Prakikum "løser problemer i kombinatorikk". Metoder for å løse kombinatoriske problemer

Kombinatorikk er en gren av matematikken som studerer spørsmål om hvor mange forskjellige kombinasjoner, under visse betingelser, kan lages av gitte objekter. Det grunnleggende om kombinatorikk er svært viktig for å estimere sannsynlighetene for tilfeldige hendelser, fordi de lar oss beregne det grunnleggende mulige tallet ulike alternativer utviklingen av hendelser.

Grunnformel for kombinatorikk

La det være k grupper av elementer, og i-te gruppe består av n i elementer.

La oss velge ett element fra hver gruppe. Da er det totale antallet N måter et slikt valg kan gjøres på, bestemt av forholdet N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k . Eksempel 1.

La oss forklare denne regelen med et enkelt eksempel. La det være to grupper av elementer, og den første gruppen består av n 1 elementer, og den andre - av n 2 elementer. Hvor mange forskjellige elementpar kan lages fra disse to gruppene, slik at paret inneholder ett element fra hver gruppe? La oss si at vi tok det første elementet fra den første gruppen og, uten å endre det, gikk gjennom alle mulige par, og endret bare elementene fra den andre gruppen. Det kan være n 2 slike par for dette elementet. Så tar vi det andre elementet fra den første gruppen og lager også alle mulige par for det. Det vil også være n 2 slike par. Siden det bare er n 1 elementer i den første gruppen, vil totalt mulige alternativer være n 1 *n 2.
Eksempel 2. Hvor mange tresifrede partall kan lages fra sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, hvis sifrene kan gjentas?
Løsning:

n 1 =6 (fordi du kan ta et hvilket som helst tall fra 1, 2, 3, 4, 5, 6 som det første sifferet), n 2 =7 (fordi du kan ta et hvilket som helst tall fra 0 som det andre sifferet , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (siden et hvilket som helst tall fra 0, 2, 4, 6 kan tas som det tredje sifferet). Så, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168. I tilfelle når alle grupper består av samme nummer

elementer, dvs. n 1 =n 2 =...n k =n vi kan anta at hvert utvalg er gjort fra samme gruppe, og elementet etter seleksjon returneres til gruppen. Da er antallet på alle utvalgsmetodene n k . Denne metoden for seleksjon i kombinatorikk kalles prøver med retur.
Eksempel 3. For hvert siffer i et firesifret tall er det fem muligheter, som betyr N=5*5*5*5=5 4 =625.

Tenk på et sett som består av n elementer. I kombinatorikk kalles dette settet generell befolkning.

Antall plasseringer av n elementer med m

Definisjon 1. Overnatting fra n elementer av m i kombinatorikk evt bestilt sett fra m ulike elementer valgt fra befolkningen i n elementer.

Eksempel 4. Ulike arrangementer av tre elementer (1, 2, 3) med to vil være settene (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) , 2). Plasseringer kan avvike fra hverandre både i elementer og rekkefølge.

Antall plasseringer i kombinatorikk er angitt med A n m og beregnes med formelen:

Kommentar: n!=1*2*3*...*n (les: «en factorial»), i tillegg antas det at 0!=1.

Eksempel 5. Hvor mange tosifrede tall er det der titallet og enhetssifferet er forskjellige og odde?
Eksempel 2. fordi Hvis det er fem oddetall, nemlig 1, 3, 5, 7, 9, så handler denne oppgaven om å velge og plassere to av de fem i to forskjellige posisjoner forskjellige tall, dvs. angitte tall vilje:

Definisjon 2. Kombinasjon fra n elementer av m i kombinatorikk evt uordnet sett fra m ulike elementer, valgt fra den generelle befolkningen i n elementer.

Eksempel 6. For settet (1, 2, 3) er kombinasjonene (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Antall kombinasjoner av n elementer, m hver

Antall kombinasjoner er angitt med C n m og beregnes med formelen:

Eksempel 7. På hvor mange måter kan en leser velge to bøker av seks tilgjengelige?

Eksempel 2. Antall metoder er lik antall kombinasjoner av seks bøker av to, dvs. tilsvarer:

Permutasjoner av n elementer

Definisjon 3. Permutasjon fra n elementer kalles noen bestilt sett disse elementene.

Eksempel 7a. Alle mulige permutasjoner av et sett som består av tre elementer (1, 2, 3) er: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Antall forskjellige permutasjoner av n elementer er betegnet med P n og beregnes med formelen P n =n!.

Eksempel 8. På hvor mange måter er syv bøker forskjellige forfattere Kan du ordne det på en hylle på én rad?

Eksempel 2. Dette problemet handler om antall permutasjoner av syv forskjellige bøker. Det er P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 måter å ordne bøkene på.

Diskusjon. Vi ser at antall mulige kombinasjoner kan beregnes ved forskjellige regler(permutasjoner, kombinasjoner, plasseringer) og resultatet blir annerledes, fordi Beregningsprinsippet og selve formlene er forskjellige. Ser du nøye på definisjonene, vil du legge merke til at resultatet avhenger av flere faktorer samtidig.

For det første, fra hvor mange elementer vi kan kombinere settene deres (hvor store befolkning elementer).

For det andre avhenger resultatet av størrelsen på settene med elementer vi trenger.

Til slutt er det viktig å vite om rekkefølgen av elementene i settet er viktig for oss. La oss forklare den siste faktoren ved å bruke følgende eksempel.

Eksempel 9. På foreldremøte 20 personer er tilstede. Hvor mange ulike alternativer er det for sammensetningen av foreldreutvalget dersom det skal omfatte 5 personer?
Eksempel 2. I dette eksemplet er vi ikke interessert i rekkefølgen av navn på komitélisten. Hvis de samme menneskene som et resultat viser seg å være en del av det, så er dette det samme alternativet for oss. Derfor kan vi bruke formelen til å beregne tallet kombinasjoner med 20 elementer 5 hver.

Ting vil være annerledes hvis hvert komitémedlem i utgangspunktet er ansvarlig for et spesifikt arbeidsområde. Da er det med samme listesammensetning av komiteen muligens 5 inni den! alternativer permutasjoner den saken. Antall forskjellige (både i sammensetning og ansvarsområde) alternativer bestemmes i dette tilfellet av antallet plasseringer med 20 elementer 5 hver.

