Konstruksjon av matematiske bevis. Måter for matematisk bevis

1. Metoder for matematisk bevis

2. Direkte og indirekte bevis. Bevis ved selvmotsigelse.

3. Nøkkelfunn

Måter for matematisk bevis

PÅ hverdagen ofte, når man snakker om et bevis, mener man ganske enkelt bekreftelsen av en uttalt påstand. I matematikk er verifisering og bevis to forskjellige ting, selv om de er relatert. Anta for eksempel at det kreves å bevise at hvis en firkant har tre rette vinkler, så er det et rektangel.

Hvis vi tar en hvilken som helst firkant med tre rette vinkler, og ved å måle den fjerde, er vi overbevist om at den virkelig er rett, så vil denne verifiseringen gjøre dette utsagnet mer plausibelt, men ennå ikke bevist.

For å bevise denne påstanden, vurder en vilkårlig firkant der tre vinkler er rette. Siden summen av vinklene i enhver konveks firkant er 360⁰, er den i denne 360⁰. Summen av tre rette vinkler er 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), så den fjerde er 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Hvis alle hjørner av en firkant er rette vinkler, så er det et rektangel. Derfor vil denne firkanten være et rektangel. Q.E.D.

Merk at essensen av beviset er konstruksjonen av en slik sekvens av sanne utsagn (setninger, aksiomer, definisjoner), hvorfra utsagnet som skal bevises følger logisk.

Som regel Å bevise en påstand betyr å vise at denne påstanden følger logisk fra et system av sanne og relaterte utsagn..

I logikk antas det at hvis utsagnet som vurderes logisk følger av allerede beviste utsagn, så er det berettiget og like sant som sistnevnte.

Derfor er grunnlaget for matematisk bevis deduktiv slutning. Og beviset i seg selv er en kjede av slutninger, og konklusjonen av hver av dem (unntatt den siste) er en premiss i en av de påfølgende slutningene.

For eksempel, i beviset ovenfor, kan følgende konklusjoner skilles:

1. I enhver konveks firkant er summen av vinklene 360⁰; denne figuren er en konveks firkant, derfor er summen av vinklene i den 360⁰.

2. Hvis summen av alle vinklene til firkanten og summen av tre av dem er kjent, kan du ved subtraksjon finne verdien av den fjerde; summen av alle vinklene til denne firkanten er 360⁰, summen av tre er 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), så er verdien av den fjerde 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.

3. Hvis i en firkant alle vinkler er rette, så er denne firkanten et rektangel; Denne firkanten har alle rette vinkler, så det er et rektangel.

Alle slutningene ovenfor er gjort i henhold til konklusjonsregelen og er derfor deduktive.

Det enkleste beviset består av en enkelt slutning. Slik er for eksempel beviset på påstanden om at 6< 8.

Så når vi snakker om strukturen til matematiske bevis, må vi forstå at det først og fremst inkluderer utsagnet som blir bevist, og systemet med sanne utsagn som beviset utføres med.

Det bør også bemerkes at et matematisk bevis ikke bare er et sett med slutninger, dette er slutninger ordnet i en bestemt rekkefølge.

I henhold til administrasjonsmåten (i form), skiller de direkte og indirekte bevis på. Beviset som ble vurdert tidligere var direkte - i det, basert på en sann setning og under hensyntagen til tilstanden til teoremet, ble det bygget en kjede av deduktive slutninger, som førte til en sann konklusjon.

Et eksempel på indicier er beviset ved selvmotsigelse . Dens essens er som følger. La det kreves å bevise teoremet

A ⇒ B. Når det bevises med motsigelse, antas det at konklusjonen til setning (B) er usann, og derfor er negasjonen sann. Ved å legge til setningen "ikke B" til settet med sanne premisser som brukes i bevisprosessen (blant annet betingelse A), bygger de en kjede av deduktive slutninger inntil en påstand er oppnådd som motsier en av premissene, og spesielt, betingelse A. Så snart en slik motsigelse er etablert, er bevisprosessen fullført og det sies at den resulterende motsigelsen beviser sannheten til teoremet

Oppgave 1. Bevis at hvis a + 3 > 10, så er a ≠ 7. Motsigelsesmetode.

Oppgave 2. Bevis at hvis x² - partall, da er x partall. Den motsatte metoden.

Oppgave 3. Det er gitt fire påfølgende naturlige tall. Er det sant at produktet av gjennomsnittene av denne sekvensen flere kunstverk ekstrem med 2? Metode for ufullstendig induksjon.

Full induksjon- dette er en bevismetode der sannheten til et utsagn følger av dets sannhet i alle spesielle tilfeller.

Oppgave 4. Bevis at hvert sammensatt naturlig tall større enn 4 men mindre enn 20 kan representeres som summen av to primtall.

Oppgave 5. Er det sant at hvis et naturlig tall n ikke er et multiplum av 3, så er verdien av uttrykket n² + 2 et multiplum av 3? Full induksjonsmetode.

Hovedkonklusjoner

På dette tidspunktet ble vi kjent med begrepene: inferens, premiss og konklusjon, deduktiv (korrekt) resonnement, ufullstendig induksjon, analogi, direkte bevis, indirekte bevis, fullstendig induksjon.

Vi fant at ufullstendig induksjon og analogi er nært knyttet til deduksjon: konklusjonene oppnådd ved bruk av ufullstendig induksjon og analogi må enten bevises eller motbevises. På den annen side oppstår ikke deduksjon fra bunnen av, men er et resultat av en foreløpig induktiv studie av materialet.

Deduktiv resonnement gjør det mulig å få nye sannheter fra eksisterende kunnskap, og dessuten ved hjelp av resonnement, uten å ty til erfaring, intuisjon osv.

