Eksempler på å løse ulikheter grafisk. Grafisk løsning av ulikheter, systemer av sett av ulikheter med to variabler

se også Løse et lineært programmeringsproblem grafisk, Kanonisk form for lineære programmeringsproblemer

Systemet med begrensninger for et slikt problem består av ulikheter i to variabler:
og objektivfunksjonen har formen F = C 1 x + C 2 y, som skal maksimeres.

La oss svare på spørsmålet: hvilke tallpar ( x; y) er løsninger på systemet med ulikheter, dvs. tilfredsstiller de hver av ulikhetene samtidig? Med andre ord, hva vil det si å løse et system grafisk?
Først må du forstå hva som er løsningen av en lineær ulikhet med to ukjente.
Å løse en lineær ulikhet med to ukjente betyr å bestemme alle verdipar av de ukjente som ulikheten er tilfredsstilt for.
For eksempel ulikhet 3 x – 5y≥ 42 tilfredsstiller parene ( x , y): (100, 2); (3, –10), osv. Problemet er å finne alle slike par.
Tenk på to ulikheter: øks + av≤ c, øks + av≥ c. Rett øks + av = c deler planet i to halvplan slik at koordinatene til punktene til ett av dem tilfredsstiller ulikheten øks + av >c, og den andre ulikheten øks + +av <c.
Faktisk, ta et poeng med koordinat x = x 0; deretter et punkt som ligger på en rett linje og har abscisse x 0 , har en ordinat

La for bestemtheten en<0, b>0, c>0. Alle punkter med abscisse x 0 ovenfor P(f.eks. prikk M), har yM>y 0 , og alle punkter under punktet P, med abscisse x 0, har yN<y 0 . Fordi det x 0 er et vilkårlig punkt, så vil det alltid være punkter på den ene siden av linjen som øks+ av > c, danner et halvplan, og på den annen side punkter som øks + av< c.

Bilde 1

Ulikhetstegnet i halvplanet avhenger av tallene en, b , c.
Dette innebærer følgende metode for grafisk løsning av systemer med lineære ulikheter i to variabler. For å løse systemet trenger du:

For hver ulikhet, skriv ned ligningen som tilsvarer den gitte ulikheten.
Konstruer linjer som er grafer for funksjoner gitt av ligninger.
For hver rett linje, bestem halvplanet, som er gitt av ulikheten. For å gjøre dette, ta et vilkårlig punkt som ikke ligger på en rett linje, bytt ut koordinatene i ulikheten. hvis ulikheten er sann, så er halvplanet som inneholder det valgte punktet løsningen på den opprinnelige ulikheten. Hvis ulikheten er falsk, er halvplanet på den andre siden av linjen settet med løsninger på denne ulikheten.
For å løse et system med ulikheter, er det nødvendig å finne skjæringsområdet for alle halvplanene som er løsningen på hver ulikhet i systemet.

Dette området kan vise seg å være tomt, da har ulikhetssystemet ingen løsninger, det er inkonsekvent. Ellers sies systemet å være kompatibelt.
Løsninger kan være et endelig tall og et uendelig sett. Området kan være et lukket polygon eller det kan være ubegrenset.

La oss se på tre relevante eksempler.

Eksempel 1. Løs systemet grafisk:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2y + 5 ≤ 0.

vurdere likningene x+y–1=0 og –2x–2y+5=0 som tilsvarer ulikhetene;
la oss konstruere de rette linjene gitt av disse ligningene.

Figur 2

La oss definere halvplanene gitt av ulikhetene. Ta et vilkårlig poeng, la (0; 0). Ta i betraktning x+ y– 1 0, erstatter vi punktet (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Derfor, i halvplanet der punktet (0; 0) ligger, x + y – 1 ≤ 0, dvs. halvplanet som ligger under den rette linjen er løsningen på den første ulikheten. Ved å erstatte dette punktet (0; 0) med det andre får vi: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, dvs. i halvplanet der punktet (0; 0) ligger, -2 x – 2y+ 5≥ 0, og vi ble spurt hvor -2 x – 2y+ 5 ≤ 0, derfor i et annet halvplan - i det over den rette linjen.
Finn skjæringspunktet mellom disse to halvplanene. Linjene er parallelle, slik at planene ikke krysser hverandre noe sted, noe som betyr at systemet med disse ulikhetene ikke har noen løsninger, det er inkonsekvent.

Eksempel 2. Finn grafiske løsninger på systemet med ulikheter:

Figur 3
1. Skriv ned likningene som tilsvarer ulikhetene og konstruer rette linjer.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Etter å ha valgt punktet (0; 0), bestemmer vi tegnene på ulikheter i halvplanene:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, dvs. x + 2y– 2 ≤ 0 i halvplanet under den rette linjen;
0 – 0 – 1 ≤ 0, dvs. y –x– 1 ≤ 0 i halvplanet under den rette linjen;
0 + 2 =2 ≥ 0, dvs. y+ 2 ≥ 0 i halvplanet over linjen.
3. Skjæringspunktet mellom disse tre halvplanene vil være et område som er en trekant. Det er ikke vanskelig å finne hjørnene i regionen som skjæringspunktene for de tilsvarende linjene

På denne måten, MEN(–3; –2), PÅ(0; 1), FRA(6; –2).

La oss vurdere et eksempel til, der det resulterende domenet til løsningen av systemet ikke er begrenset.

