Konseptet med en attraktor. merkelige attraksjoner

Systemtilnærming i geografi: fremvekst og strukturell isomorfisme.

Emergence (eng. emergence - fremveksten, fremveksten av en ny) i systemteori - tilstedeværelsen av ethvert system av spesielle egenskaper som ikke er iboende i dets undersystemer og blokker, samt summen av elementer som ikke er forbundet med spesielle systemdannende lenker; irreduserbarhet av egenskapene til systemet til summen av egenskapene til komponentene; synonym - "systemisk effekt".

I biologi og økologi kan begrepet fremvekst uttrykkes som følger: ett tre er ikke en skog, en opphopning av individuelle celler er ikke en organisme. Egenskapene til en biologisk art eller biologisk populasjon representerer for eksempel ikke egenskapene til enkeltindivider, begrepene fruktbarhet, dødelighet er ikke anvendelige for et individ, men gjelder for en populasjon eller art som helhet.

I evolusjonisme uttrykkes det som fremveksten av nye funksjonelle enheter i systemet, som ikke er redusert til enkle permutasjoner av allerede eksisterende elementer.

I jordvitenskap: den fremvoksende egenskapen til jord er fruktbarhet.

I klassifiseringen av systemer kan fremvekst være grunnlaget for deres systematikk som en kriterieattributt for systemet.

ideene om strukturell isomorfisme - strukturens identitet uten identiteten til innholdselementene - som ble utbredt i geografien på slutten av 60-tallet - begynnelsen av 70-tallet. Det 20. århundre på bakgrunn av den seirende prosesjonen av en systematisk tilnærming. Muligheten for å bruke det samme konseptuelle og matematiske apparatet, for eksempel for å beskrive buktningen av en elv og en endring i linjeføringen til en føderal motorvei i USA (i siste tilfelle Også, det er et gjennombrudd av særegne elvebredder, som oppsto på grunn av de mye høyere kostnadene for land nær den eksisterende motorveien - se boken av V. Bunge) er veldig nyttig i praktiske termer og attraktiv i teoretiske termer.

En av nøkkelideene publisert i 1962. W. Bunges bok "Theoretical Geography" (russisk oversettelse utgitt i 1967), var nettopp ideen om strukturell isomorfisme, forstått som identiteten til måtene romlig organisering geografiske fenomener av den mest mangfoldige karakter, studert både av fysisk geografi og sosioøkonomisk. Bunge lånte dristig ideer fra geomorfologi og brukte dem på beskrivelsen av sosio-geografiske fenomener. Det har blitt en læreboksammenligning av elvens buktning og endringen i ruten til den føderale motorveien, som også er tvunget til å overvinne "elvevollene" høye priser til bakken.

De vanligste modellene av denne typen bør betraktes som gravitasjons- og entropimodeller.Modellene utviklet innenfor rammen av teorien om diffusjon av innovasjoner grenser til sistnevnte. Alle disse modellene er lån fra ulike grener av fysikken - det være seg klassisk mekanikk eller termodynamikk - for å bruke det matematiske apparatet, for eksempel til å modellere passasjerstrømmer mellom byer avhengig av deres demografiske masse. Det er klart at bruken av slike modeller krever deres kalibrering - valget av konstante verdier basert på det mest omfattende empiriske materialet, og deres prediktive verdi på grunn av denne omstendigheten er ikke ubetinget.

Konseptet med en attraktor. merkelige attraksjoner.

Attraktor (engelsk tiltrekke - tiltrekke, tiltrekke) - et sett med tilstander (mer presist - punkter i faserommet) til et dynamisk system, som det har en tendens til over tid. Så de enkleste variantene av attraktoren er et attraktivt fast punkt (for eksempel i problemet med en pendel med friksjon mot luft) og en periodisk bane (et eksempel er selveksiterte oscillasjoner i en positiv tilbakemeldingssløyfe), men det er også mye mer komplekse eksempler.

Det er ulike formaliseringer av begrepet aspirasjon, som fører til ulike definisjoner attraktor, som definerer henholdsvis potensielt forskjellige sett (ofte nestet inn i hverandre). De mest brukte definisjonene er den maksimale tiltrekkeren (ofte i det lille nabolaget, se nedenfor), Milnor-attraktoren og det ikke-vandrende settet.

Tiltrekkere er klassifisert i henhold til:

Formaliseringer av forestillingen om aspirasjon: man skiller mellom den maksimale attraktoren, det ikke-vandrende settet, Milnor-attraksjonen, Birkhoff-senteret, den statistiske og minimumsattraksjonen.

Regelmessigheter for selve attraktoren: attraktorer er delt inn i vanlige (tiltrekke fast punkt, tiltrekke periodisk bane, manifold) og merkelige (uregelmessige - ofte fraktale og/eller i en eller annen seksjon arrangert som et Cantor-sett; dynamikken på dem er vanligvis kaotisk).

Lokalitet ("attraherende sett") og globalitet (her - begrepet "minimal" i betydningen "udelelig").

Den synergetiske revolusjonen førte til dyptgripende endringer i det vitenskapelige verdensbildet, først og fremst til konstitusjonen av den finalistiske (teleologiske) forklaringen som lik den kausale (årsaksmessige), som bare eksisterte i vitenskapen før etableringen av kvantemekanikk. Imidlertid påvirket sammenbruddet av kausalitet bare fenomenene i mikrokosmos, en region uendelig langt fra vårt. Hverdagen. Den synergetiske revolusjonen har ført til utvidelsen av finalistforklaringen til studiet av visse fenomener i mesoverdenen, dvs. verden vi lever i og som er tilgjengelig for vår daglige opplevelse. Samtidig er det veldig vanskelig for oss å venne oss til ideen om at forløpet til noen prosesser ikke bestemmes av startforholdene, dvs. årsak, men slutttilstanden de streber etter. Denne endelige tilstanden kalles i synergetikk en attraktor - prosessens attraksjonsområde.

En aktiv diskusjon av finalistideene som kom fra biologi og kosmologi gjorde det mulig å endre det intellektuelle klimaet i geografien, å rokke ved synet på årsaksforklaringen som den eneste mulige i vitenskapen generelt og i geografien spesielt. Denne endringen i det intellektuelle klimaet banet vei for penetrasjon av ideer om synergetikk, inkludert ideer om attraktoren - prosessens attraksjonsområde. Tilbake på 60-tallet av det tjuende århundre. ideen om konfinalitet (equifinality) i utviklingen av gigantiske byer har blitt utbredt - disse byene viser usammenlignelig flere likheter med hverandre enn de små og mellomstore byene de vokste fra. En analyse av utviklingen av transportnettverk ved bruk av grafteoretiske metoder eller en analyse av utviklingen av urbane bosetningssystemer ved bruk av teorien om sentrale steder er også eksempler på problemer i nettopp den klassen hvor de mest fruktbare ideene om prosessens bestemmelse av prosessen. slutttilstand, og ikke startbetingelsene, om ønsket om en attraktor, som er et ideelt objekt for vitenskapelig teori. Og hvis attraktoren er uoppnåelig, betyr ikke dette i det hele tatt at den ikke eksisterer.

Betydningen for geografi av teoretiske konstruksjoner som en potensiell form som bestemmer utviklingsretningen til enkeltorganismer og utviklingen av biologiske arter, eller den endelige symmetrien er veldig stor og den har ikke gått upåaktet hen. Analogien med katalogen over former for stabil territoriell organisering av stater, som faktisk ble utviklet av V.P. Semenov-Tyan-Shansky, og tidligere enn L.S. Berg publiserte sitt berømte verk om nomogenese, er så åpenbar at den ikke krever ytterligere argumentasjon. Stopp på mindre åpenbare ideer. For det første er dette ideene om konfinalitet (equifinality) i utviklingen av gigantiske byer, fremsatt av P. Hagget tilbake på 60-tallet. Byer av denne klassen viser en uforlignelig større likhet med hverandre enn de små byene de har vokst fra. De samme trendene kan sees i utviklingen av bysystemer. Systemer av sentrale steder (byen forstås som et sentralt sted fordi den tjener ikke bare befolkningen, men også befolkningen i sonen, jo høyere nivået av hierarki den tilhører) streber også i utviklingen til en viss likevektstilstand, den såkalte . isostatisk likevekt, som fungerer i forhold til dem som en attraktor - tiltrekningsområdet for prosessen

Et eksempel på en ekstremt fruktbar anvendelse av både apparatet for ikke-lineær dynamikk og dets ideologiske prinsipper var utviklingen av den fenomenologiske teorien om veksten av jordens befolkning av S.P. Kapitsa, som tillater å lage både prospektive og retrospektive prognoser og ble vellykket sammenlignet med empiriske virkeligheten ved hjelp av sistnevnte. Den viktigste konklusjonen med tanke på verdensbilde er at veksten av jordens befolkning aldri har blitt regulert av handlingen eksterne faktorer, men alltid ved ukjente interne regelmessigheter. Denne posisjonen ble formalisert av skaperen av teorien som prinsippet om demografisk imperativ.

Den grunnleggende vanskeligheten ligger i det faktum at alle teoriene vi har i vårt arsenal er utviklet for å beskrive prosesser i et "økonomisk" samfunn, basert på en urokkelig tro på økonomisk likevekt som en tiltrekker av alle prosesser som skjer i økonomien, og vi har en tendens til å betrakte sosiale katastrofer som ytre forstyrrelser som fører bort systemet fra en tilstand av likevekt, som det fortsatt streber etter å vende tilbake til ved første anledning. I mellomtiden, selv i økonomien selv, sprer tvil om økonomisk likevekt som den "naturlige" eller "normale" økonomien seg mer og mer bredt. De kommer spesielt til uttrykk ved innflytelsesrik økonom og en sosiolog som M.Castells. Hans tese er at i informasjonssamfunnet (med andre ord «post-økonomiske») har økonomiske prosesser ikke bare en annen natur, men også en annen retning. Etter hans mening, den territorielle organisasjonen informasjonssamfunnet, herunder organiseringen av bosettingen, vil gjennomgå de vesentligste endringene i forhold til industrisamfunnet.

Som et resultat vil geografer måtte takle uforlignelig mer komplekse problemer enn de de har støtt på før: å lete etter ikke bare tiltrekkere, dvs. attraksjonsområder for prosessene som studeres, og merkelige attraksjoner, som er komplekse ikke-periodiske løsninger. En slik oppgave kan vanskelig løses ved innsats fra geografer selv, uten samarbeid med fysikere og matematikere, i hvert fall før en generasjon geografer vokser opp, som fra elevbenken vil mestre synergetikkens matematiske apparat. Vår oppgave er å skape konseptuelle grunnlag for slikt samarbeid, etter å ha utviklet operasjonsteorier som gjør det mulig å anvende på deres utvikling, først det konseptuelle og deretter det matematiske apparatet til synergetikk.

I sek. Avsnitt 5.1 i dette kapittelet vil vise at ikke-lineære dissipative dynamiske systemer naturlig fører til begrepet en merkelig attraktor. Deretter (avsnitt 5.2) introduseres Kolmogorov-entropien som et funksjonelt mål på kaotisk bevegelse, hvoretter (avsnitt 5.3) problemet med mengden informasjon som kan oppnås fra det målte tilfeldige signalet vurderes.

I sek. 5.4 diskuterer utseendet til en merkelig attraktor i Ruelle-Takens-Newhouse-modellen som beskriver overgangen til turbulens (i tid) og gir en eksperimentell bekreftelse på denne modellen. Den neste delen inneholder en renormaliseringsgruppetolkning av denne modellen for overgang til kaos. Kapittel slutter kritisk anmeldelse ulike overgangsscenarier og et sett med tegninger av merkelige attraktorer og deres fraktale grenser.

5.1. Introduksjon og definisjon av merkelige attraksjoner

I denne delen tar vi for oss dissipative systemer beskrevet av strømmer eller kartlegginger. La oss først vurdere dissipative strømmer beskrevet av et autonomt system av førsteordens differensialligninger:

Her betyr begrepet "dissipativ" at et elementært volum V, vilkårlig valgt i faserommet, avgrenset av overflaten S, komprimeres. Overflaten S utvikler seg på en slik måte at hvert av punktene beveger seg langs banen definert av (5.1). Derfor, ved divergensteoremet:

og deretter, per definisjon, systemer med

Et eksempel på denne typen flyt er Lorentz-modellen:

for hvilken av

dvs. det elementære volumet komprimeres eksponentielt i tid

Hvis vi tar i betraktning banen generert av likningene til Lorentz-modellen ved (fig. 58), viser det seg at a) den tiltrekkes til et begrenset område i faserommet; b) dens bevegelse er vandrende, det vil si at banen gjør en sving til høyre, deretter flere svinger til venstre, så til høyre, banen er veldig følsom for små endringer i startforholdene, dvs. hvis i stedet for forholdene ( 0; 0,01; 0) vi tar nære forhold, den nye løsningen vil snart avvike fra den forrige og antall svinger vil være annerledes. På fig. 59 viser en graf over avhengigheten av maksimumet til en variabel av. Den resulterende visningen er tilnærmet trekantet, som tilsvarer, ifølge kap. 2, kaotisk sekvens

Ris. 58. Databerelagt Lorenz-attraktor (Lanford, 1977).

Ris. 59. Suksessive maksima for variabelen Z til Lorenz-attraktoren (Lorenz, 1963).

For å oppsummere: banen er følsom for endringer i startforholdene; kaotisk; er tiltrukket av et begrenset område i faserom; volumet av denne regionen (i henhold til (5.4)) har en tendens til null. Dette betyr at strømmen til det tredimensjonale Lorentz-systemet genererer et sett med punkter hvis dimensjon er mindre enn 3, dvs. volumet i det tredimensjonale rommet er 0. Ved første øyekast kan man tilordne det neste heltall, men lavere dimensjon - 2. Dette motsier imidlertid teoremet Poincaré - Bendixson, som sier at en kaotisk flyt ikke kan eksistere i et begrenset område med todimensjonalt rom. La oss for eksempel referere til et strengt bevis på denne teoremet i monografien (Hirsch og Smale, 1965). Ris. 60 viser at kontinuiteten til strømlinjene og det faktum at strømlinjen deler planet i to deler begrenser banen så sterkt at grensesykluser og faste punkter er de eneste mulige attraksjonene i det begrensede området. Løsningen på dette problemet ligger i det faktum at settet med punkter som banen i Lorentz-systemet tiltrekkes til (den såkalte Lorentz-attraktoren) har en Hausdorff-dimensjon ikke av et heltall, men mellom 2 og 3 (den eksakte verdien av dette fører naturlig til begrepet en merkelig attraktor, som vises i ulike fysiske ikke-lineære systemer.

merkelig tiltrekker har følgende egenskaper (en formell definisjon finnes i oversiktsartikler (Eckmann, 1981; Ruelle, 1980):

a) den er en attraktor, dvs. den okkuperer et begrenset område av faserommet som, etter en lang

Ris. 60. Selvfangst av en strømlinje i et begrenset område på et fly. Den eksponentielle divergensen til baner motsier kontinuitet (merk pilenes motsatte retninger).

tidsintervall tiltrekkes alle tilstrekkelig nære baner fra den såkalte attraksjonsregionen. Legg merke til at attraksjonsområdet kan ha en svært kompleks struktur (se fig. avsnitt 5.7). I tillegg består selve attraktoren så å si av én bane, det vil si at banen må passere gjennom hvert punkt i attraktoren over tid. Settet med isolerte faste punkter er ikke en enkelt attraktor;

b) egenskapen som gjør attraktoren merkelig er dens følsomhet for startforhold, dvs. til tross for komprimering i volum, er det ingen reduksjon i lengde i alle retninger og avstandene mellom opprinnelig vilkårlig nære punkter på attraktoren blir begrenset etter tilstrekkelig lang tid . Som det vil bli vist i neste avsnitt, fører dette til en positiv Kolmogorov-entropi;

c) for å beskrive et fysisk system, må attraktoren være strukturelt stabil og typisk. Små endringer i parameteren i F (se (5.1)) endrer med andre ord strukturen til attraktoren kontinuerlig (nedenfor vil vi karakterisere strukturen mer detaljert; nå mener vi for eksempel Hausdorff-dimensjonen til attraktoren) og settet med parametere som (5.1) genererer merkelig attraktor for, bør ikke være et sett med mål 0 - ellers er attraktoren ikke typisk og fysisk signifikant.