Vi fant ut at et matematisk bevis er en kjede av deduktive slutninger utført i henhold til visse regler. Vi ble kjent med den enkleste av dem: konklusjonsregelen, negasjonsregelen, syllogismens regel. Vi lærte at du kan sjekke riktigheten av slutninger ved å bruke Euler-sirkler.

TEKSTPROBLEM OG LØSNINGSPROSESSEN

Forelesning 11

1. Strukturen i tekstoppgaven

2. Metoder og metoder for å løse ordoppgaver

3. Stadier for å løse problemet og metoder for implementering av dem

Unntatt ulike konsepter, forslag, bevis i noen matematikkkurs det er oppgaver. I undervisning i matematikk ungdomsskolebarn de som kalles aritmetiske, tekstlige og plotte dominerer. Disse oppgavene er formulert i naturlig språk (de kalles tekst): de beskriver vanligvis den kvantitative siden av noen fenomener, hendelser (derfor kalles de ofte aritmetikk eller plott); de er oppgaver for å finne ønsket og er redusert til regnestykket ukjent verdi av en viss størrelse (det er derfor de noen ganger kalles databehandling).

I denne manualen vil vi bruke begrepet "tekstproblemer", siden det oftest brukes i metodikken for å undervise yngre elever i matematikk.

Løse tekstproblemer med Grunnutdanning gitt stor oppmerksomhet. Dette skyldes at slike oppgaver ofte ikke bare er et middel til å danne mange matematiske begreper, men viktigst av alt - et middel for å utvikle ferdigheter å bygge matematiske modeller virkelige fenomener, samt et middel til å utvikle barnas tenkning.

Det finnes ulike metodiske tilnærmingerå lære barn å løse ordproblemer. Men uansett hvilken undervisningsmetode læreren velger, må han vite hvordan slike oppgaver er tilrettelagt og kunne løse dem. ulike metoder og måter.

Struktur av en tekstoppgave

Som nevnt ovenfor, evt tekstoppgave er en beskrivelse av et fenomen (situasjon, prosess). Fra dette synspunktet er en tekstoppgave en verbal modell av et fenomen (situasjon, prosess). Og, som i enhver modell, beskriver ikke tekstoppgaven hele fenomenet som helhet, men bare noen av dets aspekter, hovedsakelig dets kvantitative egenskaper. Tenk for eksempel på følgende problem: «En bil forlot punkt A med en hastighet på 60 km/t. Etter 2 timer fulgte en annen bil etter ham i en hastighet på 90 km/t. På hvilken avstand fra A vil den andre bilen overta den første?

Oppgaven beskriver bevegelsen til to biler. Som du vet er enhver bevegelse preget av tre størrelser: tilbakelagt avstand, hastighet og bevegelsestid. I denne oppgaven er hastigheten til den første og andre bilen kjent (60 km/t og 90 km/t), det er kjent at de reiste samme avstand fra punkt A til møtepunktet, kvantitativ karakteristikk som må finnes. I tillegg er det kjent at den første bilen var på veien i 2 timer mer enn den andre.

Oppsummerende kan vi si at en tekstoppgave er en beskrivelse på naturlig språk et eller annet fenomen (situasjon, prosess) med kravet om å gi en kvantitativ beskrivelse av en hvilken som helst komponent i dette fenomenet, for å fastslå tilstedeværelsen eller fraværet av et forhold mellom komponentene, eller for å bestemme typen av denne sammenhengen.

Vurder et annet problem fra innledende kurs matematikere: «Genseren, luen og skjerfet ble strikket av I kg 200 g ull. Det tok 100 g mer ull for et skjerf enn for en lue, og 400 g mindre enn for en genser. Hvor mye ull ble brukt til hver gjenstand?

I oppgaven vi snakker om å bruke ull på genser, lue og skjerf. Når det gjelder disse objektene, er det visse uttalelser og krav.

Utsagn:

1. Genser, lue og skjerf er strikket av 1200 g ull.

2. Vi brukte 100 g mer på et skjerf enn på en lue.

3. Det ble brukt 400 g mindre på et skjerf enn på en genser.

Krav:

1. Hvor mye ull brukte du til genseren?

2. Hvor mye ull brukte du til luen?

3. Hvor mye ull brukte du til skjerfet?

Oppgaveerklæringer kalles forhold(eller en tilstand, som i barneskolen). I en oppgave er det vanligvis ikke én betingelse, men flere elementære forhold. De representerer kvantitative eller kvalitative egenskaper ved oppgavens objekter og relasjonene mellom dem. Det kan være flere krav i en oppgave. De kan formuleres både i spørrende og godkjenningsskjema. Forhold og krav henger sammen.

Systemet med sammenhengende forhold og krav kalles oppgavens proposisjonelle modell.

For å forstå hva strukturen til oppgaven er, er det derfor nødvendig å identifisere dens betingelser og krav, forkaste alt overflødig, sekundært, som ikke påvirker strukturen. Det er med andre ord nødvendig å konstruere en proposisjonell modell av problemet.

For å få denne modellen er det nødvendig å utvide oppgaveteksten (dette kan gjøres skriftlig eller muntlig), siden oppgaveteksten som regel er gitt i en forkortet, sammenslått form. For å gjøre dette kan du omformulere problemet, bygge det grafisk modell, introdusere noen betegnelser osv.

I tillegg kan isoleringen av forholdene til problemet utføres med forskjellige dybder. Dybden i analysen av forholdene og kravene til problemet avhenger hovedsakelig av om vi er kjent med hvilken type problem den gitte tilhører, og om vi vet hvordan vi skal løse slike problemer.

Eksempel 1. Formuler betingelsene og kravene til oppgaven:

To jenter løp samtidig mot hverandre langs en idrettsbane, hvor lengden er 420 m. Da de møttes, løp den første 60 m mer enn den andre. Hvor fort løp hver jente hvis de møttes etter 30 sekunder?

