Denne artikkelen er svaret på to spørsmål: "Hva er" og "Hvordan finne koordinater for projeksjonen av et punkt på et plan"? Først gis nødvendig informasjon om projeksjon og dens typer. Deretter gis definisjonen av projeksjonen av et punkt på et plan og en grafisk illustrasjon. Deretter ble det oppnådd en metode for å finne koordinatene til projeksjonen av et punkt på et plan. Avslutningsvis analyseres løsninger av eksempler der koordinatene til projeksjonen av et gitt punkt på et gitt plan beregnes.

Sidenavigering.

Projeksjon, typer projeksjon - nødvendig informasjon.

Når du studerer romlige figurer, er det praktisk å bruke bildene deres i tegningen. Tegningen av en romlig figur er en såkalt projeksjon denne figuren til flyet. Prosessen med å konstruere et bilde av en romlig figur på et plan skjer i henhold til visse regler. Så prosessen med å konstruere et bilde av en romlig figur på et plan, sammen med et sett med regler som denne prosessen utføres etter, kalles projeksjon figurer på dette flyet. Planet som bildet er bygget i kalles projeksjonsplan.

Avhengig av reglene som projeksjonen utføres etter, er det sentral og parallell projeksjon. Vi vil ikke gå inn på detaljer, da dette er utenfor rammen av denne artikkelen.

I geometri brukes hovedsakelig et spesielt tilfelle av parallell projeksjon - vinkelrett projeksjon, som også kalles ortogonal. I navnet på denne typen projeksjon er adjektivet "vinkelrett" ofte utelatt. Det vil si at når de i geometri snakker om projeksjonen av en figur på et plan, betyr de vanligvis at denne projeksjonen ble oppnådd ved å bruke vinkelrett projeksjon (med mindre annet er spesifisert).

Det skal bemerkes at projeksjonen av en figur på et plan er et sett med projeksjoner av alle punkter på denne figuren på projeksjonsplanet. Med andre ord, for å få projeksjonen av en viss figur, er det nødvendig å kunne finne projeksjonene av punktene til denne figuren på planet. Det neste avsnittet i artikkelen viser bare hvordan du finner projeksjonen av et punkt på et plan.

Projeksjon av et punkt på et plan - definisjon og illustrasjon.

Vi understreker nok en gang at vi skal snakke om vinkelrett projeksjon av et punkt på et plan.

La oss lage konstruksjoner som vil hjelpe oss med å definere projeksjonen av et punkt på et plan.

La oss i tredimensjonalt rom få et punkt M 1 og et plan. La oss tegne en rett linje a gjennom punktet M 1, vinkelrett på planet. Hvis punktet M 1 ikke ligger i planet, betegner vi skjæringspunktet for linjen a og planet som H 1. Således, ved konstruksjon, er punktet H 1 bunnen av perpendikulæren som faller fra punktet M 1 til planet.

Definisjon.

Projeksjon av punkt M 1 på et plan er selve punktet M 1, hvis , eller punktet H 1, hvis .

Følgende definisjon tilsvarer denne definisjonen av projeksjonen av et punkt på et plan.

Definisjon.

Projeksjon av et punkt på et plan- dette er enten selve punktet, hvis det ligger i et gitt plan, eller bunnen av perpendikulæren som faller fra dette punktet til et gitt plan.

På tegningen nedenfor er punktet H 1 projeksjonen av punktet M 1 på planet; punktet M 2 ligger i planet, derfor er M 2 projeksjonen av selve punktet M 2 på planet.

Finne koordinatene til projeksjonen av et punkt på et plan - løse eksempler.

La Oxyz bli introdusert i tredimensjonalt rom, et punkt og fly. La oss sette oss oppgaven: å bestemme koordinatene for projeksjonen av punktet M 1 på planet.

Løsningen av problemet følger logisk fra definisjonen av projeksjonen av et punkt på et plan.

Angi projeksjonen av punktet M 1 på planet som H 1 . Per definisjon er projeksjonen av et punkt på et plan, H 1 er skjæringspunktet til et gitt plan og en rett linje a som går gjennom punktet M 1 vinkelrett på planet. De ønskede koordinatene for projeksjonen av punktet M 1 på planet er således koordinatene til skjæringspunktet mellom linjen a og planet.

Følgelig for å finne projeksjonskoordinatene til et punkt på flyet du trenger:

La oss vurdere eksempler.

Eksempel.

Finn projeksjonskoordinatene til et punkt til flyet .

Løsning.

I tilstanden til oppgaven får vi en generell ligning av formens plan , så det trenger ikke å bli kompilert.

La oss skrive de kanoniske ligningene til den rette linjen a, som går gjennom punktet M 1 vinkelrett på det gitte planet. For å gjøre dette får vi koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen a. Siden linjen a er vinkelrett på det gitte planet, er retningsvektoren til linjen a normalvektoren til planet . Det er, - retningsvektor for rett linje a . Nå kan vi skrive de kanoniske ligningene til en rett linje i rommet som går gjennom punktet og har en retningsvektor :
.

