Anvendelse av integralregning i yrkesaktivitet. Sammendrag av leksjonen "Anvendelse av integralen"

"Omsk State Medical Academy"

Ministeriet for helse og sosial utvikling i Den russiske føderasjonen

om emnet: anvendelse av en bestemt integral

i medisin

fullført av 1. års student

avdelinger for allmennmedisin

gruppe 102F

Glushneva N.A.

Introduksjon

En fremragende italiensk fysiker og astronom, en av grunnleggerne av eksakt naturvitenskap, Galileo Galilei (1564-1642) sa at "Naturens bok er skrevet på matematikkens språk." Nesten to hundre år senere hevdet grunnleggeren av tysk klassisk filosofi, Kant (1742-1804), at «I enhver vitenskap er det like mye sannhet som det er matematikk i den». Til slutt, etter nesten hundre og femti år, praktisk talt allerede i vår tid, uttalte den tyske matematikeren og logikeren David Hilbert (1862-1943): «Matematikk er grunnlaget for all eksakt naturvitenskap».

Leonardo Da Vinci sa: "La ingen som ikke er matematiker lese meg i det grunnleggende." Han prøver å finne en matematisk begrunnelse for naturlovene, og vurderer matematikk som et kraftig kunnskapsmiddel, og han bruker det selv i en vitenskap som anatomi.

Alle trenger matematikk. Og leger også. I det minste for å kunne lese det vanlige kardiogrammet korrekt. Uten kunnskap om det grunnleggende i matematikk er det umulig å være en god datatekniker, å bruke datatomografiens muligheter ... Tross alt kan moderne medisin ikke klare seg uten den mest komplekse teknologien.

I dag er det umulig å studere hemodynamikk - bevegelsen av blod gjennom karene uten bruk av integralet.

Høyre hjertekateterisering var lenge den eneste forskningsmetoden som gjorde det mulig å vurdere tilstanden til høyre hjerte, få kjennetegn på intrakardial blodstrøm og bestemme trykk i høyre hjerte og lungearterier.
Den største fordelen med ekkokardiografi (EchoCG) er at det ikke-invasivt i sanntid er mulig å vurdere størrelsen og bevegelsen til hjertestrukturer, oppnå karakteristikker av intrakardial hemodynamikk og bestemme trykk i hjertekamrene og lungearterien. Det er påvist god sammenlignbarhet av resultatene av ekkokardiografi med data innhentet under hjertekateterisering.
En ekkokardiografisk studie gjør det ikke bare mulig å oppdage tilstedeværelsen av pulmonal hypertensjon, men også å utelukke en rekke sykdommer som forårsaker sekundær pulmonal hypertensjon: mitralventildefekter, medfødte hjertefeil, dilatert kardiomyopati, kronisk myokarditt.

Men nærmere praksis. La oss først finne den lineære hastigheten til blodstrømmen

Endring i den lineære hastigheten til blodstrømmen i forskjellige kar

Dette er veien tilbakelagt per tidsenhet av en blodpartikkel i et kar. Den lineære hastigheten i kar av forskjellige typer er forskjellig (se figur) og avhenger av den volumetriske hastigheten til blodstrømmen og tverrsnittsarealet til karene. I praktisk medisin måles den lineære blodstrømmens hastighet ved hjelp av ultralyd og indikatormetoder, oftere bestemmes tiden for en fullstendig blodsirkulasjon, som er 21-23 s.

For å bestemme det, introduseres en indikator i cubitalvenen (erytrocytter merket med en radioaktiv isotop, metylenblå løsning, etc.) og tidspunktet for dets første opptreden i venøst ​​blod i samme fartøy i det andre lemmet noteres.

Til å begynne med, la oss huske at integralet er et matematisk objekt som oppsto historisk på grunnlag av behovet for å løse ulike anvendte problemer innen fysikk og teknologi. Dette er de fysiske anvendelsene av et bestemt integral: beregningen av banen til et materialpunkt som beveger seg langs en rettlinjet eller krumlinjet bane med bevegelseshastigheten.

De fysiske størrelsene som bestemmes ved hjelp av et integral kalles vanligvis integral, og de størrelsene som integralmengder uttrykkes gjennom kalles differensial. For eksempel er hastigheten til et legeme ved et punkt en differensialkarakteristikk for en kropp, og massen til en kropp er en integrert egenskap.

Differensialegenskaper bestemmes av verdien ved et punkt og er vanligvis forskjellige på forskjellige punkter i rommet.

Integrerte egenskaper uttrykker alltid egenskapene til objekter relatert til hele området i rommet. For eksempel karakteriserer masse hele kroppen som et objekt som okkuperer et område av rommet. Banen som kroppen reiser er også en integrert karakteristikk, siden den karakteriserer hele banen, som består av mange punkter, og hastigheten er forskjellig på hvert punkt i banen og karakteriserer hvert punkt separat.

Spørsmålet oppstår - hvordan beregne integralhastigheten for hele fartøyet (arterie eller vene), og kjenne den lineære hastigheten til blodstrømmen. Det er veldig enkelt: du trenger

• å bryte hele rommet i separate tilstrekkelig små deler (for eksempel ved gjensidig vinkelrette plan). I dette tilfellet vil vi få mange små kuber inne i kroppen, hvor vi betinget anser differensialkarakteristikken som uendret, konstant.
• multipliser verdien av differensialkarakteristikken inne i hver terning med verdien av volumet til denne kuben og summer opp slike produkter. På dette stadiet får vi integralsummen. Integralsummen er ikke nøyaktig lik integralet, men kan tjene som dens omtrentlige verdi.
• gå til grensen for integralsummen når volumet av kubene til partisjonen til kroppen har en tendens til null. På dette stadiet får vi den nøyaktige verdien av det lineære hastighetsintegralet.

Nedenfor er beregningene av slagvolum (slagvolum av hjertet (syn.: systolisk blodvolum, systolisk volum av hjertet, slagvolum av blod) - volumet av blod (i ml) som skytes ut av hjertets ventrikkel i en systole) - en av hovedverdiene i ECHOkg, beregnet ved å bruke integralet til den lineære blodstrømmens hastighet.

a - Slagvolumberegningsskjemaer, a - bruk av strømningskontinuitetsligningen, b - bruk av strømningskontinuitetsligningen i nærvær av betydelig mitralregurgitasjon.

VTI = V cp ET,

hvor CSA er tverrsnittsarealet, VTI er det lineære strømningshastighetsintegralet, Vcp er den gjennomsnittlige strømningshastigheten i utstrømningskanalen til venstre ventrikkel, ET er ejeksjonstiden.

