Egenskapene og grafene til potensfunksjoner presenteres for ulike verdier av eksponenten. Grunnformler, domener og verdisett, paritet, monotonisitet, økning og reduksjon, ekstrema, konveksitet, bøyninger, skjæringspunkter med koordinatakser, grenser, spesielle verdier.

Kraftfunksjonsformler

På domenet til potensfunksjonen y = x p, gjelder følgende formler:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Egenskaper til potensfunksjoner og deres grafer

Potensfunksjon med eksponent lik null, p = 0

Hvis eksponenten til potensfunksjonen y = x p er lik null, p = 0, er potensfunksjonen definert for alle x ≠ 0 og er konstant, lik en:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Potensfunksjon med naturlig oddetallseksponent, p = n = 1, 3, 5, ...

Betrakt en potensfunksjon y = x p = x n med naturlig oddetallseksponent n = 1, 3, 5, ... . En slik indikator kan også skrives som: n = 2k + 1, hvor k = 0, 1, 2, 3, ... er et ikke-negativt heltall. Nedenfor er egenskapene og grafene til slike funksjoner.

Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig oddetallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = 1, 3, 5, ... .

Domene: -∞ < x < ∞
Flere verdier: -∞ < y < ∞
Paritet: oddetall, y(-x) = - y(x)
Monotone:øker monotont
Ekstrem: Nei
Konveks:
på -∞< x < 0 выпукла вверх
på 0< x < ∞ выпукла вниз
Knekkpunkter: x=0, y=0
x=0, y=0
Grenser:
;
Private verdier:
ved x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
for x = 0, y(0) = 0 n = 0
for x = 1, y(1) = 1 n = 1
Omvendt funksjon:
for n = 1 er funksjonen invers til seg selv: x = y
for n ≠ 1 er den inverse funksjonen en rot av grad n:

Potensfunksjon med naturlig jevn eksponent, p = n = 2, 4, 6, ...

Betrakt en potensfunksjon y = x p = x n med naturlig jevn eksponent n = 2, 4, 6, ... . En slik indikator kan også skrives som: n = 2k, hvor k = 1, 2, 3, ... er et naturlig tall. Egenskapene og grafene til slike funksjoner er gitt nedenfor.

Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig jevn eksponent for ulike verdier av eksponenten n = 2, 4, 6, ... .

Domene: -∞ < x < ∞
Flere verdier: 0 ≤ y< ∞
Paritet: jevn, y(-x) = y(x)
Monotone:
for x ≤ 0 avtar monotont
for x ≥ 0 øker monotont
Ekstrem: minimum, x=0, y=0
Konveks: konveks ned
Knekkpunkter: Nei
Skjæringspunkter med koordinatakser: x=0, y=0
Grenser:
;
Private verdier:
for x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
for x = 0, y(0) = 0 n = 0
for x = 1, y(1) = 1 n = 1
Omvendt funksjon:
for n = 2, kvadratrot:
for n ≠ 2, roten av grad n:

Potensfunksjon med heltalls negativ eksponent, p = n = -1, -2, -3, ...

Betrakt en potensfunksjon y = x p = x n med en negativ heltallseksponent n = -1, -2, -3, ... . Hvis vi setter n = -k, hvor k = 1, 2, 3, ... er et naturlig tall, kan det representeres som:

Graf av en potensfunksjon y = x n med en negativ heltallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = -1, -2, -3, ... .

Odd eksponent, n = -1, -3, -5, ...

Nedenfor er egenskapene til funksjonen y = x n med en oddetall negativ eksponent n = -1, -3, -5, ... .

Domene: x ≠ 0
Flere verdier: y ≠ 0
Paritet: oddetall, y(-x) = - y(x)
Monotone: avtar monotont
Ekstrem: Nei
Konveks:
på x< 0 : выпукла вверх
for x > 0 : konveks ned
Knekkpunkter: Nei
Skjæringspunkter med koordinatakser: Nei
Skilt:
på x< 0, y < 0
for x > 0, y > 0
Grenser:
; ; ;
Private verdier:
for x = 1, y(1) = 1 n = 1
Omvendt funksjon:
for n = -1,
for n< -2 ,

Even eksponent, n = -2, -4, -6, ...

Nedenfor er egenskapene til funksjonen y = x n med en jevn negativ eksponent n = -2, -4, -6, ... .

