Anvendelser av det bestemte integralet er eksempler på løsninger. Beregning av arealet til en flat figur

Forelesning 21 Søknader bestemt integral(2t)

Geometriske applikasjoner

en) figurområde

Som nevnt i forelesning 19, numerisk lik areal krumlinjet trapes, avgrenset kurve på = f(x) , rette linjer X = en, X = b og segment [ en, b] av OX-aksen. Samtidig, hvis f(x) £ 0 på [ en, b], så skal integralet tas med et minustegn.

Hvis på gitt segment funksjon på = f(x) skifter fortegn, så for å beregne arealet av figuren som er innesluttet mellom grafen til denne funksjonen og OX-aksen, bør man dele segmentet i deler, på hver av disse beholder funksjonen sitt fortegn, og finne arealet av ​hver del av figuren. Det ønskede området i dette tilfellet er den algebraiske summen av integralene over disse segmentene, og integralene som tilsvarer de negative verdiene til funksjonen tas i denne summen med et minustegn.

Hvis figuren er avgrenset av to kurver på = f 1 (x) og på = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), så, som følger av fig. 9, er arealet lik forskjellen mellom arealene til krumlinjede trapeser en Sol b og en AD b, som hver er numerisk lik integralet. Midler,

Merk at arealet av figuren vist i figur 10, a er funnet av samme formel: S = (Bevis det!). Tenk på hvordan du beregner arealet av figuren vist i figur 10, b?

Vi snakket bare om kurvelinjeformede trapeser ved siden av OX-aksen. Men lignende formler er også gyldige for figurer ved siden av y-aksen. For eksempel er området til figuren vist i figur 11 funnet av formelen

La linjen y=f(x) å begrense den krumlinjede trapesen kan gis av de parametriske ligningene, tО , og j(a)= en, j(b) = b, dvs. på= . Da er området til denne krumlinjede trapesen

.

b) Kurvebuelengde

La det være en kurve på = f(x). Tenk på buen til denne kurven som tilsvarer endringen X på segmentet [ en, b]. La oss finne lengden på denne buen. For å gjøre dette deler vi buen AB inn i P deler med punktene A \u003d M 0, M 1, M 2, ..., M P= B (fig. 14), tilsvarende punktene X 1 , X 2 , ..., x n Î [ en, b].

Betegn D l jeg buelengden, da l= . Hvis buelengdene er D l jeg små nok, kan de vurderes tilnærmet like lengder tilsvarende segmenter som forbinder punkter M Jeg-1,M Jeg. Disse punktene har koordinater M Jeg -1 (x i -1, f (x i-1)), M Jeg(x i, f(x i)). Da er lengdene på segmentene like hhv

Her brukes Lagrange-formelen. La oss sette x i – x i-1=D x i, vi får

Deretter l = , hvor

l = .

Altså buelengden på kurven på = f(x) tilsvarende endringen X på segmentet [ en, b], finnes av formelen

l = , (1)

Hvis kurven er gitt parametrisk, tО, dvs. y(t) = f(x(t)), så får vi fra formel (1):

l=
.

Så hvis kurven er gitt parametrisk, vil lengden på buen til denne kurven som tilsvarer endringen tн, finnes av formelen

i) Volumet av revolusjonslegemet.

Fig.15

Tenk på en krumlinjet trapes en AB b, avgrenset av en linje på = f(x), rett X = en, X = b og segment [ en,b] av OX-aksen (fig. 15). La denne trapesen rotere rundt OX-aksen, resultatet vil være et revolusjonslegeme. Det kan bevises at volumet til denne kroppen vil være lik

På samme måte kan du utlede formelen for volumet til et legeme oppnådd ved å rotere rundt y-aksen til en krumlinjet trapes avgrenset av grafen til funksjonen X= j( på), rett y = c , y = d og segment [ c,d] y-akse (fig. 15):

Fysiske anvendelser av det bestemte integralet

I forelesning 19 beviste vi at fra et fysisk synspunkt er integralet numerisk lik masse rettlinjet tynn inhomogen stang av lengde l= b – en, med variabel lineær tetthet r = f(x), f(x) ³ 0, hvor X er avstanden fra punktet på stangen til dens venstre ende.

La oss vurdere andre fysiske anvendelser av det bestemte integralet.

Oppgave 1. Finn arbeidet som kreves for å pumpe olje ut av en vertikal sylindrisk tank med høyde H og baseradius R. Oljetettheten er r.

Løsning. La oss bygge matematisk modell denne oppgaven. La aksen OX passere langs symmetriaksen til sylinderen med høyde H og radius R, begynnelsen - i midten av den øvre bunnen av sylinderen (fig. 17). La oss dele sylinderen P små horisontale deler. Hvor da Ai- pumpearbeid Jeg lag. Denne partisjonen av sylinderen tilsvarer partisjonen av segmentet av endringen i laghøyden inn P deler. Tenk på et av disse lagene som ligger på avstand x i fra overflaten, bredde D X(eller umiddelbart dx). Utpumpingen av dette laget kan betraktes som å "heve" laget til en høyde x i.

Da er arbeidet som er gjort for å pumpe ut dette laget lik

Ai"R i x i, ,

hvor R Jeg=rgV Jeg= rgpR 2 dx, R Jeg– vekt, V Jeg er volumet av laget. Deretter Ai"R i x i= rgpR 2 dx.x i, hvor

, og derfor .