Alle de merkelige attraksjonene som er oppdaget så langt har en brøkdel av Hausdorff-dimensjonen. Siden det ikke finnes noen generelt akseptert formell definisjon av en merkelig attraktor (Ruelle, 1980; Mandelbrot, 1982), er det ennå ikke klart om brøkdelen av Hausdorff-dimensjonen alltid følger av egenskapene "a" - "b" eller er i tillegg nødvendig for en merkelig attraksjon.

Vanligvis oppstår en merkelig attraktor når en fasestrøm komprimerer et elementært volum i noen retninger og strekker det i andre. For å holde seg innenfor det avgrensede området øker elementvolumet samtidig. Denne prosessen med strekking og folding genererer en kaotisk bevegelse av banen på den merkelige attraktoren, akkurat som det var i tilfellet med stykkevis lineære avbildninger (kapittel 2).

Siden definisjonen ovenfor beskriver egenskapene til et sett med punkter, er begrepet en merkelig attraktor ikke begrenset til strømmer: dissipative kartlegginger kan også generere rare attraktorer. Vise

kalles dissipativ hvis det fører til volumkontraksjon i faserommet, dvs. hvis modulen til Jacobian J, som det elementære volumet multipliseres med etter iterasjon, er mindre enn 1:

Poincare-Bendixson-teoremet, som begrenser dimensjonen av merkelige attraktorer generert av strømmer til verdier større enn to, er ikke gyldig for kartlegginger. Dette skyldes at kartleggingene genererer diskrete punkter og restriksjonene knyttet til kontinuitet oppheves. Dermed kan dissipative kartlegginger føre til merkelige attraksjoner hvis dimensjon er mindre enn 2.

For illustrasjon, la oss ta for oss to eksempler, som på grunn av deres lavere dimensjon er lettere å visualisere enn Lorentz-attraktoren.

Baker transformasjon. På fig. 61 viser en konvensjonell bakertransformasjon, en områdebevarende kartlegging (som minner om en baker som ruller ut deig) og en ikke-arealbevarende, dissipativ bakertransformasjon. Matematisk

Ris. 61. a - Bakers transformasjon; b - dissipativ transformasjon av bakeren.

uttrykk for sistnevnte

hvor a er en transformasjon som resulterer i et Bernoulli-skifte. Dens Lyapunov-eksponent (i x) som fører til følsomhet for initiale forhold; objektet oppnådd ved gjentatte ganger å bruke denne kartleggingen til enhetskvadratet er en merkelig attraktor. Denne attraksjonen er en uendelig sekvens av horisontale linjer, og dens attraksjonsområde inkluderer alle punktene på enhetsplassen. Lyapunov-eksponenten i retningen og i denne retningen reduseres skalaene på en slik måte at totalresultat(strekke inn og krympe inn) er reduksjonen i volum som kreves for en dissipativ kartlegging.

Hausdorff-dimensjonen DB for en merkelig attraktor kan beregnes som følger. I retningen er attraktoren ganske enkelt endimensjonal (som kartet er) i kap. 2). Hausdorff-dimensjonen i y-retningen følger av definisjonen

og fra selvlikheten til attraktoren langs vertikalen (fig. 61, b). Dette gir

Ris. 63. a - Bilde av Henon-attraksjonen, bygget på 104 punkter. Flere påfølgende punkter er nummerert for å illustrere den vandrende bevegelsen på attraktoren; b, c - forstørrede bilder av firkanter fra tidligere figurer; r - høyden på hver kolonne - den relative sannsynligheten for å finne et punkt i ett av de seks arkene i forrige tegning (Farmer, 1982a, b).

tiltrekkende struktur. Hausdorff-dimensjonen til Henon-attraktoren!) for . Dette resultatet oppnås ved å legge en celle over et firkantet rutenett på visningsplanet og telle antall kvadrater som er okkupert av poeng og beregning!) Hvis i fig. 63, ved oppløsning som lar seks "blader" sees, kan den relative sannsynligheten for hvert blad estimeres ved ganske enkelt å telle antall prikker på det. Høyden på hver kolonne i fig. 63, r er den relative sannsynligheten, og bredden er tykkelsen på det tilsvarende arket.

Ulike søylehøyder i fig. 63d viser at Henon-attraktoren ikke er homogen. Denne inhomogeniteten kan ikke beskrives av en enkelt Hausdorff-dimensjon, så i det følgende introduserer vi uendelig sett dimensjoner som karakteriserer den statiske strukturen (dvs. fordelingen av poeng)

tiltrekker. Men før du gjør det, er det nyttig å diskutere Kolmogorov-entropien, som beskriver den dynamiske oppførselen på en merkelig attraktor.

I fysiske systemer kan n-dimensjonale for eksempel være to eller tre koordinater, for ett eller flere fysiske objekter; i økonomiske systemer kan de være separate variabler som inflasjonsraten og arbeidsledigheten. Hvis den utviklende variabelen er to- eller tredimensjonal, kan attraktoren til den dynamiske prosessen representeres geometrisk i to eller tre dimensjoner, (som for eksempel i figuren).

Hvis, under forskjellige startforhold, alle baner inn faserom vil gå til det uendelige, vil dette indikere at et slikt system ikke har en stabil tilstand.

I tilfelle når de alle slutter på ett punkt, det vil si at systemet vil komme til en bestemt tilstand, og det ikke vil skje flere endringer i det, vil et slikt punkt være et punkt i en stabil tilstand. Etter å ha forlatt denne tilstanden, under påvirkning av en kortvarig forstyrrelse, vil systemet alltid gå tilbake til samme tilstand.

I dette tilfellet slutter alle baner på et punkt, det vil si at det så å si tiltrekker seg alle fasebaner til seg selv over tid. Et slikt punkt kalles en attraktor (engelsk for å tiltrekke - "attrahere") av typen " attraksjonspunkt". Begrepet attraktor er en generalisering av begrepet likevekt for komplekse systemer.

En attraktor kan være et punkt, et begrenset sett med punkter, en kurve, en heterogenitet eller til og med en kompleks fraktalstruktur kjent som merkelig tiltrekker. Hvis variabelen er en skalar, er attraktoren en delmengde av den reelle talllinjen. Han beskriver attraktoren i kaotiske dynamiske systemer, og er en av prestasjonene til kaosteorien. Banen til det dynamiske systemet i attraktoren tilfredsstiller ingen spesielle begrensninger for de resterende unntakene på attraktoren, fremover og bakover i tid. Banen kan være periodisk og kaotisk. Hvis settet med punkter er periodisk eller kaotisk, men strømmen i et nærliggende område er borte fra settet, er settet ikke en attraktor, men kalles i stedet en reflektor (eller repeller).

Dermed er attraktoren en kompakt faserom delsett dynamisk system, alle baner fra et eller annet nabolag har en tendens til det ettersom tiden har en tendens til uendelig. En attraktor kan være et attraktivt fast punkt (en periodisk bane (et eksempel er selveksiterte oscillasjoner i en positiv tilbakemeldingssløyfe), eller et begrenset område med ustabile baner inni (som en merkelig attraktor).

dynamisk system, som regel, er beskrevet av en eller flere differensial- eller differanseligninger. Ligningene til et gitt dynamisk system indikerer dets oppførsel med hensyn til en gitt kort tidsperiode. For å bestemme oppførselen til et system over en lengre periode, må ligningene integreres enten gjennom analytiske midler eller gjennom iterasjon, ofte ved hjelp av datamaskiner. Dynamiske systemer i den fysiske verden oppstår som regel som et resultat av dissipative systemer: hvis det ikke var noen drivkraft i løpet av tiden, ville bevegelsen stoppe. Spredning kan komme fra intern friksjon, termodynamisk eller materialtap, og mange andre årsaker.

De spredte og drivende kreftene er vanligvis balansert, dreper de første transientene og setter systemet i dets typiske oppførsel. Delmengden av faserommet til et dynamisk system som tilsvarer den typiske oppførselen er attraktoren, også kjent som den tiltrekkende delen eller tiltrekkende. Invariante sett og grensesett ligner på konseptet med en attraktor. Et invariant sett er et sett som utvikler seg i seg selv under påvirkning av dynamikk. Tiltrekkere kan inneholde invariante sett. Grensesettet er settet med punkter der det er en starttilstand som slutter vilkårlig nær grensesettet (det vil si ved hvert punkt i settet) med tid til uendelig. Attraktorer er grensesett, men ikke alle grensesett er tiltrekkere: hvis det er mulig å ha flere punkter i systemet som konvergerer til grensesett, men forskjellige punkter som er litt forstyrret fra grensesettet kan ikke påvirke dem. For eksempel har en dempet pendel to invariante punkter: punkt x0 med minimumshøyde og punkt x1 maksimal høyde. Punktet x0 er også et grensesett, ettersom banene konvergerer til det; punktet x1 er ikke et grensesett. På grunn av spredning er punktet x0 også en attraktor. Hvis det ikke er spredning, vil ikke x0 være en attraktor.

Matematisk definisjon

La t representere tid og la f(t, )-funksjonen bestemme dynamikken i systemet. Det vil si at hvis disse er n-dimensjonale punkter i faserommet som representerer den opprinnelige tilstanden til systemet, så er f (0, a) = a og, med en positiv verdi på t, f (t, a) resultatet av utvikling av denne posisjonen etter t tidsenheter. For eksempel, hvis systemet beskriver utviklingen av en fri partikkel i én dimensjon, så er faserommet planet R2 med koordinater (x, v), der x er posisjonen til partikkelen, v er dens hastighet, a = ( x, v), og utviklingen er gitt av

Attraktoren er en undergruppe av faserommet og er preget av følgende tre forhold:

En fremover er invariant under t: hvis det er et element A og t (t, a), for alle t > 0 .

Det er en naboregion til A, kalt attraksjonsregionen for A og betegnet B(A) , som består av alle punktene b slik at "skriv inn A i grensen t → ∞". Mer formelt er B(A) settet av alle punkt b i faserom med følgende egenskap:

For alle åpne i nærheten områderN Og det er en positiv konstant t,

Det er ingen egen undergruppe som har de to første egenskapene.

Fordi det attraksjonsområde inneholder et åpent sett som inneholder A, hvert punkt som er nær nok A er tiltrukket av A. Definisjonen av en attraktor bruker en metrikk på faserommet, men det resulterende konseptet avhenger vanligvis bare av topologien til faserommet.

Det er mange andre definisjoner av tiltrekkende i litteraturen. For eksempel krever noen forfattere at attraktoren har et positivt mål, andre reduserer styrken av kravet om at B(A) er et nærområde.

periodisk-3 syklus attraksjon og dens attraksjonsområde. De tre mørkeste punktene er 3-sykluspunkter som fører til hverandre i sekvensen, og iterasjon fra et hvilket som helst punkt inn i tiltrekningsområdet fører til (vanligvis asymptotisk) konvergens av denne sekvensen ved tre punkter.

Typer attraksjoner

Attraktorer er deler eller undergrupper av faserommet til et dynamisk system. Fram til 1960-tallet ble attraktorer ikke tenkt på som enkle geometriske delmengder av faserom, som punkter, linjer, overflater og volumer. Mer komplekse attraktorer som ikke kan klassifiseres som enkle geometriske delmengder, for eksempel topologiske sett, var kjent på den tiden, men ble ansett som skjøre anomalier. Steven Smale var i stand til å vise at hesteskoen hans (Smale's Horseshoe er Steve Smales eksempel på et dynamisk system som har et uendelig antall periodiske punkter (og kaotisk dynamikk), og denne egenskapen ikke kollapser under små forstyrrelser i systemet) var pålitelig og at attraktoren var som en struktur som Cantor setter. To enkle attraktorer - et fast punkt og en grensesyklus. Tiltrekkere kan ta på seg mange andre geometriske former (fasedelmengder). Men når disse settene (eller bevegelsene i dem) ikke lett kan beskrives som enkle kombinasjoner (f.eks. skjæring og forening) av fundamentale geometriske objekter (f.eks. linjer, overflater, kuler, toroider, samlere), så kalles attraktoren en merkelig attraktor.

Tiltrekkere er klassifisert i henhold til:

1. Formaliseringer av forestillingen om aspirasjon: man skiller mellom den maksimale attraktoren, det ikke-vandrende settet, Milnor-attraksjonen, Birkhoff-senteret, den statistiske og minimumsattraksjonen.
2. Regelmessigheter for selve attraktoren: attraktorer er delt inn i vanlige (tiltrekke fast punkt, tiltrekke periodisk bane, manifold) og merkelige (uregelmessige - ofte fraktale og/eller i en eller annen seksjon arrangert som et Cantor-sett; dynamikken på dem er vanligvis kaotisk).
3. Lokalitet ("attraherende sett") og globalitet (her - begrepet "minimal" i betydningen "udelelig").

grense syklus er den periodiske bane av systemet, som er isolert. Eksempler inkluderer klokkependelen, radioinnstillingskretsen og hjerteslag mens du hviler. (Grensesyklusen til en ideell pendel er ikke et eksempel på en grensesyklusattraktor, fordi dens baner ikke er isolert: i faserommet til en ideell pendel, ikke langt fra noe punkt i den periodiske bane, er det et annet øyeblikk som hører hjemme til en annen periodisk bane.

faseportrett av van der Pol: begrense syklusattraksjon

begrense torus

Det kan være mer enn én frekvens av systemets periodiske bane gjennom grensesyklustilstanden. For eksempel, i fysikk, kan én frekvens diktere hastigheten en planet roterer rundt en stjerne med, mens en andre frekvens beskriver svingningen i avstanden mellom de to kroppene. Hvis to av disse frekvensene danner en irrasjonell brøkdel (dvs. de er inkommensurable), lukkes ikke lenger banen og grensesyklusen blir en grensetorus. Denne typen attraktor kalles en Nt -torus hvis det er Nt - inkommensurable frekvenser. For eksempel, her er en 2-torus:

Tidsserien som tilsvarer denne attraktoren er en kvasi-periodisk serie: diskretiteten til prøver av summer av Nt-periodiske funksjoner (ikke nødvendigvis en sinusbølge) med inkommensurable frekvenser. En slik tidsserie har ikke en streng periodisitet, men kraftspekteret består fortsatt bare av skarpe linjer.

merkelig tiltrekker

En attraktor sies å være merkelig hvis den har fraktal struktur. Dette skjer ofte når dynamikken på den er kaotisk, men det er også merkelige attraksjoner som ikke er kaotiske. Begrepet ble laget av David Ruelle og Floris Takens, som beskrev en attraktor som er et resultat av en serie bifurkasjoner av et system som beskriver en væskestrøm. Rare attraktorer er ofte differensierbare i flere retninger, men noen, for eksempel Cantors støv, er ikke differensierbare. Rare attraktorer kan også bli funnet i nærvær av støy, der de kan plasseres for å støtte invariante tilfeldige sannsynlighetsmål av Sinai-Ruel-Bowen-typen. Eksempler på merkelige attraksjoner inkluderer, Henon-attraksjon, Rössler-attraksjon , og Lorenz-attraksjon.

Dobbeltrullet attraktor

Lorenz-attraksjon

Partielle ligninger

Parabolske PDE-er kan ha endelig-dimensjonale attraktorer. Den diffuse delen av ligningen slukker høye frekvenser, og i noen tilfeller fører til en global attraksjon. Ginzburg-Landau, Kuramoto-Sivashinsky og todimensjonale, tvungne Navier-Stokes-ligninger er kjent for å føre til globale attraksjoner med begrenset dimensjon. For en tredimensjonal inkomprimerbar Navier-Stokes-ligning med periodiske grensebetingelser, hvis den har en global attraktor, vil denne attraktoren være av begrenset størrelse.

