For å konstruere bilder av en rekke deler, må du kunne finne projeksjonene av enkeltpunkter. For eksempel er det vanskelig å tegne et toppriss av delen vist i fig. 139, uten å konstruere horisontale projeksjoner av punktene A, B, C, D, E, F, etc.

Problemet med å finne projeksjoner av punkter ett om gangen, gitt på overflaten av et objekt, løses som følger. Først blir projeksjonene av overflaten som punktet ligger på funnet. Deretter, ved å tegne en forbindelseslinje til projeksjonen, hvor overflaten er representert med en linje, blir den andre projeksjonen av punktet funnet. Den tredje projeksjonen ligger i skjæringspunktet mellom kommunikasjonslinjer.

La oss se på et eksempel.

Tre fremspring av delen er gitt (fig. 140, a). En horisontal projeksjon a av punkt A som ligger på den synlige overflaten er gitt. Vi må finne de gjenværende anslagene for dette punktet.

Først av alt må du tegne en hjelpelinje. Hvis det er gitt to visninger, så velges plasseringen av hjelpelinjen på tegningen vilkårlig, til høyre for toppvisningen, slik at visningen til venstre er i nødvendig avstand fra hovedvisningen (fig. 141).

Hvis tre visninger allerede er konstruert (fig. 142, a), kan plasseringen av hjelpelinjen ikke velges vilkårlig; du må finne punktet den vil passere gjennom. For å gjøre dette er det nok å fortsette de horisontale og profilerte projeksjonene til symmetriaksen til de krysser hverandre og gjennom det resulterende punktet k (fig. 142, b) tegne et rett linjesegment i en vinkel på 45°, som vil være den rette hjelpelinjen.

Hvis det ikke er noen symmetriakser, fortsettes de horisontale og profilerte fremspringene til en hvilken som helst flate, projisert i form av rette segmenter, til de skjærer hverandre ved punkt k 1 (fig. 142, b).

Etter å ha tegnet en hjelpelinje, begynner de å konstruere projeksjoner av punktet (se fig. 140, b).

De frontale a" og profil a" projeksjonene av punkt A skal være plassert på de tilsvarende projeksjonene av overflaten som punktet A tilhører. Disse fremspringene finnes. I fig. 140, b er de uthevet i farger. Tegn kommunikasjonslinjer som angitt av pilene. I skjæringspunktene mellom kommunikasjonslinjene og overflatefremspringene er de ønskede fremspringene a" og a" plassert.

Konstruksjonen av projeksjoner av punktene B, C, D er vist i fig. 140, i kommunikasjonslinjer med piler. De gitte punktprojeksjonene er farget. Forbindelseslinjene er tegnet til projeksjonen der overflaten er avbildet som en linje, og ikke som en figur. Finn derfor først frontprojeksjonen fra punkt C. Profilprojeksjonen fra punkt C bestemmes av skjæringspunktet mellom kommunikasjonslinjer.

Hvis overflaten ikke er representert med en linje på noen projeksjon, må et hjelpeplan brukes til å konstruere projeksjoner av punkter. For eksempel gitt en frontal projeksjon d av punkt A som ligger på overflaten av en kjegle (fig. 143, a). Et hjelpeplan trekkes gjennom punktet parallelt med basen, som vil skjære kjeglen i en sirkel; dens frontale projeksjon er et rett segment, og dens horisontale projeksjon er en sirkel med en diameter lik lengden på dette segmentet (fig. 143, b). Ved å tegne en forbindelseslinje til denne sirkelen fra punkt a, får man en horisontal projeksjon a av punkt A.

Profilprojeksjonen a" av punkt A finnes på vanlig måte i skjæringspunktet mellom kommunikasjonslinjer.

Ved å bruke samme teknikk kan du finne fremspringene til et punkt som ligger, for eksempel på overflaten av en pyramide eller ball. Når en pyramide skjæres av et plan parallelt med basen og som går gjennom et gitt punkt, dannes en figur som ligner basen. På projeksjonene til denne figuren ligger projeksjonene av et gitt punkt.

Svar på spørsmålene

1. I hvilken vinkel er den rette hjelpelinjen tegnet?

2. Hvor trekker du den rette hjelpelinjen hvis front- og toppvisning er gitt, men du må konstruere en visning til venstre?

3. Hvordan bestemme plasseringen av en hjelpelinje hvis det er tre typer?

4. Hva er metoden for å konstruere projeksjoner av et punkt basert på ett gitt punkt, hvis en av overflatene til et objekt er representert med en linje?

