Sekvensen er gitt av den tilbakevendende formelen xn 2. Egenskaper til numeriske sekvenser

Vida y= f(x), x OM N, Hvor N– mange naturlige tall(eller naturlig argumentfunksjon), betegnet y=f(n) eller y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Verdier y 1 ,y 2 ,y 3 ,… kalles henholdsvis de første, andre, tredje, ... medlemmene av sekvensen.

For eksempel for funksjonen y= n 2 kan skrives:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metoder for å spesifisere sekvenser. Sekvenser kan spesifiseres på ulike måter, hvorav tre er spesielt viktige: analytisk, beskrivende og tilbakevendende.

1. En sekvens er gitt analytisk hvis formelen er gitt n medlem:

y n=f(n).

Eksempel. y n= 2n – 1 – rekkefølge av oddetall: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Beskrivende Måten å spesifisere en numerisk sekvens er å forklare hvilke elementer sekvensen er bygget opp fra.

Eksempel 1. «Alle ledd i sekvensen er lik 1.» Dette betyr, vi snakker om om den stasjonære sekvensen 1, 1, 1, …, 1, ….

Eksempel 2. «En sekvens består av alle primtall i stigende rekkefølge." Dermed er den gitte sekvensen 2, 3, 5, 7, 11, …. Med denne metoden for å spesifisere sekvensen i i dette eksemplet det er vanskelig å svare på hva for eksempel det 1000. elementet i sekvensen er lik.

3. Den tilbakevendende metoden for å spesifisere en sekvens er å spesifisere en regel som lar deg beregne n-th medlem av en sekvens hvis dens tidligere medlemmer er kjent. Navnet tilbakevendende metode kommer fra latinsk ord tilbakevendende- kom tilbake. Oftest er det i slike tilfeller angitt en formel som lar en uttrykke n medlem av sekvensen gjennom de forrige, og sett 1–2 første medlem sekvenser.

Eksempel 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 hvis n = 2, 3, 4,….

Her y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Du kan se at sekvensen oppnådd i dette eksemplet også kan spesifiseres analytisk: y n= 4n – 1.

Eksempel 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 hvis n = 3, 4,….

Her: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Sekvensen i dette eksemplet er spesielt studert i matematikk fordi den har en rekke interessante egenskaper og anvendelser. Den kalles Fibonacci-sekvensen, oppkalt etter den italienske matematikeren fra 1200-tallet. Det er veldig enkelt å definere Fibonacci-sekvensen tilbakevendende, men veldig vanskelig analytisk. n Det th Fibonacci-tallet uttrykkes gjennom dets serienummer følgende formel.

Ved første øyekast formelen for n det th Fibonacci-tallet virker usannsynlig, siden formelen som spesifiserer sekvensen av naturlige tall alene inneholder kvadratrøtter, men du kan sjekke "manuelt" gyldigheten til denne formelen for de første par n.

Egenskaper for tallrekker.

Nummerrekkefølge – spesielt tilfelle numerisk funksjon, derfor vurderes en rekke egenskaper til funksjoner også for sekvenser.

Definisjon . Etterfølge ( y n} kalles økende hvis hver av termene (unntatt den første) er større enn den forrige:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definisjon.Sekvens ( y n} kalles avtagende hvis hver av termene (unntatt den første) er mindre enn den forrige:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Økende og avtagende sekvenser kombineres under fellesbetegnelsen - monotone sekvenser.

Eksempel 1. y 1 = 1; y n= n 2 – økende sekvens.

Dermed er følgende teorem sann (karakteristisk egenskap aritmetisk progresjon). En tallsekvens er aritmetisk hvis og bare hvis hver av dens medlemmer, bortsett fra den første (og den siste i tilfelle av en endelig sekvens), er lik det aritmetiske gjennomsnittet av de foregående og påfølgende medlemmene.

Eksempel. Til hvilken verdi x tall 3 x + 2, 5x– 4 og 11 x+ 12 danne en endelig aritmetisk progresjon?