I tilfelle det er hemodynamisk signifikant mitral regurgitasjon (mer enn 2. grad), beregnes det totale slagvolumet til venstre ventrikkel med formelen:

TSV=FSV+RSV

[Lineær hastighetsintegral (FVI eller VTI)] = [Blodstrømningstid (ET)] x [Gjennomsnittlig blodstrømningshastighet (Vmean)];

Hjertevolumet kan bestemmes fra integralet av den lineære hastigheten til aorta- og lungestrømmen.

Avslutningsvis vil jeg legge til at arbeidet mitt ikke er ment for en matematiker som er godt bevandret i integrering, men for enhver person som har vist interesse for å bruke integralet i medisin. Derfor prøvde jeg å gjøre det så tilgjengelig som mulig for persepsjon og interessant selv for et barn.

Bibliografi:

1. Sykdommer i hjerte og blodårer http://old.consilium-medicum. com/media/bss/06_02/42.shtml
2. Hemodynamikk http://ru.wikipedia.org/wiki/% D0%93%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B4% D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC% D0%B8% D0%BA%D0%B0
3. Integrert tegn http://ru.wikipedia.org/wiki/% C7%ED%E0%EA_%E8%ED%F2%E5%E3% F0%E0%EB%E0
4. Medisinsk råd http://www.consilium-medicum. com/article/7144
5. Grunnleggende ligninger - Hjerte http://serdce.com.ua/osnovnye- uravneniya
6. Praktisk veiledning til ultralyddiagnostikk http://euromedcompany.ru/ ultrazvuk/prakticheskoe- rukovodstvo-po-ultrazvukovoj- diagnostike

Mottoet for leksjonen: "Matematikk er språket som alle eksakte vitenskaper snakker" N.I. Lobatsjovskij

Hensikten med leksjonen: å generalisere elevenes kunnskap om emnet "Integral", "Anvendelse av integralet"; å utvide horisonten deres, kunnskap om mulig anvendelse av integralen til beregning av ulike mengder; konsolidere ferdighetene til å bruke integralet til å løse anvendte problemer; innpode en kognitiv interesse for matematikk, utvikle en kommunikasjonskultur og en kultur for matematisk tale; kunne lære å snakke med elever og lærere.

Type leksjon: iterativ-generaliserende.

Type leksjon: leksjon - forsvar av prosjektet "Anvendelse av integralen".

Utstyr: magnettavle, plakater «Anvendelse av integralen», kort med formler og oppgaver for selvstendig arbeid.

Timeplan:

1. Prosjektbeskyttelse:

1. fra historien til integralregning;
2. integrerte egenskaper;
3. anvendelse av integralet i matematikk;
4. anvendelse av integralet i fysikk;

2. Løsning av øvelser.

I løpet av timene

Lærer: Et kraftig forskningsverktøy innen matematikk, fysikk, mekanikk og andre disipliner er en klar integral – et av de grunnleggende begrepene i matematisk analyse. Den geometriske betydningen av integralet er arealet av en krumlinjet trapes. Den fysiske betydningen av integralet er 1) massen til en inhomogen stav med tetthet, 2) forskyvningen av et punkt som beveger seg i en rett linje med en hastighet over en tidsperiode.

Lærer: Gutta i klassen vår gjorde en kjempejobb, de plukket opp oppgaver der en viss integral er brukt. De har et ord.

2 elev: Egenskaper til integralet

3 elev: Anvendelse av integralen (tabell på magnettavlen).

4 elev: Vi vurderer bruken av integralet i matematikk for å beregne arealet av figurer.

Arealet til en hvilken som helst plan figur, betraktet i et rektangulært koordinatsystem, kan være sammensatt av områdene med krumlinjede trapeser ved siden av aksen Åh og økser OU. Område av en krumlinjet trapes avgrenset av en kurve y = f(x), akser Åh og to rette x=a og x=b, hvor a x b, f(x) 0 beregnet med formelen cm. ris. Hvis den krumlinjede trapesen er ved siden av aksen OU, så beregnes arealet av formelen , cm. ris. Ved beregning av arealer av figurer kan følgende tilfeller oppstå: a) Figuren er plassert over Ox-aksen og er begrenset av Ox-aksen, kurven y \u003d f (x) og to rette linjer x \u003d a og x \u003d b. (Se. ris.) Arealet til denne figuren er funnet av formel 1 eller 2. b) Figuren er plassert under Ox-aksen og er begrenset av Ox-aksen, kurven y \u003d f (x) og to rette linjer x \u003d a og x \u003d b (se. ris.). Området er funnet ved formelen . c) Figuren er plassert over og under Ox-aksen og er begrenset av Ox-aksen, kurven y \u003d f (x) og to rette linjer x \u003d a og x \u003d b ( ris.). d) Området er avgrenset av to kryssende kurver y \u003d f (x) og y \u003d (x) ( ris.)

5 elev: Løs oppgaven

x-2y+4=0 og x+y-5+0 og y=0

7 student: En integral mye brukt i fysikk. Et ord til fysikere.

1. BEREGNING AV VEIEN SOM KJØRES AV ET PUNKT

Banen som er tilbakelagt av et punkt under ujevn bevegelse i en rett linje med variabel hastighet i et tidsintervall fra til, beregnes ved hjelp av formelen.

Eksempler:

1. Punktbevegelseshastighet m/s. Finn stien som punktet har gått på 4 sekunder.

Løsning: i henhold til tilstanden, . Følgelig

2. To kropper begynte å bevege seg samtidig fra samme punkt i samme retning i en rett linje. Den første kroppen beveger seg med en hastighet m / s, den andre - med en hastighet v = (4t+5) m/s. Hvor langt fra hverandre vil de være etter 5 sekunder?

Løsning: det er åpenbart at den ønskede verdien er forskjellen mellom avstandene tilbakelagt av den første og andre kroppen på 5 s:

3. Et legeme kastes vertikalt oppover fra jordoverflaten med en hastighet u = (39,2-9,8^) m/s. Finn maksimal høyde på kroppen.

Løsning: kroppen vil nå høyeste løftehøyde på et tidspunkt t når v = 0, dvs. 39,2- 9,8t = 0, hvorav I= 4 s. Ved formel (1) finner vi

2. BEREGNING AV ARBEIDSSTYRKEN

Arbeidet utført av den variable kraften f(x) når den beveger seg langs aksen Åh materialpunkt fra x = en før x=b, finnes i henhold til formelen Når du løser problemer for å beregne arbeidet til en kraft, brukes ofte G y k a-loven: F=kx, (3) hvor F - kraft N; X-absolutt forlengelse av fjæren, m, forårsaket av kraften F, a k- proporsjonalitetskoeffisient, N/m.