Oppgave 2. Finn treghetsmomentet

a) en hul tynnvegget sylinder om en akse som går gjennom dens symmetriakse;

b) en solid sylinder om en akse som går gjennom dens symmetriakse;

c) tynn stanglengde l om aksen som går gjennom midten;

d) tynn stanglengde l om aksen som går gjennom dens venstre ende.

Løsning. Som du vet, er treghetsmomentet til et punkt rundt aksen lik J=MR 2, og poengsystemer.

a) Sylinderen er tynnvegget, noe som gjør at veggtykkelsen kan neglisjeres. La radiusen til bunnen av sylinderen R, høyden H og massetettheten på veggene være lik r.

La oss dele sylinderen P deler og finn hvor J i- treghetsmoment Jeg-te partisjonselementet.

Ta i betraktning Jeg-te partisjonselement (en infinitesimal sylinder). Alle punktene er i en avstand R fra aksen l. La massen av denne sylinderen t jeg, deretter t jeg= rV Jeg»rs side= 2prR dx i, hvor x i O. Deretter J i» R 2 prR dx i, hvor

.

Hvis r er en konstant, da J= 2prR 3 N, og siden massen til sylinderen er M = 2prRН, så J= MR2.

b) Hvis sylinderen er solid (fylt), så deler vi den inn i P vlo tynne sylindre plassert inne i den andre. Hvis en P store, kan hver av disse sylindrene betraktes som tynnveggede. Denne partisjonen tilsvarer partisjonen til segmentet inn i P deler etter punkt R Jeg. La oss finne massen Jeg-th tynnvegget sylinder: t jeg= rV Jeg, hvor

V Jeg=pR Jeg 2H - pR Jeg- 1 2 H \u003d pH (R Jeg 2-R Jeg -1 2) =

PH(R Jeg-R Jeg-1)(R Jeg+R Jeg -1).

Siden veggene i sylinderen er tynne, kan vi anta at R Jeg+R Jeg-1 » 2R Jeg, og R Jeg-R Jeg-1=DR Jeg, deretter V Jeg» pH2R Jeg DR Jeg, hvor t jeg» rpН×2R Jeg DR Jeg,

Så til slutt

c) Tenk på en stang med lengde l, hvis massetetthet er lik r. La rotasjonsaksen passere gjennom midten.

Vi modellerer stangen som et segment av OX-aksen, så er rotasjonsaksen til stangen OY-aksen. Tenk på et elementært segment , dets masse , avstanden til aksen kan betraktes som omtrent lik r jeg= x i. Da er treghetsmomentet for denne seksjonen , hvorfra treghetsmomentet til hele stangen er . Tatt i betraktning at massen til stangen er , da

d) La nå rotasjonsaksen gå gjennom venstre ende av stangen, dvs. stangmodellen er et segment av OX-aksen. Så på samme måte, r jeg= x i, , hvor , og siden , da .

Oppgave 3. Finn trykkkraften til en væske med tetthet r på en rettvinklet trekant med ben en og b, nedsenket vertikalt i en væske slik at benet en er på overflaten av væsken.

Løsning.

La oss bygge en oppgavemodell. La toppen rett vinkel trekanten er i origo, ben en faller sammen med segmentet til OY-aksen (OY-aksen bestemmer overflaten til væsken), OX-aksen er rettet nedover, benet b faller sammen med segmentet til denne aksen. Hypotenusen til denne trekanten har ligningen , eller .

Det er kjent at hvis på det horisontale området av området S, nedsenket i en væske med tetthet r, presses av en væskesøyle med en høyde h, da er trykkkraften lik (Pascals lov). La oss bruke denne loven.

La oss presentere noen anvendelser av det bestemte integralet.

Beregning av arealet til en flat figur

Området til en krumlinjet trapes avgrenset av en kurve (hvor
), rett
,
og segment
økser
, beregnes av formelen

.

Arealet av en figur avgrenset av kurver
og
(hvor
) rett
og
beregnet med formelen

.

Hvis kurven er gitt ved parametriske ligninger
, deretter området til den krumlinjede trapesen avgrenset av denne kurven, rette linjer
,
og segment
økser
, beregnes av formelen

,

hvor og bestemmes ut fra ligningene
,
, a
på
.

Arealet av en buet sektor avgrenset av en kurve definert i polare koordinater ligning
og to polare radier
,
(
), er funnet av formelen

.

Eksempel 1.27. Beregn arealet til en figur avgrenset av en parabel
og direkte
(Figur 1.1).

	Løsning. La oss finne skjæringspunktene mellom linjen og parablen. For å gjøre dette løser vi ligningen , . Hvor , . Så ved formel (1.6) har vi .

Beregning av buelengden til en plan kurve

Hvis kurven
på segmentet
- glatt (det vil si derivatet
er kontinuerlig), blir lengden på den tilsvarende buen til denne kurven funnet av formelen

.

Når du spesifiserer en kurve parametrisk
(
- kontinuerlig differensierbare funksjoner) lengden på buen til kurven som tilsvarer en monoton endring i parameteren fra før , beregnes av formelen

Eksempel 1.28. Beregn buelengden til en kurve
,
,
.

Løsning. La oss finne de deriverte med hensyn til parameteren :
,
. Så får vi ved formel (1.7).

.

2. Differensialberegning av funksjoner av flere variabler

La hvert bestilte tallpar
fra et eller annet område
tilsvarer et visst antall
. Deretter kalt funksjon av to variabler og ,
-uavhengige variabler eller argumenter ,
-definisjonsdomene funksjoner, men settet alle funksjonsverdier - dens rekkevidde og betegne
.

Geometrisk sett er domenet til en funksjon vanligvis en del av planet
avgrenset av linjer som kan eller ikke hører til dette området.