Problemet handler om bevegelsen til to jenter mot hverandre. Som du vet er bevegelse preget av tre størrelser: avstand, hastighet og tid.

Betingelser for problemet:

1. To jenter løper mot hverandre.

2. De begynte å bevege seg samtidig.

3. Distansen de løp er 420 m.

4. Den ene jenta løp 60 meter mer enn den andre.

5. Jentene møttes etter 30 s.

6. Bevegelseshastigheten til en jente er mer enn bevegelseshastigheten
en annen.

Oppgavekrav:

1. Hvor fort løp den første jenta?

2. Hvor fort løp den andre jenta?

I forhold til betingelser og krav er det:

en) visse oppgaver - de har så mange gitte betingelser som
nødvendig og tilstrekkelig for å oppfylle kravene;

b) underbestemte oppgaver - i dem er forholdene ikke nok til å få svar;

i) redefinerte oppgaver - de har ekstra betingelser.

PÅ grunnskole Underbestemte oppgaver anses å være oppgaver med manglende data, og overbestemte oppgaver anses å være oppgaver med overflødige data.

For eksempel oppgaven «Det var 5 epletrær, 2 kirsebær og 3 bjørker i nærheten av huset. Hvor mange frukttrær vokste i nærheten av huset? overstyres fordi den inneholder en ekstra betingelse.

Oppgave "Først ble 12 stoler tatt ut av hallen, deretter 5 til. Hvor mange stoler er det igjen i hallen?" er underbestemt - det er ikke nok betingelser i den til å svare på spørsmålet som stilles.

La oss nå klargjøre betydningen av begrepet "problemløsning". Det skjedde slik at dette begrepet betegner ulike konsepter:

1) resultatet kalles løsningen av problemet, dvs. svar på etterspørsel
oppgaver;

2) prosessen med å finne dette resultatet kalles løsningen av problemet, og denne prosessen betraktes på to måter: både som en metode for å finne resultatet (for eksempel snakker de om å løse problemet på en aritmetisk måte) og som en sekvens av de handlingene som løseren utfører ved å bruke en eller annen metode (dvs denne saken under
løsningen av et problem forstås som hele aktiviteten til personen som løser problemet).

Øvelser

1. Marker betingelsene og kravene i følgende oppgaver:

a) To busser går samtidig fra byen til landsbyen, avstanden til disse er 72 km. Den første bussen ankom landsbyen 15 minutter tidligere enn den andre. Hva er hastigheten på hver buss hvis hastigheten til en av dem er 4 km/t høyere enn hastigheten til den andre?

b) Summen av to tall er 199. Finn disse tallene hvis ett av dem er 61 mer enn det andre.

2. Formuler oppgavene fra øvelse 1 slik at setningen som inneholder kravet ikke inneholder vilkår.

3. I oppgavene fra øvelse 1 imperativ form erstatte kravene med en spørrende, en spørrende med en imperativ.

4. Løs oppgavene fra øvelse I.

5. Betingelsene for problemet er gitt: "Vi samlet inn 42 kg agurker og saltet 5/7 av alle agurker."

Fra listen nedenfor velger du kravene for denne tilstanden og løser det resulterende problemet:

a) Hvor mange kilo med agurker er igjen usaltet?

b) Hvor mange kilo tomater er igjen usaltet?

c) Hva er størst - massen av agurker som har blitt saltet eller massen av agurker som har forblitt usaltet?

6. Formuler mulige krav til tilstanden til problemet:

a) Vi kjøpte 12 m stoff og brukte en tredjedel av stoffet på en kjole.

b) En fotgjenger forlot landsbyen, og etter 2 timer dro en syklist etter ham. Hastigheten til en syklist er 10 km/t og hastigheten til en fotgjenger er 5 km/t.

7. Hvilke data er nødvendig for å svare på følgende krav
oppgaver:

a) Hvilken del av leksjonen brukes til å løse problemet?

b) Hvor mange kjoler ble laget av det kjøpte stoffet?

c) Finn omkretsen til rektangelet.

8. Eleven fikk oppgaven: «Syklisten syklet i 2 timer med
litt fart. Etter han reiser 60 km med det samme
hastighet, vil banen være lik 48 km. I hvilken hastighet kjørte du
syklist?" Han løste det slik:

1)60-48= 12 (km)

2) 12:2 = 6 (km/t)

Svar: 6 km/t er hastigheten til syklisten.

Er du enig i denne løsningen på dette problemet?

9. Kan du svare på kravet til følgende oppgave:

a) 60 000 rubler ble betalt for 3 m stoff. Andre gang kjøpte vi 6 m stoff. Hvor mye penger ble betalt for stoffet som ble kjøpt en gang til?

b) To motorsyklister kjører mot hverandre. Hastigheten til en av dem er 62 km/t, og hastigheten til den andre er 54 km/t. Om hvor mange timer vil motorsyklistene møtes?

Hvis det er umulig å svare på kravet til problemet, suppler tilstanden og løs problemet.

10. Er det noen oppgaver med ekstra data blant følgende:

a) Rommets volum er 72 m³. Høyden på rommet er 3 m. Finn gulvarealet til rommet hvis lengden er 6 m.

5) Et areal på 300 hektar ble avsatt til planting av skog. Du6s ble plantet på 7/10 av tomten, og furutrær på 3/10 av tomten. Hvor mange hektar er okkupert av eik og furu?

Hvis oppgaven inneholder ekstra data, ekskluder dem og løs oppgaven.

Å bevise en påstand betyr å vise at denne påstanden følger logisk fra et system av sanne og relaterte utsagn.

I logikk antas det at hvis utsagnet som vurderes logisk følger av allerede beviste utsagn, så er det berettiget og like sant som sistnevnte.