Domene: x ≠ 0
Flere verdier: y > 0
Paritet: jevn, y(-x) = y(x)
Monotone:
på x< 0 : монотонно возрастает
for x > 0: monotont avtagende
Ekstrem: Nei
Konveks: konveks ned
Knekkpunkter: Nei
Skjæringspunkter med koordinatakser: Nei
Skilt: y > 0
Grenser:
; ; ;
Private verdier:
for x = 1, y(1) = 1 n = 1
Omvendt funksjon:
for n = -2,
for n< -2 ,

Potensfunksjon med rasjonell (brøk) eksponent

Tenk på en potensfunksjon y = x p med en rasjonell (brøk)eksponent , der n er et heltall, m > 1 er et naturlig tall. Dessuten har ikke n, m felles divisorer.

Nevneren til brøkindikatoren er oddetall

La nevneren til brøkeksponenten være oddetall: m = 3, 5, 7, ... . I dette tilfellet er potensfunksjonen x p definert for både positive og negative x-verdier. Vurder egenskapene til slike potensfunksjoner når eksponenten p er innenfor visse grenser.

p er negativ, s< 0

La den rasjonelle eksponenten (med oddetall m = 3, 5, 7, ... ) være mindre enn null: .

Grafer av eksponentielle funksjoner med en rasjonell negativ eksponent for ulike verdier av eksponenten, der m = 3, 5, 7, ... er oddetall.

Oddeteller, n = -1, -3, -5, ...

Her er egenskapene til potensfunksjonen y = x p med en rasjonell negativ eksponent , der n = -1, -3, -5, ... er et oddetall negativt, m = 3, 5, 7 ... er et oddetall.

Domene: x ≠ 0
Flere verdier: y ≠ 0
Paritet: oddetall, y(-x) = - y(x)
Monotone: avtar monotont
Ekstrem: Nei
Konveks:
på x< 0 : выпукла вверх
for x > 0 : konveks ned
Knekkpunkter: Nei
Skjæringspunkter med koordinatakser: Nei
Skilt:
på x< 0, y < 0
for x > 0, y > 0
Grenser:
; ; ;
Private verdier:
for x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
for x = 1, y(1) = 1 n = 1
Omvendt funksjon:

Partall teller, n = -2, -4, -6, ...

Egenskaper for en potensfunksjon y = x p med en rasjonell negativ eksponent, der n = -2, -4, -6, ... er et partall negativt heltall, m = 3, 5, 7 ... er et oddetall .

Domene: x ≠ 0
Flere verdier: y > 0
Paritet: jevn, y(-x) = y(x)
Monotone:
på x< 0 : монотонно возрастает
for x > 0: monotont avtagende
Ekstrem: Nei
Konveks: konveks ned
Knekkpunkter: Nei
Skjæringspunkter med koordinatakser: Nei
Skilt: y > 0
Grenser:
; ; ;
Private verdier:
for x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
for x = 1, y(1) = 1 n = 1
Omvendt funksjon:

P-verdien er positiv, mindre enn én, 0< p < 1

Graf av en potensfunksjon med en rasjonell eksponent (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Oddeteller, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domene: -∞ < x < +∞
Flere verdier: -∞ < y < +∞
Paritet: oddetall, y(-x) = - y(x)
Monotone:øker monotont
Ekstrem: Nei
Konveks:
på x< 0 : выпукла вниз
for x > 0 : konveks opp
Knekkpunkter: x=0, y=0
Skjæringspunkter med koordinatakser: x=0, y=0
Skilt:
på x< 0, y < 0
for x > 0, y > 0
Grenser:
;
Private verdier:
for x = -1, y(-1) = -1
for x = 0, y(0) = 0
for x = 1, y(1) = 1
Omvendt funksjon:

Partall teller, n = 2, 4, 6, ...

Egenskapene til potensfunksjonen y = x p med en rasjonell eksponent , som er innenfor 0, presenteres.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domene: -∞ < x < +∞
Flere verdier: 0 ≤ y< +∞
Paritet: jevn, y(-x) = y(x)
Monotone:
på x< 0 : монотонно убывает
for x > 0: monotont økende
Ekstrem: minimum ved x = 0, y = 0
Konveks: konveks oppover ved x ≠ 0
Knekkpunkter: Nei
Skjæringspunkter med koordinatakser: x=0, y=0
Skilt: for x ≠ 0, y > 0
Grenser:
;
Private verdier:
for x = -1, y(-1) = 1
for x = 0, y(0) = 0
for x = 1, y(1) = 1
Omvendt funksjon:

Eksponenten p er større enn én, p > 1

Graf av en potensfunksjon med en rasjonell eksponent (p > 1 ) for ulike verdier av eksponenten, der m = 3, 5, 7, ... er oddetall.

