S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV

SYSTEM MODELLERING

Opplæring

Federal Agency for Education

Tilstand utdanningsinstitusjon høyere yrkesfaglig utdanning

Ivanovo State University of Chemical Technology

Internasjonalt universitet virksomhet og ny teknologi (institutt)

S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV

SYSTEM MODELLERING

for studenter ved høyere utdanningsinstitusjoner.

Bobkov S.P. Modellering av systemer: lærebok. godtgjørelse / S.P. Bobkov,

TIL. Bytev; Ivan. tilstand kjemisk teknologi univ. – Ivanovo, 2008. – 156 s. - ISBN

Mål læremiddel– å gi studentene en generell idé om moderne metoder for modellering av teknisk og teknisk økonomiske systemer og gjenstander.

Manualen diskuterer generelle problemstillinger og moderne metodikk

modelleringsteknologi, kontinuerlige og diskrete deterministiske modeller

inndelinger av objekter og systemer, stokastiske modeller med diskret og kontinuerlig tid. Mye oppmerksomhet fokusert på metoder for simuleringsmodellering av systemer med probabilistiske egenskaper. Det gis en oversikt over andre tilnærminger til modellering av komplekse systemer, som informasjonsentropi, bruk av nevrale nettverk og Petri-nett.

Læreboken er beregnet på studenter som studerer i spesialitetene 080801 "Anvendt informatikk" og 230201

"Informasjonssystemer og teknologier." I tillegg kan manualen være nyttig for studenter med andre spesialiteter og områder.

Tabell 7. Il.92. Bibliografi: 10 titler

Publisert etter vedtak fra redaksjons- og publiseringsrådet Ivanov-

Russian State University of Chemical Technology.

Anmeldere:

Institutt for anvendt matematikk, Ivanovo State Energy University; Doktor i fysiske og matematiske vitenskaper V.A. Sokolov, (Yaroslavl State University).

ISBN 5-9616-0268-6 © State Educational Institute of Higher Professional Education Ivanovo State University of Chemical Technology”, 2008

1.5. Konseptet med et matematisk modelleringsskjema. . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Generell teknikk lage matematiske modeller. . . . . . . . . . . 13

1.7. Grunnleggende konsepter for en systematisk tilnærming til å skape

matematiske modeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. DETERMINISTISKE MODELLER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. Matematiske modeller av tekniske objekter. . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1. Komponentfunksjonelle ligninger av objekter. . . . . 20

2.1.2. Fasevariabler og deres analogier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3. Topologiske ligninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.4. Eksempler på å lage modeller av tekniske objekter. . . . . . . 25

2.1.5. Modeller av teknologiske enheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Finite state maskiner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1. Konseptet med en begrenset tilstandsmaskin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2. Beskrivelsesmetoder og klasser endelige tilstandsmaskiner. . . . . . . . 32

2.2.3. Andre typer finite state-maskiner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. STOKASTISKE MODELLER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1. Elementer av teorien om Markov tilfeldige prosesser. . . . . . . . . . . 39

3.1.1. Konseptet med en tilfeldig prosess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2. Diskrete Markov-kjeder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3. Stasjonær sannsynlighetsfordeling. . . . . . . . . . . . . 43

3.1.4. Kontinuerlig Markov kjeder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.5. Ligninger A.N. Kolmogorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.6. Eventstrømmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2. Grunnleggende om køteori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1. Generalisert blokkskjema SMO. Alternativer

og egenskaper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2. Åpen QS med ventende og pasientforespørsler. 58

3.2.3. Begrens varianter av en åpen sløyfe QS. . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.4 Generelt tilfelle av en åpen sløyfe QS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.5. Lukket QS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.6. Kønettverk

med enkle hendelsesstrømmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3. Probabilistiske automater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4. SIMULASJONSMODELERING. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Definisjon av en simuleringsmetode. . . . . . . . . .
4.2. Grunnleggende konsepter for simuleringsmodellering. . . . . . . . . . . .
4.3. Hovedstadier av simuleringsmodellering. . . . . . . . . . . . . .
4.4. Tid i simuleringsmodeller. Pseudoparallelisme. . . . . . . . . .
4.5. Generaliserte simuleringsalgoritmer. . . . . . .
4.6. Modellering av tilfeldige faktorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Grunnleggende modellering tilfeldige variabler. . . . . . . . . . . .
4.6.2. Modellering av kontinuerlige tilfeldige variabler
med tilfeldig fordeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3. Modellering av diskrete tilfeldige variabler. . . . . . . . .
4.6.4. Modellering av tilfeldige hendelser og deres flyt. . . . . . .
4.7 Modellering av tilfeldige prosesser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Diskrete Markov-kjeder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Kontinuerlige Markov-kjeder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Bearbeiding og analyse av simuleringsresultater.
4.8.1. Estimering av sannsynlighetsparametere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2. Estimering av korrelasjonsparametere. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3. Beregning av tidsgjennomsnittlige QS-parametere. . . . . . . . . . . .
4.9. Planlegging av eksperimenter med simuleringsmodeller. . . . .
4.10. Vanlige problemer simuleringsmodellering. . . . . . . . . . . .
5. GJENNOMGANG AV ALTERNATIVE TILNÆRMINGER TIL MODELLERING
KOMPLEKSE SYSTEMER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Petri garn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Definisjon av et Petri-nett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Funksjon av et petrinett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3. Analyse av Petri-nett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Nevrale nettverk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Konseptet med et nevralt nettverk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Kunstig nevron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Hovedtyper av aktiveringsfunksjoner av kunstig
nevroner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4. Typer enkle nevrale nettverk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5. Tilbakevendende og selvorganiserende nevrale nettverk. . .
5.2.6. Generelle notater om bruk av nevrale nettverk. . . .
5.3. Informasjon-entropi tilnærming til systemmodellering
LISTE OVER ANBEFALT LESING. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .

INTRODUKSJON

Modellering er en universell metode for å skaffe og bruke kunnskap om verden rundt. Modellering brukes alltid av en person i målrettede aktiviteter, spesielt i forskning. I moderne forhold øker rollen og betydningen av matematisk modellering, som med utviklingen av datateknologi ofte har blitt kalt datamodellering.

Matematiske (datamaskin) modeller, på grunn av deres logikk og strenge formelle natur, gjør det mulig å identifisere hovedfaktorene som bestemmer egenskapene til systemene som studeres og å studere deres reaksjoner på ytre påvirkninger og endringer i parametere. Ofte er matematiske modeller enklere og mer praktisk å bruke enn naturlige (fysiske) modeller. De gjør det mulig å utføre beregningseksperimenter, hvis virkelige implementering er vanskelig eller umulig.

Lære de grunnleggende prinsippene matematisk modellering er en integrert del av opplæringen av spesialister innen tekniske aktivitetsområder. Disipliner knyttet til studiet av de grunnleggende aspektene ved modellering av objekter og systemer er obligatorisk inkludert i de relevante læreplanene, og er komponenter av føderale utdanningsstandarder.

Formålet med denne opplæringen er en konsekvent presentasjon av moderne modelleringsmetoder. Håndboken er hovedsakelig beregnet på studenter som studerer i spesialitetene og områdene "Informasjonssystemer" og "Anvendt informatikk (etter industri." Men med tanke på erfaringen med å undervise i slike disipliner ved tekniske universiteter, anså forfatterne det tilrådelig å ikke begrense seg til kun å vurdere informasjon - systemer, men også inkludere i teksten en vurdering av tekniske og teknisk-økonomiske systemer og objekter.

