Konstruksjon av vanlige polygoner - teknisk tegning. Hvordan tegne en vanlig åttekant Hvordan tegne en vanlig åttekant

Konstruksjon av en vanlig sekskant innskrevet i en sirkel. Konstruksjonen av en sekskant er basert på det faktum at siden er lik radiusen til den omskrevne sirkelen. Derfor, for å bygge, er det nok å dele sirkelen i seks like deler og koble de funnet punktene til hverandre (fig. 60, a).

En vanlig sekskant kan konstrueres ved å bruke en T-kvadrat og en 30X60° firkant. For å utføre denne konstruksjonen tar vi sirkelens horisontale diameter som halveringslinjen for vinkel 1 og 4 (fig. 60, b), bygger sidene 1-6, 4-3, 4-5 og 7-2, hvoretter vi tegne side 5-6 og 3-2.

Konstruksjon av en likesidet trekant innskrevet i en sirkel. Toppene til en slik trekant kan konstrueres ved hjelp av et kompass og en firkant med vinkler på 30 og 60 °, eller bare ett kompass.

Tenk på to måter å konstruere en likesidet trekant innskrevet i en sirkel.

Første vei(Fig. 61, a) er basert på det faktum at alle tre vinklene i trekanten 7, 2, 3 hver inneholder 60 °, og den vertikale linjen trukket gjennom punktet 7 er både høyden og halveringslinjen til vinkel 1. Siden vinkelen 0-1- 2 er lik 30°, så for å finne siden

1-2, er det nok å bygge en vinkel på 30 ° ved punkt 1 og side 0-1. For å gjøre dette, sett T-kvadrat og kvadrat som vist på figuren, tegn en linje 1-2, som vil være en av sidene av ønsket trekanten. For å bygge side 2-3, sett T-firkanten til posisjonen vist av de stiplede linjene, og tegn en rett linje gjennom punkt 2, som vil definere trekantens tredje toppunkt.

Andre vei er basert på det faktum at hvis du bygger en vanlig sekskant innskrevet i en sirkel, og deretter kobler dens toppunkter gjennom en, får du en likesidet trekant.

For å konstruere en trekant (fig. 61, b), markerer vi et toppunkt 1 på diameteren og tegner en diametral linje 1-4. Videre, fra punkt 4 med en radius lik D / 2, beskriver vi buen til den skjærer sirkelen i punktene 3 og 2. De resulterende punktene vil være to andre hjørner av den ønskede trekanten.

Konstruksjon av en firkant innskrevet i en sirkel. Denne konstruksjonen kan gjøres ved hjelp av en firkant og et kompass.

Den første metoden er basert på det faktum at diagonalene til kvadratet skjærer i midten av den omskrevne sirkelen og skråner til aksene i en vinkel på 45°. Basert på dette installerer vi et T-kvadrat og et kvadrat med vinkler på 45 ° som vist i fig. 62, a, og merk punktene 1 og 3. Videre, gjennom disse punktene, tegner vi de horisontale sidene av kvadratet 4-1 og 3-2 ved hjelp av en T-kvadrat. Deretter, ved hjelp av en T-firkant langs benet på firkanten, tegner vi de vertikale sidene av firkanten 1-2 og 4-3.

Den andre metoden er basert på det faktum at hjørnene til kvadratet halverer sirkelbuene som er innelukket mellom endene av diameteren (fig. 62, b). Vi markerer punktene A, B og C i endene av to innbyrdes vinkelrette diametre, og fra dem med en radius y beskriver vi buene til de skjærer hverandre.

Videre, gjennom skjæringspunktene til buene, tegner vi hjelpelinjer, merket på figuren med heltrukne linjer. Deres skjæringspunkter med sirkelen vil definere toppunktene 1 og 3; 4 og 2. Toppene til det ønskede kvadratet oppnådd på denne måten er forbundet i serie med hverandre.

Konstruksjon av en vanlig femkant innskrevet i en sirkel.

For å skrive inn en vanlig femkant i en sirkel (fig. 63), lager vi følgende konstruksjoner.