Eksempel 2.1. Finn domene
funksjoner
.

Løsning. Denne funksjonen er definert på de punktene i planet , hvori , eller . Punkter på flyet som , danner grensen til regionen . Ligningen definerer en parabel (Fig. 2.1; siden parablen ikke tilhører området , vises det som en stiplet linje). Videre er det enkelt å verifisere direkte at punktene som , plassert over parablen. Region er åpen og kan spesifiseres ved hjelp av systemet med ulikheter:

Hvis variabel gi et løft
, a la den være konstant, deretter funksjonen
vil motta en økning
kalt privat inkrementfunksjon etter variabel :

Tilsvarende hvis variabelen får en økning
, a forblir konstant, deretter funksjonen
vil motta en økning
kalt privat inkrementfunksjon etter variabel :

Hvis det finnes grenser:

,

,

de heter partielle deriverte av en funksjon
etter variabler og hhv.

Merknad 2.1. De partielle deriverte av funksjoner av et hvilket som helst antall uavhengige variabler er definert på samme måte.

Merknad 2.2. Siden den partielle deriverte med hensyn til en hvilken som helst variabel er en derivert med hensyn til denne variabelen, forutsatt at de andre variablene er konstante, så er alle reglene for å differensiere funksjoner til en variabel gjeldende for å finne partielle deriverte av funksjoner av et hvilket som helst antall variabler.

Eksempel 2.2.
.

Løsning. Vi finner:

,

.

Eksempel 2.3. Finn partielle derivater av funksjoner
.

Løsning. Vi finner:

,

,

.

Full funksjonstilvekst
kalles forskjell

Hoveddel av total funksjonsøkning
, lineært avhengig av økninger av uavhengige variabler
og
,kalles den totale differensialen til funksjonen og betegnet
. Hvis en funksjon har kontinuerlige partielle deriverte, så eksisterer den totale differensialen og er lik

,

hvor
,
- vilkårlige økninger av uavhengige variabler, kalt deres differensialer.

Tilsvarende for en funksjon av tre variabler
den totale differensialen er gitt av

.

La funksjonen
har på punktet
førsteordens partielle deriverte med hensyn til alle variabler. Deretter kalles vektoren gradient funksjoner
på punktet
og betegnet
eller
.

Merknad 2.3. Symbol
kalles Hamilton-operatøren og uttales "numbla".

Eksempel 2.4. Finn gradienten til en funksjon i et punkt
.

Løsning. La oss finne partielle derivater:

,
,

og beregne verdiene deres på punktet
:

,
,
.

Følgelig
.

derivat funksjoner
på punktet
i vektorens retning
kalt grensen for forholdet
på
:

, hvor
.

Hvis funksjonen
er differensierbar, beregnes den deriverte i denne retningen av formelen:

,

hvor ,- vinkler, hvilken vektor former med økser
og
hhv.

Når det gjelder en funksjon av tre variabler
retningsderiverten er definert på samme måte. Den tilsvarende formelen har formen

,

hvor
- retning cosinus av vektoren .

Eksempel 2.5. Finn den deriverte av en funksjon
på punktet
i vektorens retning
, hvor
.

Løsning. La oss finne vektoren
og dens retning cosinus:

,
,
,
.

Beregn verdiene til partielle derivater på punktet
:

,
,
;
,
,
.

Ved å erstatte med (2.1), får vi

.

Partielle derivater av andre orden kalt partielle derivater hentet fra partielle derivater av første orden:

,

,

,

Partielle derivater
,
kalt blandet . Verdiene til blandede derivater er like på de punktene hvor disse derivatene er kontinuerlige.

Eksempel 2.6. Finn andre ordens partielle deriverte av en funksjon
.

Løsning. Regn ut første partielle deriverte av første orden:

,
.

Ved å skille dem igjen får vi:

,
,

,
.

Sammenligner vi de siste uttrykkene, ser vi det
.

Eksempel 2.7. Bevis at funksjonen
tilfredsstiller Laplace-ligningen

.

Løsning. Vi finner:

,
.

,
.

.

Punktum
kalt lokalt maksimumspunkt (minimum ) funksjoner
, hvis for alle punkter
, annet enn
og tilhørighet til et tilstrekkelig lite nabolag av det, ulikheten

(
).

Maksimum eller minimum av en funksjon kalles dens ekstremum . Punktet der funksjonens ekstremum nås kalles ekstremumpunktet for funksjonen .

Teorem 2.1 (Nødvendige forhold for et ekstremum ). Hvis punkt
er funksjonens ytterpunkt
, så eksisterer ikke minst én av disse derivatene.

Punktene som disse vilkårene er oppfylt for, kalles stasjonær eller kritisk . Ekstrempunkter er alltid stasjonære, men et stasjonært punkt er kanskje ikke et ekstrempunkt. For at et stasjonært punkt skal være et ekstremumpunkt, må tilstrekkelige ekstremumbetingelser være oppfylt.

La oss først introdusere følgende notasjon :

,
,
,
.

Teorem 2.2 (Tilstrekkelige forhold for et ekstremum ). La funksjonen
er to ganger differensierbar i et område av et punkt
og prikk
er stasjonær for funksjonen
. Deretter:

1.Hvis en
, så poenget
er ytterpunktet av funksjonen, og
vil være maksimumspunktet kl
(
)og minimumspunktet kl
(
).

2.Hvis en
, så på punktet

det er ikke noe ekstremum.

3.Hvis en
, så kan det være eller ikke være et ekstremum.

