Eksempler på oppgaver på poengstedet.

Geometri (Gresk geometria, fra ge - Jord og metreo - mål)

gren av matematikk som studerer romlige relasjoner og former, samt andre relasjoner og former som ligner romlige i deres struktur.

Opprinnelsen til begrepet "G.", som bokstavelig betyr "jordundersøkelse", kan forklares med følgende ord tilskrevet den antikke greske vitenskapsmannen Eudemus fra Rhodos (4. århundre f.Kr.): "Geometri ble oppdaget av egypterne og oppsto da måle jorden. Denne målingen var ham nødvendig på grunn av flom av Nilen, som stadig vasket bort grensene. " Allerede blant de gamle grekerne mente G. matematisk vitenskap, mens begrepet Geodesi ble introdusert for vitenskapen om å måle jorden. Å dømme etter de overlevende fragmentene av gamle egyptiske skrifter, utviklet tyngdekraften seg ikke bare fra målinger av jorden, men også fra målinger av volumer og overflater under jordarbeid og byggearbeid, og så videre.

De første begrepene om gravitasjon oppsto som et resultat av en abstraksjon fra alle egenskaper og relasjoner til legemer, bortsett fra den relative posisjonen og størrelsen. De første kommer til uttrykk i berøring eller tilstøtende kropper til hverandre, i det faktum at en kropp er en del av en annen, i stedet "mellom", "inne" etc. Sistnevnte kommer til uttrykk i begrepene «mer», «mindre», i begrepet likestilling av kropper.

Ved samme abstraksjon oppstår begrepet en geometrisk kropp. En geometrisk kropp er en abstraksjon der bare formen og dimensjonene er bevart i fullstendig abstraksjon fra alle andre egenskaper. Samtidig, som er typisk for matematikk generelt, abstraherer geometrien seg fullstendig fra ubestemtheten og mobiliteten til virkelige former og størrelser og anser alle sammenhengene og formene den undersøker som absolutt presise og bestemte. Abstraksjon fra forlengelsen av kropper fører til begrepene overflater, linjer og punkter. Dette kommer tydelig til uttrykk for eksempel i definisjonene gitt av Euklid: "en linje er en lengde uten bredde", "en overflate er den som har lengde og bredde". Et punkt uten noen utvidelse er en abstraksjon som reflekterer muligheten for en ubegrenset reduksjon i alle dimensjoner av en kropp, den imaginære grensen for dens uendelige inndeling. Så er det generelt konsept om en geometrisk figur, som ikke bare forstås som en kropp, overflate, linje eller punkt, men også enhver kombinasjon av dem.

G. i sin opprinnelige betydning er vitenskapen om figurer, den gjensidige ordningen og størrelsen av deres deler, samt transformasjonen av figurer. Denne definisjonen er i full overensstemmelse med definisjonen av geometri som vitenskapen om romlige former og relasjoner. Faktisk er figuren, slik den betraktes i G., en romlig form; derfor sier de i G. for eksempel "ball", og ikke "kropp sfærisk form»; plassering og dimensjoner bestemmes av romlige forhold; Til slutt er transformasjon, slik det forstås i G., også en viss relasjon mellom to figurer - den gitte og den som den omdannes til.

I moderne, mer generell forstand, omfatter geometri en rekke matematiske teorier, hvis tilhørighet til geometri bestemmes ikke bare av likheten (om enn noen ganger svært fjernt) av deres fagstoff med vanlige romlige former og relasjoner, men også av det faktum at de har historisk utviklet seg og blir dannet på G. i sin opprinnelige betydning og i sine konstruksjoner går de ut fra analysen, generaliseringen og modifikasjonen av dens konsepter. Geografi i denne generelle forstand er nært sammenvevd med andre grener av matematikken, og grensene er ikke presise. Se Generalisering av geometri og moderne geometri.

Utvikling av geometri. I utviklingen av G. kan fire hovedperioder angis, overgangene mellom disse betegnet kvalitativ endring G.

Den første - perioden med fødselen av geometri som en matematisk vitenskap - fortsatte i det gamle Egypt, Babylon og Hellas til omtrent 500-tallet. f.Kr e. Primær geometrisk informasjon vises på de tidligste stadiene av samfunnsutviklingen. Vitenskapens begynnelse bør betraktes som etableringen av den første generelle mønstre, V denne saken- avhengigheter mellom geometriske størrelser. Dette øyeblikket kan ikke dateres. Det tidligste verket som inneholder rudimentene til G. har kommet ned til oss fra det gamle Egypt og dateres tilbake til ca. 1600-tallet. f.Kr e., men det er absolutt ikke den første. Geometrisk informasjon fra den perioden var ikke tallrik og ble først og fremst redusert til beregning av visse områder og volumer. De ble angitt i form av regler, tilsynelatende, i stor grad av empirisk opprinnelse, mens de logiske bevisene trolig fortsatt var svært primitive. Hellas ble ifølge greske historikere overført til Hellas fra Egypt på 700-tallet. f.Kr e. Her utviklet det seg i løpet av flere generasjoner til et sammenhengende system. Denne prosessen skjedde gjennom akkumulering av ny geometrisk kunnskap, belysning av sammenhenger mellom ulike geometriske fakta, utvikling av bevismetoder, og til slutt dannelsen av begreper om en figur, om en geometrisk setning og om bevis.

Denne prosessen har endelig ført til et kvalitativt sprang. Geometri ble en uavhengig matematisk vitenskap: dens systematiske utstillinger dukket opp, der dens proposisjoner konsekvent ble bevist. Siden den gang begynner den andre perioden med utvikling av geografi. Det er kjente referanser til systematiske presentasjoner av geologi, blant annet gitt på 500-tallet. f.Kr e. Hippokrates fra Chios (Se Hippokrates fra Chios). De overlevde og spilte en avgjørende rolle i fremtiden, som dukket opp rundt 300 f.Kr. e. "Begynnelser" av Euklid (Se begynnelsen av Euklid). Her presenteres geometrier på den måten de fortsatt er allment forstått i dag, hvis vi begrenser oss til elementær geometri (se elementær geometri); dette er vitenskapen om de enkleste romlige former og relasjoner, utviklet i en logisk rekkefølge, basert på klart formulerte grunnleggende bestemmelser - aksiomer og grunnleggende romlige representasjoner. Geometri utviklet på samme grunnlag (aksiomer), selv raffinert og beriket både i emnet og i undersøkelsesmetodene, kalles euklidisk geometri. Selv i Hellas legges det til nye resultater, nye metoder for å bestemme områder og volumer oppstår (Archimedes, 3. århundre f.Kr.), læren om kjeglesnitt (Apollonius av Perga, 3. århundre f.Kr.), begynnelsen av trigonometri er lagt til (Hipparchus , 2 V. f.Kr e.) og G. om sfæren (Menelaos, 1. århundre e.Kr.). Nedgangen i det gamle samfunnet førte til en komparativ stagnasjon i utviklingen av sigøyner, men den fortsatte å utvikle seg i India, i Sentral Asia, i landene i det arabiske østen.

Gjenopplivingen av vitenskapene og kunsten i Europa førte til ytterligere oppblomstring av geologi. nytt trinn ble laget i første halvdel av 1600-tallet. R. Descartes, som introduserte metoden for koordinater i geometri. Koordinatmetoden gjorde det mulig å koble geometri med den da utviklende algebraen og den fremvoksende analysen. Anvendelsen av metodene til disse vitenskapene i geologi ga opphav til analytisk geografi, og deretter differensialgeologi. G. har beveget seg til et kvalitativt nytt nivå sammenlignet med G. fra de gamle: den vurderer allerede mye mer generelle figurer og bruker i det vesentlige nye metoder. Siden den gang begynner den tredje utviklingsperioden for G. Analytisk geometri studerer figurer og transformasjoner gitt av algebraiske ligninger i rektangulære koordinater, ved å bruke algebrametodene. Differensialgeometri, som oppsto på 1700-tallet. Som et resultat av arbeidet til L. Euler, H. Monge og andre studerer han allerede alle tilstrekkelig glatte buede linjer og overflater, deres familier (dvs. deres kontinuerlige samlinger) og transformasjoner (begrepet "differensiell geometri" er nå ofte gitt mer generell betydning, som er diskutert i Modern Geometry-delen). Navnet er hovedsakelig assosiert med metoden, som kommer fra differensialregningen. Innen 1. halvdel av 1600-tallet. refererer til opprinnelsen til projektiv geometri (Se projektiv geometri) i verkene til J. Desargues og B. Pascal (Se Pascal). Det oppsto fra problemene med å skildre kropper på et fly; dets første emne er egenskapene til planfigurer som er bevart når de projiserer fra ett plan til et annet fra et hvilket som helst punkt. Den endelige formuleringen og systematiske utstillingen av disse nye trendene innen geologi ble gitt på 1700- og begynnelsen av 1800-tallet. Euler for analytisk grafering (1748), Monge for differential graphing (1795), J. Poncelet for projective graphing (1822), og selve læren om geometrisk representasjon (i direkte forbindelse med problemene med tegning) ble utviklet enda tidligere (1799). og brakt inn i systemet av Monge i form av beskrivende geometri (Se beskrivende geometri). I alle disse nye disiplinene forble grunnlaget (aksiomer, innledende konsepter) for geometri uendret, mens utvalget av figurer som ble studert og deres egenskaper, samt metodene som ble brukt, utvidet seg.

Den fjerde perioden i utviklingen av geometri åpner med konstruksjonen av N. I. Lobachevsky (Se Lobachevsky) i 1826 en ny, ikke-euklidisk geometri, nå kalt Lobachevsky-geometri (Se Lobachevsky-geometri). Uavhengig av Lobachevsky, i 1832, bygde J. Bolyai den samme geometrien (K. Gauss utviklet de samme ideene, men han publiserte dem ikke). Kilden, essensen og betydningen av Lobachevskys ideer koker ned til følgende. I geometrien til Euklid er det et aksiom om paralleller, som sier: "gjennom et punkt som ikke ligger på en gitt linje, kan man tegne maksimalt en linje parallelt med en gitt." Mange geometre har forsøkt å bevise dette aksiomet fra andre grunnleggende premisser for Euklids geometri, men uten hell. Lobachevsky kom til den konklusjon at et slikt bevis er umulig. Utsagnet motsatt av Euklids aksiom sier: "gjennom et punkt som ikke ligger på en gitt linje, kan man tegne ikke én, men minst to linjer parallelt med den." Dette er Lobatsjovskys aksiom. I følge Lobachevsky fører tilføyelsen av denne bestemmelsen til andre grunnleggende bestemmelser i G. til logisk feilfrie konklusjoner. Systemet med disse konklusjonene danner en ny, ikke-euklidisk geometri.Lobatsjovskijs fortjeneste ligger i det faktum at han ikke bare uttrykte denne ideen, men faktisk bygde og utviklet en ny geometri, logisk sett like perfekt og rik på konklusjoner som euklidisk. , til tross for dets inkonsekvens med de vanlige visuelle representasjonene. Lobatsjovskij betraktet sin geometri som en mulig teori om romlige relasjoner; det forble imidlertid hypotetisk til det ble avklart (i 1868) ekte mening og dermed ble dens fullstendige begrunnelse gitt (se avsnittet Tolkninger av geometri).