Vi markerer punkt 1 på sirkelen og tar den som en av toppunktene i femkanten. Del segment AO i to. For å gjøre dette, med radius AO fra punkt A, beskriver vi buen til skjæringspunktet med sirkelen i punktene M og B. Forbinder vi disse punktene med en rett linje, får vi punktet K, som vi så kobler til punkt 1. Med en radius lik segmentet A7 beskriver vi buen fra punkt K til skjæringspunktet med den diametrale linjen AO​ ved punkt H. Forbinder punkt 1 med punkt H, får vi siden av femkanten. Så, med en kompassåpning lik segmentet 1H, som beskriver buen fra toppunkt 1 til skjæringspunktet med sirkelen, finner vi toppunkt 2 og 5. Etter å ha laget hakk fra toppunkt 2 og 5 med samme kompassåpning, får vi de resterende toppunkt 3 og 4. Vi kobler de funnet punktene sekvensielt med hverandre.

Bygging av en vanlig femkant gitt sin side.

For å konstruere en regulær femkant langs dens gitte side (fig. 64), deler vi segmentet AB i seks like deler. Fra punktene A og B med radius AB beskriver vi buer, hvis skjæringspunkt vil gi punktet K. Gjennom dette punktet og divisjon 3 på linjen AB tegner vi en vertikal linje.

Vi får punkt 1-toppunktet til femkanten. Deretter, med en radius lik AB, fra punkt 1 beskriver vi buen til skjæringspunktet med buene som tidligere er tegnet fra punktene A og B. Skjæringspunktene til buene bestemmer toppunktene til femkanten 2 og 5. Vi kobler de funne hjørner i serie med hverandre.

Konstruksjon av en vanlig sjukant innskrevet i en sirkel.

La en sirkel med diameter D gis; du må skrive inn en vanlig sjukant i den (fig. 65). Del den vertikale diameteren til sirkelen i syv like deler. Fra punkt 7 med radius lik diameteren til sirkelen D beskriver vi buen til den skjærer fortsettelsen av den horisontale diameteren i punktet F. Punkt F kalles polygonens pol. Ved å ta punkt VII som en av toppunktene til heptagonen, trekker vi stråler fra polen F gjennom jevne inndelinger av den vertikale diameteren, hvis skjæringspunkt med sirkelen vil bestemme toppunktene VI, V og IV til heptagonen. For å få toppunkter / - // - /// fra punktene IV, V og VI tegner vi horisontale linjer til de krysser sirkelen. Vi kobler de funnet toppunktene i serie med hverandre. Heptagonen kan konstrueres ved å trekke stråler fra F-polen og gjennom odde inndelinger av den vertikale diameteren.

Metoden ovenfor er egnet for å konstruere vanlige polygoner med et hvilket som helst antall sider.

Delingen av en sirkel i et hvilket som helst antall like deler kan også gjøres ved å bruke dataene i tabellen. 2, som viser koeffisientene som gjør det mulig å bestemme dimensjonene til sidene til regulære innskrevne polygoner.

Kuklin Alexey

Arbeidet er abstrakt av natur med innslag av forskningsaktiviteter. Den diskuterer ulike måter å konstruere vanlige n-goner på. Oppgaven inneholder et detaljert svar på spørsmålet om det alltid er mulig å konstruere en n-gon ved hjelp av kompass og rette. En presentasjon er vedlagt verket, som finnes på denne minisiden.

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

For å bruke forhåndsvisningen, opprette deg en Google-konto (konto) og logg inn: https://accounts.google.com

Forhåndsvisning:

https://accounts.google.com

Bildetekster:

Konstruksjon av vanlige polygoner Arbeidet ble fullført av: elev av klasse 9 "B" MBOU ungdomsskole nr. 10 Kuklin Alexey

Regulære polygoner En regulær polygon er en konveks polygon der alle sider og vinkler er like. Gå til eksempler En konveks polygon er en polygon hvis punkter alle ligger på samme side av en linje som går gjennom to av de tilstøtende hjørnene.

Tilbake Vanlige polygoner

Grunnleggerne av seksjonen for matematikk om vanlige polygoner var antikke greske forskere. En av dem var Arkimedes og Euklid.

Bevis på eksistensen av en regulær n-gon Hvis n (antall hjørner av polygonet) er større enn 2, så eksisterer en slik polygon. La oss prøve å bygge en 8-gon og bevise det. Bevis

Ta en sirkel med vilkårlig radius sentrert ved punktet O. Del den i et visst antall like buer, i vårt tilfelle 8. For å gjøre dette, tegn radiene slik at vi får 8 buer, og vinkelen mellom de to nærmeste radiene var 360 °: antall sider (i vårt tilfelle 8), henholdsvis, vil hver vinkel være lik 45 °.

