å bruke variable måleenheter enten ikke utviklet ennå, eller det har ikke blitt brukt på Zenos aporia. Anvendelsen av vår vanlige logikk fører oss inn i en felle. Vi, ved tenkingens treghet, bruker konstante tidsenheter på det gjensidige. Fra et fysisk synspunkt ser det ut som om tiden går langsommere til å stoppe helt i det øyeblikket Akilles tar igjen skilpadden. Hvis tiden stopper, kan ikke Akilles lenger innhente skilpadden.
Om vi snur logikken vi er vant til, faller alt på plass. Akilles løper med konstant hastighet. Hvert påfølgende segment av banen er ti ganger kortere enn den forrige. Følgelig er tiden brukt på å overvinne den ti ganger mindre enn den forrige. Hvis vi bruker begrepet "uendelighet" i denne situasjonen, så ville det være riktig å si "Akilles vil uendelig raskt overta skilpadden."
Hvordan unngå denne logiske fellen? Forbli i konstante tidsenheter og ikke bytt til gjensidige verdier. På Zenos språk ser det slik ut:
På tiden det tar Akilles å løpe tusen skritt, kryper skilpadden hundre skritt i samme retning. I løpet av neste tidsintervall, lik det første, vil Akilles løpe ytterligere tusen skritt, og skilpadden vil krype hundre skritt. Nå er Achilles åtte hundre skritt foran skilpadden.
Denne tilnærmingen beskriver virkeligheten tilstrekkelig uten noen logiske paradokser. Men dette er ikke en fullstendig løsning på problemet. Einsteins utsagn om lyshastighetens uoverkommelighet er veldig lik Zenos aporia «Akilles og skilpadden». Vi har ennå ikke studert, revurdert og løst dette problemet. Og løsningen må søkes ikke i uendelig store antall, men i måleenheter.
En annen interessant aporia av Zeno forteller om en flygende pil:
En flygende pil er ubevegelig, siden den i hvert øyeblikk er i ro, og siden den er i ro i hvert øyeblikk av tiden, er den alltid i ro.
I denne aporiaen overvinnes det logiske paradokset veldig enkelt - det er nok til å klargjøre at den flygende pilen i hvert øyeblikk hviler på forskjellige punkter i rommet, som faktisk er bevegelse. Det er et annet poeng å merke seg her. Fra ett fotografi av en bil på veien er det umulig å fastslå verken bevegelsen eller avstanden til den. For å fastslå bevegelsen til bilen er det nødvendig med to bilder tatt fra samme punkt på forskjellige tidspunkter, men de kan ikke brukes til å bestemme avstanden. For å bestemme avstanden til bilen trenger du to fotografier tatt fra forskjellige punkter i rommet samtidig, men du kan ikke bestemme bevegelsen fra dem (naturligvis trenger du fortsatt ytterligere data for beregninger, trigonometri vil hjelpe deg). Det jeg spesielt vil påpeke er at to punkter i tid og to punkter i rom er to forskjellige ting som ikke bør forveksles da de gir ulike muligheter for utforskning.
onsdag 4. juli 2018
Veldig bra er forskjellene mellom sett og multisett beskrevet i Wikipedia. Vi ser.
Som du ser kan "settet ikke ha to identiske elementer", men hvis det er identiske elementer i settet, kalles et slikt sett et "multiset". Fornuftige vesener vil aldri forstå en slik absurditetslogikk. Dette er nivået av snakkende papegøyer og trente aper, der sinnet er fraværende fra ordet "helt." Matematikere fungerer som vanlige trenere og forkynner sine absurde ideer for oss.
En gang i tiden var ingeniørene som bygde brua i en båt under brua under testene av brua. Hvis broen kollapset, døde den middelmådige ingeniøren under ruinene av sin skapelse. Hvis broen tålte belastningen, bygde den dyktige ingeniøren andre broer.
Uansett hvordan matematikere gjemmer seg bak frasen «pass på, jeg er i huset», eller rettere sagt «matematikk studerer abstrakte begreper», er det én navlestreng som uløselig forbinder dem med virkeligheten. Denne navlestrengen er penger. La oss anvende matematisk settteori på matematikere selv.
Vi studerte matematikk veldig bra, og nå sitter vi ved kassen og betaler lønn. Her kommer en matematiker til oss for pengene sine. Vi teller hele beløpet til ham og legger det ut på bordet vårt i forskjellige hauger, der vi legger sedler av samme valør. Så tar vi en regning fra hver bunke og gir matematikeren hans "matematiske lønnssett". Vi forklarer matematikken at han vil motta resten av regningene først når han beviser at mengden uten identiske elementer ikke er lik settet med identiske elementer. Det er her moroa begynner.
Først av alt vil varamedlemmenes logikk fungere: "du kan bruke det på andre, men ikke på meg!" Videre vil forsikringer begynne om at det er forskjellige seddelnummer på sedler med samme valør, noe som betyr at de ikke kan anses som identiske elementer. Vel, vi teller lønnen i mynter - det er ingen tall på myntene. Her vil matematikeren febrilsk huske fysikk: forskjellige mynter har forskjellige mengder skitt, krystallstrukturen og arrangementet av atomer for hver mynt er unik ...
Og nå har jeg det mest interessante spørsmålet: hvor går grensen utenfor hvilke elementer i et multisett blir til elementer i et sett og omvendt? En slik linje eksisterer ikke - alt bestemmes av sjamaner, vitenskapen her er ikke engang i nærheten.