Dermed er grunnlaget for matematiske bevis deduktiv metode. Et bevis er et sett med logiske metoder for å underbygge sannheten til et utsagn ved hjelp av andre sanne og relaterte utsagn.

Et matematisk bevis er ikke bare et sett med slutninger, det er slutninger ordnet i en bestemt rekkefølge.

Bevis skiller mellom direkte og indirekte.

Direkte bevis.

1) Basert på noen sanne setninger og tilstanden til teoremet, bygges det en kjede av deduktive slutninger som fører til en sann konklusjon.

Eksempel. La oss bevise det vertikale vinkler er like. Vinkel 1 og 2 er tilstøtende, derfor 1 + 2 = 180 o. Vinkler 2 og 3 er tilstøtende, derfor 2 + 3 = 180 o. Vi har: 1 = 180 o –23 = 180 o –21 =2.

2) Metoden for matematisk induksjon. Utsagnet er sant for alle naturlig tall P hvis: den er gyldig for P= 1 og fra gyldigheten av påstanden for enhver vilkårlig naturlig P=k følger sin rettferdighet for P=k+ 1. (Flere detaljer vil bli diskutert i seniorkurs.)

3) Fullfør induksjon (se tidligere).

indirekte bevis.

1) Metode ved selvmotsigelse. La det kreves å bevise teoremet MENPÅ. Det antas at dens konklusjon er falsk, og derfor dens negasjon ekte. Ved å legge ved tilbud til settet med sanne premisser som brukes i bevisprosessen (blant disse er betingelsen MEN), bygge en kjede av deduktive resonnementer til det oppnås en påstand som motsier en av premissene. Den resulterende motsigelsen beviser teoremet.

Eksempel. Hvis to linjer er parallelle med samme linje, så er de parallelle med hverandre.

Gitt: X Med,på Med. Bevis det X på.

Bevis. La linjen X ikke parallelt med en linje på, dvs. linjer krysser hverandre på et tidspunkt MEN. Derfor gjennom poenget MEN passere to linjer parallelt med linjen Med, som er umulig ved aksiomet om parallellisme.

2) Bevis basert på kontraposisjonsloven: i stedet for et teorem MENPÅ bevise et ekvivalent teorem
. Hvis det er sant, er det opprinnelige teoremet også sant.

Eksempel. Hvis en X 2 er da et partall X- partall.

Bevis. La oss late som det X er et oddetall, dvs. X= 2k+ 1X 2 = (2k+ 1) 2 = = 4k 2 + 4k+ 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 er rart.

test spørsmål

Hva kalles inferens?

Hva slags resonnement kalles deduktiv?

Gi definisjoner av ufullstendig og fullstendig induksjon.

Definer slutning ved analogi.

Skriv ned skjemaene for deduktiv resonnement og bevis den identiske sannheten til formlene som ligger til grunn for disse reglene.

Hvordan sjekke riktigheten av konklusjonene ved å bruke Euler-sirkler? Hvilke andre metoder er kjent for å kontrollere riktigheten av slutninger?

Hvilken konklusjon kalles sofisme?

Hva vil det si å bevise en påstand?

Hvilke bevis kjennetegnes ved fremgangsmåten?

Beskriv måtene resonnement er på ulike former direkte og indirekte bevis.

Hovedmetoden i matematisk forskning er matematiske bevis - strenge logiske resonnementer. I kraft av objektiv nødvendighet, påpeker korresponderende medlem av det russiske vitenskapsakademiet L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - Moderne matematikk og dens undervisning, Moskva, Nauka, 1985, logisk resonnement (som i sin natur, hvis riktig, også er streng) er en matematisk metode, matematikk er utenkelig uten dem. Det bør bemerkes at matematisk tenkning ikke er begrenset til logisk resonnement. Til riktig innstilling oppgave, å evaluere dataene sine, fremheve de essensielle og velge en metode for å løse dem, det er også nødvendig med matematisk intuisjon, som lar en forutse ønsket resultat før det oppnås, for å skissere forskningsveien ved hjelp av plausibelt resonnement. Men gyldigheten av det aktuelle faktum bevises ikke ved å kontrollere det på en rekke eksempler, ikke ved å utføre en rekke eksperimenter (som i seg selv spiller en stor rolle i matematisk forskning), men på en rent logisk måte, ifølge formell logikks lover.

Det antas at matematiske bevis er den ultimate sannheten. En beslutning som er basert på ren logikk kan rett og slett ikke være feil. Men med utviklingen av vitenskap og oppgavene foran matematikere blir satt mer og mer komplekse.

«Vi har gått inn i en epoke da matematisk apparat har blitt så kompleks og tungvint at det ved første øyekast ikke lenger er mulig å si om problemet er sant eller ikke, sier Keith Devlin fra Stanford University i California, USA. Han nevner som et eksempel "klassifiseringen av enkle endelige grupper", som ble formulert tilbake i 1980, men et fullstendig eksakt bevis er ennå ikke gitt. Mest sannsynlig er teoremet sant, men det er umulig å si noe sikkert om dette.

En dataløsning kan heller ikke kalles eksakt, fordi slike beregninger alltid har en feil. I 1998 foreslo Hales en datamaskinassistert løsning på Keplers teorem, formulert tilbake i 1611. Denne teoremet beskriver den tetteste pakningen av kuler i rommet. Beviset ble presentert på 300 sider og inneholdt 40 000 linjer med maskinkode. 12 anmeldere sjekket løsningen i ett år, men de oppnådde aldri 100 % tillit til bevisets korrekthet, og studien ble sendt til revisjon. Som et resultat ble den publisert først etter fire år og uten full sertifisering av anmelderne.

Alle siste beregninger for anvendte oppgaver er laget på en datamaskin, men forskerne mener at for større pålitelighet bør matematiske beregninger presenteres uten feil.