Ifølge karakteristisk egenskap, må de gitte uttrykkene tilfredsstille relasjonen

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Å løse denne ligningen gir x= –5,5. Til denne verdien x gitte uttrykk 3 x + 2, 5x– 4 og 11 x+ 12 tar henholdsvis verdiene –14,5, –31,5, –48,5. Dette er en aritmetisk progresjon, forskjellen er -17.

Geometrisk progresjon.

En numerisk sekvens, hvis ledd er ikke-null og hver av leddene, med utgangspunkt i den andre, er hentet fra forrige ledd ved å multiplisere med det samme tallet q, kalles en geometrisk progresjon, og tallet q- nevneren for en geometrisk progresjon.

Dermed er en geometrisk progresjon en tallsekvens ( b n), definert rekursivt av relasjonene

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b Og q – gitte tall, b ≠ 0, q ≠ 0).

Eksempel 1. 2, 6, 18, 54, ... – økende geometrisk progresjon b = 2, q = 3.

Eksempel 2. 2, –2, 2, –2, … – geometrisk progresjon b= 2,q= –1.

Eksempel 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrisk progresjon b= 8, q= 1.

En geometrisk progresjon er en økende sekvens if b 1 > 0, q> 1, og avtagende hvis b 1 > 0, 0 q

En av de åpenbare egenskapene til en geometrisk progresjon er at hvis sekvensen er en geometrisk progresjon, så er sekvensen av kvadrater også det, dvs.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... er en geometrisk progresjon hvis første ledd er lik b 1 2 , og nevneren er q 2 .

Formel n- det tredje leddet i den geometriske progresjonen har formen

b n= b 1 qn– 1 .

Du kan få en formel for summen av ledd i en endelig geometrisk progresjon.

La en endelig geometrisk progresjon gis

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

la S n – summen av medlemmene, dvs.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Det er akseptert q nr. 1. For å bestemme S n en kunstig teknikk brukes: noen geometriske transformasjoner uttrykk S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Slik, S n q= S n +b n q – b 1 og derfor

Dette er formelen med umma n når det gjelder geometrisk progresjon for saken når q≠ 1.

På q= 1 formelen trenger ikke utledes separat S n= en 1 n.

Progresjonen kalles geometrisk fordi hvert ledd i den, bortsett fra den første, er lik det geometriske gjennomsnittet av de foregående og påfølgende leddene. Faktisk siden

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

derfor, b n 2=bn– 1 bn+ 1 og følgende teorem er sant (en karakteristisk egenskap for en geometrisk progresjon):

en tallsekvens er en geometrisk progresjon hvis og bare hvis kvadratet av hvert av leddene, bortsett fra den første (og den siste i tilfelle av en endelig sekvens), lik produktet tidligere og etterfølgende medlemmer.

Konsistensgrense.

La det være en sekvens ( c n} = {1/n}. Denne sekvensen kalles harmonisk, siden hver av dens ledd, fra den andre, er den harmoniske gjennomsnittet mellom de forrige og påfølgende leddene. Gjennomsnittlig geometriske tall en Og b det er et tall

Ellers kalles sekvensen divergent.

Ut fra denne definisjonen kan man for eksempel bevise at det finnes en grense A=0 for den harmoniske sekvensen ( c n} = {1/n). La ε være vilkårlig liten positivt tall. Forskjellen vurderes

Finnes noe slikt? N det er for alle n ≥ N ulikhet 1 gjelder /N ? Hvis vi tar det som N ethvert naturlig tall større enn 1/ε , da for alle n ≥ N ulikhet 1 gjelder /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Å bevise tilstedeværelsen av en grense for en bestemt sekvens kan noen ganger være svært vanskelig. De hyppigst forekommende sekvensene er godt studert og er oppført i oppslagsverk. Det er viktige teoremer som lar deg konkludere med at en gitt sekvens har en grense (og til og med beregne den), basert på allerede studerte sekvenser.

Teorem 1. Hvis en sekvens har en grense, så er den avgrenset.

Teorem 2. Hvis en sekvens er monoton og avgrenset, så har den en grense.

Teorem 3. Hvis sekvensen ( en n} har en grense EN, deretter sekvensene ( ca n}, {en n+ c) og (| en n|} har grenser ca, EN +c, |EN| følgelig (her c– vilkårlig nummer).

