Teorien om grenser er en av seksjonene matematisk analyse. Spørsmålet om å løse grenser er ganske omfattende, siden det finnes dusinvis av metoder for å løse grenser ulike typer. Det er dusinvis av nyanser og triks som lar deg løse denne eller den grensen. Likevel vil vi fortsatt forsøke å forstå hovedtypene grenser som man oftest møter i praksis.

La oss starte med selve konseptet med en grense. Men først en kort historisk bakgrunn. Det levde på 1800-tallet en franskmann, Augustin Louis Cauchy, som la grunnlaget for matematisk analyse og ga strenge definisjoner, spesielt definisjonen av en grense. Det må sies at denne samme Cauchy var, er og vil være i marerittene til alle studenter ved fysikk- og matematikkavdelinger, siden han beviste et stort antall teoremer for matematisk analyse, og hver teorem er mer ekkel enn den andre. I denne forbindelse vil vi ikke vurdere en streng definisjon av grensen, men vil prøve å gjøre to ting:

1. Forstå hva en grense er.
2. Lær å løse hovedtypene grenser.

Jeg beklager noen uvitenskapelige forklaringer, det er viktig at materialet er forståelig selv for en tekanne, som faktisk er prosjektets oppgave.

Så hva er grensen?

Og bare et eksempel på hvorfor å raggete bestemor....

Enhver grense består av tre deler:

1) Det velkjente grenseikonet.
2) Oppføringer under grenseikonet, i i dette tilfellet. Oppføringen lyder "X har en tendens til en." Oftest - nøyaktig, selv om det i stedet for "X" i praksis er andre variabler. I praktiske oppgaver kan plassen til en være absolutt et hvilket som helst tall, så vel som uendelig ().
3) Fungerer under grensetegnet, i dette tilfellet .

Selve opptaket lyder slik: "grensen for en funksjon som x har en tendens til enhet."

La oss se på den neste viktig spørsmål– hva betyr uttrykket "x"? streber til en"? Og hva betyr egentlig "streve"?
Konseptet med en grense er et konsept, så å si, dynamisk. La oss bygge en sekvens: først , deretter , , …, , ….
Det vil si uttrykket "x streber til en" skal forstås som følger: "x" tar konsekvent på verdiene som nærmer seg enhet uendelig nært og praktisk talt sammenfaller med den.

Hvordan løser jeg eksemplet ovenfor? Basert på det ovenfor, trenger du bare å erstatte en i funksjonen under grensetegnet:

Så den første regelen: Når det er gitt en grense, prøver vi først å koble nummeret til funksjonen.

Vi har anmeldt enkleste grensen, men disse forekommer også i praksis, og ikke så sjelden!

Eksempel med uendelig:

La oss finne ut hva det er? Dette er tilfellet når det øker uten grenser, det vil si: først, så, så, så, og så videre i det uendelige.

Hva skjer med funksjonen på dette tidspunktet?
, , , …

Så: hvis , så har funksjonen en tendens til minus uendelig:

Grovt sett, i henhold til vår første regel, i stedet for "X" erstatter vi uendelig i funksjonen og får svaret.

Et annet eksempel med uendelighet:

Igjen begynner vi å øke til det uendelige, og ser på funksjonen til funksjonen:

Konklusjon: når funksjonen øker ubegrenset:

Og en annen rekke eksempler:

Prøv å mentalt analysere følgende selv og husk de enkleste typene grenser:

, , , , , , , , ,
Hvis du er i tvil, kan du ta opp en kalkulator og øve litt.
I tilfelle det , prøv å konstruere sekvensen , , . Hvis , da , .

Merk: strengt tatt er denne tilnærmingen til å konstruere sekvenser med flere tall feil, men for å forstå de enkleste eksemplene er den ganske egnet.

Vær også oppmerksom på følgende ting. Selv om gitt en grense med et stort antall på toppen, selv med en million: det er det samme , siden "X" før eller senere vil ta på seg så gigantiske verdier at en million sammenlignet med dem vil være en ekte mikrobe.

Hva trenger du å huske og forstå fra ovenstående?

1) Når det er gitt en grense, prøver vi først å erstatte tallet i funksjonen.

2) Du må forstå og umiddelbart løse de enkleste grensene, som f.eks .