Den grafiske metoden består i å konstruere et sett med gjennomførbare LLP-løsninger, og i dette settet finne et punkt som tilsvarer maks/min objektivfunksjonen.

På grunn av de begrensede mulighetene for en visuell grafisk representasjon, brukes denne metoden kun for systemer med lineære ulikheter med to ukjente og systemer som kan reduseres til denne formen.

For å visuelt demonstrere den grafiske metoden, vil vi løse følgende problem:

1. I den første fasen er det nødvendig å konstruere området med gjennomførbare løsninger. For dette eksemplet er det mest praktisk å velge X2 for abscissen, og X1 for ordinaten, og skrive ulikhetene i følgende form:

Siden både grafene og arealet av tillatte løsninger er i første kvartal. For å finne grensepunktene løser vi likningene (1)=(2), (1)=(3) og (2)=(3).

Som det fremgår av illustrasjonen, danner polyeder ABCDE et område med mulige løsninger.

Hvis domenet for tillatte løsninger ikke er lukket, vil enten max(f)=+ ? eller min(f)= -?.

2. Nå kan vi gå videre til direkte å finne maksimum av funksjonen f.

Ved å bytte ut koordinatene til toppunktene til polyederet i funksjonen f og sammenligne verdiene, finner vi at f(C)=f (4; 1)=19 - funksjonens maksimum.

Denne tilnærmingen er ganske gunstig for et lite antall hjørner. Men denne prosedyren kan bli forsinket hvis det er ganske mange hjørner.

I dette tilfellet er det mer praktisk å vurdere en nivålinje på formen f=a. Med en monoton økning i tallet a fra -? til +? rette linjer f=a er forskjøvet langs normalvektoren. Hvis det med en slik forskyvning av nivålinjen eksisterer et punkt X - det første fellespunktet i området med mulige løsninger (polyhedron ABCDE) og nivålinjen, så er f(X) minimum av f på sett ABCDE. Hvis X er det siste skjæringspunktet mellom nivålinjen og settet ABCDE, så er f(X) maksimum på settet av mulige løsninger. Hvis for en>-? linjen f=a skjærer settet med tillatte løsninger, deretter min(f)= -?. Hvis dette skjer når a>+?, så max(f)=+?.

Mål:

1. Gjenta kunnskap om den kvadratiske funksjonen.

2. Gjør deg kjent med metoden for å løse en kvadratisk ulikhet basert på egenskapene til en kvadratisk funksjon.

Utstyr: multimedia, presentasjon “Løse kvadratulikheter”, kort for selvstendig arbeid, tabell “Algorithm for solving square inequalities”, kontrollark med karbonpapir.

UNDER KLASSENE

I. Organisasjonsmoment (1 min).

II. Oppdatering av grunnleggende kunnskap(10 min).

1. Plotte en kvadratisk funksjon y \u003d x 2 -6x + 8<Рисунок 1. Приложение >

bestemmelse av retningen til grenene til parabelen;
bestemme koordinatene til parabelens toppunkt;
bestemmelse av symmetriaksen;
bestemmelse av skjæringspunkter med koordinatakser;
finne flere poeng.

2. Bestem ut fra tegningen fortegnet til koeffisienten a og antall røtter til ligningen ax 2 +in+c=0.<Рисунок 2. Приложение >

3. Bestem i henhold til grafen til funksjonen y \u003d x 2 -4x + 3:

Hva er nullpunktene til funksjonen;
Finn intervallene som funksjonen tar positive verdier på;
Finn intervallene som funksjonen tar negative verdier på;
Ved hvilke verdier av x øker funksjonen, og med hvilke verdier synker den?<Рисунок 3>

4. Lære ny kunnskap (12 min.)

Oppgave 1: Løs ulikheten: x 2 +4x-5 > 0.

Ulikheten tilfredsstilles av x-verdiene der verdiene til funksjonen y=x 2 +4x-5 er lik null eller positiv, det vil si de x-verdiene der punktene til parablen ligger på x-aksen eller over denne aksen.

La oss bygge en graf av funksjonen y \u003d x 2 + 4x-5.

Med x-aksen: X 2 + 4x-5 \u003d 0. I følge Vieta-teoremet: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -5. Poeng(1;0),(-5;0).

Med y-aksen: y(0)=-5. Poeng (0;-5).

Ytterligere poeng: y(-1)=-8, y(2)=7.<Рисунок 4>

Bunnlinje: Verdiene til funksjonen er positive og lik null (ikke-negative) når

Er det nødvendig å plotte en kvadratisk funksjon i detalj hver gang for å løse en ulikhet?
Trenger jeg å finne koordinatene til toppunktet til parablen?
Hva er viktig? (a, x 1, x 2)

Konklusjon: For å løse en kvadratisk ulikhet er det nok å bestemme nullpunktene til funksjonen, retningen til grenene til parablen og bygge en skisse av grafen.

Oppgave 2: Løs ulikheten: x 2 -6x + 8 < 0.

Løsning: La oss bestemme røttene til ligningen x 2 -6x+8=0.

I følge Vieta-teoremet: x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 4.

a>0 - grenene til parablen er rettet oppover.

La oss lage en skisse av grafen.<Рисунок 5>

Vi markerer med tegn "+" og "–" intervallene som funksjonen tar positive og negative verdier på. La oss velge intervallet vi trenger.

Svar: X€.

5. Konsolidering av nytt materiale (7 min).

nr. 660 (3). Eleven bestemmer i styret.