Teorem 4. Hvis sekvensene ( en n} og ( b n) har grenser lik EN Og B pa n + qbn) har en grense pA+ qB.

Teorem 5. Hvis sekvensene ( en n) Og ( b n)har grenser lik EN Og B følgelig, deretter sekvensen ( a n b n) har en grense AB.

Teorem 6. Hvis sekvensene ( en n} og ( b n) har grenser lik EN Og B følgelig, og i tillegg, b n ≠ 0 og B≠ 0, deretter sekvensen ( a n / b n) har en grense A/B.

Anna Chugainova

Leksjonens mål:

1. dannelse av en idé om en numerisk sekvens som en funksjon med et naturlig argument;
2. dannelsen av kunnskap om metoder for å spesifisere numeriske sekvenser, evnen til å finne medlemmer av en sekvens ved å bruke den foreslåtte formelen, samt evnen til å finne selve formelen som definerer sekvensen;
3. utvikling av ferdigheter for å anvende tidligere studert materiale;
4. utvikling av ferdigheter for å analysere, sammenligne, generalisere;
5. utvikle evnen til å arbeide i par og vurdere seg selv.

Utstyr: overheadprojektor, sett med gjennomsiktige filmer med oppgaver, utdelingsark, en plakat med måter å sette sekvenser på.

Leksjonsfremgang

1. Organisatorisk øyeblikk.

2. Forberedelse for oppfatning av ny kunnskap.

Studentene blir bedt om å løse 2 oppgaver muntlig:

Oppgave nr. 1: Det er 500 tonn kull på lageret, 30 tonn leveres hver dag Hvor mye kull vil det være på lageret på 1 dag? Dag 2? Dag 3? Dag 4? Dag 5?

Oppgave nr. 2: Når fritt fall kroppen går 4,9 m i det første sekundet, og 9,8 m mer i hvert påfølgende sekund. Hvor langt vil den fallende kroppen reise på 1 sekund? 2 sek? 3 sek? 4 sek? 5 sek?

Elevenes svar er skrevet på tavlen: Oppgave 1: 500; 530; 560; 590; 620

Oppgave 2: 4,9; 14,7; 24,5; 34,3; 44.1

Det stilles spørsmål til oppgavene:

til oppgave 1: Hvor mye kull vil være på lageret i 35 dager?

til oppgave 2: Hvilken avstand vil kroppen reise på 35 sekunder?

For å løse oppgavene som stilles, betrakter vi svarene på oppgavene som en tallsekvens, det vil si tallrekker.

Målet med leksjonen er: Finn måter å finne et hvilket som helst medlem av sekvensen på.

Leksjonens mål: Finn ut hva en tallsekvens er og hvordan sekvenser er definert.

Temaet for leksjonen registreres

3. Lære nytt stoff.

1. Introduksjon av definisjonen av en tallsekvens.

Følgende betegnelser er introdusert: y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 ,...- medlemmer av sekvensen; 1,2,3,4,5,... - serienummeret til sekvensmedlemmet; ( y 2) – selve tallsekvensen

Under samtalen definerer vi begrepet en numerisk rekkefølge.

Veiledende spørsmål: Når vi kjenner nummeret til et medlem av sekvensen, kan vi finne medlemmet i selve sekvensen? Hva med omvendt? Hva kalles disse avhengighetene? Hvilket argument? Hva er verdien av funksjonen? Hva er definisjonsområdet?

Elevene skriver ned definisjonen: En tallsekvens er en funksjon definert på settet med naturlige tall.

Vi løser oppgaver muntlig:

Finn ut om følgende samsvar er en sekvens:

a) hvert naturlig tall er knyttet til kvadratet sitt;
b) hvert naturlig tall er knyttet til tallet 7;
c) hvert naturlig partall er assosiert med sin kube, og hvert naturlig tall som er et multiplum av 4 er assosiert med tallet 9.

2. Bestem om den gitte funksjonen er en numerisk rekkefølge: (formler er skrevet på tavlen)

EN) y=2x-1, xI (0;+?) b)

V) y=2x-1, xI Z G) ?

Konklusjon: (formuleres sammen med barna) Hva er hovedsaken i definisjonen?