Eksempel 2.8. Undersøk en funksjon for et ekstremum
.

Løsning. Siden i denne saken partielle deriverte av første orden eksisterer alltid, så for å finne de stasjonære (kritiske) punktene løser vi systemet:

,
,

hvor
,
,
,
. Dermed fikk vi to stasjonære poeng:
,
.

,
,
.

For poeng
vi får:, det vil si at det ikke er noe ekstremum på dette tidspunktet. For poeng
vi får: og
, Følgelig

På dette punktet gitt funksjon når et lokalt minimum: .

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i Den russiske føderasjonen

føderal stat autonom utdanningsinstitusjon

høyere profesjonsutdanning

"Nordlige (arktiske) føderalt universitet oppkalt etter M.V. Lomonosov"

Institutt for matematikk

KURSARBEID

Etter disiplin matematikk

Pyatysheva Anastasia Andreevna

Veileder

Kunst. lærer

Borodkina T.A.

Arkhangelsk 2014

OPPGAVE FOR KURSARBEID

Anvendelser av det bestemte integralet

INNLEDENDE DATA:

21. y=x3, y=; 22.

INTRODUKSJON

I dette kursarbeidet har jeg fått følgende oppgaver: å beregne arealene til figurer avgrenset av grafer av funksjoner, avgrenset av linjer gitt av ligninger, også avgrenset av linjer gitt av ligninger i polare koordinater, beregne lengden av buer av kurver gitt av ligninger i rektangulært system koordinater gitt av parametriske ligninger, gitt av ligninger i polare koordinater, samt beregne volumene til legemer avgrenset av overflater, avgrenset av grafer av funksjoner, og dannet av rotasjon av figurer avgrenset av grafer av funksjoner rundt polaraksen. Jeg valgte en semesteroppgave om emnet «Definite Integral. I denne forbindelse bestemte jeg meg for å finne ut hvor enkelt og raskt du kan bruke integrerte beregninger, og hvor nøyaktig du kan beregne oppgavene som er tildelt meg.

INTEGRAL er et av de viktigste begrepene i matematikk som oppsto i forbindelse med behovet på den ene siden for å finne funksjoner ved hjelp av deres deriverte (for eksempel å finne en funksjon som uttrykker veien et bevegelig punkt reiser, iht. hastigheten til dette punktet), og på den annen side å måle områder, volumer, lengder på buer, kraftarbeid i en viss tidsperiode, etc.

Emneavsløring semesteroppgave Jeg fulgte følgende plan: definisjonen av et bestemt integral og dets egenskaper; kurve bue lengde; området av en krumlinjet trapes; overflateareal av rotasjon.

For enhver funksjon f(x) som er kontinuerlig på segmentet, eksisterer det en antiderivert på dette segmentet, som betyr at det eksisterer ubestemt integral.

Hvis funksjonen F(x) er en antiderivert av kontinuerlig funksjon f(x), så er dette uttrykket kjent som Newton-Leibniz-formelen:

Hovedegenskapene til det bestemte integralet:

Hvis de nedre og øvre grensene for integrasjon er lik (a=b), er integralet lik null:

Hvis f(x)=1, så:

Når du omorganiserer grensene for integrasjon, endrer den bestemte integralen fortegn til det motsatte:

Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til et bestemt integral:

Hvis funksjonene er integrerbare på, er summen deres integrerbar og integralet av summen er lik summen integraler:

Det finnes også grunnleggende integreringsmetoder, som endring av variabel,:

Differensialfiks:

Integrasjon-for-deler-formelen gjør det mulig å redusere beregningen av integralet til beregningen av integralet, som kan vise seg å være enklere:

Den geometriske betydningen av et bestemt integral er at for en kontinuerlig og ikke-negativ funksjon er det i geometrisk forstand området til den tilsvarende kurvelinjeformede trapesen.

I tillegg, ved å bruke et bestemt integral, kan du finne området til regionen avgrenset av kurver, rette linjer og, hvor

Hvis en kurvelinjeformet trapes er avgrenset av en kurve gitt parametrisk av de rette linjene x = a og x = b og aksen Ox, blir arealet funnet av formelen, der de bestemmes fra likheten:

. (12)

Hovedområdet, området som er funnet ved hjelp av en viss integral, er en krumlinjet sektor. Dette er området avgrenset av to stråler og en kurve, der r og er polare koordinater:

Hvis kurven er en graf av funksjonen hvor, og funksjonen til dens deriverte er kontinuerlig på dette segmentet, kan overflatearealet til figuren dannet av rotasjonen av kurven rundt Ox-aksen beregnes med formelen:

. (14)

Hvis en funksjon og dens deriverte er kontinuerlige på et segment, har kurven en lengde lik:

Hvis kurveligningen er gitt i parametrisk form

hvor x(t) og y(t) er kontinuerlige funksjoner med kontinuerlige deriverte og deretter lengden på kurven er funnet ved formelen:

Hvis kurven er gitt av en ligning i polare koordinater, hvor og er kontinuerlige på segmentet, kan buelengden beregnes som følger:

Hvis en krumlinjet trapes roterer rundt Ox-aksen, avgrenset av et kontinuerlig linjesegment og rette linjer x \u003d a og x \u003d b, vil volumet av kroppen dannet ved rotasjonen av denne trapesen rundt Ox-aksen være lik :

Hvis en kurvelinjeformet trapes er avgrenset av en graf med en kontinuerlig funksjon og linjer x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Hvis figuren er avgrenset av kurver og (er "høyere" enn av rette linjer x = a, x = b, vil volumet til omdreiningslegemet rundt Ox-aksen være lik:

og rundt y-aksen (:

Hvis den krumlinjede sektoren roteres rundt den polare aksen, kan området til den resulterende kroppen bli funnet med formelen:

2. PROBLEMLØSNING

Oppgave 14: Regn ut arealene til figurer avgrenset av funksjonsgrafer:

1) Løsning:

Figur 1 - Graf over funksjoner

X endres fra 0 til

x 1 = -1 og x 2 = 2 - integrasjonsgrenser (dette kan sees i figur 1).