Bevisteori er utviklet i logikk og inkluderer tre strukturelle komponenter: avhandling (hva som skal bevises), argumenter (et sett med fakta, generelt aksepterte konsepter, lover osv. for den relevante vitenskapen) og demonstrasjon (prosedyren for å distribuere bevis selv; en sekvensiell kjede av slutninger når n-th inferens blir en av premissene n+1 slutning). Bevisreglene skilles, mulige logiske feil er indikert.

Matematiske bevis har mye til felles med prinsippene etablert av formell logikk. Dessuten, matematiske regler resonnement og operasjoner fungerte åpenbart som et av fundamentene i utviklingen av bevisprosedyren i logikk. Spesielt mener forskere av historien om dannelsen av formell logikk at på en gang, da Aristoteles tok de første skrittene for å lage lover og logikkregler, vendte han seg til matematikk og til utøvelse av juridisk aktivitet. I disse kildene fant han materiale for de logiske konstruksjonene til den unnfangede teorien.

På 1900-tallet mistet begrepet bevis sin strenge betydning, noe som skjedde i forbindelse med funnet logiske paradokser skjult i mengdlære, og spesielt i forbindelse med resultatene som K. Gödels teoremer om formaliseringens ufullstendighet brakte.

For det første påvirket dette matematikken i seg selv, i forbindelse med hvilken man trodde at begrepet "bevis" ikke har noen eksakt definisjon. Men hvis en slik oppfatning (som fortsatt gjelder i dag) påvirker matematikken selv, så kommer de til den konklusjon at beviset bør aksepteres ikke i det logisk-matematiske, men i psykologisk sans. Dessuten finnes et lignende syn hos Aristoteles selv, som mente at å bevise betyr å føre et resonnement som ville overbevise oss i en slik grad at vi ved å bruke det overbeviser andre om riktigheten av noe. En viss nyanse psykologisk tilnærming finner vi i A.E. Yesenin-Volpin. Han motsetter seg skarpt aksept av sannhet uten bevis, og knytter den til en troshandling, og skriver videre: «Jeg kaller beviset for en dom for en ærlig metode som gjør denne dommen ubestridelig». Yesenin-Volpin rapporterer at definisjonen hans fortsatt må avklares. Samtidig avslører ikke selve karakteriseringen av bevis som en «ærlig metode» en appell til en moralsk-psykologisk vurdering?

Samtidig bidro oppdagelsen av settteoretiske paradokser og utseendet til Godels teoremer bare til utviklingen av teorien om matematisk bevis utført av intuisjonister, spesielt den konstruktivistiske retningen, og D. Hilbert.

Noen ganger antas det at et matematisk bevis er av generell karakter og representerer perfekt alternativ vitenskapelig bevis. Det er imidlertid ikke den eneste metoden; det finnes andre metoder for evidensbaserte prosedyrer og operasjoner. Det er bare sant at det matematiske beviset har mye til felles med det formelle-logiske beviset implementert i naturvitenskap, og at det matematiske beviset har visse spesifikasjoner, så vel som settet med teknikker-operasjoner. Det er her vi stopper, og utelater det generelle som gjør det relatert til andre former for bevis, det vil si uten å utvide algoritmen, reglene, feilene osv. i alle trinn (selv de viktigste). bevisprosess.

Matematisk bevis er et resonnement som har som oppgave å underbygge sannheten (selvfølgelig i den matematiske, det vil si som deduserbarhet, forstand) til et utsagn.

Settet med regler som ble brukt i beviset ble dannet sammen med bruken av aksiomatiske konstruksjoner matematisk teori. Dette ble realisert klarest og fullstendig i Euklids geometri. Hans "Prinsipler" ble en slags modellstandard for den aksiomatiske organiseringen av matematisk kunnskap, og forble lenge slik for matematikere.

Utsagn presentert i form av en viss sekvens må garantere en konklusjon, som, underlagt reglene for logisk operasjon, anses som bevist. Det må understrekes at et visst resonnement kun er et bevis med hensyn til et eller annet aksiomatisk system.

Ved karakterisering av et matematisk bevis skilles det mellom to hovedtrekk. Først av alt, det faktum at matematiske bevis utelukker enhver henvisning til empiri. Hele prosedyren for å underbygge sannheten av konklusjonen utføres innenfor rammen av den aksepterte aksiomatikken. Akademiker A.D. Aleksandrov understreker i denne forbindelse. Du kan måle vinklene til en trekant tusenvis av ganger og sørge for at de er lik 2d. Men matematikk beviser ingenting. Du vil bevise det for ham hvis du trekker utsagnet ovenfor fra aksiomene. La oss gjenta. Her ligger matematikken nær skolastikkens metoder, som også fundamentalt avviser argumentasjon ved eksperimentelt gitte fakta.

For eksempel, da usammenlignbarheten til segmenter ble oppdaget, når denne teoremet ble bevist, appellerte til fysisk eksperiment, fordi for det første er selve begrepet "incommensurability" blottet for fysisk sans, og for det andre kunne matematikere, når de hadde å gjøre med abstraksjon, ikke hjelpe virkelig-konkrete utvidelser, målt ved hjelp av en sensorisk-visuell enhet. Spesielt inkommensurabiliteten til siden og diagonalen til kvadratet, bevises basert på egenskapen til heltall ved bruk av Pythagoras teorem om likheten mellom kvadratet til hypotenusen (henholdsvis diagonalen) og summen av firkanter av bena (to sider høyre trekant). Eller da Lobachevsky søkte bekreftelse for sin geometri ved å referere til resultatene astronomiske observasjoner, så ble denne bekreftelsen utført av ham ved hjelp av en rent spekulativ karakter. Cayley-Klein og Beltramis tolkninger av ikke-euklidisk geometri inneholdt også typiske matematiske snarere enn fysiske objekter.