Det manuelle materialet er strukturert som følger. Det første kapittelet diskuterer generelle problemstillinger og moderne modelleringsmetodikk, bruken av en systemtilnærming når man lager matematiske modeller. Det andre kapittelet er viet vurderingen av kontinuerlige og diskrete deterministiske modeller av objekter og systemer. Det foreslås å bruke metoden for analogier i syntese og analyse av modeller av tekniske objekter av forskjellige fysiske natur. Det tredje kapittelet studerer stokastiske modeller med diskret og kontinuerlig tid. Mye oppmerksomhet i manualen er viet til metoder for simulering av systemer med sannsynlighetsegenskaper, som utgjør innholdet i fjerde kapittel. Det femte kapittelet gir en oversikt over andre tilnærminger til modellering av komplekse systemer, som informasjonsentropi, bruk av nevrale nettverk og petrinett.

GENERELLE KONSEPT FOR MATEMATISK MODELLERING

En matematisk modell av et teknisk objekt er et sett av matematiske objekter og relasjoner mellom dem, som i tilstrekkelig grad gjenspeiler egenskapene til objektet som studeres som er av interesse for forskeren (ingeniøren).

Modellen kan representeres på ulike måter.

Modellpresentasjonsskjemaer:

invariant - registrering av modellforhold ved bruk av tradisjonelt matematisk språk, uavhengig av metoden for å løse modellligningene;

analytisk - registrering av modellen i form av resultatet av en analytisk løsning av de innledende ligningene til modellen;

algorithmic - registrering av relasjonene mellom modellen og den valgte numeriske løsningsmetoden i form av en algoritme.

skjematisk (grafisk) - representasjon av modellen på et eller annet grafisk språk (for eksempel grafspråk, ekvivalente kretser, diagrammer, etc.);

fysisk

analog

Den mest universelle er den matematiske beskrivelsen av prosesser - matematisk modellering.

Konseptet med matematisk modellering inkluderer også prosessen med å løse et problem på en datamaskin.

Generalisert matematisk modell

Den matematiske modellen beskriver forholdet mellom startdata og ønskede størrelser.

Elementene i den generaliserte matematiske modellen er (fig. 1): et sett med inngangsdata (variabler) X,Y;

X er et sett med variable variabler; Y - uavhengige variabler (konstanter);

matematisk operator L, som definerer operasjoner på disse dataene; som menes komplett system matematiske operasjoner som beskriver numeriske eller logiske relasjoner mellom sett med inn- og utdata (variabler);

sett med utdata (variabler) G(X,Y); er et sett med kriteriefunksjoner, inkludert (om nødvendig) en objektiv funksjon.

En matematisk modell er en matematisk analog av det utformede objektet. Graden av dens tilstrekkelighet til objektet bestemmes av formuleringen og riktigheten av løsninger på designproblemet.

Settet med varierte parametere (variabler) X danner rommet av varierte parametere Rx (søkerom), som er metrisk med dimensjon n lik antall varierte parametere.

Settet med uavhengige variabler Y danner det metriske inngangsdatarommet Ry. I tilfellet når hver komponent av rommet Ry er spesifisert av et område med mulige verdier, blir settet med uavhengige variabler kartlagt til et begrenset underrom av rommet Ry.

Settet med uavhengige variabler Y bestemmer driftsmiljøet til objektet, dvs. ytre forhold som det utformede objektet vil fungere under

Disse kan være:

• - tekniske parametere for objektet som ikke kan endres under designprosessen;
• - fysiske forstyrrelser av miljøet som designobjektet samhandler med;
• - taktiske parametere som designobjektet skal oppnå.

Utdataene til den generaliserte modellen under vurdering danner det metriske rommet til kriterieindikatorer RG.

Diagrammet for bruk av en matematisk modell i et datastøttet designsystem er vist i fig. 2.

Krav til den matematiske modellen

Hovedkravene til matematiske modeller er kravene til tilstrekkelighet, allsidighet og effektivitet.

Tilstrekkelighet. Modellen anses som tilstrekkelig dersom den reflekterer de spesifiserte egenskapene med akseptabel nøyaktighet. Nøyaktighet er definert som graden av samsvar mellom verdiene til utgangsparametrene til modellen og objektet.

Modellnøyaktigheten varierer avhengig av ulike forhold objektets funksjon. Disse forholdene er preget av eksterne parametere. I verdensrommet eksterne parametere fremheve området for modelltilstrekkelighet der feilen er mindre enn den spesifiserte maksimalt tillatte feilen. Å bestemme rekkevidden av modellenes tilstrekkelighet er en kompleks prosedyre som krever store beregningskostnader, som raskt vokser med økende dimensjon av rommet til eksterne parametere. Dette problemet i omfang kan betydelig overskride problemet med parametrisk optimalisering av selve modellen, og kan derfor ikke løses for nydesignede objekter.

Universalitet bestemmes hovedsakelig av antall og sammensetning av eksterne parametere og utgangsparametre tatt i betraktning i modellen.

Kostnadseffektiviteten til modellen er preget av kostnadene for dataressurser for implementeringen - kostnadene for datamaskintid og minne.

De motstridende kravene til at en modell skal ha et bredt spekter av tilstrekkelighet, høy grad av allsidighet og høy effektivitet bestemmer bruken av en rekke modeller for objekter av samme type.

Metoder for å skaffe modeller

Å skaffe modeller i den generelle saken er en uformalisert prosedyre. Hovedbeslutningene angående valg av type matematiske relasjoner, arten av variablene og parameterne som brukes, tas av designeren. Samtidig blir operasjoner som beregning av numeriske verdier av modellparametere, bestemmelse av tilstrekkelighetsområder og andre algoritmert og løst på en datamaskin. Derfor utføres modellering av elementene i det utformede systemet vanligvis av spesialister innen spesifikke tekniske felt ved bruk av tradisjonelle eksperimentelle studier.

Metoder for å oppnå funksjonelle modeller av elementer er delt inn i teoretiske og eksperimentelle.

Teoretiske metoder er basert på å studere de fysiske lovene til prosessene som skjer i et objekt, bestemme den matematiske beskrivelsen som tilsvarer disse lovene, rettferdiggjøre og akseptere forenklede antakelser, utføre de nødvendige beregningene og bringe resultatet til den aksepterte formen for modellrepresentasjon.

Eksperimentelle metoder er basert på bruk av eksterne manifestasjoner av egenskapene til et objekt, registrert under driften av objekter av samme type eller under målrettede eksperimenter.

Til tross for den heuristiske naturen til mange operasjoner, har modellering en rekke bestemmelser og teknikker som er vanlige for å få modeller av forskjellige objekter. Nok generell karakter ha

makromodelleringsteknikk,

matematiske metoder for planlegging av eksperimenter,

Algoritmer for formaliserte operasjoner for beregning av numeriske verdier av parametere og bestemmelse av tilstrekkelighetsområder.

Bruke matematiske modeller

Datakraften til moderne datamaskiner, kombinert med å tilby alle systemressurser til brukeren, muligheten for en interaktiv modus når du løser et problem og analyserer resultatene, lar oss minimere tiden som kreves for å løse et problem.

Ved sammenstilling av en matematisk modell er forskeren pålagt å:

studere egenskapene til objektet som studeres;

evnen til å skille hovedegenskapene til et objekt fra de sekundære;

vurdere forutsetningene som er gjort.

Modellen beskriver forholdet mellom startdata og ønskede mengder. Sekvensen av handlinger som må utføres for å flytte fra de opprinnelige dataene til de ønskede verdiene kalles en algoritme.

Algoritmen for å løse problemet på en datamaskin er knyttet til valget av en numerisk metode. Avhengig av representasjonsformen til den matematiske modellen (algebraisk eller differensialform), brukes ulike numeriske metoder.

Essensen av økonomisk og matematisk modellering er å beskrive sosioøkonomiske systemer og prosesser i form av økonomiske og matematiske modeller.

