Vanlige konvekse polyedre. Polyeder

Polyedre inntar ikke bare en fremtredende plass i geometri, men forekommer også i Hverdagen hver person. For ikke å nevne kunstig skapte husholdningsartikler i form av forskjellige polygoner, starter med fyrstikkeske og slutter med arkitektoniske elementer, i naturen er det også krystaller i form av en kube (salt), et prisme (krystall), en pyramide (scheelitt), et oktaeder (diamant), etc.

Konseptet med et polyeder, typer polyeder i geometri

Geometri som vitenskap inneholder en seksjon av stereometri som studerer egenskapene og egenskapene til tredimensjonale legemer, hvis sider er i tredimensjonalt rom dannet av begrensede plan (ansikter), kalles "polyeder". Typer polyedre inkluderer mer enn et dusin representanter, forskjellig i antall og form på ansikter.

Imidlertid har alle polyedre felles egenskaper:

1. Alle av dem har 3 integrerte komponenter: en flate (overflaten til en polygon), en toppunkt (hjørnene dannet ved krysset mellom flatene), en kant (siden av figuren eller et segment dannet i krysset mellom to flater). ).
2. Hver polygonkant forbinder to, og bare to, flater som er ved siden av hverandre.
3. Konveksitet betyr at kroppen er fullstendig plassert kun på den ene siden av planet som en av ansiktene ligger på. Regelen gjelder alle overflater av polyederet. Slike geometriske figurer i stereometri kalles konvekse polyedre. Unntaket er stjerneformede polyedre, som er derivater av vanlige polyedriske geometriske faste stoffer.

Polyedre kan deles inn i:

1. Typer av konvekse polyedre, som består av følgende klasser: vanlige eller klassiske (prisme, pyramide, parallellepiped), vanlige (også kalt platoniske faste stoffer), semi-regulære (andre navn - Arkimedeiske faste stoffer).
2. Ikke-konvekse polyedre (stellert).

Prisme og dets egenskaper

Stereometri som en gren av geometri studerer egenskapene til tredimensjonale figurer, typer polyedre (et prisme er en av dem). De kaller det et prisme geometrisk kropp, som nødvendigvis har to helt identiske ansikter (de kalles også baser) liggende i parallelle plan, og det n-te antall sideflater i form av parallellogrammer. På sin side har prismet også flere varianter, inkludert slike typer polyedre som:

1. Et parallellepiped dannes hvis basen er et parallellogram - en polygon med 2 par like motsatte vinkler og 2 par kongruente motsatte sider.
2. Et rett prisme har kanter vinkelrett på basen.
3. preget av tilstedeværelsen av ikke-rette vinkler (annet enn 90) mellom flatene og basen.
4. Et vanlig prisme er preget av baser i form med like sideflater.

Hovedegenskapene til et prisme:

• Kongruente baser.
• Alle kanter av prismet er like og parallelle med hverandre.
• Alle sideflater ha form som et parallellogram.

Pyramide

En pyramide er en geometrisk kropp, som består av en base og det n-te antall trekantede flater, koblet sammen på ett punkt - toppunktet. Det skal bemerkes at hvis sideflatene til pyramiden nødvendigvis er representert av trekanter, kan det ved basen være enten en trekantet polygon, eller en firkant, og en femkant, og så videre i det uendelige. I dette tilfellet vil navnet på pyramiden tilsvare polygonen ved basen. For eksempel, hvis det er en trekant ved bunnen av pyramiden - dette er en firkant - firkantet, etc.

Pyramider er kjeglelignende polyedre. Typene polyedre i denne gruppen, i tillegg til de som er oppført ovenfor, inkluderer også følgende representanter:

1. En vanlig pyramide har en vanlig polygon ved bunnen, og høyden er projisert til midten av en sirkel som er innskrevet i bunnen eller omskrevet rundt den.
2. En rektangulær pyramide dannes når en av sidekantene skjærer bunnen i rett vinkel. I dette tilfellet er det også rettferdig å kalle denne kanten høyden på pyramiden.

Pyramideegenskaper:

• Hvis alle sidekanter av pyramiden er kongruente ( samme høyde), så krysser de alle basen i en vinkel, og rundt basen kan du tegne en sirkel med et senter som faller sammen med projeksjonen av toppen av pyramiden.
• Hvis en vanlig polygon ligger ved bunnen av pyramiden, er alle sidekanter kongruente, og flatene er likebente trekanter.

Vanlig polyeder: typer og egenskaper til polyeder

I stereometri Spesielt sted okkuperer geometriske kropper med absolutt like flater, hvor det samme antall kanter er koblet sammen. Disse faste stoffene kalles platoniske faste stoffer, eller vanlige polyeder. Typer polyedre med slike egenskaper har bare fem figurer:

1. Tetraeder.
2. Heksaeder.
3. Oktaeder.
4. Dodekaeder.
5. Icosahedron.

Vanlige polyedre skylder navnet sitt til den antikke greske filosofen Platon, som beskrev disse geometriske kroppene i sine skrifter og koblet dem til de naturlige elementene: jord, vann, ild, luft. Den femte figuren ble tildelt likheten med universets struktur. Etter hans mening ligner atomene til naturlige elementer i form typene vanlige polyedre. På grunn av deres mest spennende egenskap - symmetri, representerte disse geometriske kroppene stor interesse ikke bare for gamle matematikere og filosofer, men også for arkitekter, malere og skulptører til alle tider. Tilstedeværelsen av bare 5 typer polyedre med absolutt symmetri ble ansett som en grunnleggende oppdagelse, de ble til og med tildelt en forbindelse med det guddommelige prinsippet.