For å få de nødvendige koordinatene for projeksjonen av et punkt på et plan, gjenstår det å bestemme koordinatene til skjæringspunktet for linjen og fly . For å gjøre dette, fra de kanoniske ligningene til den rette linjen, går vi over til ligningene til to kryssende plan, vi komponerer et system av ligninger og finne løsningen. Vi bruker:

Så projeksjonen av poenget til flyet har koordinater.

Svar:

Eksempel.

I et rektangulært koordinatsystem Oxyz i tredimensjonalt rom, peker og . Bestem koordinatene til projeksjonen av punktet M 1 på planet ABC.

Løsning.

La oss først skrive ligningen til et plan som går gjennom tre gitte punkter:

Men la oss se på en alternativ tilnærming.

La oss få de parametriske ligningene til den rette linjen a , som går gjennom punktet og vinkelrett på planet ABC. Normalvektoren til planet har koordinater, derfor vektoren er retningsvektoren til linjen a . Nå kan vi skrive de parametriske ligningene til en rett linje i rommet, siden vi kjenner koordinatene til et punkt på en rett linje ( ) og koordinatene til retningsvektoren ( ):

Det gjenstår å bestemme koordinatene til skjæringspunktet for linjen og fly. For å gjøre dette, erstatter vi i ligningen til planet:
.

Nå ved parametriske ligninger beregne verdiene til variablene x , y og z ved :
.

Dermed har projeksjonen av punktet M 1 på planet ABC koordinater.

Svar:

Avslutningsvis, la oss diskutere å finne koordinatene til projeksjonen av et punkt på koordinatplanene og planene parallelt med koordinatplanene.

punktprojeksjoner til koordinatplanene Oxy , Oxz og Oyz er punktene med koordinater og tilsvarende. Og projeksjonene av poenget på flyet og , som er parallelle med koordinatplanene henholdsvis Oxy , Oxz og Oyz, er punkter med koordinater og .

La oss vise hvordan disse resultatene ble oppnådd.

La oss for eksempel finne projeksjonen av et punkt på flyet (andre tilfeller ligner på dette).

Dette planet er parallelt med koordinatplanet Oyz og er dets normalvektor. Vektoren er retningsvektoren til linjen vinkelrett på Oyz-planet. Da har de parametriske ligningene til den rette linjen som går gjennom punktet M 1 vinkelrett på det gitte planet formen .

Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom linjen og planet. For å gjøre dette, bytter vi først inn i likhetslikningen: , og projeksjonen av punktet

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Høyere matematikk. Bind én: Elementer av lineær algebra og analytisk geometri.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytisk geometri.

Et punkt, som et matematisk konsept, har ingen dimensjoner. Selvfølgelig, hvis projeksjonsobjektet er et nulldimensjonalt objekt, er det meningsløst å snakke om projeksjonen.

Fig.9 Fig.10

I geometri under et punkt er det tilrådelig å ta en fysisk gjenstand som har lineære dimensjoner. Konvensjonelt kan en ball med en uendelig liten radius tas som et punkt. Med denne tolkningen av begrepet et punkt, kan vi snakke om dets projeksjoner.

Når man konstruerer ortogonale projeksjoner av et punkt, bør man bli ledet av den første invariante egenskapen til ortogonal projeksjon: den ortogonale projeksjonen av et punkt er et punkt.

Posisjonen til et punkt i rommet bestemmes av tre koordinater: X, Y, Z, som viser avstandene der punktet fjernes fra projeksjonsplanene. For å bestemme disse avstandene, er det nok å bestemme møtepunktene til disse linjene med projeksjonsplanene og måle de tilsvarende verdiene, som vil indikere verdiene til abscissen. X, ordinater Y og applikasjoner Z punkter (fig. 10).

Projeksjonen av et punkt er bunnen av perpendikulæren som faller fra punktet til det tilsvarende projeksjonsplanet. Horisontal projeksjon poeng en kall den rektangulære projeksjonen av et punkt på horisontalplanet av projeksjoner, frontal projeksjon a /- henholdsvis på frontalplanet av projeksjoner og profil a // – på profilprojeksjonsplanet.

Direkte Aa, Aa / og Aa // kalles projiserte linjer. Samtidig direkte Ah, projeksjonspunkt MEN på horisontalplanet av projeksjoner, kalt horisontalt utstikkende linje, Аa / og Aa //- henholdsvis: frontalt og profilutstikkende rette linjer.

To utstikkende linjer som går gjennom et punkt MEN definere planet, som kalles projisere.

Ved konvertering av den romlige layouten, frontprojeksjonen av punktet A - a / forblir på plass som tilhørende et fly som ikke endrer sin posisjon under den betraktede transformasjonen. Horisontal projeksjon - en sammen med det horisontale projeksjonsplanet vil dreie i retning med klokken og vil være plassert på en vinkelrett på aksen X med frontprojeksjon. Profilprojeksjon - en // vil rotere sammen med profilplanet og ved slutten av transformasjonen vil ta posisjonen angitt i figur 10. Samtidig - en // vil være vinkelrett på aksen Z trukket fra punktet en / og vil bli fjernet fra aksen Z samme avstand som den horisontale projeksjonen en vekk fra aksen X. Derfor kan forbindelsen mellom horisontal- og profilprojeksjonene til et punkt etableres ved hjelp av to ortogonale segmenter aa y og a y a // og en konjugerende sirkelbue sentrert i skjæringspunktet mellom aksene ( O- opprinnelse). Den merkede forbindelsen brukes til å finne den manglende projeksjonen (for to gitte). Posisjonen til profil (horisontal) projeksjon i henhold til de gitte horisontale (profil) og frontale projeksjonene kan finnes ved å bruke en rett linje tegnet i en vinkel på 45 0 fra origo til aksen Y(denne halveringslinjen kalles en rett linje) k er Monge-konstanten). Den første av disse metodene er å foretrekke, siden den er mer nøyaktig.