Oddeteller, n = 5, 7, 9, ...

Egenskaper til en potensfunksjon y = x p med en rasjonell eksponent større enn én: . Der n = 5, 7, 9, ... er et oddetall, m = 3, 5, 7 ... er et oddetall.

Domene: -∞ < x < ∞
Flere verdier: -∞ < y < ∞
Paritet: oddetall, y(-x) = - y(x)
Monotone:øker monotont
Ekstrem: Nei
Konveks:
på -∞< x < 0 выпукла вверх
på 0< x < ∞ выпукла вниз
Knekkpunkter: x=0, y=0
Skjæringspunkter med koordinatakser: x=0, y=0
Grenser:
;
Private verdier:
for x = -1, y(-1) = -1
for x = 0, y(0) = 0
for x = 1, y(1) = 1
Omvendt funksjon:

Partall teller, n = 4, 6, 8, ...

Egenskaper til en potensfunksjon y = x p med en rasjonell eksponent større enn én: . Der n = 4, 6, 8, ... er et partall naturlig tall, er m = 3, 5, 7 ... et oddetall.

Domene: -∞ < x < ∞
Flere verdier: 0 ≤ y< ∞
Paritet: jevn, y(-x) = y(x)
Monotone:
på x< 0 монотонно убывает
for x > 0 øker monotont
Ekstrem: minimum ved x = 0, y = 0
Konveks: konveks ned
Knekkpunkter: Nei
Skjæringspunkter med koordinatakser: x=0, y=0
Grenser:
;
Private verdier:
for x = -1, y(-1) = 1
for x = 0, y(0) = 0
for x = 1, y(1) = 1
Omvendt funksjon:

Nevneren til brøkindikatoren er partall

La nevneren til brøkeksponenten være jevn: m = 2, 4, 6, ... . I dette tilfellet er potensfunksjonen x p ikke definert for negative verdier av argumentet. Egenskapene sammenfaller med egenskapene til en potensfunksjon med en irrasjonell eksponent (se neste avsnitt).

Power funksjon med irrasjonell eksponent

Betrakt en potensfunksjon y = x p med en irrasjonell eksponent p . Egenskapene til slike funksjoner skiller seg fra de som er vurdert ovenfor ved at de ikke er definert for negative verdier av x-argumentet. For positive verdier av argumentet avhenger egenskapene kun av verdien til eksponenten p og avhenger ikke av om p er heltall, rasjonell eller irrasjonell.

y = x p for forskjellige verdier av eksponenten p .

Effektfunksjon med negativ s< 0

Domene: x > 0
Flere verdier: y > 0
Monotone: avtar monotont
Konveks: konveks ned
Knekkpunkter: Nei
Skjæringspunkter med koordinatakser: Nei
Grenser: ;
privat verdi: For x = 1, y(1) = 1 p = 1

Potensfunksjon med positiv eksponent p > 0

Indikatoren er mindre enn én 0< p < 1

Domene: x ≥ 0
Flere verdier: y ≥ 0
Monotone:øker monotont
Konveks: konveks opp
Knekkpunkter: Nei
Skjæringspunkter med koordinatakser: x=0, y=0
Grenser:
Private verdier: For x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
For x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indikatoren er større enn én p > 1

Domene: x ≥ 0
Flere verdier: y ≥ 0
Monotone:øker monotont
Konveks: konveks ned
Knekkpunkter: Nei
Skjæringspunkter med koordinatakser: x=0, y=0
Grenser:
Private verdier: For x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
For x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook of Mathematics for ingeniører og studenter ved høyere utdanningsinstitusjoner, Lan, 2009.

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Offentliggjøring til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• I tilfelle det er nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettslige prosesser og / eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra statlige organer på territoriet til den russiske føderasjonen - avslør din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre formål av allmenn interesse.
• Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Avsnittet inneholder referansemateriale om grunnleggende elementære funksjoner og deres egenskaper. En klassifisering av elementære funksjoner er gitt. Nedenfor er lenker til underavsnitt som diskuterer egenskapene til spesifikke funksjoner - grafer, formler, deriverte, antiderivater (integraler), utvidelser til serier, uttrykk i form av komplekse variabler.