Heksaeder og dets egenskaper

I form av en sekskant antok Platons etterfølgere en likhet med strukturen til jordens atomer. Selvfølgelig er denne hypotesen for øyeblikket fullstendig tilbakevist, noe som imidlertid ikke hindrer figurer i å tiltrekke seg sinn i moderne tid. kjente figurer med sin estetikk.

I geometri regnes heksaederet, også kjent som en kube, som et spesielt tilfelle av et parallellepiped, som igjen er et slags prisme. Følgelig er egenskapene til kuben assosiert med den eneste forskjellen er at alle flatene og hjørnene på kuben er like med hverandre. Følgende egenskaper følger av dette:

1. Alle kanter på en kube er kongruente og ligger i parallelle plan i forhold til hverandre.
2. Alle flater er kongruente firkanter (det er 6 totalt i en terning), hvorav alle kan tas som en base.
3. Alle interhedrale vinkler er 90.
4. Fra hvert toppunkt kommer et likt antall kanter, nemlig 3.
5. Terningen har 9 som alle skjærer i skjæringspunktet for diagonalene til sekskantet, kalt symmetrisenteret.

Tetraeder

Et tetraeder er et tetraeder med like flater i form av trekanter, hvor hvert av hjørnene er et koblingspunkt mellom tre flater.

Egenskaper til et vanlig tetraeder:

1. Alle flater av et tetraeder - dette følger at alle ansikter til et tetraeder er kongruente.
2. Siden basen er representert av en vanlig geometrisk figur, det vil si at den har like sider, så konvergerer flatene til tetraederet i samme vinkel, det vil si at alle vinkler er like.
3. Summen av de flate vinklene ved hvert av toppunktene er 180, siden alle vinkler er like, så er enhver vinkel på et vanlig tetraeder 60.
4. Hvert av toppunktene projiseres til skjæringspunktet mellom høydene til den motsatte (ortosenter) flaten.

Octahedron og dets egenskaper

Når man beskriver typene vanlige polyedre, kan man ikke unngå å legge merke til et slikt objekt som et oktaeder, som visuelt kan representeres som to firkantede vanlige pyramider limt sammen ved basene.

Oktaederegenskaper:

1. Selve navnet på en geometrisk kropp antyder antallet ansikter. Oktaederet består av 8 kongruente likesidede trekanter, i hvert av toppunktene hvor et likt antall flater konvergerer, nemlig 4.
2. Siden alle flatene til et oktaeder er like, er dets grensesnittvinkler, som hver er lik 60, og summen av planvinklene til noen av toppunktene er dermed 240.

Dodekaeder

Hvis vi forestiller oss at alle ansiktene til en geometrisk kropp er en vanlig femkant, får vi et dodekaeder - en figur på 12 polygoner.

Dodekaeder egenskaper:

1. Tre ansikter skjærer hverandre ved hvert toppunkt.
2. Alle kanter er like og har samme lengde kanter, samt likt areal.
3. Dodekaederet har 15 akser og symmetriplan, og hvilken som helst av dem passerer gjennom toppen av ansiktet og midten av den motsatte kanten.

icosahedron

Ikke mindre interessant enn dodekaederet, icosahedron er en tredimensjonal geometrisk kropp med 20 like flater. Blant egenskapene til en vanlig tjue-hedron kan følgende bemerkes:

1. Alle flater av icosahedron er likebente trekanter.
2. Fem flater konvergerer ved hvert toppunkt av polyederet, og summen tilstøtende hjørner toppunktet er 300.
3. Ikosaederet, som dodekaederet, har 15 akser og symmetriplan som passerer gjennom midtpunktene til motsatte flater.

Halvregulære polygoner

I tillegg til de platoniske faste stoffene inkluderer gruppen av konvekse polyedre også de arkimedeiske faste stoffene, som er avkortede vanlige polyedre. Typene polyedre i denne gruppen har følgende egenskaper:

1. Geometriske legemer har parvis like flater av flere typer, for eksempel har et avkortet tetraeder 8 flater, akkurat som et vanlig tetraeder, men i tilfellet med et arkimedesk legeme, vil 4 flater være trekantede og 4 vil være sekskantede.
2. Alle vinklene til ett toppunkt er kongruente.

Stjerne polyeder

Representanter for ikke-volumetriske typer geometriske kropper er stjerneformede polyedre, hvis ansikter krysser hverandre. De kan dannes ved å slå sammen to vanlige tredimensjonale kropper eller ved å fortsette ansiktene deres.

Således er slike stjerneformede polyedre kjent som: stjerneformede former av oktaeder, dodekaeder, icosahedron, cuboctahedron, icosidodecahedron.

Konvekse polyedre kalles regulære hvis alle ansikter er like. vanlige polygoner, og samme antall flater konvergerer ved hvert toppunkt. Slike polyedre kalles også platoniske faste stoffer.

Det er bare fem vanlige polyedre:

Bilde	Vanlig polyeder type	Antall sider på et ansikt	Antall kanter ved siden av et toppunkt	Totalt antall hjørner	totalt antall kanter	Totalt antall ansikter
Tetraeder
Heksaeder eller kube
Dodekaeder
icosahedron

Navnet på hvert polyeder kommer fra gresk navn antall ansikter og ordet "kant".

Tetraeder

Tetraeder (gresk fefsbedspn - tetraeder) er et polyeder med fire trekantede flater, ved hvert av hjørnene hvorav 3 flater konvergerer. Et tetraeder har 4 flater, 4 topper og 6 kanter.

Egenskaper til et tetraeder

Parallelle plan som passerer gjennom par med kryssende kanter av tetraederet bestemmer parallellepipedet omskrevet nær tetraederet.