3) Beregn arealet av figuren ved å bruke formel (10).

Svar: S = .

Oppgave 15: Regn ut arealene til figurene avgrenset av linjene gitt av ligningene:

1) Løsning:

Figur 2 - Graf over funksjoner

Tenk på en funksjon på intervallet.

Figur 3 - Tabell over variabler for funksjonen

Siden vil 1 bue passe på denne perioden. Denne buen består av en sentral del (S 1) og sidedeler. Den sentrale delen består av ønsket del og et rektangel (S pr):. La oss beregne arealet til en sentral del av buen.

2) Finn grensene for integrering.

og y = 6, derav

For et intervall, grensene for integrasjon.

3) Finn arealet av figuren ved å bruke formel (12).

krumlinjet integrert trapes

Oppgave 16: Regn ut arealene til figurer avgrenset av linjer gitt av ligninger i polare koordinater:

1) Løsning:

Figur 4 - Graf over funksjoner,

Figur 5 - Tabell over variable funksjoner,

2) Finn grensene for integrering.

Følgelig -

3) Finn arealet av figuren ved å bruke formel (13).

Svar: S=.

Oppgave 17: Regn ut lengdene på buer av kurver gitt av ligninger i et rektangulært koordinatsystem:

1) Løsning:

Figur 6 - Graf over funksjonen

Figur 7 - Tabell over funksjonsvariabler

2) Finn grensene for integrering.

varierer fra ln til ln, dette er tydelig fra tilstanden.

3) Finn buelengden ved hjelp av formel (15).

Svar: l =

Oppgave 18: Regn ut lengdene på buer av kurver gitt av parametriske ligninger: 1)

1) Løsning:

Figur 8- Funksjonsgraf

Figur 11 - Tabell over funksjonsvariabler

2) Finn grensene for integrering.

ts varierer fra, dette er tydelig fra tilstanden.

La oss finne buelengden ved å bruke formel (17).

Oppgave 20: Regn ut volumene til kropper avgrenset av overflater:

1) Løsning:

Figur 12 - Graf over funksjoner:

2) Finn grensene for integrering.

Z endres fra 0 til 3.

3) Finn volumet til figuren ved hjelp av formel (18)

Oppgave 21: Beregn volumene til legemer avgrenset av funksjonsgrafer, rotasjonsakse Ox: 1)

1) Løsning:

Figur 13 - Graf over funksjoner

Figur 15 - Funksjonsgraftabell

2) Finn grensene for integrering.

Punktene (0;0) og (1;1) er felles for begge grafene, derfor er dette grensene for integrasjon, som er tydelig i figuren.

3) Finn volumet til figuren ved hjelp av formel (20).

Oppgave 22: Beregn arealet av legemer dannet ved rotasjon av figurer avgrenset av funksjonsgrafer rundt polaraksen:

1) Løsning:

Figur 16 - Graf over funksjonen

Figur 17 - Tabell over variabler for grafen til funksjonen

2) Finn grensene for integrering.

c endres fra

3) Finn arealet av figuren ved å bruke formel (22).

Svar: 3,68

KONKLUSJON

I prosessen med å fullføre kursarbeidet mitt om emnet "Definite Integral", lærte jeg å beregne arealer forskjellige kropper, finn lengdene til forskjellige buer med kurver, og regn ut volumer. Denne representasjonen om å jobbe med integraler, vil hjelpe meg i fremtiden profesjonell aktivitet hvordan du utfører raskt og effektivt ulike aktiviteter. Tross alt er integralet i seg selv et av de viktigste begrepene i matematikk, som oppsto i forbindelse med behovet på den ene siden for å finne funksjoner ved hjelp av deres deriverte (for eksempel å finne en funksjon som uttrykker veien som beveges av en bevegelig punkt, i henhold til hastigheten til dette punktet), og på den annen side å måle arealer, volumer, buelengder, kraftarbeid i en viss tidsperiode, etc.

LISTE OVER BRUKTE KILDER

1. Skrevet, D.T. Forelesningsnotater om høyere matematikk: Del 1 - 9. utg. - M.: Iris-press, 2008. - 288 s.

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. Høyere matematikk. Differensial og integralregning: V.2 - M.: Drofa, 2004. - 512 s.