Referansesider for elementære funksjoner

Klassifisering av elementære funksjoner

Algebraisk funksjon er en funksjon som tilfredsstiller ligningen:
,
hvor er et polynom i den avhengige variabelen y og den uavhengige variabelen x . Det kan skrives som:
,
hvor er polynomer.

Algebraiske funksjoner er delt inn i polynomer (hele rasjonelle funksjoner), rasjonelle funksjoner og irrasjonelle funksjoner.

Hele rasjonelle funksjonen, som også kalles polynom eller polynom, er hentet fra variabelen x og et endelig antall tall ved å bruke de aritmetiske operasjonene addisjon (subtraksjon) og multiplikasjon. Etter å ha åpnet parentesene, reduseres polynomet til den kanoniske formen:
.

Brøkdel rasjonell funksjon, eller rett og slett rasjonell funksjon, er hentet fra variabelen x og et endelig antall tall ved å bruke de aritmetiske operasjonene addisjon (subtraksjon), multiplikasjon og divisjon. Den rasjonelle funksjonen kan reduseres til formen
,
hvor og er polynomer.

Irrasjonell funksjon er en algebraisk funksjon som ikke er rasjonell. Som regel forstås en irrasjonell funksjon som røtter og deres sammensetninger med rasjonelle funksjoner. En rot av grad n er definert som en løsning på ligningen
.
Den er merket slik:
.

Transcendente funksjoner kalles ikke-algebraiske funksjoner. Dette er eksponentielle, trigonometriske, hyperbolske og inverse funksjoner.

Oversikt over grunnleggende elementære funksjoner

Alle elementære funksjoner kan representeres som et endelig antall addisjons-, subtraksjons-, multiplikasjons- og divisjonsoperasjoner utført på et uttrykk av formen:
z t.
Inverse funksjoner kan også uttrykkes i form av logaritmer. De viktigste elementære funksjonene er listet opp nedenfor.

Strøm funksjon:
y(x) = x p ,
hvor p er eksponenten. Det avhenger av basen til x.
Inversen til en potensfunksjon er også en potensfunksjon:
.
For en heltalls ikke-negativ verdi av eksponenten p, er det et polynom. For en heltallsverdi er p en rasjonell funksjon. Med en rasjonell verdi - en irrasjonell funksjon.

Transcendente funksjoner

Eksponentiell funksjon:
y(x) = a x ,
hvor a er basis for graden. Det avhenger av eksponenten x.
Den inverse funksjonen er logaritmen for å basere a:
x= logg et y.

Eksponent, e i potensen av x:
y(x) = e x ,
Dette er en eksponentiell funksjon hvis deriverte er lik selve funksjonen:
.
Grunnlaget for eksponenten er tallet e:
≈ 2,718281828459045... .
Invers funksjon - naturlig logaritme - logaritme til bunnen av e:
x= ln y ≡ log e y.

Trigonometriske funksjoner:
Sinus : ;
Cosinus: ;
Tangent : ;
Kotangens: ;
Her er i en tenkt enhet, i 2 = -1.

Inverse trigonometriske funksjoner:
Arcsinus: x = arcsin y, ;
Arccosine: x = bue cos y, ;
Arktangens: x = arctg y, ;
Buetangens: x = arcctg y, .

For å forstå dette emnet, vurder funksjonen vist på grafen // La oss vise hvordan funksjonsgrafen lar deg bestemme egenskapene.

Vi analyserer egenskapene til en funksjon ved å bruke et eksempel

Omfanget av funksjonen er yavl. intervall [ 3,5; 5,5].

Rekkevidden til funksjonen yavl. intervall [ 1; 3].

1. Ved x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, er verdien av funksjonen null.

Verdien av argumentet, der verdien av funksjonen er null, kalles null for funksjonen.

//de. for denne funksjonen tallene -3;-1;1,5; 4,5 er null.

2. På intervallene [ 4,5; 3) og (1; 1.5) og (4.5; 5.5] grafen til funksjonen f er plassert over abscisse-aksen, og med intervaller (-3; -1) og (1.5; 4.5) under abscisse-aksen, er dette forklart som følger - på intervallene [ 4.5; 3) og (1; 1.5) og (4.5; 5.5] tar funksjonen positive verdier, og på intervallene (-3; -1) og ( 1.5; 4.5) er negative.