La oss vurdere spørsmålene om klassifisering av økonomiske og matematiske metoder. Disse metodene, som nevnt ovenfor, representerer et kompleks av økonomiske og matematiske disipliner, som er en legering av økonomi, matematikk og kybernetikk.

Derfor kommer klassifiseringen av økonomiske og matematiske metoder ned til klassifiseringen av de vitenskapelige disiplinene som utgjør dem. Selv om en generelt akseptert klassifisering av disse disiplinene ennå ikke er utviklet, med til en viss grad tilnærminger som en del av økonomiske og matematiske metoder kan skilles følgende avsnitt:

• * økonomisk kybernetikk: systemanalyse av økonomi, teori økonomisk informasjon og teori om kontrollsystemer;
• * matematisk statistikk: økonomiske anvendelser av denne disiplinen -- prøvetakingsmetode, variansanalyse, korrelasjonsanalyse, regresjonsanalyse, flerdimensjonal statistisk analyse, faktoranalyse, indeksteori, etc.;
• * matematisk økonomi og økonometri, som studerer de samme problemstillingene fra den kvantitative siden: teori om økonomisk vekst, teori om produksjonsfunksjoner, innsatsbalanser, nasjonalregnskap, analyse av etterspørsel og forbruk, regional og romlig analyse, global modellering, etc.;
• * adopsjonsmetoder optimale løsninger, inkludert operasjonsforskning i økonomi. Dette er den mest omfangsrike delen, inkludert følgende disipliner og metoder: optimal (matematisk) programmering, inkludert gren- og bundne metoder, nettverksmetoder planlegging og ledelse, programmålmetoder for planlegging og ledelse, teori og metoder for lagerstyring, køteori, spillteori, teori og metoder for beslutningstaking, planleggingsteori. Optimal (matematisk) programmering inkluderer på sin side lineær programmering, ikke-lineær programmering, dynamisk programmering, diskret (heltalls) programmering, fraksjonert lineær programmering, parametrisk programmering, separerbar programmering, stokastisk programmering, geometrisk programmering;
• * metoder og disipliner spesifikke separat for både en sentralt planøkonomi og en markedsøkonomi (konkurranse). Den første inkluderer teorien om optimal funksjon av økonomien, optimal planlegging, teorien om optimal prising, modeller for materiell og teknisk forsyning, etc. Den andre inkluderer metoder som lar oss utvikle modeller for fri konkurranse, modeller for den kapitalistiske syklusen, modeller for monopol, modeller for indikativ planlegging, modeller for teorien til firmaet etc.

Mange av metodene utviklet for en sentralt planøkonomi kan også være nyttige i økonomisk og matematisk modellering i en markedsøkonomi;

*metoder eksperimentell studie økonomiske fenomener. Disse inkluderer vanligvis matematiske metoder for analyse og planlegging av økonomiske eksperimenter, metoder for maskinimitasjon (simuleringsmodellering) og forretningsspill. Dette inkluderer også metoder ekspertvurderinger, designet for å vurdere fenomener som ikke kan måles direkte.

La oss nå gå videre til spørsmålene om klassifisering av økonomiske og matematiske modeller, med andre ord, matematiske modeller av sosioøkonomiske systemer og prosesser.

For tiden er det heller ikke noe enhetlig klassifiseringssystem for slike modeller, men mer enn ti hovedkjennetegn ved deres klassifisering, eller klassifiseringsoverskrifter, identifiseres vanligvis. La oss se på noen av disse overskriftene.

I henhold til deres generelle formål er økonomiske og matematiske modeller delt inn i teoretiske og analytiske modeller, brukt i studiet av generelle egenskaper og mønstre økonomiske prosesser, og brukt, brukt til å løse spesifikke økonomiske problemer med analyse, prognoser og ledelse. Ulike typer anvendte økonomiske og matematiske modeller er omtalt i denne læreboken.

Basert på graden av aggregering av modelleringsobjekter deles modellene inn i makroøkonomiske og mikroøkonomiske. Selv om det ikke er noe klart skille mellom dem, inkluderer den første av dem modeller som reflekterer økonomiens funksjon som helhet, mens mikroøkonomiske modeller som regel er assosiert med slike deler av økonomien som foretak og firmaer.

I henhold til det spesifikke formålet, dvs. i henhold til formålet med opprettelse og bruk, skilles det ut balansemodeller som uttrykker kravet om samsvar mellom tilgjengeligheten av ressurser og bruken av dem; trendmodeller, der utviklingen av det modellerte økonomiske systemet reflekteres gjennom trenden (langsiktig trend) til hovedindikatorene; optimaliseringsmodeller designet for å velge det beste alternativet fra et visst antall produksjons-, distribusjons- eller forbruksalternativer; simuleringsmodeller beregnet for bruk i prosessen med maskinsimulering av systemene eller prosessene som studeres, etc.

Basert på typen informasjon som brukes i modellen, deles økonomisk-matematiske modeller inn i analytisk, bygd på a priori-informasjon, og identifiserbar, bygd på a posteriori-informasjon.

Tar man hensyn til tidsfaktoren, er modeller delt inn i statiske, der alle avhengigheter er relatert til ett tidspunkt, og dynamiske, som beskriver økonomiske systemer i utvikling.

Tatt i betraktning usikkerhetsfaktoren, faller modeller inn i deterministiske, hvis utgangsresultatene deres er unikt bestemt av kontrollhandlinger, og stokastiske (sannsynlighetsfaktorer), hvis når du spesifiserer et visst sett med verdier ved modellinngangen, kan forskjellige resultater bli oppnådd ved utgang avhengig av virkningen av en tilfeldig faktor.

Økonomiske-matematiske modeller kan også klassifiseres etter egenskapene til de matematiske objektene som inngår i modellen, med andre ord etter type matematisk apparat, brukt i modellen. Basert på denne funksjonen, matrisemodeller, lineære og ikke-lineære programmeringsmodeller, korrelasjonsregresjonsmodeller,

Grunnleggende begreper i matematisk modellering av køteorimodeller, nettverksplanlegging og styringsmodeller, spillteorimodeller, etc.

Til slutt, i henhold til typen tilnærming til de sosioøkonomiske systemene som studeres, skilles deskriptive og normative modeller. Med den deskriptive tilnærmingen oppnås modeller som har til hensikt å beskrive og forklare faktisk observerte fenomener eller å forutsi disse fenomenene; Som eksempel på beskrivende modeller kan vi nevne de tidligere nevnte balanse- og trendmodellene. Med den normative tilnærmingen er man ikke interessert i hvordan det økonomiske systemet er bygget opp og utvikler seg, men hvordan det skal struktureres og hvordan det skal fungere i betydningen visse kriterier. Spesielt er alle optimaliseringsmodeller av normativ type; Et annet eksempel er normative modeller for levestandard.

La oss se som et eksempel den økonomisk-matematiske modellen for input-output-balansen (EMM IOB). Med hensyn til klassifiseringsoverskriftene ovenfor, er dette en anvendt, makroøkonomisk, analytisk, beskrivende, deterministisk, balanse-, matrisemodell; det finnes både statiske og dynamiske metoder

Lineær programmering er en spesiell gren av optimal programmering. I sin tur er optimal (matematisk) programmering en gren av anvendt matematikk som studerer betingede optimaliseringsproblemer. I økonomi oppstår slike problemer under den praktiske implementeringen av prinsippet om optimalitet i planlegging og ledelse.

En nødvendig forutsetning for å bruke en optimal tilnærming til planlegging og styring (optimalitetsprinsippet) er fleksibilitet og alternativhet i produksjonen og økonomiske situasjoner der planleggings- og ledelsesbeslutninger må tas. Det er nettopp slike situasjoner som som regel utgjør den daglige praksisen til en økonomisk enhet (valg av et produksjonsprogram, tilknytning til leverandører, ruting, skjæring av materialer, tilberedning av blandinger, etc.).