3. V. A. Zorich, Matematisk analyse. Del I. - Red. 4. - M.: MTSNMO, 2002. - 664 s.

4. Kuznetsov D.A. «Samling av oppgaver for høyere matematikk» Moskva, 1983

5. Nikolsky S. N. "Elementer matematisk analyse". - M.: Nauka, 1981.

Lignende dokumenter

Beregning av arealene til planfigurer. Finne en bestemt integral av en funksjon. Bestemmelse av arealet under kurven, arealet av figuren innelukket mellom kurvene. Beregning av volumer av revolusjonslegemer. Grensen for integralsummen av en funksjon. Bestemme volumet til en sylinder.

presentasjon, lagt til 18.09.2013


Funksjoner ved å beregne volumene til kropper avgrenset av overflater ved å bruke geometrisk betydning dobbel integral. Bestemme arealer av planfigurer avgrenset av linjer ved hjelp av integrasjonsmetoden i løpet av matematisk analyse.

presentasjon, lagt til 17.09.2013


Derivert av et bestemt integral med hensyn til en variabel øvre grense. Beregning av et bestemt integral som en grense for integralsummen ved Newton–Leibniz-formelen, endring av variabel og integrasjon etter deler. Buelengde inn polare system koordinater.

kontrollarbeid, lagt til 22.08.2009


Momenter og massesentre for plankurver. Guldens teorem. Overflatearealet som dannes ved rotasjonen av en bue av en plan kurve rundt en akse som ligger i bueplanet og ikke skjærer det, er lik produktet av lengden på buen og lengden på sirkelen.

foredrag, lagt til 09.04.2003


Teknikken og hovedstadiene for å finne parametrene: området til en krumlinjet trapes og sektor, lengden på buen til kurven, volumet av legemer, overflatearealet til revolusjonslegemer, arbeidet til en variabel makt. Rekkefølgen og mekanismen for å beregne integraler ved hjelp av MathCAD-pakken.

kontrollarbeid, lagt til 21.11.2010


Nødvendig og tilstrekkelig tilstand eksistensen av en bestemt integral. Likhet av en bestemt integral av algebraisk sum(forskjell) av to funksjoner. Middelverditeoremet – konsekvens og bevis. Den geometriske betydningen av et bestemt integral.

presentasjon, lagt til 18.09.2013


En oppgave numerisk integrasjon funksjoner. Beregning av den omtrentlige verdien av et bestemt integral. Å finne et bestemt integral ved å bruke metodene for rektangler, midtre rektangler, trapeser. Feilen i formler og sammenligning av metoder når det gjelder nøyaktighet.

opplæringsmanual, lagt til 07.01.2009


Metoder for beregning av integraler. Formler og verifisering av ubestemt integral. Arealet av en krumlinjet trapes. Ubestemt, bestemt og kompleks integral. Grunnleggende anvendelser av integraler. Geometrisk betydning av bestemte og ubestemte integraler.

presentasjon, lagt til 15.01.2014


Beregning av arealet til en figur avgrenset av gitte linjer, ved å bruke en dobbel integral. Beregning av dobbeltintegralet ved å gå til polare koordinater. Metode for bestemmelse krumlinjet integral av den andre typen langs en gitt linje og flyt av et vektorfelt.

kontrollarbeid, lagt til 14.12.2012


Konseptet med et bestemt integral, beregningen av areal, volum av kroppen og lengden på buen, det statiske momentet og tyngdepunktet til kurven. Arealberegning ved rektangulært krumlinjet område. Påføring av krumlinjede, overflate- og trippelintegraler.

Forelesninger 8. Anvendelser av en bestemt integral.

Anvendelse av integralen til fysiske oppgaver er basert på additivitetsegenskapen til integralet over et sett. Derfor, ved hjelp av integralet, kan slike mengder beregnes som i seg selv er additive i settet. For eksempel er arealet til en figur lik summen av arealene til delene. Lengden på buen, overflatearealet, kroppens volum og kroppens masse har samme egenskap. Derfor kan alle disse mengdene beregnes ved hjelp av en bestemt integral.

Det er to måter å løse problemer på: metoden for integral summer og metoden for differensialer.

Metoden for integral summer gjentar konstruksjonen av et bestemt integral: en partisjon er konstruert, punkter er markert, en funksjon beregnes i dem, en integral sum beregnes, og overgangen til grensen utføres. I denne metoden er hovedvanskeligheten å bevise at i grensen vil nøyaktig det som trengs i problemet oppnås.

Differensialmetoden bruker det ubestemte integralet og Newton–Leibniz-formelen. Differansen til verdien som skal bestemmes beregnes, og deretter, ved å integrere denne differensialen, oppnås den nødvendige verdien ved å bruke Newton-Leibniz-formelen. I denne metoden er hovedvanskeligheten å bevise at det er differensialen til ønsket verdi som beregnes, og ikke noe annet.

Beregning av arealene til planfigurer.

1. Figuren er begrenset til grafen for funksjonen spesifisert i Kartesisk system koordinater.

Vi kom til konseptet med en bestemt integral fra problemet med arealet til en krumlinjet trapes (faktisk ved å bruke metoden for integral summer). Hvis funksjonen aksepterer bare ikke negative verdier, så kan arealet under grafen til funksjonen på segmentet beregnes ved hjelp av en bestemt integral. Legg merke til det så her kan du se metoden for differensialer.

Men funksjonen kan også ta negative verdier på et bestemt segment, da vil integralet over dette segmentet gi et negativt område, som motsier definisjonen av område.

Du kan beregne arealet ved hjelp av formelenS=. Dette tilsvarer å endre fortegnet til funksjonen i de områdene der den tar negative verdier.

Hvis du trenger å beregne arealet av en figur avgrenset ovenfra av grafen til funksjonen, og nedenfra av grafen til funksjonen, så du kan bruke formelenS= , fordi .

Eksempel. Beregn arealet av figuren avgrenset av rette linjer x=0, x=2 og grafer for funksjonene y=x 2, y=x 3 .

Merk at på intervallet (0,1) er ulikheten x 2 > x 3 tilfredsstilt, og for x >1 er ulikheten x 3 > x 2 tilfredsstilt. Derfor

2. Figuren er begrenset til grafen for funksjonen gitt i det polare koordinatsystemet.

La grafen til funksjonen være gitt i det polare koordinatsystemet, og vi vil beregne arealet til den krumlinjede sektoren avgrenset av to stråler og grafen til funksjonen i det polare koordinatsystemet.