Nå skal vi vurdere gruppen av grenser når , og funksjonen er en brøk hvis teller og nevner inneholder polynomer

Eksempel:

Beregn grense

I henhold til vår regel vil vi prøve å erstatte uendelig i funksjonen. Hva får vi på toppen? Uendelighet. Og hva skjer nedenfor? Også uendelig. Dermed har vi det som kalles artsusikkerhet. Man skulle tro det, og svaret er klart, men generell sak Dette er ikke tilfelle i det hele tatt, og du må bruke en løsning, som vi nå vil vurdere.

Hvordan løse grenser av denne typen?

Først ser vi på telleren og finner den høyeste potensen:

Den ledende potensen i telleren er to.

Nå ser vi på nevneren og finner den også i høyeste makt:

Den høyeste graden av nevneren er to.

Vi velger deretter den høyeste potensen av telleren og nevneren: in i dette eksemplet de faller sammen og er lik to.

Så løsningsmetoden er som følger: for å avsløre usikkerheten, er det nødvendig å dele telleren og nevneren med høyeste potens.

Her er det, svaret, og ikke uendelig i det hele tatt.

Hva er grunnleggende viktig i utformingen av en beslutning?

Først angir vi usikkerhet, hvis noen.

For det andre er det tilrådelig å avbryte løsningen for mellomliggende forklaringer. Jeg bruker vanligvis tegnet, det har ikke noen matematisk betydning, men betyr at løsningen avbrytes for en mellomforklaring.

For det tredje, i grensen er det tilrådelig å merke hva som skal hvor. Når arbeidet er tegnet opp for hånd, er det mer praktisk å gjøre det på denne måten:

Det er bedre å bruke en enkel blyant for notater.

Selvfølgelig trenger du ikke gjøre noe av dette, men da vil kanskje læreren påpeke mangler i løsningen eller begynne å stille flere spørsmål om oppgaven. Trenger du det?

Eksempel 2

Finn grensen
Igjen i telleren og nevneren finner vi i høyeste grad:

Maksimal grad i teller: 3
Maksimal grad i nevner: 4
Velge størst verdi, i dette tilfellet fire.
I henhold til vår algoritme, for å avsløre usikkerhet, deler vi telleren og nevneren med .
Hele oppgaven kan se slik ut:

Del teller og nevner med

Eksempel 3

Finn grensen
Maksimal grad av "X" i telleren: 2
Maksimal grad av "X" i nevneren: 1 (kan skrives som)
For å avdekke usikkerheten er det nødvendig å dele teller og nevner med . Den endelige løsningen kan se slik ut:

Del teller og nevner med

Notasjon betyr ikke divisjon med null (du kan ikke dele med null), men divisjon med et uendelig tall.

Dermed kan vi, ved å avdekke artsusikkerhet, være i stand til det endelig nummer , null eller uendelig.

Grenser med usikkerhet om type og metode for å løse dem

Den neste gruppen av grenser er noe lik grensene som nettopp er vurdert: telleren og nevneren inneholder polynomer, men "x" har ikke lenger en tendens til uendelig, men til endelig antall.

Eksempel 4

Løs grensen
La oss først prøve å erstatte -1 i brøken:

I dette tilfellet oppnås den såkalte usikkerheten.

Generell regel : hvis telleren og nevneren inneholder polynomer, og det er usikkerhet i formen, så for å avsløre det du må faktorisere telleren og nevneren.

For å gjøre dette må du oftest bestemme deg andregradsligning og/eller bruke forkortede multiplikasjonsformler. Hvis disse tingene har blitt glemt, besøk siden Matematiske formler og tabeller og sjekke ut metodisk materiale Hete formler skolekurs matematikere. Forresten, det er best å skrive det ut det kreves veldig ofte, og informasjon absorberes bedre fra papir.

Så la oss løse grensen vår

Faktorer telleren og nevneren

For å faktorisere telleren må du løse andregradsligningen:

Først finner vi diskriminanten:

Og kvadratroten av det: .

Hvis diskriminanten er stor, for eksempel 361, bruker vi en kalkulator, uttrekksfunksjonen kvadratrot tilgjengelig på den enkleste kalkulatoren.

! Hvis roten ikke er ekstrahert helt (viser det seg brøktall med komma), er det svært sannsynlig at diskriminanten ble beregnet feil eller at det var en skrivefeil i oppgaven.

Deretter finner vi røttene:

Slik:

Alle. Telleren er faktorisert.

Nevner. Nevneren er allerede den enkleste faktoren, og det er ingen måte å forenkle den på.