Selvtestoppgaver
1. Hvor mange tresifrede partall kan lages fra sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, hvis sifrene kan gjentas?

2. Hvor mange femsifrede tall er det som leses likt fra venstre til høyre og fra høyre til venstre?

3. Det er ti fag i klassen og fem leksjoner om dagen. På hvor mange måter kan du lage en tidsplan for én dag?

4. På hvor mange måter kan 4 delegater velges ut til en konferanse hvis det er 20 personer i gruppen?

5. På hvor mange måter kan åtte forskjellige bokstaver legges i åtte forskjellige konvolutter, hvis bare én bokstav legges i hver konvolutt?

6. En kommisjon bestående av to matematikere og seks økonomer bør være sammensatt av tre matematikere og ti økonomer. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Oppgave 1.Åtte elever håndhilste. Hvor mange håndtrykk var det?

Eksempel 3. Et «undersett» bestående av to elever (m=2) deltar i håndtrykket, mens hele settet med elever er 8 personer (n=8). Siden rekkefølgen ikke er viktig i håndtrykkprosessen, velger vi en formel for antall kombinasjoner:

Oppgave. På hvor mange måter kan et stripete flagg i tre farger lages av fem stykker materiale i forskjellige farger?

Løsning. Rekkefølgen er viktig, siden omorganisering av saken innenfor det trefargede flagget indikerer forskjellige land. Derfor velger vi formelen for antall plasseringer uten repetisjoner, der settet med stoffstykker er n = 5, og delmengden av farger er m = 3:

Oppgave 2. Hvor mange ordbøker må publiseres for å kunne oversette fra noen av de seks språkene til noen av dem?

Løsning. Settet inneholder 6 språk n=6. Siden oversettelse er et forhold mellom to språk, så er m = 2, og rekkefølgen er viktig, siden for eksempel russisk-engelske og engelsk-russiske ordbøker har ulike applikasjoner. Derfor velger vi plasseringer uten repetisjoner:

Oppgave 3. Hvor mange alternativer er det for å lage en timeplan for mandag hvis elevene har 9 fag, og på mandag er det 4 klassepar, og fagene ikke gjentas?

Løsning. a) For studenter er rekkefølgen ikke viktig, så vi velger formelen for antall kombinasjoner:

b) For lærere er rekkefølge viktig, så vi velger en plasseringsformel uten repetisjon:

Oppgave 4. På hvor mange måter kan ni bøker ordnes i en bokhylle, blant annet et trebindsverk av A.S. Pushkin?

Løsning.

Siden de tre bindene som inngår i et trebindssett skal stå side om side, og i stigende rekkefølge etter nummer til høyre, betrakter vi dem som ett element gitt sett, som har 6 flere elementer. Derfor velger vi permutasjoner uten repetisjoner i et sett som inneholder syv elementer:

P 7 = 7! = 5040

Oppgave 5. På hvor mange måter kan du tildele tre personer på vakt i en gruppe på 30 personer?

Løsning.

a) Hvis deres rolle i tjenesteprosessen er den samme, er rekkefølgen ikke viktig, så vi velger kombinasjoner uten repetisjon:

Fra 3 30 = 30! / 3!27! = 4060

b) Dersom rekkefølgen er viktig, dvs. under deres tjeneste funksjonelle ansvar er forskjellige, så bruker vi plasseringsformelen uten repetisjon:

Og 3 30 = 30! / 27! = 24360

Oppgave 6. Hvor mange sekssifrede tall er det? telefonnumre, for hvilke: a) alle tall er mulige; b) er alle tall forskjellige?

Eksempel 3.

a) 1. Siden alle sifre er mulige i en sekssifret oppringing av et telefonnummer, kan hvilket som helst av de 10 sifrene fra 0 til 9 vises på hvert av de seks stedene. Det er nødvendig å velge fra alle mulige ti sifrene seks som skal brukes til sekssifrede telefonnumre. Siden rekkefølgen på sifrene i registrering av telefonnumre er viktig, har vi ved å bruke formelen for plasseringer med repetisjoner:

A 10 6 = 10 6 = 1000000

2. Som du vet, er det ingen sekssifrede tall som begynner med null, så du må telle tallet og trekke det fra det totale antallet kombinasjoner. Vi finner antall tall hvis første siffer er 0 ved å bruke plasseringsformelen med repetisjoner, "fikser" null, dvs. på hver av de fem andre mulige steder noen av de ti sifrene fra
0 til 9. Så antall slike kombinasjoner:

A 10 5 = 10 5 = 100 000

3. Totalt antall sekssifrede telefonnumre, som kan ha alle, inkludert gjentatte, sifre, er lik differansen:

A 10 6 – A 10 5 = 10 6 – 10 5 = 1000000 – 100000 = 900000

b) 1. La nå alle tallene i et sekssifret sett være forskjellige. Av alle de ti mulige sifrene er det nødvendig å velge bare de seks som brukes til sekssifrede telefonnumre, og ingen siffer gjentas. Så, i henhold til plasseringsformelen uten repetisjoner, har vi:

Og 106 = 10! / (10 – 6)! = 5x6x7x8x9x10 = 151200

2. Siden det ikke er noen sekssifrede tall som begynner med null, må du telle tallet og trekke det fra det totale antallet kombinasjoner. Vi vil finne antall tall hvis første siffer er 0 ved å bruke plasseringsformelen uten repetisjoner, "fikser null", dvs. på hver av de fem gjenværende mulige plassene kan det være tall fra 0 til 9. Da finner vi antall slike kombinasjoner ved hjelp av plasseringsformelen uten repetisjon. Vi har:

Og 10 5 = 10! / (10-5)! = 6x7x8x9x10 = 30240

3. Det totale antallet sekssifrede telefonnumre som ikke kan ha repeterende sifre er lik differansen:

A 10 6 – A 10 5 = 10 6 – 10 5 = 151200 – 30240 = 120960

Oppgave 7. På hvor mange måter kan en delegasjon på tre personer velges, ved å velge dem blant fire ektepar, hvis:

a) delegasjonen inkluderer tre av disse åtte personene;

b) delegasjonen skal bestå av to kvinner og en mann;

Inkluderer ikke delegasjonen medlemmer av samme familie?