Hvert av de indikerte intervallene (der funksjonen tar verdier av samme fortegn) kalles intervallet med konstant fortegn for funksjonen f.//dvs. for eksempel, hvis vi tar intervallet (0; 3), så er det ikke et konstanttegnintervall for den gitte funksjonen.

I matematikk, når du søker etter intervaller med konstant fortegn for en funksjon, er det vanlig å angi intervaller med maksimal lengde. //De. intervall (2; 3) er konstant intervall funksjon f, men svaret skal inkludere intervallet [ 4,5; 3) som inneholder intervallet (2; 3).

3. Hvis du beveger deg langs x-aksen fra 4,5 til 2, vil du legge merke til at grafen til funksjonen går ned, det vil si at verdiene til funksjonen synker. //I matematikk er det vanlig å si at på intervallet [ 4,5; 2] funksjonen minker.

Når x øker fra 2 til 0, går grafen til funksjonen opp, dvs. funksjonsverdier øker. //I matematikk er det vanlig å si at på intervallet [ 2; 0] funksjonen øker.

Funksjonen f kalles hvis for to av to verdier av argumentet x1 og x2 fra dette intervallet slik at x2 > x1, ulikheten f (x2) > f (x1) er tilfredsstilt. // eller Funksjonen kalles øker over et visst intervall, hvis for noen verdier av argumentet fra dette intervallet, tilsvarer den største verdien av argumentet den større verdien av funksjonen.//dvs. jo flere x, jo mer y.

Funksjonen f kalles avtar over et visst intervall, hvis for noen av to verdier av argumentet x1 og x2 fra dette intervallet slik at x2 > x1, ulikheten f(x2) som avtar på et eller annet intervall er tilfredsstilt, hvis for noen verdier av argumentet fra dette intervallet en større verdien av argumentet tilsvarer en mindre verdi av funksjonen. //de. jo mer x, jo mindre y.

Hvis en funksjon øker over hele definisjonsdomenet, kalles den økende.

Hvis en funksjon avtar over hele definisjonsdomenet, kalles den avtar.

Eksempel 1 graf over henholdsvis økende og minkende funksjoner.

Eksempel 2

Definer yavl. er den lineære funksjonen f(x) = 3x + 5 økende eller avtagende?

Bevis. La oss bruke definisjonene. La x1 og x2 være vilkårlige verdier av argumentet, og x1< x2., например х1=1, х2=7

Funksjoner og deres egenskaper

Funksjon er et av de viktigste matematiske begrepene.Funksjon er en slik avhengighet av variabelen y av variabelen x, der hver verdi av variabelen x tilsvarer en enkelt verdi av variabelen y.

variabel X kalt uavhengig variabel eller argument. variabel på kalt avhengig variabel. Det sier de ogsåvariabel y er en funksjon av variabel x. Verdiene til den avhengige variabelen kallesfunksjonsverdier.

Hvis variabelen avhengighetpå fra en variabelX er en funksjon, kan den skrives som følger:y= f( x ). (Lese:på er likf fraX .) Symbolf( x) angi verdien av funksjonen som tilsvarer verdien av argumentet likX .

Alle verdier av den uavhengige variabelen dannerfunksjonsomfang . Alle verdier som den avhengige variabelen tar formfunksjonsområde .

Hvis en funksjon er gitt av en formel og dens definisjonsdomene ikke er spesifisert, anses domenet til funksjonen å bestå av alle verdiene av argumentet som formelen gir mening for.

Måter å angi en funksjon på:

1.analytisk metode (funksjonen er satt ved hjelp av en matematisk formel;

2. tabellmåte (funksjonen settes ved hjelp av tabellen)

3. beskrivende måte (funksjonen er gitt av verbal beskrivelse)

4.grafisk metode (funksjonen settes ved hjelp av en graf).

Funksjonsgraf kall settet med alle punkter i koordinatplanet, hvis abscisse er lik verdiene til argumentet, og ordinatene - tilsvarende funksjonsverdier.

HOVEDEGENSKAPER TIL FUNKSJONER

1. Funksjonsnuller

Funksjon null er verdien av argumentet der verdien av funksjonen er lik null.