Selvfølgelig kan det forkortes til:

Nå erstatter vi -1 i uttrykket som forblir under grensetegnet:

Naturligvis, i en test, test eller eksamen, blir løsningen aldri skrevet ut så detaljert. I den endelige versjonen skal designet se omtrent slik ut:

La oss faktorisere telleren.

Eksempel 5

Beregn grense

Først "finish"-versjonen av løsningen

La oss faktorisere telleren og nevneren.

Teller:
Nevner:



,

Hva er viktig i dette eksemplet?
For det første må du ha en god forståelse av hvordan telleren avsløres, først tok vi 2 ut av parentes, og brukte deretter formelen for forskjellen på kvadrater. Dette er formelen du trenger å vite og se.

La oss se på noen illustrerende eksempler.

La x være et tall variabel mengde, X er området for endringen. Hvis hvert tall x som tilhører X er assosiert med et bestemt tall y, så sier de at en funksjon er definert på mengden X, og skriver y = f(x).
Settet X er i dette tilfellet et plan som består av to koordinatakser– 0X og 0Y. La oss for eksempel skildre funksjonen y = x 2. 0X- og 0Y-aksene danner X - området for endringen. Figuren viser tydelig hvordan funksjonen oppfører seg. I dette tilfellet sier de at funksjonen y = x 2 er definert på settet X.

Settet Y av alle delverdier av en funksjon kalles settet med verdier f(x). Med andre ord, sett med verdier er intervallet langs 0Y-aksen der funksjonen er definert. Den avbildede parabelen viser tydelig at f(x) > 0, fordi x2 > 0. Derfor vil verdiområdet være . Vi ser på mange verdier ved 0Y.

Settet med alle x kalles domenet til f(x). Vi ser på mange definisjoner etter 0X og i vårt tilfelle etter område akseptable verdier er [-; +].

Et punkt a (a tilhører eller X) kalles et grensepunkt for mengden X hvis det i noen av områdene til punktet a er punkter i mengden X som er forskjellige fra a.

Tiden er inne for å forstå hva som er grensen for en funksjon?

Den rene b som funksjonen tenderer til som x tenderer mot tallet a kalles grensen for funksjonen. Dette er skrevet som følger:

For eksempel, f(x) = x 2. Vi må finne ut hva funksjonen har en tendens til (ikke lik) ved x 2. Først skriver vi ned grensen:

La oss se på grafen.

La oss tegne en linje parallelt med 0Y-aksen gjennom punkt 2 på 0X-aksen. Den vil skjære grafen vår ved punkt (2;4). La oss slippe en perpendikulær fra dette punktet til 0Y-aksen og komme til punkt 4. Det er dette funksjonen vår streber etter ved x 2. Hvis vi nå erstatter verdien 2 i funksjonen f(x), vil svaret være det samme .

Nå før vi går videre til beregning av grenser, la oss introdusere grunnleggende definisjoner.

Introdusert fransk matematiker Augustin Louis Cauchy på 1800-tallet.

La oss si at funksjonen f(x) er definert på et bestemt intervall som inneholder punktet x = A, men det er slett ikke nødvendig at verdien av f(A) defineres.

Så, ifølge Cauchys definisjon, grensen for funksjonen f(x) vil være et visst tall B med x tilbøyelig til A hvis det for hver C > 0 er et tall D > 0 som

De. hvis funksjonen f(x) ved x A er begrenset av grense B, skrives denne som

Sekvensgrense et visst tall A kalles hvis for noen vilkårlig liten positivt tall I > 0 er det et tall N der alle verdier i tilfellet n > N tilfredsstiller ulikheten

Denne grensen ser ut som .

En sekvens som har en grense vil bli kalt konvergent hvis ikke, vil vi kalle den divergent.

Som du allerede har lagt merke til, er grenser indikert med lim-ikonet, under hvilket en betingelse for variabelen er skrevet, og deretter skrives selve funksjonen. Et slikt sett vil bli lest som "grensen for en funksjon underlagt ...". For eksempel:

- grensen for funksjonen som x har en tendens til 1.

Uttrykket "nærmer seg 1" betyr at x suksessivt tar på seg verdier som nærmer seg 1 uendelig nær.

Nå blir det klart at for å beregne denne grensen er det nok å erstatte verdien 1 med x:

I tillegg til spesifikke numerisk verdi x kan ha en tendens til det uendelige. For eksempel:

Uttrykket x betyr at x stadig øker og nærmer seg uendelig uten grenser. Derfor, ved å erstatte uendelig i stedet for x, blir det åpenbart at funksjonen 1-x vil ha en tendens til , men med motsatt fortegn:

Slik, beregning av grenser kommer ned til å finne dens spesifikke verdi eller et bestemt område der funksjonen begrenset av grensen faller.