Eksempel 3.

a) Rekkefølgen er ikke viktig:

Fra 8 3 = 8! / 3! 5! = 56

b) La oss velge to kvinner fra de tilgjengelige 4 C 4 2-veiene og en mann fra 4 C 4 1-veiene. I henhold til produktregelen ( Og mann, Og to kvinner) har vi C 4 2 x C 4 1 = 24.

c) Fra fire familier velger vi 3 medlemmer av delegasjonen på fire måter (siden C 4 3 = 4! / 3!1! = 4). Men i hver familie er det to måter å velge et medlem av delegasjonen på. I følge produktregelen C 4 3 x2x2x2 = 4x8 =32.

Oppgave 8. Høgskolen har 2000 studenter. Er det mulig å si at minst to av dem har samme initialer av både for- og etternavn?

Eksempel 3.

Det er 33 bokstaver i det russiske alfabetet, hvorav ъ, ь, ы, й ikke kan brukes, så n = 33-4 = 29. Hver av de 29 bokstavene kan være en initial Og navn, Og etternavn. I henhold til produktregelen 29x29 = 841< 2000. Значит может быть лишь 841 различных вариантов, и среди 2000 студентов обязательно будут совпадения.

I siste årene Mer og mer oppmerksomhet rettes mot problemene med utviklingsutdanning. Den enestående veksten i informasjonsvolumet krever moderne mann slike egenskaper som initiativ, oppfinnsomhet, bedrift, evnen til å raskt og nøyaktig ta beslutninger. Og dette er umulig uten evnen til å jobbe kreativt, selvstendig. Hvis hovedoppgaven for læreren i den siste tiden var å overføre en viss mengde kunnskap til elevene, nå utvikling elever i læringsprosessen. Undervisning i matematikk bør fokuseres ikke så mye på det faktiske matematikkundervisning, i ordets snever betydning, hvor mye for utdanning gjennom matematikk.

Utvikling av matematisk tenkning og kreativitet gjennomføres mens elevene tenker på problemer. Selvstendig aktivitet av studenter i å løse problemer inntar en sentral plass i undervisning i matematikk. Evnen til å løse problemer er et kriterium for akademisk suksess. Det er veldig viktig å vise hvor vanlig livssituasjon kan beskrives med en matematisk modell.

Utviklingsmateriell kan brukes både som del av en leksjon (5.–7. klasse) og i en matteklubb eller valgfag.

Formålet med utviklingen er å forbedre den matematiske kulturen til elever, vekke og utvikle bærekraftig interesse for matematikk, utvide og utdype kunnskap.

Hovedoppgavene som løses ved implementeringen av utviklingen er kjent på et populært nivå med kombinatorikk - en gren av diskret matematikk som har fått alvorlig betydning i dag i forbindelse med utviklingen av sannsynlighetsteori, matematisk logikk, informasjonsteknologi. Studentene skal få en ide om hva et kombinatorisk problem er og bli kjent med metodene og reglene for å løse det.

Ved å bruke dette rike materialet, nivået av matematiske og logisk tenkning studentene utvikler forskningsferdigheter.

Forklarende notat

Klasser i programmet «Utviklingsopplæring i matematikktimer» gjennomføres av meg systematisk innenfor rammen av timetiden. Jeg gjennomfører slike timer i begynnelsen og slutten av kvartalet for å intensivere elevenes aktiviteter, vekke og utvikle interessen for matematikk. I tillegg en eller to ikke-standardiserte oppgaver Jeg prøver å ta det i betraktning i hver leksjon, sammen med programmaterialet, og dermed utvikle en "smak" for kunnskap hos elevene. Når jeg forbereder meg til slike klasser, bruker jeg materialet fra læreboken "Matematikk: tilleggskapitler - klasse 5", samt oppgaver fra læremateriellet og læremateriellet.

Leksjonsplan

· Organisatorisk øyeblikk

· Oppdatere elevenes kunnskaper

· Historisk ekskursjon (studentmelding)

· Teoretisk materiale

· Problemløsning (med elementer av selvtest)

· Iscenesettelse lekser, teori repetisjon

· Selvstendig arbeid (gjensidig sjekk)

· Oppsummering av leksjonen

(utdelingsark) VEDLEGG 1

Kart

"Vurder å være ulykkelig den dagen eller den timen hvor du ikke lærte noe nytt og ikke tilførte noe til utdanningen din."

"Å lære er ikke lett, men det er interessant." Jan Amos Comenius (),

Tsjekkisk lærer, forfatter

leksjonsemne ________________________________

Kombinatorikk er en gren av matematikken viet til å løse problemer med å velge og arrangere gitte elementer i henhold til gitte regler.

Sum Regel

(velg ett element)

A – m måter

På – n måter

A B – (m+n) måter

For eksempel: 5 epler, 4 pærer.

Valg av eple eller pære:

5 + 4 = 9 måter

https://pandia.ru/text/78/021/images/image003_105.jpg" width="153" height="177 src=">

Produktregel

(parvalg,

flere elementer)

A – m måter

På – n måter

A B – (m n) måter

For eksempel: 2 konvolutter, 3 postkort.

Velge en konvolutt med et postkort:

2 3 = 6 måter

https://pandia.ru/text/78/021/images/image006_71.jpg" width="143" height="90 src=">

0 " style="margin-left:40.85pt;border-collapse:collapse;border:none">

__________________

__________________________________

№ 5. 1, 2, 3, 4, 5

__________________

__________________________________

№ 6. 0, 1, 2, 3

__________________

__________________________________

__________________

___________________________________

nr. 7. 1, 3, 5, 7, 9; mindre enn 400

__________________

__________________________________

№ 8. _______________________________________________________________________________________________________________

______________________________________

№ 9. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________

(utdelingsark)

Problemer for leksjonen "Møt kombinatorikk!"

1.

2. En berømt musketer har 3 elegante hatter, 4 fantastiske kapper og 2 par utmerkede støvler i garderoben. Hvor mange kostymealternativer kan han lage?

3.

4.

5.

6. Hvor mange forskjellige tosifrede tall kan være sammensatt av tallene 0, 1, 2, 3, hvis tallene: a) kan gjentas; b) kan ikke gjentas?