Fra et beregningsmessig synspunkt kan attraktorer naturlig betraktes som selveksiterte attraktorer eller skjulte attraktorer. Selvbegeistrede attraksjoner kan lokaliseres numerisk ved bruk av standard beregningsprosedyrer, der, etter overgangssekvensen, begynner banen fra et punkt på den ustabile manifolden i lite område ustabil likevekt oppnådd av en attraktor (som klassiske attraktorer i Van der Pol, Belousov-Zhabotinsky, Lorentz og mange andre dynamiske systemer). I motsetning til dette inneholder tiltrekningsområdet til en skjult attraktor ikke et likevektsområde, så en skjult attraktor kan ikke lokaliseres ved bruk av standard beregningsprosedyrer.

Kaotisk skjult attraktor (grønt domene) i Chua-systemet. Baner med innledende data i nærheten av to punkter (blått), vanligvis (rød pil) til uendelig eller vanligvis (svart pil) til et stabilt null-likevektspunkt (oransje).

Programvare som genererer merkelige attraksjoner kan med rette betraktes som Chaoscope, som er en 3D-visualisering av merkelige attraksjoner. Det er gratis, kjører på Windows-plattformen.

Online generator av merkelige attraksjoner: http://wokos.nethium.pl/attractors_en.net

I store sykluser - små,

føder fart,

Og i små - mindre og mindre,

Fødsel til viskositet.

(Lewis F. Richardson)

Problemet med turbulens har en rik historie. Alle de store fysikerne undret seg over det. En jevn flyt brytes opp i krøller og virvelstrømmer; tilfeldige bøyninger ødelegger grensene mellom væske og fast overflate; energi fra storskala bevegelse flyter raskt inn i små virvler. Hvorfor? Kanskje mest smarte ideer foreslått av matematikere, mens de fleste fysikere rett og slett var redde for å studere turbulens, noe som virket nesten uforståelig. Et bevis på dette er historien om Werner Heisenberg, en kjent vitenskapsmann som studerte kvantefysikk. Sistnevnte innrømmet på dødsleiet at han gjerne ville stille Herren Gud to spørsmål - om relativitetsteoriens grunnlag og om årsaken til turbulens. "Jeg tror Herren vil svare meg den første av dem," sa Heisenberg.

Teoretisk fysikk og fenomenet turbulens endte kampen uavgjort - vitenskapen så ut til å ha snublet over en fortryllet linje og frøs i nærheten av den. Nær den magiske grensen, hvor materie fortsatt er stabil, er det arbeid å gjøre. Heldigvis oppfører seg ikke en jevnt flytende væske i det hele tatt som om hvert av utallige molekyler beveget seg uavhengig: dråper av et flytende stoff som var i nærheten ved startpunktet, forblir vanligvis nær hverandre, som hester i en sele. Hydrauliske ingeniører har ganske pålitelige ligninger som beskriver oppførselen til en slik laminær strømning: de bruker kunnskap akkumulert tilbake på 1800-tallet, da bevegelse av væsker og gasser var et av de primære problemene innen fysisk vitenskap.

På vår tid har dette problemet allerede gått inn i skyggene, og selv de dypeste sinnene trodde at det ikke var noen hemmeligheter igjen i væskens dynamikk, bortsett fra en ukjent selv til himmelen. På den praktiske siden så alt så klart ut at det med lett hjerte kunne overlates til spesialteknikere. I følge fysikere har væskedynamikk utviklet seg fra et vitenskapelig problem til et teknisk problem. De unge lysmennene til fysikere fant allerede noe å gjøre, og forskere av væskedynamikk kom bare over ved de tekniske fakultetene ved universitetene. Imidlertid var interessen for turbulens blant utøvere noe ensidig og kokte ned til hvordan man kunne eliminere dette fenomenet. Noen ganger er turbulens til og med ønskelig (som for eksempel i en jetmotor, hvor effektiv forbrenning avhenger av rask blandingsdannelse), men i de fleste tilfeller utgjør det en katastrofe. Turbulent luftstrøm, som virker på vingen til flyet, gjør det vanskelig å ta av. Den turbulente strømmen inne i oljerørledningen forsinker væskens bevegelse. Regjeringer og selskaper investerer tungt i fly, turbinmotorer, propeller, ubåter og andre lignende enheter som beveger seg gjennom flytende eller gassformige medier. Forskere er interessert i blodstrøm i kar og hjerteklaffer, de er bekymret for virvelstrømmer og boblebad, flammer og sjokkbølger fra eksplosjoner. forskjellige typer. Det antas at kjernefysikere var involvert i atombombeprosjektet under andre verdenskrig, men i virkeligheten ble alle spørsmål knyttet til kjernefysikk løst før arbeidet startet, og gass og hydrodynamiske aspekter ble behandlet i Los Alamos.

Hva er turbulens? Fullstendig uorden i alle skalaer, bittesmå virvelvind inne i enorme boblebad. Turbulens er ustabil og høyeste grad dissipativ, det vil si at den har evnen til å bremse bevegelsen og tappe energi. Det er essensen av uordnet bevegelse. Men fortsatt hvordan Endrer væskestrømmen seg fra jevn til turbulent? Se for deg et upåklagelig glatt hult rør, en svært stabil vannforsyningskilde, og hele strukturen er godt beskyttet mot vibrasjoner. Still deg selv spørsmålet: hvordan kan noe uordnet dukke opp i bekken som renner inne i røret?

Alle reglene ser ut til å feile her. Når strømmen er jevn, eller laminær, forsvinner små forstyrrelser, men umiddelbart etter utseendet av turbulens øker antallet kraftig, noe som gir vitenskapen en ny gåte. Bekkeleiet ved foten av stupet blir til et virvel som vokser seg større, deler seg og virvler etter hvert som vannet beveger seg nedstrøms, og en kvist sigarettrøyk som stille krøller seg i luften, stiger opp over askebegeret, plutselig akselererer og har nådde en kritisk hastighet, bryter inn i stormende virvelvind. Turbulensterskelen kan observeres og måles under laboratorieforsøk; den testes for hver flyvinge eller propell i en vindtunneltest. Likevel er det vanskelig å fange dens natur. Som regel mangler de innhentede dataene universalitet - studien ved prøving og feiling av Boeing 707-vingen gir ikke noe for utformingen av vingen til F-16-jagerflyet. Selv superdatamaskiner er nesten hjelpeløse i møte med materiens kaotiske bevegelse.

La oss forestille oss at noe rister væsken og forårsaker bølger inne i den. Væsken har en viskositet, og av denne grunn kommuniseres energien til den når den ristes ut av den. Hvis du slutter å riste væsken, vil den hvile. Hva skjer når du rister væsken? Som et resultat av denne prosedyren overføres lavfrekvent energi til væsken, lave frekvenser konverteres til høyere, og genererer stadig raskere virvelstrømmer. Denne prosessen, som fører til spredning av væskens energi, ble vurdert av A. N. Kolmogorov tilbake på 1930-tallet. Han utviklet en matematisk beskrivelse av dynamikken til virvler, og vurderte dem i mindre og mindre skala – helt til han nådde grensen der virvlene ble så små at viskositeten til stoffet ikke lenger påvirket dem.

For større klarhet forestilte Kolmogorov seg at hele væsken består av små virvelstrømmer, og dermed er den den samme overalt. En slik antagelse om homogenitet er feil, som Poincaré gjettet for førti år siden, da han observerte virvlende vann i en turbulent elv, ispedd deler av en rolig strøm. Dermed er strømmens ustabilitet lokal, og energien spres faktisk bare i en del av rommet. Hvis du nøye undersøker den turbulente strømmen i en hvilken som helst skala, vil du legge merke til at flere og flere nye områder med rolig flyt blir funnet. Dermed gir hypotesen om homogenitet vei for antakelsen om diskontinuitet. Denne noe idealiserte beskrivelsen fremstår som svært fraktal, med vekslende turbulente og jevne soner som er merkbare i alle skalaer, fra store til små. Men dette bildet er til en viss grad ikke en fullstendig refleksjon av virkeligheten.

Svært nær den som er formulert ovenfor, men samtidig uavhengig er spørsmålet om hva som skjer med utbruddet av turbulens. Hvordan krysser væskestrømmen grensen mellom jevn og turbulent? Hvilke mellomstadier vil turbulensen gå gjennom før den gjør seg gjeldende fullt ut? Disse spørsmålene ble besvart av en teori som hørtes ganske fornuftig ut. Dette allment aksepterte paradigmet skylder sitt utseende til Lev Davidovich Landau, den store russiske vitenskapsmannen, hvis utvikling innen hydrodynamikk fortsatt regnes som en av høydepunktene i fysisk vitenskap. Landaus modell er en haug med konkurrerende virvler. Han foreslo at når mer energi kommer inn i systemet, oppstår det i hvert øyeblikk en ny frekvens som ikke er kompatibel med den forrige, som om en fiolinstreng reagerer på en økning i buens bevegelse ved å avgi en andre dissonant tone, og så en tredje, fjerde osv., til lydene smelter sammen til en uforståelig kakofoni.

Enhver væske eller gassformig stoff er en samling av enkeltpartikler-molekyler, hvor antallet er så stort at det kan virke uendelig. Hvis hver partikkel skulle bevege seg av seg selv, ville det være uendelig mange variasjoner av væskebevegelse (vitenskapelig sett, uendelig mange "frihetsgrader"), og ligningene som beskriver bevegelsen ville innebære et uendelig antall variabler. Men ingenting av den typen skjer: bevegelsen til hvert molekyl avhenger i stor grad av bevegelsen til naboene, og det kan bare være noen få frihetsgrader (i det minste i en rolig flyt). Potensielt komplekse bevegelser forblir koblet, partikler i nærheten divergerer ikke i det hele tatt eller divergerer jevnt og lineært, og danner pene linjer i vindtunnelfotografier. Partiklene i sigarettrøyken stiger også opp som en helhet en stund.

Så er det indignasjon, en rekke mystiske turbulente impulser. Noen ganger fikk slike bevegelser til og med navn: "oscillator", "kryssruller", "knute", "sikksakk", "hovne årer" (som skjer med åreknuter). I følge Landau akkumulerte de nye ustabile bevegelsene ganske enkelt, overlapper hverandre og skapte dermed spoler med delvis sammenfallende hastigheter og størrelser. Spekulativt sett så en slik konvensjonell turbulensmodell ut til å passe virkelige fakta, og dens ubrukelighet fra et matematisk synspunkt ble sett gjennom fingrene. Så, Landau, etter å ha konstruert en uløselig med matematisk poeng syn på modellen, beholdt sin verdighet som vitenskapsmann, men i praksisens syn var det en fullstendig konkurs.

La oss forestille oss at vann med en liten fløyte sakte renner gjennom et rør eller renner inne i en sylinder. Øk trykket mentalt, og forårsaker dermed utseendet til rytmiske svingninger frem og tilbake. Væsken treffer sakte veggene i røret. Trykk på knappen til den imaginære enheten igjen, øke trykket. Det er ikke kjent hvor den andre frekvensen vil vises, noe som ikke stemmer overens med den første. Disharmoniske rytmer, som om de konkurrerer, overlapper hverandre, og nå har en ganske intrikat bevegelse allerede dukket opp: bølgene treffer rørets vegger, blander seg med hverandre slik at det er umulig å fange rytmen deres. Når trykket øker, oppstår en tredje, så en fjerde, en femte, en sjette frekvens, og de samsvarer ikke med hverandre, slik at strømmen blir ekstraordinært kompleks. Kanskje dette er turbulens. Fysikere godtok denne forklaringen, men ingen av dem kunne forutsi når nøyaktig økningen i energi ville føre til fremveksten av en ny frekvens, eller hva den ville være. Ingen fant ut disse mystiske frekvensene under eksperimentet, fordi Landaus teori om turbulensterskelen faktisk ikke er testet ennå.

Teoretikeren utfører eksperimenter mentalt, og eksperimenteren må også handle med hendene. Teoretiker er en tenker, eksperimentator er en håndverker; den første trenger ikke en assistent, den andre er tvunget til å "rekruttere" doktorgradsstudenter, overtale mekanikere, rettslaboratorieassistenter. Den ryddige teoretikeren jobber der det ikke er støy og skitt; eksperimentatoren er på sin side knyttet til opplevelsesobjektet like nært som billedhuggeren i verkstedet, som i timevis er lenket til formløs leire og prøver, med milde, deretter med en skarp bevegelse, å gi den ønsket form. . Teoretikeren kan mentalt forestille seg kollegene sine som en naiv Romeo, drømmende om den vakre Juliet, og eksperimentørens medarbeidere, som sitter i timevis i laboratoriet, klager, røyker, drikker kaffe, svetter.

Disse to trenger hverandre, men en del av ulikheten har sneket seg inn i forholdet deres siden de eldgamle tider, da hver vitenskapsmann tenkte og eksperimenterte på samme tid. Selv om det i noen av de beste eksperimentørene er noe igjen av teoretikeren, går samtalen med forståsegpåere tydeligvis ikke bra. Til syvende og sist er prestisjen til teoretikere høyere. Dette er spesielt tydelig i høyenergifysikk: teoretikere bader bokstavelig talt i strålene av herlighet, mens eksperimenter blir høyt kvalifiserte teknikere som arbeider med dyrt og komplekst utstyr. I tiårene etter krigen, da fysikkens glans ble bestemt av studiet av elementærpartikler, var de beste eksperimentene de som ble utført i partikkelakseleratorer. Masse, ladning, spinn, symmetri - disse abstraksjonene fascinerte de som ikke tilhørte det akademiske miljøet, men prøvde å følge med i tiden, men bare for noen forskere studerer atompartikler var egentlig fysikk. Skal studere mer og mer små partikler på de korteste tidsintervallene krevde det stadig høyere energi, noe som betyr utstyrsoppgraderinger. Den eksperimentelle grenen av elementær partikkelfysikk har utviklet seg gjennom årene, mange forskere har jobbet i den, og hele team har jobbet med å sette opp store eksperimenter. Artikler om partikkelfysikk i tidsskriftet «Physical Review» har alltid vært preget av det faktum at forfatterlisten opptok nesten en fjerdedel av publikasjonen.

Noen forsøkspersoner foretrakk imidlertid å jobbe alene, i verste fall sammen. I sine eksperimenter brukte de de stoffene som var tilgjengelige. Mens visse grener av fysisk vitenskap, som hydrodynamikk, mistet relevans, kom faststofffysikk tvert imot i forgrunnen. Forskningssfæren som er underordnet henne har utvidet seg så mye at navnet på disiplinen burde vært endret til et mer nøyaktig - "fysikk av kondensert materie", det vil si materialers fysikk. På dette området, må det sies, var utstyret mye enklere, og forbindelsen mellom teoretikere og eksperimentatorer var mye sterkere. Førstnevnte viste ikke overdreven snobberi, og sistnevnte forsøkte ikke å forsvare seg mot dem.

Til tross for det så de på mange ting annerledes. Spesielt kan teoretikeren enkelt, og avbryte eksperimentørens rapport, spørre: «Er det mulig å gjøre dataene dine mer overbevisende? Synes du ikke dette diagrammet er litt uklart? Bør det ikke måles? gitt verdi bredere for å få mer informasjon?»

Som svar kunne Harry Swinney, som reiste seg opp til sin fulle høyde (omtrent fem og en halv fot), si med den naturlige sjarmen til en innfødt fra Louisiana, der imidlertid en New York-rascibility ble følt: «Fakta samsvarer med sannheten. Ja, dette er sant, forutsatt at vi har en uendelig mengde "rene" eksperimentelle data. - Og vend skarpt til tavlen, legg til: - Faktisk har vi bare en begrenset mengde informasjon til rådighet, og selv da med feil.