Numerisk sekvens 1) funksjon 2) dens definisjonsdomene er mengden N.

2. Bestemmelse av metoder for å spesifisere sekvenser.

Vi minner om at en funksjon anses som definert hvis en regel er definert som ethvert argument er knyttet til verdien av funksjonen.

Betingelsen for å spesifisere en numerisk rekkefølge er felles formulert (og deretter skrevet ned): En tallsekvens anses som gitt hvis en metode er spesifisert som lar en finne et medlem av rekkefølgen til et hvilket som helst tall.

Under samtalen husker vi metodene for å spesifisere funksjoner (verbal, grafisk, formel (det er rapportert at det kalles analytisk)), deres essens.

Et diagram er lagt ut på tavlen:

A) Verbal metode. Essensen av metoden vises på tavlen. Elevene skriver ned navnet på metoden og dens essens i tabell nr. 1.

Tabell nr. 1 Metoder for å spesifisere en numerisk sekvens:

Vei
Eksempel

Beskriv med ord hvordan du får hvert medlem av sekvensen eller spesifiser de første medlemmene av sekvensen.

Tabell nr. 1 inneholder verbale oppgaver i to sekvenser:

Sekvens 1. ( y n) – en sekvens av naturlige tall som er delelig med 3.

Sekvens 2. ( y n) er en sekvens av partall naturlige tall.

Oppgave: Skriv ned de første 5 leddene i sekvensen. (Veiledende spørsmål: hva er multipler av 3, hvilke tall anses som jevne). (2 elever kalles inn til styret)

Gi eksempler (muntlig).

B) Grafisk metode.

Konstruer et sett med punkter (n; y n)

Oppgave: Sett grafisk sekvens 1 og 2 (to elever på tavlen på det ferdige koordinatplanet, resten i tabell nr. 1)

B) Analysemetode . Essensen av metoden vises på tavlen. Elevene skriver ned navnet på metoden og dens essens i tabell nr. 1.

Oppgi formelen for det n'te leddet i sekvensen.

Oppgave: 1. Rekkefølgen er gitt av formelen: . Skriv ned de første 5 leddene i sekvensen. (En elev om gangen ved tavlen med en fullstendig forklaring, resten i en notatbok)

2. Angi formelen n medlem av sekvens 1 og 2 (Vi snakker muntlig, skriv det ned i tabell nr. 1)

D) Tilbakevendende metode.

3. Angi formelen n ledd i sekvensen ..., 74, 81, 88, 95, 102, ...

Finner du neste medlem av sekvensen? Hva neste? (Veiledende spørsmål: hvordan få 81 fra 74 og 88 fra 81)

Konklusjon: Hvis vi vet n-1 medlem av sekvensen, så vil det være mulig å finne n-ny.

Denne metoden for å spesifisere en sekvens kalles tilbakevendende. (Et notat er lagt til diagrammet på tavlen tilbakevendende)

I vårt eksempel y n = y n-1 + 7

Hvilke data mangler vi for dette? Og hvis sekvensen er gitt av formelen

y n = y n-1 + y n-2 ?

Konklusjon: For å spesifisere en sekvens gjentatte ganger, må du:

1) kjenne ett eller to første ledd i sekvensen
2) spesifiser regelen for å beregne de neste medlemmene av sekvensen

Essensen av metoden vises på tavlen. Elevene skriver ned navnet på metoden og dens essens i tabell nr. 1.

Uttrykk hvert ledd i sekvensen, fra den andre (eller den tredje) til og med de foregående.

Oppgave: 1. Rekkefølgen er gitt rekursivt y 1 = 2,y n = 5y n-1 List opp de første 5 leddene i sekvensen. (En elev om gangen ved tavlen med en fullstendig forklaring, resten i en notatbok)

2. Sett sekvens 1 og 2 gjentatte ganger (vi snakker muntlig, skriv dem ned i tabell nr. 1)

Delsum: Vi har 4 måter å spesifisere tallsekvenser på. De er presentert på tavla og i tabell nr. 1. Den mest verdifulle for å løse praktiske problemer er de to siste metodene: analytisk og tilbakevendende. Og vi skal nå jobbe med disse metodene.