Segmentet som forbinder toppunktet til tetraederet med skjæringspunktet mellom medianene til det motsatte ansiktet kalles dens median, falt fra dette toppunktet.

Segmentet som forbinder midtpunktene til de kryssende kantene til et tetraeder kalles dens bimedian, som forbinder disse kantene.

Linjesegmentet som forbinder et toppunkt til et punkt på motsatt side og vinkelrett på denne flaten kalles dets høyde fra det gitte toppunktet.

Teorem. Alle medianer og bimedianer av et tetraeder skjærer hverandre på ett punkt. Dette punktet deler medianene i forholdet 3:1, regnet fra toppen. Dette punktet halverer bimedianene.

Tildele:

• Et isoedrisk tetraeder, der alle flater er trekanter lik hverandre;
• · et ortosentrisk tetraeder, der alle høyder falt fra hjørner til motsatte flater krysser hverandre på ett punkt;
• et rektangulært tetraeder, der alle kanter ved siden av en av toppunktene er vinkelrett på hverandre;
• vanlig tetraeder, der alle flater er likesidede trekanter;
• rammetetraeder - et tetraeder som oppfyller noen av følgende betingelser:
• · Det er en kule som berører alle kantene.
• · Summene av lengdene av kryssende kanter er like.
• · Summen av dihedriske vinkler ved motsatte kanter er like.
• Sirkler innskrevet i flater er tangent i par.
• · Alle firkanter som følge av utviklingen av et tetraeder er avgrenset.
• · Perpendicularer hevet til ansiktene fra sentrene til sirklene som er innskrevet i dem, krysser hverandre på ett punkt.
• et tilsvarende tetraeder, alle bihøyder er like;
• · et insentrisk tetraeder, der segmentene som forbinder hjørnene til tetraederet med sentrene til sirkler innskrevet i motsatte flater, krysser hverandre i ett punkt.

En kube eller et vanlig sekskant er et vanlig polyeder, hvor hver side er en firkant. spesielt tilfelle parallellepipedum og prisme.

Kubeegenskaper

• · Fire seksjoner av kuben er vanlige sekskanter - disse seksjonene går gjennom midten av kuben vinkelrett på dens fire hoveddiagonaler.
• Et tetraeder kan skrives inn i en kube på to måter. I begge tilfeller vil de fire toppunktene til tetraederet være på linje med de fire toppunktene til kuben, og alle seks kantene på tetraederet vil tilhøre kubens flater. I det første tilfellet tilhører alle toppunktene til tetraederet flatene til den trihedrale vinkelen, hvis toppunkt faller sammen med en av toppunktene til kuben. I det andre tilfellet hører parvise kryssende kanter av tetraederet til parvis motsatte flater av kuben. Et slikt tetraeder er riktig.
• · Et oktaeder kan skrives inn i en terning, dessuten vil alle seks toppunktene til oktaederet være på linje med sentrene til kubens seks flater.
• · En terning kan skrives inn i et oktaeder, dessuten vil alle de åtte hjørnene av kuben være plassert i midten av de åtte flatene til oktaederet.
• · Et icosahedron kan skrives inn i en kube, mens seks innbyrdes parallelle kanter av icosahedron vil være plassert henholdsvis på seks flater av kuben, de resterende 24 kantene er inne i kuben. Alle de tolv hjørnene av ikosaederet vil ligge på de seks sidene av kuben.

Diagonalen til en terning er et segment som forbinder to hjørner som er symmetriske om midten av kuben. Diagonalen til en terning finnes av formelen

polyeder ikosaeder oktaeder dodekaeder

der d er diagonalen og a er kanten på kuben.

Oktaeder

Oktaeder (gresk pkfedspn, fra gresk pkfyu, "åtte" og gresk Edsb - "base") er en av de fem konvekse regulære polyedere, de såkalte platoniske faste stoffene.

Oktaederet har 8 trekantede flater, 12 kanter, 6 toppunkter, 4 kanter konvergerer ved hvert toppunkt.

Hvis kantlengden til et oktaeder er a, så arealet full overflate(S) og volumet av oktaederet (V) beregnes med formlene:

Radien til en kule omskrevet rundt et oktaeder er:

radiusen til en kule innskrevet i et oktaeder kan beregnes med formelen:

Et vanlig oktaeder har Oh-symmetri, som er det samme som en kube.

Oktaederet har en enkelt stjerneform. Oktaederet ble oppdaget av Leonardo da Vinci, deretter, nesten 100 år senere, gjenoppdaget av Johannes Kepler, og kalt av ham Stella octangula - en åttekantet stjerne. Derfor har denne formen det andre navnet "Keplers stella octangula".

Faktisk er det en forbindelse av to tetraedre

Dodekaeder

Dodecahedron (fra gresk dudekb - tolv og edspn - ansikt), dodecahedron - et vanlig polyeder, sammensatt av tolv vanlige femkanter. Hvert toppunkt av dodekaederet er et toppunkt av tre vanlige femkanter.

Dermed har dodekaederet 12 flater (femkantet), 30 kanter og 20 hjørner (3 kanter konvergerer i hver). Summen av planvinklene ved hver av de 20 toppunktene er 324°.

Dodekaederet har 3 stjernebilder: liten stjernedodekaeder, stor dodekaeder, stor stjernedodekaeder (stjerneformet stor dodekaeder, endelig form). De to første av dem ble oppdaget av Kepler (1619), den tredje av Poinsot (1809). I motsetning til oktaederet, er ingen av de stjerneformede formene til dodekaederet en sammensetning av de platonske faste stoffene, men danner et nytt polyeder.

Alle 3 stjernebildene til dodekaederet, sammen med det store ikosaederet, danner en familie av Kepler-Poinsot-faststoffer, det vil si vanlige ikke-konvekse (stellerte) polyedre.