Eksempel:

1. En fjær i hvile har en lengde på 0,2 m. En kraft på 50 N strekker fjæren med 0,01 m. Hvilket arbeid må gjøres for å strekke den fra 0,22 til 0,32 m?

Løsning: ved å bruke likhet (3), har vi 50=0,01k, dvs. kK = 5000 N/m. Vi finner grensene for integrasjon: a = 0,22 - 0,2 = 0,02 (m), b = 0,32- 0,2 = 0,12(m). Nå, i henhold til formel (2), får vi

3. BEREGNING AV ARBEIDET UTFØRT VED LØFTING AV LAST

En oppgave. En sylindrisk tank med en bunnradius på 0,5 m og en høyde på 2 m er fylt med vann. Beregn arbeidet som må gjøres for å pumpe vann ut av tanken.

Løsning: velg et horisontalt lag på dybde x med høyde dx ( ris.). Arbeidet A som må gjøres for å heve et vannlag med vekt P til en høyde x er lik Px.

En endring i dybde x med en liten mengde dx vil forårsake en endring i volumet V med dV = pr 2 dx og endring i vekt Р med * dР = 9807 r 2 dх; i dette tilfellet vil arbeidet A endres med verdien dА=9807пr 2 xdх. Ved å integrere denne likheten når x endres fra 0 til H, får vi

4. BEREGNING AV VÆSKE-TRYKKKRAFTEN

Betydningen av styrke R væsketrykket på en horisontal plattform avhenger av nedsenkingsdybden X dette stedet, dvs. fra avstanden til stedet til overflaten av væsken.

Trykkkraften (N) på en horisontal plattform beregnes med formelen P = 9807Sx,

hvor - væsketetthet, kg/m 3 ; S - tomteareal, m 2; X - plattform nedsenkingsdybde, m

Hvis plattformen under væsketrykk ikke er horisontal, er trykket på den forskjellig ved forskjellige dybder, derfor er trykkkraften på plattformen en funksjon av dybden av dens nedsenking P(x).

5. BUELENGDE

La en flat kurve AB(ris.) gitt av ligningen y \u003d f (x) (axb) og f(x) og f ?(x) er kontinuerlige funksjoner i intervallet [а, b]. Så differensialen dl buelengde AB uttrykkes med formelen eller , og buelengden AB beregnet ved formel (4)

hvor a og b er verdiene til den uavhengige variabelen X i punktene A og B. Hvis kurven er gitt av ligningen x =(y)(med yd) så beregnes lengden på buen AB ved hjelp av formelen (5) hvor Med og d uavhengige variabelverdier på på poeng MEN og V.

6. MASSESENTRUM

Når du skal finne massesenteret, brukes følgende regler:

1) x koordinat ? massesenteret til systemet av materialpunkter А 1 , А 2 ,..., А n med masser m 1 , m 2 , ..., m n plassert på en rett linje ved punkter med koordinater x 1 , x 2 , ..., x n , finnes av formelen

(*); 2) Når du beregner koordinaten til massesenteret, kan enhver del av figuren erstattes av et materialpunkt, plassere den i massesenteret til denne delen, og tilordne den en masse lik massen til den betraktede delen av figuren. Eksempel. La langs stavsegmentet [a;b] av aksen Ox - massen er fordelt med tetthet (x), hvor (x) er en kontinuerlig funksjon. La oss vise det a) den totale massen M av stangen er lik; b) koordinat for massesenter x " er lik .

La oss dele segmentet [a; b] i n like deler med punktene a= x 0< х 1 < х 2 < ... <х n = b (ris.). På hvert av disse n segmentene kan tettheten betraktes som konstant for stor n og tilnærmet lik (x k - 1) på det k-te segmentet (på grunn av kontinuiteten til (x). Deretter massen til det k-te segmentet er omtrent lik og massen av hele stangen er

Ved å betrakte hvert av de n små segmentene som et materialpunkt med masse m k , plassert i punktet , får vi med formelen (*) at koordinaten til massesenteret er omtrent som følger

Nå gjenstår det å merke seg at for n -> tenderer telleren til integralet, og nevneren (som uttrykker massen til hele staven) har en tendens til integralet

For å finne koordinatene til massesenteret til et system av materialpunkter på et plan eller i rommet, brukes også formelen (*)

Lærer: Du har en tabell og oppgaver på bordene dine, ved hjelp av tabellen finner du: a) mengden elektrisitet; b) massen til stangen etter dens tetthet.

Mengder

Avledet beregning

Integral beregning valg 1 Alternativ 2 Resultatet av leksjonen: Vi fullførte emnet "Integral", lærte å beregne antiderivater, integraler, områder av figurer, vurdert bruken av integralet i praksis, disse oppgavene kan bli funnet på eksamen, jeg tror du kan håndtere dem .

Integralregning oppsto i forbindelse med løsning av problemer med å bestemme arealer og volumer. 2000 f.Kr innbyggerne i Egypt og Babylon visste allerede hvordan de skulle bestemme det omtrentlige arealet av en sirkel og kjente regelen for å beregne volumet til en avkortet pyramide. Den teoretiske begrunnelsen for reglene for beregning av arealer og volumer dukket først opp blant de gamle grekerne. Den materialistiske filosofen Demokrit V århundre f.Kr anser legemer som bestående av et stort antall små partikler. Det vil si at kjeglen er et sett med veldig tynne sylindriske skiver med forskjellige radier. En stor rolle i historien til integralregning ble spilt av problemet med å kvadrere sirkelen(kvadrere en sirkel - bygge en firkant hvis areal er lik arealet av en gitt sirkel). Den nøyaktige kvadraturen til flere krumlinjede figurer ble funnet av Hippokrates (midt 5. århundre).

Den første kjente metoden for å beregne integralet er utmattelsesmetoden til Eudoxus (ca. 370 f.Kr.). Han prøvde å finne områder og volumer, og dele dem opp i et uendelig antall deler som området eller volumet allerede er kjent for. Denne metoden ble plukket opp og utviklet av Archimedes, brukt til å beregne arealene til paraboler og omtrentlig beregning av arealet til en sirkel.I sitt essay Quadrature of a Parabola bruker Archimedes utmattelsesmetoden for å beregne arealet til en sektor av en parabel. De. Arkimedes var den første som kom sammen summer, som i vår tid kalles integralesummer. De første betydelige forsøkene på å utvikle integrasjonsmetodene til Archimedes, som ble kronet med suksess, ble gjort XVII århundre, da det på den ene siden ble gjort betydelige fremskritt innen algebra, og på den andre siden utviklet økonomi, teknologi, naturvitenskap seg mer og mer intensivt, og det var nødvendig med omfattende og dype metoder for å studere og beregne mengder der. .