4. Primær forståelse og konsolidering av materialet

Instruksjoner: Her er tabell 2 og 3.

Tabell nr. 2: Analysemetode Øvelse: Fyll ut tabellen

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5
		x 1 =	x 4 =

Tabell nr. 3: Tilbakevendende metode Øvelse: Fyll ut tabellen

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	x 1, x 2, x n
		x 1 =	x 4 =

Tabellen viser den analytiske metoden, og tabell 3 viser den tilbakevendende metoden. Oppgaven i linje 1 og 2 i disse tabellene: bruk disse formlene til å sette de første 5 leddene i sekvensen. Oppgaven i linje 3 og 4 i disse tabellene er å sette den riktige formelen ved å bruke de første leddene i sekvensen.

Denne oppgaven er ikke lenger triviell, den krever en viss oppfinnsomhet.

Elevene jobber to og to med oppgaver.

De første parene som fullfører oppgaven får gjennomsiktige filmer med oppgaven de skriver svarene sine på.

Løsningene kontrolleres ved hjelp av en overheadprojektor.

5. Primærkontroll av kunnskapsinnhenting(selvstendig arbeid etterfulgt av selvtest)

Instruksjoner: Ta ark med bord nr. 5.

Tabell nr. 5: Selvstendig arbeid Øvelse: Fyll ut tabellen

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	Analytisk metode	Tilbakevendende metode
			x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 =
			x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 =
500; 530; 560; 590; 620; …
4,9; 14,7; 24,5; 34,3; …

Evalueringskriterier: 4 "+" score "5"; 3 "+" rangering "4"; 2 "+" vurdering "3"

Signer dem. Oppgaven i linje 1 og 2 i disse tabellene: bruk disse formlene til å sette de første 5 leddene i sekvensen. Oppgaven i linje 3 og 4 i disse tabellene er å sette den riktige formelen ved å bruke de første leddene i sekvensen.

Oppgavene løses selvstendig. Etter utførelse sjekker vi løsningene.

Løsninger sjekkes ved hjelp av overheadprojektor (svarene skrives ned på forhånd).

Instruksjoner for testing og evaluering: Her er svarene på oppgavene. Sammenlign dem med resultatene dine. Hvis det er riktig, sett "+", hvis ikke, så "-". Tell deretter antallet "+" og merk deg selv i henhold til kriteriene du har skrevet ned under tabellen. Dersom du ønsker at karakteren du fikk skal tas med i journalen, så skriv «i journalen» i parentes ved siden av karakteren.

6. Oppsummering av leksjonen

Vær oppmerksom på de to siste linjene i tabell5. Dette er sekvenser til oppgavene i begynnelsen av leksjonen. Oppgavespørsmålene tilbakekalles. Vi finner svaret på oppgavene som stilles (2 elever blir spurt).

Det gjennomføres en frontalundersøkelse med studenter leksjonskonklusjoner:

1. Hva er en sekvens
2. Hva er måtene å definere sekvenser på? Hva er essensen deres?
3. Hvilken metode lar deg bestemme et medlem av en sekvens kun ved å vite nummeret?
4. Hvor brukes kunnskap om tallrekker?

Tabell nr. 4: Ekstra oppgave: Fyll ut tabellen

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	Analytisk metode
		x 1 =	x 4 =
x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	Tilbakevendende metode
		x 1 =	x 4 =

Tilbakevendende sekvens. Fra et matematikkkurs kjenner vi begrepet en tilbakevendende sekvens. Dette konseptet introduseres som følger: la k tall a1, ..., ak være kjent. Disse tallene er de første tallene i en tallrekke. Følgende elementer i denne sekvensen beregnes som følger:

Her er F en funksjon av k argumenter. Formelens formel

ringte tilbakevendende formel. Verdien k kalles rekursjonsdybden.

Med andre ord kan vi si at en tilbakevendende sekvens er en uendelig rekke med tall, som hver, med unntak av den innledende k, er uttrykt i form av de foregående.