5. For hvilke geometriske legemer og i hvilke tilfeller er projeksjonene av et punkt gitt på overflaten funnet ved hjelp av et hjelpeplan?

Oppdrag til § 20

Oppgave 68

Skriv ned i arbeidsboken din hvilke projeksjoner av punktene som er angitt med tall på visningene som tilsvarer punktene som er angitt på det visuelle bildet med bokstaver i eksemplet som er angitt for deg av læreren (fig. 144, a-d).

Oppgave 69

I fig. 145, a-b bokstaver indikerer bare én projeksjon av noen av toppunktene. I eksemplet gitt til deg av læreren din, finn de gjenværende projeksjonene av disse toppunktene og merk dem med bokstaver. I ett av eksemplene, konstruer de manglende projeksjonene av punktene spesifisert på kantene av objektet (fig. 145, d og e). Fremhev i farger projeksjonene av kantene som punktene er plassert på. Fullfør oppgaven på gjennomsiktig papir, plasser den på læreboksiden. Det er ikke nødvendig å tegne om Fig. 145.

Øvelse 70

Finn de manglende projeksjonene av punkter definert av én projeksjon på objektets synlige overflater (fig. 146). Merk dem med bokstaver. Fremhev de gitte projeksjonene av punkter i farger. Et visuelt bilde vil hjelpe deg med å løse problemet. Oppgaven kan utføres enten i en arbeidsbok eller på gjennomsiktig papir, og legge den over på en lærebokside. I sistnevnte tilfelle tegner du figuren på nytt. 146 er ikke nødvendig.

Oppgave 71

I eksemplet gitt til deg av læreren din, tegner du de tre visningene på nytt (fig. 147). Konstruer de manglende projeksjonene av punktene spesifisert på de synlige overflatene til objektet. Fremhev de gitte projeksjonene av punkter i farger. Merk alle projeksjoner av punkter med bokstaver. For å konstruere projeksjoner av punkter, bruk en rett hjelpelinje. Fullfør en teknisk tegning og merk de angitte punktene på den.

Et punkt, som et matematisk konsept, har ingen dimensjoner. Åpenbart, hvis objektet for projeksjon er et nulldimensjonalt objekt, er det meningsløst å snakke om projeksjonen.

Fig.9 Fig.10

I geometri er det tilrådelig å betrakte et punkt som et fysisk objekt som har lineære dimensjoner. Konvensjonelt kan en ball med en uendelig liten radius tas som et punkt. Med denne tolkningen av begrepet et punkt, kan vi snakke om dets projeksjoner.

Når man konstruerer ortogonale projeksjoner av et punkt, bør man bli ledet av den første invariante egenskapen til ortogonal projeksjon: Den ortogonale projeksjonen av et punkt er et punkt.

Posisjonen til et punkt i rommet bestemmes av tre koordinater: X, Y, Z, som viser avstandene et punkt fjernes fra projeksjonsplanene. For å bestemme disse avstandene, er det nok å bestemme møtepunktene for disse rette linjene med projeksjonsplanene og måle de tilsvarende mengdene, som vil indikere abscisseverdiene X, ordinater Y og fingersettinger Z punkter (fig. 10).

Projeksjonen av et punkt er bunnen av perpendikulæren trukket fra punktet til det tilsvarende projeksjonsplanet. Horisontal projeksjon poeng EN kalles en rektangulær projeksjon av et punkt på et horisontalt projeksjonsplan, frontal projeksjon a /– henholdsvis på frontalplanet av projeksjoner og profil a // – på profilplanet til projeksjoner.

Direkte Aa, Aa / Og Aa // kalles projiserte linjer. Samtidig direkte Ah, projeksjonspunkt EN på horisontalplanet av projeksjoner kalles horisontalt utstikkende rett linje, Aa / Og Aa //- henholdsvis: frontalt Og profilutstikkende linjer.

To projeksjonslinjer som går gjennom et punkt EN definere et plan, som vanligvis kalles projisere.