Når du beregner arealet til en krumlinjet trapes Newton og Leibniz kommer til konseptetantiderivativ (eller primitiv) funksjon for en gitt derivatfunksjonf(X),hvorFRAkan være hva som helst. Taringte i dag formel Newton-Leibniz lar deg redusere den ganske komplekse beregningen av visse integraler, dvs. finne grensene for integrale summer, til en relativt enkel operasjon for å finne antiderivater.Leibniz eier differensialsymbolet en s Senere dukket også integralsymbolet oppDefinitivt integrert symbolintroduserte J. Fourier, og begrepet "integral" (fra latin heltall - hele) ble foreslått av I. Bernoulli.

Arbeidet med studiet av grunnlaget for differensial- og integralregning begynner i XIX århundre av verkene til O. Cauchy og B. Bolzano. Samtidig ga russiske matematikere M.V. et betydelig bidrag til utviklingen av integralregning. Ostrogradsky, V.Ya. Bunyakovsky, V.Ya. Chebyshev. Dette var tiden da moderne matematisk analyse nettopp ble skapt. Dette var kanskje den eneste epoken av matematisk kreativitet når det gjelder dens intensitet, og Euler forente det omfattende, men uensartede materialet til den nye analysen til en integrert vitenskap.

Med tiden, mennesket fikk mer og mer makt over naturen, men drømmen om å fly til stjernene forble like urealiserbar. Science fiction-forfattere har nevnt raketter for romfart. Imidlertid var disse missilene teknisk sett en uforsvarlig drøm. Æren av å åpne veien til stjernene for folk falt til vår landsmann K. E. Tsiolkovsky. En hel galakse av forskere, ledet av S.P. Korolyov.

Av spesiell interesse er problemer som er prototypen på problemer for å beregne banene til romfartøyer som går inn i en gitt bane, for å finne høyden og hastigheten for opp- eller nedstigning av en kropp, og noen andre problemer ved bruk av integralregning.

Oppgave 1. Hastigheten på kroppens rettlinjede bevegelse er gitt

ligning . Finn ligningen for banen S hvis kroppen har gått 20m på tiden t = 2sek.

Løsning: hvor Vi integrerer: hvor Ved å bruke dataene finner vi С = 4. Det vil si, bevegelsesligningen til kroppen har formen .

Når du flyr ut i verdensrommet, er det nødvendig å ta hensyn til alle faktorene i miljøet rundt oss, og for å komme dit du trenger, må du beregne bevegelsesbanen ved å bruke de første dataene. Alt dette må gjøres før flyturen finner sted.2016 markerer 55-årsjubileet for den første kosmonauten Yuri Alekseevich Gagarin i bane. Ved beregning var det nødvendig å løse slike problemer.

Oppgave 2. Det er nødvendig å skyte opp en rakettveiing P \u003d 2 10 4 H (T) fra jordoverflaten til en høydeh= 1500 km.Beregn arbeidet som trengs for å kjøre det.

Løsning.f - tiltrekningskraften til kroppen av jorden er en funksjon av avstanden X til jordens senter: , hvor På jordoverflaten der tyngdekraften er lik kroppens vekt R, a x = R- Jordens radius, derfor, og Når du løfter en rakett fra jordoverflaten til en høyde h variabel X endres frax = R før x= R+ h. Vi finner jobben vi ser etter ved hjelp av formelen: Så får vi: arbeidet med å skyte opp en rakett er lik

Oppgave 3. styrke inn 10 N strekker fjæren 2 cm. Hvilken jobb er hun

gjør det?

Løsning . I følge Hookes lov, styrken F , strekking av fjæren, er proporsjonal med strekkingen av fjæren, dvs.F =kh. Fra tilstanden til problemet

k= 10/0,02(N/m), deretter F= 500x. Arbeid: .

Oppgave 4. Fra en gruve dypl= 100 mdet er nødvendig å løfte buret jevnt med en vekt R 1 = 10 4 H, som henger på et tau viklet på en tromme. Beregn totalt arbeid En full nødvendig for å løfte buret hvis vekten av en lineær meter tau R 2= 20H.

Løsning . Arbeid med å løfte buret: og å løfte tauet er proporsjonalt med vekten av tauet, dvs. Derfor er hele jobben fullført:

Oppgave 5. Fjæren bøyer seg under påvirkning av en kraft på 1,5 10 4 H med 1 cm. Hvor mye arbeid må gjøres for å deformere fjæren med 3 cm? ( Deformeringskraften er proporsjonal med avbøyningen av fjæren.)

Løsning . F\u003d kx,hvor X- fjæravbøyning. På x = 0,01 m vi har: . Da er arbeidet som gjøres for å deformere:

Det er vanskelig og utrygt å stige opp i verdensrommet, men ikke mindre vanskelig er returen til jorden, når romfartøyet må lande med en hastighet på ikke mer enn 2 m/s. Bare i dette tilfellet vil ikke enheten, instrumentene i den, og viktigst av alt, besetningsmedlemmene, oppleve et skarpt hardt slag. Konstantin Eduardovich Tsiolkovsky bestemte seg for å bruke retardasjonen av romfartøyet av jordens luftskallet. Romfartøyet beveger seg med en hastighet på 8 m/s og faller ikke til jorden. Det første trinnet i nedstigningen er inkludering av en bremsemotor for en kort tid. Hastigheten synker med 0,2 km/s, og nedstigningen starter umiddelbart. Tenk på et eksempel på å løse problemet med å utarbeide bevegelsesloven under gitte forhold.

Oppgave 6. Finn bevegelsesloven til et fritt fallende legeme med konstant akselerasjon g, hvis kroppen var i ro i bevegelsesøyeblikket.

Løsning:Det er kjent at akselerasjonen til en rettlinjet bevegelig kropp er den andre deriverte av banen S med hensyn til tid t , eller avledet av hastighet med hensyn til tid t: , men derfor , hvorfra . Vi integrerer: , og Fra tilstanden: , hvorfra vi finner og bevegelseshastigheten: . La oss finne kroppens bevegelseslov: , eller . Vi integrerer: , . I henhold til startbetingelsene: , hvorfra vi finner Vi har bevegelseslikningen til et fallende legeme: - dette er en kjent formel for fysikk.

Oppgave 7. Et legeme kastes vertikalt oppover med en starthastighet

Finn bevegelsesligningen til denne kroppen (forsømmelse av luftmotstand).

Løsning:La oss ta: den vertikale retningen oppover er positiv, og tyngdeakselerasjonen, som rettet nedover, er negativ. Vi har: hvor fra. Vi integrerer: deretter . Fordi og deretter C 1: og Hastighetsligning: Vi finner kroppens bevegelseslov: siden. og så hvor .Integrere: eller Når og finne , og Vi har ligningen for kroppsbevegelse: eller .