Derfor:

1. Punkt i rommet fjernet:

fra horisontalplanet H Z,

fra frontplanet V ved verdien av den gitte koordinaten Y,

fra profilplanet W etter verdien av koordinaten. x.

2. To projeksjoner av et hvilket som helst punkt tilhører samme perpendikulær (en forbindelseslinje):

horisontal og frontal - vinkelrett på aksen x,

horisontal og profil - vinkelrett på Y-aksen,

frontal og profil - vinkelrett på Z-aksen.

3. Posisjonen til et punkt i rommet er fullstendig bestemt av posisjonen til dets to ortogonale projeksjoner. Derfor - fra to gitte ortogonale projeksjoner av et punkt, er det alltid mulig å konstruere den manglende tredje projeksjonen.

Hvis et punkt har tre bestemte koordinater, kalles et slikt punkt punkt i generell posisjon. Hvis et punkt har en eller to koordinater lik null, kalles et slikt punkt privat posisjonspunkt.

Ris. 11 Fig. 12

Figur 11 viser en romlig tegning av punkter med spesiell posisjon, Figur 12 viser en kompleks tegning (diagrammer) av disse punktene. Punktum MEN tilhører det frontale projeksjonsplanet, punktet PÅ– horisontalt plan av projeksjoner, punkt FRA– profilplan for projeksjoner og punkt D– abscisse akse ( X).

Hjelpelinje med multitegning

På tegningen vist i fig. 4.7, en, projeksjonsakser tegnes, og bildene er forbundet med kommunikasjonslinjer. Horisontale og profilprojeksjoner er forbundet med kommunikasjonslinjer ved hjelp av buer sentrert i et punkt O aksekryss. I praksis brukes imidlertid også en annen implementering av den integrerte tegningen.

På akseløse tegninger er bilder også plassert i et projeksjonsforhold. Den tredje projeksjonen kan imidlertid plasseres nærmere eller lenger unna. For eksempel kan en profilprojeksjon plasseres til høyre (fig. 4.7, b, II) eller til venstre (fig. 4.7, b, jeg). Dette er viktig for å spare plass og lette dimensjonering.

Ris. 4.7.

Hvis det i en tegning laget i henhold til et akseløst system er påkrevd å tegne kommunikasjonslinjer mellom toppvisningen og venstrevisningen, brukes en rett hjelpelinje av den komplekse tegningen. For å gjøre dette, omtrent på nivået av toppvisningen og litt til høyre for det, tegnes en rett linje i en vinkel på 45 ° til tegningsrammen (fig. 4.8, en). Det kalles hjelpelinjen til den komplekse tegningen. Fremgangsmåten for å konstruere en tegning ved bruk av denne rette linjen er vist i fig. 4,8, b, c.

Hvis tre visninger allerede er bygget (fig. 4.8, d), kan posisjonen til hjelpelinjen ikke velges vilkårlig. Først må du finne punktet den vil passere gjennom. For å gjøre dette er det tilstrekkelig å fortsette til det gjensidige skjæringspunktet mellom symmetriaksen til horisontal- og profilprojeksjonene og gjennom det resulterende punktet k tegne et rett linjesegment i en vinkel på 45 ° (fig. 4.8, d). Hvis det ikke er noen symmetriakser, fortsett til skjæringspunktet ved punktet k 1 horisontale og profilerte fremspring av en hvilken som helst flate projisert som en rett linje (fig. 4.8, d).

Ris. 4.8.

Behovet for å tegne kommunikasjonslinjer, og følgelig en hjelpelinje, oppstår når man konstruerer manglende projeksjoner og når man utfører tegninger som det er nødvendig å bestemme projeksjonene av punkter på for å tydeliggjøre projeksjonene til individuelle elementer i delen.

Eksempler på bruk av hjelpelinjen er gitt i neste avsnitt.

Projeksjoner av et punkt som ligger på overflaten av et objekt

For å kunne bygge projeksjoner av individuelle elementer av en del riktig når du lager tegninger, er det nødvendig å kunne finne projeksjoner av individuelle punkter på alle bildene av tegningen. For eksempel er det vanskelig å tegne en horisontal projeksjon av delen vist i fig. 4.9 uten å bruke projeksjonene av individuelle punkter ( A, B, C, D, E og så videre.). Evnen til å finne alle projeksjonene av punkter, kanter, ansikter er også nødvendig for å gjenskape i fantasien formen til et objekt i henhold til dets flate bilder på tegningen, samt for å kontrollere riktigheten av den ferdige tegningen.

Ris. 4.9.

La oss vurdere måter å finne andre og tredje projeksjoner av et punkt gitt på overflaten av et objekt.