3. Få punktene A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8. Vi kobler dem sammen en etter en og får en vanlig åttekant. Tilbake

Bygge en vanlig polygon ved en side ved hjelp av rotasjon En vanlig polygon kan bygges ved å kjenne vinklene. Vi vet at summen av vinklene til en konveks n-gon er 180°(n - 2). Fra dette kan vinkelen til polygonet beregnes ved å dele summen med n. Angles Building

Rett vinkel: 3-gon er 60° 4-gon er 90° 5-gon er 108° 6-gon er 120° 8-gon er 135° 9-gon er 140° 10-gon er 144° 12-gon er 150 ° Gradmål av vinkler til vanlige trekanter Tilbake

Forhåndsvisning:

For å bruke forhåndsvisningen av presentasjoner, opprett en Google-konto (konto) og logg på: https://accounts.google.com

Bildetekster:

I 1796 viste en av tidenes største matematikere, Carl Friedrich Gauss, muligheten for å konstruere regulære n-goner hvis likheten holder, der n er antall vinkler og k er et hvilket som helst naturlig tall. Dermed viste det seg at innen 30 er det mulig å dele sirkelen i 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30 like deler. I 1836 beviste Vanzel at vanlige polygoner som ikke tilfredsstiller denne likheten ikke kan konstrueres ved hjelp av en linjal og et kompass. Gauss teorem

Konstruksjon av en trekant La oss bygge en sirkel sentrert ved punktet O. La oss bygge en annen sirkel med samme radius som går gjennom punktet O.

3. Koble sammen sentrene til sirklene og et av punktene i deres skjæringspunkt, og få en vanlig polygon. Tilbake Tegn en trekant

Konstruksjon av en sekskant 1. La oss bygge en sirkel sentrert ved punktet O. 2. Tegn en rett linje gjennom midten av sirkelen. 3. Tegn en bue av en sirkel med samme radius sentrert i skjæringspunktet mellom den rette linjen med sirkelen til den skjærer sirkelen.

4. Tegn rette linjer gjennom midten av den innledende sirkelen og skjæringspunktene til buen med denne sirkelen. 5. Vi kobler skjæringspunktene til alle linjer med den opprinnelige sirkelen og får en vanlig sekskant. Konstruksjon av en sekskant

Konstruksjon av en firkant La oss bygge en sirkel sentrert ved punktet O. La oss tegne 2 innbyrdes vinkelrette diametre. Fra punktene der diametrene berører sirkelen, tegner vi andre sirkler med en gitt radius til de skjærer hverandre (sirkler).

Konstruksjon av en firkant 4. Tegn rette linjer gjennom skjæringspunktene til sirklene. 5. Vi kobler skjæringspunktene til linjene og sirkelen og får en vanlig firkant.

Bygge en åttekant Du kan bygge en hvilken som helst vanlig polygon som har 2 ganger flere vinkler enn den gitte. La oss bygge en åttekant ved å bruke en firkant. Koble sammen de motsatte toppunktene til firkanten. La oss tegne halveringslinjene til vinklene dannet av de kryssende diagonalene.

4. Koble sammen punktene som ligger på sirkelen, og oppnå en vanlig åttekant. Bygge en åttekant

Forhåndsvisning:

For å bruke forhåndsvisningen av presentasjoner, opprett en Google-konto (konto) og logg på: https://accounts.google.com

Bildetekster:

Bygge en tikant La oss bygge en sirkel sentrert ved punktet O. La oss tegne 2 loddrette diametre. Del radiusen til sirkelen i to, og fra det resulterende punktet på den tegner du en sirkel som går gjennom punktet O.

Konstruksjon av en tikant 4. Tegn et segment fra midten av en liten sirkel til punktet der den store sirkelen berører radiusen. 5. Fra kontaktpunktet til den store sirkelen og dens radius, tegn en sirkel slik at den kommer i kontakt med den lille.

Konstruksjon av et dekagon 6. Fra skjæringspunktene mellom de store og resulterende sirklene, tegn sirklene som ble konstruert forrige gang, og så vil vi tegne til de tilstøtende sirklene berører hverandre. 7. Koble sammen prikkene og få en tikant.

Bygge en femkant For å bygge en vanlig femkant, må du koble ikke alle punktene etter tur, men gjennom ett, mens du bygger en vanlig tikant.