Følgende eksempel viser beregningen av banen for utslipp av brukte seksjoner, unødvendige enheter, materialer. I dette tilfellet sendes de til jorden etter å ha beregnet banen slik at de brenner ut når de passerer gjennom de atmosfæriske lagene, og de uforbrente restene faller til jorden (oftest i havet), uten å forårsake skade.

Oppgave 8. Skriv en ligning for en kurve som går gjennom punktet M (2; -3) og har en tangent med en helning .

Løsning:Betingelsen for oppgaven er gitt: eller Ved å integrere har vi: På x = 2 og y \u003d -3, C \u003d - 5, og bevegelsesbanen har formen: .

Utbyggere må noen ganger løse problemer med å beregne områdene med uvanlige figurer som det ikke er kjente formler for. I dette tilfellet kommer integraler til unnsetning igjen.

Oppgave 9. Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer: og

Løsning: La oss bygge en tegning (fig. 1), som vi skal løse et likningssystem for. La oss finne skjæringspunktene til linjene: A(-2;4) og B(4;16). Det ønskede området er forskjellen mellom områdene med begrensninger for integrering, a \u003d x 1 \u003d -2 og i \u003d x 2 \u003d 4. Da har vi området:

.

Kosmonauter og forskere, som jobber på orbitalstasjonen, for eksperimentets renhet, løser og undersøker mange spørsmål innen astronomi, fysikk, kjemi, medisin, biologi, etc. Vi vil ledsage følgende problem med et litterært eksempel. Den velkjente science fiction-romanen av HG Wells "War of the Worlds" beskriver angrepet av marsboerne på planeten Jorden, som bestemte seg for å utvide deres overbefolkede territorier ved å erobre vårt, fordi. Jordens klimatiske forhold var passende. Beslagleggelsen av territorium og ødeleggelsen av jordboere begynte, som fikk hjelp der de ikke forventet i det hele tatt. Våre "innfødte" bakterier, som vi allerede har lært å kjempe med, etter å ha kommet inn i marsboernes kropp med luft, mat, vann, fant i det et gunstig miljø for deres utvikling og reproduksjon, tilpasset seg raskt og etter å ha ødelagt marsboerne, befri jorden fra inntrengerne. Vurder løsningen av problemet som gir begrepet dette.

Oppgave 10.Reproduksjonshastigheten til noen bakterier er proporsjonal med antall bakterier som er tilgjengelige på det betraktede tidspunktet t. Antall bakterier tredoblet seg innen 5 timer. Finn avhengigheten av antall bakterier på tid.

Løsning: La x(t ) er antall bakterier på tidspunkt t, og i det første øyeblikket deretter hastigheten på deres reproduksjon. Etter betingelse har vi: eller følgende: La oss finne С: og funksjon Det er kjent at t.e. eller hvorfra proporsjonalitetskoeffisienten er: og funksjonen har formen: .

I den berømte romanen av A.N. Tolstoys "Hyperboloid of Engineer Garin" vil jeg gjerne føle, føle hva det er - en hyperboloid? Hva er dens dimensjoner, form, overflate, volum? Neste oppgave handler om dette.

Oppgave 11.Hyperbolabegrenset av linjer: y=0, x= en, x = 2aroterer rundt x-aksen. Finn volumet til den resulterende hyperboloiden (fig. 2).

Løsning.Vi bruker formelen til å beregne volumet av omdreiningslegemer rundt OX-aksen ved å bruke et bestemt integral:

Ufologer studerer fakta som "øyenvitner" siterer, og forteller at de så et flygende romfartøy i form av en enorm lysende skive ("skål"), omtrent samme form som i figur 3. Vurder å løse problemet med å bestemme volumet av en slik "rett" ".

Oppgave 12. Beregn volumet av legemet dannet ved rotasjon rundt OX-aksen til området avgrenset av linjene y \u003d x 2 - 9 og y = 0.

Løsning: Når vi tegner en paraboloid (fig. 3), har vi grensene for integrasjon fra x = -3 før x = 3. La oss erstatte grensene for integrasjon på grunn av symmetrien til figuren i forhold til y-aksen med x = 0 og x = 3 og doble resultatet. Derfor er volumet på disken:

Den økonomiske betydningen av et bestemt integral uttrykker produksjonsvolumet med en kjent funksjon f(t ) - arbeidsproduktivitet for øyeblikket t . Deretter beregnes produksjonsvolumet for perioden med formelen La oss se på et eksempel for en bedrift.

Oppgave 13. Finn produksjonsvolumet produsert om 4 år hvis Cobb-Douglas-funksjonen har formen

Løsning. Volumet av produkter produsert av bedriften er lik:

Oppsummert kan vi konkludere med at bruken av integralet åpner for store muligheter. Når de studerer geometri, vurderer de beregningen av arealene til flate figurer begrenset av linjesegmenter (trekanter, parallellogrammer, trapeser, polygoner), og volumene til kropper oppnådd under rotasjonen. Det definitive integralet lar deg beregne arealene til komplekse figurer avgrenset av buede linjer, samt finne volumene til kropper oppnådd ved å rotere krumlinjede trapeser rundt en hvilken som helst akse.

Jeg vil også merke meg at bruken av et bestemt integral ikke bare er begrenset til beregning av ulike geometriske størrelser, men også brukes til å løse problemer fra ulike felt innen fysikk, aerodynamikk, astronomi, kjemi og medisin, astronautikk, samt som økonomiske problemer.

Bibliografi:

1. Apanasov, P.T. Samling av problemer i matematikk: lærebok. godtgjørelse / P.T. Apanasov, M.I. Orlov. - M.: Videregående skole, 1987.- 303 s.
2. Bedenko, N.K. Leksjoner i algebra og begynnelsen av analyse: en metodisk veiledning / N.K. Bedenko, L.O. Denishchev. - M.: Videregående skole, 1988. - 239 s.
3. Bogomolov, N.V. Praktiske klasser i høyere matematikk: lærebok. godtgjørelse / N.V. Bogomolov. - M.: Videregående skole, 1973. - 348 s.
4. Høyere matematikk for økonomer: lærebok / red. N.Sh. Kremer. - 3. utg. – M.: UNITI-DANA, 2008.- 479 s.
5. Zaporozhets, G.I. Veiledning for å løse problemer i matematisk analyse: lærebok. godtgjørelse / G.I. Zaporozhets. - M .: Higher School, 1966. - 460 s.

Se dokumentinnhold
"MR av den kombinerte leksjonen for læreren "Fundamentals of integral calculus. Definite integral."