De store dodekaederflatene er femkanter, som konvergerer fem ved hvert av hjørnene. De små og store stjernedodekaedrene vender mot - fem spisse stjerner(pentagrammer), som i det første tilfellet konvergerer med 5, og i det andre med 3. Toppunktene til det store stjernedodekaederet faller sammen med toppunktene til det omskrevne dodekaederet. Hver toppunkt forbinder tre ansikter.

Grunnleggende formler:

Hvis vi tar a som lengden på kanten, er overflatearealet til dodekaederet:

Dodekaeder volum:

Radius av den omskrevne sfæren:

Radius av den innskrevne sfæren:

Elementer av symmetri av dodekaederet:

· Dodekaederet har et symmetrisenter og 15 symmetriakser.

Hver av aksene går gjennom midtpunktene til motsatte parallelle ribber.

Dodekaederet har 15 symmetriplan. Ethvert av symmetriplanene passerer i hver side gjennom toppunktet og midten av den motsatte kanten.

icosahedron

Icosahedron (fra gresk. eykput - tjue; -edspn - ansikt, ansikt, base) - et vanlig konveks polyeder, tjuesidig, en av de platonske faste stoffene. Hvert av de 20 ansiktene er likesidet trekant. Antall kanter er 30, antall toppunkter er 12.

Arealet S, volumet V av et ikosaeder med kantlengde a, samt radiene til de innskrevne og omskrevne kulene beregnes ved hjelp av formlene:

innskrevet kuleradius:

radius av den omskrevne sfæren:

Eiendommer

• Et icosahedron kan skrives inn i en terning, mens seks innbyrdes vinkelrette kanter av icosahedron vil være plassert henholdsvis på seks flater av kuben, de resterende 24 kantene inne i kuben, alle tolv toppunkter av icosahedron vil ligge på seks flater av kuben .
• · Et tetraeder kan skrives inn i et ikosaeder, dessuten vil fire toppunkter av tetraederet bli kombinert med fire toppunkter av ikosaederet.
• · Et ikosaeder kan skrives inn i et dodekaeder, mens toppunktene til ikosaederet vil være på linje med midten av flatene til dodekaederet.
• · Et dodekaeder kan skrives inn i et ikosaeder med innretting av toppunktene til dodekaederet og sentrene til ansiktene til ikosaederet.
• · Et avkortet icosahedron kan oppnås ved å kutte av 12 toppunkter for å danne ansikter i form av vanlige femkanter. Samtidig øker antallet hjørner av det nye polyederet 5 ganger (12?5=60), 20 trekantede flater blir til vanlige sekskanter (totalt antall flater blir 20+12=32), og antall kanter øker til 30+12?5=90.

Ikosaederet har 59 stjernebilder, hvorav 32 har fullstendig og 27 ufullstendig ikosaedrisk symmetri. En av disse stjernebildene (20., mod. 41 ifølge Wenninger), kalt det store icosahedron, er en av fire riktige Kepler-Poinsot stjernepolyeder. Dens ansikter er vanlige trekanter som konvergerer ved hvert toppunkt fem; denne eiendommen deles av det store icosahedron med icosahedron.

Blant stjerneformene er det også: en forbindelse av fem oktaedre, en forbindelse av fem tetraedre, en forbindelse av ti tetraedre.

Geometri er vakker ved at den, i motsetning til algebra, hvor det ikke alltid er klart hva du tenker og hvorfor, gir synlighet til objektet. Dette fantastisk verden ulike organer pryder vanlige polyedre.

Generell informasjon om vanlige polyedre

Vanlige polyedre, eller som de også kalles platoniske faste stoffer, har ifølge mange unike egenskaper. Disse objektene er knyttet til flere vitenskapelige hypoteser. Når du begynner å studere disse geometriske kroppene, forstår du at du praktisk talt ikke vet noe om et slikt konsept som vanlige polyeder. Presentasjonen av disse gjenstandene på skolen er ikke alltid interessant, så mange husker ikke engang hva de heter. De fleste husker bare kuben. Ingen av kroppene i geometri er så perfekte som vanlige polyedre. Alle navnene på disse geometriske kroppene kommer fra Antikkens Hellas. De betyr antall ansikter: tetraeder - firesidig, heksaeder - sekssidig, oktaeder - åttesidig, dodekaeder - tolvsidig, icosahedron - tjuesidig. Alle disse geometriske kroppene okkuperte viktig sted i Platons begrep om universet. Fire av dem personifiserte elementene eller enhetene: tetraederet - ild, icosahedron - vann, kuben - jord, oktaederet - luft. Dodekaederet legemliggjorde alt som eksisterer. Den ble ansett som den viktigste, fordi den var et symbol på universet.

Generalisering av begrepet et polyeder

Et polyeder er en samling endelig antall polygoner slik at:

• hver av sidene til noen av polygonene er samtidig en side av bare en annen polygon på samme side;
• fra hver av polygonene kan du komme til de andre ved å passere langs polygonene ved siden av.

Polygonene som utgjør et polyeder er dets ansikter, og sidene deres er kantene. Toppunktene til polyedrene er toppunktene til polygonene. Hvis konseptet med en polygon forstås som flate lukkede brutte linjer, kommer de til én definisjon av et polyeder. I tilfelle når dette konseptet betyr en del av flyet, som er begrenset brutte linjer, skal det forstås som en overflate som består av polygonale deler. kalt en kropp som ligger på den ene siden av et plan ved siden av ansiktet.

Annen definisjon av polyeder og dets elementer

Et polyeder er en overflate som består av polygoner som avgrenser et geometrisk legeme. De er:

• ikke-konveks;
• konveks (riktig og feil).