Løs ulikhet-x 2 -3x-2<0.

X2-3x-2=0; x 2 +3x+2=0;

røttene til ligningen: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -2.

en<0 – ветви вниз. <Рисунок 6>

nr. 660 (1) - Arbeid med skjult brett.

Løs ulikheten x 2 -3x + 2 < 0.

Løsning: x 2 -3x+2=0.

La oss finne røttene: ; x 1 = 1, x 2 = 2.

a>0 - grener opp. Vi bygger en skisse av grafen til funksjonen.<Рисунок 7>

Algoritme:

Finn røttene til ligningen akse 2 + i + c \u003d 0.
Merk dem på koordinatplanet.
Bestem retningen til grenene til parabelen.
Skisser et diagram.
Merk med tegnene "+" og "-", intervallene som funksjonen tar positive og negative verdier på.
Velg ønsket intervall.

6. Selvstendig arbeid (10 min.).

(Resepsjon - karbonpapir).

Kontrollarket signeres og overleveres til lærer for verifikasjon og rettingsfastsettelse.

Styrets egensjekk.

Ekstra oppgave:

№ 670. Finn verdiene til x der funksjonen tar verdier som ikke er større enn null: y=x 2 +6x-9.

7. Lekser (2 min).

№ 660 (2, 4), № 661 (2, 4).

Fyll ut tabellen:

D	Ulikhet	en	Tegning	Løsning
D>0	akse 2 + inn + s > 0	a>0
D>0	akse 2 + inn + s > 0	en<0
D>0	akse 2 + inn + s < 0	a>0
D>0	akse 2 + inn + s < 0	en<0

8. Oppsummering av leksjonen (3 min).

Gjengi algoritmen for å løse ulikheter.
Hvem gjorde en god jobb?
Hva virket vanskelig?

En av de mest praktiske metodene for å løse kvadratiske ulikheter er den grafiske metoden. I denne artikkelen skal vi analysere hvordan kvadratiske ulikheter løses grafisk. Først, la oss diskutere hva essensen av denne metoden er. Og så gir vi algoritmen og vurderer eksempler på å løse kvadratiske ulikheter grafisk.

Sidenavigering.

Essensen av den grafiske metoden

Som regel grafisk måte å løse ulikheter på med én variabel brukes ikke bare for å løse kvadratulikheter, men også ulikheter av andre typer. Essensen av den grafiske metoden for å løse ulikheter neste: vurdere funksjonene y=f(x) og y=g(x) som tilsvarer venstre og høyre del av ulikheten, bygg grafene deres i det samme rektangulære koordinatsystemet og finn ut med hvilke intervaller grafen til en av de er plassert under eller over den andre. De intervallene hvor

grafen til funksjonen f over grafen til funksjonen g er løsninger på ulikheten f(x)>g(x) ;
grafen til funksjonen f ikke lavere enn grafen til funksjonen g er løsninger på ulikheten f(x)≥g(x) ;
grafen til funksjonen f under grafen til funksjonen g er løsninger på ulikheten f(x)
grafen til funksjonen f ikke over grafen til funksjonen g er løsninger på ulikheten f(x)≤g(x) .

La oss også si at abscissen til skjæringspunktene til grafene til funksjonene f og g er løsninger på ligningen f(x)=g(x) .

La oss overføre disse resultatene til vårt tilfelle – for å løse den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Vi introduserer to funksjoner: den første y=a x 2 +b x+c (i dette tilfellet f(x)=a x 2 +b x+c) tilsvarer venstre side av den kvadratiske ulikheten, den andre y=0 (i dette tilfellet g (x)=0 ) tilsvarer høyre side av ulikheten. rute kvadratisk funksjon f er en parabel og grafen permanent funksjon g er en rett linje som faller sammen med abscisseaksen Ox .

Videre, i henhold til den grafiske metoden for å løse ulikheter, er det nødvendig å analysere med hvilke intervaller grafen til en funksjon er plassert over eller under den andre, noe som vil tillate oss å skrive den ønskede løsningen til den kvadratiske ulikheten. I vårt tilfelle må vi analysere posisjonen til parablen i forhold til aksen Ox.

Avhengig av verdiene til koeffisientene a, b og c, er følgende seks alternativer mulige (en skjematisk representasjon er tilstrekkelig for våre behov, og det er mulig å ikke skildre Oy-aksen, siden dens posisjon ikke påvirker løsningen av ulikheten):

På denne tegningen ser vi en parabel hvis grener er rettet oppover og som skjærer aksen Ox i to punkter, hvis abscisser er x 1 og x 2 . Denne tegningen tilsvarer varianten når koeffisienten a er positiv (den er ansvarlig for retningen oppover til grenene til parablen), og når verdien er positiv diskriminant av et kvadratisk trinomium a x 2 + b x + c (i dette tilfellet har trinomialet to røtter, som vi betegnet som x 1 og x 2, og vi antok at x 1 0 , D=b 2 −4 a c=(−1) 2 −4 1 (−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

For klarhet, la oss tegne i rødt delene av parabelen som ligger over abscisseaksen, og i blått - plassert under abscisseaksen.