7.

VEDLEGG 2

9. På hvor mange måter kan 6 personer sitte ved et bord med 6 bestikk?

10.

11.

12. Hvor mange forskjellige tall mindre enn en million kan skrives med tallene 8 og 9?

"Fordypning"

Finn konstruksjonsmønsteret

sekvensene 111, 213, 141,

516, 171, 819, 202, 122…

Lekser

1) Det er 26 elever i klasse 5 "b". På hvor mange måter kan du velge en klasseleder og hans stedfortreder? leder, stedfortreder og tjenesteansvarlig?

2) Vi kjøpte 9 røde, 10 grønne og 7 gule ballonger i butikken. På hvor mange måter kan du plukke opp en ball? grønn og gul ball? rød eller gul?

3 kuler forskjellige farger?

2 kuler i forskjellige farger? (vurder

alle mulige alternativer)

Oppdatering av kunnskap.

Repetisjon av det som er dekket (løsning av problemer ved bruk av brute-force-metoden).

"Telling og oppmerksomhet er grunnlaget for orden i hodet"

Hvor mange forskjellige tosifrede tall kan lages av sifrene 5 og 0?

(ingen repetisjon)? 1 tall (50)

Hvor mange forskjellige tosifrede tall kan lages av sifrene 3 og 5?

(repetisjon tillatt)? 4 tall (33, 55, 53, 35)

Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages fra nummer 3 og 5

(repetisjon tillatt)? 8 tall (333, 555, 355, 533, 335, 553, 353, 535)

Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages av tallene 3, 8, 7

(ingen repetisjon)? 6 tall (387, 378, 837, 873, 738, 783)

Bruk antallet tall som er oppnådd i hver oppgave, lag navnet på emnet i dagens leksjon og skriv det inn i leksjonskartet: "Møt __________________!"

1. nummer - "kombi"

2 tall - "vichi"

3 tall - "rom"

4 tall – "NATO"

5 tall – "tema"

6 tall – “ka”

7 tall - "aza"

8 tall – "ri"

9 tall - "nemo"

10 tall – «refreng»

Svar: "kombinatorikk"

I matematikk er det mange problemer der det er nødvendig å lage forskjellige sett fra eksisterende elementer, for å telle antallet av alle mulige kombinasjoner av elementer dannet i henhold til en viss regel. Når du løser slike problemer, må du gå gjennom ulike alternativer, omorganisere gitte elementer og kombinere dem. Slike problemer kalles kombinatoriske, og grenen av matematikken som tar for seg å løse disse problemene kalles kombinatorikk.

Historisk ekskursjon (studentmelding)

Folk har jobbet med kombinatoriske problemer siden antikken, da de for eksempel valgte den beste posisjonen for krigere under en jakt, eller kom opp med mønstre på klær eller servise. Senere dukket det opp spill som krevde evnen til å planlegge, beregne sine handlinger og tenke gjennom mulige kombinasjoner. Arkeologer har funnet enheter for slike spill i eldgamle begravelser, for eksempel i en pyramide egyptisk farao Tutankhamon (2. århundre f.Kr.). Og senere dukket backgammon, dam og sjakk opp.

I mange århundrer har kombinatorikk utviklet seg innenfor aritmetikk, algebra og geometri. Dermed gamle greske forskere stor oppmerksomhet ga oppmerksomhet til kombinatorikken til tall - kompilering og studier magiske firkanter, og geometrisk kombinatorikk - skjærende figurer.

Kombinatorikk dukket opp som en gren av matematikken først på 1600-tallet. Den franske statsborgeren Chevalier Des Marais elsket å finne opp ulike spill, spiller som jeg fikk veldig interessante resultater. For eksempel kom han en gang opp med dette spillet: han kaster 4 terninger, den som har seks mot én vinner. Men de sluttet raskt å leke med ham fordi han vant for ofte. En annen gang kom Chevalier med følgende spill: han kaster to terninger flere ganger og vinner hvis to seksere kastes minst én gang. Imidlertid sluttet han snart å spille selv, da han begynte å tape ofte. Dette utfallet av saken overrasket Chevalier de Marais sterkt, og han henvendte seg til to av de største matematikerne i Frankrike på den tiden - Blaise Pascal og Pierre Fermat - med spørsmålet om hvordan disse suksessene og tapene i spillet kan forklares, som samt hvordan du plasserer innsatser i slike og lignende spill.

For å løse dette problemet utviklet Blaise Pascal og Pierre Fermat begynnelsen på to grener av matematikken: kombinatorikk og sannsynlighetsteori. Deretter studerte mange store matematikere på den tiden disse vitenskapene: Jacob Bernoulli, Leonard Euler, etc.

Bruken av kombinatorikk er for tiden svært mangfoldig. En av dem er koding og dekoding av tekster (siffer dukket opp i middelalderen). I biologi brukes kombinatorikk for telling cellulære strukturer DNA og RNA, i fysikk - for å beskrive egenskapene til krystaller. Kombinatorikk er også mye brukt i kjemi.

Teoretisk materiale.

Kombinatorikk er en gren av matematikken viet til å løse problemer med å velge og arrangere gitte elementer i henhold til gitte regler (se leksjonskart).

Vanlig spørsmål V kombinatoriske problemer ah - dette er " På hvor mange måter...?" eller

« Hvor mange alternativer…?»

Kombinatoriske problemer kan løses på flere måter: ved hjelp av oppregningsmetoden, permutasjoner (vi er allerede kjent med dette), ved å bruke visse regler for kombinatorikk (vi vil bli kjent med dem i dag i leksjonen) og ved å konstruere den såkalte " variant tree» (vi skal snakke om det senere).

Så la oss begynne å bli kjent med reglene for kombinatorikk - dette er reglene for sum og produkt.

Sumregel:

hvis noe element A kan velges på m måter, og element B kan velges på n måter, så kan valget "enten A eller B" gjøres på (m + n) måter. For eksempel, hvis du blir tilbudt 5 epler og 4 pærer, kan du velge én frukt på 5 + 4 = 9 måter (se leksjonskart).

a) Det er 6 epler, 5 pærer og 4 plommer i en vase. Hvor mange alternativer er det for å velge én frukt?