En vanlig polytop er en konveks polytop med maksimal symmetri. Elementer av vanlige polyedre:

• tetraeder: 6 kanter, 4 flater, 5 hjørner;
• heksaeder (kube): 12, 6, 8;
• dodekaeder: 30, 12, 20;
• oktaeder: 12, 8, 6;
• icosahedron: 30, 20, 12.

Eulers teorem

Den etablerer et forhold mellom antall kanter, toppunkter og flater som er topologisk ekvivalente med en kule. Ved å legge sammen antall topper og flater (B + D) til forskjellige vanlige polyedre og sammenligne dem med antall kanter, kan ett mønster etableres: summen av antall flater og topper er lik antall kanter (P) økt med 2. En enkel formel kan utledes:

• C + D = P + 2.

Denne formelen gjelder for alle konvekse polyedre.

Grunnleggende definisjoner

Konseptet med et vanlig polyeder kan ikke beskrives i én setning. Det er mer meningsfylt og omfangsrikt. For at et organ skal bli anerkjent som sådan, må det oppfylle en rekke definisjoner. Så et geometrisk legeme vil være et vanlig polyeder under følgende forhold:

• den er konveks;
• det samme antall kanter konvergerer ved hvert av dets toppunkter;
• alle ansiktene er vanlige polygoner, like med hverandre;
• alt er like.

Egenskaper til vanlige polyedre

Det er 5 forskjellige typer vanlige polyedre:

1. Kube (heksaeder) - den har en flat vinkel på toppen er 90 °. Den har en 3-sidig vinkel. Summen av de flate vinklene på toppen er 270°.
2. Tetraeder - flat vinkel på toppen - 60°. Den har en 3-sidig vinkel. Summen av flate vinkler på toppen er 180°.
3. Oktaeder - flat vinkel på toppen - 60°. Den har et 4-sidig hjørne. Summen av flate vinkler på toppen er 240°.
4. Dodekaeder - flat vinkel ved toppunktet 108°. Den har en 3-sidig vinkel. Summen av flate vinkler på toppen er 324°.
5. Icosahedron - den har en flat vinkel på toppen - 60 °. Den har en 5-sidig vinkel. Summen av flate vinkler på toppen er 300°.

Overflatearealet til disse geometriske kroppene (S) beregnes som arealet til en vanlig polygon multiplisert med antall flater (G):

• S \u003d (a: 2) x 2G ctg π / p.

Volum av et vanlig polyeder

Denne verdien beregnes ved å multiplisere volumet riktig pyramide, ved bunnen av det er en vanlig polygon, med antall flater, og høyden er radiusen til den innskrevne kulen (r):

• V=1:3rS.

Volumer av vanlige polyedre

Som enhver annen geometrisk kropp har vanlige polyedre forskjellige volumer. Nedenfor er formlene som du kan beregne dem med:

• tetraeder: α x 3√2: 12;
• oktaeder: α x 3√2: 3;
• icosahedron; a x 3;
• heksaeder (kube): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
• dodekaeder: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Heksaederet og oktaederet er doble geometriske faste stoffer. Med andre ord kan de oppnås fra hverandre hvis tyngdepunktet til ansiktet til den ene tas som toppunktet til den andre, og omvendt. Ikosaederet og dodekaederet er også doble. Bare tetraederet er dobbelt med seg selv. I følge Euklid-metoden kan du få et dodekaeder fra et sekskant ved å bygge "tak" på flatene til en kube. Toppunktene til et tetraeder vil være hvilke som helst 4 toppunkter i en terning som ikke er tilstøtende i par langs en kant. Fra sekskantet (kuben) kan du få andre vanlige polyedere. Til tross for at der utallige, det er bare 5 vanlige polyedre.

Radier av vanlige polygoner

Hver av disse geometriske kroppene er assosiert med 3 konsentriske sfærer:

• beskrevet, passerer gjennom toppene;
• innskrevet, berører hver av ansiktene i midten;
• median, berører alle ribbeina i midten.

Radiusen til sfæren som er beskrevet, beregnes ved hjelp av følgende formel:

• R \u003d a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Radiusen til en innskrevet sfære beregnes med formelen:

• R \u003d a: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

hvor θ er den dihedrale vinkelen som er mellom tilstøtende flater.

Radiusen til mediankulen kan beregnes ved å bruke følgende formel:

• ρ = a cos π/p: 2 sin π/h,

hvor h-verdi = 4,6,6,10 eller 10. Forholdet mellom de omskrevne og innskrevne radiene er symmetrisk med hensyn til p og q. Det beregnes med formelen:

• R / r \u003d tg π / p x tg π / q.

Symmetri av polyeder

Symmetrien til vanlige polyedre er av primær interesse for disse geometriske faste stoffene. Det forstås som en slik bevegelse av kroppen i rommet, som etterlater det samme antall hjørner, ansikter og kanter. Med andre ord, under påvirkning av en symmetritransformasjon, beholder en kant, toppunkt, ansikt enten sin opprinnelige posisjon eller flytter seg til den opprinnelige posisjonen til en annen kant, toppunkt eller flate.

Symmetrielementene til vanlige polyedre er karakteristiske for alle typer slike geometriske legemer. Her snakker vi om en identisk transformasjon som etterlater et hvilket som helst av punktene i sin opprinnelige posisjon. Så når du roterer et polygonalt prisme, kan du få flere symmetrier. Enhver av dem kan representeres som et produkt av refleksjoner. En symmetri som er produktet av et jevnt antall refleksjoner kalles en rett linje. Hvis det er produktet av et oddetall av refleksjoner, kalles det invers. Dermed er alle rotasjoner rundt en linje direkte symmetri. Enhver refleksjon av et polyeder er en invers symmetri.