Den andre egenskapen til matematiske bevis er dens høyeste abstrakthet, der den skiller seg fra bevisprosedyrer i andre vitenskaper. Og igjen, som i tilfellet med begrepet et matematisk objekt, handler det ikke bare om graden av abstraksjon, men om dets natur. Faktum er det høy level Beviset når abstraksjon i en rekke andre vitenskaper, for eksempel i fysikk, kosmologi og selvfølgelig i filosofi, siden de ultimate problemene med å være og tenke blir gjenstand for sistnevnte. Matematikk, på den annen side, utmerker seg ved at variabler fungerer her, hvis betydning er i abstraksjon fra noen spesifikke egenskaper. Husk at variabler per definisjon er tegn som i seg selv ikke har noen betydning og får sistnevnte bare når navnene på visse objekter erstattes med dem (individuelle variabler) eller når spesifikke egenskaper og relasjoner er indikert (predikatvariabler), eller til slutt , i tilfeller av å erstatte en variabel med en meningsfull setning (proposisjonell variabel).

Den bemerkede funksjonen bestemmer arten av den ekstreme abstraktheten til tegnene som brukes i det matematiske beviset, så vel som utsagn som, på grunn av inkluderingen av variabler i strukturen, blir til utsagn.

Selve bevisprosedyren, definert i logikk som en demonstrasjon, fortsetter på grunnlag av slutningsregler, basert på hvilke overgangen fra en bevist påstand til en annen utføres, og danner en konsistent kjede av slutninger. De vanligste er de to reglene (substitusjon og utledning av konklusjoner) og deduksjonsteoremet.

substitusjonsregel. I matematikk er substitusjon definert som erstatning av hvert av elementene en gitt sett et annet element av F ( en) fra samme sett. PÅ matematisk logikk substitusjonsregelen er formulert som følger. Hvis den sanne formelen M i proposisjonsregning inneholder en bokstav, si EN, og erstatter den med en vilkårlig bokstav der det forekommer D, får vi en formel som også er sann, som den opprinnelige. Dette er mulig, og tillatt nettopp fordi man i beregningen av proposisjoner abstraherer fra betydningen av proposisjoner (formler)... Bare verdiene "true" eller "false" tas i betraktning. For eksempel i formelen M: A-->(B U EN) på plass EN erstatte uttrykket ( EN U B), som et resultat får vi en ny formel ( EN U B) -->[(B U( EN U B) ].

Regelen for å trekke konklusjoner tilsvarer strukturen til den betinget kategoriske syllogisme modus ponens (bekreftende modus) i formell logikk. Det ser slik ut:

a-->b

en .

Gitt en uttalelse ( a->b) og fortsatt gitt en. Derfor b.

For eksempel: Hvis det regner, så er fortauet vått, det regner ( en), derfor er fortauet vått ( b). I matematisk logikk er denne syllogismen skrevet som følger ( a->b) a->b.

Konklusjonen bestemmes som regel ved å separere for implikasjon. Hvis gitt implikasjonen ( a->b) og dens antecedent ( en), så har vi rett til å legge til resonnementet (beviset) også konsekvensen av denne implikasjonen ( b). Syllogisme er tvang, og utgjør et arsenal av deduktive bevismidler, det vil si absolutt oppfylle kravene til matematisk resonnement.

En viktig rolle i matematisk bevis spilles av deduksjonsteoremet - vanlig navn for en rekke teoremer, hvis prosedyre gjør det mulig å fastslå bevisbarheten av implikasjonen: A->B når det er en logisk avledning av formelen B fra formelen EN. I den vanligste versjonen av proposisjonskalkylen (i klassisk, intuisjonistisk og andre typer matematikk) sier deduksjonsteoremet følgende. Gitt et pakkesystem G og en pakke EN, som vi i henhold til reglene utleder B G, EN B(- utledningstegn), så følger det at bare fra premissene til G kan man få en setning A-->B.

Vi har vurdert typen, som er et direkte bevis. Samtidig brukes såkalt indirekte bevis også i logikk, det er ikke-direkte bevis som er distribuert etter følgende skjema. Ikke å ha, på grunn av en rekke årsaker (utilgjengelighet av studieobjektet, tap av virkeligheten av dets eksistens, etc.) muligheten til å gjennomføre et direkte bevis på sannheten til enhver uttalelse, avhandling, de bygger en antitese. De er overbevist om at antitesen fører til motsetninger, og derfor er falsk. Så, fra det faktum at antitesen er falsk, lager de - på grunnlag av loven om den ekskluderte midten ( en v ) - en konklusjon om oppgavens sannhet.

I matematikk er en av formene for indirekte bevis mye brukt – bevis ved selvmotsigelse. Det er spesielt verdifullt og faktisk uunnværlig for aksept av grunnleggende begreper og bestemmelser i matematikk, for eksempel begrepet faktisk uendelighet, som ikke kan introduseres på noen annen måte.

Operasjonen av bevis ved selvmotsigelse er representert i matematisk logikk som følger. Gitt en sekvens av formler G og negasjon EN(G, EN). Hvis dette følger B og dens negasjon (G , A B, ikke-B), så kan vi konkludere med at sekvensen av formlene G innebærer sannheten EN. Med andre ord, oppgavens sannhet følger av antitesens falskhet.

La oss gi et eksempel på bruken av ufullstendig induksjon i arbeid med førskolebarn: bruk av spillet " Mirakuløs veske» med voluminøs geometriske former, bjeffer vi oppgaven til barnet: "Få figuren og navngi den." Etter flere forsøk gjetter barnet:

Ball. Ball. Ball. Her, sannsynligvis, alle ballene.