Basert på ovenstående følger det at ved beregning av grenser er det viktig å bruke flere regler:

Forståelse essensen av grensen og grunnleggende regler grenseberegninger, vil du motta nøkkelpresentasjon om hvordan de skal løses. Hvis en grense forårsaker vanskeligheter, skriv i kommentarene og vi vil definitivt hjelpe deg.

Merk: Jurisprudens er vitenskapen om lover, som hjelper i konflikter og andre livsvansker.

Dette matematikk kalkulator online vil hjelpe deg hvis du trenger det beregne grensen for en funksjon. Program løsningsgrenser gir ikke bare svaret på problemet, det leder detaljert løsning med forklaringer, dvs. viser grenseberegningsprosessen.

Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole ungdomsskoler som forberedelse til tester og eksamener, når du tester kunnskap før Unified State Exam, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? lekser

i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger. På denne måten kan du bruke dine egen trening og/eller trene deres yngre brødre

eller søstre, mens utdanningsnivået i feltet problemer som løses øker.

Skriv inn et funksjonsuttrykk

Beregn grense
Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.

I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.
JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.

Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.
Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor. Vennligst vent

sek... Hvis du, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Funksjonens grense ved x->x 0

La funksjonen f(x) være definert på et sett X og la punktet \(x_0 \i X\) eller \(x_0 \ikke i X\)

La oss ta fra X en sekvens av punkter forskjellig fra x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergerer til x*. Funksjonsverdiene i punktene i denne sekvensen danner også en numerisk sekvens
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
og man kan reise spørsmålet om eksistensen av dens grense.

Definisjon. Tallet A kalles grensen for funksjonen f(x) i punktet x = x 0 (eller ved x -> x 0), hvis for en hvilken som helst sekvens (1) av verdier av argumentet x forskjellig fra x 0 konvergerer til x 0, konvergerer den tilsvarende sekvensen (2) av verdifunksjonen til nummer A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funksjonen f(x) kan bare ha én grense ved punktet x 0. Dette følger av at sekvensen
(f(x n)) har bare én grense.

Det er en annen definisjon av grensen for en funksjon.

Definisjon Tallet A kalles grensen for funksjonen f(x) i punktet x = x 0 hvis det for et hvilket som helst tall \(\varepsilon > 0\) er et tall \(\delta > 0\) slik at for alle \ (x \i X, \; x \neq x_0 \), som tilfredsstiller ulikheten \(|x-x_0| Ved å bruke logiske symboler, kan denne definisjonen skrives som
\((\forall \varepsilon > 0) (\eksisterer \delta > 0) (\forall x \i X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Merk at ulikhetene \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Den første definisjonen er basert på grensebegrepet nummerrekkefølge, som er grunnen til at det ofte kalles en "sekvensspråk"-definisjon. Den andre definisjonen kalles definisjonen "på språket \(\varepsilon - \delta \)".
Disse to definisjonene av grensen for en funksjon er likeverdige, og du kan bruke en av dem avhengig av hvilken som er mer praktisk for å løse et bestemt problem.

Merk at definisjonen av grensen for en funksjon "på sekvensspråket" også kalles definisjonen av grensen for en funksjon i følge Heine, og definisjonen av grensen for en funksjon "i språket \(\varepsilon - \delta \)» kalles også definisjonen av grensen for en funksjon ifølge Cauchy.

Funksjonens grense ved x->x 0 - og ved x->x 0 +

I det følgende vil vi bruke begrepene ensidige grenser for en funksjon, som er definert som følger.

Definisjon Tallet A kalles høyre (venstre) grense for funksjonen f(x) i punktet x 0 hvis for en hvilken som helst sekvens (1) som konvergerer til x 0, hvis elementer x n er større (mindre enn) x 0, tilsvarende sekvens (2) konvergerer til A.

Symbolsk er det skrevet slik:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Vi kan gi en ekvivalent definisjon av ensidige grenser for en funksjon "på språket \(\varepsilon - \delta \)":

Definisjon et tall A kalles høyre (venstre) grense for funksjonen f(x) i punktet x 0 hvis det for noen \(\varepsilon > 0\) eksisterer \(\delta > 0\) slik at for alle x som tilfredsstiller ulikhetene \(x_0 symbolske oppføringer:

\((\forall \varepsilon > 0) (\eksisterer \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Emne 4.6 Beregning av grenser

Grensen for en funksjon avhenger ikke av om den er definert ved grensepunktet eller ikke. Men i praksisen med å beregne grensene for elementære funksjoner, er denne omstendigheten av betydelig betydning.