La oss nå finne ut hvilke hull som tilsvarer disse delene. Følgende tegning vil bidra til å bestemme dem (i fremtiden vil vi mentalt gjøre slike valg i form av rektangler):

Så på abscisseaksen ble to intervaller (−∞, x 1) og (x 2, +∞) uthevet i rødt, på dem er parablen høyere enn aksen Ox, de utgjør løsningen av den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c>0 , og intervallet (x 1 , x 2) er uthevet i blått, på det er parabelen under aksen Ox , det er en løsning på ulikheten a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Og nå kort: for a>0 og D=b 2 −4 a c>0 (eller D"=D/4>0 for en jevn koeffisient b)

løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c>0 er (−∞, x 1)∪(x 2, +∞) eller, på en annen måte, x x2;
løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c≥0 er (−∞, x 1 ]∪ eller i annen notasjon x 1 ≤x≤x 2,

hvor x 1 og x 2 er røttene til kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c, og x 1

Her ser vi en parabel, hvis grener er rettet oppover, og som berører abscisseaksen, det vil si at den har ett felles punkt med seg, la oss betegne abscissen til dette punktet som x 0. Det presenterte tilfellet tilsvarer a>0 (grenene er rettet oppover) og D=0 (kvadrattrinomialet har én rot x 0 ). For eksempel kan vi ta den kvadratiske funksjonen y=x 2 −4 x+4 , her a=1>0 , D=(−4) 2 −4 1 4=0 og x 0 =2 .

Tegningen viser tydelig at parablen er plassert over Ox-aksen overalt, bortsett fra kontaktpunktet, det vil si i intervallene (−∞, x 0), (x 0, ∞) . For klarhet velger vi områder på tegningen analogt med forrige avsnitt.

Vi trekker konklusjoner: for a>0 og D=0

løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c>0 er (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) eller i annen notasjon x≠x 0 ;
løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c≥0 er (−∞, +∞) eller, i en annen notasjon, x∈R ;
kvadratisk ulikhet a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c≤0 har en unik løsning x=x 0 (den er gitt av tangentpunktet),

hvor x 0 er roten til kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c.

I dette tilfellet er grenene til parabelen rettet oppover, og den har ingen fellespunkter med abscisseaksen. Her har vi betingelsene a>0 (grenene er rettet oppover) og D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4 2 1 = −8<0 .

Det er klart at parablen er plassert over okseaksen i hele dens lengde (det er ingen intervaller der den er under okseaksen, det er ikke noe kontaktpunkt).

For a>0 og D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 og a x 2 +b x+c≥0 er mengden av alle reelle tall, og ulikhetene a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Og det er tre alternativer for plasseringen av parabelen med grener rettet nedover, og ikke oppover, i forhold til aksen Ox. I prinsippet kan de kanskje ikke vurderes, siden multiplisering av begge deler av ulikheten med −1 lar oss gå over til en ekvivalent ulikhet med en positiv koeffisient ved x 2 . Det skader imidlertid ikke å få en idé om disse sakene. Begrunnelsen her er lik, så vi skriver bare ned hovedresultatene.

Løsningsalgoritme

Resultatet av alle tidligere beregninger er algoritme for å løse kvadratulikheter grafisk:

En skjematisk tegning utføres på koordinatplanet, som viser Ox-aksen (det er ikke nødvendig å avbilde Oy-aksen) og en skisse av en parabel tilsvarende en kvadratisk funksjon y=a x 2 + b x + c. For å konstruere en skisse av en parabel er det nok å finne ut to punkter:

Først, ved verdien av koeffisienten a, blir den funnet ut hvor grenene er rettet (for a>0 - oppover, for en<0 – вниз).
Og for det andre, ved verdien av diskriminanten til kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c, viser det seg om parabelen skjærer x-aksen i to punkter (for D> 0), berører den i ett punkt (for D= 0), eller har ingen felles punkter med okseaksen (for D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

Når tegningen er klar, på den i det andre trinnet i algoritmen
- når du løser den kvadratiske ulikheten a·x 2 +b·x+c>0, bestemmes intervallene som parablen er plassert over abscisseaksen med;
- når du løser ulikheten a x 2 +b x+c≥0, bestemmes intervallene der parabelen er plassert over abscisseaksen og abscissen til skjæringspunktene (eller abscissen til tangentpunktet) legges til dem;
- ved løsning av ulikheten a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
- til slutt, når man løser en kvadratisk ulikhet av formen a x 2 +b x + c≤0, er det intervaller der parabelen er under okseaksen og abscissen til skjæringspunktene (eller abscissen til tangenspunktet) legges til dem ;
de utgjør den ønskede løsningen av den kvadratiske ulikheten, og hvis det ikke er slike intervaller og ingen kontaktpunkter, så har den opprinnelige kvadratiske ulikheten ingen løsninger.

Det gjenstår bare å løse noen få kvadratiske ulikheter ved å bruke denne algoritmen.

Eksempler med løsninger

Eksempel.

Løs ulikheten .

Løsning.

Vi må løse en kvadratisk ulikhet, vi vil bruke algoritmen fra forrige avsnitt. I det første trinnet må vi tegne en skisse av grafen til den kvadratiske funksjonen . Koeffisienten ved x 2 er 2, den er positiv, derfor er grenene til parablen rettet oppover. La oss også finne ut om parabelen med abscisseaksen har felles punkter, for dette beregner vi diskriminanten til kvadrattrinomialet . Vi har . Diskriminanten viste seg å være større enn null, derfor har trinomialet to reelle røtter: og , det vil si x 1 =−3 og x 2 =1/3.