Når du transformerer den romlige layouten, frontprojeksjonen av punktet A – a / forblir på plass, som tilhørende et fly som ikke endrer posisjon under transformasjonen som vurderes. Horisontal projeksjon – EN sammen med det horisontale projeksjonsplanet vil det rotere i retning med klokken og vil være plassert på samme vinkelrett på aksen X med frontal projeksjon. Profilprojeksjon - en // vil rotere sammen med profilplanet og ved slutten av transformasjonen vil ta posisjonen angitt i figur 10. I dette tilfellet - en // vil tilhøre vinkelrett på aksen Z trukket fra punktet A / og vil bli fjernet fra aksen Z til samme avstand som den horisontale projeksjonen EN vekk fra aksen X. Derfor kan forbindelsen mellom horisontal- og profilprojeksjonene til et punkt etableres ved hjelp av to ortogonale segmenter aa y Og a y a // og sirkelbuen som forbinder dem med sentrum ved skjæringspunktet mellom aksene ( OM- opprinnelse). Den merkede forbindelsen brukes til å finne den manglende projeksjonen (gitt to gitte). Posisjonen til profil (horisontal) projeksjon i henhold til de gitte horisontale (profil) og frontale projeksjonene kan finnes ved å bruke en rett linje tegnet i en vinkel på 45 0 fra origo til aksen Y(denne halveringslinjen kalles en rett linje k– Monge konstant). Den første av disse metodene er å foretrekke siden den er mer nøyaktig.

Derfor:

1. Et punkt i rommet fjernes:

fra horisontalplanet H Z,

fra frontplanet V ved verdien av en gitt koordinat Y,

fra profilplanet W etter koordinatverdien. X.

2. To projeksjoner av et hvilket som helst punkt tilhører samme perpendikulær (en forbindelseslinje):

horisontal og frontal – vinkelrett på aksen X,

horisontal og profil – vinkelrett på Y-aksen,

frontal og profil - vinkelrett på Z-aksen.

3. Posisjonen til et punkt i rommet er fullstendig bestemt av posisjonen til dets to ortogonale projeksjoner. Derfor - Ved å bruke to gitte ortogonale projeksjoner av et punkt, er det alltid mulig å konstruere den manglende tredje projeksjonen.

Hvis et punkt har tre spesifikke koordinater, kalles et slikt punkt punkt for generell posisjon. Hvis et punkt har en eller to koordinater som har en nullverdi, kalles et slikt punkt privat punkt.

Ris. 11 Fig. 12

Figur 11 viser en romlig tegning av punkter med spesiell posisjon, og figur 12 viser komplekse tegninger (diagrammer) av disse punktene. Punktum EN tilhører frontalplanet av projeksjoner, punkt I– horisontalt projeksjonsplan, punkt MED– profilprojeksjonsplan og punkt D– x-akse ( X).

Overflatene til polyedre er som kjent begrenset av plane figurer. Følgelig er punkter definert på overflaten av et polyeder av minst en projeksjon, i det generelle tilfellet, definerte punkter. Det samme gjelder overflatene til andre geometriske legemer: sylinder, kjegle, kule og torus, avgrenset av buede overflater.

La oss bli enige om å skildre synlige punkter som ligger på overflaten av kroppen som sirkler, usynlige punkter som svertede sirkler (prikker); Synlige linjer vil bli avbildet som heltrukne linjer, og usynlige linjer som stiplede linjer.

La den horisontale projeksjonen A 1 av punkt A som ligger på overflaten av et rettvinklet trekantet prisme gis (Fig. 162, a).

TBegynn-->Tend-->

Som det fremgår av tegningen, er de fremre og bakre bunnene av prismet parallelle med frontplanet til fremspringene P 2 og projiseres på det uten forvrengning, den nedre sideflaten av prismet er parallell med det horisontale planet av fremspringene P. 1 og projiseres også uten forvrengning. Sidekantene av prismet er frontalt projiserte rette linjer, derfor projiseres de i form av punkter på frontplanet til projeksjonene P 2.

Siden projeksjon A 1. er avbildet av en lyssirkel, så er punkt A synlig og er derfor plassert på høyre side av prismet. Dette ansiktet er et frontprojeksjonsplan, og frontprojeksjonen av A2-punktet må falle sammen med frontprojeksjonen av planet, representert ved en rett linje.

Ved å tegne en konstant rett linje k 123 finner vi den tredje projeksjonen A 3 av punkt A. Når den projiseres på profilplanet til projeksjonene, vil punkt A være usynlig, derfor er punkt A 3 avbildet som en svertet sirkel. Det er usikkert å spesifisere punktet ved frontalprojeksjon B 2, siden det ikke bestemmer avstanden til punkt B fra den fremre bunnen av prismet.