2. Funksjonsintervaller

Intervallene med konstant fortegn for en funksjon er slike sett med argumentverdier der verdiene til funksjonen bare er positive eller bare negative.

3. Økende (minkende) funksjon.

Økende i et visst intervall er en funksjon en funksjon der den største verdien av argumentet fra dette intervallet tilsvarer den større verdien av funksjonen.

Funksjon y= f ( x ) kalt økende på intervallet (EN; b ), hvis for noen x 1 Og x 2 fra dette intervallet slik atx 1 < x 2 , ulikhetenf ( x 1 )< f ( x 2 ).

avtar i et visst intervall er en funksjon en funksjon hvis større verdi av argumentet fra dette intervallet tilsvarer en mindre verdi av funksjonen.

Funksjon på = f ( x ) kalt avtar på intervallet (EN; b ) , hvis for noen x 1 Og x 2 fra dette intervallet slik at x 1 < x 2 , ulikhetenf ( x 1 )> f ( x 2 ).

4. Even (oddelige) funksjoner

Jevn funksjon - en funksjon hvis definisjonsdomene er symmetrisk med hensyn til opprinnelsen og for evtX fra definisjonsdomenet likhetenf (- x ) = f ( x ) . Grafen til en jevn funksjon er symmetrisk om y-aksen.

For eksempel, y = x 2 er en jevn funksjon.

merkelig funksjon- en funksjon hvis definisjonsdomene er symmetrisk med hensyn til opprinnelsen og for evt X fra definisjonsdomenet likheten f (- x ) = - f (x ). Grafen til en oddetallsfunksjon er symmetrisk om opprinnelsen.

For eksempel: y = x 3 - merkelig funksjon .

En generell funksjon er verken partall eller oddetall (y = x 2 +x ).

Egenskaper for enkelte funksjoner og deres grafikk

1. Lineær funksjon kalles en funksjon av formen , Hvor k Og b - tall.

Definisjonsdomenet til en lineær funksjon er settetR reelle tall.

Lineær funksjonsgrafpå = kx + b ( k ≠ 0) er en rett linje som går gjennom punktet (0;b ) og parallelt med linjenpå = kx .

Rett, ikke parallelt med aksenOU, er grafen til en lineær funksjon.

Egenskaper til en lineær funksjon.

1. Når k > 0 funksjon på = kx + b

2. Når k < 0 funksjon y= kx + b synkende i definisjonsdomenet.

y = kx + b ( k ≠ 0 ) er hele tallinjen, dvs. en haug medR reelle tall.

På k = 0 sett med funksjonsverdiery= kx + b består av ett tallb .

3. Når b = 0 og k = 0 funksjonen er verken partall eller oddetall.

På k = 0 har den lineære funksjonen formeny= b og kl b ≠ 0 det er jevnt.

På k = 0 og b = 0 har den lineære funksjonen formeny= 0 og er både partall og oddetall på samme tid.

Lineær funksjonsgrafy= b er en linje som går gjennom punktet (0; b ) og parallelt med aksenÅh. Merk at når b = 0 funksjonsgrafy= b sammenfaller med aksen Åh .

5. Når k > 0 det har vi på> 0 hvis og på< 0 hvis. På k < 0 vi har at y > 0 if og kl< 0, если .

2. Funksjon y = x 2

Rreelle tall.

Ved å gi en variabelX flere verdier fra funksjonens omfang og beregning av tilsvarende verdierpå i henhold til formelen y = x 2 , tegner funksjonen.

Funksjonsgraf y = x 2 kalt parabel.

Funksjonsegenskaper y = x 2 .

1. Hvis X= 0, da y= 0, dvs. parablen har et felles punkt (0; 0) med koordinataksene - origo.

2. Hvis x ≠ 0 , At på > 0, dvs. alle punkter på parablen, bortsett fra origo, ligger over x-aksen.

3. Et sett med funksjonsverdierpå = X 2 er span-funksjonenpå = X 2 avtar.

X

3. Funksjon

Omfanget av denne funksjonen er span-funksjoneny = | x | avtar.

7. Funksjonen tar den minste verdien på punktetX, den er 0. Det er ingen maksimumsverdi.

6. Funksjon

Funksjonsomfang: .

Funksjonsområde: .

Grafen er hyperbolsk.

1. Funksjonsnuller.

y ≠ 0, ingen nuller.