Sweeney eksperimenterte med stoffer. Mens han fortsatt var student ved Johns Hopkins University, kjente han partikkelfysikkens berusende sjarm, og dette ble et vendepunkt i hans skjebne. Sweeney hadde en samtale med en entusiastisk Murray Gell-Man, men da han så på undergraduatene på jobb, oppdaget han at de alle skrev dataprogrammer eller loddet gnistkammer. Det var da Swinney ble kjent med en erfaren fysiker som begynte å studere faseoverganger fra et fast stoff til en væske, fra et ikke-magnetisk stoff til en magnet, fra en leder til en superleder. I ganske lang tid krøp Sweeney sammen i et lite rom; det var på størrelse med et skap, men nybegynnerforskeren bodde der alene. Han begynte å bestille instrumenter fra en katalog, og snart dukket det opp et laboratoriebord, en laser, sonder og en slags kjøleutstyr i hans beskjedne bolig. Sweeney designet en enhet for måling av termisk ledningsevne karbondioksid nær det kritiske punktet for kondens. Mange fysikere mente at endringer i termisk ledningsevne var ubetydelige, men som Swinney oppdaget, var dette en vrangforestilling: varmeledningsevnen endret seg veldig betydelig. Alt dette var urovekkende. Alene, i et lite rom, gjorde han en oppdagelse da han så den overjordiske gløden fra materiedampene, et hvilket som helst stoff, nær det kritiske punktet - en glød som kalles "opal" på grunn av den hvitaktige opalfargen til de spredte strålene.

Som mange fenomener som er kaotiske i naturen, er faseoverganger preget av en spesiell type makroskopisk oppførsel, som er svært vanskelig å forutsi ved å se på de minste fragmentene. Når et fast legeme varmes opp, begynner molekylene å vibrere under påvirkning av den innkommende energien, de skynder seg til overflaten, motvirker kreftene som binder dem, og får dermed volumet til stoffet til å utvide seg. Jo sterkere varmen, jo mer utvider stoffet seg, og ettersom et tau ryker etter en lang strekning, blir endringene uforutsigbare og intermitterende under visse trykk og temperaturer. Krystallstrukturen forsvinner gradvis, og molekylene beveger seg bort fra hverandre, og adlyder lovene som er etablert for en væske, som ikke kan utledes fra lovene som er definert for et fast legeme. Gjennomsnittlig energi atomet har bare endret seg litt, men stoffet er nå allerede en væske, en magnet eller en superleder, det vil si at det har fått en ny kvalitet.

Günther Ahlers ved AT&T Bell Laboratories i New Jersey har undersøkt den såkalte superfluid-overgangen i flytende helium, der et fast stoff blir til en magisk væske uten tilsynelatende viskositet eller friksjon når temperaturen synker. Andre var engasjert i superledning. Sweeney undersøkte faseovergangspunktet mellom væske og damp. Både han og Ahlers, Pierre Berg, Jerry Gollab, Marzio Giglio og andre eksperimentører i USA, Frankrike og Italia – en ny generasjon fysikere involvert i faseoverganger – lette etter nye objekter for forskning på midten av 70-tallet. Akkurat som postmannen kjenner i detalj alle smugene og husene på stedet hans, så kjente de utenat alle de spesielle tegnene på et stoff som endrer tilstand. De studerte grensen for materiens likevektstilstand.

Alle forskere av faseoverganger, etter å ha følt en lumsk hengemyr av tvil under seg selv, tråkket på å spare steiner av analogi. Faseovergangen fra den ikke-magnetiske tilstanden til den magnetiske viste seg å være lignende overgang "væske - damp". Overgangen fra flytende til superfluid demonstrert likheten overgang fra leder til superleder. Matematiske beregninger som beskriver en opplevelse ble brukt på mange andre, og i løpet av 70-tallet ble problemet nesten løst. Spørsmålet var bare hvor langt den nyopprettede teorien kunne utvides. Hvilke andre endringer i verden rundt oss vil ved nærmere undersøkelse vise seg å være faseoverganger?

Bruken av teknikker brukt i studiet av faseoverganger for å studere væskestrømmer er verken en superoriginal idé eller en selvinnlysende tilnærming.

Han kunne ikke kreve spesiell originalitet, for allerede på begynnelsen av 1900-tallet la de største forskerne - pionerene innen hydrodynamikk Reynolds, Rayleigh og deres tilhengere - merke til at i løpet av et nøye kontrollert eksperiment med en væske, endret dens bevegelse seg kvalitativt forekommer forgrening eller bifurkasjon. For eksempel, når et kar med en væske varmes opp nedenfra, begynner det å bevege seg fra en hviletilstand. Fristelsen var for stor, og etter å ha bukket under for den, foreslo ekspertene det fysisk natur bifurkasjoner ligner bare det som skjer i materie under faseoverganger.

Bruken av slike metoder kan ikke kalles en åpenbar tilnærming, på grunn av det faktum at bifurkasjonene i væsken beskrevet ovenfor ikke forårsaket, som faseoverganger, endringer i selve stoffet, men i stedet la til et nytt element - bevegelse. Væske fra en hviletilstand passerer til bevegelsen. Og av hvilken grunn skal den matematiske beskrivelsen av slike endringer samsvare med ligningene for kondenserende damp?

I 1973 underviste Swinney ved City College i New York, og Jerry Gollub, en seriøs, men noen ganger barnslig Harvard-utdannet, jobbet i Haverford, i det sørøstlige Pennsylvania. Institusjonen der, en landlig liberal kunsthøgskole i nærheten av Philadelphia, var det mest passende stedet å droppe en karriere som fysiker. Det var ingen til å betro arbeid i laboratoriet eller andre funksjoner betrodd av mentoren til protesjen hans - det var rett og slett ikke nok kandidater. Likevel likte Gollub å undervise studenter i fysikk, og han begynte å forvandle fysikkavdelingen til et senter som er viden kjent for den høye kvaliteten på eksperimentene. Da han tok en betalt semesterpermisjon, dro han til New York for å jobbe med Harry Sweeney.

Med tanke på analogien til faseoverganger og ustabilitet observert i en væske, bestemte kollegene seg for å studere det klassiske systemet - en væske begrenset av rommet mellom to vertikale sylindre. En av dem roterte inne i den andre, og tvang væsken til å bevege seg mellom de to overflatene. Dermed ble den mulige bevegelsen av materie i rommet begrenset, i motsetning til jetflyene som blir igjen etter skipets bevegelse i havet. De roterende sylindrene reproduserte den såkalte Couete-Taylor-strømmen. Som regel, for enkelhets skyld, roterer den indre sylinderen inne i den faste rammen. Når rotasjonen begynner og øker hastigheten, vises de første tegnene på ustabilitet: væsken danner et grasiøst mønster som ligner bunter av rør, og deretter vises uskarpe, båndlignende soner rundt sylinderen, den ene over den andre. Væskepartiklene beveger seg ikke bare i sylinderens rotasjonsretning, men beveger seg også opp og ned og roterer rundt de ovennevnte sonene. Deres lignende oppførsel har allerede blitt vurdert av J. I. Taylor, som så og målte kvantitative egenskaper denne hendelsen i 1923.

For å studere Couete-strømmen designet forskerne et apparat som ble plassert på et skrivebord og besto av to sylindre. Den ytre glassylinderen var som en smal tennisballboks en fot høy og to tommer i diameter. En andre stålsylinder ble pent plassert inne i den, og etterlot en plass på omtrent en åttendedels tomme for vannet. "Det var en veldig rørende historie," husket Freeman Dyson, et av de uvitende øyenvitnene til hendelsene de påfølgende månedene. "Disse to herrene, i et trangt rom utstyrt som et laboratorium, med nesten ingen penger, setter på et fantastisk eksperiment som markerte begynnelsen på fullverdig forskning på fenomenet turbulens."

Begge forskerne var oppmerksomme på deres vitenskapelige problem, hvis løsning snart ville bli belønnet med tradisjonell applaus og raskt overført til glemselen. Sweeney og Gollub hadde til hensikt å bekrefte Landaus idé om en turbulensterskel, og eksperimentene ga ikke den minste grunn til å tvile på det. I tillegg var det kjent at fysikere som drev med hydrodynamikk hadde tillit til Landaus betraktninger. Fysikerne selv, Sweeney og Gollub, sympatiserte også med denne teorien, fordi den samsvarte med det generelle bildet av faseoverganger. Landau utviklet et ganske effektivt opplegg for å studere dem, basert på overbevisningen om at slike fenomener må adlyde universelle lover og at de ikke er relatert til spesifikke stoffer. Da Harry Swinney studerte karbondioksid-duggpunktet, var han, i likhet med Landau, overbevist om at funnene hans kunne brukes på xenon-duggpunktet, og han hadde rett. Ja, hvorfor skulle ikke turbulens være et stabilt ensemble av kolliderende bølger i en flytende væske?

For å håndtere den voldsomme bevegelsen av væsker, har Sweeney og Gollub utviklet et arsenal av smarte teknikker, finpusset over år med studier av faseoverganger under svært vanskelige omstendigheter. De hadde en slik forskningsmetodikk og slike måleinstrumenter som en vanlig fysiker ikke engang kunne drømme om. De brukte en laser for å studere virvlende strømmer. Strålen som skinte gjennom vannet ble brutt eller spredt, noe som var målbart ved laser-doppler-interferometri. Informasjonen som ble oppnådd ble lagret og behandlet ved hjelp av en datamaskin, som da, i 1975, var en sjeldenhet på tabellene til eksperimenter.

Landau bemerket at når strømmen øker, dukker det opp nye frekvenser, hver i en separat tidsperiode. "Vi visste om dette," husket Sweeney senere, "og vi bestemte oss for at vi ville se overgangene for å se nøyaktig hvor slike frekvenser ville vises. Og vi så på – i full tillit til at overgangen er klart definert. Vi satte i gang en faseovergang i begge retninger, enten økte eller reduserte sylindrenes rotasjonshastighet, og alt ble slik.

Ved å rapportere om resultatene av arbeidet som ble gjort, ble Sweeney og Gollub møtt med det faktum at mellom feltet ren fysikk og feltet hydrodynamikk var det en viss, veldig livlig og mobil grense. Hun bestemte spesielt hvilken av de mange avdelingene i National Science Foundation som skulle finansiere forskning. På begynnelsen av 1980-tallet kom Cuete-Taylor-eksperimentet på nytt inn i fysikkfeltet, men i 1973 ble det betraktet som ren hydrodynamikk, og de første resultatene oppnådd av to fysikere i et lite laboratorium virket mistenkelig klare for spesialister på dette feltet. De trodde det bare ikke. Tross alt var de som viet hele livet til hydrodynamikk ikke i det hele tatt vant til eksperimenter som gjentok studier i fysikk av faseoverganger. Dessuten var det svært vanskelig å forstå den teoretiske bakgrunnen til eksperimentene fra et hydrodynamisk ståsted. Sweeney og Gollub ble avvist, da de igjen appellerte til National Science Foundation for finansiering. Noen av ekspertene godtok rett og slett ikke resultatene deres, mens andre mente at resultatene manglet noe nytt.

Men arbeidet stoppet aldri. "Det var en kvalitativt klar overgang," sa Sweeney, "og vi anså det som en ekstraordinær suksess. Og så gikk vi fremover igjen, på jakt etter den neste.

Og plutselig kollapset sekvensen som Landau skrev om. Eksperimentet bekreftet ikke teorien. Ved neste overgang "hoppet" strømmen til en tilstand av uorden, og fant ingen merkbare sykluser: ingen nye frekvenser, ingen gradvis økning tilfeldige fragmenter. Ingenting. "Alt vi fant er at det plutselig ble kaotisk." Noen måneder senere dukket en tynn, sjarmerende europeer opp på terskelen til laboratoriet.

David Ruelle likte å si at det fantes to typer fysikere: den første typen vokste opp med å fjerne radioer (før faststofffysikk kunne man forestille seg strømmer av elektroner ved å stirre på ledninger og vakuumrør som glødet med varmt lys), og de som tilhørte den andre typen kategori, elsket å rote med kjemiske reagenser. Ruelle selv, født og oppvokst nord i Belgia, tilhørte bare den andre typen og foretrakk apoteksett fremfor alle leker - ikke engang sett i dagens betydning av ordet, men bare kjemikalier, enten eksplosive eller giftige, som han var med sjenerøst levert av en lokal farmasøyt. Unge David blandet, rørte, varmet, krystalliserte og noen ganger til og med eksploderte all denne rikdommen. Han ble født i Gent i 1935. Moren hans var turntrener og faren var professor i lingvistikk ved universitetet. Og selv om den unge mannen gjorde en karriere i vitenskapens verden, veldig langt fra det vanlige, ble han alltid tiltrukket av den mystiske siden av naturen, som gjemte dens mysterier i sporene av svampete sopp, salpeter, grønngul svovel og trekull .

Matematisk fysikk ble området der Ruelle ga et betydelig bidrag til oppdagelsen av kaos. På begynnelsen av 1970-tallet jobbet han ved Institute for Advanced Study, en utdanningsinstitusjon i forstedene til Paris, etter modell av Institute for Advanced Study i Princeton. Han hadde allerede utviklet en vane som varte livet ut: fra tid til annen forlot han familien og jobben for å vandre med en ryggsekk på ryggen i ørkenen på Island eller distriktene Mexico. Noen ganger møtte han mennesker som ga ham sin hjertelighet og gjestfrihet. Forskeren delte med dem et beskjedent måltid med tortillas, kjøtt og grønnsaker, og trodde han så verden slik den var for to årtusener siden. Da han vendte tilbake til instituttet, kastet han seg igjen på hodet til forskning. Kolleger la merke til hvor tynt ansiktet hans var, hvor skarpt øyenbrynslinjen stakk ut, hvordan haken hans var spiss. Ruelle lyttet til foredrag av Steve Smale om "hesteskoen" og det kaotiske potensialet til dynamiske systemer. Han tenkte på turbulens i væsker og Landaus klassiske opplegg, og mistenkte at de alle på en eller annen måte korrelerte, men samtidig motsa hverandre.

Forskeren hadde aldri jobbet med væskestrømmer før, men dette motvirket ikke forskning i det hele tatt, på samme måte som det ikke tok motet fra hans mindre heldige forgjengere. "Nye ting oppdages, som regel, av ikke-profesjonelle," sa han. – Faktisk er det ingen kompleks og dyp teori om turbulens. Alt vi kan finne ut om det er av mer generell karakter, og derfor tilgjengelig for folk som ikke tidligere har forholdt seg til det. Det var ikke vanskelig å forstå hvorfor turbulens ikke var mottakelig for analyse - oppførselen til væskestrømmer ble beskrevet av ikke-lineære differensialligninger, for det meste uløselige. Likevel utviklet Ruelle et svært abstrakt alternativ til Landaus opplegg, uttrykt i Smales språk, der rommet ble brukt som et formbart materiale som kunne komprimeres, strekkes og bøyes til hestesko-lignende former. Artikkelen ble skrevet ved Institutt for høyere vitenskapelig forskning, med en pause for besøk hos den nederlandske matematikeren Floris Takens, og publisert i fellesskap i 1971. Artikkelens stil kunne ikke ta feil. Det var ren matematikk (tenk deg, en fysikkpenn!) og inneholdt definisjoner, teoremer Og bevis fulgt uunngåelig av: La oss... Her er ett eksempel: " Bevis (5.2.). La oss anta det X? er en én-parameter familie C k vektorfelt i Hilbert-rommet H, slik at…"

Og likevel, i tittelen på publikasjonen, som ble kalt "Om turbulensens natur", var det en sammenheng med den virkelige verden og det var en bevisst konsonans med tittelen på Landaus berømte verk «On the Problem of Turbulence». Ruelle og Takens ønsket tydeligvis å gå mye lenger enn matematikk, og forsøkte å tilby et alternativ til tradisjonelle syn på terskelen til turbulens. De antydet at kilden til all kompleksiteten i turbulens ikke er superposisjonen av frekvenser, noe som fører til utseendet til et uendelig antall uavhengige og overlappende væskebevegelser, men bare tre separate bevegelser. Noe i deres logikk virket veldig vagt, lånt og rett og slett feil, eller det ene, det andre og det tredje på en gang - femten år senere var meningene om denne saken fortsatt forskjellige.