For bedre å forstå symmetrielementene til vanlige polyedere, kan vi ta eksemplet med et tetraeder. Enhver linje som vil passere gjennom en av toppunktene og midten av denne geometrisk figur, vil også passere gjennom midten av ansiktet motsatt den. Hver av rotasjonene på 120 og 240° rundt linjen tilhører flertall symmetri av tetraederet. Siden den har 4 hjørner og 4 flater, er det bare åtte direkte symmetrier. Enhver av linjene som går gjennom midten av kanten og midten av denne kroppen går gjennom midten av den motsatte kanten. Enhver 180° rotasjon, kalt en halv sving, rundt en rett linje er en symmetri. Siden tetraederet har tre par kanter, er det ytterligere tre direkte symmetrier. Basert på ovenstående kan det konkluderes med at totalt antall direkte symmetrier, inkludert identitetstransformasjon vil gå opp til tolv. Tetraederet har ingen andre direkte symmetrier, men det har 12 inverse symmetrier. Derfor er tetraederet preget av totalt 24 symmetrier. For klarhetens skyld kan du bygge en modell av et vanlig tetraeder fra papp og sørge for at denne geometriske kroppen egentlig bare har 24 symmetrier.

Dodekaederet og ikosaederet er nærmest kroppens sfære. Ikosaederet har største antall ansikter, kan den største og tetteste av alle presses mot den innskrevne kulen. Dodekaederet har den minste vinkeldefekten, den største solide vinkelen ved toppunktet. Han kan fylle sin beskrevne sfære så mye som mulig.

Utvikling av polyedre

De riktige, som vi alle limte sammen i barndommen, har mange konsepter. Hvis det er en samling polygoner, hvor hver side er identifisert med bare én side av polyederet, må identifiseringen av sidene tilfredsstille to betingelser:

• fra hver polygon er det mulig å gå over polygoner som har en identifisert side;
• sidene som skal identifiseres må ha samme lengde.

Det er settet med polygoner som tilfredsstiller disse betingelsene som kalles utviklingen av polyederet. Hver av disse organene har flere av dem. Så, for eksempel, en kube har 11 av dem.

For å bruke forhåndsvisningen av presentasjoner, opprett en Google-konto (konto) og logg på: https://accounts.google.com

Bildetekster:

Polyeder. Topppunkter, kanter, flater av et polyeder. TEOREM OM EULER. Karakter 10 Fullført av: Kaigorodova S.V.

Et regulært polyeder er et der alle flater er vanlige polygoner og alle polyedriske vinkler ved toppunktene er like.

Siden antikken har fem fantastiske polyedre vært kjent for mennesket.

I henhold til antall ansikter kalles de et vanlig tetraeder.

heksaeder (heksaeder) eller kube

oktaeder (oktaeder)

dodekaeder (dodekaeder)

icosahedron (tjuesidig)

Utviklingen av vanlige polyedre

Historisk bakgrunn Fire essenser av naturen var kjent for menneskeheten: ild, vann, jord og luft. I følge Platon så atomene deres ut som vanlige polyeder.Den store antikke greske filosofen Platon, som levde i det 4. - 5. århundre. BC, mente at disse kroppene personifiserer essensen av naturen.

ildatomet så ut som et tetraeder, jorden - et heksaeder (kube) av luft - et oktaeder av vann - et ikosaeder

Men det var et dodekaeder som det ikke var korrespondanse med. Platon antydet at det er en annen (femte) enhet. Han kalte det verdenseteren. Atomene i denne femte essensen så ut som et dodekaeder. Platon og hans elever i sine verk stor oppmerksomhet gitt til de listede polyedrene. Derfor kalles disse polyedre også platoniske faste stoffer.

For ethvert konveks polyeder er forholdet sant: Г+В-Р=2, der Г er antall flater, В er antall toppunkter, Р er antall kanter til det gitte polyederet. Overflater + hjørner - kanter = 2. Eulers teorem

Kjennetegn ved vanlige polyeder Polyeder Antall sider av en flate Antall flater som konvergerer ved hvert toppunkt Antall flater (G) Antall kanter (P) Antall topper (V) Tetraeder 3 3 4 6 4 Heksaeder 4 3 6 12 8 Oktaeder 3 4 8 12 6 Icosahedron 3 5 20 30 12 Dodecahedron 5 3 12 30 20

Dualitet av vanlige polyeder Et heksaeder (kube) og et oktaeder danner et dobbelt par polyeder. Antallet flater til det ene polyederet er likt antall toppunkter til det andre og omvendt.

Ta en hvilken som helst kube og se på et polyeder med hjørner i midten av ansiktene. Som du lett kan se får vi et oktaeder.

Sentrene til oktaederets overflater fungerer som toppunktene til kuben.

Natriumantimonsulfat er et tetraeder. Polyedre i natur, kjemi og biologi Krystallene til noen av stoffene vi er kjent med har form som vanlige polyedre. Pyrittkrystall - naturlig dodekaedermodell. krystaller bordsalt formidle formen til en kube. En enkelt krystall av aluminium-kalium alun har form av et oktaeder. Krystall (prisme) Ikosaederet har vært i sentrum for oppmerksomheten til biologer i deres tvister om formen til virus. Viruset kan ikke være helt rundt, som tidligere antatt. For å etablere formen tok de forskjellige polyeder, rettet lys mot dem i samme vinkler som strømmen av atomer til viruset. Det viste seg at bare ett polyeder gir nøyaktig samme skygge - icosahedron. I prosessen med deling av egget dannes først et tetraeder av fire celler, deretter et oktaeder, en kube og til slutt en dodekaedrisk-ikosaedrisk struktur av gastrulaen. Og til slutt, kanskje viktigst, strukturen til DNA genetisk kode liv - er et firedimensjonalt sveip (langs tidsaksen) av et roterende dodekaeder! I metanmolekylet har det formen av et vanlig tetraeder.