2. Intervaller for tegnkonstans,

Hvis k > 0, da på> 0 kl X > 0; på < 0 при X < О.

Hvis k < 0, то på < 0 при X > 0; på> 0 kl X < 0.

3. Intervaller for økning og reduksjon.

Hvis k > 0, så reduseres funksjonen når .

Hvis k < 0, то функция возрастает при .

4. Even (oddelige) funksjoner.

Funksjonen er rar.

Firkantet trinomium

Skriv ligning øks 2 + bx + c = 0, hvor en , b Og Med - noen tall, oga≠ 0, ringte torget.

I en andregradsligningøks 2 + bx + c = 0 koeffisient EN kalt den første koeffisienten b - andre koeffisienter, med - gratis medlem.

Formelen for røttene til en kvadratisk ligning er:

.

Uttrykket heter diskriminerende andregradsligning og er betegnet medD .

Hvis D = 0, så er det bare ett tall som tilfredsstiller ligningen øks 2 + bx + c = 0. Vi ble imidlertid enige om å si at i dette tilfellet har kvadratisk ligning to like reelle røtter, og selve tallet kalt dobbel rot.

Hvis D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Hvis D > 0, så har andregradsligningen to forskjellige reelle røtter.

La den andregradsligningenøks 2 + bx + c = 0. Siden a≠ 0, og deretter dele begge sider av denne ligningen medEN, vi får ligningen . Forutsatt Og , vi kommer til ligningen , der den første koeffisienten er lik 1. En slik ligning kallesgitt.

Formelen for røttene til den ovennevnte kvadratiske ligningen er:

.

Formens ligninger

EN x 2 + bx = 0, øks 2 + med = 0, EN x 2 = 0

kalt ufullstendige andregradsligninger. Ufullstendige andregradsligninger løses ved å faktorisere venstre side av ligningen.

Vietas teorem .

Summen av røttene til den kvadratiske ligningen er lik forholdet mellom den andre koeffisienten og den første, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er forholdet mellom frileddet og den første koeffisienten, dvs.

Invers teorem.

Hvis summen av to tallX 1 Og X 2 er lik , og deres produkt er, så er disse tallene røttene til kvadratisk ligningÅh 2 + b x + c = 0.

visningsfunksjon Åh 2 + b x + c kalt kvadratisk trinomium. Røttene til denne funksjonen er røttene til den tilsvarende kvadratiske ligningenÅh 2 + b x + c = 0.

Hvis diskriminanten til et kvadratisk trinomium er større enn null, kan dette trinomialet representeres som:

Åh 2 + b x + c \u003d a (x-x 1 )(x-x 2 )

Hvor X 1 Og X 2 - trinomiale røtter

Hvis diskriminanten til et kvadrattrinomial er null, kan dette trinomialet representeres som:

Åh 2 + b x + c \u003d a (x-x 1 ) 2

Hvor X 1 er roten til et trinomium.

For eksempel, 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .

Skriv ligning Åh 4 + b X 2 + med= 0 kalles bi-kvadrat. Ved å endre variabelen i henhold til formelenX 2 = y den reduseres til andregradsligningenEN y 2 + av + med = 0.

kvadratisk funksjon

kvadratisk funksjon er en funksjon som kan skrives som en formely = øks 2 + bx + c , Hvor x er en uavhengig variabel,en , b Og c er noen tall, ogen ≠ 0.

Egenskapene til funksjonen og typen av grafen bestemmes hovedsakelig av verdiene til koeffisientenen og diskriminerende.

Egenskaper til en kvadratisk funksjon

Domene:R;

Verdiområde:

på EN > 0 [- D/(4 en); ∞)

på EN < 0 (-∞; - D/(4 en)];

Even, merkelig:

på b = 0-funksjonen er partall

på b ≠ 0 funksjonen er verken partall eller oddetall

på D> 0 to nuller: ,

på D= 0 en null:

på D < 0 нулей нет

Konstansintervaller:

hvis, a > 0, D> 0, da

hvis, a > 0, D= 0, da

e hvis a > 0, D < 0, то

hvis en< 0, D> 0, da

hvis en< 0, D= 0, da

hvis en< 0, D < 0, то

- Intervaller av monotonitet

for > 0

på a< 0

Grafen til den kvadratiske funksjonen erparabel - en kurve symmetrisk om en rett linje passerer gjennom toppunktet til parablen (toppunktet til parablen er skjæringspunktet mellom parablen og symmetriaksen).