Oppgave 14

Foreslå ytterligere begrunnelse for å bekrefte sannheten (eller usannheten) av den resulterende påstanden.

Det er umulig å overvurdere betydningen av bevis i våre liv og spesielt i vitenskapen. Alle tyr til bevis, men de tenker ikke alltid på hva det vil si å "bevise *". Praktiske bevisferdigheter og intuitive ideer om det er tilstrekkelig for mange dagligdagse formål, men ikke for vitenskapelige.

Å bevise et utsagn er å vise at dette logiske utsagnet følger logisk fra et system av sanne og relaterte utsagn.

Beviset er logisk operasjonå underbygge sannheten til et utsagn ved hjelp av andre sanne og relaterte utsagn.

Det er tre bevis strukturelt element:

1) påstanden som skal bevises;

2) et system med sanne utsagn, ved hjelp av hvilke sannheten om det som blir bevist underbygges;

3) en logisk sammenheng mellom påstander. 1 og 2.

Den viktigste metoden for matematisk bevis er deduktiv slutning.

Etter sin form bevis- dette er en deduktiv slutning eller en kjede av deduktive slutninger som fører fra sanne premisser til et bevist utsagn.

Ved matematisk bevis er rekkefølgen på konklusjonene viktig. I henhold til metoden for å gjennomføre, skiller de direkte og indirekte bevis. Direkte bevis inkluderer fullstendig induksjon, som ble diskutert i avsnitt 1.6.

Full induksjon- en bevismetode der sannheten til en påstand følger av dens sannhet i alle spesielle tilfeller.

Full induksjon ofte brukt i spill med førskolebarn som: "Nevn det med ett ord."

Eksempel direkte bevis si "Summen av vinklene i en hvilken som helst firkant er 360°":

"Vurder en vilkårlig firkant. Ved å tegne en diagonal i den får vi 2 trekanter. Summen av vinklene til firkanten vil være lik summen av vinklene til de to dannede trekantene. Siden summen av vinklene i en hvilken som helst trekant er 180°, så ved å legge til 180° og 180°, får vi summen av vinklene i to trekanter, det vil være 360°. Derfor er summen av vinklene i en hvilken som helst firkant lik 360", som måtte bevises.

I bevisene ovenfor kan følgende konklusjoner skilles:

1. Hvis figuren er en firkant, kan det tegnes en diagonal i den, som vil dele firkanten i 2 trekanter. Denne figuren er en firkant. Derfor kan den deles inn i 2 trekanter ved å konstruere en diagonal.

2. I en hvilken som helst trekant er summen av vinklene lik ISO. Disse figurene er trekanter. Derfor er summen av vinklene til hver av dem 180 °.

3. Hvis en firkant består av to trekanter, er summen av vinklene lik summen av vinklene til disse trekantene. Denne firkanten er bygd opp av to trekanter med summen av vinkler på 180°. 180o+180o=360°. Derfor er summen av vinklene i denne firkanten 360°.

Alle slutningene ovenfor er gjort i henhold til konklusjonsregelen, derfor er de deduktive.

Et eksempel på indirekte bevis er bevis ved motsigelse. PÅ tillat i dette tilfellet at konklusjonen er falsk, derfor er negasjonen sann. Etter å ha knyttet denne setningen til helheten av sanne premisser, blir resonnement utført inntil en motsigelse oppnås.

La oss gi et eksempel på et bevis ved motsigelse av teoremet: "Hvis to linjer en og b er parallelle med den tredje linjen c, så er de parallelle med hverandre":

"La oss anta at den direkte en og b ikke er parallelle, så vil de krysse hverandre på et punkt A, som ikke tilhører linjen c. Da får vi at gjennom punktet A er det mulig å trekke to linjer a og b parallelle med c. Dette motsier parallellismens aksiom: «Gjennom

8. Formuler reglene for eksplisitt definisjon gjennom slekt og spesifikk forskjell.

9. Hvilken definisjon kalles:

kontekstuell;

Ostensiv?

10. Hva er en erklæring, og hva er en erklæringsform?

11. Når er setninger av typene "A og B", "A eller B", "Ikke A" sanne, og når er de usanne?

12. List opp kvantifiserere av generalitet og kvantifiserere av eksistens. Hvordan sette sannhetsverdien til setninger med forskjellige kvantifiserere?

13. Når er det en suksesjonsrelasjon mellom setninger, og når er det en ekvivalensrelasjon? Hvordan er de utpekt?

14. Hva er en slutning? Hva slags resonnement kalles deduktiv?

15. Skriv ned ved hjelp av symboler reglene for konklusjonen, negasjonsregelen, syllogismens regel.

16. Hvilke slutninger kalles ufullstendig induksjon, og hvilke slutninger i analogi?

17. Hva vil det si å bevise en påstand?

18. Hva er et matematisk bevis?

19. Gi definisjonen av fullstendig induksjon.

20. Hva er sofismer?

Å bevise en påstand betyr å vise at denne påstanden følger logisk fra et system av sanne og relaterte utsagn.

I logikk antas det at hvis utsagnet som vurderes logisk følger av allerede beviste utsagn, så er det berettiget og like sant som sistnevnte.

Derfor er grunnlaget for matematisk bevis den deduktive metoden. Et bevis er et sett med logiske metoder for å underbygge sannheten til et utsagn ved hjelp av andre sanne og relaterte utsagn.

Et matematisk bevis er ikke bare et sett med slutninger, det er slutninger ordnet i en bestemt rekkefølge.

Bevis skiller mellom direkte og indirekte.

Direkte bevis.

1) Basert på noen sanne setninger og tilstanden til teoremet, bygges det en kjede av deduktive slutninger som fører til en sann konklusjon.