Eksempler på tilbakevendende sekvenser er aritmetiske (1) og geometriske (2) progresjoner:

Gjentakelsesformel for den angitte aritmetiske progresjonen:

Gjentakelsesformel for denne geometriske progresjonen:

Rekursjonsdybden i begge tilfeller er lik én (denne avhengigheten kalles også ett-trinns rekursjon). Generelt er en tilbakevendende sekvens beskrevet av et sett startverdier og tilbakevendende formel. Alt dette kan kombineres til én forgreningsformel. For aritmetisk progresjon:

For geometrisk progresjon:

Følgende tallsekvens er kjent i matematikk som Fibonacci-tallene:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Fra det tredje elementet er hvert tall lik summen av verdiene til de to foregående, det vil si at dette er en tilbakevendende sekvens med en dybde på 2 (to-trinns rekursjon). La oss beskrive det i forgreningsform:

Innføringen av konseptet med tilbakevendende sekvenser lar oss ta en ny titt på noen problemer som allerede er kjent for oss. For eksempel faktorialet til et heltall n! kan betraktes som verdien av det n-te elementet i følgende tallserie:

En tilbakevendende beskrivelse av en slik sekvens ser slik ut:

Programmere beregninger av tilbakevendende sekvenser. Problemer av denne typen er assosiert med tilbakevendende sekvenser:

1) beregne det gitte (n-te) elementet i sekvensen;

2) matematisk behandle en viss del av sekvensen (for eksempel beregne summen eller produktet av de første n leddene);

4) bestemme nummeret på det første elementet som tilfredsstiller en viss betingelse;

Denne listen over oppgaver later ikke til å være fullstendig, men den dekker de vanligste typene. I de fire første oppgavene er det ikke nødvendig å lagre mange elementer i en tallserie i minnet samtidig. I dette tilfellet kan elementene oppnås sekvensielt i en variabel, og erstatte hverandre.

Eksempel 1. Regn ut det n-te elementet i den aritmetiske progresjonen (1).

Var M,I: 0..Maxint;

For I: =2 To N Do

WriteLn("A(",N:l,"")=",A:6:0)

Den tilbakevendende formelen ai = ai-1 + 2 har blitt transformert til operatoren A:= A + 2.

Eksempel 2. Sum de første n elementene i den geometriske progresjonen (2) (uten å bruke formelen for summen av de første n leddene i progresjonen).

Var N,1: 0..Maxint;

Skriv("N="); LesLn(N);

For I: =2 To N Do

WriteLn("Summen er",S:6:0)

Ved beregning av en tilbakevendende sekvens med dybde 2 er det ikke lenger mulig å klare seg med kun én variabel. Dette kan sees fra følgende eksempel.

Eksempel 3. Skriv ut de første n (n ≥ 3) Fibonacci-tallene. Tell hvor mange av dem som er partall.

Var N,I,K,F,F1,F2: 0..Maxint;

WriteLn("F(l)=",Fl,"F(2)=",F2);

For I:=3 To N Do

WriteLn("F(",I:l,"")=",F);

Hvis ikke Odd(F) Så K:=K+1;

WriteLn("Antallet partall i sekvensen er",K)

Tre variabler var nødvendig for å sekvensielt beregne en to-trinns rekursjon, siden for å finne det neste elementet er det nødvendig å huske verdiene til de to foregående.

Eksempel 4. For en gitt reell x og en liten verdi ε (for eksempel ε = 0,000001), beregne summen av serien

inkludert bare termer større enn ε. Det er kjent at summen av en slik uendelig rekke har en endelig verdi lik ex, hvor e = 2,71828... er basisen til den naturlige logaritmen. Siden elementene i denne serien representerer en avtagende tallsekvens som tenderer mot null, må summeringen utføres frem til første ledd, iht. absolutt verdi ikke overstiger ε.

Hvis begrepene i dette uttrykket er angitt som følger:

da vil den generaliserte formelen for det i-te elementet være som følger:

Det er lett å se at det er en tilbakevendende avhengighet mellom elementene i denne sekvensen. Det kan bli funnet intuitivt, men det kan også utledes formelt. Det er sant, for dette må du gjette at rekursjonen er ett-trinns, og at hvert påfølgende element oppnås ved å multiplisere den forrige med en viss faktor, dvs.