Essensen av optimalitetsprinsippet er ønsket om å velge en slik planleggings- og styringsløsning X = (xi, X2 xn), hvor Xy, (y = 1. i) er dens komponenter, som på best mulig måte ville ta hensyn til de interne evnene og eksterne forholdene til produksjonsaktiviteten til en økonomisk enhet.

Ordene "best" her betyr valget av et eller annet optimalitetskriterium, dvs. noen økonomisk indikator, slik at du kan sammenligne effektiviteten til visse planleggings- og ledelsesbeslutninger. Tradisjonelle optimalitetskriterier: «maksimal profitt», «minimumskostnader», «maksimal lønnsomhet» osv. Ordene «ville ta hensyn til interne kapasiteter og ytre betingelser for produksjonsaktivitet» betyr at det stilles en rekke betingelser for valg av planlegging. og ledelsesbeslutning (atferd), dvs. .e. valget av X utføres fra en viss region av mulige (tillatte) løsninger D; dette området kalles også problemdefinisjonsområdet. generelt problem med optimal (matematisk) programmering, ellers - en matematisk modell av et optimalt programmeringsproblem, hvis konstruksjon (utvikling) er basert på prinsippene om optimalitet og konsistens.

En vektor X (et sett med kontrollvariabler Xj, j = 1, n) kalles en tillatt løsning, eller plan, av et optimalt programmeringsproblem hvis det tilfredsstiller systemet av begrensninger. Og den planen X ( gyldig løsning), som leverer maksimum eller minimum objektiv funksjon f(xi, *2, ..., xn) kalles den optimale planen ( optimal oppførsel, eller ganske enkelt løse) et optimalt programmeringsproblem.

Dermed er valget av optimal lederatferd i en spesifikk produksjonssituasjon assosiert med å utføre økonomisk-matematisk modellering fra et synspunkt om systematikk og optimalitet og løse problemet med optimal programmering. Optimale programmeringsproblemer i det meste generelt syn klassifisert etter følgende kriterier.

• 1. Av arten av forholdet mellom variablene --
• a) lineær,
• b) ikke-lineær.

I tilfelle a) er alle funksjonelle forbindelser i systemet av begrensninger og målfunksjonen lineære funksjoner; tilstedeværelsen av ikke-linearitet i minst ett av de nevnte elementene fører til tilfelle b).

• 2. Av arten av endringen i variabler --
• a) kontinuerlig,
• b) diskret.

I tilfelle a) kan verdiene til hver av kontrollvariablene fylle et bestemt område fullstendig reelle tall; i tilfelle b) kan alle eller minst én variabel kun ha heltallsverdier.

• 3. Ta hensyn til tidsfaktoren --
• a) statisk,
• b) dynamisk.

I oppgave a) utføres modellering og beslutningstaking under forutsetning av at elementene i modellen er uavhengige av tid i løpet av tidsperioden planleggings- og styringsbeslutningen tas. I tilfelle b) kan en slik forutsetning ikke aksepteres med tilstrekkelig begrunnelse, og det er nødvendig å ta hensyn til tidsfaktoren.

• 4. Basert på tilgjengeligheten av informasjon om variabler --
• a) oppgaver under fullstendig sikkerhet (deterministisk),
• b) oppgaver under forhold med ufullstendig informasjon,
• c) oppgaver under usikkerhetsforhold.

I oppgave b) er enkeltelementer sannsynlige størrelser, men er kjente eller tillegg statistisk forskning deres distribusjonslover kan etableres. I tilfelle c) er det mulig å gjøre en antagelse om mulige utfall av tilfeldige elementer, men det er ingen måte å konkludere om sannsynlighetene for utfallene.

• 5. I henhold til antall kriterier for å evaluere alternativer --
• a) enkle oppgaver med ett kriterium,
• b) komplekse oppgaver med flere kriterier.

I problemer a) er det økonomisk akseptabelt å bruke ett optimalitetskriterium eller det kan oppnås ved hjelp av spesielle prosedyrer (for eksempel "veiing av prioriteringer")

FOREDRAG 4

Definisjon og formål med matematisk modellering

Under modell(fra latin modulus - mål, prøve, norm) vil vi forstå et slikt materielt eller mentalt representert objekt, som i prosessen med erkjennelse (studie) erstatter det opprinnelige objektet, og bevarer noen viktige for denne studien dens typiske egenskaper. Prosessen med å bygge og bruke en modell kalles modellering.

Essensen matematisk modellering (MM) består av å erstatte objektet (prosessen) som studeres med en adekvat matematisk modell og påfølgende studie av egenskapene til denne modellen ved å bruke enten analytiske metoder, eller beregningseksperimenter.

Noen ganger er det mer nyttig, i stedet for å gi strenge definisjoner, å beskrive et bestemt konsept i form av spesifikt eksempel. Derfor illustrerer vi definisjonene ovenfor av MM ved å bruke eksemplet på problemet med å beregne spesifikk impuls. På begynnelsen av 60-tallet fikk forskere i oppgave å utvikle rakettdrivstoff med den høyeste spesifikke impulsen. Prinsippet for rakettfremdrift er som følger: flytende drivstoff og oksidasjonsmiddel fra raketttankene tilføres motoren, hvor de brennes, og forbrenningsproduktene slippes ut i atmosfæren. Fra loven om bevaring av momentum følger det at i dette tilfellet vil raketten bevege seg med hastighet.

Den spesifikke impulsen til et drivstoff er den mottatte impulsen delt på drivstoffets masse. Å gjennomføre eksperimenter var svært kostbart og førte til systematisk skade på utstyr. Det viste seg at det var enklere og billigere å beregne de termodynamiske funksjonene til ideelle gasser, ved å bruke dem til å beregne sammensetningen av de unnslippende gassene og plasmatemperaturen, og deretter den spesifikke impulsen. Det vil si å utføre MM av drivstoffforbrenningsprosessen.

Begrepet matematisk modellering (MM) er et av de vanligste i vitenskapelig litteratur i dag. De aller fleste moderne diplom- og avhandlingsarbeider er knyttet til utvikling og bruk av passende matematiske modeller. Computer MM i dag er en integrert del av mange områder menneskelig aktivitet(vitenskap, teknologi, økonomi, sosiologi, etc.). Dette er en av grunnene til dagens mangel på spesialister innen informasjonsteknologi.

Den raske veksten av matematisk modellering skyldes den raske forbedringen av datateknologi. Hvis for 20 år siden bare et lite antall programmerere var involvert i numeriske beregninger, gjør minnekapasiteten og hastigheten til moderne datamaskiner det nå mulig å løse matematiske modelleringsproblemer tilgjengelig for alle spesialister, inkludert universitetsstudenter.

I enhver disiplin gis først en kvalitativ beskrivelse av fenomener. Og så - kvantitativ, formulert i form av lover som etablerer sammenhenger mellom ulike størrelser (feltstyrke, spredningsintensitet, elektronladning, ...) i formen matematiske ligninger. Derfor kan vi si at i hver disiplin er det like mye vitenskap som det er matematikk i den, og dette faktum gjør at mange problemer kan løses med suksess ved hjelp av matematiske modelleringsmetoder.