Likevel gjorde dyp innsikt, kommentarer, marginalnotater og inkluderinger fra fysikk verket til gjenstand for oppmerksomhet i mange år. Det mest forførende virket bildet døpt av forfatterne merkelig tiltrekker. Dette navnet var suggestivt, som psykoanalytikere sier, det vil si at det ved selve lyden ga opphav til underbevisste assosiasjoner, noe Ruelle følte senere. Begrepet «rar attraktor» ble så populært blant kaosforskere at Takens og Ruelle senere bestred hverandres forfatterskap. Ingen av dem kunne tydelig huske hvem som først brukte begrepet. Takens - en høy, rødrød og voldelig normanner - falt til tider: "Har du noen gang spurt Herren hvordan han skapte dette fordømte universet? .. Jeg husker ingenting ... jeg skaper uten å huske detaljene i denne prosessen." Som Ruell, hovedmedforfatteren, forsiktig bemerket: " Forskjellige folk og jobbe annerledes. Noen mennesker burde skrive artikler alene, for så å høste laurbærene på egenhånd.

En merkelig attraktor bor i faserommet - en av de mest fantastiske oppfinnelsene moderne vitenskap. Faseplass gjør det mulig å gjøre tall om til bilder, trekke ut til og med en liten bit viktig informasjon fra bevegelige systemer, mekaniske eller flytende, og tydelig viser alle deres muligheter. Fysikere har allerede behandlet to mer eller mindre enkle typer attraktorer - faste punkter og lukkede kurver, som beskriver oppførselen til slike systemer som har nådd en stabil tilstand eller kontinuerlig gjentar seg selv.

I faserom er alle kjente data om et dynamisk system i hvert øyeblikk konsentrert til ett punkt, som er det gitte systemet i det korteste tidsintervallet. I neste øyeblikk vil systemet allerede gjennomgå endringer, selv om de er ganske ubetydelige, og punktet vil endre plassering. Hele varigheten av systemets eksistens kan avbildes på en graf ved å følge bevegelsene til et punkt over tid og observere dets bane i faserommet.

Men hvordan kan alle dataene om det mest komplekse systemet presenteres på bare ett punkt? Hvis systemet er preget av to variabler, er det ikke vanskelig å finne svaret, det følger direkte av den euklidiske geometrien som ble undervist på videregående: en av variablene er plassert på den horisontale aksen x, og den andre på den vertikale aksen y. Hvis systemet er en svingende pendel fri for friksjon, så er en av variablene dens plassering i rommet, og den andre er hastigheten. De endres kontinuerlig, og danner en linje med prikker som krummer seg til en løkke som gjentar seg selv om og om igjen. Det samme systemet, men som har en høyere energi, svinger raskere og lenger, danner en løkke i faserommet, lik det første, men større i størrelse.

Men overfor en av virkelighetens manifestasjoner - friksjon, begynner systemet å gjennomgå endringer. For å beskrive oppførselen til en pendel som er utsatt for friksjon, er ikke bevegelsesligningene nødvendig: hver av svingningene slutter faktisk på samme sted, i midten fra der bevegelsen begynte, og hastigheten i disse øyeblikkene er null. Denne sentrale faste sonen "tiltrekker seg" vibrasjoner. I stedet for for alltid å tegne løkker på grafen, spiraler pendelens bane innover. Friksjon sprer energien til systemet, som i faserom ser ut som et dytt mot midten. Det er en bevegelse fra ytre soner med høy energi til indre soner med lav energi. Attraktoren – enklest mulig – er som en magnet på størrelse med et knappenålshode innebygd i et gummiark.

En av fordelene med å se tilstandene til et system som en samling av punkter i rommet er at det er lettere å observere endringene som skjer. Et system der variabler kontinuerlig øker og reduseres blir et bevegelig punkt, som en flue som flyr rundt i et rom. Hvis visse kombinasjoner av variabler aldri forekommer, kan forskeren ganske enkelt anta at rommet er begrenset og at insektet aldri kommer inn. Med den periodiske oppførselen til systemet som studeres, når det går tilbake til samme tilstand igjen og igjen, danner fluens flybane en løkke, og insektet passerer det samme punktet i rommet mange ganger. Spesielle portretter av fysiske systemer i faserom viste bevegelsesmønstre som ellers var utilgjengelige for observasjon. Så et fotografi av et naturlig landskap i infrarøde stråler avslører de små tingene og detaljene som eksisterer utenfor rekkevidden av vår oppfatning. Forskeren, som ser på fasebildet, kunne, ved å kalle fantasien til å hjelpe, forstå essensen av selve systemet: en løkke her tilsvarer periodisitet der, en spesifikk bøyning legemliggjør en viss endring, og tomhet snakker om fysisk usannsynlighet.

Selv i nærvær av to variabler, kan bilder i faserom fortsatt overraske oss på mange måter. Selv på stasjonære skjermer kan du bygge noen av dem og gjøre ligninger om til fargerike baner. Noen fysikere har begynt å lage serier med bevegelige bilder og lage videobånd for å vise til sine kolleger. Matematikere fra California ga ut bøker illustrert med mange rød-blå-grønne tegninger i animasjonsstil – «kaos-tegneserier», som kollegene deres kalte dem, ikke uten gift. Men et par målinger dekket ikke hele rikdommen av systemer som fysikerne ønsket å studere, og forskere søkte å introdusere mer enn to variabler, noe som naturligvis krevde en økning i antall målinger. Hvert fragment av et dynamisk system som er i stand til uavhengig bevegelse, er allerede en ny variabel, som legemliggjør en annen "frihetsgrad", og for hver slik grad kreves det en ny dimensjon i faserommet. Ellers er det ingen sikkerhet for at et enkelt punkt inneholder nok informasjon til å beskrive tilstanden til systemet til enhver tid. De enkle ligningene studert av Robert May var endimensjonale. De gjorde det mulig å klare seg med ett tall - verdien av temperatur eller befolkningsstørrelse, som bestemte plasseringen av et punkt på en rett linje som ligger i én dimensjon. Lorentz sitt utvidede system, som beskrev konveksjon i væsker, hadde tre dimensjoner, ikke fordi væsken beveget seg i tre romlige dimensjoner, men fordi det var nødvendig med tre veldefinerte tall for å beskrive tilstanden til væsken til enhver tid.

Til og med en topolog helt fra starten utviklet fantasi det er ikke lett å forestille seg rom som har fire, fem eller flere dimensjoner. Imidlertid har komplekse systemer mange uavhengige variabler, så matematikere måtte innfinne seg med at mange frihetsgrader krever et faserom med uendelig mange dimensjoner. Så ubegrenset natur gjør seg gjeldende i de turbulente strålene fra en foss eller i uforutsigbarheten til den menneskelige hjernen. Men hvem vil klare å takle turbulensens voldelige, uimotståelige monster, som er preget av en rekke former, et ubestemt antall «frihetsgrader», et uendelig antall dimensjoner?

Fysikere hadde ganske god grunnå mislike en modell hvis oppførsel er så uklar. Ved hjelp av ikke-lineære ligninger, som beskriver bevegelsen til en væske, kunne ikke de kraftigste superdatamaskinene i verden nøyaktig spore den turbulente strømmen til en gang kubikkcentimeter væske innen noen få sekunder. Naturligvis har naturen mer skylden for dette enn Landau, men ordningen foreslått av den sovjetiske vitenskapsmannen ga effekten av å "stryke mot ullen." Selv uten solid kunnskap, kunne fysikeren godt mistenke at fenomenet ikke er tolkbart. En lignende følelse ble uttrykt i ordene til den store kvantefysikkteoretikeren Richard Phillips Feynman: logiske operasjoner for å finne ut hva som skjer i rom og tid, uansett hvor lite dette rommet er og hvor kort tid det er. Hvordan kan noe slikt skje på en så liten plass? Hvorfor skal det så mye til for å endelig finne ut hva som er den videre skjebnen til et tidssegment eller en dråpe plass?

Ris. 5.1. En ny måte å studere pendelen på.

Ett punkt i faserommet (til høyre) overfører all informasjon om tilstanden til det dynamiske systemet på et bestemt tidspunkt (venstre). For en enkel pendel er to tall nok til å representere hastigheten og plasseringen.

Punktene danner en bane som lar deg visualisere den kontinuerlige oppførselen til et dynamisk system over lang tid. En repeterende "løkke" representerer et system som alltid reproduserer den samme tilstanden av seg selv. Hvis den repeterende oppførselen er stabil, som en klokke med en pendel, går systemet, med liten interferens, tilbake til forrige bevegelsesbane. I faserommet er banene nær banen så å si involvert i den, og banen i seg selv er en attraktor.

Ris. 5.2. En attraktor kan være et enkelt punkt. I tilfellet med en pendel som kontinuerlig mister energi til friksjon, er alle baner i form av en spiral som vrir seg innover mot det punktet hvor systemet er stabilt, i så fall er det ingen bevegelse i det hele tatt.

I likhet med mange av dem som taklet kaos, mistenkte David Ruelle at gjenstandene som ble sett i en turbulent strøm - sammenfiltrede stråler, spiralvirvler, magiske krøller som dukker opp og forsvinner igjen - må gjenspeile det som ble forklart av fysikkens lover, men fortsatt tilhørte sfære mystisk og uoppdaget. Etter hans forståelse burde spredningen av energi i en turbulent strøm ha ført til en slags sammentrekning av faserommet, tiltrekning til attraktoren. Utvilsomt forble sistnevnte ikke et fast punkt, siden strømmen aldri kom til en hviletilstand - energi kom inn i systemet og forlot det. Hva annet kan være en tiltrekker? I tillegg til det beskrevne, var det ifølge dogmet bare én mulig type - en periodisk attraktor, eller en lukket kurve, en bane som tiltrekker alle nærliggende baner. Hvis pendelen mottar energi fra suspensjonen og mister den på grunn av friksjon, kan en stabil bane være en lukket sløyfe i faserommet, som for eksempel reflekterer de vanlige oscillerende bevegelsene til bestefarklokkependelen. Uansett hvor nøyaktig pendelen begynner å bevege seg, vil den til slutt komme til denne spesielle banen. Men kommer det? På grunn av noen startforhold (og de er preget av et minimum av energi), vil pendelen stoppe. Dermed viser det seg at systemet faktisk har to attraktorer, hvorav den ene er en lukket sløyfe, og den andre er et fast punkt. Hver av attraktorene har sin egen "nisje" i faserommet. Generelt ligner den to elvedaler avgrenset av et vannskille.

I løpet av kort tid kan hvert punkt i faserommet bety den mulige oppførselen til et dynamisk system. Når man studerer det langsiktige perspektivet, blir attraksjonene selv de eneste modellene for atferd. Alle andre typer bevegelser er forbigående. Per definisjon har attraktorer den viktigste kvaliteten - stabilitet. I et virkelig system der bevegelige elementer kolliderer og svaier på grunn av omgivelsesstøy, går bevegelsen vanligvis tilbake til attraktoren. Skyvet kan forvrenge banen i kort tid, men de tilfeldige bevegelsene som oppstår forsvinner raskt – selv om katten plutselig berører pendelklokken, vil ikke minuttet øke til sekstito sekunder. Turbulens i væsker er imidlertid et fenomen av en annen rekkefølge, og genererer aldri en enkelt rytme. En velkjent egenskap ved et slikt fenomen er at hele spekteret av mulige svingninger på et gitt tidspunkt observeres. Turbulens kan sammenlignes med "hvit støy" eller statisk. Kan et enkelt deterministisk ligningssystem beskrive et slikt fenomen?

Ruelle og Takens lurte på om noen annen type attraktor har et passende sett med egenskaper: stabilitet, lite antall dimensjoner, ikke-periodisitet. Bærekraft betydde å nå den endelige tilstanden til systemet mot alle odds i en støyende verden. Det lille antallet målinger antydet at banen i faserommet må være et rektangel eller en bokslignende form med bare noen få frihetsgrader. Ikke-periodisk betydde ingen repetisjon, ingenting som den monotone tikken av gamle klokker. Fra et geometrisk synspunkt virket spørsmålet som et rent puslespill. Hvilken form skal en bane ha, tegnet i et begrenset rom, slik at den aldri gjentar seg og ikke krysser seg selv? Tross alt bør et system som har gått tilbake til sin tidligere tilstand, i henhold til den aksepterte modellen, følge sin vanlige vei. Å leke hver rytme, må banen være en uendelig lang linje i et begrenset område. Den må med andre ord bli fraktal.

Basert på matematiske grunner proklamerte Ruelle og Takens at det beskrevne fenomenet må eksistere. Selv om de aldri så eller portretterte ham, var en uttalelse nok. Deretter sa Ruell, da han talte på et plenumsmøte for den internasjonale matematikerkongressen i Warszawa: «Vitenskapssamfunnet reagerte veldig kult på forslaget vårt. Omtalen av at et kontinuerlig spekter ville være assosiert med et lite antall "frihetsgrader" ble av mange fysikere ansett for å være rett og slett kjetteri. Men det var andre - en håndfull, ikke flere. Da de følte den fulle betydningen av verket som ble publisert i 1971, begynte de å beskrive hva som var underforstått i det.

Faktisk, i 1971, var det allerede en liten skisse i den vitenskapelige litteraturen av det ufattelige monsteret som Ruelle og Takens prøvde å gjenopplive.

Ris. 5.3. Den første merkelige attraksjonen. I 1963 var Edward Lorenz bare i stand til å beregne de første elementene i attraktoren for sitt enkle ligningssystem. Imidlertid innså han at "laget" av to spiralvingelignende former må ha en uvanlig struktur, umulig å skille i liten skala.

Edward Lorenz gjorde det til et vedlegg til sin artikkel om deterministisk kaos, publisert i 1963. Dette bildet var en kompleks konstruksjon av to kurver, den ene inne i den andre, til høyre og fem kurver til venstre. Bare for en skjematisk fremstilling av disse syv "løkkene" tok det fem hundre matematiske operasjoner vellykket utført av datamaskinen. Punktet, som beveget seg langs den spesifiserte banen i faserommet, demonstrerte en langsom kaotisk rotasjon av væskestrømmer, som ble beskrevet av tre Lorentz-ligninger for konveksjonsfenomenet. Siden systemet var preget av tre uavhengige variabler, lå denne attraktoren i et tredimensjonalt faserom. Og selv om bare et fragment av det ble avbildet, var Lorenz i stand til å se mye mer: noe som en dobbel helix, sommerfuglvinger vevd med utrolig dyktighet. Når en økning i mengden varme i Lorentz-systemet førte til at væsken beveget seg i én retning, var punktet i høyre "vinge", da strømmen stoppet og den snudde, flyttet punktet til den andre siden.

Attraktoren var stabil, ikke-periodisk, hadde et lite antall dimensjoner og krysset seg aldri. Hvis dette skjedde og han ville gå tilbake til det punktet han allerede hadde passert, ville bevegelsen bli gjentatt i fremtiden, og danne en periodisk sløyfe, men dette skjedde ikke. Dette var den merkelige sjarmen til attrakteren: løkkene og spiralene som dukket opp for blikket virket uendelig dype, aldri helt koblet sammen eller krysset hverandre. Likevel ble de inne i rommet, som hadde sin egen grense og var begrenset av rammen til boksen. Hvorfor ble dette mulig? Hvordan kan et uendelig antall baner ligge i et begrenset rom?