STATSAUTONOMA UTDANNING

INSTITUSJON FOR VIRKSOMHETSUDDANNELSE

NOVOSIBIRSK REGIONEN

"BARABINSKY MEDICAL COLLEGE"

METODOLOGISK UTVIKLING

kombinert leksjon for læreren

DISIPLINER "MATEMATIKK"

Seksjon 1.Matematisk analyse

Emne1.6. Grunnleggende om integralregning. Sikker integral

Spesialitet

060101 Allmennmedisin

Vi vil- den første

Metodisk ark

Dannelse av kravene til SES når du studerer emnet

« Grunnleggende om integralregning. Absolutt integral"

må vite:

betydningen av matematikk i profesjonelle aktiviteter og i utviklingen av et profesjonelt utdanningsprogram;

grunnleggende matematiske metoder for å løse anvendte problemer;

grunnleggende for integral- og differensialregning.

Som et resultat av å studere emnet, studenten burde klare å:

løse anvendte problemer innen profesjonell aktivitet;

Leksjonens mål:

Pedagogiske mål: gjenta og konsolidere ferdighetene til å beregne ubestemt og bestemt integral, vurdere metoder for å beregne bestemte integraler, konsolidere ferdighetene til å finne en bestemt integral

pedagogiske mål: å fremme dannelsen av en kultur for kommunikasjon, oppmerksomhet, interesse for faget, for å fremme studentens forståelse av essensen og den sosiale betydningen av hans fremtidige yrke, manifestasjonen av bærekraftig interesse for det.

Utviklingsmål:

reklamere

dannelsen av ferdigheter for å anvende metoder for sammenligning, generalisering, fremheve det viktigste;

utvikling av matematiske horisonter, tenkning og tale, oppmerksomhet og hukommelse.

Klassetype: kombinert leksjon

Leksjonens varighet: 90 minutter

Tverrfaglige forbindelser: fysikk, geometri og alle fag hvor det matematiske apparatet brukes

Litteratur:

Gilyarova M.G. Matematikk for medisinske høgskoler. - Rostov n / D: Phoenix, 2011. - 410, s. - (Medisinen)

Matematikk: lærebok. godtgjørelse / V.S. Mikheev [og andre]; utg. N.M. Demin. - Rostov n / D: Phoenix, 2009. - 896 s. – (Fagskoleutdanning).

Leksjonsutstyr:

Gi ut

Leksjonsfremgang

№ p/p	Leksjonsstadiet	Tid (min)	Retningslinjer
	Organisatorisk del		Sjekke oppmøte og utseende til studenter. Presentasjon av tema, formål og plan for timen.
	Motivasjon		Begrepet et integral er et av de grunnleggende begrepene i matematikk. På slutten av 1600-tallet. Newton og Leibniz skapte apparatet for differensial- og integralregning, som danner grunnlaget for matematisk analyse. Studiet av dette emnet fullfører skolekurset for matematisk analyse, introduserer elevene til et nytt verktøy for å forstå verden, og vurdering på skolen av anvendelsen av integralregning på de viktigste delene av fysikk viser elevene viktigheten og kraften til høyere matematikk . Behovet for en fullstendig studie av de viktigste elementene i integralregning er forbundet med den store betydningen og betydningen av dette materialet i utviklingen av et profesjonelt utdanningsprogram. I fremtiden vil kunnskap om et bestemt integral være nyttig for deg når du skal finne en løsning på ligninger som bestemmer hastigheten på radioaktivt forfall, bakteriereproduksjon, muskelsammentrekning, oppløsning av et medisinsk stoff i en tablett og mange andre problemer med differensialregning brukt i medisinsk praksis.
	Oppdatering av grunnleggende kunnskap		Det er nødvendig å teste beregningsevner og kunnskap om tabellen over integraler (vedlegg 1)
	Presentasjon av nytt materiale		Presentasjonsplan (vedlegg 2) Sikker integral Egenskaper til det definitive integralet Newton-Leibniz formel Beregning av bestemte integraler ved ulike metoder Anvendelse av en bestemt integral til beregning av ulike mengder. Beregning av arealet til en flat figur
	Praktisk del Utføre øvelser for å konsolidere materialet i emnet		(vedlegg 3) Primær konsolidering av tilegnet kunnskap og ferdigheter Forstå tilegnet kunnskap og ferdigheter
	Oppsummering av leksjonen		Å gi karakterer, kommentere feilene som er gjort i løpet av arbeidet
	Hjemmelekser		Forbered teoretisk materiell til en praktisk leksjon og fullfør oppgavene i seksjonen "Selvkontroll" (vedlegg 4)

Vedlegg 1

Oppdatering av grunnleggende kunnskap

Matematisk diktat

1 alternativ

Jeg.

II.

Alternativ 2

JEG. Beregn ubestemte integraler

II. Nevn metoden for å beregne integraler

Vedlegg 2

Informasjon og referansemateriale

Sikker integral

Konseptet med et integral er forbundet med det omvendte problemet med å differensiere en funksjon. Det er praktisk å vurdere konseptet med en bestemt integral for å løse problemet med å beregne arealet til en krumlinjet trapes.

For å finne området til en figur avgrenset på begge sider av perpendikulære gjenopprettede punkter en og b, toppen av den kontinuerlige kurven y=f(X) og bunnakse Åh, del segmentet [en,b] i små deler:

en = x 0 x 1 x 2 ... x n -1 x n = b.

Gjenopprett perpendikulære fra disse punktene til skjæringspunktet med kurven y=f(X). Da vil arealet av hele figuren være omtrent lik summen av elementære rektangler som har en base lik  X Jeg = x Jeg -X Jeg -1 , og høyden lik verdien av funksjonen f(X) inne i hvert rektangel. Jo mindre verdi  X Jeg, jo mer nøyaktig vil arealet av figuren bli bestemt S . Følgelig:

Definisjon.Hvis det finnes en grense for integralsummen, som ikke avhenger av metoden for å partisjonere segmentet [a,b] og punktvalg, da kalles denne grensen det bestemte integralet til funksjonenf(X) på segmentet [a,b] og angi:

hvorf(x) er integranden, x er integrasjonsvariabelen, og ogb- grenser for integrasjon (les: bestemt integral avendo bef fra x de x).

På denne måten, geometrisk betydning av et bestemt integral er relatert til definisjonen av området til en krumlinjet trapes avgrenset ovenfra av funksjonen y=f(X), nederste akse Åh, og på sidene - av perpendikulære gjenopprettet på punkter en og b.

Prosessen med å beregne et bestemt integral kalles integrering. Tall a ogb kalles hhv nedre og øvre grense for integrering.