Eksempel. Vi beviser at de vertikale vinklene er like. Vinklene 1 og 2 er tilstøtende, derfor,
Ð 1 + Ð 2 \u003d 180 o. Vinklene 2 og 3 er tilstøtende, derfor er Р 2 + Р 3 = 180 o. Vi har: R 1 \u003d 180 o - R 2 R 3 \u003d 180 o - R 2 Þ R 1 \u003d R 2.

2) Metode matematisk induksjon. Utsagnet er sant for alle naturlige tall P hvis: den er gyldig for P= 1 og fra gyldigheten av påstanden for enhver vilkårlig naturlig P = k følger sin rettferdighet for P = k+ 1. (Flere detaljer vil bli diskutert i seniorkurs.)

3) Fullfør induksjon (se tidligere).

indirekte bevis.

1) Metode ved selvmotsigelse. La det kreves å bevise teoremet MEN Þ PÅ. Det antas at konklusjonen er falsk, og derfor er negasjonen sann. Ved å legge setningen til settet med sanne premisser som brukes i bevisprosessen (blant disse er det en betingelse MEN), bygge en kjede av deduktive resonnementer til det oppnås en påstand som motsier en av premissene. Den resulterende motsigelsen beviser teoremet.

Eksempel. Hvis to linjer er parallelle med samme linje, så er de parallelle med hverandre.

Gitt: Xúú Med, påúú Med. Bevis det Xúú på.

2) Bevis basert på kontraposisjonsloven: i stedet for et teorem MEN Þ PÅ bevis et teorem tilsvarende det. Hvis det er sant, er det opprinnelige teoremet også sant.

Eksempel. Hvis en X 2 er da et partall X- partall.

Bevis. La oss late som det X er et oddetall, dvs. X = 2k+ 1 X 2 = (2k + 1) 2 =
= 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 er rart.

Hva skal vi gjøre med det mottatte materialet:

Hvis dette materialet viste seg å være nyttig for deg, kan du lagre det på siden din på sosiale nettverk:

Alle emner i denne delen:

Lover om proposisjonalgebra
1. Kommutative lover A Ù B º B Ù A A Ú B º B Ú A 2. Assoc

Konseptet med et sett. Sett element. Tomt sett
Et sett er et grunnleggende begrep i matematikk og er derfor ikke definert i forhold til andre. Vanligvis forstås et sett som en samling av gjenstander forent iht felles plattform. Ja, kan du si

Forhold mellom sett. Grafisk illustrasjon av sett
Definisjon. Hvis sett A og B har felles elementer, dvs. elementer som samtidig tilhører mengdene A og B, da sier vi at disse mengdene

Lover for operasjoner på sett
1. Kommutative lover A Ç B = B Ç A A È B = B È A 2. Assosiative lover

Antall elementer i foreningen av to og tre endelige sett
I matematikk må man ofte løse problemer der det kreves å bestemme antall elementer i en mengde, eller i en forening eller skjæringspunkt av mengder. La oss bli enige om antall elementer

Bestilt par. Kartesisk produkt av to sett
Tenk på problemet: ved å bruke tallene 1, 2, 3, danner du alle mulige tosifrede tall. Oppføringen av hvert tall består av to sifre, og rekkefølgen på sekvensen deres er signifikant (h

En-til-en korrespondanse
Definisjon. En mapping f av en mengde X til en mengde Y er en slik samsvar mellom settene X og Y, der hvert element

Tilsvarende sett. Tellige og utellelige sett
Definisjon. To sett X og Y er ekvivalente hvis det er en en-til-en-tilordning av settet X til settet Y. (Betegnes: X ~ Y).

Funksjonstyper
1. Konstant funksjon. Definisjon. En funksjon kalles konstant. gitt av formelen y = b, hvor b er et tall.

Invers funksjon
La funksjonen y = f(x) definere en injektiv mapping nummer satt X for å sette reelle tall R (dvs. forskjellige verdier

Relasjonsegenskaper
En relasjon definert på et sett kan ha en rekke egenskaper, nemlig: 1. Refleksivitetsdefinisjon. Relasjon R på settet X

Ordreforhold. Bestilte sett
Definisjon. En relasjon R på et sett X kalles en ordensrelasjon hvis den er transitiv og asymmetrisk eller antisymmetrisk. Definisjon. Rel

Utsagn med kvantifiserere og deres negasjoner
Hvis et predikat er gitt, er det nok for å gjøre det om til et utsagn å erstatte verdien i stedet for hver av variablene som er inkludert i predikatet. For eksempel, hvis på settet med naturlig h

Forholdet mellom suksesjon og ekvivalens mellom setninger. Nødvendig og tilstrekkelig tilstand
Predikater forekommer ofte slik at sannheten til en av dem antyder sannheten til den andre. For eksempel kan man si at fra predikatet A(x): "tallet x er et multiplum av

Struktur og typer av teoremer
Et teorem er et utsagn, hvis sannhet er etablert gjennom resonnement (bevis). Fra et logisk synspunkt er teoremet et utsagn av formen A &T

Begrepsdefinisjon. Krav til definisjon av begrepet
Fremkomsten av nye begreper i matematikk, og dermed nye begreper som betegner disse begrepene, forutsetter deres definisjon. En definisjon kalles vanligvis en setning som forklarer essensen av en ny

Konklusjoner og deres typer
Inferens (resonnering) er en måte å skaffe ny kunnskap basert på en eksisterende. En slutning består av premisser og en konklusjon. Pakkene er høye

Ordninger med deduktiv resonnement
En slutning gir en sann konklusjon hvis premissene er sanne og slutningsreglene, eller, som de også kalles, ordninger for deduktiv resonnement, overholdes. Vurder det meste

Kontrollere riktigheten av slutninger
I logikken er det ulike måter verifisering av riktigheten av slutningene. En av dem bruker Euler-sirkler. Denne konklusjonen er først skrevet på sett-teoretisk