Polyeder i kunsten "Portrett av Monna Lisa" Sammensetningen av bildet er basert på gylne trekanter, som er deler av en vanlig stjerne femkant. gravering "Melankoli" I forgrunnen av bildet er et dodekaeder. "Nattverden" Kristus med disiplene hans er avbildet mot bakgrunnen av et enormt gjennomsiktig dodekaeder.

Polyeder i arkitekturen til Fruktmuseet i Yamanashi ble laget ved hjelp av tredimensjonal modellering. Det fire-etasjes Spasskaya-tårnet med Frelserens kirke ikke laget av hender er hovedinngangen til Kazan Kreml. Oppført på 1500-tallet av Pskov-arkitektene Ivan Shiryai og Postnik Yakovlev, med kallenavnet "Barma". De fire lagene i tårnet er en kube, polyeder og en pyramide. Spasskaya-tårnet i Kreml. Fyrtårnet i Alexandria Pyramids Fruktmuseum

Definisjon. Et polyeder kalles regulært hvis: 1) det er konveks; 2) alle dens ansikter er vanlige polygoner lik hverandre; 3) konvergerer ved hvert av sine toppunkter samme nummer ribbeina; 4) alle dens dihedraler er like.

Et eksempel på et vanlig polyeder er en terning: det er et konveks polyeder, alle flatene er like firkanter, tre kanter konvergerer ved hvert toppunkt, og alle de dihedriske hjørnene på kuben er rett. Et vanlig tetraeder er også et vanlig polyeder.

Spørsmålet oppstår: hvor mange forskjellige typer vanlige polyeder?

Fem typer vanlige polyedre:

Tenk på et vilkårlig vanlig polyeder M , som har B-punkt, P-kanter og G-flater. Ved Eulers teorem gjelder følgende likhet for dette polyederet:

V - R + G \u003d 2. (1)

La hver side av det gitte polyederet inneholde m kanter (sider), og ved hvert toppunkt konvergerer n ribbeina. Åpenbart,

Siden polyederet B har toppunkter, og hver av dem har n kanter, får vi n kanter. Men en hvilken som helst kant forbinder to hjørner av polyederet, så hver kant vil gå inn i produktet n to ganger. Så polyederet har diverse ribbeina. Deretter

Fra (1), (3), (4) får vi - Р + = 2, hvorfra

+ = + > . (5)

Dermed har vi

Av ulikheter 3 og 3 følger det at flatene til et regulært polyeder kan være enten regulære trekanter, eller regulære firkanter, eller regulære femkanter. Dessuten, i tilfellene m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 kommer vi til en motsetning med betingelsen. Derfor er fem tilfeller fortsatt mulige: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5. La oss vurdere hver av disse tilfellene ved å bruke relasjoner (5), (4) og (3).

1) m=n=3(hver side av polyederet - høyre trekant. Dette er kjent for oss vanlig tetraeder (« tetraeder" betyr et tetraeder).

2) m = 4, n = 3(hver side er en firkant, og tre kanter konvergerer ved hvert toppunkt). Vi har

P = 12; B = 8; G = 6.

Vi får en vanlig sekskant, der hver side er en firkant. Dette polyederet kalles vanlig sekskant og er en kube (" heksaeder"- heksaeder), ethvert parallellepiped er et heksaeder.

3) m = 3, n = 4(hver side er en vanlig trekant, fire kanter konvergerer ved hvert toppunkt). Vi har

P = 12; B = = 6; G \u003d \u003d 8.

Vi får et vanlig oktaeder, der hvert ansikt er en vanlig trekant. Dette polyederet kalles vanlig oktaeder ("oktaeder" -- oktaeder).

4) m = 5, n = 3(hver side er en vanlig femkant, tre kanter konvergerer ved hvert toppunkt). Vi har:

P = 30; B = = 20; G \u003d \u003d 12.

Vi får et vanlig dodekaeder, der hvert ansikt er en vanlig femkant. Dette polyederet kalles vanlig dodekaeder (« dodekaeder"- dodekaeder).

5) m = 3,n = 5(hver side er en vanlig trekant, fem kanter konvergerer ved hvert toppunkt). Vi har

P = 30; B = = 12; G = = 20.

Vi får riktig tjuesidig. Dette polyederet kalles vanlig ikosaeder (« icosahedron"- tjuesidig).

Dermed har vi fått følgende teorem.

Teorem. Det er fem forskjellige (opp til likhet) typer vanlige polyeder: vanlig tetraeder, vanlig heksaeder (kube), vanlig oktaeder, vanlig dodekaeder og vanlig ikosaeder.

Denne konklusjonen kan nås på en litt annen måte.

Faktisk, hvis ansiktet til en vanlig polyeder er en vanlig trekant, og konvergerer på ett toppunkt k ribbe, dvs. alle flate konvekse hjørner k-hedral vinkel er like, da. Følgelig naturlig tall k kan ta verdier: 3;4;5. mens Г = , Р = . Basert på Euler-teoremet har vi:

B+-= 2 eller B (6 - k) = 12.

Så kl k\u003d 3 får vi: B \u003d 4, G \u003d 4, P \u003d 6 (vanlig tetraeder);

på k = 4 får vi: B \u003d 6, G \u003d 8, P \u003d 12 (vanlig oktaeder);

på k = 5 får vi: B \u003d 12, G \u003d 20, P \u003d 30 (vanlig icosahedron).