Dette kurset er designet for studenter med hovedfag i anvendt matematikk som fullfører sitt hovedfagsarbeid under veiledning av ledende forskere som arbeider innen ulike felt. Derfor er dette kurset nødvendig ikke bare som undervisningsmateriell, men også som forberedelse til en oppgave. For å studere dette kurset trenger vi følgende deler av matematikk:

1. Ligninger matematisk fysikk(kantmekanikk, gass og hydrodynamikk)

2. Lineær algebra (elastisitetsteori)

3. Skalar- og vektorfelt (feltteori)

4. Sannsynlighetsteori (kvantemekanikk, statistisk fysikk, fysisk kinetikk)

5. Spesialfunksjoner.

6. Tensoranalyse(elastisitetsteori)

7. Matematisk analyse

MM i naturvitenskap, teknologi og økonomi

La oss først vurdere ulike deler av naturvitenskap, teknologi og økonomi der matematiske modeller brukes.

Naturvitenskap

Fysikk, som etablerer naturvitenskapens grunnleggende lover, har lenge vært delt inn i teoretisk og eksperimentell. Ved å utlede ligninger som beskriver fysiske fenomener, omhandler teoretisk fysikk. Dermed kan teoretisk fysikk også betraktes som et av områdene innen matematisk modellering. (Husk at tittelen på den første boken om fysikk er "Matematiske prinsipper naturfilosofi«I. Newton kan oversettes til moderne språk som "Matematiske modeller for naturvitenskap.") Basert på de innhentede lovene, utføres ingeniørberegninger, som utføres i ulike institutter, selskaper, designbyråer. Disse organisasjonene utvikler teknologier for produksjon av moderne produkter som er kunnskapsintensive. Konseptet med vitenskapsintensive teknologier inkluderer derfor beregninger ved hjelp av passende matematiske modeller.

En av de mest omfattende grenene av fysikk er klassisk mekanikk(noen ganger kalles denne delen teoretisk eller analytisk mekanikk). Denne delen teoretisk fysikk studerer bevegelse og interaksjon mellom kropper. Beregninger ved hjelp av formler teoretisk mekanikk nødvendig når man studerer rotasjonen av kropper (beregning av treghetsmomenter, gyrostater - enheter som holder rotasjonsaksene stasjonære), analyse av bevegelsen til en kropp i luftløst rom, etc. En av delene av teoretisk mekanikk kalles teorien av stabilitet og ligger til grunn for mange matematiske modeller som beskriver bevegelsen til fly, skip, missiler. Seksjoner av praktisk mekanikk - kurs "Teori om maskiner og mekanismer", "Maskindeler", studeres av studenter av nesten alle tekniske universiteter(inkludert MGIU).

Elastisitetsteori– del av en seksjon kontinuummekanikk, som forutsetter at materialet til et elastisk legeme er homogent og kontinuerlig fordelt over hele kroppens volum, slik at det minste elementet som er kuttet fra kroppen har de samme fysiske egenskapene som hele kroppen. Anvendelse av teorien om elastisitet - kurset "materialstyrke", studeres av studenter ved alle tekniske universiteter (inkludert Moskva statsuniversitet). Denne delen er nødvendig for alle styrkeberegninger. Dette inkluderer beregning av styrken til skrog på skip, fly, raketter, beregning av styrken til stål- og armert betongkonstruksjoner av bygninger og mye mer.

Gass og hydrodynamikk, i likhet med teorien om elastisitet, er en del av seksjonen kontinuummekanikk, undersøker bevegelseslovene til væsker og gasser. Ligningene for gass og hydrodynamikk er nødvendige når man analyserer bevegelsen av kropper i et flytende og gassholdig miljø (satelitter, ubåter, missiler, prosjektiler, biler), når man beregner utstrømningen av gass fra dysene til rakett- og flymotorer. Praktisk bruk av hydrodynamikk - hydraulikk (brems, styring,...)

Tidligere deler av mekanikken vurderte bevegelsen av kropper i makrokosmos, og fysiske lover makrokosmos er ikke anvendelige i mikrokosmos, der partikler av materie beveger seg - protoner, nøytroner, elektroner. Her opererer helt andre prinsipper, og for å beskrive mikroverdenen er det nødvendig kvantemekanikk. Den grunnleggende ligningen som beskriver oppførselen til mikropartikler er Schrödinger-ligningen: . Her er den Hamiltonske operatøren (Hamiltonian). For en endimensjonal ligning for partikkelbevegelse https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-potensiell energi. Løsningen på dette ligningen er settet egenverdier energi og egenfunksjoner..gif" width="55" height="24 src=">– sannsynlighetstetthet. Kvantemekaniske beregninger er nødvendige for utvikling av nye materialer (mikrokretser), opprettelse av lasere, utvikling av metoder spektral analyse, osv.

Løs et stort antall problemer kinetikk, som beskriver bevegelsen og samspillet mellom partikler. Her har vi diffusjon, varmeoverføring og teorien om plasma - materiens fjerde tilstand.

Statistisk fysikk vurderer ensembler av partikler, lar oss si om parametrene til ensemblet basert på egenskapene til individuelle partikler. Hvis ensemblet består av gassmolekyler, er egenskapene til ensemblet avledet av metodene for statistisk fysikk ligninger velkjente fra videregående skole gasstilstand: https://pandia.ru/text/78/009/images/image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-molekylær gassvekt. TIL - Rydberg konstant. Statistiske metoder Egenskapene til løsninger, krystaller og elektroner i metaller er også beregnet. MM i statistisk fysikk - teoretisk grunnlag termodynamikk, som ligger til grunn for beregning av motorer, varmenett og stasjoner.

Felt teori beskriver ved hjelp av MM-metoder en av hovedformene for materie – feltet. I dette tilfellet er hovedinteressen elektromagnetiske felt. Ligningene til det elektromagnetiske feltet (elektrodynamikk) ble utledet av Maxwell: , , . Her og https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - ladningstetthet, - strømtetthet. Elektrodynamikkens ligninger ligger til grunn for beregninger av forplantningen av elektromagnetiske bølger som er nødvendige for å beskrive utbredelsen av radiobølger (radio, fjernsyn, mobilkommunikasjon), og forklare driften av radarstasjoner.

Kjemi kan presenteres i to aspekter, som fremhever beskrivende kjemi - oppdagelsen av kjemiske faktorer og deres beskrivelse - og teoretisk kjemi - utviklingen av teorier som lar en generalisere de etablerte faktorene og presentere dem i form et bestemt system(L. Pauling). Teoretisk kjemi kalles også fysisk kjemi og er i hovedsak en gren av fysikken som studerer stoffer og deres interaksjoner. Derfor gjelder alt som har blitt sagt om fysikk fullt ut for kjemi. Seksjoner fysisk kjemi det vil være termokjemi, som studerer de termiske effektene av reaksjoner, kjemisk kinetikk(reaksjonshastigheter), kvantekjemi (struktur av molekyler). Samtidig kan kjemiproblemer være ekstremt komplekse. For å løse problemer innen kvantekjemi – vitenskapen om strukturen til atomer og molekyler – brukes for eksempel programmer som i omfang kan sammenlignes med landets luftforsvarsprogrammer. For eksempel, for å beskrive UCl4-molekylet, bestående av 5 atomkjerner og +17 * 4) elektroner, må du skrive ned bevegelsesligningen - partielle differensialligninger.