La oss konstruere en isometrisk projeksjon av prismet og punktet A (fig. 162, b). Det er praktisk å starte konstruksjonen fra den fremre basen av prismet. Vi bygger en grunntrekant i henhold til dimensjonene hentet fra den komplekse tegningen; langs y"-aksen plotter vi størrelsen på prismekanten. Vi konstruerer det aksonometriske bildet A" av punkt A ved å bruke en brutt koordinatlinje, skissert i begge tegningene med en dobbel tynn linje.

La det gis en frontalprojeksjon C 2 av et punkt C som ligger på overflaten av en regulær firkantet pyramide definert av to hovedprojeksjoner (fig. 163, a). Det er nødvendig å konstruere tre projeksjoner av punkt C.

Fra frontalprojeksjonen kan man se at toppen av pyramiden er høyere enn den firkantede bunnen av pyramiden. Under denne tilstanden vil alle fire sideflatene være synlige når de projiseres på det horisontale planet av anslag P 1. Når du projiserer P 2-projeksjoner på frontplanet, vil bare frontflaten av pyramiden være synlig. Siden projeksjon C 2 er vist på tegningen som en lyssirkel, er punktet C synlig og tilhører forsiden av pyramiden. For å konstruere en horisontal projeksjon C 1, trekker vi gjennom punkt C 2 en rett hjelpelinje D 2 E 2, parallelt med linjen til pyramidens basis. Vi finner dens horisontale projeksjon D 1 E 1 og punktet C 1 på den. Hvis det er en tredje projeksjon av pyramiden, finner vi den horisontale projeksjonen av punktet C 1 enklere: etter å ha funnet profilprojeksjonen C 3, ved å bruke to projeksjoner, bygge en tredje ved hjelp av horisontale og horisontale-vertikale kommunikasjonslinjer. Byggefremdriften er vist på tegningen med piler.

TBegynn-->
Tend-->

La oss konstruere en dimetrisk projeksjon av pyramiden og punktet C (fig. 163, b). Vi bygger bunnen av pyramiden; for å gjøre dette, gjennom punktet O" tatt på r-aksen", tegner vi x" og y"-aksene; Langs x-aksen plotter vi de faktiske dimensjonene til basen, og langs y-aksen plotter vi dimensjonene halvert. Gjennom de oppnådde punktene tegner vi rette linjer parallelt med x" og y" aksene. Langs z"-aksen plotter vi høyden på pyramiden; vi forbinder det resulterende punktet med poengene til basen, og tar hensyn til synligheten til kantene. For å konstruere punkt C bruker vi en koordinatpolylinje, skissert i tegningene med en dobbel tynn linje For å sjekke nøyaktigheten til løsningen, trekker vi gjennom det funnet punktet C en rett linje D "E", parallell x-akse. Dens lengde må være lik lengden på rett linje D 2 E 2 (eller D 1 E 1).

PROJSERER ET PUNKT PÅ TO PROSJEKSJONSPLAN

Dannelsen av et rett linjesegment AA 1 kan representeres som et resultat av bevegelsen av punkt A i et hvilket som helst plan H (fig. 84, a), og dannelsen av et plan som en bevegelse av et rett linjesegment AB (fig. 84, a). 84, b).

Et punkt er det viktigste geometriske elementet i en linje og en overflate, derfor begynner studiet av den rektangulære projeksjonen av et objekt med konstruksjonen av rektangulære projeksjoner av et punkt.

I rommet til den dihedrale vinkelen dannet av to vinkelrette plan - det frontale (vertikale) planet av projeksjoner V og horisontalplanet til projeksjoner H, plasserer vi punkt A (fig. 85, a).

Skjæringslinjen for projeksjonsplanene er en rett linje, som kalles projeksjonsaksen og er betegnet med bokstaven x.

V-planet er her avbildet som et rektangel, og H-planet som et parallellogram. Den skrånende siden av dette parallellogrammet er vanligvis tegnet i en vinkel på 45° til dens horisontale side. Lengden på den skrånende siden er tatt lik 0,5 av dens faktiske lengde.

Fra punkt A senkes perpendikulærer ned på plan V og H. Punktene a" og a i skjæringspunktet mellom perpendikulære og projeksjonsplanene V og H er rektangulære projeksjoner av punkt A. Figuren Aaa x a" i rommet er et rektangel. Sideaksen til dette rektangelet i det visuelle bildet er redusert med 2 ganger.