Se her. Vi velger fotballstadioner med samme feltareal. Arealet av feltene er det samme, noe som betyr at vi har et multisett. Men hvis vi vurderer navnene på de samme stadionene, får vi mye, fordi navnene er forskjellige. Som du kan se, er det samme settet med elementer både et sett og et multisett på samme tid. Hvor riktig? Og her tar matematikeren-sjaman-shulleren frem et trumf-ess fra ermet og begynner å fortelle oss enten om et sett eller et multisett. Uansett vil han overbevise oss om at han har rett.
For å forstå hvordan moderne sjamaner opererer med settteori og knytter den til virkeligheten, er det nok å svare på ett spørsmål: hvordan skiller elementene i ett sett fra elementene i et annet sett? Jeg vil vise deg, uten noen "tenkelig som ikke en enkelt helhet" eller "ikke tenkelig som en enkelt helhet."
Søndag 18. mars 2018
Summen av sifrene til et tall er en dans av sjamaner med en tamburin, som ikke har noe med matematikk å gjøre. Ja, i matematikktimene blir vi lært opp til å finne summen av sifrene til et tall og bruke det, men de er sjamaner for det, for å lære etterkommerne deres ferdigheter og visdom, ellers vil sjamanene ganske enkelt dø ut.
Trenger du bevis? Åpne Wikipedia og prøv å finne siden "Sum av siffer av et tall". Hun finnes ikke. Det er ingen formel i matematikk som du kan finne summen av sifrene til et hvilket som helst tall. Tross alt er tall grafiske symboler som vi skriver tall med, og på matematikkspråket høres oppgaven slik ut: «Finn summen av grafiske symboler som representerer et hvilket som helst tall». Matematikere kan ikke løse dette problemet, men sjamaner kan gjøre det elementært.
La oss finne ut hva og hvordan vi gjør for å finne summen av sifrene til et gitt tall. Og så, la oss si at vi har tallet 12345. Hva må gjøres for å finne summen av sifrene til dette tallet? La oss vurdere alle trinnene i rekkefølge.
1. Skriv ned tallet på et papir. Hva har vi gjort? Vi har konvertert tallet til et tallgrafisk symbol. Dette er ikke en matematisk operasjon.
2. Vi kuttet ett mottatt bilde i flere bilder som inneholder separate tall. Å kutte et bilde er ikke en matematisk operasjon.
3. Konverter individuelle grafiske tegn til tall. Dette er ikke en matematisk operasjon.
4. Legg sammen de resulterende tallene. Nå er det matematikk.
Summen av sifrene til tallet 12345 er 15. Dette er "skjære- og sykursene" fra sjamaner brukt av matematikere. Men det er ikke alt.
Fra et matematisk synspunkt spiller det ingen rolle i hvilket tallsystem vi skriver tallet. Så, i forskjellige tallsystemer vil summen av sifrene til samme tall være forskjellig. I matematikk er tallsystemet angitt som et abonnent til høyre for tallet. Med et stort antall på 12345, vil jeg ikke lure hodet mitt, tenk på tallet 26 fra artikkelen om. La oss skrive dette tallet i binære, oktale, desimale og heksadesimale tallsystemer. Vi vil ikke vurdere hvert trinn under et mikroskop, det har vi allerede gjort. La oss se på resultatet.
Som du kan se, i forskjellige tallsystemer er summen av sifrene til samme tall forskjellig. Dette resultatet har ingenting med matematikk å gjøre. Det er som å finne arealet til et rektangel i meter og centimeter vil gi deg helt andre resultater.
Null i alle tallsystemer ser likt ut og har ingen tallsum. Dette er et annet argument for det faktum at . Et spørsmål til matematikere: hvordan betegnes det i matematikk som ikke er et tall? Hva, for matematikere, finnes det ikke annet enn tall? For sjamaner kan jeg tillate dette, men for forskere, nei. Virkeligheten handler ikke bare om tall.
Resultatet som oppnås bør betraktes som bevis på at tallsystemer er måleenheter for tall. Vi kan tross alt ikke sammenligne tall med ulike måleenheter. Hvis de samme handlingene med forskjellige måleenheter av samme mengde fører til forskjellige resultater etter å ha sammenlignet dem, har dette ingenting med matematikk å gjøre.
Hva er ekte matematikk? Dette er når resultatet av en matematisk handling ikke er avhengig av verdien av tallet, måleenheten som brukes, og hvem som utfører denne handlingen.
Au! Er ikke dette dametoalettet?
- Ung kvinne! Dette er et laboratorium for å studere sjelenes ubestemte hellighet ved oppstigning til himmelen! Nimbus på toppen og pil opp. Hvilket annet toalett?
Kvinne... En glorie på toppen og en pil ned er hann.
Hvis du har et slikt designverk som blinker foran øynene dine flere ganger om dagen,
Da er det ikke overraskende at du plutselig finner et merkelig ikon i bilen din:
Personlig anstrenger jeg meg for å se minus fire grader hos en som bæser (ett bilde) (sammensetning av flere bilder: minustegn, nummer fire, gradersbetegnelse). Og jeg anser ikke denne jenta som en tosk som ikke kan fysikk. Hun har bare en bue stereotyp oppfatning av grafiske bilder. Og matematikere lærer oss dette hele tiden. Her er et eksempel.
1A er ikke "minus fire grader" eller "en a". Dette er "bajsende mann" eller tallet "tjueseks" i det heksadesimale tallsystemet. De menneskene som hele tiden jobber i dette tallsystemet, oppfatter automatisk tallet og bokstaven som ett grafisk symbol.
Onkel Vanya handlingen i stykket. "Onkel Ivan. Holdning til andres professor
Lille Tsakhes, med kallenavnet Zinnober
Maikov, Apollon Nikolaevich - kort biografi