Før bilder av Mandelbrot-fraktaler bokstavelig talt flommet over vitenskapelige verden, virket det veldig vanskelig å forestille seg egenskapene til konstruksjonen av slike former. Lorentz selv innrømmet at det var en «manifest motsetning» i hans egen eksperimentelle beskrivelse. "Det er veldig vanskelig å slå sammen to overflater hvis hver inneholder en spiral og banene ikke går sammen," klaget forskeren. Men i massen av databeregninger fant han fortsatt en svakt synlig løsning. Lorentz innså at når spiralene tydelig begynte å koble seg sammen, måtte overflatene skilles og danne separate lag, som i en stabel med skrivepapir. "Vi ser at hver overflate faktisk består av to overflater, slik at når de konvergerer, er det allerede fire. Fortsetter vi denne prosedyren, legger vi merke til at det er åtte overflater osv. Som et resultat kan vi konkludere med at det er et uendelig antall overflater, som hver er ekstremt nær en av de to forbindelsesflatene. Det er ikke overraskende at meteorologer i 1963 ignorerte slike hensyn. Et tiår senere ble Ruelle, som lærte om arbeidet til Lorenz, bokstavelig talt lamslått. Deretter besøkte han Lorenz, men tok bort fra dette møtet lett følelse skuffelse. Forskerne diskuterte ikke felles vitenskapelige interesser særlig lenge; med sin karakteristiske skyhet unngikk Lorenz kontroverser og prøvde å gi besøket en sekulær karakter: forskere og deres koner besøkte et kunstmuseum.

Ruelle og Takens prøvde å finne ledetråder for å løse gåten, og gikk to veier. Spesielt prøvde de å gi en teoretisk begrunnelse for merkelige attraksjoner. Var Lorentz-attraksjonen typisk? Finnes det andre former? Den andre veien forskerne gikk var eksperimentell aktivitet. Hun forfulgte målet om å bekrefte eller tilbakevise troen, som er veldig langt fra matematikk, om at merkelige attraksjoner kan brukes på kaos i naturen.

I Japan førte forskning på elektroniske kretser som simulerte vibrasjonen av mekaniske strenger, men i et akselerert tempo, til at Yoshisuke Ueda oppdaget en sekvens av utrolig vakre merkelige attraksjoner. I Tyskland prøvde Otto Rössler, en ikke-praktiserende M.D. som kom for å utforske kaos gjennom kjemi og teoretisk biologi, å se på merkelige attraksjoner gjennom en filosofisk linse, og la matematikk i bakgrunnen. Navnet hans ble assosiert med en av de enkleste attraksjonene - et smalt brettet bånd, som ble studert ganske omfattende på grunn av den enkle konstruksjonen. Imidlertid satte forskeren i synlig form og tiltrekkere med et stort antall dimensjoner. "Tenk deg en pølse, inni som er innelukket, den ene inni den andre, flere pølser," sa han. "Ta den ut, rull den sammen, klem den og sett den tilbake." Faktisk, bøying og sammentrekning av rommet viste seg å være nøkkelen til konstruksjonen av merkelige attraksjoner og kanskje til og med til dynamikken som genererte dem. ekte systemer. Rössler følte at disse formene personifiserte prinsippet om selvorganisering av omverdenen. Noe som en vindsekk på en flyplass ble tiltrukket av fantasien hans. "En hylse lukket i den ene enden med et hull i den andre enden, der vinden bruser," forklarte forskeren. – Plutselig ble vinden fanget. Energien hans gjør noe produktivt, som djevelen i middelalderens historie. Prinsippet er at naturen gjør noe mot sin vilje og, viklet inn i seg selv, føder skjønnhet.

Å lage bilder av merkelige attraksjoner kan neppe kalles vanlig. De intrikate banene til banene slynger seg gjennom tre eller flere dimensjoner, og danner en mørk floke i rommet som ser ut som barneskribler og er utstyrt med en indre struktur som er usynlig fra utsiden. For å representere et slikt tredimensjonalt "nett" i form av flate bilder, brukte forskere først projeksjonsteknikken. Tegningen var en skygge kastet av attraktoren på overflaten. Men hvis de merkelige attraksjonene er ganske komplekse, slører projeksjonen alle detaljene, og øyet blir presentert med en forvirring som er nesten umulig å tyde. En mer effektiv teknikk er å konstruere den såkalte omvendt krets, eller diagrammer (seksjoner) av Poincaré. Dens essens koker ned til å skille en "skive" av den sammenfiltrede kjernen av attraktoren og overføre den til todimensjonalt rom, akkurat som en patolog plasserer et vevssnitt på et objektglass.

Poincares opplegg fratar attraktoren én dimensjon og gjør en kontinuerlig linje til en samling av punkter. Ved å forvandle attraktoren til Poincare-ordningen, tviler forskeren ikke et minutt på at han vil beholde selve essensen av bevegelsen. Han kan for eksempel forestille seg at en merkelig attraktor svever som en bi foran øynene hans og attraktorbanene beveger seg opp og ned, til venstre og høyre, frem og tilbake over dataskjermen, og hver gang attraktoren går i bane. krysser skjermens plan, etterlater den en glødende prikk i krysset. Slike prikker danner enten en vilkårlig formet flekk som ligner på en klatt, eller begynner å tegne en viss kontur på skjermen.

Prosessen beskrevet ovenfor tilsvarer prøvetakingen av systemets tilstand, som ikke utføres konstant, men bare fra tid til annen. Når man skal ta en prøve, dvs. fra hvilken region av den merkelige attraktoren man skal kutte en skive, er opp til forskeren. Tidsintervallet som inneholder det største antallet informasjon må tilsvare noen fysisk eiendom dynamisk system. For eksempel, i Poincaré-skjemaet, kan man reflektere hastigheten til pendelloddet hver gang den passerer mest lavt punkt. Eller eksperimentatoren står fritt til å velge et visst regelmessig tidsintervall, og "fryser" påfølgende tilstander i glimt av imaginært lys som kommer fra en stroboskopisk kilde. Uansett vil de resulterende bildene til slutt vise den elegante fraktale strukturen som Edward Lorenz gjettet om.

Ris. 5.4. Tiltrekkerstruktur. Den merkelige attraktoren, som vist på de øverste bildene, har først én bane, så ti, så hundre. Den beskriver den kaotiske oppførselen til en pendelrotor, som oscillerer rundt sirkelen og regelmessig settes i bevegelse av en tilstrømning av energi. Etter en stund, når tusen baner vises i figuren (under), vil attraktoren bli til en sammenfiltret ball. For å kunne utforske det intern struktur, lager datamaskinen et tverrsnitt av attraktoren - den såkalte Poincare-seksjonen (bilde i en ramme). Denne teknikken reduserer antall målinger fra tre til to. Hver gang banen krysser flyet, etterlater den et punkt på det. Etter hvert dukker det opp et svært detaljert bilde. Prøven vist her består av mer enn åtte tusen punkter, som hver er i en bane rundt attraktoren. Faktisk måles systemet med jevne mellomrom. Noen data går tapt, men andre blir avslørt i all sin mangfoldighet.

Den mest forståelige og enkleste merkelige attraksjonen ble bygget av en mann som er veldig langt unna mysteriene med turbulens og hydrodynamikk - astronom Michel Henon fra Nice-observatoriet på sørkysten av Frankrike. Utvilsomt, i noen henseender, ga astronomi drivkraft til studiet av dynamiske systemer. Planeter som beveget seg med presisjonen til et urverk sørget for Newtons triumf og inspirerte Laplace. Imidlertid skilte den himmelske mekanikken seg betydelig fra den terrestriske: terrestriske systemer som mister energi til friksjon er dissipative, noe som ikke kan sies om astronomiske systemer som anses som konservative eller Hamiltonske. Faktisk, på en skala nær uendelig, selv i astronomiske systemer, observeres noe som bremsing. Det oppstår når stjerner utstråler energi, og tidevannsfriksjon tømmer den kinetiske energien til kretsende himmellegemer. Men for praktisk bekvemmelighet neglisjerer astronomer spredning i beregningene sine, og uten det vil ikke faserommet foldes og krympe for å danne et uendelig antall fraktale lag. En merkelig attraktor kan ikke oppstå. Hva med kaos?

Mer enn én astronom har gjort en karriere utenom dynamiske systemer, men Oenon var ikke slik. Han ble født i Paris i 1931, bare noen år senere enn Lorenz. Oenon var også den typen vitenskapsmann som ble ubønnhørlig tiltrukket av matematikk. Han likte å løse små spesifikke problemer som kunne knyttes til visse fysiske problemer, - med hans egne ord, "ikke det moderne matematikere gjør." Da datamaskiner ble tilgjengelig selv for amatører, hadde Oenon også en bil. Etter å ha samlet det med egen hånd, likte forskeren datamaskinmoro. Forresten, lenge før de beskrevne hendelsene, studerte han et spesielt vanskelig problem fra hydrodynamikkfeltet. Det gjaldt sfæriske klynger – kulehoper av stjerner, der antallet stjerner nådde en million. Dette er de eldste og mest interessante gjenstandene på nattehimmelen. Deres tetthet er forbløffende. Hvordan et så stort antall stjerner eksisterer side om side i en begrenset mengde plass og utvikler seg over tid, har astronomer forsøkt å finne ut av gjennom det 20. århundre.

Fra et dynamikksynspunkt er en sfærisk klynge, som inkluderer mange kropper, et ganske viktig studieemne. Når vi snakker om et par objekter, er det ingen spesielle vanskeligheter - Newton løste dette problemet fullstendig: hver av et par kropper, for eksempel Jorden og Månen, beskriver en ideell ellipse rundt systemets felles tyngdepunkt. Men legg til minst ett gravitasjonsobjekt til, og alt endres. Problemet, der tre kropper dukker opp, er allerede mer enn vanskelig. Som Poincaré viste, er det i de fleste tilfeller uløselig. Det er mulig å beregne banene for et visst tidsintervall, og ved hjelp av kraftige datamaskiner er det mulig å spore dem over en lengre periode inntil interferens oppstår, men ligningene kan ikke løses analytisk, dvs. en langtidsprognose for atferden til et system med tre kropper kan ikke utføres. Er solsystemet stabilt? Selvfølgelig er en slik egenskap iboende i den, men selv i dag er ingen sikker på at banene til noen planeter ikke vil endre seg til det ugjenkjennelige, og tvinge himmellegemer til å forlate solen for alltid.

Et system som den sfæriske klyngen er for komplisert til å kunne nærmes like enkelt som spørsmålet om tre kropper. Klyngedynamikken kan imidlertid studeres med noen triks. Det er spesielt akseptabelt å vurdere enkeltstjerner som reiser i rommet i et gjennomsnittlig gravitasjonsfelt med et visst tyngdepunkt. Fra tid til annen kommer to stjerner nær nok hverandre, og i dette tilfellet bør hver av de samvirkende kroppene vurderes separat. Astronomer innså at sfæriske klynger ikke burde være stabile i det hele tatt: Inne i dem dannes det vanligvis såkalte binære stjernesystemer, der stjerner beveger seg i par i små kompakte baner. Når en tredje stjerne kolliderer med et slikt system, vil en av de tre vanligvis få et kraftig støt. Over tid vil energien som den får gjennom denne interaksjonen nå et nivå som er tilstrekkelig til at stjernen tar opp fart, slik at den kan rømme fra klyngen. Dermed forlater en av kroppene systemet, og klyngerommet etter det er litt komprimert. Da Enon valgte klyngen som emne for doktoravhandlingen sin, antok han vilkårlig at en sfærisk stjernehop, etter å ha endret skala, ville forbli internt lik. Etter å ha gjort beregningene, mottok forskeren et fantastisk resultat: kjernen i klyngen vil "flate ut", tilegne seg kinetisk energi og tendere til en uendelig tett tilstand. Det var vanskelig å forestille seg noe slikt. Dessuten bekreftet ikke klyngeforskningsdataene innhentet på det tidspunktet denne konklusjonen. Imidlertid tok Oenons teori, senere kalt gravitasjons-termisk kollaps, gradvis over hodet til forskerne.

Oppmuntret av resultatet, og klar for overraskelsene som er svært sannsynlige i vitenskapelig arbeid, vendte astronomen seg til de lettere spørsmålene om stjernedynamikk. Han prøvde å søke matematisk tilnærming til velkjente problemer. Da han besøkte Princeton University i 1962, fikk Enon først tilgang til en datamaskin og begynte, i likhet med Lorentz ved Massachusetts Institute of Technology, å modellere stjernenes bane rundt tyngdepunktene deres. Innenfor en rimelig forenkling kan galaktiske baner betraktes som baner for planeter, men med ett unntak: tyngdepunktet her er ikke et punkt, men en tredimensjonal skive.

Enon kompromitterte. "For større frihet til forskning," sa han, "la oss glemme et øyeblikk at problemet er hentet fra astronomi." Selv om forskeren ikke nevnte det, betydde «forskningsfrihet» delvis muligheten til å bruke en datamaskin. Minnekapasiteten til datamaskinen hans, som var veldig treg, var tusen ganger mindre enn den til personlige datamaskiner som dukket opp tjuefem år senere. Men i likhet med andre spesialister som senere jobbet med kaosproblemene, mente Enon at en forenklet tilnærming ville rettferdiggjøre seg selv fullt ut. Med kun fokus på selve essensen av systemet hans, gjorde han oppdagelser som kunne brukes på andre, mer komplekse systemer. Noen år senere ble beregningen av galaktiske baner fortsatt ansett som "teoretikeres moro", men dynamikken til stjernesystemer ble til et objekt for streng og kostbar forskning. Det ble adressert hovedsakelig av de som var interessert i partikkelbaner i akseleratorer og plasmastabilisering i et magnetfelt.

Over en periode på rundt 200 millioner år får stjernebaner i galakser tre dimensjoner, og danner ikke lenger perfekte ellipser. Virkelige tredimensjonale baner er like vanskelige å visualisere som imaginære konstruksjoner i faserom. Dette fikk Henon til å ty til en teknikk som kan sammenlignes med å tegne Poincarés diagrammer: forskeren forestilte seg at i den ene enden av galaksen var et flatt ark plassert vertikalt på en slik måte at hver bane, som en hest som passerer mållinjen ved løpene, gikk gjennom den. Oenon markerte punktet der banen krysset flyet, og sporet bevegelsen til punktet fra en bane til en annen.

Oenon merket prikkene for hånd, men mange som brukte denne teknikken jobbet allerede med datamaskiner, og så prikkene blinke på skjermen som lanterner som ble tent etter hverandre i skumringen. En typisk bane vil starte fra en prikk i nedre venstre hjørne av bildet, deretter ved neste rotasjon vil prikken bevege seg noen tommer til høyre, den nye rotasjonen vil vippe den litt til høyre og opp, osv. Gjenkjenne Enhver form på denne plasseren var vanskelig til å begynne med, men når antall punkter overskred 10–12, begynte en kurve å dukke opp, som lignet omrisset av et egg med konturene. Påfølgende punkter dannet faktisk en sirkel rundt kurven, men siden de ikke dukket opp på samme sted, ble kurven over tid, når antallet økte til hundre eller tusen, tydelig skissert.

De beskrevne banene kan ikke kalles helt regulære, siden de aldri gjentas med nøyaktighet. Det vil imidlertid ikke være feil å betrakte dem som forutsigbare og langt fra kaotiske, fordi punktene aldri vises innenfor kurven eller utenfor den. Tilbake til det utvidede tredimensjonale bildet, kan det bemerkes at kurvene tegner konturen av en toroid eller smultring, og Henons diagram er hans tverrsnitt. Foreløpig avbildet forskeren bare visuelt det hans forgjengere anså som allerede bevist - periodisiteten til banene. Ved Københavns observatorium i nesten tjue år, fra 1910 til 1930, observerte og regnet astronomer nøye ut hundrevis av baner, men de var bare interessert i periodiske. "Jeg, som andre på den tiden, var overbevist om at alle baner må være preget av regularitet," husket Henon. Sammen med sin doktorgradsstudent Karl Hejls fortsatte han imidlertid å beregne mange baner, og økte stadig energinivået til det abstrakte systemet hans. Og snart åpnet noe helt nytt seg for ham.