Av dette er det tydelig at parabelen skjærer aksen Ox i to punkter med abscisse −3 og 1/3. Vi vil avbilde disse punktene på tegningen som vanlige punkter, siden vi løser en ikke-streng ulikhet. I henhold til de avklarte dataene får vi følgende tegning (den passer til den første malen fra første avsnitt av artikkelen):

Vi går videre til det andre trinnet i algoritmen. Siden vi løser en ikke-streng kvadratisk ulikhet med ≤-tegnet, må vi bestemme intervallene som parabelen er plassert under abscisseaksen og legge til abscissen til skjæringspunktene til dem.

Det kan ses av tegningen at parabelen er under abscissen i intervallet (−3, 1/3) og vi legger til abscissen til skjæringspunktene, det vil si tallene −3 og 1/3. Som et resultat kommer vi til det numeriske segmentet [−3, 1/3] . Dette er den ønskede løsningen. Det kan skrives som en dobbel ulikhet −3≤x≤1/3 .

Svar:

[−3, 1/3] eller −3≤x≤1/3 .

Eksempel.

Finn en løsning på den kvadratiske ulikheten −x 2 +16 x−63<0 .

Løsning.

Som vanlig starter vi med en tegning. Den numeriske koeffisienten for kvadratet til variabelen er negativ, −1, derfor er grenene til parablen rettet nedover. La oss beregne diskriminanten, eller bedre, dens fjerde del: D"=8 2 −(−1)(−63)=64−63=1. Verdien er positiv, vi beregner røttene til kvadrattrinomialet: og x 1 = 7 og x 2 = 9. Så parabelen skjærer okseaksen i to punkter med abscisse 7 og 9 (den innledende ulikheten er streng, så vi vil skildre disse punktene med et tomt senter). Nå kan vi lage en skjematisk tegning:

Siden vi løser en streng signert kvadratisk ulikhet<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Tegningen viser at løsningene til den opprinnelige kvadratiske ulikheten er to intervaller (−∞, 7), (9, +∞) .

Svar:

(−∞, 7)∪(9, +∞) eller i en annen notasjon x<7 , x>9 .

Når du løser kvadratulikheter, når diskriminanten til et kvadratisk trinomium på venstre side er lik null, må du være forsiktig med å inkludere eller ekskludere abscissen til tangentpunktet fra svaret. Det avhenger av ulikhetens fortegn: hvis ulikheten er streng, så er den ikke en løsning på ulikheten, og hvis den er ikke-streng, så er den det.

Eksempel.

Har den kvadratiske ulikheten 10 x 2 −14 x+4,9≤0 minst én løsning?

Løsning.

La oss plotte funksjonen y=10 x 2 −14 x+4,9 . Dens grener er rettet oppover, siden koeffisienten ved x 2 er positiv, og den berører abscissen ved punktet med abscissen 0,7, siden D "=(−7) 2 −10 4,9=0, hvorav eller 0,7 som desimal. Skjematisk ser det slik ut:

Siden vi løser en kvadratisk ulikhet med tegnet ≤, vil løsningen være intervallene som parablen er under okseaksen, samt abscissen til tangentpunktet. Det kan sees fra tegningen at det ikke er et eneste gap der parabelen vil være under aksen Ox, derfor vil løsningen bare være abscissen til kontaktpunktet, det vil si 0,7.

Svar:

denne ulikheten har en unik løsning 0.7.

Eksempel.

Løs den kvadratiske ulikheten –x 2 +8 x−16<0 .

Løsning.

Vi handler etter algoritmen for å løse kvadratiske ulikheter og starter med å plotte. Forgreningene til parablen er rettet nedover, siden koeffisienten ved x 2 er negativ, −1. Finn diskriminanten til kvadrattrinomialet –x 2 +8 x−16 , vi har D'=4 2 −(−1)(−16)=16−16=0 og videre x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Så, parablen berører okseaksen ved punktet med abscissen 4 . La oss lage en tegning:

Vi ser på tegnet på den opprinnelige ulikheten, det er det<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

I vårt tilfelle er dette åpne stråler (−∞, 4), (4, +∞) . Separat bemerker vi at 4 - abscissen til tangentpunktet - ikke er en løsning, siden parablen ved tangentpunktet ikke er lavere enn okseaksen.

Svar:

(−∞, 4)∪(4, +∞) eller i annen notasjon x≠4 .

Vær spesielt oppmerksom på tilfeller der diskriminanten til kvadrattrinomialet på venstre side av kvadratulikheten er mindre enn null. Det er ingen grunn til å forhaste seg her og si at ulikheten ikke har noen løsninger (vi er vant til å lage en slik konklusjon for andregradsligninger med negativ diskriminant). Poenget er at den kvadratiske ulikheten for D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Eksempel.

Finn løsningen på den kvadratiske ulikheten 3 x 2 +1>0 .

Løsning.

Som vanlig starter vi med en tegning. Koeffisienten a er 3, den er positiv, derfor er grenene til parablen rettet oppover. Regn ut diskriminanten: D=0 2 −4 3 1=−12 . Siden diskriminanten er negativ, har parablen ingen fellespunkter med x-aksen. Informasjonen som er oppnådd er tilstrekkelig for et skjematisk diagram:

Vi løser en streng kvadratisk ulikhet med > fortegn. Løsningen vil være alle intervallene der parablen er over okseaksen. I vårt tilfelle er parablen over x-aksen langs hele lengden, så den ønskede løsningen vil være settet av alle reelle tall.