Revolusjonen innen geometri som Lobatsjovskij utløste, er i sin betydning ikke dårligere enn noen av revolusjonene innen naturvitenskapene, og det er ikke for ingenting at Lobatsjovskij ble kalt «geometriens Kopernikus». Tre prinsipper ble skissert i ideene hans, som bestemte den nye utviklingen av geometrier.Det første prinsippet er at ikke bare euklidiske geometrier er logisk tenkelige, men også andre "geometrier". Det andre prinsippet er prinsippet om selve konstruksjonen av nye geometriske teorier ved å modifisere og generalisere hovedbestemmelsene i Euclidean G. Det tredje prinsippet er at sannheten til en geometrisk teori, i betydningen korrespondanse med rommets virkelige egenskaper, kan bare verifiseres av fysisk forskning, og det er mulig at slike studier fastslår, i denne forstand, unøyaktigheten til den euklidiske G. Moderne fysikk har bekreftet dette. Imidlertid er den matematiske nøyaktigheten til euklidisk geometri ikke tapt på grunn av dette, siden det bestemmes av den logiske konsistensen (konsistensen) til denne G. På samme måte, i forhold til enhver geometrisk teori, må man skille mellom deres fysiske og matematiske sannhet; den første består i konformiteten til virkeligheten verifisert av erfaring, den andre i logisk konsistens. Lobachevsky ga derfor en materialistisk tilnærming til matematikkfilosofien. Disse generelle prinsippene har spilt viktig rolle ikke bare i geometri, men også i matematikk generelt, i utviklingen av dens aksiomatiske metode, i forståelsen av dens forhold til virkeligheten.

Hovedtrekket i den nye perioden i geometriens historie, startet av Lobachevsky, er utviklingen av nye geometriske teorier - nye "geometrier" og i den tilsvarende generaliseringen av emnet geometri; Konseptet av annen type"rom" (begrepet "rom" har to betydninger i vitenskapen: på den ene siden er det et vanlig virkelig rom, på den andre siden er det et abstrakt "matematisk rom"). Samtidig ble noen teorier dannet innenfor euklidisk geometri i form av dens spesielle kapitler og først da mottatt uavhengig mening. Dette er hvordan projektiv, affin, konform geometri og andre ble dannet, hvis gjenstand er egenskapene til figurer som er bevart under passende (projektive, affine, konforme, etc.) transformasjoner. Forestillingen om projektive, affine og konforme rom oppsto; Euklidiske G. selv begynte å bli vurdert i i en viss forstand som sjef for den projektive G. Dr. teorier, i likhet med Lobatsjovskijs geometri, ble bygget helt fra begynnelsen på grunnlag av en endring og generalisering av begrepene i euklidisk geometri.Dermed ble flerdimensjonal geometri skapt, for eksempel; de første verkene relatert til det (G. Grassman og A. Cayley, 1844) representerte en formell generalisering av den vanlige analytiske G. med tre koordinater på n. Et resultat av utviklingen av alle disse nye "geometriene" ble oppsummert i 1872 av F. Klein, noe som indikerer generelt prinsipp deres konstruksjoner.

Et grunnleggende skritt ble tatt av B. Riemann (foredrag 1854, publisert 1867). Først formulerte han klart det generaliserte konseptet rom som en kontinuerlig samling av alle homogene objekter eller fenomener (se avsnittet Generalisering av emnet geometri). For det andre introduserte han konseptet rom med en hvilken som helst lov for måling av avstander i uendelig små trinn (ligner på å måle lengden på en linje med en veldig liten skala). Herfra utviklet den enorme regionen Georgia, den såkalte. Riemannsk geometri og dens generaliseringer, som har funnet viktige anvendelser i relativitetsteorien, i mekanikk, etc.

Et annet eksempel. Tilstanden til gassen i sylinderen under stempelet bestemmes av trykk og temperatur. Totaliteten av alle mulige tilstander til en gass kan derfor representeres som et todimensjonalt rom. "Punktene" til dette "rommet" er tilstandene til gassen; "punkter" er forskjellige i to "koordinater" - trykk og temperatur, akkurat som punkter på et plan er forskjellige i verdiene til koordinatene deres. Den kontinuerlige endringen av tilstand er representert av en linje i dette rommet.

Videre kan man forestille seg et hvilket som helst materialsystem - mekanisk eller fysisk-kjemisk. Helheten av alle mulige tilstander i dette systemet kalles "faserom". "Poengene" i dette rommet er statene selv. Hvis tilstanden til systemet er definert n mengder, så sier vi at systemet har n grader av frihet. Disse mengdene spiller rollen som koordinatene til punkttilstanden, som i gasseksemplet spilte trykk og temperatur rollen som koordinater. I samsvar med dette kalles et slikt faserom av systemet n-dimensjonal. Endringen av tilstanden er representert med en linje i dette rommet; individuelle regioner av stater, kjennetegnet ved en eller annen funksjon, vil være regioner i faserommet, og grensene til regionene vil være overflater i dette rommet. Hvis systemet bare har to frihetsgrader, kan dets tilstander representeres av punkter på planet. Dermed tilstanden til en gass med trykk R og temperatur T representert ved et punkt med koordinater R Og T, og prosessene som skjer med gassen vil representeres av linjer på planet. Denne metoden for grafisk representasjon er velkjent og brukes stadig i fysikk og teknologi for å visualisere prosesser og deres lover. Men hvis antallet frihetsgrader er større enn 3, så er primtallet grafisk bilde(selv i verdensrommet) blir umulig. Så, for å bevare nyttige geometriske analogier, tyr man til konseptet om et abstrakt faserom. Dermed vokser visuelle grafiske metoder inn i denne abstrakte representasjonen. Faseromsmetoden er mye brukt innen mekanikk, teoretisk fysikk og fysisk kjemi. I mekanikk er bevegelsen til et mekanisk system representert av bevegelsen til et punkt i dets faserom. I fysisk kjemi er det spesielt viktig å vurdere formen og den gjensidige tilknytningen til de områdene i faserommet til et system av flere stoffer som tilsvarer kvalitativt forskjellige tilstander. Overflatene som skiller disse områdene er overflatene av overganger fra en kvalitet til en annen (smelting, krystallisering, etc.). I selve geometrien vurderes også abstrakte rom, hvis "punkt" er figurer; dette er hvordan "mellomrommene" av sirkler, kuler, linjer osv. er definert. I mekanikk og relativitetsteorien introduseres også et abstrakt firedimensjonalt rom, som legger tid til de tre romlige koordinatene som den fjerde koordinaten. Dette betyr at hendelser må kjennetegnes ikke bare ved plassering i rommet, men også i tid.

Dermed blir det klart hvordan kontinuerlige samlinger av ulike objekter, fenomener og tilstander kan bringes inn under det generaliserte rombegrepet. I et slikt rom kan man tegne "linjer" som viser kontinuerlige sekvenser av fenomener (tilstander), tegne "overflater" og på en hensiktsmessig måte bestemme "avstander" mellom "punkter", og derved gi et kvantitativt uttrykk for det fysiske konseptet om graden av forskjell på de tilsvarende fenomenene (tilstander), og etc. Dermed oppstår, analogt med vanlig geometri, "geometrien" til det abstrakte rommet; sistnevnte kan til og med ha liten likhet med vanlig rom, for eksempel er inhomogen i sine geometriske egenskaper og begrenset, som en ujevnt buet lukket overflate.

Geologifaget i generalisert forstand er ikke bare romlige former og relasjoner, men alle former og relasjoner som, tatt i abstraksjon fra innholdet, viser seg å ligne på vanlige romlige former og relasjoner. Disse romlignende formene for virkelighet kalles "rom" og "figurer". Rom i denne forstand er en kontinuerlig samling av homogene objekter, fenomener, tilstander som spiller rollen som punkter i rommet, og i denne samlingen er det relasjoner som ligner på vanlige romlige relasjoner, som for eksempel avstanden mellom punktene, likheten. av figurer osv. (en figur er vanligvis en del av rommet). G. betrakter disse virkelighetsformene i abstraksjon fra spesifikt innhold, studien spesifikke skjemaer og relasjoner, i forbindelse med deres kvalitativt unike innhold, er gjenstand for andre vitenskaper, og geometri fungerer som en metode for dem. Enhver anvendelse av abstrakt geometri kan tjene som et eksempel, selv om applikasjonen ovenfor n-dimensjonalt rom i fysisk kjemi. G. er preget av en slik tilnærming til objektet, som består i å generalisere og overføre til nye objekter av vanlige geometriske konsepter og visuelle representasjoner. Det er nettopp dette som gjøres i eksemplene ovenfor om fargers rom osv. Denne geometriske tilnærmingen er slett ikke en ren konvensjon, men tilsvarer fenomenenes natur. Men ofte kan de samme virkelige fakta representeres analytisk eller geometrisk, akkurat som den samme avhengigheten kan gis av en ligning eller en linje på en graf.

Man bør imidlertid ikke representere utviklingen av geometri på en slik måte at den kun registrerer og beskriver i geometrisk språk de former og sammenhenger som allerede har vært påtruffet i praksis, i likhet med romlige. I virkeligheten definerer geometri brede klasser av nye rom og figurer i dem, basert på en analyse og generalisering av visuelle geometridata og allerede etablerte geometriske teorier. I den abstrakte definisjonen fremstår disse rommene og figurene som mulige former virkelighet. De er derfor ikke rene spekulative konstruksjoner, men skal til syvende og sist tjene som et middel for forskning og beskrivelse av virkelige fakta. Lobachevsky, som skapte sin G., vurderte det mulig teori romlige forhold. Og akkurat som geometrien hans ble underbygget i betydningen av dens logiske konsistens og anvendelighet på naturfenomener, så består enhver abstrakt geometrisk teori den samme doble testen. For å kontrollere den logiske konsistensen er konstruksjonsmetoden avgjørende matematiske modeller nye rom. Men bare de abstrakte konseptene som er rettferdiggjort både av konstruksjonen av en kunstig modell og av anvendelser, om ikke direkte i naturvitenskap og teknologi, så i det minste i andre matematiske teorier, der disse konseptene på en eller annen måte er forbundet med virkeligheten, tar endelig rot i vitenskapen. Den lettheten som matematikere og fysikere nå opererer med forskjellige "rom" er oppnådd som et resultat av den lange utviklingen av geometri i nær sammenheng med utviklingen av matematikk generelt og andre eksakte vitenskaper. Det er nettopp som et resultat av denne utviklingen at den andre siden av tyngdekraften, som er indikert i den generelle definisjonen gitt i begynnelsen av artikkelen, tok form og fikk stor betydning: inkluderingen i tyngdekraften av studiet av former og liknende relasjoner til former og relasjoner i det vanlige rom.

Som et eksempel på en abstrakt geometrisk teori kan man vurdere G. n-dimensjonalt euklidisk rom. Den er konstruert ved en enkel generalisering av hovedbestemmelsene til vanlig geometri, og det er flere muligheter for dette: man kan for eksempel generalisere aksiomene til vanlig geometri, men man kan også gå ut fra å spesifisere punkter ved koordinater. Med den andre tilnærmingen n-dimensjonalt rom er definert som et sett med alle elementpunkter gitt av (hver) n tall x 1, x2,…, xn, plassert i en viss rekkefølge, - koordinatene til punktene. Videre, avstanden mellom punktene X \u003d (x 1, x 2, ..., xn) Og X"= (x’ 1, x’ 2,..., x’ n) bestemmes av formelen:

som er en direkte generalisering av den velkjente formelen for avstand i tredimensjonalt rom. Bevegelse er definert som en transformasjon av en figur som ikke endrer avstandene mellom punktene. Så emnet n-dimensjonal geometri er definert som studiet av egenskapene til figurer som ikke endres under bevegelse. På dette grunnlaget er begrepene en rett linje, av fly lett introdusert. annet nummer mål fra to til n-1, om ballen osv. At. en teori rik på innhold vokser frem, på mange måter lik vanlig euklidisk geometri, men på mange måter også forskjellig fra den. Det hender ofte at resultatene oppnådd for et tredimensjonalt rom lett overføres, med passende endringer, til et rom med et hvilket som helst antall dimensjoner. For eksempel teoremet som blant alle legemer med samme volum minste område overflaten har en ball, den leses ordrett på samme måte i rommet av et hvilket som helst antall dimensjoner [du trenger bare å huske på n-dimensjonalt volum, ( n-1)-dimensjonalt areal og n-dimensjonal ball, som er definert ganske analogt med de tilsvarende begrepene vanlig gravitasjon]. Neste, i n-dimensjonalt rom volumet av prismet er lik produktet arealet av basen med høyden, og volumet av pyramiden - et slikt produkt, delt på n. Slike eksempler kan videreføres. På den annen side finnes også kvalitativt nye fakta i flerdimensjonale rom.