Hvis en projeksjon av et punkt er gitt i tegningen av et objekt, er det først nødvendig å finne projeksjonene av overflaten som dette punktet er plassert på. Velg deretter en av de to metodene beskrevet nedenfor for å løse problemet.

Første vei

Denne metoden brukes når minst en av projeksjonene viser den gitte overflaten som en linje.

På fig. 4.10, en det vises en sylinder, på den frontale projeksjonen som projeksjonen er satt en" poeng MEN, liggende på den synlige delen av overflaten (gitte fremspring er merket med dobbeltfargede sirkler). For å finne den horisontale projeksjonen av et punkt MEN, de argumenterer som følger: punktet ligger på overflaten av sylinderen, hvis horisontale projeksjon er en sirkel. Dette betyr at projeksjonen av et punkt som ligger på denne overflaten også vil ligge på sirkelen. Tegn en kommunikasjonslinje og merk ønsket punkt i skjæringspunktet med sirkelen en. tredje projeksjon en"

Ris. 4.10.

Hvis poenget PÅ, liggende på den øvre bunnen av sylinderen, gitt av dens horisontale fremspring b, deretter trekkes kommunikasjonslinjene til skjæringspunktet med rette linjesegmenter som viser front- og profilprojeksjonene til den øvre bunnen av sylinderen.

På fig. 4.10, b viser detaljen - vekt. Å konstruere projeksjoner av et punkt MEN, gitt av dens horisontale projeksjon en, finn to andre projeksjoner av oversiden (som ligger punktet på MEN) og ved å tegne forbindelseslinjene til skjæringspunktet med linjesegmentene som viser dette ansiktet, bestemmer du de ønskede fremspringene - punkter en" og en". Punktum PÅ ligger på venstre sides vertikale flate, noe som betyr at dens fremspring også vil ligge på fremspringene til denne flaten. Altså fra et gitt punkt b" tegne kommunikasjonslinjer (som angitt med piler) til de møtes med linjesegmenter som viser dette ansiktet. frontal projeksjon Med" poeng FRA, liggende på et skrånende (i rommet) ansikt, finnes på linjen som viser dette ansiktet, og profilen Med"- ved skjæringspunktet mellom forbindelseslinjen, siden profilprojeksjonen til denne ansiktet ikke er en linje, men en figur. Konstruksjon av punktfremspring D vist med piler.

Andre vei

Denne metoden brukes når den første metoden ikke kan brukes. Da bør du gjøre dette:

• tegne gjennom den gitte projeksjonen av punktet projeksjonen av hjelpelinjen plassert på den gitte overflaten;
• finn den andre projeksjonen av denne linjen;
• til den funnet projeksjonen av linjen, overfør den gitte projeksjonen av punktet (dette vil bestemme den andre projeksjonen av punktet);
• finn den tredje projeksjonen (hvis nødvendig) ved skjæringspunktet mellom kommunikasjonslinjer.

På fig. 4.10 gis frontprojeksjon en" poeng MEN, liggende på den synlige delen av overflaten av kjeglen. For å finne den horisontale projeksjonen gjennom et punkt en" utføre en frontal projeksjon av en rett hjelpelinje som går gjennom punktet MEN og toppen av kjeglen. Få et poeng V er projeksjonen av møtepunktet for den tegnede linjen med bunnen av kjeglen. Ved å ha frontale projeksjoner av punkter som ligger på en rett linje, kan man finne deres horisontale projeksjoner. Horisontal projeksjon s toppen av kjeglen er kjent. Punktum b ligger på omkretsen av basen. Et linjestykke trekkes gjennom disse punktene og et punkt overføres til det (som vist med pilen). en", får et poeng en. Tredje projeksjon en" poeng MEN ligger i krysset.

Det samme problemet kan løses annerledes (fig. 4.10, G).

Som en hjelpelinje som går gjennom et punkt MEN, de tar ikke en rett linje, som i det første tilfellet, men en sirkel. Denne sirkelen dannes hvis den er på punktet MEN skjære kjeglen med et plan parallelt med basen, som vist i den visuelle representasjonen. Frontprojeksjonen av denne sirkelen vil bli avbildet som et rett linjesegment, siden sirkelplanet er vinkelrett på frontprojeksjonsplanet. Den horisontale projeksjonen av en sirkel har en diameter som er lik lengden på dette segmentet. Beskriv en sirkel med den angitte diameteren, tegn fra et punkt en" forbindelseslinje til skjæringspunktet med hjelpesirkelen, siden den horisontale projeksjonen en poeng MEN ligger på hjelpelinjen, dvs. på den konstruerte sirkelen. tredje projeksjon som" poeng MEN funnet i skjæringspunktet mellom kommunikasjonslinjer.

På samme måte kan du finne fremspringene til et punkt som ligger på en overflate, for eksempel en pyramide. Forskjellen vil være at når den krysses av et horisontalplan, dannes det ikke en sirkel, men en figur som ligner basen.

Mål:

• Studere reglene for å konstruere projeksjoner av punkter på overflaten av et objekt og lese tegninger.
• Utvikle romlig tenkning, evnen til å analysere den geometriske formen til et objekt.
• Å dyrke arbeidsomhet, evne til å samarbeide ved arbeid i grupper, interesse for faget.

UNDER KLASSENE

JEG Iscenesetter. MOTIVERING AV LÆRINGSAKTIVITETER.