Ved å bruke den generaliserte formelen har vi:

Virkelig:

Derfor kan denne tilbakevendende sekvensen beskrives som følger:

Og til slutt presenterer vi et program som løser problemet.

Var A,X,S,Eps: Ekte;

Skriv("X = "); LesLn(X);

Skriv("Epsilon ="); ReadLn(Eps);

A:=l; S:=0; I:=0;

Mens Abs(A)>Eps Do

WriteLn("Summen av serier er", S:10:4)

Som før beregnes verdiene til en ett-trinns tilbakevendende sekvens i en enkelt variabel.

Hver gjentatt utførelse av løkken i dette programmet bringer verdien av S nærmere ønsket verdi (klargjør de signifikante sifrene i notasjonen). En slik beregningsprosess i matematikk kalles en iterativ prosess. Følgelig kalles sykluser som implementerer en iterativ beregningsprosess iterative sykluser. For å organisere dem, brukes While- eller Repeat-setningene.

Eksempel 5. For et gitt naturlig tall N og reell x (x > 0), regn ut verdien av uttrykket:

I dette tilfellet er tilbakefall ikke så åpenbart. La oss prøve å finne det ved induksjon. Vi vil anta at ønsket uttrykk er Nte element sekvenser av følgende form:

Herfra kan du se sammenhengen:

Nå kan oppgaven løses veldig enkelt:

Var A,X: Ekte; I,N: Heltall;

Skriv("X="); LesLn(X);

Skriv("N="); LesLn(N);

For I:=2 To N Do

WriteLn("Svar:",A)

Alle de ovennevnte problemene kan tilnærmes annerledes.

La oss tenke på rekursivt definerte subrutiner. Se på beskrivelsen av en aritmetisk progresjon i form av en tilbakevendende sekvens. Det innebærer direkte en metode for å definere en funksjon for å beregne et gitt element i en progresjon.

La oss gjøre dette for det generelle tilfellet ved å definere en aritmetisk progresjon med det første leddet a0 og forskjellen d:

Den tilsvarende funksjonssubrutinen ser slik ut:

Funksjonsfremgang(AO,D: Virkelig;I: Heltall): Virkelig;

Så Fremgang:=AO

Else Progres:=Progres(A0,D,I-1)+D

Følgende program viser de første 20 Fibonacci-tallene, hvis verdier beregnes av den rekursive Fibon-funksjonen.

Funksjon Fibon(N: Heltall): Heltall;

Hvis (N=1) Eller (N=2)

Else Fibon:=Fibon(N-1)+Fibon(N-2)

For K:=l Til 20 Gjør WriteLn(Fibon(K))

Det skal bemerkes at bruk av rekursive funksjoner fører til langsommere beregninger. I tillegg kan du støte på problemet med utilstrekkelig lengde på stabelen der "ruten" for rekursive anrop huskes.

Tilbakevendende sekvenser brukes ofte til å løse ulike slag evolusjonære oppgaver, dvs. oppgaver der det spores en prosess som utvikler seg over tid. La oss vurdere dette problemet.

Eksempel 6. Under terapeutisk faste gikk pasientens vekt ned fra 96 ​​til 70 kg på 30 dager. Daglig vekttap har vist seg å være proporsjonal med kroppsvekt. Beregn hva pasientens masse var lik k dager etter starten av fasten for k = 1, 2, ..., 29.

La oss betegne pasientens masse inn i-dagen gjennom pi (i = 0, 1, 2, ..., 30). Fra problemforholdene er det kjent at p0 = 96 kg, p30 = 70 kg.

La K være proporsjonalitetskoeffisienten til reduksjonen i masse over en dag. Da

Vi får en sekvens beskrevet av følgende tilbakevendende formel:

Vi kjenner imidlertid ikke koeffisienten K. Den kan finnes ved å bruke betingelsen p30 = 70.

For å gjøre dette, vil vi gjøre omvendte erstatninger:

Var I: Byte; P,Q: Ekte;

Q:=Exp(l/30*Ln(70/96));

For I:=l Til 29 Do

WriteLn(I,"th day-",P:5:3,"kg")