Tolkninger av geometri. Den samme geometriske teorien tillater forskjellige anvendelser, forskjellige tolkninger (realiseringer, modeller eller tolkninger). Enhver anvendelse av en teori er ikke annet enn realiseringen av noen av dens konklusjoner i det tilsvarende fenomenfeltet.

Muligheten for ulike implementeringer er en felles egenskap for enhver matematisk teori. Dermed realiseres aritmetiske relasjoner på de mest forskjellige sett med objekter; den samme ligningen beskriver ofte helt forskjellige fenomener. Matematikk vurderer bare formen til et fenomen, abstraherer fra innholdet, og fra et formsynspunkt viser seg ofte mange kvalitativt forskjellige fenomener å være like. Variasjonen av bruksområder for matematikk og spesielt geometri er sikret nettopp av dens abstrakte karakter. Det antas at et visst system av objekter (et felt av fenomener) gir realisering av en teori hvis relasjonene i dette objektfeltet kan beskrives på teoriens språk på en slik måte at hver utsagn i teorien uttrykker en eller et annet forhold som finner sted i det aktuelle området. Spesielt, hvis en teori er bygget på grunnlag av et eller annet system av aksiomer, består tolkningen av denne teorien i en slik sammenligning av dens konsepter med visse objekter og deres relasjoner, der aksiomene er tilfredsstilt for disse objektene.

Euklidiske G. oppsto som en refleksjon av virkelighetens fakta. Dens vanlige tolkning, der strakte tråder betraktes som rette, mekanisk bevegelse, etc., går foran tyngdekraften som en matematisk teori. Spørsmålet om andre tolkninger ble ikke og kunne ikke reises før en mer abstrakt forståelse av geometri dukket opp. Lobachevsky skapte ikke-euklidisk geometri som en mulig geometri, og da oppsto spørsmålet om dens virkelige tolkning. Dette problemet ble løst i 1868 av E. Beltrami, som la merke til at Lobachevskys geometri sammenfaller med den indre geometrien til overflater med konstant negativ krumning, dvs. Lobachevskys teoremer om geometri beskriver geometriske fakta på slike overflater (i dette tilfellet spilles rollen til rette linjer av geodesiske linjer, og rollen til bevegelser spilles av bøying av overflaten mot seg selv). Siden samtidig en slik overflate er et objekt for euklidisk geometri, viste det seg at Lobatsjovskys geometri tolkes ut fra Euklids geometri. Dermed ble konsistensen av Lobachevsky-geometrien bevist, siden en selvmotsigelse i den, i kraft av denne tolkningen, ville innebære en selvmotsigelse i Euklids geometri.

Dermed blir den doble betydningen av tolkningen av geometrisk teori avklart - fysisk og matematisk. Hvis vi snakker om tolkning på spesifikke objekter, får vi et eksperimentelt bevis på teoriens sannhet (selvfølgelig med passende nøyaktighet); hvis objektene i seg selv har en abstrakt karakter (som en geometrisk overflate innenfor rammen av Euklids geometri), så er teorien assosiert med en annen matematisk teori, i dette tilfellet med euklidisk geometri, og gjennom den med de eksperimentelle dataene som er oppsummert i den. En slik tolkning av en matematisk teori ved hjelp av en annen har blitt en matematisk metode for å underbygge nye teorier, en metode for å bevise deres konsistens, siden en selvmotsigelse i en ny teori ville gi opphav til en selvmotsigelse i teorien den tolkes i. Men teorien som tolkningen er laget etter, må på sin side underbygges. Derfor fjerner den angitte matematiske metoden ikke det faktum at det endelige sannhetskriteriet for matematiske teorier praksis gjenstår. For tiden tolkes geometriske teorier oftest analytisk; for eksempel kan punkter på Lobachevsky-planet assosieres med tallpar X Og på, rette linjer - bestemmes av ligninger osv. Denne teknikken gir begrunnelse for teorien fordi den matematisk analyse rettferdiggjort, til syvende og sist, av den omfattende praksisen med anvendelsen.

moderne geometri. Den formelle matematiske definisjonen av begrepene rom og figur akseptert i moderne matematikk går ut fra begrepet et sett (se settteori). Rom er definert som et sett av alle elementer ("punkter") med den betingelse at det i dette settet etableres noen relasjoner som ligner på vanlige romlige relasjoner. Settet med farger, settet med tilstander til det fysiske systemet, settet med kontinuerlige funksjoner definert på segmentet, etc. danne mellomrom hvor punktene vil være farger, tilstander, funksjoner. Mer presist forstås disse settene som rom hvis bare de tilsvarende relasjonene er fiksert i dem, for eksempel avstanden mellom punkter, og de egenskapene og relasjonene som er definert gjennom dem. Dermed kan avstanden mellom funksjoner defineres som maksimum absolutt verdi deres forskjeller: maks| f(x)-g(x)| . En figur er definert som et vilkårlig sett med punkter i et gitt rom. (Noen ganger er rom et system av sett med elementer. For eksempel i projektiv geometri er det vanlig å betrakte punkter, linjer og plan som like initiale geometriske objekter forbundet med "forbindelses"-relasjoner.)

Hovedtypene av relasjoner som i ulike kombinasjoner fører til hele variasjonen av "rom" i moderne geometri er som følger:

1) Generelle forhold, tilgjengelig i ethvert sett, er medlemskaps- og inkluderingsrelasjoner: et punkt tilhører et sett, og ett sett er en del av et annet. Hvis bare disse relasjonene tas i betraktning, er det ennå ingen "geometri" definert i settet, det blir ikke rom. Imidlertid, hvis noen spesielle figurer (sett med punkter) er valgt, kan "geometrien" av rommet bestemmes av lovene for kobling av punkter med disse figurene. En slik rolle spilles av kombinasjonsaksiomene i elementær, affin og projektiv geometri; her fungerer linjene og flyene som spesialsett.

Det samme prinsippet for å velge noen spesielle sett tillater oss å definere konseptet med et topologisk rom - et rom der "nabolag" av punkter skilles ut som spesielle sett (med betingelsen at punktet tilhører dets nabolag og hvert punkt har minst ett nabolag; å stille ytterligere krav til nabolagene bestemmer en eller annen type topologiske rom). Hvis et nabolag til et gitt punkt har felles punkter med et sett, kalles et slikt punkt et kontaktpunkt for dette settet. To sett kan kalles rørende hvis minst ett av dem inneholder kontaktpunkter for det andre; et rom eller en figur vil være kontinuerlig, eller, som de sier, forbundet hvis den ikke kan deles inn i to ikke-sammenhengende deler; en transformasjon er kontinuerlig hvis den ikke bryter kontakten. Dermed fungerer begrepet et topologisk rom som et matematisk uttrykk for begrepet kontinuitet. [Et topologisk rom kan også defineres av andre spesielle sett (lukket, åpent) eller direkte av en tangensrelasjon, der ethvert sett med punkter er assosiert med dets tangentpunkter.] Topologiske rom som sådan, mengder i dem og deres transformasjoner er gjenstand for topologi. Emnet for egentlig geometri (i stor grad) er studiet av topologiske rom og figurer i dem, utstyrt med ytterligere egenskaper.

2) Det nest viktigste prinsippet for å bestemme visse rom og deres studie er introduksjonen av koordinater. En manifold er et (sammenkoblet) topologisk rom i nabolaget til hvert punkt hvor man kan introdusere koordinater ved å sette punktene til nabolaget i en en-til-en og gjensidig kontinuerlig korrespondanse med systemer fra n reelle tall x 1, x 2,(, xn. Antall n er antall dimensjoner til manifolden. Rom som studeres i de fleste geometriske teorier er mangfoldige; de enkleste geometriske figurene (segmenter, deler av overflater avgrenset av kurver osv.) er vanligvis deler av manifolder. Hvis det blant alle koordinatsystemene som kan introduseres i delene av manifolden, er koordinatsystemer av en slik art at noen koordinater uttrykkes i form av andre ved differensierbare (en eller annen antall ganger) eller analytiske funksjoner, da få den såkalte. glatt (analytisk) manifold. Dette konseptet generaliserer den visuelle representasjonen av en glatt overflate. Glatte manifolder som sådan er gjenstand for den såkalte. differensiell topologi. I G. egentlig er de utstyrt med tilleggsegenskaper. Koordinater med den aksepterte betingelsen for differensiering av deres transformasjoner gir grunnlag for bred anvendelse analytiske metoder- differensial- og integralregning, samt vektor- og tensoranalyse (se Vektorkalkulus, Tensorregning). Helheten av geologiteoriene utviklet av disse metodene danner en generell differensialgeografi; det enkleste tilfellet er klassisk teori glatte kurver og overflater, som ikke er annet enn en- og todimensjonale differensierbare manifolder.

3) Generaliseringen av begrepet bevegelse som en transformasjon av en figur til en annen fører til et generelt prinsipp for å definere forskjellige rom, når et rom anses å være et sett med elementer (punkter) der en gruppe av en-til- en transformasjon av dette settet til seg selv er gitt. "Geometrien" til et slikt rom består i studiet av egenskapene til figurer som er bevart under transformasjoner fra denne gruppen. Derfor, fra en slik geometris synspunkt, kan figurer betraktes som "like" hvis den ene går over i den andre gjennom en transformasjon fra en gitt gruppe. For eksempel studerer euklidisk geometri egenskapene til figurer som er bevart under bevegelser, affin geometri studerer egenskapene til figurer som er bevart under affine transformasjoner, og topologi studerer egenskapene til figurer som er bevart under alle en-til-en og kontinuerlige transformasjoner . Det samme opplegget inkluderer geometrien til Lobatsjovsky, projektive geometrier og andre. Faktisk er dette prinsippet kombinert med introduksjonen av koordinater. Et rom er definert som en jevn manifold der transformasjoner er gitt av funksjoner som relaterer koordinatene til hvert gitt punkt og det det passerer til (koordinatene til bildet av et punkt er gitt som funksjoner av koordinatene til selve punktet og parameterne som transformasjonen avhenger av; for eksempel er affine transformasjoner definert som lineære: x" i = a i1 x 1 + a i2 x 2 +…+ a i x n , i = 1, …, n). Derfor er det generelle apparatet for å utvikle slike "geometrier" teorien om kontinuerlige grupper av transformasjoner. Et annet, i hovedsak ekvivalent, synspunkt er mulig, ifølge hvilket ikke romtransformasjoner er spesifisert, men koordinattransformasjoner i det, og egenskapene til figurer som er likt uttrykt i forskjellige koordinatsystemer, studeres. Dette synspunktet har funnet anvendelse i relativitetsteorien, som krever det samme uttrykket av fysiske lover i forskjellige koordinatsystemer, kalt referanserammer i fysikk.