1. Hvis funksjonen er elementær og hvis grenseverdien til argumentet tilhører dets definisjonsdomene, reduseres beregningen av grensen for funksjonen til en enkel erstatning av grenseverdien til argumentet, fordi begrense elementær funksjon f(x) kl x streber etterEN , som er inkludert i definisjonsdomenet, er lik delverdien til funksjonen ved x = EN, dvs. lim f(x)=f( en) .

2. Hvis x har en tendens til uendelig eller argumentet har en tendens til et tall som ikke tilhører definisjonsdomenet for funksjonen, så i hvert slikt tilfelle krever det å finne grensen for funksjonen spesiell forskning.

Nedenfor er de enkleste grensene basert på egenskapene til grenser som kan brukes som formler:

Flere komplekse saker finne grensen for en funksjon:

hver vurderes separat.

Denne delen vil skissere de viktigste måtene å avsløre usikkerhet på.

1. Saken når x streber etterEN funksjonen f(x) representerer forholdet mellom to infinitesimale størrelser

a) Først må du sørge for at grensen for funksjonen ikke kan finnes ved direkte substitusjon, og med den angitte endringen i argumentet, representerer den forholdet mellom to uendelige størrelser. Transformasjoner gjøres for å redusere brøken med en faktor som har en tendens til 0. I henhold til definisjonen av grensen til en funksjon, tenderer argumentet x til sin grenseverdi, og faller aldri sammen med den.

Generelt, hvis vi ser etter grensen for en funksjon ved x streber etterEN , så må du huske at x ikke tar på seg en verdi EN, dvs. x er ikke lik a.

b) Bezouts teorem brukes. Hvis du ser etter grensen for en brøk hvis teller og nevner er polynomer som forsvinner ved grensepunktet x = EN, så i henhold til teoremet ovenfor er begge polynomene delbare med x- EN.

c) Irrasjonalitet i telleren eller nevneren blir ødelagt ved å multiplisere telleren eller nevneren med dens konjugat irrasjonelt uttrykk, så etter forenkling reduseres fraksjonen.

d) 1. brukes fantastisk grense (4.1).

e) Teoremet om ekvivalens av infinitesimals og følgende prinsipper brukes:

2. Saken når x streber etterEN funksjonen f(x) representerer forholdet mellom to uendelig store mengder

a) Å dele telleren og nevneren til en brøk med høyeste grad ukjent.

b) Generelt kan du bruke regelen

3. Saken når x streber etterEN funksjonen f (x) representerer produktet av en uendelig liten mengde og en uendelig stor mengde

Brøken transformeres til en form hvis teller og nevner samtidig tenderer til 0 eller til uendelig, dvs. tilfelle 3 reduseres til tilfelle 1 eller tilfelle 2.

4. Saken når x streber etterEN funksjonen f (x) representerer forskjellen mellom to positive uendelig store mengder

Denne saken er redusert til type 1 eller 2 på en av følgende måter:

a) bringe brøker til en fellesnevner;

b) konvertere en funksjon til en brøk;

c) bli kvitt irrasjonalitet.

5. Saken når x streber etterEN funksjonen f(x) representerer en potens hvis base har en tendens til 1 og eksponent til uendelig.

Funksjonen er transformert på en slik måte at den bruker den andre bemerkelsesverdige grensen (4.2).

Eksempel. Finne .

Fordi x har en tendens til 3, så tenderer telleren til brøken til tallet 3 2 +3 *3+4=22, og nevneren har en tendens til tallet 3+8=11. Derfor,

Eksempel

Her er telleren og nevneren for brøken x tenderer til 2 har en tendens til 0 (typeusikkerhet), vi faktoriserer telleren og nevneren, vi får lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Eksempel

Ved å multiplisere telleren og nevneren med uttrykket konjugert til telleren, har vi

Åpne parentesene i telleren, får vi

Eksempel

Nivå 2. Eksempel. La oss gi et eksempel på anvendelsen av konseptet grense for en funksjon i økonomiske beregninger. La oss vurdere en vanlig finansiell transaksjon: låne ut et beløp S 0 med den betingelse at etter en viss tid T beløpet vil bli refundert S T. La oss bestemme verdien r relativ vekst formel

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Relativ vekst kan uttrykkes i prosent ved å multiplisere den resulterende verdien r med 100.