Ox , og du må også legge til abscissen til skjæringspunktene eller abscissen til berøringspunktet til dem. Men tegningen viser tydelig at det ikke er slike hull (siden parablen er overalt under abscisseaksen), så vel som at det ikke er noen skjæringspunkter, akkurat som det ikke er noen kontaktpunkter. Derfor har den opprinnelige kvadratiske ulikheten ingen løsninger.

Svar:

det er ingen løsninger eller i en annen notasjon ∅.

Bibliografi.

Algebra: lærebok for 8 celler. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M. : Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra: Klasse 9: lærebok. for allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M. : Utdanning, 2009. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Kl. 14.00 Del 1. En lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 11. utg., slettet. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovich A.G. Algebra. Karakter 9 Kl. 14.00 Del 1. Lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. utgave, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A.G. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse. 11. klasse. Kl. 14.00 Del 1. Lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner (profilnivå) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

Leksjonstype:

Type leksjon: Forelesning, leksjon i problemløsning.

Varighet: 2 timer.

Mål:1) Lær den grafiske metoden.

2) Vis bruken av Maple-programmet til å løse ulikhetssystemer ved hjelp av en grafisk metode.

3) Utvikle oppfatning og tenkning om emnet.

Timeplan:

Kursfremgang.

Trinn 1: Den grafiske metoden består i å konstruere et sett med gjennomførbare LLP-løsninger, og finne et punkt i dette settet som tilsvarer maks/min for objektivfunksjonen.

For å visuelt demonstrere den grafiske metoden, vil vi løse følgende problem:

Siden både grafene og arealet av tillatte løsninger er i første kvartal. For å finne grensepunktene løser vi likningene (1)=(2), (1)=(3) og (2)=(3).

Som det fremgår av illustrasjonen, danner polyeder ABCDE et område med mulige løsninger.

Hvis domenet for tillatte løsninger ikke er lukket, vil enten max(f)=+ ? eller min(f)= -?.

2. Nå kan vi gå videre til direkte å finne maksimum av funksjonen f.

Ved å bytte ut koordinatene til toppunktene til polyederet i funksjonen f og sammenligne verdiene, finner vi at f(C)=f(4;1)=19 er maksimum av funksjonen.

Denne tilnærmingen er ganske gunstig for et lite antall hjørner. Men denne prosedyren kan bli forsinket hvis det er ganske mange hjørner.

I dette tilfellet er det mer praktisk å vurdere en nivålinje på formen f=a. Med en monoton økning i tallet a fra -? til +? linjene f=a er forskjøvet langs normalvektoren Normalvektoren har koordinater (С1;С2), hvor C1 og C2 er koeffisientene til de ukjente i objektivfunksjonen f=C1?X1+C2?X2+C0.. Hvis det er et punkt under en slik forskyvning av nivålinjen X er det første fellespunktet i området med mulige løsninger (polytop ABCDE) og nivålinjen, så er f(X) minimum av f på den angitte ABCDE. Hvis X er det siste skjæringspunktet mellom nivålinjen og settet ABCDE, så er f(X) maksimum på settet av mulige løsninger. Hvis for en>-? linjen f=a skjærer settet med tillatte løsninger, deretter min(f)= -?. Hvis dette skjer når a>+?, så max(f)=+?.

I vårt eksempel krysser linjen f=a området ABCDE i punktet С(4;1). Siden dette er det siste skjæringspunktet, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Løs ulikhetssystemet grafisk. Finn hjørneløsninger.

x1>=0, x2>=0

>med(plott);

>med(plottverktøy);

> S1:=løse((f1x = X6, f2x = X6), );

Svar: Alle punktene Si hvor i=1..10 hvor x og y er positive.

Område avgrenset av disse punktene: (54/11.2/11) (5/7.60/7) (0.5) (10/3, 10/3)

Trinn 3. Hver elev får ett av 20 alternativer, der eleven blir bedt om å løse ulikheten selvstendig ved hjelp av en grafisk metode, og resten av eksemplene som lekser.

Leksjon №4 Grafisk løsning av et lineært programmeringsproblem

Leksjonstype: leksjon lære nytt materiale.

Type leksjon: Forelesning + oppgaveløsningstime.

Varighet: 2 timer.

Mål: 1) Studer den grafiske løsningen av det lineære programmeringsproblemet.

2) Lær å bruke Maple-programmet når du løser et lineært programmeringsproblem.

2) Utvikle persepsjon, tenkning.

Timeplan: Trinn 1: lære nytt materiale.

Trinn 2: Utvikling av nytt materiale i Maple matematisk pakke.

Trinn 3: kontroll av studert materiale og lekser.

Kursfremgang.

Den grafiske metoden er ganske enkel og oversiktlig for å løse lineære programmeringsproblemer med to variabler. Den er basert på geometriske representasjon av tillatte løsninger og digitalt filter av problemet.

Hver av ulikhetene til det lineære programmeringsproblemet (1.2) definerer et visst halvplan på koordinatplanet (fig. 2.1), og systemet av ulikheter som helhet definerer skjæringspunktet mellom de tilsvarende planene. Settet med skjæringspunkter for disse halvplanene kalles domene for gjennomførbare løsninger(ODR). ODR er alltid konveks figur, dvs. som har følgende egenskap: hvis to punkter A og B tilhører denne figuren, så tilhører hele segmentet AB den. ODR kan representeres grafisk av en konveks polygon, et ubegrenset konveks polygonalt område, et segment, en stråle, et enkelt punkt. Hvis systemet med begrensninger av problem (1.2) er inkonsekvent, er ODE et tomt sett.