4) Et annet generelt prinsipp for definisjonen av rom, angitt i 1854 av Riemann, går ut fra en generalisering av avstandsbegrepet. I følge Riemann er rommet en jevn manifold der loven om å måle avstander, nærmere bestemt lengder, er satt i uendelig små trinn, dvs. differensialen til lengden på buen til kurven settes som en funksjon av koordinatene til punktet på kurven og deres differensialer. Dette er en generalisering av den indre geometrien til overflater, definert av Gauss som studiet av egenskapene til overflater, som kan etableres ved å måle lengden på kurvene på den. Den enkleste saken representere den såkalte. Riemannske rom der Pythagoras teoremet holder i det uendelig lille (dvs. i et nabolag til hvert punkt, kan man introdusere koordinater slik at kvadratet av differensialen til buelengden på dette punktet er er lik summen kvadratiske differensialer av koordinater; i vilkårlige koordinater uttrykkes det av en generell positiv kvadratisk form; se Riemannsk geometri (Se Riemannsk geometri)). Et slikt rom er derfor euklidisk i infinitesimal, men generelt er det kanskje ikke euklidisk, akkurat som en buet overflate bare kan reduseres til et plan i infinitesimal med passende nøyaktighet. Geometriene til Euklid og Lobatsjovskij viser seg å være et spesialtilfelle av denne riemannske G. Den bredeste generaliseringen av begrepet avstand førte til begrepet et generelt metrisk rom som et slikt sett med elementer der en "metrikk" er gitt, dvs. hvert par av elementer er tildelt et nummer - avstanden mellom dem, kun underordnet svært generelle betingelser. Denne ideen spiller en viktig rolle i funksjonell analyse og ligger til grunn for noen av de nyeste geometriske teoriene, for eksempel den iboende grensen til ikke-glatte overflater og de tilsvarende generaliseringene av Riemann-grensen.

5) Kombinasjonen av Riemanns idé om definisjonen av "geometri" i uendelig små områder av en manifold med definisjonen av "geometri" ved hjelp av en gruppe transformasjoner førte (E. Cartan, 1922-25) til begrepet en plass der transformasjoner bare gis i uendelig små områder; med andre ord, her etablerer transformasjonene en sammenheng mellom bare uendelig nære stykker av manifolden: en brikke forvandles til en annen, uendelig nær en. Derfor snakker man om rom med en "forbindelse" av en eller annen type. Spesielt rom med en "euklidisk forbindelse" er riemannske. Ytterligere generaliseringer går tilbake til begrepet rom som en jevn manifold der "feltet" til et eller annet "objekt" er gitt generelt, som kan være en kvadratisk form, som i Riemannsk geometri, et sett med mengder som bestemmer en sammenheng, en eller annen tensor osv. Dette inkluderer også den nylig introduserte såkalte. lagdelte rom. Disse begrepene inkluderer spesielt en generalisering av Riemannsk geometri assosiert med relativitetsteorien, når rom betraktes der metrikken ikke lenger er gitt av en positiv, men av en tegn-vekslende kvadratisk form (slike rom kalles også Riemann, eller pseudo-riemannsk, hvis de ønsker å skille dem fra riemannsk i opprinnelig forstand). Disse rommene er rom med en forbindelse definert av den tilsvarende gruppen, forskjellig fra gruppen av euklidiske bevegelser.

På grunnlag av relativitetsteorien oppsto det en romteori der begrepet rekkefølge av punkter er definert, slik at hvert punkt X svar satt V(X) poeng etter det. (Dette er en naturlig matematisk generalisering av hendelsesforløpet, definert av det faktum at hendelsen Y følger arrangementet x, Hvis X påvirker Y, og så Y følger X i tid i enhver referanseramme.) Siden selve tildelingen av sett V definerer følgende punkter x, som tilhører settet V(X), så viser definisjonen av denne typen rom seg å være anvendelsen av det første av prinsippene som er oppført ovenfor, når "geometrien" til rommet bestemmes av utvalget av spesielle sett. Selvfølgelig, mens mange V må være underlagt de relevante vilkårene; i det enkleste tilfellet er dette konvekse kjegler. Denne teorien inkluderer teorien om de tilsvarende pseudo-riemannske rom.

6) Den aksiomatiske metoden i sin ren tjener nå enten til å formulere ferdige teorier, eller å bestemme vanlige typer rom med utmerkede spesialsett. Hvis en eller annen type mer spesifikke rom defineres ved å formulere egenskapene deres som aksiomer, så brukes enten koordinater eller en metrikk osv. Konsistensen og dermed meningsfullheten til en aksiomatisk teori kontrolleres ved å angi modellen den er implementert på , som først ble gjort for geometri Lobachevsky. Selve modellen er bygget fra abstrakt matematiske objekter, derfor går den "endelige begrunnelsen" av enhver geometrisk teori inn i riket av grunnlaget for matematikk generelt, som ikke kan være endelig i full forstand, men krever utdyping (se matematikk, aksiomatisk metode).

Disse prinsippene i ulike kombinasjoner og variasjoner gir opphav til en lang rekke geometriske teorier. Betydningen av hver av dem og graden av oppmerksomhet til problemene bestemmes av innholdet i disse problemene og resultatene som er oppnådd, dens forbindelser med andre teorier om geometri, med andre områder av matematikk, med eksakt naturvitenskap og med problemene av teknologi. Hver gitt geometrisk teori er definert blant andre geometriske teorier, for det første av hvilket rom eller hvilken type rom den vurderer. For det andre inkluderer definisjonen av en teori en indikasjon på tallene som studeres. Slik skilles teoriene om polyedre, kurver, overflater, konvekse kropper osv. ut. Hver av disse teoriene kan utvikle seg i et bestemt rom. For eksempel kan man vurdere teorien om polyedre i det vanlige euklidiske rommet, i n-dimensjonalt euklidisk rom, i Lobatsjovskij-rommet osv. Det er mulig å utvikle den vanlige teorien om overflater, projektiv, i Lobatsjovskij-rommet osv. For det tredje har karakteren av de vurderte egenskapene til figurene betydning. Dermed kan man studere egenskapene til overflater som er bevart under visse transformasjoner; man kan skille mellom læren om flaters krumning, læren om bøyninger (dvs. om deformasjoner som ikke endrer lengden av kurver på overflaten), og indre G. Til slutt, i definisjonen av en teori kan man inkludere dens teori. grunnleggende metode og arten av problemformuleringen. G. skilles på denne måten: elementær, analytisk, differensiell; for eksempel kan man snakke om elementære eller analytiske geometrier i Lobachevsky-rommet. G. skiller seg ut "i det lille", som bare vurderer egenskapene til vilkårlig små biter av et geometrisk bilde (kurve, overflate, manifold), fra G. "som en helhet", som, som det fremgår av navnet, geometrisk bildene som helhet i hele lengden. Et veldig generelt skille skilles mellom analytiske metoder og metoder for syntetisk geometri (eller strengt geometriske metoder); førstnevnte bruker midlene til den tilsvarende kalkulus: differensial, tensor, etc., sistnevnte opererer direkte med geometriske bilder.

Av alle de ulike geometriske teoriene, faktisk den mest utviklede n-dimensjonal euklidisk geometri og riemannsk (inkludert pseudo-riemannsk) geometri. I den første er spesielt teorien om kurver og overflater (og hyperoverflater med forskjellig antall dimensjoner) utviklet, glatt, studert i klassisk differensialgeometri; dette inkluderer også polyedre (polyedriske overflater). Deretter er det nødvendig å navngi teorien om konvekse kropper, som imidlertid i stor grad kan tilskrives teorien om overflater som helhet, siden. en kropp er definert av overflaten. Neste er teorien om vanlige systemer av figurer, det vil si de som tillater bevegelser som overfører hele systemet til seg selv og hvilken som helst av dets figurer til en hvilken som helst annen (se Fedorov-grupper (Se Fedorov-gruppen)). Det kan bemerkes at et betydelig antall nøkkelresultater i disse områdene tilhører ugler. geometre: en veldig fullstendig utvikling av teorien om konvekse overflater og en betydelig utvikling av teorien om generelle ikke-konvekse overflater, ulike teoremer om overflater generelt (eksistensen og unikheten til konvekse overflater med en gitt iboende metrikk eller med gitt til det eller en annen "krumningsfunksjon", et teorem om umuligheten av eksistensen av en komplett overflate med en krumning overalt mindre enn noen negativt tall, etc.), studiet av riktig plassdeling, etc.

I teorien om riemannske rom studeres spørsmål angående sammenhengen mellom deres metriske egenskaper med den topologiske strukturen, oppførselen til geodesiske (korteste på små seksjoner) linjer generelt, for eksempel spørsmålet om eksistensen av lukkede geodesikker, spørsmål om " nedsenking", dvs. realiseringen av en gitt n-dimensjonalt Riemann-rom i formen n-dimensjonal overflate i det euklidiske rom av et hvilket som helst antall dimensjoner, spørsmål om pseudo-riemannsk geometri relatert til den generelle relativitetsteorien og andre. G.

I tillegg bør nevnes algebraisk geometri (se Algebraisk geometri), som utviklet seg fra analytisk geometri og studerer først og fremst geometriske bilder definert av algebraiske ligninger; den inntar en spesiell plass, fordi inkluderer ikke bare geometriske, men også algebraiske og aritmetiske problemer. Det er også et omfattende og viktig studiefelt av uendelig dimensjonale rom, som imidlertid ikke inngår i kategorien heterogenitet, men inngår i funksjonsanalyse, siden Uendelig dimensjonale rom er spesifikt definert som rom hvis punkter er bestemte funksjoner. Likevel er det mange resultater og problemer på dette området som virkelig er det geometrisk karakter og som derfor bør tilskrives G.

Geometriverdi. Bruken av euklidisk geometri er det vanligste fenomenet uansett hvor områder, volumer og så videre bestemmes. All teknologi, i den grad kroppens form og størrelse spiller en rolle i den, bruker euklidisk geografi.Kartografi, geodesi, astronomi, alle grafiske metoder og mekanikk er utenkelige uten geografi. Et godt eksempel er oppdagelsen av I. Kepler av det faktum at planetene roterer i ellipser; han kunne dra nytte av at ellipsen ble studert av eldgamle geometre. Geometrisk krystallografi er en dyptgripende anvendelse av geometrisk krystallografi, som har fungert som kilde og anvendelsesområde for teorien om regulære figursystemer (jf. Krystallografi).

Mer abstrakte geometriske teorier er mye brukt i mekanikk og fysikk, når settet av tilstander i et system betraktes som et bestemt rom (se avsnittet Generalisering av emnet geometri). Så alle mulige konfigurasjoner (gjensidig arrangement av elementer) av et mekanisk system danner et "konfigurasjonsrom"; bevegelsen til systemet er representert ved bevegelsen til et punkt i dette rommet. Totaliteten av alle tilstander i et fysisk system (i det enkleste tilfellet, posisjonene og hastighetene til materialpunktene som danner systemet, for eksempel gassmolekyler) betraktes som systemets "faserom". Dette synspunktet finner særlig anvendelse i statistisk fysikk (se. Statistisk fysikk), etc.

For første gang ble konseptet om et flerdimensjonalt rom født i forbindelse med mekanikk så tidlig som J. Lagrange, da tre rom. koordinater x, y, z tid er formelt lagt til som den fjerde t. Slik fremstår et firedimensjonalt «rom-tid», der et punkt bestemmes av fire koordinater x, y, z, t. Hver begivenhet er preget av disse fire koordinatene, og abstrakt sett viser alle hendelser i verden seg å være firedimensjonalt rom. Dette synet ble utviklet i den geometriske tolkningen av relativitetsteorien gitt av H. Minkowski (se Minkowski), og deretter i A. Einsteins konstruksjon av den generelle relativitetsteorien. I den brukte han den firedimensjonale riemannske (pseudo-riemannske) geometrien.Dermed viste geometriske teorier, utviklet fra generalisering av data fra romlig erfaring, seg å være en matematisk metode for å konstruere en dypere teori om rom og tid. På sin side ga relativitetsteorien en kraftig drivkraft til utviklingen av generelle geometriske teorier. Etter å ha oppstått fra elementær praksis, vender geografien tilbake til naturvitenskap og praksis på et høyere nivå som metode gjennom en rekke abstraksjoner og generaliseringer.