Biologi

Matematikk kom virkelig til biologi først i andre halvdel av det 20. århundre. De første forsøkene på å beskrive matematisk biologiske prosesser referer til modeller for populasjonsdynamikk. En populasjon er et samfunn av individer av samme art som okkuperer et visst område av verdensrommet på jorden. Dette området matematisk biologi, studerer befolkningsendringer i ulike forhold(tilstedeværelse av konkurrerende arter, rovdyr, sykdommer, etc.) og fungerte deretter som en matematisk prøveplass der matematiske modeller innen ulike felt av biologi ble "testet." Inkludert modeller for evolusjon, mikrobiologi, immunologi og andre områder relatert til cellepopulasjoner.
Den aller første kjente modellen formulert i en biologisk formulering er den berømte Fibonacci-serien (hvert påfølgende tall er summen av de to foregående), som ble sitert i hans arbeid av Leonardo av Pisa på 1200-tallet. Dette er en serie tall som beskriver antall kaninpar som blir født hver måned hvis kaniner begynner å avle fra den andre måneden og produserer et par kaniner hver måned. Raden representerer en tallsekvens: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

1,

2 ,

3,

5,

8, 13, …

Et annet eksempel er studiet av iopå en kunstig tolagsmembran. Her, for å studere lovene for dannelsen av poren som ionet passerer gjennom membranen inn i cellen, er det nødvendig å lage et modellsystem som kan studeres eksperimentelt, og som en fysisk beskrivelse som er godt utviklet av vitenskapen kan brukes.

Et klassisk eksempel på MM er også Drosophila-populasjonen. En enda mer praktisk modell er virus, som kan spres in vitro. Modelleringsmetoder i biologi er metoder for dynamisk systemteori, og midler er differensial- og differanseligninger, metoder kvalitativ teori differensialligninger, simuleringsmodellering.
Mål for modellering i biologi:
3. Avklaring av mekanismene for samhandling mellom systemelementer
4. Identifikasjon og verifisering av modellparametere ved bruk av eksperimentelle data.
5. Vurdere stabiliteten til systemet (modell).

6. Forutsigelse av systematferd under ulike ytre påvirkninger, på ulike måter ledelse osv.
7. Optimal kontroll av systemet i henhold til valgt optimalitetskriterium.

Teknikk

Forbedrer teknologien stort antall spesialister som i sitt arbeid stoler på resultatene av vitenskapelig forskning. Derfor er MM i teknologi det samme som MM i naturvitenskap, som ble diskutert ovenfor.

Økonomi og sosiale prosesser

Det er generelt akseptert at matematisk modellering som en metode for å analysere makroøkonomiske prosesser først ble brukt av legen til kong Louis XV, Dr. Francois Quesnay, som i 1758 publiserte verket «Economic Table». Dette arbeidet var det første forsøket på å beskrive kvantitativt nasjonal økonomi. Og i 1838 i boka O. Cournot"Studere matematiske prinsipper teorier om rikdom" kvantitative metoder ble først brukt til å analysere konkurranse i produktmarkedet under ulike markedssituasjoner.

Malthus sin teori om befolkning er også viden kjent, der han foreslo ideen: befolkningsvekst er ikke alltid ønskelig, og denne veksten er raskere enn veksten av evnen til å gi befolkningen mat. Den matematiske modellen for en slik prosess er ganske enkel: La befolkningsveksten i løpet av tiden https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> være lik og - koeffisienter med hensyn til fruktbarhet og dødelighet (personer/år).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Instrumentelle og matematiske metoder " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">matematiske analysemetoder (for eksempel i de siste tiårene har matematiske teorier om kulturell utvikling dukket opp i humaniora, matematiske modeller for mobilisering, syklisk utvikling av sosiokulturelle prosesser, en modell for interaksjon mellom mennesker og regjeringen, en modell av våpenkappløpet osv. er bygget og studert).

I det meste generell disposisjon MM-prosessen av sosioøkonomiske prosesser kan betinget deles inn i fire stadier:

formulering av et system av hypoteser og utvikling konseptuell modell; utvikling av en matematisk modell; analyse av resultatene av modellberegninger, som inkluderer å sammenligne dem med praksis; formulering av nye hypoteser og forfining av modellen ved avvik mellom beregningsresultater og praktiske data.

Merk at prosessen med matematisk modellering som regel er syklisk, siden selv når man studerer relativt enkle prosesser, er det sjelden mulig å bygge en tilstrekkelig matematisk modell og velge dens eksakte parametere fra første trinn.

For tiden betraktes økonomien som et komplekst utviklingssystem, for den kvantitative beskrivelsen av hvilke dynamiske matematiske modeller av ulik grad av kompleksitet som brukes. Et av forskningsområdene innen makroøkonomisk dynamikk er knyttet til konstruksjon og analyse av relativt enkle ikke-lineære simuleringsmodeller som reflekterer samspillet mellom ulike delsystemer – arbeidsmarkedet, varemarkedet, det finansielle systemet, naturmiljøet osv.

Teorien om katastrofer utvikler seg med suksess. Denne teorien vurderer spørsmålet om forholdene under hvilke en endring i parametrene til et ikke-lineært system får et punkt i faserommet som karakteriserer systemets tilstand til å bevege seg fra attraksjonsområdet til den opprinnelige likevektsposisjonen til attraksjonsområdet. en annen likevektsposisjon. Sistnevnte er svært viktig ikke bare for analyse av tekniske systemer, men også for å forstå bærekraften til sosioøkonomiske prosesser. I denne forbindelse er funnene av interesse om viktigheten av å studere ikke-lineære modeller for ledelse. I boken «The Theory of Disasters», utgitt i 1990, skriver han spesielt: «... den nåværende omstruktureringen er i stor grad forklart av det faktum at i det minste noen mekanismer har begynt å fungere tilbakemelding(frykt for personlig ødeleggelse).»

(modellparametere)

Når man bygger modeller av virkelige objekter og fenomener, må man ofte forholde seg til mangel på informasjon. For det undersøkte objektet er fordelingen av egenskaper, påvirkningsparametere og utgangstilstand kjent med varierende grad av usikkerhet. Når du bygger en modell, er følgende alternativer for å beskrive usikre parametere mulige:

Klassifisering av matematiske modeller

(implementeringsmetoder)

Metoder for implementering av MM kan klassifiseres i henhold til tabellen nedenfor.

Metoder for implementering av MM Svært ofte presenteres den analytiske løsningen for en modell i form av funksjoner. For å få verdiene til disse funksjonene for spesifikke verdier av inngangsparameterne, brukes deres utvidelse til serier (for eksempel Taylor), og verdien av funksjonen for hver verdi av argumentet bestemmes omtrentlig. Modeller som bruker denne teknikken kalles lukke. På numerisk tilnærming settet med matematiske relasjoner til modellen er erstattet av en endelig dimensjonal analog. Dette oppnås oftest ved å diskretisere de opprinnelige relasjonene, dvs. ved å gå fra funksjoner til et kontinuerlig argument til funksjoner til et diskret argument (rutenettmetoder). Løsningen funnet etter datamaskinberegninger tas som en omtrentlig løsning på det opprinnelige problemet. De fleste eksisterende systemer er svært komplekse og umulige å lage for dem. ekte modell, beskrevet analytisk. Slike systemer bør studeres vha simuleringsmodellering. En av hovedmetodene for simuleringsmodellering er knyttet til bruken av en tilfeldig tallsensor. Siden et stort antall problemer løses ved hjelp av MM-metoder, studeres metoder for implementering av MM i mer enn ett kurs. Dette inkluderer partielle differensialligninger, numeriske metoder for å løse disse ligningene, beregningsmatematikk, datamodellering, etc. Pauling, Linus Carl (Pauling, Linus Carl), amerikansk kjemiker og fysiker, tildelt i 1954 Nobelprisen i kjemi for naturforskning kjemisk binding og proteinstrukturbestemmelse. Født 28. februar 1901 i Portland (Oregon). Han utviklet en kvantemekanisk metode for å studere strukturen til molekyler (sammen med den amerikanske fysikeren J. Slayer) – metoden for valensbindinger, samt teorien om resonans, som gjør det mulig å forklare strukturen til karbonholdige forbindelser , primært aromatiske forbindelser. I perioden med personlighetskulten til USSR ble forskere involvert i kvantekjemi forfulgt og anklaget for "paulingisme". MALTHUS, THOMAS ROBERT (Malthus, Thomas Robert) (), engelsk økonom. Født i Rookery nær Dorking i Surrey 15. eller 17. februar 1766. I 1798 publiserte han arbeidet sitt anonymt Erfaring med folkerett. I 1819 ble Malthus valgt til medlem av Royal Society.