(15 alternativer)

b) Butikken selger 3 skarlagenrøde, 2 hvite og 4 gule roser. På hvor mange måter kan du kjøpe én blomst? (9 måter)

Nok en gang gjør vi oppmerksom på det vi velger bare ett av de foreslåtte elementene.

Produktregel:

hvis noe element A kan velges på m måter, og element B kan velges på n måter, så kan valget "A og B" gjøres på (m n) måter. For eksempel, hvis du blir tilbudt 2 konvolutter og 3 postkort, kan du lage et par (konvolutt og postkort) på 3 · 2 = 6 måter (se leksjonskart).

Løs følgende problemer muntlig:

a) Hvor mange dansepar kan lages av 8 gutter og 6 jenter? (48 par)

b) Det er 4 førsteretter og 7 andreretter til salgs i spisesalen. Hvor mange forskjellige to-retters lunsjalternativer kan du bestille? (28 alternativer)

Vær oppmerksom på det vi velger et par elementer fra de foreslåtte settene.

Problemløsning

Elevene jobber med leksjonskartskjemaene i den aktuelle delen, tekstene til oppgavene ligger på egne ark for hver elev. Oppgavelisten kan endres ved å legge til eller fjerne noen spørsmål avhengig av klassenivået. Du kan dele oppgaver etter vanskelighetsgrad, og la noen stå igjen uavhengig avgjørelse. I noen problemer er det nyttig å understreke at de allerede er løst ved hjelp av brute force-metoden, og i dag er det en annen måte å løse dem på. Implementer en differensiert tilnærming på dette stadiet. Skriv inn elementer selvstendig arbeid etterfulgt av selvtest.

1. På hvor mange måter kan du velge en vokal og en konsonant i ordet "sjal"? (Det er 4 konsonanter i et ord, 2 vokaler, som betyr, i henhold til multiplikasjonsregelen, er alternativene for å velge et par 4 · 2 = 8.)

2. En ganske kjent musketer har 3 elegante hatter i garderoben,

4 fantastiske regnfrakker og 2 par utmerkede støvler. Hvor mange kostymealternativer kan han velge?

sette? (Vi velger ett element fra tre sett, det vil si at vi komponerer

"tre", som betyr at i henhold til multiplikasjonsregelen får vi 3 · 4 · 2 = 24 kostymealternativer.)

3. Det er 11 personer på fotballaget. Det er nødvendig å velge en kaptein og hans stedfortreder. På hvor mange måter kan dette gjøres? (Det er totalt 11 personer, noe som betyr at kapteinen kan velges på 11 måter, det er 10 spillere igjen som nestkapteinen kan velges fra. Så et par, kapteinen og hans stedfortreder, kan velges i 11 · 10 = 110 måter.)

4. Hvor mange forskjellige tosifrede tall kan lages ved å bruke tallene 1, 4, 7, hvis tallene gjentas? (Du skal få et tosifret tall - kun to posisjoner. På den første posisjonen kan du sette hvilket som helst av de foreslåtte tallene - 3 valg, på den andre posisjonen, med tanke på muligheten for å gjenta et tall, er det også 3 valg Dette betyr at vi utgjør et tallpar 3 · 3 = 9 måter, det vil si at du får 9 tall.

Registrering av løsningen:

3 ∙ 3 = 9 tall.

Denne løsningsposten brukes i alle lignende problemer når du arbeider med leksjonskartskjemaer.)

5. Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages av sifrene 1, 2, 3, 4, 5, forutsatt at ingen siffer gjentas? (Tresifret tall: første posisjon - 5 alternativer for tall, andre posisjon, tar hensyn til utelukkelse av repetisjoner av tall, - 4 alternativer, tredje posisjon - 3 alternativer. Vi får 5 4 3 = 60 tall.)

6. Hvor mange forskjellige tosifrede tall kan lages fra sifrene 0, 1, 2, 3 hvis sifrene er:

a) kan gjentas; b) kan ikke gjentas? (a) Et tosifret tall, som alle multi-

verdsatt, kan ikke starte fra 0, så du kan sette i første posisjon

bare 3 av de tilgjengelige 4 sifrene, 3 valg, til den andre posisjonen, tatt i betraktning

sekund, kan du sette hvilken som helst av tallene - 4 alternativer. Derfor viser det seg

3 · 4 = 12 tall; b) Den første posisjonen – 3 alternativer, den andre posisjonen – 3 alternativer, fordi

repetisjon er utelukket. Vi får 3 · 3 = 9 tall.)

7. Hvor mange forskjellige tresifrede tall mindre enn 400 kan lages fra sifrene 1, 3, 5, 7, 9 hvis hvert siffer bare kan brukes én gang? (Tresifret tall< 400, значит, на первую позицию можно поставить лишь 1 или 3 – 2 варианта выбора, на вторую, исключая повтор, – 4 варианта цифр из 5-ти, на третью позицию – 3 варианта. Получается 2 · 4 · 3 = 24 числа.)

8. Safekoden består av fem forskjellige tall. Hvor mange forskjellige alternativer for å lage et chiffer? (5 4 3 2 1 = 120 alternativer.)

9. På hvor mange måter kan 6 personer sitte ved et bord hvorpå

6 enheter? (6 5 4 3 2 1 = 720 måter.)

10. I femte klasse studeres 8 emner. Hvor mange forskjellige timeplanalternativer kan opprettes for mandag, hvis det skulle være 5 leksjoner denne dagen og alle timene er forskjellige? (8 7 6 5 4 = 6720 alternativer.)

11. Hvor mange mulige syvsifrede telefonnumre kan opprettes hvis du ekskluderer numre som begynner med 0 og 9? (Tallene som brukes er 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - totalt 10 sifre, unntatt 0 og 9 i begynnelsen av tallet, tatt i betraktning muligheten for repetisjon, vi får 8 10 10 10 · 10 · 10 · 10 = 8 tall.)

12. Hvor mange forskjellige tall mindre enn en million kan skrives med sifre?

8 og 9? (Ensifrede tall - 2, tosifrede tall - 2 2 = 4, tresifrede tall -

2 2 2 = 8, firesifrede tall – 16, femsifrede tall – 32, sekssifrede tall

tall – 64. Og totalt – 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126 tall.)