Fra et geometrisk synspunkt blir rom-tidsmanifolden vanligvis behandlet i den generelle relativitetsteorien som en inhomogen Riemann-type, men med en metrikk bestemt av en vekslende form redusert til uendelig lite område til sinnet

dx 2 + dy 2 + dz 2 - c 2 dt 2

(Med - lysets hastighet i vakuum). Selve rommet, siden det kan skilles fra tid, viser seg også å være ikke-homogent riemannsk. Fra et moderne geometrisk synspunkt er det bedre å se på relativitetsteorien på følgende måte. Den spesielle relativitetsteorien hevder at mangfoldet av rom - tid er et pseudo-euklidisk rom, dvs. et der rollen som "bevegelser" spilles av transformasjoner som bevarer den kvadratiske formen

x 2 + y 2 + z 2 - c 2 t 2

mer presist er det et rom med en gruppe transformasjoner som bevarer den angitte kvadratiske formen. Fra enhver formel som uttrykker fysisk lov, kreves det at det ikke endres under gruppetransformasjoner av dette rommet, som er de såkalte Lorentz-transformasjonene. I følge den generelle relativitetsteorien er rom-tidsmanifolden ikke-homogen og bare i hver "uendelig liten" region er den redusert til pseudo-euklidisk, dvs. det er et rom av Cartan-typen (se avsnittet Moderne geometri). En slik forståelse ble imidlertid mulig først senere, fordi. selve konseptet med rom av denne typen dukket opp etter relativitetsteorien og ble utviklet under dens direkte påvirkning.

I selve matematikken bestemmes geometriens posisjon og rolle først og fremst av det faktum at kontinuitet ble introdusert i matematikken gjennom den. Matematikk, som en vitenskap om virkelighetens former, møter først og fremst to generelle former: diskrethet og kontinuitet. Beretningen om separate (diskrete) objekter gir aritmetikk, mellomrom. G. studerer kontinuitet En av hovedmotsetningene som driver utviklingen av matematikk er sammenstøtet mellom det diskrete og det kontinuerlige. Selv inndelingen av kontinuerlige mengder i deler og måling representerer en sammenligning av det diskrete og det kontinuerlige: for eksempel er skalaen plottet langs det målte segmentet i separate trinn. Motsetningen kom til syne. med spesiell klarhet når Antikkens Hellas(sannsynligvis på 500-tallet f.Kr.) ble inkommensurabiliteten til siden og diagonalen til kvadratet oppdaget: lengden på diagonalen til en firkant med side 1 ble ikke uttrykt med noe tall, fordi konseptet med et irrasjonelt tall eksisterte ikke. Det tok en generalisering av begrepet tall - opprettelsen av begrepet et irrasjonelt tall (som ble gjort først mye senere i India). Den generelle teorien irrasjonelle tall ble opprettet først på 70-tallet. 1800-tallet Den rette linjen (og med den hvilken som helst figur) begynte å bli betraktet som et sett med punkter. Nå er dette synspunktet dominerende. Vanskelighetene med settteori viste imidlertid sine begrensninger. Motsetningen mellom det diskrete og det kontinuerlige kan ikke fjernes helt.

Den generelle rollen til geometri i matematikk ligger også i det faktum at den er assosiert med presis syntetisk tenkning, som går ut fra romlige representasjoner, og ofte gjør det mulig å forstå som en helhet hva som oppnås ved analyse og beregninger bare gjennom en lang kjede av trinn. Dermed er geometri ikke bare preget av emnet, men også av metoden, som går ut fra visuelle representasjoner og viser seg fruktbar for å løse mange problemer på andre områder av matematikken. På sin side gjør G. mye bruk av deres metoder. Dermed kan ofte ett og samme matematiske problem behandles enten analytisk eller geometrisk, eller i en kombinasjon av begge metodene.

I en viss forstand kan nesten all matematikk betraktes som å utvikle seg fra samspillet mellom algebra (opprinnelig aritmetikk) og geometri, og i betydningen metode, fra en kombinasjon av beregninger og geometriske representasjoner. Dette kan sees allerede i konseptet om helheten av alle reelle tall som en talllinje som forbinder aritmetiske egenskaper tall med kontinuitet. Her er noen høydepunkter av G.s innflytelse i matematikk.

1) Sammen med mekanikk var geometri av avgjørende betydning for fremveksten og utviklingen av analyse. Integrasjon kommer fra å finne områder og volumer, påbegynt av gamle vitenskapsmenn, dessuten areal og volum ettersom mengder ble ansett som sikre; ingen analytisk definisjon integralen ble ikke gitt før i første halvdel av 1800-tallet. Å tegne tangenter var et av problemene som ga opphav til differensiering. Den grafiske representasjonen av funksjoner spilte en viktig rolle i utviklingen av analysebegrepene og beholder sin betydning. I selve analyseterminologien er den geometriske kilden til konseptene synlige, som for eksempel i begrepene: "bruddpunkt", "område for endring av en variabel", etc. Det første analysekurset, skrevet i 1696 av G. Lopital (Se Lopital), ble kalt: "Infinitesimal analyse for forståelsen av buede linjer." Teori differensiallikninger for det meste tolkes det geometrisk (integralkurver osv.). Variasjonsberegning Den oppstod og utvikler seg i stor grad på geometriproblemene, og dens konsepter spiller en viktig rolle i den.

2) Komplekse tall etablerte seg endelig i matematikk ved overgangen til 18-19 århundrer. bare som et resultat av å sammenligne dem med punkter i planet, dvs. ved å konstruere et "komplekst plan". I teorien om funksjoner til en kompleks variabel spiller geometriske metoder en viktig rolle. Selve konseptet analytisk funksjon w = f(z) av en kompleks variabel kan defineres rent geometrisk: en slik funksjon er en konform kartlegging av planet z(eller områder av flyet z) i flyet w. Konseptene og metodene for Riemannsk geometri finner anvendelse i teorien om funksjoner til flere komplekse variabler.

3) Hovedideen med funksjonell analyse er at funksjonene til en gitt klasse (for eksempel alle kontinuerlige funksjoner definert på intervallet) betraktes som punkter i det "funksjonelle rommet", og relasjonene mellom funksjoner tolkes som geometriske relasjoner mellom de korresponderende punktene (for eksempel tolkes konvergensen av funksjoner som konvergensen av punktene, maksimumsverdien av forskjellen av funksjoner - som en avstand, etc.). Da får mange analysespørsmål en geometrisk behandling, som i mange tilfeller viser seg å være svært fruktbar. Generelt sett er representasjonen av visse matematiske objekter (funksjoner, figurer, etc.) som punkter i et rom med den tilsvarende geometriske tolkningen av relasjonene til disse objektene en av de mest generelle og fruktbare ideene til moderne matematikk, som har trengt inn nesten alle dens seksjoner.

4) G. påvirker algebra og til og med aritmetikk - tallteori. I algebra, for eksempel konseptet vektorrom. I tallteorien er det laget en geometrisk retning som gjør det mulig å løse mange problemer som knapt er mottagelig for beregningsmetode. I sin tur bør det også bemerkes grafiske beregningsmetoder (se Nomografi) og geometriske metoder moderne teori databehandling og datamaskiner.

5) Logisk forbedring og analyse av G.s aksiomatikk spilte en avgjørende rolle i utviklingen abstrakt form aksiomatisk metode med dens fullstendige abstraksjon fra arten av objektene og relasjonene som vises i den aksiomatiserte teorien. På grunnlag av det samme materialet ble begrepene konsistens, fullstendighet og uavhengighet av aksiomer utviklet.

I det hele tatt er interpenetrasjonen av geometri og andre områder av matematikken så nær at grensene ofte viser seg å være betingede og bare assosiert med tradisjon. Bare slike seksjoner som abstrakt algebra, matematisk logikk og noen andre forblir nesten eller ikke i det hele tatt knyttet til geometri.

Litt.: Store klassiske verk. Euklid, Begynnelser, overs. fra gresk, bok. 1-15, M. - L., 1948-50; Descartes R., Geometry, trans. fra latin., M. - L., 1938; Monge G., Anvendelser av analyse til geometri, trans. fra fransk, M. - L., 1936; Ponselet J. V., Traite des proprietes projectives des figures, Metz - R., 1822; Gauss K.F., Generell forskning om buede flater, trans. fra tysk, i samlingen: On the foundations of geometry, M., 1956; Lobachevsky N.I., Poln. koll. soch., v. 1-3, M. - L., 1946-51; Bolai Ya., vedlegg. Søknad,..., pr. fra latin., M. - L., 1950; Riemann B., Om hypotesene som ligger til grunn for geometriens grunnlag, trans. fra tysk, i samlingen: On the foundations of geometry, M., 1956; Klein, F., A Comparative Review of the Newest Geometric Research ("Erlangen-programmet"), ibid.; E. Kartan, Holonomy-grupper av generaliserte rom, trans. fra fransk, i boken: VIII International konkurranse om Nikolai Ivanovich Lobachevsky-prisen (1937), Kazan, 1940; Hilbert D., Foundations of Geometry, trans. fra tysk., M. - L., 1948.

Historie. Kolman E., Matematikkens historie i antikken, M., 1961; Yushkevich A. P., Matematikkens historie i middelalderen, M., 1961; Vileitner G., Matematikkens historie fra Descartes til midten av 1800-tallet, overs. fra tysk, 2. utg., M., 1966; Cantor M., Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Bd 1-4, Lpz., 1907-08.

b) Elementær geometri. Hadamard J., Elementær geometri, trans. fra fransk, del 1, 3. utg., M., 1948, del 2, M., 1938; Pogorelov A.V., Elementær geometri, Moskva, 1969.

V) Analytisk geometri. Alexandrov P.S., Lectures on Analytic Geometry..., M., 1968; Pogorelov A. V., Analytical Geometry, 3. utgave, M., 1968.

e) Deskriptiv og projektiv geometri. Glagolev N. A., Descriptive geometry, 3. utgave, M. - L., 1953; Efimov N.V., Higher geometri, 4. utgave, M., 1961.

e) Riemannsk geometri og dens generaliseringer. Rashevsky P.K., Riemannsk geometri og tensoranalyse, 2. utgave, M. - L., 1964; Norden A. P., Spaces of affine connection, M. - L., 1950; Cartan E., Geometry of Riemannian spaces, transl. fra fransk, M. - L., 1936; Eisenhart L.P., Riemannsk geometri, overs. fra engelsk, M., 1948.

Noen monografier om geometri. Fedorov ES, Symmetri og struktur av krystaller. Basic works, M., 1949; Alexandrov A.D., Konvekse polyedre, M. - L., 1950; his, Intern geometri av konvekse overflater, M. - L., 1948; Pogorelov A. V., Ekstern geometri av konvekse overflater, Moskva, 1969; Buseman G., Geometry of geodesics, trans. fra engelsk, M., 1962; hans, Konvekse overflater, trans. fra engelsk, M., 1964; E. Kartan, Moving Frame Method, Theory of Continuous Groups and Generalized Spaces, transl. fra fransk, M. - L., 1936; Finikov S.P., Metode ytre former Cartan i differensialgeometri, M. - L., 1948; hans egen, Projective-Differential Geometri, M. - L., 1937; hans egen, Theory of congruences, M. - L., 1950; Shouten I. A., Stroik D. J., Introduksjon til nye metoder for differensialgeometri, overs. fra engelsk, bind 1-2, M. - L., 1939-48; Nomizu K., Lie-grupper og differensialgeometri, trans. fra engelsk, M., 1960; Milnor J., Morse Theory, overs. fra engelsk, M., 1965.

Ordbok for utenlandske ord i det russiske språket

4. Eksempler på problemer på punkter

1. To hjul med radier r 1 og r 2 ruller langs en rett linje l. Finn settet med skjæringspunkter M for deres vanlige indre tangenter.

Løsning: La O 1 og O 2 være sentrum av hjul med henholdsvis radier r 1 og r 2. Hvis M er skjæringspunktet for interne tangenter, så er O 1 M: O 2 M = r 1: r 2 . Fra denne tilstanden er det lett å få at avstanden fra punktet M til linjen l er lik 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2). Derfor ligger alle skjæringspunktene for de vanlige indre tangentene på en rett linje parallelt med den rette linjen l og med en avstand på 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2).