For å plotte en kvadratisk funksjon trenger du:

1) finn koordinatene til toppunktet til parablen og merk den i koordinatplanet;

2) bygge noen flere punkter som tilhører parablen;

3) koble de merkede punktene med en jevn linje.

Koordinatene til toppunktet til parabelen bestemmes av formlene:

; .

Konvertering av funksjonsgrafer

1. strekk grafisk kunsty = x 2 langs aksenpå V|a| ganger (når|a| < 1 er komprimering til 1/|a| en gang).

Hvis en< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (grenene til parablen vil være rettet nedover).

Resultat: funksjonsgrafy=ah 2 .

2. Parallell overføring funksjonsgrafy=ah 2 langs aksenX på| m | (til høyre kl

m > 0 og til venstre klT< 0).

Resultat: funksjonsgrafy \u003d a (x - t) 2 .

3. Parallell overføring funksjonsgraf langs aksenpå på| n | (opp pån> 0 og ned klP< 0).

Resultat: funksjonsgrafy \u003d a (x - t) 2 + s.

Kvadratiske ulikheter

Ulikheter i formenÅh 2 + b x + c > 0 ogÅh 2 + bx + c< 0, hvorX - variabel,en , b OgMed - noen tall, og,a≠ 0 kalles annengradsulikheter med én variabel.

Å løse en annengradsulikhet med én variabel kan sees på som å finne intervallene der den tilsvarende kvadratiske funksjonen tar positive eller negative verdier.

For å løse ulikheter i formenÅh 2 + bx + c > 0 ogÅh 2 + bx + c< 0 gjør følgende:

1) finn diskriminanten til et kvadrattrinomial og finn ut om trinomialet har røtter;

2) hvis trinomialet har røtter, merk dem på aksenX og gjennom de markerte punktene tegnes det skjematisk en parabel, hvis grener er rettet oppover kl.EN > 0 eller ned klEN< 0; hvis trinomialet ikke har noen røtter, avbilder du skjematisk en parabel som ligger i det øvre halvplanet vedEN > 0 eller nederst nårEN < 0;

3) finn på aksenX intervaller for hvilke punktene til parablen er plassert over aksenX (hvis de løser ulikhetenÅh 2 + bx + c > 0) eller under aksenX (hvis de løser ulikhetenÅh 2 + bx + c < 0).

Eksempel:

La oss løse ulikheten .

Vurder funksjonen

Grafen er en parabel, hvis grener er rettet nedover (fordi ).

Finn ut hvordan grafen er plassert i forhold til aksenX. La oss løse ligningen for dette . Det skjønner vix = 4. Ligningen har en enkelt rot. Så parabelen berører aksenX.

Etter å ha avbildet en parabel skjematisk, finner vi at funksjonen tar negative verdier for enhverX, bortsett fra 4.

Svaret kan skrives slik:X - et hvilket som helst tall som ikke er lik 4.

Løse ulikheter ved hjelp av intervallmetoden

løsningsordning

1. Finn nuller funksjon på venstre side av ulikheten.

2. Merk posisjonen til nuller på tallaksen og bestem deres multiplisitet (Hvisk Jeg partall, så null av partall, hvisk Jeg oddetall - så oddetall).

3. Finn tegn på en funksjon i intervallene mellom nullpunktene, fra intervallet lengst til høyre: i dette intervallet er funksjonen på venstre side av ulikheten alltid positiv for den reduserte formen for ulikheter. Når man går fra høyre til venstre gjennom nullpunktet til en funksjon fra ett intervall til et nabointervall, bør man ta hensyn til:

hvis null er oddetall multiplisitet, fortegnet for funksjonen endres,

hvis null er partall multiplisitet, fortegnet for funksjonen er bevart.

4. Skriv ned svaret.

Eksempel:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Funksjonsnuller funnet. De er likeverdige:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Vi markerer nullpunktene til funksjonen på koordinatlinjenf ( x ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Finn tegnene til denne funksjonen i hvert av intervallene (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) og

Det kan sees fra figuren at settet med løsninger på ulikheten er foreningen av intervallene (-∞; -6) og (-1; 4).

Svar: (-∞ ; -6) og (-1; 4).

Den vurderte metoden for å løse ulikheter kallesintervallmetode.