La oss justere H-planene med V-planet ved å rotere V rundt skjæringslinjen til x-planene. Resultatet er en omfattende tegning av punkt A (fig. 85, b)

For å forenkle den komplekse tegningen er grensene til projeksjonsplanene V og H ikke angitt (fig. 85, c).

Perpendikulærer trukket fra punkt A til projeksjonsplanene kalles projeksjonslinjer, og basisen til disse projeksjonslinjene - punktene a og a" - kalles projeksjoner av punkt A: a" er frontprojeksjonen av punkt A, a er horisontalprojeksjonen av punkt A.

Linje a" a kalles den vertikale linjen for projeksjonsforbindelse.

Plasseringen av projeksjonen av et punkt i en kompleks tegning avhenger av plasseringen til dette punktet i rommet.

Hvis punktet A ligger på horisontalplanet til projeksjonene H (fig. 86, a), så faller dets horisontale projeksjon a sammen med det gitte punktet, og frontprojeksjonen a" er plassert på aksen. Når punktet B er plassert på fronten plan av projeksjoner V, dens frontale projeksjon sammenfaller med dette punktet, og den horisontale projeksjonen ligger på x-aksen. De horisontale og frontale projeksjonene av et gitt punkt C, som ligger på x-aksen, faller sammen med dette punktet. En kompleks tegning av punktene A, B og C er vist i fig. 86, b.

PROJSERER ET PUNKT PÅ TRE PROSJEKSJONSPLAN

I tilfeller hvor det er umulig å forestille seg formen til et objekt fra to projeksjoner, projiseres det på tre projeksjonsplaner. I dette tilfellet introduseres et profilprojeksjonsplan W, vinkelrett på planene V og H. En visuell representasjon av systemet med tre projeksjonsplan er gitt i fig. 87, a.

Kantene til en trihedrisk vinkel (skjæringspunktet mellom projeksjonsplaner) kalles projeksjonsakser og er betegnet x, y og z. Skjæringspunktet mellom projeksjonsaksene kalles begynnelsen av projeksjonsaksene og er betegnet med bokstaven O. La oss slippe en perpendikulær fra punkt A til projeksjonsplanet W og markerer bunnen av perpendikulæren med bokstaven "a", vi få en profilprojeksjon av punkt A.

For å få en kompleks tegning av punkt A, kombineres plan H og W med plan V, og roterer dem rundt Ox- og Oz-aksene. En omfattende tegning av punkt A er vist i fig. 87, b og c.

Segmentene av projiserte linjer fra punkt A til projeksjonsplanene kalles koordinatene til punkt A og er betegnet: x A, y A og z A.

For eksempel er koordinaten z A til punkt A, lik segmentet a"a x (fig. 88, a og b), avstanden fra punkt A til det horisontale projeksjonsplanet H. Koordinaten y til punkt A, lik segmentet aa x, er avstanden fra punkt A til frontalplanet til projeksjoner V. Koordinat x A, lik segmentet aa y - avstanden fra punkt A til profilplanet til projeksjoner W.

Dermed bestemmer avstanden mellom projeksjonen av et punkt og projeksjonsaksen koordinatene til punktet og er nøkkelen til å lese dets komplekse tegning. Fra to projeksjoner av et punkt kan alle tre koordinatene til punktet bestemmes.

Hvis koordinatene til punkt A er gitt (for eksempel x A = 20 mm, y A = 22 mm og z A = 25 mm), kan tre projeksjoner av dette punktet konstrueres.

For å gjøre dette, fra opprinnelsen til koordinatene O i retning av Oz-aksen, legges koordinaten z A opp og koordinaten y A legges ned. Fra endene av de avlagte segmentene - punktene a z og a y (fig. . 88, a) - tegn rette linjer parallelt med Ox-aksen, og legg dem på segmenter lik x-koordinaten A. De resulterende punktene a" og a er frontale og horisontale projeksjoner av punkt A.

Ved å bruke to projeksjoner a" og a av punkt A kan du konstruere profilprojeksjonen på tre måter:

1) fra opprinnelsen til koordinatene O, tegn en hjelpebue med en radius Oa y lik koordinaten (fig. 87, b og c), fra det resulterende punktet tegner en y1 en rett linje parallelt med Oz-aksen, og legg av et segment lik z A;

2) fra punkt a y tegne en hjelpelinje i en vinkel på 45° til Oy-aksen (fig. 88, a), oppnå punkt a y1, etc.;

3) fra origo O, tegn en hjelpelinje i en vinkel på 45° til Oy-aksen (fig. 88, b), oppnå punkt a y1, etc.