2. Finn stedet for sentre for sirkler som går gjennom to gitte punkter.

Løsning: La en sirkel med sentrum O passere gjennom gitte punkter A og B. Siden OA = OB (som radier av en sirkel), ligger punktet O på vinkelrett halveringslinjeå segmentere AB. Omvendt er hvert punkt O som ligger på den vinkelrette halveringslinjen til AB like langt fra punktene A og B. Derfor er punkt O sentrum av sirkelen som går gjennom punktene A og B.

3. Sidene AB og CD av firkant ABCD av område S er ikke parallelle. Finn HMT X som ligger inne i firkanten der S ABX + S CDX = S/2.

Løsning: La O være skjæringspunktet mellom linjene AB og CD. La oss plotte segmentene OK og OL på strålene OA og OD, lik henholdsvis AB og CD. Så S ABX + S CDX = S KOX + S LOX ±S KXL . Derfor er arealet av trekanten KXL konstant, det vil si at punktet X ligger på en linje parallelt med KL.

4. På planet er gitt punkt A og B. Finn GMT M som forskjellen mellom kvadratene på lengdene til segmentene AM og BM er konstant for.

Løsning: Vi introduserer et koordinatsystem ved å velge punkt A som origo og rette Ox-aksen langs strålen AB. La punktet M ha koordinater (x, y). Da er AM 2 = x 2 + y 2 og BM 2 = (x - a) 2 + y 2 , hvor a = AB. Derfor AM 2 - BM 2 = 2ax - a 2 . Denne verdien er lik k for punktene M med koordinater ((a 2 + k)/2a, y); alle slike punkter ligger på en linje vinkelrett på AB.

5. Rektangel ABCD er gitt. Finn GMT X der AX + BX = CX + DX.

Løsning: La l være en linje som går gjennom midtpunktene på sidene BC og AD. Anta at punktet X ikke ligger på linjen l, for eksempel at punktene A og X ligger på samme side av linjen l. Så AX< DX и BX < CX, а значит, AX + BX < CX + DX. Поэтому прямая l - искомое ГМТ.

6. Gitt to linjer som skjærer hverandre i et punkt O. Finn GMT X hvor summen av lengdene av projeksjonene til segmentene OX på disse linjene er konstant.

Løsning: La a og b være enhetsvektorer parallelle med gitte linjer; x er lik vektoren x. Summen av lengdene av projeksjonene av vektoren x på de gitte linjene er lik |(a,x)| + |(b,x)| = |(a±b,x)|, og fortegnsendringen skjer på perpendikulærene reist fra punktet O til de gitte linjene. Derfor er den ønskede GMT et rektangel hvis sider er parallelle med halveringslinjene til vinklene mellom de gitte linjene, og hvis toppunkter ligger på de angitte perpendikulærene.

7. Gitt en sirkel S og et punkt M utenfor den. Gjennom punktet M tegnes alle mulige sirkler S 1, som skjærer sirkelen S; X - skjæringspunktet for tangenten i punktet M til sirkelen S 1 med fortsettelsen av fellesakkorden til sirklene S og S 1 . Finn GMT X.

Løsning: La A og B være skjæringspunktene til sirklene S og S 1 . Da er XM 2 = XA . XB \u003d XO 2 - R 2, hvor O og R er sentrum og radius av sirkelen S. Derfor XO 2 - XM 2 \u003d R 2, som betyr at punktene X ligger på vinkelrett på linjen OM.

8. To ikke-skjærende sirkler er gitt. Finn punktene til sentrene til sirklene som halverer de gitte sirklene (dvs. skjær dem i diametralt motsatte punkter).

Løsning: La O 1 og O 2 være sentrene til disse sirklene, R 1 og R 2 er deres radier. En sirkel med radius r med sentrum X skjærer den første sirkelen i diametralt motsatte punkter hvis og bare hvis r 2 \u003d XO 1 2 + R 1 2, derfor består den ønskede GMT av punktene X slik at XO 1 2 + R 1 2 \ u003d XO 2 2 + R 2 2, alle slike punkter av X ligger på en linje vinkelrett på O 1 O 2.

9. Punkt A er tatt innenfor sirkelen. Finn stedet for skjæringspunktene for tangenter til sirkelen tegnet gjennom endene av alle mulige akkorder som inneholder punkt A.

Løsning: La O være sentrum av sirkelen, R dens radius, M skjæringspunktet for tangentene trukket gjennom endene av akkorden som inneholder punktet A, P midtpunktet til denne akkorden. Så OP * OM = R 2 og OP = OA cos f, hvor f = AOP. Derfor AM 2 \u003d OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f \u003d OM 2 + OA 2 - 2R 2, noe som betyr at verdien av OM 2 - AM 2 \u003d 2R 2 - OA 2 er konstant. Derfor ligger alle punktene til M på en linje vinkelrett på OA.

10. Finn lokuset til punktene M som ligger inne i romben ABCD og har egenskapen at AMD + BMC = 180 o .

Løsning: La N være et punkt slik at vektorene MN = DA. Da er NAM = DMA og NBM = BMC, så AMBN er en innskrevet firkant. Diagonalene til den innskrevne firkanten AMBN er like, så AM| BN eller BM| AN. I det første tilfellet AMD = MAN = AMB, og i det andre tilfellet BMC = MBN = BMA. Hvis AMB = AMD, så AMB + BMC = 180 o og punkt M ligger på diagonal AC, og hvis BMA = BMC, så ligger punkt M på diagonal BD. Det er også klart at hvis punktet M ligger på en av diagonalene, så er AMD + BMC = 180 o .

11. a) Gitt et parallellogram ABCD. Bevis at mengden AX 2 + CX 2 - BX 2 - DX 2 ikke avhenger av valget av punkt X.

b) Firkant ABCD er ikke et parallellogram. Bevis at alle punktene til X som tilfredsstiller forholdet AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2 ligger på samme rette linje vinkelrett på segmentet som forbinder midtpunktene til diagonalene.

Løsning: La P og Q være midtpunktene til diagonalene AC og BD. Så AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2 /2 og BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2 /2, derfor, i oppgave b), består ønsket HMT av punktene X slik at PX 2 - QX 2 = ( BD 2 - AC 2)/4, og i oppgave a) P = Q, så mengden som vurderes er lik (BD 2 - AC 2)/2.

Litteratur

1. Pogorelov A.V. Geometri: Lærebok for 7.-9 utdanningsinstitusjoner. - M.: Enlightenment, 2000, s. 61.

2. Savin A.P. Metoden for geometriske steder / Valgfrie kurs i matematikk: Lærebok for 7.-9. trinn på videregående. Comp. I.L. Nikolskaya. - M .: Education, 1991, s. 74.

3. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Geometri: En lærebok for 7-9 klassetrinn ved utdanningsinstitusjoner. – M.: Mnemosyne, 2005, s. 84.

4. Sharygin I.F. Geometri. 7.-9. klasse: Lærebok for allmenndannelse utdanningsinstitusjoner. – M.: Bustard, 1997, s. 76.

5. Internett-ressurs: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm

Informasjonsmessig årsakssammenheng for interaksjoner (nøytralisering av entropi) assosiert med prosessene for refleksjon av ordensgrader (eksitasjoner), besittelse universelt system romlige og tidsmessige relasjoner, skille ut det "absolutte kvantumet" i et fenomenalt fenomen av fysisk natur. Det kan være en uventet materiell utførelse av det opprinnelige aktive stoffet, som objektiv idealisme, ...

Q(y) av en slik seksjon er lik, hvor y antas å være konstant under integrasjon. Ved å integrere så Q(y) innenfor området y, dvs. fra c til d, kommer vi til det andre uttrykket for dobbeltintegralet (B). Her utføres integrasjon først over x, og deretter over y. Formler (A) og (B) viser at beregningen av dobbeltintegralet reduseres til sekvensiell beregning av to vanlige ...

Geometri er en vitenskap som studerer de romlige relasjonene og formene til objekter.

Euklidisk geometri er en geometrisk teori basert på et system av aksiomer som først ble fremsatt i Euklids elementer.

Lobachevskys geometri (hyperbolsk geometri)- en av de ikke-euklidiske geometriene, en geometrisk teori basert på de samme grunnleggende premissene som vanlig euklidisk geometri, med unntak av aksiomet for parallelle linjer, som er erstattet av Lobatsjovskys aksiom for parallelle linjer.

En rett linje avgrenset i den ene enden og ubegrenset i den andre kalles en stråle.

Den delen av en rett linje avgrenset på begge sider kalles et linjestykke.

Hjørne- Dette er en geometrisk figur dannet av to stråler (sidene av en vinkel) som kommer fra ett punkt (vinkelens toppunkt). To enheter for vinkelmåling brukes: radianer og grader. En vinkel på 90° kalles en rett vinkel; en vinkel mindre enn 90° kalles en spiss vinkel; En vinkel større enn 90° kalles en stump vinkel.

Tilstøtende hjørner er vinkler som har felles toppunkt og felles side; de to andre sidene er forlengelser av hverandre. Summen av tilstøtende vinkler er 180°. Vertikale vinkler er to vinkler med et felles toppunkt, der sidene til den ene er forlengelser av sidene til den andre.

Vinkelhalveringslinje kalt en stråle som halverer en vinkel.

To linjer kalles parallelle hvis de ligger i samme plan og ikke krysser hverandre, uansett hvor lenge de fortsetter. Alle linjer parallelle med en linje er parallelle med hverandre. Alle perpendikulære linjer til samme linje er parallelle med hverandre, og omvendt er en linje vinkelrett på en av de parallelle linjene vinkelrett på de andre. Lengden på det vinkelrette segmentet innelukket mellom to parallelle linjer er avstanden mellom dem. Når to parallelle linjer krysser en tredje linje, dannes det åtte vinkler, som kalles i par: tilsvarende vinkler (disse vinklene er parvis like); indre kryssliggende vinkler (de er like parvis); ytre kryssliggende vinkler (de er like parvis); indre ensidige vinkler (summen deres er 180 °); utvendige ensidige vinkler (summen deres er 180°).

Thales' teorem. Når sidene av en vinkel er krysset av parallelle linjer, deles sidene av vinkelen inn i proporsjonale segmenter.

Aksiomer for geometri. Aksiom for tilhørighet: gjennom to punkter på et plan kan man tegne en rett linje og dessuten bare ett. Ordensaksiom: blant alle tre punkter som ligger på en linje, er det høyst ett punkt som ligger mellom to andre.

Aksiom for kongruens (likhet) segmenter og vinkler: hvis to segmenter (vinkler) er kongruente med den tredje, så er de kongruente med hverandre. Aksiom for parallelle linjer: gjennom ethvert punkt som ligger utenfor en linje, er det mulig å tegne en annen linje parallelt med den gitte, og dessuten bare en.

Kontinuitetsaksiom (Axiom of Archimedes): for alle to segmenter AB og CD eksisterer det et begrenset sett med punkter A1, A2, …, An som ligger på linjen AB, slik at segmentene AA1, A1A2, …, An-1An er kongruente med segmentet CD, og punktet B ligger mellom A og An.

En flat figur dannet av en lukket kjede av segmenter kalles en polygon.
Avhengig av antall vinkler kan en polygon være en trekant, en firkant, en femkant, en sekskant osv. Summen av lengdene kalles omkretsen og er betegnet med p.
Hvis alle diagonalene ligger inne i polygonet, kalles det konveks. Sum indre hjørner konveks polygon er lik 180°*(n-2), der n er antall hjørner (eller sider) av polygonet.