II STAGE. DANNING AV KUNNSKAP, FERDIGHETER OG FERDIGHETER.

HELSEBESPARENDE PAUSE. REFLEKTION (HEMNING)

TRINN III. INDIVIDUELT ARBEID.

JEG Iscenesetter. MOTIVERING AV LÆRINGSAKTIVITETER

1) Lærer: Sjekk arbeidsplassen din, er alt på plass? Er alle klare til å gå?

PUSTEDE DYPTE, HOLD PUSTEN PÅ EKOSOS, PUSTET UT.

Bestem humøret ditt i begynnelsen av leksjonen i henhold til ordningen (en slik ordning er på bordet for alle)

JEG ØNSKER DEG LYKKE TIL.

2)Lærer: Praktisk arbeid med temaet " Projections of Vertices, Edges, Faces” viste at det er gutter som gjør feil når de projiserer. De blir forvirret hvilket av de to matchende punktene i tegningen som er det synlige toppunktet og hvilket som er det usynlige; når kanten er parallell med planet, og når den er vinkelrett. Samme med kanter.

For å unngå å gjenta feil, fullfør de nødvendige oppgavene ved hjelp av konsulentkortet og rett feil i praktisk arbeid (for hånd). Og mens du jobber, husk:

"ALLE KAN GJØRE FEIL, HOLD DEG TIL HANNES FEIL - BARE DE GRUTE".

Og de som har mestret temaet godt vil jobbe i grupper med kreative oppgaver (se. Vedlegg 1 ).

II STAGE. DANNING AV KUNNSKAP, FERDIGHETER OG FERDIGHETER

1)Lærer: I produksjonen er det mange deler som er festet til hverandre på en bestemt måte.
For eksempel:
Skrivebordsdekselet er festet til de vertikale stolpene. Vær oppmerksom på bordet du er ved, hvordan og med hva er lokket og stativene festet til hverandre?

Svar: Bolt.

Lærer: Hva kreves for en bolt?

Svar: Hull.

Lærer: Egentlig. Og for å lage et hull, må du vite plasseringen på produktet. Ved laging av bord kan ikke snekkeren kontakte kunden hver gang. Så, hva er behovet for å skaffe en snekker?

Svar: Tegning.

Lærer: Tegning!? Hva kaller vi en tegning?

Svar: En tegning er et bilde av et objekt ved rektangulære projeksjoner i en projeksjonsforbindelse. I følge tegningen kan du representere den geometriske formen og utformingen av produktet.

Lærer: Vi har fullført rektangulære projeksjoner, og da? Vil vi være i stand til å bestemme plasseringen av hullene fra en projeksjon? Hva mer trenger vi å vite? Hva skal man lære?

Svar: Bygg poeng. Finn projeksjoner av disse punktene i alle visninger.

Lærer: Bra gjort! Dette er formålet med leksjonen vår, og emnet: Konstruksjon av projeksjoner av punkter på overflaten av et objekt. Skriv emnet for leksjonen i notatboken.
Du og jeg vet at ethvert punkt eller segment på bildet av et objekt er en projeksjon av et toppunkt, en kant, et ansikt, dvs. hver visning er ikke et bilde fra den ene siden (ch. view, top view, left view), men hele objektet.
For å finne projeksjonene av individuelle punkter som ligger på ansiktene riktig, må du først finne projeksjonene til dette ansiktet, og deretter bruke forbindelseslinjene for å finne projeksjonene til punktene.

(Vi ser på tegningen på tavlen, vi jobber i en notatbok hvor det lages 3 fremspring av samme del hjemme).

- Åpnet en notatbok med en ferdig tegning (En forklaring av konstruksjonen av punkter på overflaten av et objekt med ledende spørsmål på tavlen, og elevene fikser det i en notatbok.)

Lærer: Tenk på et poeng PÅ. Hvilket plan er ansiktet med dette punktet parallelt med?

Svar: Ansiktet er parallelt med frontplanet.

Lærer: Vi setter projeksjonen av et punkt b' i frontal projeksjon. Tegn ned fra punktet b' vertikal kommunikasjonslinje til den horisontale projeksjonen. Hvor vil den horisontale projeksjonen av punktet være? PÅ?

Svar: I skjæringspunktet med den horisontale projeksjonen av ansiktet som ble projisert inn i kanten. Og er nederst i projeksjonen (visning).

Lærer: Punktprofilprojeksjon b'' hvor skal den ligge? Hvordan finner vi det?

Svar: I skjæringspunktet mellom den horisontale kommunikasjonslinjen fra b' med en vertikal kant til høyre. Denne kanten er projeksjonen av ansiktet med en spiss PÅ.

DE SOM ØNSKER Å KONSTRUERE DEN NESTE PROSJEKSJONEN AV PUNKTET, KALLAS TIL STYRET.

Lærer: Punktprojeksjoner MEN er også lokalisert ved hjelp av kommunikasjonslinjer. Hvilket plan er parallelt med kanten med et punkt MEN?

Svar: Ansiktet er parallelt med profilplanet. Vi setter et punkt på profilprojeksjonen en'' .

Lærer: På hvilken projeksjon projiseres ansiktet inn i kanten?