La oss vurdere projeksjonene av punkter på to plan, for hvilke vi tar to vinkelrette plan (fig. 4), som vi vil kalle horisontale frontale og plan. Skjæringslinjen mellom disse planene kalles projeksjonsaksen. Vi projiserer ett punkt A på de betraktede planene ved hjelp av en planprojeksjon. For å gjøre dette er det nødvendig å senke perpendikulærene Aa og A fra et gitt punkt til de betraktede planene.

Projeksjonen på horisontalplanet kalles horisontal projeksjon poeng EN, og projeksjonen EN? på frontalplanet kalles frontal projeksjon.

Punkter som skal projiseres er vanligvis angitt i beskrivende geometri ved bruk av store bokstaver A, B, C. Små bokstaver brukes for å indikere horisontale projeksjoner av punkter a, b, c... Frontprojeksjoner er angitt med små bokstaver med et strøk øverst a?, b?, c?…

Poeng er også betegnet med romertall I, II,... og for deres projeksjoner - med arabiske tall 1, 2... og 1?, 2?...

Ved å rotere horisontalplanet 90° kan du få en tegning der begge planene er i samme plan (fig. 5). Dette bildet heter diagram av et punkt.

Gjennom vinkelrette linjer Ahh Og Hu h? La oss tegne et plan (fig. 4). Det resulterende planet er vinkelrett på front- og horisontalplanene fordi det inneholder vinkelrett på disse planene. Derfor er dette planet vinkelrett på skjæringslinjen til planene. Den resulterende rette linjen skjærer horisontalplanet i en rett linje ahh x, og frontalplanet – i en rett linje a?a X. Rett aah og a?a x er vinkelrett på skjæringsaksen til planene. Det er Aahaha? er et rektangel.

Ved kombinasjon av horisontale og frontale projeksjonsplaner EN Og EN? vil ligge på samme vinkelrett på skjæringsaksen til planene, siden når horisontalplanet roterer, vil segmentenes vinkelrett ahh x og a?a x vil ikke bli ødelagt.

Vi får det på projeksjonsdiagrammet EN Og EN? et eller annet poeng EN alltid ligge på samme vinkelrett på skjæringsaksen til planene.

To anslag a og EN? av et visst punkt A kan entydig bestemme sin posisjon i rommet (fig. 4). Dette bekreftes av at når man konstruerer en perpendikulær fra projeksjon a til horisontalplanet, vil den gå gjennom punkt A. På samme måte vil en perpendikulær fra projeksjon EN? til frontalplanet vil passere gjennom punktet EN, dvs. punkt EN er samtidig på to spesifikke rette linjer. Punkt A er deres skjæringspunkt, det vil si at det er bestemt.

Tenk på et rektangel Aaa X EN?(Fig. 5), hvor følgende utsagn er sanne:

1) Punktavstand EN fra frontplanet er lik avstanden til dens horisontale projeksjon a fra skjæringsaksen mellom planene, dvs.

Hu h? = ahh X;

2) punktavstand EN fra horisontalplanet av projeksjoner er lik avstanden til frontprojeksjonen EN? fra skjæringsaksen til planene, dvs.

Ahh = a?a X.

Med andre ord, selv uten selve punktet på diagrammet, ved å bruke bare de to projeksjonene, kan du finne ut i hvilken avstand et gitt punkt er plassert fra hvert av projeksjonsplanene.

Skjæringspunktet mellom to projeksjonsplan deler rommet i fire deler, som kalles i kvartaler(Fig. 6).

Skjæringsaksen mellom flyene deler horisontalplanet i to kvartaler - foran og bak, og frontplanet - i øvre og nedre kvartal. Den øvre delen av frontalplanet og den fremre delen av horisontalplanet regnes som grensene for første kvartal.

Ved mottak av diagrammet roterer horisontalplanet og er på linje med frontplanet (fig. 7). I dette tilfellet vil den fremre delen av horisontalplanet falle sammen med den nederste delen av frontalplanet, og den bakre delen av horisontalplanet vil falle sammen med den øvre delen av frontalplanet.

Figurene 8-11 viser punktene A, B, C, D, plassert i forskjellige rom. Punkt A er plassert i første kvartal, punkt B er i andre, punkt C er i tredje og punkt D er i fjerde.