Først begynte den eggformede kurven å bøye seg, tok på seg mer komplekse former og dannet en åttefigur. Deretter brøt den inn i flere separate former, som lignet en løkke (hver bane ble bøyd av en løkke). Så, ved høyere energinivåer, fant en ny plutselig metamorfose sted. "Tiden er inne for å bli overrasket," skrev forskerne. Noen av banene viste en slik ustabilitet at prikkene "sprett" tilfeldig over hele papirarket. Noen steder var kurver fortsatt synlige, og noen steder ble ikke punktene lenger dannet til linjer. Bildet var imponerende: et åpenbart ferdig rot, der restene av stabilitet var tydelig synlige. Alt sammen tegnet konturer som fikk astronomer til å tenke på en slags "øyer" eller "utvalg av øyer". De prøvde å jobbe på to forskjellige datamaskiner, prøvde andre integreringsmetoder, men resultatene endret seg hardnakket ikke, og forskerne kunne bare studere og tenke.

Ris. 5.5. Baner rundt sentrum av galaksen. I et forsøk på å forstå banene beskrevet av stjerner i galaksens rom, vurderte M. Enon skjæringspunktet mellom baner og et fly. De resulterende bildene var avhengig av den totale mengden energi i systemet. Punktene i en stabil bane dannet gradvis en kontinuerlig kurve, og på andre energinivåer ble en kompleks struktur avslørt - en blanding av kaos og orden, representert av punktspredningssoner.

Basert på deres egne numeriske data, antydet Enon og Heils tilstedeværelsen av en dyp struktur i de resulterende bildene. De antok at med en sterk økning vil flere og flere små øyer dukke opp, og kanskje dette vil fortsette i det uendelige. Det var et presserende behov for et matematisk bevis. "Men det virket ikke så lett å vurdere spørsmålet fra et matematikksynspunkt."

Oenon vendte seg til andre spørsmål, men fjorten år senere, etter å ha lært om de merkelige attraksjonene til David Ruelle og Edward Lorentz, ble astronomen interessert i dem. I 1976 jobbet han allerede ved Nice-observatoriet, som ligger høyt over nivået Middelhavet, på Big Cornice, og der hørte jeg historien til en besøkende fysiker om Lorentz-attraksjonen. Gjesten, ifølge ham, prøvde ved hjelp av forskjellige triks å klargjøre den elegante "mikrostrukturen" til attraktoren, uten å oppnå konkret suksess. Oenon bestemte seg for at han ville gjøre dette, selv om dissipative systemer ikke var i hans interessesfære ("noen ganger er astronomer på vakt mot dem - de er for rotete").

Det forekom ham rimelig å kun konsentrere seg om den geometriske essensen av studieobjektet, abstrahere fra dets fysiske opphav. Der Lorentz og andre brukte differensialligninger som beskrev kontinuerlige endringer i rom og tid, brukte Henon forskjellsligninger som kunne vurderes separat i tid. I følge hans dype overbevisning var nøkkelen til å nøste opp de gjentatte operasjonene med å strekke og brette faserommet - nettopp de som imiterer handlingene til en konditor som ruller ut deig til kaker, bretter den, deretter ruller den ut igjen, bretter den igjen, og danner dermed en skjør flerlagsstruktur. Enon, etter å ha tegnet en oval på et papirark og bestemt seg for å strekke den, valgte en algoritme for denne operasjonen, ifølge hvilken hvert punkt på ovalen ble flyttet til en ny posisjon på figuren, som steg over midten som en bue . Prosedyren som ble utført liknet på å bygge et kart - punkt for punkt ble ovalen til en "bue". Så begynte Oenon en andre operasjon - denne gangen en sammentrekning som presset innover på sidene av buen, og gjorde den smalere. Og den tredje transformasjonen returnerte den smale figuren til dens tidligere dimensjoner, og den falt nøyaktig sammen med den opprinnelige ovalen. For beregningsformål kan alle tre konstruksjonene kombineres i en enkelt funksjon.

I ånden til Oenons transformasjon, gjentok de ideen om Smales "hestesko". Beregningene som kreves av hele prosedyren var så enkle at de kunne utføres uten problemer på en regnemaskin. Hvert punkt har to koordinater: x angir sin posisjon på den horisontale aksen, og y, som spesifiserer posisjonen på den vertikale aksen. For å beregne en ny verdi for en variabel x, må du ta den forrige verdien y, legg til 1 og trekk fra forrige verdi x i annen, multiplisert med 1,4. For å beregne verdien y multipliser forrige verdi x med 0,3. Dermed får vi: x ny = y + 1–1,4x?; y ny = 0,3 x. Oenon valgte en startposisjon nesten tilfeldig, og tok en kalkulator og begynte å sette av poeng, ett etter ett, til antallet nådde flere tusen. Deretter, ved hjelp av IBM-7040-datamaskinen, beregnet han raskt koordinatene til fem millioner poeng. En slik operasjon er tilgjengelig for alle, siden den bare krever en personlig datamaskin med grafisk skjerm.

Til å begynne med så det ut til at prikkene tilfeldig "hoppet" rundt skjermen, og ga samme effekt som Poincare-delen, som viser en tredimensjonal attraktor "vandrende" frem og tilbake på overflaten av skjermen, men raskt nok til å vise en distinkt kontur, buet som en bananfrukt. Jo lenger programmet kjører, jo flere detaljer vises. Det ser ut til at deler av tegningen til og med har en tykkelse. Men i fremtiden bryter sistnevnte opp i to distinkte linjer, som igjen divergerer i fire: to går side om side, og de to andre fjernes fra hverandre. Når vi forstørrer bildet, legger vi merke til at hver av de fire nevnte linjene inkluderer to, og så videre, i det uendelige. I likhet med Lorentz-attraktoren, viser Oenon-attraktoren en endeløs bevegelse i motsatt retning, som en endeløs rekke matryoshka-dukker som er nestet i hverandre.

Ris. 5.6. Oenon-attraksjon. En enkel kombinasjon av folding og strekking ga opphav til en attraktor som er lett å beregne, men som likevel er dårlig forstått av matematikere. Med utseendet til tusenvis og millioner av prikker, dukker flere og flere detaljer opp. Det som ser ut til å være en enkelt linje viser seg å være et par når det forstørres. Så viser det seg at det allerede er fire linjer. Og likevel er det umulig å forutsi om to påfølgende punkter vil forbli side om side eller vil være plassert langt fra hverandre.

Den skjulte detaljen – noen linjer innenfor andre – i sin ferdige form finnes i en serie bilder tatt med stadig større forstørrelser. Imidlertid kan den overnaturlige innflytelsen til en merkelig attraktor oppleves på en annen måte, ved å observere fødselen til en prikket form, som dukker opp som et spøkelse fra tåken. Prikkene som vises så tilfeldig "spres" over overflaten av skjermen at tilstedeværelsen av en hvilken som helst struktur i settet deres, for ikke å nevne en så sammenfiltret og skjør en, virker utrolig. Eventuelle sekvensielt detekterte punkter er vilkårlig langt fra hverandre, akkurat som alle to punkter i begynnelsen av en turbulent strøm er tilstøtende. Etter å ha satt et hvilket som helst antall poeng, er det umulig å forutsi hvor det neste vil vises. Man kan bare anta at det vil være et sted innenfor attraktoren.

Punkter med en slik grad av tilfeldighet "spres" foran øynene dine, og mønsteret virker så flyktig at du ufrivillig glemmer tilhørigheten til den observerte formen til tiltrekkende. Disse konturene er på ingen måte noen bane beskrevet av et dynamisk system; med hensyn til denne banen, konvergerer alle de andre til ett punkt. Det er grunnen til at valget av startbetingelser ikke spiller noen rolle i det hele tatt. Så lenge startpunktet ligger i nærheten av attraktoren, vil de neste punktene konvergere til attraktoren med uvanlig hastighet.

Da David Ruelle i 1974 besøkte Gollab og Sweeney i deres beskjedne laboratorium, viste det seg at teorien og eksperimentet hennes hang veldig løst sammen. Fordelen var dette: litt matematikk, ganske dristig, men teknisk tvilsom; en sylinder med en turbulent væske hvis oppførsel ikke er spesielt bemerkelsesverdig, men som klart motsier den allment aksepterte teorien. Forskerne brukte hele første halvdel av dagen på å diskutere forskningen, og deretter dro Sweeney og Gollub, sammen med konene deres, på ferie til Adirondacks, hvor Gollubene hadde en hytte. De så ikke den merkelige tiltrekkeren med egne øyne og skjønte ikke mye av det som skjer på terskelen til turbulens, men de var fast overbevist om at Landau tok feil, og Ruelle kom mye nærmere sannheten.

En merkelig attraktor, dette fragmentet av universet, gjort synlig takket være en datamaskin, begynte som en enkel sannsynlighet. Han markerte bare området der den rike fantasien til mange vitenskapsmenn fra det 20. århundre ikke klarte å trenge gjennom. Da datamaskinene gjorde jobben sin, innså ekspertene at det resulterende bildet, som ansiktet til en lenge kjent person, flimret overalt: i melodien turbulente strømmer, bak sløret av skyer som dekket himmelen. Naturen har blitt temmet. Det så ut til at lidelsen ble brakt inn i mainstream, dekomponert i mønstre der et felles motiv implisitt ble gjettet.

Årene gikk, og anerkjennelsen av fenomenet merkelige attraksjoner banet vei for en revolusjon i studiet av kaos, og ga de som var involvert i beregningene en klar forskningsagenda. Man begynte å lete etter merkelige attraksjoner der det ble følt uorden i naturfenomener. Mange har hevdet at grunnlaget for været på planeten Jorden ikke er noe mer enn en merkelig attraksjon. Andre, etter å ha samlet millioner av tall fra børsrapporter og behandlet dem på datamaskiner, kikket inn i resultatene i håp om å finne en attraksjon der også.

På midten av 1970-tallet tilhørte slike funn fortsatt fremtiden. Da så ingen attraktoren i resultatene av eksperimentet, og stiene som førte til den var dekket av tåke. Den merkelige attraksjonen fylt med matematisk innhold hittil ukjente grunnleggende kjennetegn ved kaos, spesielt "sterk avhengighet av begynnelsesforhold." "Blanding" var en annen egenskap som ga mening, for eksempel, for en jetmotordesigner som var interessert i den optimale kombinasjonen av drivstoff og oksygen, men ingen visste hvordan de skulle måle slike egenskaper ved å tilordne tall til dem. Rare attraktorer så ut til å være fraktale, det vil si at deres sanne dimensjon var fraksjoner. Ingen visste hvordan de skulle måle det eller hvordan de skulle bruke resultatene av slike målinger til å løse reelle tekniske problemer.

Det viktigste er at ingen kunne si om merkelige attraksjoner ville løfte sløret av hemmelighold over ikke-lineære systemer. Det virket fortsatt som om, i motsetning til lineære systemer, lett løst og klassifisert, ikke-lineære systemer ikke kunne klassifiseres - for ikke å finne to like. Forskere har allerede mistenkt at de felles egenskaper, men når det kom til målinger og beregninger, viste hvert ikke-lineært system seg å være en ting for seg selv. Forståelse av en av dem ga absolutt ingenting for penetrering i den andre. Lorenz-attraktoren avslørte stabiliteten og den skjulte strukturen til et system som ellers virket fullstendig ustrukturert. Men hvordan kunne denne doble helixen hjelpe spesialister med å studere objekter som ikke har noe med det å gjøre? Ingen visste.

Likevel gledet forskerne seg. Oppdagerne av nye former kompromitterte strengheten til den vitenskapelige stilen. Ruelle skrev: "Jeg har ikke nevnt den estetiske virkningen av merkelige attraksjoner. Disse flokene av kurver og svermer av prikker fremmaner noen ganger praktfullt fyrverkeri eller mystiske galakser, noen ganger ligner de på et bisarrt opprør av planter. Foran oss er et stort rike av uoppdagede former og ukjent perfeksjon.

MERKelig ATTRAKTOR

Det tiltrekkende settet med ustabile baner i faserommet til en dissipativ dynamisk system. En S.A., i motsetning til en attraktor, er ikke en manifold (det vil si at den ikke er en kurve eller en overflate); sin geom. enheten er veldig kompleks, og strukturen er fraktal (se fig. fraktaler). Derfor fikk han navnet. "rart" [D. Ruelle (D. Ruelle), F. Takens (F. Takens)]. Det faktum at alle baner som ligger i nærheten av en S. a. er tiltrukket av den ved , er grunnleggende relatert til naturen til ustabilitetene til dens konstituerende baner (bifurkasjon, grensesyklus). BanerS. EN. beskrive stasjonær stokastisk. selvsvingninger, opprettholdes i et dissipativt system på grunn av energien til det ytre. kilde. S. a. typisk bare for selvsvingninger. systemer hvis faseromsdimensjon er mer enn to (fig. 1). Det første studerte systemet med S. og. - Lorenz system- tredimensjonale.

Ris. 1. Merkelig attraktor i et system beskrevet av ligninger av typen (1).

Systemer med periodisk selvsvingninger, matematikk. bildet som er grensesyklusen, er det mulig å undersøke ganske fullt ved å bruke metodene til den kvalitative teorien om differensialteorien. ur-sjon. Konstruksjonen av teorien stokastiske svingninger, som spesielt består i definisjonen (prediksjon) av egenskapene til egenskapene til S. a. i henhold til de gitte parametrene til systemet er det ekstremt vanskelig selv for tredimensjonale systemer. En slik konstruksjon kan imidlertid utføres, Eksempel. Akkurat som Van der Pol-generatoren er den enkleste kanoniske. et eksempel på et system som viser periodisk. selvsvingninger, skjema 2a og definering av en noe komplisert Van der Pol-generator, kan tjene som et av de enkleste eksemplene på stokastiske generatorer. b. Så lenge strømmen Jeg i kretsen og spenningen på nettet . er små, gjengir ikke tunneldioden skapninger. innflytelse på oscillasjonene i kretsen, og de, som i en konvensjonell rørgenerator, øker. I dette tilfellet flyter strømmen gjennom tunneldioden Jeg, og spenningen på den bestemmes av den karakteristiske grenen I(V). Når er strømmen Jeg når verdien jeg t, det er en nesten øyeblikkelig veksling av tunneldioden (svitsjehastighet er forbundet med en liten kapasitans C 1) - spenningen settes brått V m . Da synker strømmen gjennom tunneldioden og den skifter tilbake fra seksjonen til . Som et resultat av to omkoblinger absorberer tunneldioden nesten fullstendig energien som kommer inn i kretsen og svingningene begynner å vokse igjen. (Når man vurderer driften av kretsen, kan karakteristikken til lampen betraktes som lineær; dette rettferdiggjøres av det faktum at i den modusen som er av interesse for oss, er oscillasjonene begrenset til den ikke-lineære karakteristikken til tunneldioden.) Dermed det genererte signalet U(t) er en sekvens av tog med økende svingninger; slutten av hvert tog er preget av et spenningshopp V(t).

Ris. Fig. 2. Skjematisk diagram (a) av en enkel Van der Pol-støygenerator med en tunneldiode lagt til nettkretsen. Volt-ampere karakteristikk (b) for et ikke-lineært element - en tunneldiode.

For en kvantitativ beskrivelse av driften av kretsen, de innledende ligningene

konvertert til dimensjonsløs form:

Hvor x = I/I m, z=V/Vm ,

- normalisert karakteristikk av dioden. Her er en liten parameter. Derfor er alle bevegelser i faserommet (fig. 3)

Ris. 3. Oppførsel av baner i faserommet til system (1) for

kan brytes ned i hurtigkoblingsdioder (direkte x = konst, y= const) og sakte, der spenningen på dioden "følger" strømmen; de tilsvarende banene ligger på overflatene EN Og B[x = f(z), f"(z) >0], tilsvarende seksjonene og egenskapene til dioden.