Svar: På forsiden og horisontal. La oss tegne en horisontal forbindelseslinje til krysset med en vertikal kant til venstre på frontprojeksjonen, vi får et punkt en' .

Lærer: Hvordan finne projeksjonen av et punkt MEN på en horisontal projeksjon? Tross alt, kommunikasjonslinjer fra projeksjon av poeng en' og en'' ikke skjær projeksjonen av ansiktet (kanten) på den horisontale projeksjonen til venstre. Hva kan hjelpe oss?

Svar: Du kan bruke en konstant rett linje (den bestemmer plasseringen av visningen til venstre) fra en'' tegne en vertikal kommunikasjonslinje til den skjærer en konstant rett linje. Fra skjæringspunktet tegnes en horisontal kommunikasjonslinje, til den skjærer en vertikal kant til venstre. (Dette er ansiktet med punkt A) og betegner projeksjonen med et punkt en .

2) Lærer: Alle har et oppgavekort på bordet, med et kalkerpapir vedlagt. Vurder tegningen, prøv nå på egen hånd, uten å tegne projeksjonene på nytt, for å finne de gitte projeksjonene av punkter på tegningen.

– Finn i læreboka s. 76 fig. 93. Test deg selv. Hvem presterte riktig - score "5" "; en feil - ''4''; to - ''3''.

(Karakterene settes av elevene selv i selvkontrollarket).

- Samle kort for testing.

3)Gruppearbeid: Tidsbegrenset: 4min. + 2 min. sjekker. (To pulter med studenter kombineres, og en leder velges innenfor gruppen).

For hver gruppe er oppgaver fordelt på 3 nivåer. Elevene velger oppgaver etter nivå, (som de ønsker). Løs problemer med konstruksjon av punkter. Diskuter konstruksjonen under tilsyn av leder. Deretter vises det riktige svaret på tavlen ved hjelp av et kodoskop. Alle sjekker at punktene projiseres riktig. Ved hjelp av gruppeleder gis det karakterer på oppgaver og i selvkontrollark (se. Vedlegg 2 og Vedlegg 3 ).

HELSEBESPARENDE PAUSE. SPEILBILDE

"Faraos positur"- sitt på kanten av en stol, rett ut ryggen, bøy armene i albuene, kryss bena og sett på tærne. Pust inn, stram alle kroppens muskler mens du holder pusten, puster ut. Gjør 2-3 ganger. Lukk øynene godt, for stjernene, åpne. Merk humøret ditt.

TRINN III. PRAKTISK DEL. (Individuelle oppgaver)

Det er oppgavekort å velge mellom med ulike nivåer. Elevene velger sitt eget valg. Finn projeksjoner av punkter på overflaten av et objekt. Arbeider overleveres og evalueres til neste leksjon. (Cm. Vedlegg 4 , Vedlegg 5 , Vedlegg 6 ).

TRINN IV. ENDELIG

1) Hjemmelekse. (Instruksjon). Utført av nivåer:

B - forståelse, på "3". Oppgave 1 fig. 94a s. 77 - i henhold til oppgaven i læreboken: fullfør de manglende projeksjonene av punkter på disse projeksjonene.

B - søknad, på "4". Oppgave 1 Fig. 94 a, b. fullfør de manglende projeksjonene og marker toppunktene på det visuelle bildet i 94a og 94b.

A - analyse, på "5". (Økt vanskelighetsgrad.) Eks. 4 fig.97 - konstruer manglende projeksjoner av punkter og angi dem med bokstaver. Det er ikke noe visuelt bilde.

2)Reflekterende analyse.

1. Bestem stemningen på slutten av leksjonen, merk den på selvkontrollarket med et hvilket som helst tegn.
2. Hva nytt lærte du på leksjonen i dag?
3. Hvilken arbeidsform er mest effektiv for deg: gruppe, individ og vil du at det skal gjentas i neste leksjon?
4. Samle sjekklister.

3)"Feil lærer"

Lærer: Du har lært hvordan du bygger projeksjoner av hjørner, kanter, flater og punkter på overflaten av et objekt, og følger alle konstruksjonsreglene. Men her fikk du en tegning, hvor det er feil. Prøv deg nå som lærer. Finn feilene selv, hvis du finner alle de 8–6 feilene, er poengsummen henholdsvis "5"; 5–4 feil - "4", 3 feil - "3".

Svar:

Vurder profilplanet til projeksjoner. Projeksjoner på to vinkelrette plan bestemmer vanligvis figurens posisjon og gjør det mulig å finne ut dens virkelige dimensjoner og form. Men det er tider når to anslag ikke er nok. Bruk deretter konstruksjonen av den tredje projeksjonen.

Det tredje projeksjonsplanet er utført slik at det er vinkelrett på begge projeksjonsplanene samtidig (fig. 15). Det tredje planet kalles profil.

I slike konstruksjoner kalles felleslinjen til horisontal- og frontplanet akser X , den felles linjen til horisontalplanet og profilplanet - akser på , og den vanlige rette linjen til front- og profilplanene - akser z . Punktum O, som tilhører alle tre planene, kalles opprinnelsespunktet.

Figur 15a viser punktet MEN og tre av dens projeksjoner. Projeksjon på profilplanet ( en) er kalt profilprojeksjon og betegne en.