Alt det ovennevnte gjelder også for tilfellet når systemet med begrensninger (1.2) inkluderer likheter, siden enhver likhet

kan representeres som et system av to ulikheter (se fig. 2.1)

Det digitale filteret med en fast verdi definerer en rett linje på planet. Ved å endre verdiene til L får vi en familie av parallelle linjer, kalt nivålinjer.

Dette skyldes det faktum at en endring i verdien av L bare vil endre lengden på segmentet avskåret av nivålinjen på aksen (initialordinaten), og helningen til den rette linjen vil forbli konstant (se fig. 2.1). Derfor, for løsningen, vil det være nok å konstruere en av nivålinjene, vilkårlig velge verdien av L.

Vektoren med koordinater fra CF-koeffisientene ved og er vinkelrett på hver av nivålinjene (se fig. 2.1). Retningen til vektoren er den samme som retningen økende CF, som er et viktig poeng for å løse problemer. Retning synkende Det digitale filteret er motsatt av retningen til vektoren.

Essensen av den grafiske metoden er som følger. I retningen (mot retningen) av vektoren i ODR utføres søket etter det optimale punktet. Det optimale punktet er punktet som nivålinjen går gjennom, tilsvarende funksjonens største (minste) verdi. Den optimale løsningen er alltid plassert på ODT-grensen, for eksempel ved det siste toppunktet til ODT-polygonet som mållinjen passerer, eller på hele siden.

Når du søker etter den optimale løsningen på problemer med lineær programmering, er følgende situasjoner mulige: det er en unik løsning på problemet; det er et uendelig antall løsninger (alternativt optium); CF er ikke begrenset; området med gjennomførbare løsninger er et enkelt punkt; problemet har ingen løsning.

Figur 2.1 Geometrisk tolkning av begrensningene og CF for problemet.

Metodikk for å løse LP-oppgaver med en grafisk metode

I. I begrensningene til oppgave (1.2), bytt ut tegn på ulikheter med tegn på eksakte likheter og konstruer de tilsvarende rette linjene.

II. Finn og skyggelegg halvplanene som er tillatt av hver av ulikhetsbegrensningene for problemet (1.2). For å gjøre dette, må du erstatte koordinatene til et punkt [for eksempel (0; 0)] med en spesifikk ulikhet og kontrollere sannheten til den resulterende ulikheten.

Hvis en ekte ulikhet,

deretter det er nødvendig å skygge halvplanet som inneholder det gitte punktet;

ellers(ulikheten er falsk) er det nødvendig å skyggelegge halvplanet som ikke inneholder det gitte punktet.

Siden og må være ikke-negative, vil deres gyldige verdier alltid være over aksen og til høyre for aksen, dvs. i I-kvadranten.

Likhetsbegrensninger tillater bare de punktene som ligger på den tilsvarende linjen. Derfor er det nødvendig å markere slike linjer på grafen.

III. Definer ODR som en del av flyet som samtidig tilhører alle tillatte områder, og velg det. I fravær av en SDE har problemet ingen løsninger.

IV. Hvis ODS ikke er et tomt sett, er det nødvendig å konstruere mållinjen, dvs. hvilken som helst av nivålinjene (hvor L er et vilkårlig tall, for eksempel et multiplum av og, dvs. praktisk for beregninger). Metoden for konstruksjon ligner på konstruksjonen av direkte begrensninger.

V. Konstruer en vektor som starter ved punktet (0;0) og slutter ved punktet. Hvis mållinjen og vektoren er bygd riktig, vil de gjøre det vinkelrett.

VI. Når du søker etter maksimum av det digitale filteret, er det nødvendig å flytte mållinjen i retningen vektor, når du søker etter minimum av det digitale filteret - mot retning vektor. Den siste toppen av ODR i bevegelsesretningen vil være maksimums- eller minimumspunktet til CF. Hvis det ikke er noe slikt punkt, kan vi konkludere med det ubegrensetheten til det digitale filteret på settet med planer ovenfra (når du søker etter et maksimum) eller nedenfra (når du søker etter et minimum).

VII. Bestem koordinatene til punktet maks (min) til det digitale filteret og beregn verdien til det digitale filteret. For å beregne koordinatene til det optimale punktet, er det nødvendig å løse systemet med ligninger av rette linjer i skjæringspunktet det er plassert.

Løs et lineært programmeringsproblem

1. f(x)=2x1+x2 ->ekstr

x1>=0, x2>=0

>plott((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, alternativer mulig=(farge=rød),

optionsopen=(farge=blå, tykkelse=2),

optionsclosed=(farge=grønn, tykkelse=3),

optionsexcluded=(farge=gul));

> med (enkelt):

> C:=(x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=oppsett((x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

>n:=basis(dp);

W display(C,);

> L:=cterm(C);

W X:=dual(f,C,p);

W f_max:=subs(R,f);

W R1:=minimer(f,C,Ikke-NEGATIV);

f_min:=subs(R1,f);

SVAR: Når x 1 =5/4 x 2 =5/4 f_max=15/4; På x 1 =0 x 2 =0 f_min=0;

Leksjon #5

Leksjonstype: leksjonskontroll + leksjonslæring nytt materiale. Type leksjon: Forelesning.

Varighet: 2 timer.

Mål:1) Sjekk og konsolider kunnskap om tidligere materiale i tidligere leksjoner.

2) Lær en ny metode for å løse matrisespill.