Modell (fra latin modulus - mål) og modellering er generelle vitenskapelige begreper. Modellering fra et generelt vitenskapelig synspunkt fungerer som en måte for erkjennelse gjennom konstruksjon av spesielle objekter, systemer - modeller av de studerte objektene, fenomenene eller prosessene. I dette tilfellet kalles et eller annet objekt en modell når det brukes til å innhente informasjon om et annet objekt - en prototype av modellen.

Modelleringsmetoden brukes i praktisk talt alle vitenskaper uten unntak og på alle stadier av vitenskapelig forskning. Den heuristiske kraften til denne metoden bestemmes av det faktum at ved hjelp av modelleringsmetoden er det mulig å redusere studiet av komplekset til det enkle, det usynlige og immaterielle, det synlige og håndgripelige, etc.

Når vi studerer et objekt (prosess eller fenomen) ved hjelp av modelleringsmetoden, kan vi velge som modell de egenskapene som for øyeblikket interesserer oss. Forske ethvert objekt er alltid relativt. I casestudie det er umulig å betrakte et objekt i all dets mangfold. Følgelig kan samme objekt ha mange forskjellige modeller, og ingen av dem kan sies å være den eneste sanne modellen av dette objektet.

Det er vanlig å skille fire hoved eiendommer modeller:

· forenkling i forhold til objektet som studeres;

· evne til å reflektere eller reprodusere studieobjektet;

· evnen til å erstatte forskningsobjektet på visse stadier av dets erkjennelse;

· mulighet til å motta ny informasjon om objektet som studeres.

Studiet av ulike fenomener eller prosesser med matematiske metoder utføres ved hjelp av en matematisk modell. Matematisk modell er en formalisert beskrivelse på matematikkspråket av objektet som studeres. En slik formalisert beskrivelse kan være et system av lineære, ikke-lineære eller differensialligninger, et system av ulikheter, bestemt integral, et polynom med ukjente koeffisienter osv. Den matematiske modellen skal dekke de viktigste egenskapene til objektet som studeres og reflektere sammenhengene mellom dem.

Før du lager en matematisk modell av et objekt (prosess eller fenomen), studeres det i lang tid ulike metoder: observasjon, spesielt organiserte eksperimenter, teoretisk analyse osv., det vil si at de studerer den kvalitative siden av fenomenet ganske godt, identifiserer relasjonene der elementene i objektet befinner seg. Deretter forenkles objektet, og de mest essensielle skilles ut fra mangfoldet av dets iboende egenskaper. Ved behov gjøres det antakelser om eksisterende forbindelser med omverdenen.

Som nevnt tidligere er ikke en hvilken som helst modell identisk med selve fenomenet, den gir bare en viss tilnærming til virkeligheten. Men modellen lister opp alle forutsetningene som ligger til grunn. Disse antakelsene kan være grove og likevel gi en fullstendig tilfredsstillende tilnærming til virkeligheten. Flere modeller, inkludert matematiske, kan bygges for samme fenomen. For eksempel kan du beskrive bevegelsen til planetene i solsystemet ved å bruke:

8 Keplers modell, som består av tre lover, bl.a matematiske formler(ellipseligning);

8 av Newtons modell, som består av én formel, men den er likevel mer generell og nøyaktig.

I optikk ble flere modeller av lys vurdert: korpuskulær, bølge og elektromagnetisk. Tallrike mønstre har blitt utledet for dem kvantitativ natur. Hver av disse modellene krevde sin egen matematiske tilnærming og passende matematiske verktøy. Korpuskulær optikk brukte midler til euklidisk geometri og kom til konklusjonen av lovene for refleksjon og brytning av lys. Okse ny modell Teorien om lys krevde nye matematiske ideer, og rent beregningsmessig ble det oppdaget nye fakta relatert til fenomenene diffraksjon og interferens av lys, som ikke tidligere hadde blitt observert. Geometrisk optikk, knyttet til den korpuskulære modellen, viste seg å være maktesløs her.

Den konstruerte modellen må være slik at den kan erstatte et objekt (prosess eller fenomen) i forskning og må ha lignende egenskaper med seg. Likhet oppnås enten gjennom likhet i struktur (isomorfisme) eller analogi i oppførsel eller funksjon (isofunksjonalitet). Basert på likheten i struktur eller funksjon mellom modellen og den originale, kontrollerer, beregner og designer moderne teknologi. svært komplekse systemer, maskiner og strukturer.

Som nevnt ovenfor kan mange forskjellige modeller bygges for samme objekt, prosess eller fenomen. Noen av dem (ikke nødvendigvis alle) kan være isomorfe. For eksempel, i analytisk geometri, brukes en kurve i et plan som modell for den tilsvarende ligningen i to variabler. I dette tilfellet er modellen (kurven) og prototypen (ligningen) isomorfe til systemer (punkter som ligger på kurven og tilsvarende tallpar som tilfredsstiller ligningen),

I boken "Mathematics Conducts an Experiment" skriver akademiker N.N. Moiseev at enhver matematisk modell kan oppstå på tre måter:

· Som et resultat av direkte studie og forståelse av et objekt (prosess eller fenomen) (fenomenologisk) (eksempel - ligninger som beskriver dynamikken i atmosfæren, havet),

· Som et resultat av en eller annen prosess med fradrag, når en ny modell er oppnådd som spesielt tilfelle en mer generell modell (asymptomatisk) (eksempel - ligninger av hydrotermodynamikk i atmosfæren),

· Som et resultat av en eller annen induksjonsprosess, når den nye modellen er en naturlig generalisering av "elementære" modeller (ensemblemodell eller generalisert modell).

Prosessen med å utvikle matematiske modeller består av følgende etapper:

· formulering av problemet;

· bestemmelse av formålet med modellering;

· organisering og gjennomføring av forskning fagområde(forskning av egenskapene til modelleringsobjektet);

· modellutvikling;

· kontrollere nøyaktigheten og samsvar med virkeligheten;

· praktisk bruk, dvs. overføring av kunnskap oppnådd ved hjelp av modellen til objektet eller prosessen som studeres.

Modellering som en måte å forstå naturens lover og fenomener får særlig betydning i studiet av objekter som ikke er fullt tilgjengelige for direkte observasjon eller eksperimentering. Disse inkluderer sosiale systemer, bare mulig måte studien av som ofte gjøres ved modellering.

Det finnes ingen generelle metoder for å konstruere matematiske modeller. I hvert enkelt tilfelle er det nødvendig å gå videre fra tilgjengelige data, målorientering, ta hensyn til målene for studien, og også balansere nøyaktigheten og detaljene til modellen. Det bør gjenspeile de viktigste trekkene ved fenomenet, de vesentlige faktorene som suksessen til modelleringen hovedsakelig avhenger av.

Når du utvikler modeller, er det nødvendig å følge følgende grunnleggende metodiske prinsipper for modellering av sosiale fenomener:

· prinsippet om problematikk, som innebærer en bevegelse ikke fra ferdige "universelle" matematiske modeller til problemer, men fra virkelige, faktiske problemer - til søk og utvikling av spesielle modeller;

· prinsippet om systematikk, som vurderer alle relasjonene til det modellerte fenomenet når det gjelder elementene i systemet og dets miljø;

· prinsippet om variabilitet i formalisering av forvaltningsprosesser knyttet til spesifikke forskjeller i lovene for utvikling av natur og samfunn. For å forklare det er det nødvendig å avsløre den grunnleggende forskjellen mellom modeller av sosiale prosesser og modeller som beskriver naturfenomener.