For å få et diagram av punkt A, som består av tre projeksjoner a, a a, er det nødvendig å kutte triederet dannet av alle plan langs y-aksen (fig. 15b) og kombinere alle disse planene med planet til frontprojeksjonen. Horisontalplanet må dreies om aksen X, og profilplanet er nær aksen z i retningen angitt av pilen i figur 15.

Figur 16 viser posisjonen til fremspringene a, a og en poeng MEN, oppnådd som et resultat av å kombinere alle tre planene med tegneplanet.

Som et resultat av kuttet oppstår y-aksen på diagrammet på to forskjellige steder. På et horisontalt plan (fig. 16) inntar den en vertikal posisjon (vinkelrett på aksen) X), og på profilplanet - horisontalt (vinkelrett på aksen z).

Figur 16 viser tre fremspring a, a og en Punktene A har en strengt definert posisjon på diagrammet og er underlagt utvetydige betingelser:

en og en skal alltid være plassert på én vertikal rett linje vinkelrett på aksen X;

en og en må alltid være plassert på samme horisontale linje vinkelrett på aksen z;

3) når tegnet gjennom en horisontal projeksjon og en horisontal linje, men gjennom en profilprojeksjon en- en vertikal rett linje, de konstruerte linjene vil nødvendigvis skjære på halveringslinjen til vinkelen mellom projeksjonsaksene, siden figuren Oa på en 0 en n er en firkant.

Når du konstruerer tre projeksjoner av et punkt, er det nødvendig å kontrollere oppfyllelsen av alle tre betingelsene for hvert punkt.

Punktkoordinater

Posisjonen til et punkt i rommet kan bestemmes ved hjelp av tre tall som kalles dens koordinater. Hver koordinat tilsvarer avstanden til et punkt fra et projeksjonsplan.

Punktavstand MEN til profilplanet er koordinaten X, hvori X = a˝A(fig. 15), avstanden til frontplanet - ved koordinaten y, og y = aa, og avstanden til horisontalplanet er koordinaten z, hvori z = aA.

I figur 15 opptar punkt A bredden av en rektangulær boks, og målingene til denne boksen tilsvarer koordinatene til dette punktet, dvs. hver av koordinatene er presentert i figur 15 fire ganger, dvs.:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

På diagrammet (fig. 16) forekommer x- og z-koordinatene tre ganger:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Alle segmenter som tilsvarer koordinaten X(eller z) er parallelle med hverandre. Koordinere på representert to ganger av den vertikale aksen:

y \u003d Oa y \u003d a x a

og to ganger - plassert horisontalt:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

Denne forskjellen dukket opp på grunn av det faktum at y-aksen er til stede på diagrammet i to forskjellige posisjoner.

Det skal bemerkes at posisjonen til hver projeksjon bestemmes på diagrammet av bare to koordinater, nemlig:

1) horisontal - koordinater X og på,

2) frontal - koordinater x og z,

3) profil - koordinater på og z.

Bruke koordinater x, y og z, kan du bygge projeksjoner av et punkt på diagrammet.

Hvis punkt A er gitt av koordinater, er posten deres definert som følger: A ( X; y; z).

Ved konstruksjon av punktprojeksjoner MEN følgende forhold må kontrolleres:

1) horisontale og frontale fremspring en og en X X;

2) frontal- og profilprojeksjoner en og en skal være plassert på samme vinkelrett på aksen z, siden de har en felles koordinat z;

3) horisontal projeksjon og også fjernet fra aksen X, som profilprojeksjonen en vekk fra aksen z, siden projeksjonene a′ og a˝ har en felles koordinat på.

Hvis punktet ligger i et av projeksjonsplanene, er en av koordinatene lik null.

Når et punkt ligger på projeksjonsaksen, er dets to koordinater null.

Hvis et punkt ligger ved origo, er alle tre koordinatene null.

Projeksjon av en rett linje

To punkter er nødvendig for å definere en linje. Et punkt er definert av to projeksjoner på horisontal- og frontplanet, det vil si at en rett linje bestemmes ved å bruke projeksjonene av de to punktene på horisontal- og frontplanet.

Figur 17 viser anslag ( en og a, b og b) to poeng MEN og B. Med deres hjelp, posisjonen til en rett linje AB. Når du kobler projeksjoner med samme navn av disse punktene (dvs. en og b, a og b) kan du få projeksjoner ab og ab direkte AB.

Figur 18 viser projeksjonene av begge punktene, og figur 19 viser projeksjonene av en rett linje som går gjennom dem.

Hvis projeksjonene av en rett linje bestemmes av projeksjonene av dens to punkter, er de merket med to tilstøtende latinske bokstaver som tilsvarer betegnelsene på projeksjonene av punkter tatt på den rette linjen: med streker for å indikere frontprojeksjonen av rett linje eller uten slag - for horisontal projeksjon.

Hvis vi ikke vurderer individuelle punkter på en rett linje, men dens projeksjoner som helhet, er disse projeksjonene indikert med tall.

Hvis noe poeng FRA ligger på en rett linje AB, dens projeksjoner с og с́ er på projeksjonene av samme linje ab og ab. Figur 19 illustrerer denne situasjonen.

Rette spor

spor rett- dette er punktet for dens skjæring med et eller annet plan eller overflate (fig. 20).