Her kan du bruke metoden for integrerte summer, beregne arealet til en buet sektor som grensen for summen av arealene til elementære sektorer der grafen til funksjonen er erstattet av en sirkelbue .

Du kan også bruke differensialmetoden: .

Du kan resonnere slik. Ved å erstatte den elementære krumlinjede sektoren som tilsvarer den sentrale vinkelen med en sirkulær sektor, har vi proporsjonen . Herfra . Ved å integrere og bruke Newton-Leibniz-formelen får vi .

Eksempel. Beregn arealet av sirkelen (sjekk formelen). Vi tror . Arealet av sirkelen er .

Eksempel. Beregn området avgrenset av kardioiden .

3 Figuren er begrenset til grafen til en funksjon spesifisert parametrisk.

Funksjonen kan spesifiseres parametrisk i skjemaet . Vi bruker formelen S= , og erstatter grensene for integrasjon med den nye variabelen. . Vanligvis, når man beregner integralet, skilles de områdene ut der integranden har et visst fortegn og det tilsvarende arealet med et eller annet tegn tas i betraktning.

Eksempel. Regn ut arealet som er omsluttet av ellipsen.

Ved å bruke symmetrien til ellipsen beregner vi arealet til en fjerdedel av ellipsen, som ligger i første kvadrant. i denne kvadranten. Derfor .

Beregning av volum av kropper.

1. Beregning av volumene av kropper fra områdene med parallelle seksjoner.

La det være påkrevd å beregne volumet til noe legeme V fra kjente torg seksjoner av denne kroppen ved plan vinkelrett på linjen OX, trukket gjennom et hvilket som helst punkt x i linjestykket OX.

Vi bruker metoden for differensialer. Tatt i betraktning det elementære volumet, over segmentet som volumet til en rett sirkulær sylinder med grunnflate og høyde, får vi . Integrering og bruk av Newton-Leibniz-formelen får vi

2. Beregning av volumer av revolusjonslegemer.

La det kreves å beregne OKSE.

Deretter .

Like måte, volumet av et omdreiningslegeme om en akseOY, hvis funksjonen er gitt i skjemaet , kan beregnes ved hjelp av formelen .

Hvis funksjonen er gitt i form og det er nødvendig å bestemme volumet av omdreiningslegemet rundt aksenOY, så kan formelen for beregning av volumet fås som følger.

Vi går over til differensialen og neglisjerer de kvadratiske leddene . Ved å integrere og bruke Newton-Leibniz-formelen har vi .

Eksempel. Regn ut volumet til kulen.

Eksempel. Beregn volumet til en rett sirkulær kjegle avgrenset av en overflate og et plan.

Beregn volumet som volumet til et omdreiningslegeme dannet ved rotasjon rundt OZ-aksen høyre trekant i OXZ-planet, hvis ben ligger på OZ-aksen og linjen z \u003d H, og hypotenusen ligger på linjen.

Når vi uttrykker x i form av z, får vi .

Buelengdeberegning.

For å få formler for å beregne lengden på en bue, la oss huske formlene for differensialen til lengden på en bue utledet i 1. semester.

Hvis buen er en graf for en kontinuerlig differensierbar funksjon, kan buelengdeforskjellen beregnes med formelen

. Derfor

Hvis en jevn bue er spesifisert parametrisk, deretter

. Derfor .

Hvis buen er i polare koordinater, deretter

. Derfor .

Eksempel. Beregn buelengden til funksjonsgrafen, . .

Området til en krumlinjet trapes avgrenset ovenfra av grafen til en funksjon y=f(x), venstre og høyre - rett x=a og x=b henholdsvis nedenfra - aksen Okse, beregnes av formelen

Arealet av en krumlinjet trapes avgrenset til høyre av grafen til en funksjon x=φ(y), topp og bunn - rett y=d og y=c henholdsvis til venstre - aksen Oy:

Torget krumlinjet figur, avgrenset ovenfra av grafen til funksjonen y 2 \u003d f 2 (x), under - graf over funksjonen y 1 \u003d f 1 (x), venstre og høyre - rett x=a og x=b:

Området til en krumlinjet figur avgrenset til venstre og høyre av funksjonsgrafer x 1 \u003d φ 1 (y) og x 2 \u003d φ 2 (y), topp og bunn - rett y=d og y=c henholdsvis:

Tenk på tilfellet når linjen som begrenser den krumlinjede trapesen ovenfra er gitt av de parametriske ligningene x = φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t), hvor α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Disse ligningene definerer en funksjon y=f(x) på segmentet [ a, b]. Arealet til en krumlinjet trapes beregnes ved hjelp av formelen

La oss gå videre til en ny variabel x = φ 1 (t), deretter dx = φ" 1 (t) dt, a y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), derav \begin(displaymath)

Område i polare koordinater

Tenk på en krumlinjet sektor OAB, begrenset av en linje, gitt av ligningen ρ=ρ(φ) i polare koordinater, to stråler OA og OB, for hvilket φ=α , φ=β .

Vi deler sektoren inn i elementære sektorer OM k-1 M k ( k=1, …, n, M0 =A, Mn=B). Angi med Δφk vinkel mellom bjelkene OM k-1 og OM k danner vinkler med polaraksen φk-1 og φ k hhv. Hver av de elementære sektorene OM k-1 M k erstatte med en sirkulær sektor med radius ρ k \u003d ρ (φ "k), hvor φ" k- vinkelverdi φ fra intervallet [ φk-1, φk], og sentralt hjørne Δφk. Arealet til den siste sektoren er uttrykt med formelen .

uttrykker området til den "trinnede" sektoren, som omtrent erstatter den gitte sektoren OAB.