Hvis forsiden av et vanlig polyeder er en vanlig firkant, da. Denne tilstanden tilsvarer det eneste naturlige tallet k= 3. Så: Г = , Р= ; B + - = 2 eller. Så, B \u003d 8, G \u003d 6, P \u003d 12 - vi får en kube (vanlig heksaeder).

Hvis ansiktet til et vanlig polyeder er en vanlig femkant, da Denne betingelsen er også bare oppfylt k= 3 og Г = ; R = . på samme måte tidligere beregninger vi får: og B \u003d 20, G \u003d 12, P \u003d 30 (vanlig dodekaeder).

Starter med vanlige sekskanter, antagelig flatene til et vanlig polyeder, blir planvinklene ikke mindre og smalere k= 3 summen deres blir minst, noe som er umulig. Derfor er det bare fem typer vanlige polyedre.

Figurene viser layoutene til hver av de fem regulære polyedrene.

vanlig tetraeder

Vanlig oktaeder

Vanlig sekskant

Vanlig ikosaeder

Vanlig dodekaeder

Noen egenskaper til vanlige polyedre er gitt i tabellen nedenfor.

Ansiktstype	flatt hjørne øverst	Utsikt over det polyedriske hjørnet i toppunktet	Summen av de flate vinklene ved toppunktet				Navnet på polyederet
Ikke sant triangel	3-sidig				vanlig tetraeder
Ikke sant triangel	4-sidig				Vanlig oktaeder
Ikke sant triangel	5-sidig				Vanlig ikosaeder
	3-sidig				Ikke sant heksaeder (kube)
Ikke sant femkant	3-sidig					Ikke sant dodekaeder

For hver av de vanlige polyedrene, i tillegg til de som allerede er angitt, vil vi oftest være interessert i:

• 1. Verdien av det dihedral vinkel ved ribben (med lengden på ribben en).
• 2. Arealet av dens totale overflate (med lengden på ribben en).
• 3. Dens volum (med lengden på ribben en).
• 4. Radius til kulen omskrevet rundt den (med lengden på kanten en).
• 5. Radiusen til kulen innskrevet i den (med lengden på kanten en).
• 6. Radien til en kule som berører alle kantene (med en kantlengde en).

Den enkleste løsningen er å beregne det totale overflatearealet til et vanlig polyeder; det er lik Г, der Г er antall flater av et vanlig polyeder, og er arealet av en flate.

Husk på synd = , som gir oss muligheten til å skrive med radikaler: ctg =. Med tanke på dette lager vi tabeller:

a) for arealet av et ansikt til et vanlig polyeder

b) for det totale overflatearealet til et vanlig polyeder

La oss nå gå videre til å beregne verdien av den dihedrale vinkelen til et vanlig polyeder ved kanten. For et vanlig tetraeder og en kube kan du enkelt finne verdien av denne vinkelen.

I et vanlig dodekaeder er alle planvinklene til flatene like, derfor, ved å bruke cosinus-teoremet for trihedriske vinkler på en hvilken som helst trihedrisk vinkel til et gitt dodekaeder ved toppunktet, får vi: cos, hvorfra

På det avbildede regulære oktaederet ABCDMF kan du se at den dihedriske vinkelen ved kanten av oktaederet er 2arctg.

For å finne verdien av den dihedriske vinkelen ved kanten av et vanlig ikosaeder, kan vi vurdere den trihedriske vinkelen ABCD ved toppunktet A: dens planvinkler BAC og CAD er like, og den tredje planvinkelen BAD, mot hvilken den dihedriske vinkelen B (AC)D = løgn, er lik (BCDMF - en vanlig femkant). Ved cosinussetningen for den trihedriske vinkelen ABCD har vi: . Gitt det, kommer vi hvor. Dermed er den dihedriske vinkelen ved kanten av ikosaederet lik.

Så vi får følgende tabell over verdier av dihedriske vinkler ved kantene av vanlige polyeder.

Før vi finner volumet til et eller annet regulært polyeder, diskuterer vi først hvordan vi finner volumet til regulære polyeder i en generell form.

Prøv å bevise først at hvis midten av hver side av et vanlig polyeder er en rett linje, vinkelrett på planet dette ansiktet, så vil alle linjene som er tegnet krysses på et eller annet punkt O, fjernt fra alle flater av et gitt polyeder med samme avstand, som vi betegner med r. Punktum O viser seg å være sentrum av en kule innskrevet i et gitt polyeder, og r- dens radius. Ved å koble det resulterende punktet O med alle toppunktene til et gitt polyeder, vil vi dele det inn i Г pyramider som er lik hverandre (Г er antall flater til et vanlig polyeder): basene til de dannede pyramidene er r. Deretter volumet til dette polyederet er lik summen volumer av alle disse pyramidene. Siden polyederet er regelmessig, volumet V kan bli funnet ved hjelp av formelen:

Det gjenstår å finne lengden på radiusen r.

For å gjøre dette, ved å koble til prikken O med midten Til kantene av polyhedron, prøv å sørge for at den skråstilte KO til en flate av et polyeder som inneholder en kant, gjør en vinkel med planet til denne flaten lik halvparten av verdien av den dihedriske vinkelen ved denne kanten av polyederet; projeksjonen er skrå KO på planet til dette ansiktet tilhører dens apotem og er lik radiusen til sirkelen som er innskrevet i den. Deretter

hvor p er halvperimeteren til ansiktet. Så fra (1) og (2) får vi en formel for å beregne volumene deres som er felles for alle vanlige polyedre:

Denne formelen er helt unødvendig for å finne volumene til en kube, et vanlig tetraeder og et oktaeder, men det gjør det ganske enkelt å finne volumene til et vanlig ikosaeder og dodekaeder.