Egenskaper til det definitive integralet

Hvis grensene for integrasjon er like, så er det bestemte integralet lik null:



Hvis vi omorganiserer grensene for integrasjon, vil tegnet på integralet endres til det motsatte:



Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til et bestemt integral:



Bestemt integral av summen av et begrenset antall kontinuerlige funksjonerf 1 (x), f 2 (x)... f n (x) definert på segmentet [а,b], er lik summen av bestemte integraler av leddene til funksjonene:

Integrasjonssegmentet kan deles inn i deler:



Hvis funksjonen alltid er positiv eller alltid negativ på segmentet [a,b], så er det bestemte integralet et tall med samme fortegn som funksjonen:

Newton-Leibniz formel

Newton-Leibniz-formelen etablerer en sammenheng mellom bestemte og ubestemte integraler.

Teorem.Verdien av det bestemte integralet til funksjonenf(X) på segmentet [a,b] er lik økningen av noen av antiderivatene for denne funksjonen på et gitt segment:

Det følger av denne teoremet at det bestemte integralet er et tall, mens det ubestemte integralet er et sett med antideriverte funksjoner. Derfor, i henhold til formelen, for å finne en bestemt integral, er det nødvendig:

1. Finn det ubestemte integralet til en gitt funksjon ved å sette C = 0.

2. Bytt ut antideriverten i uttrykket i stedet for argumentet Xøvre grense først b, deretter nedre grense en, og trekk det andre fra det første resultatet.

Beregning av bestemte integraler ved ulike metoder

Ved beregning av bestemte integraler brukes metodene som vurderes for å finne ubestemte integraler.

Direkte integrasjonsmetode

Denne metoden er basert på bruk av tabellintegraler og de grunnleggende egenskapene til et bestemt integral.

EKSEMPLER:

1) Finne

Løsning:

2) Finne

Løsning:

3) Finne

Løsning:

Integrasjonsvariabel endringsmetode

EKSEMPEL:

Løsning. For å finne integralet bruker vi metoden endring av variabel. Vi introduserer en ny variabel

u=3 x ‑ 1 , deretter du = 3 dx, dx = . Ved innføring av en ny variabel er det nødvendig å endre grensene for integrasjon, siden den nye variabelen vil ha andre endringsgrenser. De blir funnet ved endring av variabelformel. Så den øvre grensen blir og b = 32 ‑ 1 = 5 , Nedre - og en =31 ‑ 1 = 2 . Ved å erstatte variabelen og grensene for integrasjon får vi:

Metode for integrering etter deler

Denne metoden er basert på å bruke integrasjon-for-deler-formelen for en bestemt integral:

EKSEMPEL:

1) Finne

Løsning:

La u = ln x, dv = xdx, deretter

Anvendelse av en bestemt integral til beregning av ulike mengder.

Beregning av arealet til en flat figur

Det ble tidligere vist at det bestemte integralet kan brukes til å beregne arealet av figuren som er innesluttet mellom grafen til funksjonen y=f(x), akser Åh og to rette X = a og x =b.

Hvis funksjonen y=f(x) er under abscisselinjen, dvs. f(x)

Hvis funksjonen y=f(x) flere ganger krysser aksen Åh, så er det nødvendig å separat finne arealene for tomtene når f(x) 0, og legg dem til de absolutte verdiene av områdene når funksjonen f(x)

EKSEMPEL 1. Finn arealet til en figur avgrenset av en funksjon y= syndX og akse Åh Plassering på 0  X 2.

Løsning. Arealet av figuren vil være lik summen av arealene:

S = S 1 + | S 2 |,

hvor S1-; område kl på0 ; S 2 - område kl på 0.

S=2 + 2 = 4 kvadratenheter

EKSEMPEL 2. Finn arealet til en figur innelukket mellom en kurve y = x 2 , akser Åh og direkte x=0, x=2.

Løsning. La oss bygge grafer over funksjoner på= x 2 og x = 2.

Det skraverte området vil være ønsket område av figuren. Fordi f(x) 0 da

Beregning av buelengden til en plan kurve

Hvis kurven y=f(X) på segmentet [en,b] har en kontinuerlig derivert, blir lengden på buen til denne kurven funnet av formelen:

EKSEMPEL

Finn buelengden til en kurve y 2 = x 3 på segmentet (y0)

Løsning

Kurveligning y = x 3/2, så y’ = 1,5 x 1/2.

Ved å gjøre byttet 1+ får vi:

La oss gå tilbake til den opprinnelige variabelen:

beregning revolusjonslegeme

Hvis en kurvelinjeformet trapes avgrenset av en kurve y=f(x) og direkte x=a og x=b, roterer rundt en akse Åh, så beregnes rotasjonsvolumet med formelen:

EKSEMPEL

Finn volumet til et legeme dannet ved rotasjon rundt en akse Åh halvbølge sinusbølge
y= synd x, på 0≤ x≤.

Løsning

I følge formelen har vi:

For å beregne dette integralet gjør vi følgende transformasjoner:

Vedlegg 3

Primær konsolidering av det studerte materialet

1. Beregning av bestemte integraler

2. Anvendelser av en bestemt integral

figurområde

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer:

Banen tilbakelagt av et legeme (punkt) under rettlinjet bevegelse i et tidsintervall frat 1 ført 2 (

v =3 t 2 +2 t -1 (ti s,vi m/s). Finn banen kroppen har gått på 10 sekunder fra starten av bevegelsen.

Punktets hastighet endres i henhold til loven v =6 t 2 +4 (ti s,vi m/s). Finn stien som punktet har gått på 5s fra starten av bevegelsen.

Punktbevegelseshastighet v =12 t -3 t 2 (ti s,vi m/s). Finn stien som punktet har gått fra begynnelsen av bevegelsen til stopp.

To kropper begynte å bevege seg samtidig fra samme punkt i samme retning i en rett linje. Den første kroppen beveger seg med en hastighet v =6 t 2 +2 t(m/s), sekund
v =4 t+5 (m/s). Hvor langt fra hverandre vil de være om 5 sekunder?

Vedlegg 4

Selvkontroll på temaet

"Definitiv integral og dens anvendelse"

1 alternativ 1. Beregn integraler 2. y = - x 2 + x + 6 og y = 0 3. Punktets hastighet endres i henhold til loven v =9 t 2 -8 t (ti s,vi m/s). Finn banen kroppen har gått i det fjerde sekundet fra bevegelsen startet.

Alternativ 2 1. Beregn integraler 2. Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer y = - x 2 + 2 x + 3 og y = 0 3. Punktets hastighet endres i henhold til loven v = 8 t - 3 t 2 (ti s,vi m/s). Finn banen kroppen har gått på fem sekunder fra starten av bevegelsen.