Systemet har en ustabil [ved ] likevektstilstand x = y = z= 0 saltype. Baner liggende på overflaten EN, snurre rundt et ustabilt fokus og når til slutt kanten av overflaten EN. Her oppstår et bruddpunkt, som gjenspeiler tilstanden til systemet (de såkalte representasjonspunktene) på fasebanen langs linjen med raske bevegelser til overflaten I. Går gjennom I, som representerer punkt bryter tilbake til overflaten EN og faller i nærheten av likevektstilstanden - et nytt tog med økende svingninger begynner. Poincaré-kartet som tilsvarer ligningene (1) kan beskrives stykkevis av en kontinuerlig funksjon, hvis graf er vist i fig.5. Lineært snitt I med koeffisient. hellingsvinkel, større enn én, beskriver avviklingen av banen på overflaten av langsomme bevegelser EN, tilsvarende økningen i svingninger i kretsen. Del II beskriver stadiet for retur av baner, A til overflaten I, tilbake til EN(Se fig. 3). Alle baner som ligger utenfor bunnen av firkanten indikert med den stiplede linjen går inn i den med asymptotisk store tidsverdier, dvs. området D- absorberende og inneholder en attraktor. Alle baner i denne regionen er ustabile, dvs. attraktoren er merkelig. egenskapene til stokastisitet av bevegelser (som vist av numeriske studier) er bevart.

Ris. 4. Effektspekteret til signalet generert av kretsen vist i fig. 2a og oscillogrammet til dette signalet.

Ris. 5. Graf over funksjonen f(x), som beskriver dynamikken til kretsen i fig. 2 kl.

Fraktal dimensjon. Alle typer statistikk. egenskapene til et tilfeldig signal generert dynamisk. et system med S. a., kan beskrives dersom sannsynlighetsfordelingen for systemets tilstander er kjent. Det er imidlertid ekstremt vanskelig å oppnå (og bruke) denne fordelingen for spesifikke systemer med S.A. (om bare fordi distribusjonstettheten til et invariant sannsynlighetsmål alltid er entall). Det er en av grunnene, på et kutt for S. sin beskrivelse og.

hvor en fast parameter er tallet n-dimensjonale kuler med diameter som dekker S. a. dynamisk systemer med n-dimensjonalt faserom.

Dimensjonen definert i henhold til ligning (2) Med kan åpenbart ikke være n, men kan være mindre P(n-dimensjonale kuler kan være nesten tomme). For "vanlige" sett gir ligning (2) åpenbare resultater. Så, for et sett med k poeng,; for en lengdedel L rett lilje,;for et stykke kvadrat S todimensjonal overflate osv. Ulikheten mellom dimensjon til et heltall tilsvarer en kompleks geom. 2.6).

Med fysisk synspunkt, esp. "verdighet" til den fraktale dimensjonen til S. a. og antall frihetsgrader ra har formen:

Bifurkasjoner merkelige attraksjoner. Måter for fødsel av stokastisk. Feigenbaum manus - kjede bifurkasjoner dobling av perioden for en stabil grensesyklus. Hvis, når du endrer kontrollparameteren, den periodiske I et n-dimensjonalt faserom bestemmes oppførselen til banene til Poincaré-kartet i nærheten av grensesyklusperioden som gjennomgår en bifurkasjon av dobling av funksjonen, for eksempel, f(x), grafen ligner på en parabel. Denne funksjonen beskriver sammenhengen mellom koordinatene i retning av eiendommen. underrom til lineariseringsoperatøren til Poincaré-kartet som tilsvarer multiplikatoren (-1) ( j + 1)-goi av det j-te skjæringspunktet for banen til Poincaré-sekantsystemet: xj+1= f(xj). Den nye stabile grensesyklusen av en dobbel periode tilsvarer en to-periode. vise banen f.Med en ytterligere endring i bifurkasjonsparameteren, blir periodedoblinger uendelig gjentatt, og bifurkasjoner. verdier, for eksempel, akkumuleres til kritiske punkt som tilsvarer forekomsten av S. a. I samsvar med Feigenbaum-scenariet er det en universell (uavhengig av spesifikt system) lov

hvor \u003d 4,6692 ... er den universelle Feigenbaum-konstanten (se. Feigenbaum universalitet).

Født S. a. ved faste svar flere. intervaller på aksen X; seksjonene mellom disse intervallene inneholder baner som er tiltrukket av attraktoren, og også 2 m-periodisk (i forhold til visningen f), ustabile grensesykluser, med start fra noen m0 og mindre. Med en økning i parameteren vil hastigheten til banene på S. a. øker, og den "svulmer", og absorberer suksessivt ustabile grensesykluser av perioder 2 t+1,2 t, ... I dette tilfellet, antall segmenter som tilsvarer attraktoren,

Ris. 6. "Reverse bifurkasjoner" av periodedobling, som illustrerer hevelsen av attraktoren som oppsto i henhold til Feigenbaum-scenarioet.

Intermittens. I mange systemer under passasjen av kontrollparameteren (for eksempel) gjennom en bifurkasjon. verdiovergang til stokastisk. selvsvingninger utad utført som et sjeldent brudd på vanlige svingninger "stokastisk. sprut." I dette tilfellet er varigheten av den laminære (regulære) fasen lengre, jo lavere er superkritikken. Når superkritikken øker, avtar varigheten av den regulære fasen. Dette bildet tolkes av følgende utvikling av hovedbildet. gjenstander i faserommet, "merker" de at den gamle attraktoren har forsvunnet, og forblir nær separatrixen (også forsvunnet) i salgrensesyklusen, går de til en annen del av faserommet. Hvis i subkritisk Hvis systemet var globalt stabilt (dvs. det var bare ett tiltrekkende objekt), så faller disse banene etter en tid igjen i nærheten av den forsvunne grensesyklusen. Hvis samtidig i subkritisk. utvalget av verdier for parameterne til separatrisen til salsyklusen ble innebygd i faserommet av en ganske kompleks geom. måte (dannet et uendelig antall folder - "korrugert", inneholdt heterokliniske baner av andre salsykluser, etc.), det vil si at den forbigående prosessen viste uregelmessig oppførsel, så vil tiden det tar å komme inn i nærheten av den forsvunne syklusen allerede være en tilfeldig variabel. Videre gjentas den laminære fasen. I tillegg til disse hovedmåtene for S.s forekomst, en. Ganske ofte er det også overganger til kaotisk. selvsvingninger gjennom ødeleggelse av kvasi-periodiske (i faserommet, når kontrollparametrene endres, mister den jevnhet og den tiltrekkende todimensjonale torusen blir ødelagt) og kombinerte scenarier.

Flerdimensjonal merkelige attraksjoner ofte funnet i systemer med et stort antall frihetsgrader. Blant de mulige mekanismene, Turbulens).

Litt.: 1) Rabinovich M. I., Trubetskov D. I., Introduksjon til teorien om oscillasjoner og bølger, M., 1984; 2) A. Lichtenberg, M. Lieberman, Regular stochastic dynamics, trans. fra English, M., 1984; 3) Afraimovich V. S., Reiman A. M., Dimensjon og entropi i flerdimensjonale systemer, i boken: Ikke-lineære bølger. Dynamics and Evolution, red. A. V. Gaponov-Grekhov, M. I. Rabinovich, V. S. Afraimovich, M.

• vandre, være i et fremmed land ...

  Kort kirkeslavisk ordbok

• - se Synergetics...

  Stor psykologisk leksikon

• - merkelig senior-herlighet. merkelig ξένος. Fra tidligere...

  Vasmers etymologiske ordbok

• - Lån fra gammelslavisk, hvor det er dannet fra landet, som på det gamle russiske språket hadde betydningen "fremmed land, fremmede mennesker" ...

  Etymologisk ordbok for det russiske språket av Krylov

• - A/C pr se _Vedlegg II merkelig merkelig merkelig merkelig rarere 259 se _Vedlegg II - Hvorfor snakker du så ugunstig om ham? For det faktum at vi er rastløst travle, dømmer alt ... & GT ...

  Ordbok med russiske aksenter

• - kr.f. land / nen, merkelig /, land / nno, land / nn ...

  Staveordbok for det russiske språket

• - RARE, th, th; -anen, -anna, -anno. Uvanlig, uforståelig, forvirrende. C. karakter. C. visning. Jeg synes oppførselen hans er merkelig. Jeg er overrasket over at han ikke ringer...

  Forklarende ordbok for Ozhegov

• - RART, rart, rart; rart, rart, rart. 1. Uvanlig, vanskelig å forklare, forvirrende. Merkelig måte å snakke på. Rare utseende. "De stille møtene var merkelige ...

  Ushakovs forklarende ordbok

• Forklarende ordbok til Efremova

• - merkelig jeg adj. Uvanlig, forvirrende. II adj. Utdatert Er på vei; vandrende, merkelig...

  Forklarende ordbok til Efremova

• - merkelig adj., bruk. veldig ofte Morfologi: rart, rart, rart, rart; fremmed; nar. merkelig 1...

  Ordbok av Dmitriev

• - str "data; kortform -" anen, -ann "a, -" ...

  Russisk rettskrivningsordbok

• - Lån. fra st.-sl. lang. Suf. avledet fra land i betydningen "fremmed land, folk", på annet russisk. lang. denne verdien er fortsatt kjent. Til å begynne med - "alien", "alien", deretter - "uvanlig, uforståelig," ...

  Etymologisk ordbok for det russiske språket

• - @font-face (font-family: "ChurchArial"; src: url;) span (font-size:17px; font-weight:normal !important; font-family: "ChurchArial",Arial,Serif;)   adj. - vandrer, vandrer; outsider, fremmed; fantastisk...

  Kirkeslavisk ordbok

• - ...

  Ordformer

• - punktum...

  Synonymordbok

"STRANG ATTRACTOR" i bøker

merkelig smak

forfatter

merkelig smak

Fra boken Little Mountain Workers [Maur] forfatter Marikovsky Pavel Iustinovich

Merkelig smak, men bør du prøve å holde et gult Lasius-rede i fangenskap? På senhøsten henger jeg stykker av bomullsull nær flere reir på buskene. Og når vinteren kommer, går vi på ski for innbyggerne i underjordiske boliger.Vi måker raskt snøen til side, graver

Merkelig reservat

Fra boken Mine reiser. neste 10 år forfatter Konyukhov Fedor Filippovich

Strange Reserve 24. april 2002. Atsan-Khuduk (Kalmykia, Yashkul-regionen) - Tee (Kalmykia, Yashkul-regionen) - 31 km Caravan på territoriet til Black Lands-reservatet. Den dekker tre regioner i Russland - republikken Kalmykia, Astrakhan-regionen og republikken

MERKELIG HUS

Fra boken Red Devil forfatter Demin Mikhail

RARE HUS Forlatt alene spredte jeg papirene på bordet. Satt ned, røykte. Og jeg tenkte: Jeg gikk over dagens hendelser i minnet mitt, og prøvde å finne ut av dem. Og plutselig, det er ikke klart hvorfor, dukket et barndomsvisjon opp foran meg. Jeg kalte ikke dette minnet, det kom av seg selv ... Vårt minne er som

En merkelig drøm

Fra boken General Dima. Karriere. Fengsel. Kjærlighet forfatter Yakubovskaya Irina Pavlovna

En merkelig drøm ... jeg vil aldri glemme denne drømmen. Jeg drømte om ham 13. mars, fra torsdag til fredag. Som om Dima var på landet, og jeg var alene hjemme. Jeg ville plutselig overraske ham - for å glede ham med min uventede ankomst. Da jeg nærmet meg dachaen, så jeg sterkt opplyst

MERKENDE VERDEN

Fra boken Slik er min alder forfatter Shakhovskaya Zinaida Alekseevna

STRANGE WORLD Mine herrer, showet er over. Dyd, unnskyld meg, last blir straffet, men dyd ... Men hvor

OBJEKT SOM EN RAR ATTRAKTØR

Fra boken Transparency of Evil forfatter Baudrillard Jean

OBJEKT SOM EN UNDERLIG ATTRAKTOR Til syvende og sist er bildene av alt som er fremmed for oss legemliggjort i ett enkelt bilde - i bildet av Objektet. Objektets uforsonlighet og irredentisme er det eneste som gjenstår. Selv på vitenskapens horisont fremstår objektet som stadig mer unnvikende,

Hva er "den store attraksjonen"?

Fra boken 100 store mysterier i astronomi forfatter Volkov Alexander Viktorovich

Hva er "den store attraksjonen"? Fram til begynnelsen av det 20. århundre ble vår galakse ansett som et unikt objekt. I dag vet vi at det kanskje er minst 125 milliarder galakser i den delen av universet som er tilgjengelig for vår observasjon. Hver av dem inneholder milliarder eller billioner.

Great Attractor, eller superattraksjon

Fra boken 100 store hemmeligheter i universet forfatter Bernatsky Anatoly

Great Attractor, eller super-attraksjon i begynnelsen siste tiåret I det siste århundret har astronomer fastslått at galakser flyr fra hverandre i verdensrommet, ikke én etter én, men i enorme klynger, som fugleflokker under flyvninger. Så, Melkeveien sammen med

"merkelig" gave

Fra boken Uskyldig lesing forfatter Kostyrko Sergey Pavlovich

"Strange" gave Sergei Dovlatov. "En tale uten årsak ... eller en redaktørspalte". M.: Makhaon, 2006. Med alle bevisene litterær gave Sergei Dovlatovs gave er merkelig. Kritikeren Eliseev, for å analysere en av historiene hans, ble tvunget til å trekke på konteksten, hverken mer eller mindre.

MERKENDE HUND

Fra boken Restless Nosir forfatter Ortykov Bolt

MERKENDE HUND Landsbyen vår Chinor ligger ved foten av høye fjell. "Chinor" på tadsjikisk betyr "platantre". Landsbyen ble kalt slik, sannsynligvis fordi det i sentrum, ved siden av tavlen til kollektivbruket, vokser et høyt tett platantre. Hun kan sees langt, langt borte! I skyggen av et platan - et tehus og

bakrus-attraksjon

Fra boken Kritikk av uren fornuft forfatter Silaev Alexander Yurievich

Hangover-attraktiv Prosessen med å vende tilbake til seg selv fra en bakrus er interessant: funksjonen til å tenke-beslutninger gjenopprettes først, deretter skriving, og først deretter lesing (skriving er allerede normalt, men lesing er skrot). Men dette er for meg personlig. Betyr dette noe, eller er det?Og banalt: hvis

1. Merkelig verden

Fra boken Faulkner - Essay om kreativitet forfatter Anastasiev Nikolay Arkadievich

1. Merkelig verden Når du åpner nesten hvilken som helst av Faulkners romaner, føler du umiddelbart at du er i et stort, betydningsfullt, rikt land, i et land som lever et ekstremt intenst liv, et land hvis problemer er av eksepsjonell betydning. Men for å tyde lovene i dette

"Jeg er rar, rar"

Fra boken Levende tradisjon fra XX århundre. Om helgener og asketer i vår tid forfatter Nikiforova Alexandra Yurievna

«Merkelig meg, merkelig» Zurab Varazi: Noen dager før far Gabriels død bestemte jeg meg for å ta blodet hans for analyse. Da jeg spurte ham om det, svarte presten: "Hvorfor trenger du blod?" Jeg forklarte at det var nødvendig å sjekke hemoglobin, leverfunksjon osv.

Rar

Fra boken Generalens datter forfatter Petrov Alexander Petrovich

Den merkelige gamle kvinnen Harina fanget Natasha. Så hun annonserte seg selv. Natasha hjalp barnepiken med husarbeidet og lyttet til den gamle kvinnen, som ikke kunne si nok "endelig". Sergey spikret noe et sted, rettet det ut og satte kursen mot templet. Han lukket bare porten bak seg,