3) utvikle hukommelse, matematisk tenkning og oppmerksomhet.

Trinn 1: sjekk lekser i form av selvstendig arbeid.

Trinn 2: gi en kort beskrivelse av sikksakkmetoden

Trinn 3: konsolidere nytt materiale og gi lekser.

Kursfremgang.

Lineære programmeringsmetoder - numeriske metoder for å løse optimaliseringsproblemer som er redusert til formelle modeller for lineær programmering.

Som kjent kan ethvert lineært programmeringsproblem reduseres til en kanonisk modell for å minimere en lineær objektivfunksjon med lineære likhetstype begrensninger. Siden antallet variabler i et lineært programmeringsproblem er større enn antall begrensninger (n > m), kan en løsning oppnås ved å likestille (n - m) variabler til null, kalt gratis. De resterende m variablene, kalt grunnleggende, kan lett bestemmes fra systemet med likhetsbegrensninger ved de vanlige metodene for lineær algebra. Hvis det finnes en løsning, kalles den grunnleggende. Hvis den grunnleggende løsningen er tillatt, kalles den grunnleggende tillatt. Geometrisk tilsvarer grunnleggende gjennomførbare løsninger toppunktene (ekstrempunkter) til et konveks polyeder, noe som begrenser settet med mulige løsninger. Hvis et lineært programmeringsproblem har optimale løsninger, er minst én av dem grunnleggende.

Ovennevnte betraktninger betyr at når man søker etter en optimal løsning på et lineært programmeringsproblem, er det tilstrekkelig å begrense oss til oppregning av grunnleggende tillatte løsninger. Antall grunnleggende løsninger er lik antall kombinasjoner av n variabler i m:

C = m n! /nm! * (n - m)!

og kan være store nok til å telle dem opp ved direkte oppregning i sanntid. Det faktum at ikke alle grunnleggende løsninger er tillatte, endrer ikke essensen av problemet, siden for å vurdere tillattheten til en grunnleggende løsning, må den innhentes.

Problemet med rasjonell oppregning av grunnleggende løsninger for et lineært programmeringsproblem ble først løst av J. Dantzig. Simplexmetoden som er foreslått av ham er den desidert vanligste generelle lineære programmeringsmetoden. Simplex-metoden implementerer en rettet oppregning av mulige grunnleggende løsninger langs de tilsvarende ytterpunktene til det konvekse polyederet av gjennomførbare løsninger som en iterativ prosess, hvor verdiene til den objektive funksjonen strengt tatt avtar ved hvert trinn. Overgangen mellom ytterpunktene utføres langs kantene av det konvekse polyederet av mulige løsninger i samsvar med enkle lineær-algebraiske transformasjoner av systemet med begrensninger. Siden antall ekstreme punkter er endelige, og objektivfunksjonen er lineær, konvergerer simpleksmetoden til det globale minimum i et begrenset antall trinn ved å sortere gjennom ekstrempunktene i retning av avtagende objektivfunksjon.

Praksis har vist at for de fleste anvendte problemer med lineær programmering, tillater simpleksmetoden å finne den optimale løsningen i et relativt lite antall trinn sammenlignet med det totale antallet ekstreme punkter for et tillatt polyeder. Samtidig er det kjent at for noen lineære programmeringsproblemer med en spesielt valgt form av det tillatte området, fører bruken av simpleksmetoden til en fullstendig oppregning av ekstrempunktene. Dette faktum stimulerte til en viss grad søket etter nye effektive metoder for å løse et lineært programmeringsproblem, basert på andre ideer enn simpleksmetoden, som tillater å løse ethvert lineært programmeringsproblem i et begrenset antall trinn, betydelig mindre enn antallet ekstreme poeng.

Blant de polynomiske lineære programmeringsmetodene som er uforanderlige for konfigurasjonen av rekkevidden av tillatte verdier, er den vanligste metoden til L.G. Khachiyan. Men selv om denne metoden har et polynomisk kompleksitetsestimat avhengig av problemets dimensjon, viser den seg likevel å være ikke-konkurransedyktig sammenlignet med simpleksmetoden. Grunnen til dette er at avhengigheten av antall iterasjoner av simpleksmetoden av problemets dimensjon er uttrykt med et 3. ordens polynom for de fleste praktiske problemer, mens i Khachiyan-metoden har denne avhengigheten alltid en orden på minst 4. Dette faktum er av avgjørende betydning for praksis, der anvendte problemkomplekser for simpleksmetoden er ekstremt sjeldne.

Det bør også bemerkes at for anvendte problemer med lineær programmering som er viktige i praktisk forstand, er det utviklet spesielle metoder som tar hensyn til den spesifikke karakteren av begrensningene til problemet. Spesielt, for et homogent transportproblem, brukes spesielle algoritmer for å velge startgrunnlaget, hvorav de mest kjente er den nordvestlige hjørnemetoden og den omtrentlige Vogel-metoden, og den algoritmiske implementeringen av selve simpleksmetoden er nær spesifikasjonene til problemet. For å løse det lineære tilordningsproblemet (valgoppgave), i stedet for simpleksmetoden, brukes vanligvis enten den ungarske algoritmen, basert på tolkningen av problemet i form av grafteori som problemet med å finne maksimal vektet perfekt matching i en todelt graf, eller Mack-metoden.

Løs et 3x3 matrisespill

f(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>=0, x2>=0, x3>=0

> med (enkelt):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

W display(C,);