"Fordypning"

Finn mønsteret for å konstruere sekvensen 111, 213, 141, 516, 171, 819, 202, 122... (I denne sekvensen må du ordne kommaene annerledes, og vi får 11, 12, 13, 14, 15...)

Sette lekser (se vedlegg 2), repetisjon teoretisk materiale(regler for addisjon og multiplikasjon, betingelser for valg av elementer).

Selvstendig arbeid (etterfulgt av gjensidig testing i par)

· Utvelgelsen av ett element fra de foreslåtte settene utføres i henhold til regelen _______________. Valget av et par eller flere elementer fra sett skjer i henhold til regelen _______________.

· Det er 5 røde, 3 hvite og 3 gule tulipaner i en vase. Én blomst fra en vase kan velges på _______ måter, tre blomster i forskjellige farger kan velges på _______ måter.

· Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages ved å bruke tallene 3 og 5, hvis de kan gjentas? ____________________________________________________________

· På torsdag i første klasse skal det være 4 leksjoner: skriving, lesing, matematikk, kroppsøving. Hvor mange forskjellige tidsplaner for denne dagen kan du tilby?

_________________________________________________________________________________

Svar: addisjon, multiplikasjon, 11, 45, 2 2 2 =8, 4 3 2 1 = 24.

Fagfellevurdering, karaktersetting, diskusjon av resultater.

Oppsummering av leksjonen

På dette stadiet av leksjonen, i tillegg til den tradisjonelle samtalen om hvilke oppgaver som ble satt og hvor vellykket de ble utført, bør du gå tilbake til epigrafen til leksjonen (se leksjonskartskjema) og tenke på ordene.

I tillegg blir studentene bedt om å svare på 3 raske spørsmål:

· I dagens leksjon var jeg... (lett, vanligvis, vanskelig)

· Nytt materiale Jeg... (Jeg har lært og kan søke, jeg har lært og synes det er vanskelig å søke, jeg har ikke lært)

· Min selvtillit for leksjonen...

Svarene på spørsmålene ovenfor trenger ikke signeres, siden deres hovedfunksjon er å hjelpe læreren med å analysere leksjonen og dens resultater.

Etterord

Den neste leksjonen vil innebære arbeid med materialet som dekkes på scenen muntlig arbeid, introduserer konseptet "tre" mulige alternativer» som en annen måte å løse kombinatoriske problemer, systematisering av studerte metoder for å løse problemer, workshop om problemløsning på ulike måter, problemløsning høyere nivå, kunnskapskontroll.

Kombinatorikk er en gren av matematikk viet til å løse problemer med å velge og arrangere elementer i et bestemt sett i samsvar med gitte regler. Kombinatorikk studerer kombinasjoner og permutasjoner av objekter, arrangementet av elementer som har spesifiserte egenskaper. Et vanlig spørsmål i kombinatoriske problemer er: på hvor mange måter….

Kombinatoriske problemer inkluderer også problemer med å konstruere magiske firkanter, dekodings- og kodingsproblemer.

Fødselen av kombinatorikk som en gren av matematikken er assosiert med verkene til de store franske matematikerne fra 1600-tallet Blaise Pascal (1623–1662) og Pierre Fermat (1601–1665) om teorien gambling. Disse verkene inneholdt prinsipper for å bestemme antall kombinasjoner av elementer i et begrenset sett. Siden 50-tallet av det 20. århundre har interessen for kombinatorikk blitt gjenopplivet på grunn av den raske utviklingen av kybernetikk.

De grunnleggende reglene for kombinatorikk er sumregel Og regel fungerer.

• Sum Regel

Hvis noe element A kan velges n måter, og element B kan velges m måter, så kan valget "enten A eller B" tas n+ m måter.

For eksempel, hvis det er 5 epler og 6 pærer på en tallerken, kan en frukt velges på 5 + 6 = 11 måter.

• Produktregel

Hvis element A kan velges n måter, og element B kan velges m måter, så kan et par A og B velges n m måter.

For eksempel, hvis det er 2 forskjellige konvolutter og 3 forskjellige frimerker, kan du velge konvolutt og frimerke på 6 måter (2 3 = 6).

Produktregelen er også sann når man vurderer elementer fra flere sett.

Hvis det for eksempel er 2 forskjellige konvolutter, 3 forskjellige frimerker og 4 forskjellige postkort, kan du velge konvolutt, frimerke og postkort på 24 måter (2 3 4 = 24).

Produkt av alle naturlige tall fra 1 til og med n kalles n - faktoriell og betegnes med symbolet n!

n! = 1 2 3 4 … n.

For eksempel 5! = 1 2 3 4 5 = 120.

For eksempel, hvis det er 3 baller - røde, blå og grønne, kan du sette dem på rad på 6 måter (3 2 1 = 3! = 6).

Noen ganger løses et kombinatorisk problem ved å konstruere tre mulige alternativer.

La oss for eksempel løse det forrige problemet om 3 baller ved å bygge et tre.

Workshop om problemløsning i kombinatorikk.

UTFORDRINGER og løsninger

1. Det er 6 epler, 5 pærer og 4 plommer i en vase. Hvor mange alternativer er det for å velge én frukt?

Svar: 15 alternativer.

2. Hvor mange alternativer er det for å kjøpe en rose hvis de selger 3 skarlagenrøde, 2 skarlagenrøde og 4 gule roser?

Svar: 9 alternativer.

3. Fem veier fører fra by A til by B, og tre veier fører fra by B til by C. Hvor mange veier gjennom B går fra A til C?

Svar: 15 måter.

4. På hvor mange måter kan du lage et par av én vokal og én konsonant av ordet «skjerf»?

vokaler: a, o – 2 stk.
konsonanter: p, l, t, k – 4 stk.

Svar: 8 måter.

5. Hvor mange dansepar kan lages av 8 gutter og 6 jenter?

Svar: 48 par.

6. Det er 4 førsteretter og 7 andreretter i spisesalen. Hvor mange forskjellige to-retters lunsjalternativer kan du bestille?

Svar: 28 alternativer.

7. Hvor mange forskjellige tosifrede tall kan lages ved å bruke tallene 1, 4 og 7 hvis tallene kan gjentas?

1 siffer – 3 måter
2 siffer – 3 måter
3 siffer – 3 måter

Svar: 9 forskjellige tosifrede tall.

8. Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages ved å bruke tallene 3 og 5, hvis tallene kan gjentas?

1 siffer – 2 måter
2. siffer – 2 måter
3. siffer – 2 måter

Svar: 8 forskjellige tall.

9. Hvor mange forskjellige tosifrede tall kan lages av sifrene 0, 1, 2, 3, hvis sifrene kan gjentas?

1 siffer – 3 måter
2 siffer – 4 måter

Svar: 12 forskjellige tall.

10. Hvor mange tresifrede tall er det hvor alle sifre er partall?

Partall – 0, 2, 4, 6, 8.

1 siffer – 4 måter
2 siffer – 5 måter
3 siffer – 5 måter

Svar: Det er 100 tall.

11. Hvor mange partalls tresifrede tall er det?

1 siffer – 9 måter (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2. siffer – 10 måter (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3. siffer – 5 måter (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 5 = 450

Svar: Det er 450 tall.

12. Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages av tre forskjellige sifre 4, 5, 6?

1 siffer – 3 måter
2. siffer – 2 måter
3. siffer – 1. vei

Svar: 6 forskjellige tall.

13. På hvor mange måter kan toppunktene til en trekant angis ved hjelp av bokstavene A, B, C, D?

1 topp – 4 måter
2. topp – 3 måter
3. topp – 2 måter

Svar: 24 måter.

14. Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages av sifrene 1, 2, 3, 4, 5, forutsatt at ikke et enkelt siffer gjentas?

1 siffer – 5 måter
2 siffer – 4 måter
3 siffer – 3 måter

Svar: 60 forskjellige tall.

15. Hvor mange forskjellige tresifrede tall mindre enn 400 kan lages fra sifrene 1, 3, 5, 7, 9, hvis noen av disse sifrene bare kan brukes én gang?

1 siffer – 2 måter
2 siffer – 4 måter
3 siffer – 3 måter

Svar: 24 forskjellige tall.

16. På hvor mange måter kan et flagg lages, bestående av tre horisontale striper i forskjellige farger, hvis det er materiale med seks farger?

1 kjørefelt – 6 veier
2 kjørefelt – 5 veier
3 kjørefelt – 4 veier

Svar: 120 måter.

17. Det velges ut 8 personer fra klassen som har beste resultater på flukt. På hvor mange måter kan de gjøres til et team av tre personer delta på stafetten?

1 person – 8 veier
2 personer – 7 veier
3 personer – 6 veier

Svar: 336 måter.

18. Torsdag i første klasse skal det være fire timer: skriving, lesing, matematikk og kroppsøving. Hvor mange forskjellige tidsplanalternativer kan du lage for denne dagen?

1 leksjon – 4 måter
Leksjon 2 – 3 måter
Leksjon 3 – 2 måter
Leksjon 4 – metode 1

4 3 2 1 = 24

Svar: 24 alternativer.

19. I femte klasse studeres 8 emner. Hvor mange forskjellige timeplanalternativer kan opprettes for mandag, hvis det skulle være 5 leksjoner denne dagen og alle timene er forskjellige?

1 leksjon – 8 alternativer
Leksjon 2 – 7 alternativer
Leksjon 3 – 6 alternativer
Leksjon 4 – 5 alternativer
Leksjon 5 – 4 alternativer

8 7 6 5 4 = 6720

Svar: 6720 alternativer.

20. Koden til safen består av fem forskjellige tall. Hvor mange forskjellige alternativer for å lage et chiffer?

1 siffer – 5 måter
2 siffer – 4 måter
3 siffer – 3 måter
4 siffer – 2 måter
5 siffer – 1 vei

5 4 3 2 1 = 120

Svar: 120 alternativer.

21. På hvor mange måter kan 6 personer sitte ved et bord med 6 bestikk?

6 5 4 3 2 1 = 720

Svar: 720 måter.

22. Hvor mange syvsifrede telefonnumre kan opprettes hvis du ekskluderer tall som begynner med null og 9?

1 siffer – 8 måter
2 siffer – 10 måter
3 siffer – 10 måter
4 siffer – 10 måter
5 siffer – 10 måter
6 siffer – 10 måter
7 siffer – 10 måter

8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000

Svar: 8 000 000 opsjoner.

23. Telefonsentralen betjener abonnenter hvis telefonnummer består av 7 sifre og begynner med 394. Hvor mange abonnenter er denne stasjonen laget for?

Telefonnummer 394

10 10 10 10 = 10.000

Svar: 10 000 abonnenter.

24. Det er 6 par hansker i forskjellige størrelser. På hvor mange måter kan én hanske velges blant dem? venstre hånd og en hanske til høyre hånd så disse hanskene kommer i forskjellige størrelser?

Venstre hansker - 6 måter
Høyre hansker - 5 veier (6. hanske har samme størrelse som den venstre)

Svar: 30 måter.

25. Tallene 1, 2, 3, 4, 5 utgjør femsifrede tall der alle sifrene er forskjellige. Hvor mange av disse partall?

5. siffer – 2 måter (to like siffer)
4 siffer – 4 måter
3 siffer – 3 måter
2. siffer – 2 måter
1 siffer – 1 vei

2 4 3 2 1 = 48

Svar: 48 partall.

26. Hvor mange firesifrede tall er det, bygd opp av oddetall og delelig med 5?

Oddetall – 1, 3, 5, 7, 9.
Av disse er de delt inn i 5 – 5.

4 siffer – 1 vei (siffer 5)
3 siffer – 4 måter
2 siffer – 3 måter
1 siffer – 2 måter

1 4 3 2 = 24

Svar: 24.

27. Hvor mange femsifrede tall er det der det tredje sifferet er 7 og det siste sifferet er partall?

1 siffer – 9 måter (alle unntatt 0)
2 siffer – 10 måter
3 siffer – 1 vei (siffer 7)
4 siffer – 10 måter
5 siffer – 5 måter (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 1 10 5 = 4500

Svar: 4500 tall.

28. Hvor mange sekssifrede tall er det der det andre sifferet er 2, det fjerde er 4, det sjette er 6, og alle resten er oddetall?