Sektorområde OAB kalles grensen for området til den "tråkkede" sektoren ved n→∞ og λ=maks Δφ k → 0:

Fordi , deretter

Kurvebuelengde

La på segmentet [ a, b] en differensierbar funksjon er gitt y=f(x), hvis graf er buen . Linjestykke [ a,b] dele inn i n deler prikker x 1, x2, …, xn-1. Disse punktene vil tilsvare poengene M1, M2, …, Mn-1 buer, koble dem med en brutt linje, som kalles en brutt linje innskrevet i en bue. Omkretsen til denne stiplede linjen er angitt med s n, det er

Definisjon. Lengden på linjens bue er grensen for omkretsen til polylinjen som er innskrevet i den, når antall lenker M k-1 M køker i det uendelige, og lengden på den største av dem har en tendens til null:

hvor λ er lengden på det største leddet.

Vi vil telle lengden på buen fra noen av punktene, for eksempel EN. La på punktet M(x,y) buelengden er s, og på punktet M"(x+Δx,y+Δy) buelengden er s+Δs, hvor, i>Δs - buelengde. Fra en trekant MNM" finn lengden på akkorden:.

Fra geometriske betraktninger følger det

det vil si at den uendelig lille buen til linjen og akkorden som underspenner den er ekvivalente.

La oss transformere formelen som uttrykker lengden på akkorden:

Når vi går til grensen i denne likheten, får vi en formel for den deriverte av funksjonen s=s(x):

som vi finner fra

Denne formelen uttrykker differensialen til buen til en plan kurve og har en enkel geometrisk betydning : uttrykker Pythagoras teorem for en infinitesimal trekant MTN (ds=MT, ).

Differansen til buen til romkurven er gitt av

Betrakt en bue av en romlinje gitt av de parametriske ligningene

hvor α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i=1, 2, 3) er differensierbare funksjoner av argumentet t, deretter

Integrering av denne likheten over intervallet [ α, β ], får vi en formel for å beregne lengden på denne linjebuen

Hvis linjen ligger i et fly Oksy, deretter z=0 for alle t∈[α, β], derfor

I tilfelle når flat linje gitt av ligningen y=f(x) (a≤x≤b), hvor f(x) er en differensierbar funksjon, tar den siste formelen formen

La den flate linjen være gitt av ligningen ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) i polare koordinater. I dette tilfellet har vi parametriske ligninger linjer x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, hvor den polare vinkelen tas som en parameter φ . Fordi det

deretter formelen som uttrykker lengden på linjens bue ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) i polare koordinater har formen

kroppsvolum

La oss finne volumet til et legeme hvis arealet av et hvilket som helst tverrsnitt av denne kroppen vinkelrett på en bestemt retning er kjent.

La oss dele denne kroppen inn i elementære lag ved plan vinkelrett på aksen Okse og definert av ligningene x=konst. For enhver fast x∈ kjent område S=S(x) tverrsnitt av denne kroppen.

Elementært lag avskåret av fly x=x k-1, x=x k (k=1, …, n, x 0 =a, xn=b), erstatter vi den med en sylinder med høyde ∆x k =x k -x k-1 og basisareal S(ξk), ξk ∈.

Volumet til den spesifiserte elementære sylinderen uttrykkes med formelen Δvk =E(ξk)Δxk. La oss oppsummere alle slike produkter

som er integralsummen for den gitte funksjonen S=S(x) på segmentet [ a, b]. Det uttrykker volumet til en trinnformet kropp, bestående av elementære sylindre og omtrent erstatter den gitte kroppen.

Volumet til en gitt kropp er grensen for volumet til den spesifiserte trinnkroppen ved λ→0 , hvor λ - lengden på det største av de elementære segmentene ∆x k. Angi med V volumet til den gitte kroppen, da per definisjon

På den andre siden,

Derfor volumet av kroppen i henhold til gitt veikryss beregnet med formelen

Hvis kroppen er dannet ved rotasjon rundt en akse Okse krumlinjeformet trapes avgrenset ovenfra av en bue av en kontinuerlig linje y=f(x), hvor a≤x≤b, deretter S(x)=πf 2 (x) og den siste formelen blir:

Kommentar. Volumet av et legeme oppnådd ved å rotere en krumlinjet trapes avgrenset til høyre av en funksjonsgraf x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), rundt aksen Oy beregnet med formelen

Rotasjonsoverflate

Vurder overflaten oppnådd ved å rotere linjens bue y=f(x) (a≤x≤b) rundt aksen Okse(anta at funksjonen y=f(x) har en kontinuerlig derivert). Vi fikser verdien x∈, vil funksjonsargumentet økes dx, som tilsvarer "elementærringen" oppnådd ved å rotere elementærbuen Δl. Denne "ringen" er erstattet av en sylindrisk ring - den laterale overflaten av kroppen dannet av rotasjonen av et rektangel med en base lik buens differensial dl, og høyde h=f(x). Å kutte den siste ringen og brette den ut, får vi en stripe med en bredde dl og lengde 2πy, hvor y=f(x).

Derfor uttrykkes overflatearealdifferensialen med formelen

Denne formelen uttrykker overflatearealet oppnådd ved å rotere buen til en linje y=f(x) (a≤x≤b) rundt aksen Okse.