I. I fysikk

Tvangsarbeid

(A=FScos, cos 1)

Hvis en kraft F virker på en partikkel, forblir den kinetiske energien ikke konstant. I dette tilfellet, iht

økningen av partikkelens kinetiske energi i tid dt er lik skalarproduktet Fds, hvor ds er forskyvningen av partikkelen i tid dt. Verdi

kalles arbeidet utført av kraften F.

La et punkt bevege seg langs OX-aksen under påvirkning av en kraft hvis projeksjon på OX-aksen er en funksjon f(x) (f-kontinuerlig funksjon). Under påvirkning av kraften flyttet punktet seg fra punktet S1(a) til S2(b). Del segmentet i n segmenter med samme lengde

Kraftens arbeid vil være lik summen av kraftens arbeid på de resulterende segmentene. Fordi f(x) -kontinuerlig, så for en liten arbeidsstyrke på dette segmentet er lik

På samme måte, på det andre segmentet f(x1)(x2-x1), på det n-te segmentet --

f(xn-1)(b-xn-1).

Derfor er arbeidet med lik:

Og An = f(a)x +f(x1)x+...+f(xn-1)x= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f( xn-1))

Omtrentlig likhet blir nøyaktig for n

A = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= f(x)dx (per definisjon)

La en fjær med stivhet C og lengde l komprimeres med halvparten av lengden. Bestem størrelsen på den potensielle energien Ep er lik arbeidet A utført av kraften -F (s) elastisiteten til fjæren når den er komprimert, så

Ep \u003d A \u003d - (-F (s)) dx

Det er kjent fra mekanikkfaget at

Herfra finner vi

En \u003d - (-Cs) ds \u003d CS2 / 2 | = C/2 12/4

Svar: Cl2/8.

Hvilket arbeid må gjøres for å strekke fjæren med 4 cm, hvis det er kjent at fra en belastning på 1 N strekkes den med 1 cm.

I følge Hookes lov er kraften X N, som strekker fjæren med x, lik

Vi finner proporsjonalitetskoeffisienten k fra betingelsen: hvis x=0,01 m, så er X=1 N, derfor k=1/0,01=100 og X=100x. Deretter

Svar: A=0,08 J

Ved hjelp av en kran fjernes et armert betonghull fra bunnen av elven med en dybde på 5 m. Hvilket arbeid vil bli gjort hvis hulen har formen som et vanlig tetraeder med en kant på 1 m? Tettheten til armert betong er 2500 kg/m3, vanntettheten er 1000 kg/m3.

Tetraeder høyde

volum av et tetraeder

Vekten av huljernet i vann, tatt i betraktning handlingen til den arkimedeiske styrken, er lik

La oss nå finne jobben Ai når vi trekker ut hulpen fra vannet. La toppunktet til tetraederet komme ut til en høyde på 5+y, da er volumet til det lille tetraederet som kom ut av vannet likt, og vekten av tetraederet er:

Følgelig

Derfor A=A0+A1=7227,5 J + 2082,5 J = 9310 J = 9,31 kJ

Svar: A=9,31 (J).

Hvilken trykkkraft opplever en rektangulær plate med lengde a og bredde b (a>b) hvis den er skråstilt til væskens horisontale overflate i en vinkel b og dens lengste side er i dybden h?

Massesenterkoordinater

Massesenteret er punktet som tyngdekraftsresultanten passerer for ethvert romlig arrangement av kroppen.

La materialets homogene plate o ha formen som en krumlinjet trapes (x; y |axb; 0yf(x)) og funksjonen

er kontinuerlig på , og arealet til denne kurvelinjeformede trapesen er lik S, så blir koordinatene til massesenteret til platen o funnet av formlene:

x0 = (1/S) x f(x) dx; y0 = (1/2S) f2(x)dx;

Finn massesenteret til en homogen halvsirkel med radius R.

Tegn en halvsirkel i OXY-koordinatsystemet.

y = (1/2S) (R2-x2)dx = (1/R2) (R2-x2)dx = (1/R2)(R2x-x3/3)|= 4R/3

Svar: M(0; 4R/3).

Finn koordinatene til tyngdepunktet til figuren avgrenset av buen til ellipsen x=acost, y=bsint, plassert i første kvadrant, og koordinataksene.

I første kvartal, når x øker fra 0 til a, reduseres t fra p/2 til 0, så

Ved å bruke formelen for arealet av ellipsen S \u003d rab får vi

Banen gikk av et materiell punkt

Hvis et materialpunkt beveger seg i en rett linje med en hastighet = (t) og i tid

T=t2-t1 (t2>t1)

passerte stien S, da

I geometri

Volum er en kvantitativ egenskap ved en romlig kropp. En kube med en kant på 1 mm (1dm, 1m, etc.) tas som en volumenhet.

Antall kuber av en enhetsvolum plassert i en gitt kropp er volumet til kroppen.

Aksiomer for volum:

Volum er en ikke-negativ verdi.

Volumet til en kropp er lik summen av volumene til kroppene som utgjør den.

La oss finne formelen for å beregne volumet:

velg OX-aksen i retning av plasseringen av denne kroppen;

bestemme grensene for plasseringen av kroppen i forhold til OX;

La oss introdusere en hjelpefunksjon S(x) som definerer følgende korrespondanse: til hver x fra segmentet setter vi i samsvar snittarealet til den gitte figuren ved at planet går gjennom det gitte punktet x vinkelrett på OX-aksen.

la oss dele segmentet i n like deler og tegne et plan vinkelrett på OX-aksen gjennom hvert punkt i delingen, mens kroppen vår vil deles inn i deler. I følge aksiomet

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)x +S(x2)x+...+S(xn)x

og volumet til delen innelukket mellom to tilstøtende plan er lik volumet til sylinderen Vc = SonH.

Vi har summen av produktene til funksjonsverdiene ved partisjonspunktene ved partisjonstrinnet, dvs. integrert beløp. Ved definisjonen av et bestemt integral kalles grensen for denne summen ved n integralet

hvor S(x) er snittet av planet som går gjennom det valgte punktet vinkelrett på OX-aksen.

For å finne volumet du trenger:

• 1) Velg OX-aksen på en praktisk måte.
• 2) Bestem grensene for plasseringen av denne kroppen i forhold til aksen.
• 3) Konstruer et snitt av et gitt legeme ved et plan vinkelrett på OX-aksen og som går gjennom det tilsvarende punktet.
• 4) Uttrykk i form av kjente mengder en funksjon som uttrykker arealet til en gitt seksjon.
• 5) Lag en integral.
• 6) Etter å ha beregnet integralet, finn volumet.

Finn volumet til en triaksial ellipse

Plane deler av en ellipsoide parallelt med xOz-planet og med avstand fra det i en avstand y=h representerer en ellipse