Triangel er en polygon med tre sider (eller tre hjørner). Hvis alle tre vinklene er spisse, er det en spiss trekant. Hvis en av vinklene er rett, så er det en rettvinklet trekant; sider som danner en rett vinkel kalles ben; side motsatt rett vinkel kalles hypotenusen. Hvis en av vinklene er stumpe, så er det en stump trekant. En trekant er likebenet hvis to av sidene er like. En trekant er likesidet hvis alle sidene er like.

I høyre trekant følgende relasjoner er gyldige:

Arealet av en rettvinklet trekant:

Radius av innskrevet sirkel:

I en vilkårlig trekant:

Til enhver vanlig polygon du kan skrive inn en sirkel og rundt den kan du beskrive en sirkel:

hvor a er siden, n er antall sider av polygonen, R er radiusen til den omskrevne sirkelen, r er radien til den innskrevne sirkelen (apotemet til en vanlig polygon).

Arealet av en vanlig polygon:

Lengden på sidene og diagonalene er relatert med formelen:

Grunnleggende egenskaper ved trekanter:

overfor den større siden ligger en større vinkel og omvendt;
ligge på motsatte like sider like vinkler og vice versa;
summen av vinklene til en trekant er 180°;
fortsetter en av sidene av trekanten, får vi den ytre vinkelen. Den ytre vinkelen til en trekant er lik summen av de indre vinklene som ikke er ved siden av den;
Enhver side av en trekant er mindre enn summen av de to andre sidene og større enn forskjellen deres.

Tegn på likhet i trekanter: trekanter er kongruente hvis de er like:

to sider og vinkelen mellom dem;
to hjørner og siden ved siden av dem;
tre sider.

Rettvinklede likhetstester: To rettvinklede trekanter er kongruente hvis en av følgende betingelser er oppfylt:

deres ben er like;
benet og hypotenusen til en trekant er lik benet og hypotenusen til den andre;
hypotenusen og den spisse vinkelen til en trekant er lik hypotenusen og skarpt hjørne en annen;
benet og den tilstøtende spisse vinkelen til en trekant er lik benet og den tilstøtende spisse vinkelen til den andre;
benet og motsatt spiss vinkel på den ene trekanten er lik benet og motsatt spiss vinkel på den andre.

Høyden på en trekant er vinkelrett som faller fra et hvilket som helst toppunkt til motsatt side (eller dens forlengelse). Denne siden kalles bunnen av trekanten. De tre høydene i en trekant skjærer alltid hverandre i ett punkt, kalt trekantens ortosenter. Ortosenteret til en spiss trekant er plassert inne i trekanten, og ortosenteret til en stump trekant er utenfor; Ortosenteret til en rettvinklet trekant faller sammen med toppunktet til den rette vinkelen.

Formelen for høyden til en trekant er:

Median er et linjestykke som forbinder et hvilket som helst toppunkt i en trekant med midtpunktet på motsatt side. De tre medianene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt, som alltid ligger inne i trekanten og er dens tyngdepunkt. Dette punktet deler hver median 2:1 fra toppen.

Bisector er segmentet av vinkelhalveringslinjen fra toppunktet til skjæringspunktet med motsatt side. De tre halveringslinjene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt, som alltid ligger inne i trekanten og er sentrum av den innskrevne sirkelen. Halveringslinjen deler den motsatte siden i deler proporsjonale med de tilstøtende sidene.
Formelen for halveringslinjen til en trekant er:

Median vinkelrett er en vinkelrett trukket fra midtpunktet av segmentet (siden). De tre medianperpendikulærene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt, som er sentrum av den omskrevne sirkelen. I spiss trekant dette punktet ligger inne i trekanten; i stump - utenfor; i en rektangulær - i midten av hypotenusen. Ortosenteret, tyngdepunktet, sentrum av den omskrevne sirkelen og sentrum av den innskrevne sirkelen sammenfaller bare i en likesidet trekant.

Pythagoras teorem. I en rettvinklet trekant er kvadratet av lengden på hypotenusen lik summen av kvadratene av lengdene på benene: c2 = a2 + b2.

Generelt (for vilkårlig trekant) har vi: c2=a2+b2–2?a?b?cosC, hvor C er vinkelen mellom sidene a og b.

firkant- en figur dannet av fire punkter (toppunkter), hvorav ikke tre ligger på samme rette linje, og fire påfølgende segmenter (sider) som forbinder dem, som ikke skal krysse hverandre.

Parallelogram er en firkant hvis motsatte sider er parvis parallelle. Alle to motsatte sider av et parallellogram kalles dets baser, og avstanden mellom dem kalles høyden.

Parallelogramegenskaper:

motsatte sider av et parallellogram er like;
motsatte vinkler av et parallellogram er like;
diagonalene til et parallellogram er delt i to ved skjæringspunktet;
summen av kvadratene av diagonalene til et parallellogram er lik summen av kvadratene på dets fire sider.

Parallelogramområde:

Radius av en sirkel innskrevet i et parallellogram:

Rektangel er et parallellogram med alle vinkler lik 90°.

Grunnleggende egenskaper til et rektangel.
Sidene av et rektangel er også dets høyder.
Diagonalene til rektangelet er like: AC = BD.

Kvadraten til diagonalen til et rektangel er lik summen av kvadratene på sidene (i henhold til Pythagoras teorem).

Rektangelområde: S=ab.

Rektangel diameter:

Radius av en sirkel omskrevet om et rektangel:

En rombe er et parallellogram der alle sider er like. Diagonalene til romben er innbyrdes vinkelrette og halverer vinklene deres.

Arealet til en rombe uttrykkes i form av diagonaler:

Et kvadrat er et parallellogram med rette vinkler og like sider. En firkant er et spesialtilfelle av et rektangel og en rombe samtidig, derfor har den alle egenskapene som er oppført ovenfor.

Kvadratisk område:

Radius av en sirkel omskrevet om et kvadrat:

Radius av en sirkel innskrevet i en firkant:

Firkantet diagonal:

Trapes er en firkant med to motsatte sider parallelle. De parallelle sidene kalles basene til trapesen, og de to andre kalles sidene. Avstanden mellom basene er høyden. Segmentet som forbinder midtpunktene på sidene kalles midtlinjen til trapesen. Midtlinjen til en trapes er halvparten av summen av basene og parallelt med dem. En trapes med like sider kalles en likebenet trapes. I en likebenet trapes er vinklene ved hver base like.

Trapesområde: , hvor a og b er basene, er h høyden.

Midtlinje i trekanten er et linjestykke som forbinder midtpunktene på sidene i trekanten. Midtlinjen til en trekant er lik halvparten av basen og parallell med den. Denne egenskapen følger av egenskapen til trapesen, siden trekanten kan betraktes som et tilfelle av degenerasjon av trapesen, når en av dens baser blir et punkt.

Likhet mellom flyfigurer. Hvis du endrer alle dimensjonene til en flat figur like mange ganger (likhetsforhold), kalles de gamle og nye figurene like. To polygoner er like hvis vinklene er like og sidene er proporsjonale.

Tegn på likhet av trekanter. To trekanter er like hvis:

alle deres tilsvarende vinkler er like (to vinkler er nok);
alle sidene deres er proporsjonale;
to sider av den ene trekanten er proporsjonale med to sider av den andre, og vinklene mellom disse sidene er like.

Arealene til lignende figurer er proporsjonale med kvadratene til deres like linjer (f.eks. sider, diametre).

Lokus av punkter er settet av alle punkter som tilfredsstiller visse gitte betingelser.

Sirkel- Dette er stedet for punkter på et plan like langt fra ett punkt, kalt sentrum av sirkelen. Segmentet som forbinder sentrum av sirkelen med noen av punktene kalles radius og er betegnet - r. Den delen av planet som er avgrenset av en sirkel kalles en sirkel. En del av en sirkel kalles en bue. En rett linje som går gjennom to punkter i en sirkel kalles en sekant, og segmentet som ligger innenfor sirkelen kalles en korde. Korden som går gjennom midten av sirkelen kalles diameteren og er betegnet d. Diameteren er den største korden, lik størrelse med to radier: d = 2r.

Der a er den virkelige, er b den imaginære halvaksen.

Ligning av et plan i rommet:
Axe + By + Cz + D = 0,
hvor x, y, z er rektangulære koordinater til et variabelt punkt på planet, A, B, C er konstante tall.
En rett linje som går gjennom et punkt i en sirkel vinkelrett på radiusen trukket til dette punktet kalles en tangent. Dette punktet kalles kontaktpunktet.

Tangentegenskaper:

tangenten til sirkelen er vinkelrett på radiusen trukket til kontaktpunktet;
fra et punkt utenfor sirkelen kan to tangenter trekkes til samme sirkel; deres segmenter er like.

Segmentet- dette er den delen av sirkelen som er avgrenset av en bue og den tilsvarende korden. Lengden på perpendikulæren trukket fra midten av akkorden til skjæringspunktet med buen kalles høyden på segmentet.

Sektor- dette er en del av en sirkel avgrenset av en bue og to radier trukket til endene av denne buen.

Vinkler i en sirkel. En sentral vinkel er en vinkel som dannes av to radier. En innskrevet vinkel er vinkelen som dannes av to akkorder tegnet fra deres felles punkt. Den beskrevne vinkelen er vinkelen som dannes av to tangenter trukket fra ett felles punkt.

Denne formelen er grunnlaget for å bestemme radianmålingen av vinkler. Radianmålet for enhver vinkel er forholdet mellom lengden av en bue trukket av en vilkårlig radius og innelukket mellom sidene av denne vinkelen og dens radius.

Relasjoner mellom elementene i sirkelen.

Den innskrevne vinkelen er lik halvparten av midtvinkelen basert på samme bue. Derfor er alle innskrevne vinkler basert på samme bue like. Og siden sentralt hjørne inneholder samme antall grader som buen, så måles enhver innskrevet vinkel med halve buen den hviler på.

Alle innskrevne vinkler basert på en halvsirkel er rette vinkler.

Vinkelen dannet av to akkorder måles med halvparten av summen av buene som er innelukket mellom sidene.

Vinkelen dannet av to sekanter måles ved halve forskjellen til buene innelukket mellom sidene.

Vinkelen dannet av en tangent og en korde måles av halve buen som er innelukket i den.

Vinkelen dannet av en tangent og en sekant måles ved halve forskjellen til buene innelukket mellom sidene.

Den beskrevne vinkelen, dannet av to tangenter, måles av halve forskjellen til buene innelukket mellom sidene.

Produktene av segmenter av akkorder som de er delt inn i av skjæringspunktet er like.

Kvadraten til en tangent er lik produktet av sekanten og dens ytre del.

En korde vinkelrett på diameteren er todelt i skjæringspunktet.

En polygon kalles innskrevet i en sirkel, hvis toppunkter er plassert på en sirkel. En polygon omskrevet nær en sirkel er en polygon hvis sider er tangent til sirkelen. Følgelig kalles en sirkel som går gjennom toppunktene til en polygon omskrevet nær polygonen; en sirkel der sidene til en polygon er tangenter kalles en innskrevet sirkel. For en vilkårlig polygon er det umulig å skrive inn i den og beskrive en sirkel rundt den. For en trekant eksisterer denne muligheten alltid.

En sirkel kan skrives inn i en firkant hvis summen av dens motsatte sider er like. For parallellogrammer er dette kun mulig for en rombe (firkant). Sentrum av den innskrevne sirkelen er plassert i skjæringspunktet mellom diagonalene. En sirkel kan omskrives om en firkant hvis summen av dens motsatte vinkler er 180°. For parallellogrammer er dette kun mulig for et rektangel (kvadrat). Sentrum av den omskrevne sirkelen ligger i skjæringspunktet mellom diagonalene. En sirkel kan beskrives rundt en trapes hvis den er likebenet. En vanlig polygon er en polygon med like sider og vinkler.