Omtrentlig konstruksjon av en vanlig femkant ved Dürers metode La oss bygge 2 sirkler som går gjennom midten av hverandre. La oss koble sentrene med en rett linje, og få en av sidene av femkanten. Koble sammen skjæringspunktene til sirklene.

Omtrentlig konstruksjon av en regulær femkant etter Dürers metode 4. La oss tegne en annen sirkel med samme radius med sentrum i skjæringspunktet mellom to andre sirkler. 5. La oss tegne 2 segmenter som vist på figuren.

Omtrentlig konstruksjon av en vanlig femkant ved Dürers metode 6. Koble kontaktpunktene til disse segmentene med sirkler med endene av den konstruerte siden av femkanten. 7. La oss bygge til en femkant.

Omtrentlig konstruksjon av en vanlig femkant ved metodene til Kovarzhik, Bion

Ved tegning kreves det ofte å bygge positive polygoner. Så la oss si positivt åttekanter brukes på veiskilt.

Du vil trenge

• - kompasser
• - Hersker
• - blyant

Instruksjon

1. La et segment gis lik lengden på siden av ønsket åttekant. Det kreves for å bygge en ekte åttekant. Det første trinnet er å bygge en likebenet trekant på et gitt segment, ved å bruke segmentet som en base. For å gjøre dette, bygg først en firkant med en side som er lik segmentet, tegn diagonaler i den. Bygg nå halveringslinjene til vinklene ved diagonalene (i figuren er halveringslinjene indikert i blått), i skjæringspunktet mellom halveringslinjene dannes toppunktet til en likebenet trekant, hvis sider er lik radiusen til sirkel omskrevet rundt riktig åttekant.

2. Konstruer en sirkel sentrert ved toppunktet til trekanten. Sirkelens radius er lik siden av trekanten. Spre nå kompasset til en avstand lik verdien av det gitte segmentet. Sett denne avstanden til side på en sirkel, med start fra hver ende av segmentet. Kombiner alle de oppnådde poengene til en åttekant.

3. Hvis det er gitt en sirkel der åttekanten skal skrives inn, blir konstruksjonene enda enklere. Konstruer to senterlinjer vinkelrett på hverandre, som går gjennom midten av sirkelen. I skjæringspunktet mellom aksialen og sirkelen vil fire toppunkter av den fremtidige åttekanten bli oppnådd. Det gjenstår å dele avstanden mellom disse punktene på sirkelbuen i to for å få ytterligere fire hjørner.

Lojal triangel- en der alle sider har samme lengde. Basert på denne definisjonen, konstruksjonen av en lignende variasjon triangel men det er en enkel oppgave.

Du vil trenge

• Linjal, ark med foret papir, blyant

Instruksjon

1. Ta et ark rent papir, kledd i en boks, en linjal og merk tre punkter på papiret slik at de er i identisk avstand fra hverandre (fig. 1)

2. Ved hjelp av en linjal kombinerer du punktene som er merket på arket i trinn, etter hverandre, som vist i figur 2.

Merk!
I en rettvinklet (likesidet) trekant er alle vinkler 60 grader.

Nyttige råd
En likesidet trekant er også en likebenet trekant. Hvis trekanten er likebenet, betyr dette at 2 av dens 3 sider er like, og den tredje siden regnes som basen. Hver positiv trekant er likebenet, mens det motsatte ikke er sant.

Oktagon- disse er i hovedsak to firkanter, forskjøvet med 45 ° i forhold til hverandre og forent ved hjørnene med en heltrukket linje. Og derfor, for å skildre en slik geometrisk figur positivt, må du tegne en firkant eller en sirkel med en hard blyant, i henhold til reglene, for å utføre påfølgende handlinger. Presentasjonen er fokusert på lengden på en side som er lik 20 cm. Så, når du arrangerer tegningen, må du vurdere at de vertikale og horisontale linjene 20 cm lange passer på et papirark.

Du vil trenge

• Linjal, rettvinklet trekant, gradskive, blyant, kompass, papirark

Instruksjon

1. Metode 1. Tegn en horisontal linje 20 cm lang under. Etter det, på den ene siden, sveip en rett vinkel med en gradskive, den som er 90 °. Det samme kan gjøres med støtte fra en rettvinklet trekant. Tegn en vertikal linje og sveip 20 cm Gjør de samme manipulasjonene på den andre siden. Koble de to oppnådde punktene med en horisontal linje. Resultatet er en geometrisk figur - en firkant.