Fra formel (1) er det enkelt å bestemme verdien S T:

S T= S 0 (1 + r)

Ved beregning av langsiktige lån som dekker flere hele år, bruk ordningen renters rente. Den består i at hvis for 1. år beløpet S 0 øker til (1 + r) ganger, deretter for andre år på (1+ r) ganger summen øker S 1 = S 0 (1 + r), altså S 2 = S 0 (1 + r) 2. Det viser seg tilsvarende S 3 = S 0 (1 + r) 3 . Fra eksemplene ovenfor kan man utlede generell formelå beregne økningen i beløpet for når beregnet ved bruk av rentes renteordning:

S n= S 0 (1 + r) n.

I økonomiske beregninger benyttes ordninger hvor det beregnes renters rente flere ganger i året. I dette tilfellet er det fastsatt årlig rate r Og antall periodiseringer per år k. Som regel foretas periodisering med like intervaller, det vil si lengden på hvert intervall Tk utgjør en del av året. Så for perioden i Tår (her T ikke nødvendigvis et heltall) beløp S T beregnet med formelen

(2)

Hvor - hele delen nummer, som sammenfaller med selve tallet, hvis f.eks. T? heltall.

La årssatsen være r og er produsert n periodisering per år med jevne mellomrom. Så for året beløpet S 0 økes til en verdi bestemt av formelen

(3)

I teoretisk analyse og i utøvelse av finansiell virksomhet støter man ofte på begrepet "løpende påløpte renter". For å gå over til kontinuerlig påløpte renter, må du øke på ubestemt tid i henholdsvis formlene (2) og (3), tallene k Og n(det vil si å regissere k Og n til uendelig) og regn ut til hvilken grense funksjonene vil tendere til S T Og S 1. La oss bruke denne prosedyren på formel (3):

Merk at grensen i krøllete parenteser sammenfaller med den andre bemerkelsesverdige grensen. Det følger at med en årlig rate r med løpende påløpte renter, beløpet S 0 på 1 år øker til verdien S 1 *, som bestemmes fra formelen

S 1 * = S 0 e r (4)

La nå summen S 0 gis som lån med påløpte renter n en gang i året med jevne mellomrom. La oss betegne r eårskurs som ved årets slutt beløpet S 0 økes til verdien S 1 * fra formel (4). I dette tilfellet vil vi si det r e- Dette årlig rente n en gang i året, tilsvarende årlig rente r med kontinuerlig opptjening. Fra formel (3) får vi

S* 1 =S 0 (1+r e/n) n

Sette likhetstegn mellom høyresidene av den siste formelen og formelen (4), forutsatt i sistnevnte T= 1, kan vi utlede sammenhenger mellom mengdene r Og r e:

Disse formlene er mye brukt i økonomiske beregninger.

Det er noe slikt i matematikk som grensen for en funksjon. For å forstå hvordan du finner grenser, må du huske definisjonen av grensen til en funksjon: en funksjon f (x) har en grense L i et punkt x = a if for hver sekvens av verdier av x som konvergerer til punkt a, sekvensen av verdier til y nærmer seg:

• L lim f(x) = L

Konsept og egenskaper ved grenser

Hva en grense er kan forstås ut fra et eksempel. Anta at vi har funksjonen y=1/x. Hvis vi konsekvent øker verdien av x og ser på hva y er lik, vil vi få stadig mer avtagende verdier: ved x=10000 y=1/10000; ved x=1000000 y=1/1000000. De. jo mer x, jo mindre y. Hvis x=∞ vil y være så liten at den kan regnes som lik 0. Dermed er grensen for funksjonen y=1/x da x har en tendens til ∞ lik 0. Det skrives slik:

• lim1/х=0

Grensen til en funksjon har flere egenskaper som du må huske: dette vil i stor grad gjøre det lettere å løse problemer med å finne grenser:

• Beløpsgrense lik summen grenser: lim(x+y)=lim x+lim y
• Produktgrense lik produktet grenser: lim(xy)=lim x*lim y
• Grensen for kvotienten er lik kvotienten til grensene: lim(x/y)=lim x/lim y
• Konstantfaktoren tas ut av grensetegnet: lim(Cx)=C lim x

Funksjonen y=1/x, hvor x →∞, har en grense lik null for x→0, grensen er lik ∞.

• lim (sin x)/x=1 x→0