Forelesning nr. 1

Introduksjon. Konsept for matematiske modeller og metoder

Del 1. Innledning

2. Metoder for å konstruere matematiske modeller. Konseptet med systematisk tilnærming. 1

3. Grunnleggende begreper for matematisk modellering av økonomiske systemer.. 4

4. Metoder for analytisk, simulering og fullskala modellering. 5

Testspørsmål.. 6

1. Innhold, mål og mål for faget "Modelleringsmetoder"

Denne disiplinen er viet til studiet av modelleringsmetoder og praktisk anvendelse av den ervervede kunnskapen. Formålet med disiplinen er å utdanne studenter generelle spørsmål modelleringsteori, metoder for å konstruere matematiske modeller og formelle beskrivelser av prosesser og objekter, bruk av matematiske modeller for gjennomføring av beregningseksperimenter og løsning optimaliseringsproblemer, ved hjelp av moderne dataverktøy.

Målene for disiplinen inkluderer:

Å gjøre studentene kjent med de grunnleggende begrepene i teorien om matematisk modellering, systemteori, likhetsteori, teori om eksperimentell planlegging og prosessering av eksperimentelle data brukt til å konstruere matematiske modeller,

Å gi studentene ferdigheter innen å sette modelleringsproblemer, matematiske beskrivelser av objekter/prosesser/, numeriske metoder for implementering av matematiske modeller på datamaskin og løsning av optimaliseringsproblemer.

Som et resultat av å studere disiplinen skal studenten beherske metoder for matematisk modellering av prosesser og objekter fra problemformulering til implementering av matematiske modeller på datamaskin og presentasjon av resultatene av modellforskning.

Disiplinkurset er tilrettelagt for 12 forelesninger og 12 praktisk arbeid. Som et resultat av å studere disiplinen skal studenten beherske metoder for matematisk modellering fra problemformulering til implementering av matematiske modeller på datamaskin

2. Metoder for å konstruere matematiske modeller. Konseptet med en systemtilnærming

5. Løse problemet.

Konsekvent bruk av operasjonsforskningsmetoder og deres implementering på moderne informasjons- og datateknologi gjør det mulig å overvinne subjektivitet og eliminere såkalte frivillige beslutninger basert ikke på en streng og nøyaktig redegjørelse for objektive omstendigheter, men på tilfeldige følelser og personlige interesser hos ledere ved ulike nivåer, som dessuten ikke kan koordinere disse frivillige beslutningene.

Systemanalyse lar deg ta hensyn til og bruke i administrasjonen all tilgjengelig informasjon om det administrerte objektet, for å koordinere beslutninger tatt fra et objektivt, snarere enn subjektivt, effektivitetskriterium. Å spare på utregninger ved kontroll er det samme som å spare på sikting ved skyting. Imidlertid gjør en datamaskin det ikke bare mulig å ta hensyn til all informasjon, men frigjør også lederen for unødvendig informasjon, og omgår all nødvendig informasjon som omgår personen, og presenterer ham bare med den mest generaliserte informasjonen, kvintessensen. Systemtilnærmingen i økonomi er effektiv i seg selv, uten bruk av datamaskin, som forskningsmetode, og den endrer ikke tidligere oppdagede økonomiske lover, men lærer kun hvordan man best bruker dem.

4. Metoder for analytisk, simulering og fullskala modellering

Simulering er en kraftig metode vitenskapelig kunnskap, når det brukes, erstattes objektet som studeres med et enklere objekt kalt en modell. Hovedtypene av modelleringsprosessen kan betraktes som to typer - matematisk og fysisk modellering. Under fysisk (fullskala) modellering erstattes systemet som studeres med et annet tilsvarende det materialsystem, som reproduserer egenskapene til systemet som studeres samtidig som de bevarer dem fysisk natur. Et eksempel på denne typen modellering er et pilotnettverk, ved hjelp av hvilket den grunnleggende muligheten for å bygge et nettverk basert på bestemte datamaskiner, kommunikasjonsenheter, operativsystemer og applikasjoner studeres.

Fysiske modelleringsevner er ganske begrensede. Den lar deg løse individuelle problemer når du spesifiserer et lite antall kombinasjoner av systemparametrene som studeres. Faktisk, når du modellerer et datanettverk i full skala, er det nesten umulig å sjekke funksjonen for alternativer ved hjelp av ulike typer kommunikasjonsenheter - rutere, brytere osv. Praktisk testing av rundt et dusin ulike typer ruting er ikke bare forbundet med store anstrengelser og tidskostnader, men også med betydelige materialkostnader.

Men selv i tilfeller der det under nettverksoptimalisering ikke er typene enheter og operativsystemer som endres, men bare parametrene deres, utfører eksperimenter i sanntid for å enormt beløp alle mulige kombinasjoner av disse parameterne er praktisk talt umulige i overskuelig tid. Selv bare å endre maksimal pakkestørrelse i en hvilken som helst protokoll krever omkonfigurering av operativsystemet på hundrevis av datamaskiner på nettverket, noe som krever mye arbeid fra nettverksadministratoren.

Derfor, ved optimalisering av nettverk, er det i mange tilfeller å foretrekke å bruke matematisk modellering. En matematisk modell er et sett med sammenhenger (formler, likninger, ulikheter, logiske forhold), definere prosessen med å endre tilstanden til systemet avhengig av dets parametere, inngangssignaler, innledende forhold og tid.

En spesiell klasse matematiske modeller er simuleringsmodeller. Slike modeller er dataprogram, som trinn for trinn gjengir hendelsene som finner sted i ekte system. I forhold til datanettverk, reproduserer simuleringsmodellene prosessene med å generere meldinger av applikasjoner, bryte meldinger i pakker og rammer for visse protokoller, forsinkelser knyttet til behandling av meldinger, pakker og rammer i operativsystemet, prosessen med en datamaskin som får tilgang til et delt nettverksmiljø, prosessen med å behandle innkommende pakker av en ruter etc. Når du simulerer et nettverk, er det ikke nødvendig å kjøpe dyrt utstyr - driften simuleres av programmer som ganske nøyaktig gjengir alle hovedfunksjonene og parametrene til slikt utstyr.

Fordelen med simuleringsmodeller er muligheten til å erstatte prosessen med å endre hendelser i systemet som studeres i sanntid med en akselerert prosess med å endre hendelser i programmets tempo. Som et resultat er det på noen få minutter mulig å reprodusere driften av nettverket i flere dager, noe som gjør det mulig å evaluere driften av nettverket i et bredt spekter av varierende parametere.

Resultatet av arbeidet simuleringsmodell er statistiske data samlet inn under observasjon av pågående hendelser om det meste viktige egenskaper nettverk: responstider, utnyttelsesgrad av kanaler og noder, sannsynlighet for pakketap, etc.

Det finnes spesielle språk simuleringsmodellering, som letter prosessen med å lage en programvaremodell sammenlignet med å bruke universelle språk programmering. Eksempler på simuleringsspråk inkluderer språk som SIMULA, GPSS, SIMDIS.

Det finnes også simuleringsmodelleringssystemer som fokuserer på en smal klasse av systemer som studeres og lar deg bygge modeller uten programmering.

Sikkerhetsspørsmål

Formuler en definisjon av modelleringsprosessen. Hva er en modell? Simuleringsegenskaper. Formuler hovedstadiene for å bygge en modell ved å bruke den klassiske metoden. Formuler hovedstadiene for å bygge en modell ved hjelp av en systemtilnærming. Nevn funksjonene til modellene. Hva er stadiene i prosessen med å løse økonomiske problemer? Hovedtyper av modelleringsprosesser.