Horisontalt spor rett noe punkt kalles H hvor linjen møter horisontalplanet, og frontal- punktum V, hvor denne rette linjen møter frontalplanet (fig. 20).

Figur 21a viser det horisontale sporet av en rett linje, og dets frontale spor, i figur 21b.

Noen ganger vurderes også profilsporet til en rett linje, W- skjæringspunktet mellom en rett linje med et profilplan.

Det horisontale sporet er i horisontalplanet, dvs. dets horisontale projeksjon h faller sammen med dette sporet, og fronten h ligger på x-aksen. Frontsporet ligger i frontalplanet, så dets frontale projeksjon ν́ faller sammen med det, og den horisontale v ligger på x-aksen.

Så, H = h, og V= v. Derfor, for å betegne spor av en rett linje, kan bokstaver brukes h og v.

Ulike posisjoner av linjen

Den rette linjen kalles direkte generell stilling, hvis den verken er parallell eller vinkelrett på noen av projeksjonsplanene. Projeksjonene av en linje i generell posisjon er heller ikke parallelle eller vinkelrette på projeksjonsaksene.

Rette linjer som er parallelle med et av projeksjonsplanene (vinkelrett på en av aksene). Figur 22 viser en rett linje som er parallell med horisontalplanet (vinkelrett på z-aksen), er en horisontal rett linje; figur 23 viser en rett linje som er parallell med frontplanet (vinkelrett på aksen på), er den frontale rette linjen; figur 24 viser en rett linje som er parallell med profilplanet (vinkelrett på aksen X), er en profil rett linje. Til tross for at hver av disse linjene danner en rett vinkel med en av aksene, skjærer de den ikke, men bare krysser den.

På grunn av det faktum at den horisontale linjen (fig. 22) er parallell med horisontalplanet, vil dens front- og profilprojeksjoner være parallelle med aksene som definerer horisontalplanet, dvs. aksene X og på. Derfor anslag ab|| X og a˝b˝|| på z. Den horisontale projeksjonen ab kan ta hvilken som helst posisjon på plottet.

Ved frontlinjen (fig. 23) projeksjon ab|| x og a˝b˝ || z, dvs. de er vinkelrett på aksen på, og derfor i dette tilfellet frontalprojeksjonen ab linjen kan ta hvilken som helst posisjon.

Ved profillinjen (fig. 24) ab|| y, ab|| z, og begge er vinkelrett på x-aksen. Projeksjon a˝b˝ kan plasseres på diagrammet på hvilken som helst måte.

Når du vurderer planet som projiserer den horisontale linjen på frontplanet (fig. 22), kan du se at den projiserer denne linjen på profilplanet også, dvs. det er et plan som projiserer linjen på to projeksjonsplan samtidig - fronten og profilen. Av denne grunn kalles det dobbeltprojiserte plan. På samme måte, for frontlinjen (fig. 23), projiserer det dobbeltprojiserte planet den på planene til horisontal- og profilprojeksjonene, og for profilen (fig. 23) - på planene til horisontale og frontale fremspring. .

To projeksjoner kan ikke definere en rett linje. To anslag 1 og en profil rett linje (fig. 25) uten å spesifisere projeksjonene av to punkter av denne rette linjen på dem vil ikke bestemme posisjonen til denne rette linjen i rommet.

I et plan som er vinkelrett på to gitte symmetriplan, kan det være et uendelig antall linjer som dataene på diagrammet 1 og en er deres anslag.

Hvis et punkt er på en linje, vil dets projeksjoner i alle tilfeller ligge på projeksjonene med samme navn på denne linjen. Den motsatte situasjonen gjelder ikke alltid for profillinjen. På projeksjonene kan du vilkårlig indikere projeksjonene til et bestemt punkt og ikke være sikker på at dette punktet ligger på en gitt linje.

I alle de tre spesielle tilfellene (fig. 22, 23 og 24) er posisjonen til den rette linjen i forhold til projeksjonsplanet dens vilkårlige segment AB, tatt på hver av de rette linjene, projiseres på et av projeksjonsplanene uten forvrengning, det vil si på planet som det er parallelt med. Linjestykke AB horisontal rett linje (fig. 22) gir en projeksjon i naturlig størrelse på et horisontalt plan ( ab = AB); linjestykke AB frontal rett linje (fig. 23) - i full størrelse på planet til frontalplanet V ( ab = AB) og segmentet AB profil rett linje (fig. 24) - i full størrelse på profilplanet W (a˝b˝\u003d AB), det vil si at det er mulig å måle den faktiske størrelsen på segmentet på tegningen.

Med andre ord kan man ved hjelp av diagrammer bestemme de naturlige dimensjonene til vinklene som den aktuelle linjen danner med projeksjonsplanene.

Vinkelen som en rett linje lager med et horisontalt plan H, er det vanlig å betegne bokstaven α, med frontplanet - bokstaven β, med profilplanet - bokstaven γ.

Noen av de rette linjene som vurderes har ingen spor på et plan parallelt med det, dvs. den horisontale rette linjen har ingen horisontal spor (fig. 22), den frontale rette linjen har ingen frontal spor (fig. 23), og profilen rett linje har ingen profilspor (fig. 24).