Når punktene er plassert i første eller fjerde kvartal av dem horisontale projeksjoner er på den fremre delen av horisontalplanet, og på diagrammet vil de ligge under skjæringsaksen til planene. Når et punkt er plassert i andre eller tredje kvartal, vil dets horisontale projeksjon ligge på baksiden av horisontalplanet, og på diagrammet vil det være plassert over skjæringsaksen mellom planene.

Frontale projeksjoner punkter som er plassert i første eller andre kvartal vil ligge på den øvre delen av frontplanet, og på diagrammet vil de være plassert over skjæringsaksen mellom flyene. Når et punkt befinner seg i tredje eller fjerde kvartal, er dets frontale projeksjon under skjæringsaksen mellom flyene.

Oftest, i ekte konstruksjoner, er figuren plassert i første kvartal av plass.

I noen spesielle tilfeller er punktet ( E) kan ligge på et horisontalt plan (fig. 12). I dette tilfellet vil dens horisontale projeksjon e og selve punktet falle sammen. Frontprojeksjonen av et slikt punkt vil være plassert på skjæringsaksen mellom flyene.

I tilfelle når punktet TIL ligger på frontplanet (fig. 13), dets horisontale projeksjon k ligger på skjæringsaksen mellom flyene og fronten k? viser den faktiske plasseringen av dette punktet.

For slike punkter er et tegn på at den ligger på et av projeksjonsplanene at en av projeksjonene er på skjæringsaksen mellom planene.

Hvis et punkt ligger på skjæringsaksen til projeksjonsplanene, faller det og begge projeksjonene sammen.

Når et punkt ikke ligger på projeksjonsplanene, kalles det punkt for generell posisjon. I det følgende, hvis det ikke er spesielle karakterer, er det aktuelle punktet et punkt i generell posisjon.

2. Mangel på projeksjonsakse

For å forklare hvordan man oppnår projeksjoner av et punkt på en modell vinkelrett på projeksjonsplanet (fig. 4), er det nødvendig å ta et stykke tykt papir i form av et langstrakt rektangel. Den må bøyes mellom fremspringene. Foldelinjen vil representere skjæringsaksen for planene. Hvis det bøyde papiret etter dette rettes ut igjen, vil vi få et diagram som ligner på det som er vist på figuren.

Ved å kombinere to projeksjonsplan med tegningsplanet, er det mulig å ikke vise brettelinjen, dvs. ikke å tegne skjæringsaksen for planene på diagrammet.

Når du plotter på et diagram, bør du alltid plassere projeksjoner EN Og EN? punkt A på én vertikal linje (fig. 14), som er vinkelrett på skjæringsaksen til planene. Derfor, selv om posisjonen til skjæringsaksen for planene forblir usikker, men retningen er bestemt, kan skjæringsaksen til planene bare plasseres på diagrammet vinkelrett på den rette linjen Hu h?.

Hvis det ikke er noen projeksjonsakse på diagrammet av et punkt, som i den første figur 14a, kan du forestille deg posisjonen til dette punktet i rommet. For å gjøre dette, tegn hvor som helst vinkelrett på den rette linjen Hu h? projeksjonsakse, som i den andre figuren (fig. 14) og bøy tegningen langs denne aksen. Hvis vi gjenoppretter perpendikulære punkter EN Og EN? før de krysser hverandre, kan du få et poeng EN. Ved endring av posisjonen til projeksjonsaksen oppnås forskjellige posisjoner av punktet i forhold til projeksjonsplanene, men usikkerheten til posisjonen til projeksjonsaksen påvirker ikke den relative posisjonen til flere punkter eller figurer i rommet.

3. Projeksjoner av et punkt på tre projeksjonsplaner

La oss vurdere profilplanet til projeksjoner. Projeksjoner på to vinkelrette plan bestemmer vanligvis plasseringen til en figur og gjør det mulig å finne ut dens virkelige størrelse og form. Men det er tider når to anslag ikke er nok. Deretter brukes konstruksjonen av den tredje projeksjonen.

Det tredje projeksjonsplanet er tegnet slik at det er vinkelrett på begge projeksjonsplanene samtidig (fig. 15). Det tredje planet kalles vanligvis profil.