1 siffer – 5 alternativer (fra 1, 3, 5, 7, 9)
2 siffer – 1 alternativ (siffer 2)
3. siffer – 5 alternativer
4 siffer – 1 alternativ (siffer 4)
5 siffer – 5 alternativer
6 siffer – 1 alternativ (siffer 6)

5 1 5 1 5 1 = 125

Svar: 125 tall.

29. Hvor mange forskjellige tall mindre enn en million kan skrives med tallene 8 og 9?

Enkeltsiffer – 2
Tosifret – 2 2 = 4
Tresifrede tall – 2 2 2 = 8
Firesifrede tall – 2 2 2 2 =16
Femsifret – 2 2 2 2 2 = 32
Sekssifrede tall – 2 2 2 2 2 2 = 64

Totalt: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Svar: 126 tall.

30. Det er 11 personer i fotballaget. Du må velge en kaptein og hans stedfortreder. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Kaptein - 11 måter
Stedfortreder - 10 måter

Svar: 110 måter.

31.Det er 30 personer i klassen. På hvor mange måter kan du velge rektor og ansvarlig for reisebilletter?

Headman - 30 måter
Svare. for billetter – 29 veier

Svar: 870 måter.

32. 12 gutter, 10 jenter og 2 lærere deltar på vandringen. Hvor mange alternativer for grupper på tre personer på vakt (1 gutt, 1 jente, 1 lærer) kan dannes?

12 10 2 = 240

Svar: 240 måter.

33. Hvor mange kombinasjoner av fire bokstaver i det russiske alfabetet (det er bare 33 bokstaver i alfabetet) kan lages, forutsatt at 2 tilstøtende bokstaver er forskjellige?

Når du løser mange praktiske problemer, er det nødvendig å bruke kombinasjoner av elementer, velge fra et gitt sett de som har visse egenskaper, og plassere dem i en bestemt rekkefølge. Slike oppgaver kalles kombinatorisk. Matematikkens gren som er viet til å løse problemer med å velge og arrangere elementer i samsvar med gitte betingelser kalles kombinatorikk. Begrepet "kombinatorikk" kommer fra latinsk ord "kombinasjon", som oversatt til russisk betyr "å kombinere", "å koble til".

Utvalgte grupper av elementer kalles forbindelser. Hvis alle elementene i forbindelsen er forskjellige, får vi forbindelser uten repetisjoner, som vi vil vurdere nedenfor.

De fleste kombinatoriske problemer løses ved å bruke to grunnleggende regler - sumregler og produktregler.

Oppgave 1.

Everything for Tea-butikken har 6 forskjellige kopper og 4 forskjellige skåler. Hvor mange kopper og tallerkener kan du kjøpe?

Løsning.

Vi kan velge en kopp på 6 måter, og en tallerken på 4 måter. Siden vi må kjøpe et par kopper og underfat, kan dette gjøres på 6 · 4 = 24 måter (i henhold til produktregelen).

Svar: 24.

For å lykkes med å løse kombinatoriske problemer, må du også velge riktig formel å bruke for å finne antall nødvendige forbindelser. Følgende diagram vil hjelpe med dette.

La oss vurdere å løse flere problemer på ulike typer forbindelser uten repetisjon.

Oppgave 2.

Finn antall tresifrede tall som kan lages fra tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, hvis tallene ikke kan gjentas i tallet.

Eksempel 3.

For å velge en formel finner vi ut at for tallene vi skal komponere, tas rekkefølgen i betraktning og ikke alle elementene velges samtidig. Dette betyr at denne forbindelsen er et arrangement av 7 elementer på 3 hver La oss bruke formelen for antall plasseringer: A 7 3 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 tall.

Svar: 210.

Oppgave 3.

Hvor mange syvsifrede telefonnumre er det der alle sifrene er forskjellige og nummeret ikke kan begynne med en null?

Eksempel 3.

Ved første øyekast er denne oppgaven den samme som den forrige, men vanskeligheten er at vi ikke må ta hensyn til de forbindelsene som starter fra bunnen av. Dette betyr at du må gjøre opp alle syvsifrede telefonnumre fra de eksisterende 10 sifrene, og deretter trekke fra antallet tall som starter med null fra det resulterende tallet. Formelen vil se slik ut:

A 10 7 – A 9 6 = 10 9 8 7 6 5 4 – 9 8 7 6 5 4 = 544.320.

Svar: 544 320.

Oppgave 4.

På hvor mange måter kan 12 bøker ordnes på en hylle, hvorav 5 er diktsamlinger, slik at samlingene står ved siden av hverandre?

Eksempel 3.

Først, la oss ta 5 samlinger betinget som én bok, fordi de skal stå ved siden av hverandre. Siden rekkefølge er essensielt i en kombinasjon, og alle elementer brukes, betyr dette at dette er permutasjoner av 8 elementer (7 bøker + konvensjonell 1 bok). Antallet deres er R 8. Deretter vil vi omorganisere bare diktsamlinger mellom oss. Dette kan gjøres på 5 måter. Siden vi skal ordne både samlinger og andre bøker, vil vi bruke produktregelen. Derfor er P 8 · P 5 = 8! · 5!. Antall måter vil være stort, så svaret kan stå i form av et produkt av faktorialer.

svar: 8! · 5!

Oppgave 5.

Det er 16 gutter og 12 jenter i klassen. For å rengjøre området i nærheten av skolen trenger du 4 gutter og 3 jenter. På hvor mange måter kan de velges blant alle elevene i klassen?

Eksempel 3.

Først velger vi separat 4 gutter av 16 og 3 jenter av 12. Siden det ikke tas hensyn til plasseringsrekkefølgen, er de tilsvarende sammensetningene kombinasjoner uten repetisjoner. Gitt behovet for å velge både gutter og jenter samtidig, bruker vi produktregelen. Som et resultat vil antall måter beregnes som følger:

C 16 4 C 12 3 = (16!/(4! 12!)) (12!/(3! 9!)) = ((13 14 15 16) / (2 3 4)) ·((10 · 11) · 12) / (2 · 3)) = 400 400.

Svar: 400 400.

Slik, vellykket løsning et kombinatorisk problem avhenger av riktig analyse av dets betingelser, bestemmelse av typen forbindelser som vil bli sammensatt, og valget av en passende formel for å beregne antallet.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser kombinatoriske problemer?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.