2. For å bygge den andre (forskytte) firkanten trenger du midten av figuren. For å gjøre dette, del hver side av firkanten i 2 deler. Foren først de 2 punktene på de parallelle topp- og bunnsidene, og deretter punktene på sidene. Tegn 2 rette linjer gjennom midten av firkanten, vinkelrett på hverandre. Start fra midten og mål 10 cm på de nye rette linjene, noe som vil resultere i 4 rette linjer. Kombiner de 4 ytre punktene som er oppnådd med hverandre, noe som resulterer i den andre ruten. Kombiner nå et hvilket som helst punkt fra de 8 oppnådde vinklene med hverandre. Dermed vil en åttekant bli trukket.

3. Metode 2. Dette vil kreve kompass, linjal og gradskive. Fra midten av arket med kompassstøtte tegner du en sirkel med en diameter på 20 cm (radius 10 cm). Tegn en rett linje gjennom midtpunktet. Etter det tegner du en andre linje vinkelrett på den. Det samme kan gjøres ved hjelp av en gradskive eller en rettvinklet trekant. Som et resultat vil sirkelen bli delt inn i 4 like deler. Del deretter hver av seksjonene i 2 deler til. For dette er det også tillatt å bruke en gradskive, som måler 45 ° eller med en rettvinklet trekant, den som påføres med en spiss vinkel på 45 ° og tegne strålene. Mål 10 cm fra midten på en rett linje. Som et resultat vil du få 8 "stråler" som du kombinerer med hverandre. Resultatet er en åttekant.

4. Metode 3. For å gjøre dette, tegn en sirkel på samme måte, tegn en linje gjennom midten. Etter det tar du en gradskive, setter den i midten og måler vinklene, med tanke på at hver del av åttekanten har en vinkel på 45 ° i midten. Senere, på de mottatte strålene, mål lengden på 10 cm og kombiner dem sammen. Oktagon klar.

Nyttige råd
Lag en tegning med en hard blyant, sidelinjene som etter det vil være lett å fjerne

En ekte åttekant er en geometrisk figur der hver vinkel er 135?, og alle sider er like med hverandre. Denne figuren brukes ofte i arkitektur, for eksempel i konstruksjon av søyler, samt i produksjon av et STOP-veiskilt. Hvordan tegne en positiv åttekant?

Du vil trenge

• - landskapsark;
• - blyant;
• - Hersker;
• - kompass;
• - viskelær.

Instruksjon

1. Tegn en firkant først. Etter det tegner du en sirkel slik at firkanten er innenfor sirkelen. Tegn nå to aksiale medianlinjer av firkanten - horisontal og vertikal til skjæringspunktet med sirkelen. Kombiner skjæringspunktene for aksene med sirkelen og kontaktpunktene til den omskrevne sirkelen med firkanten med rette segmenter. Få dermed sidene av en ekte åttekant.

2. Tegn en ekte åttekant på en annen måte. Tegn først en sirkel. Etter det tegner du en horisontal linje gjennom midten. Marker skjæringspunktet mellom den ytterste høyre kanten av sirkelen med den horisontale. Dette punktet vil være sentrum av en annen sirkel, med en radius lik den forrige figuren.

3. Tegn en vertikal linje gjennom skjæringspunktene til den andre sirkelen med den første. Plasser benet på kompasset i skjæringspunktet mellom vertikal og horisontal og tegn en liten sirkel med en radius lik avstanden fra midten av den lille sirkelen til midten av den første sirkelen.

4. Tegn en rett linje gjennom to punkter - midten av den første sirkelen og skjæringspunktet mellom vertikalen og den lille sirkelen. Fortsett det til krysset med grensen til den opprinnelige figuren. Dette vil være toppunktet til åttekanten. Bruk et kompass for å markere ett punkt til, og tegn en sirkel sentrert ved skjæringspunktet til den ytterste høyre grensen til den innledende sirkelen med en horisontal linje og en radius lik avstanden fra sentrum til det nærmeste toppunktet av åttekanten.

5. Tegn en rett linje gjennom to punkter - midten av den første sirkelen og det siste nyopprettede punktet. Fortsett den rette linjen til den skjærer kantene til den opprinnelige formen.

6. Foren med rette segmenter trinnvis: skjæringspunktet mellom horisontalen og høyre kant av den opprinnelige figuren, deretter med klokken alle punktene som er dannet, inkludert skjæringspunktene mellom aksene med den opprinnelige sirkelen.

Relaterte videoer