I slike konstruksjoner kalles den felles rette linjen til horisontal- og frontplanet akser X , den felles rette linjen til horisontal- og profilplanet – akser på , og den felles rette linjen til front- og profilplanene er akser z . Punktum OM, som tilhører alle tre plan, kalles opprinnelsespunktet.

Figur 15a viser punktet EN og tre av dens projeksjoner. Projeksjon på profilplanet ( EN??) er kalt profilprojeksjon og betegne EN??.

For å få et diagram av punkt A, som består av tre projeksjoner a, a, a, er det nødvendig å kutte triederet dannet av alle planene langs y-aksen (fig. 15b) og kombinere alle disse planene med planet til frontprojeksjonen. Horisontalplanet må dreies om aksen X, og profilplanet er om aksen z i retningen angitt av pilen i figur 15.

Figur 16 viser posisjonen til fremspringene ikke sant? Og EN?? poeng EN, oppnådd ved å kombinere alle tre planene med tegneplanet.

Som et resultat av kuttet vises y-aksen på to forskjellige steder på diagrammet. På et horisontalt plan (fig. 16) inntar den en vertikal posisjon (vinkelrett på aksen) X), og på profilplanet – horisontalt (vinkelrett på aksen z).

Det er tre anslag i figur 16 ikke sant? Og EN?? Punktene A har en strengt definert posisjon på diagrammet og er underlagt utvetydige betingelser:

EN Og EN? skal alltid være plassert på samme vertikale linje, vinkelrett på aksen X;

EN? Og EN?? skal alltid være plassert på samme horisontale rette linje, vinkelrett på aksen z;

3) når det utføres gjennom en horisontal projeksjon og en horisontal rett linje, og gjennom en profilprojeksjon EN??– en vertikal rett linje, vil de konstruerte rette linjene nødvendigvis skjære på halveringslinjen til vinkelen mellom projeksjonsaksene, siden figuren Oa på EN 0 EN n – kvadrat.

Når du konstruerer tre projeksjoner av et punkt, må du sjekke om alle tre betingelsene er oppfylt for hvert punkt.

4. Punktkoordinater

Posisjonen til et punkt i rommet kan bestemmes ved hjelp av tre tall som kalles dens koordinater. Hver koordinat tilsvarer avstanden til et punkt fra et projeksjonsplan.

Bestemt punktavstand EN til profilplanet er koordinaten X, hvori X = ikke sant?(fig. 15), avstanden til frontplanet er koordinaten y, og y = ikke sant?, og avstanden til horisontalplanet er koordinaten z, hvori z = aA.

I figur 15 opptar punkt A bredden til et rektangulært parallellepiped, og målingene til dette parallellepipedet tilsvarer koordinatene til dette punktet, dvs. hver av koordinatene er representert i figur 15 fire ganger, dvs.:

x = a?A = Oa x = a y a = a z a?;

y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

I diagrammet (fig. 16) vises x- og z-koordinatene tre ganger:

x = a z a?= Oa x = a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Alle segmenter som tilsvarer koordinaten X(eller z), er parallelle med hverandre. Koordinere på representert to ganger av en akse plassert vertikalt:

y = Oa y = a x a

og to ganger – plassert horisontalt:

y = Oa y = a z a?.

Denne forskjellen vises på grunn av at y-aksen er tilstede på diagrammet i to forskjellige posisjoner.

Det bør tas i betraktning at posisjonen til hver projeksjon bestemmes på diagrammet av bare to koordinater, nemlig:

1) horisontal – koordinater X Og på,

2) frontal – koordinater x Og z,

3) profil – koordinater på Og z.

Bruke koordinater x, y Og z, kan du konstruere projeksjoner av et punkt på et diagram.

Hvis punkt A er gitt av koordinater, er registreringen deres definert som følger: A ( X; y; z).

Ved konstruksjon av punktprojeksjoner EN følgende forhold må kontrolleres:

1) horisontale og frontale fremspring EN Og EN? X X;

2) frontal- og profilprojeksjoner EN? Og EN? må være plassert i samme vinkelrett på aksen z, siden de har en felles koordinat z;

3) horisontal projeksjon og også fjernet fra aksen X, som profilprojeksjon EN vekk fra aksen z, Siden anslag ah? og eh? ha en felles koordinat på.

Hvis et punkt ligger i et av projeksjonsplanene, er en av koordinatene lik null.

Når et punkt ligger på projeksjonsaksen, er to av dets koordinater lik null.

Hvis et punkt ligger ved origo, er alle tre koordinatene null.