En vanlig firkant er en firkant; rettvinklet er en likesidet trekant. Hvert hjørne av en vanlig polygon er lik 180°(n - 2)/n, der n er antallet av hjørnene. Inne i en regulær polygon er det et punkt O, like langt fra alle dets toppunkter, som kalles sentrum av en regulær polygon. Sentrum av en vanlig polygon er også like langt fra alle sidene. En sirkel kan skrives inn i en vanlig polygon og en sirkel kan omskrives rundt den. Sentrene til de innskrevne og omskrevne sirklene faller sammen med midten av en vanlig polygon. Radien til den omskrevne sirkelen er radiusen til en vanlig polygon, og radiusen til den innskrevne sirkelen er dens apotem.

Grunnleggende aksiomer for stereometri.

Uansett fly er det punkter som hører til dette planet og punkter som ikke gjør det.

Hvis to forskjellige plan har et felles punkt, så krysser de seg langs en rett linje som går gjennom dette punktet.

Hvis to distinkte linjer har et felles punkt, kan ett og bare ett plan trekkes gjennom dem.

Gjennom tre punkter som ligger på samme linje kan man tegne utallige fly, som i dette tilfellet danner en bunt av fly. Den rette linjen som alle plan i strålen passerer kalles strålens akse. Gjennom en hvilken som helst linje og et punkt utenfor denne linjen kan ett og bare ett plan tegnes. Gjennom to linjer er det ikke alltid mulig å tegne et plan, da kalles disse linjene skjeve.

Kryssende linjer krysser ikke, uansett hvor lenge de fortsettes, men de er ikke parallelle linjer, siden de ikke ligger i samme plan. Bare parallelle linjer er ikke-skjærende linjer som et plan kan trekkes gjennom. Forskjellen mellom skjeve og parallelle linjer er at parallelle linjer har samme retning, men skjeve linjer har det ikke. Gjennom to kryssende linjer kan ett og bare ett plan alltid tegnes. Avstanden mellom to skjeve linjer er lengden på segmentet som forbinder de nærmeste punktene på skjevlinjene. Ikke-skjærende plan kalles parallelle plan. Et plan og en linje enten krysser hverandre (på ett punkt) eller så gjør de det ikke. I siste tilfelle En linje og et plan sies å være parallelle med hverandre.

En perpendikulær som slippes fra et punkt til et plan er et linjestykke som forbinder det gitte punktet med et punkt på planet og går på en rett linje vinkelrett på planet.

Projeksjonen av et punkt på et plan er bunnen av perpendikulæren som faller fra punktet på planet. Projeksjonen av et segment på planet P er et segment hvis ender er projeksjonene av punktene til dette segmentet.

En dihedral vinkel er en figur dannet av to halvplan med en felles rett linje som avgrenser dem. Halvplanene kalles flater, og den rette linjen som avgrenser dem kalles kanten av den dihedrale vinkelen. Planet vinkelrett på kanten gir en vinkel ved skjæringspunktet med halvplanene kalt den lineære vinkelen til den dihedrale vinkelen. Dihedral vinkel målt ved dens lineære vinkel.

polyedrisk vinkel. Hvis vi gjennom et punkt tegner et sett med fly som suksessivt krysser hverandre langs rette linjer, får vi en figur som kalles en polyedrisk vinkel. Planene som danner en polyedrisk vinkel kalles dens flater; linjene som flatene krysser etter hverandre kalles kantene på den polyedriske vinkelen. Minimumsbeløp det er tre flater av en polyedrisk vinkel.

Parallelle plan er kuttet ut på kantene av en polyedrisk vinkel, proporsjonale segmenter og danner lignende polygoner.

Tegn på parallellitet av en rett linje og et plan.

Hvis en linje som ligger utenfor et plan er parallell med en linje som ligger i det planet, så er den parallell med det planet.

Hvis en linje og et plan er vinkelrett på samme linje, så er de parallelle.

Tegn på parallelle plan:

Hvis to kryssende linjer i ett plan er henholdsvis parallelle med to kryssende linjer i et annet plan, så er disse planene parallelle.
Hvis to plan er vinkelrett på samme linje, så er de parallelle.
Tegn på vinkelrett på en rett linje og et plan.
Hvis en linje er vinkelrett på to kryssende linjer som ligger i et plan, så er den vinkelrett på det planet.
Hvis et plan er vinkelrett på en av de parallelle linjene, er det også vinkelrett på den andre.

En rett linje som skjærer et plan og ikke er vinkelrett på det, kalles skrå på planet.

Tre perpendikulære teorem

En rett linje som ligger i et plan og vinkelrett på projeksjonen av et skråplan til dette planet er også vinkelrett på selve skråplanet.

Tegn på parallelle linjer i rommet:

Hvis to linjer er vinkelrett på samme plan, så er de parallelle.
Hvis et av de kryssende planene inneholder en linje parallelt med et annet plan, så er den parallell med skjæringslinjen til planene.

Ligning av en rett linje på et plan i et rektangulært koordinatsystem xy:
ax + bx + c = 0, hvor a, b, c er konstante tall, x og y er koordinatene til variabelpunktet M(x,y) på linjen.

Tegn på parallelle linjer:

Et tegn på vinkelrett på plan: hvis et plan passerer gjennom en linje vinkelrett på et annet plan, så er disse planene vinkelrette.

Teorem om en felles vinkelrett på to skjeve linjer. For alle to kryssende linjer er det bare én felles perpendikulær.

Polyeder- dette er en kropp, hvis grense består av deler av fly (polygoner). Disse polygonene kalles ansikter, sidene deres kalles kanter, hjørnene deres er hjørnene til polyederet. Segmentene som forbinder to hjørner og ikke ligger på samme side kalles polyederens diagonaler. Et polyeder er konveks hvis alle diagonalene er inne i det.

Kube - volumetrisk figur med seks like sider.

Volum og overflateareal av en kube:

Et prisme er et polyeder hvis to flater (basene til prismet) er like polygoner med respektive parallelle sider, og de resterende flatene er parallellogrammer.

Segmentene som forbinder de tilsvarende toppunktene kalles sidekanter. Høyden til et prisme er enhver vinkelrett som faller fra et hvilket som helst punkt på basen til planet til den andre basen. Avhengig av formen på polygonet som ligger ved basen, kan prismet være henholdsvis trekantet, firkantet, femkantet, sekskantet osv. Hvis sidekantene til prismet er vinkelrett på grunnplanet, kalles et slikt prisme et rett linje; ellers er det skrå prisme. Hvis en regulær polygon ligger ved bunnen av et rett prisme, kalles et slikt prisme også regulært. Diagonalen til et prisme er et segment som forbinder to hjørner av prismet som ikke tilhører samme flate.

Sideoverflatearealet til et rett prisme:
S-side \u003d P * H, der P er omkretsen av basen, og H er høyden.

Parallelepiped er et prisme hvis base er parallellogrammer. Dermed har parallellepipedet seks flater, og alle er parallellogrammer. Motstående flater er parvis like og parallelle. Parallepipedet har fire diagonaler; de krysser alle på ett punkt og deler seg i to på det.

Hvis fire sideflater parallellepipedum - rektangler, da kalles det en rett linje. Et rett parallellepiped, der alle seks flatene er rektangler, kalles rektangulært. Diagonalen til et rektangulært parallellepipedum d og dets kanter a, b, c er relatert til forholdet d2 = a2 + b2 + c2. Et rektangulært parallellepiped, hvis flater alle er firkanter, kalles en terning. Alle kanter på en kube er like.

Volum og overflateareal av et rektangulært parallellepiped:
V = a*b*c, S totalt = 2(ab + ac + bc).

Pyramide er et polyeder der den ene flaten (bunnen av pyramiden) er en vilkårlig polygon, og de resterende flatene (sideflatene) er trekanter med et felles toppunkt, kalt toppen av pyramiden. Vinkelvinkelen som faller fra toppen av pyramiden til basen kalles pyramidens høyde. Avhengig av formen på polygonen som ligger ved basen, kan pyramiden være henholdsvis trekantet, firkantet, femkantet, sekskantet, etc. trekantet pyramide er et tetraeder, et firkantet er et pentaeder osv. En pyramide kalles regulær hvis en regulær polygon ligger ved basen, og dens høyde faller til midten av basen. Alle sideribbe riktig pyramide er like; alle sideflater er likebente trekanter. Høyden på sideflaten kalles apotemet til en vanlig pyramide.

Hvis vi tegner et snitt parallelt med bunnen av pyramiden, kalles kroppen innelukket mellom disse planene og sideflaten en avkortet pyramide. Parallelle ansikter kalles baser; avstanden mellom dem er høyden. En avkortet pyramide kalles riktig hvis pyramiden den ble hentet fra er riktig. Alle sideflatene til en vanlig avkortet pyramide er like likebenede trapeser.

Sideoverflateareal av en vanlig pyramide:
, hvor P er omkretsen av basen; h er høyden på sideflaten (apotemet til en vanlig pyramide).

Volumet av den avkortede pyramiden:

Sideoverflateareal av en vanlig avkortet pyramide:
,
hvor P og P' er omkretsene til basene; h er høyden på sideflaten (apotemet til en vanlig avkortet pyramide).

En sylindrisk overflate dannes ved å bevege en rett linje som beholder sin retning og skjærer en gitt linje (kurve). Denne linjen kalles retningslinjen. De rette linjene som tilsvarer de forskjellige posisjonene til den rette linjen når den beveger seg, kalles generatorer av den sylindriske overflaten.

En sylinder er et legeme avgrenset av en sylindrisk overflate med en lukket føring og to parallelle plan. Deler av disse planene kalles sylinderens baser. Avstanden mellom basene er høyden på sylinderen. En sylinder er rett hvis generatorene er vinkelrett på basen; ellers er sylinderen skråstilt. En sylinder kalles sirkulær hvis basen er en sirkel. Hvis en sylinder er både rett og sirkulær, kalles den rund. Et prisme er et spesialtilfelle av en sylinder.

Volum, areal av laterale og hele overflater av sylinderen:
,
hvor R er radiusen til basene; H er høyden på sylinderen.

Sylindriske deler av sideflaten til en sirkulær sylinder.

Seksjoner parallelle med basen er sirkler med samme radius.

Seksjoner parallelt med sylinderens generatorer er par med parallelle linjer.

Seksjoner som ikke er parallelle med verken basen eller generatorene er ellipser.

En konisk overflate dannes når en rett linje beveger seg, passerer hele tiden gjennom et fast punkt, og krysser en gitt linje, kalt en guide. Linjene som tilsvarer de forskjellige posisjonene til linjen når den beveger seg, kalles generatriser for den koniske overflaten; poenget er toppen. Den koniske overflaten består av to deler: den ene er beskrevet av en stråle, den andre av dens fortsettelse.

Vanligvis anses en av delene som en konisk overflate.

Kjegle- dette er et legeme avgrenset av en av delene av en konisk overflate med en lukket føring og et plan som skjærer den koniske overflaten som ikke passerer gjennom toppunktet.

Den delen av dette planet som ligger inne i den koniske overflaten kalles bunnen av kjeglen. Den perpendikulære som faller fra toppen til basen kalles høyden på kjeglen.

Pyramiden er et spesielt tilfelle av en kjegle. En kjegle kalles sirkulær hvis basen er en sirkel. Den rette linjen som forbinder toppen av kjeglen med midten av basen kalles kjeglens akse. Hvis høyden på en sirkulær kjegle faller sammen med dens akse, kalles en slik kjegle sirkulær.

Volum, arealet av kjeglens laterale og hele overflater:
,
hvor r er radius; Sosn - område; P er omkretsen av basen; L er lengden av generatrisen; H er høyden på kjeglen.

Volum og areal av sideoverflaten til en avkortet kjegle:

Kjeglesnitt.

Deler av en sirkulær kjegle parallelt med basen er sirkler.

En seksjon som bare skjærer én del av en sirkulær kjegle og ikke er parallell med noen av dens generatorer, er en ellipse.

En seksjon som bare skjærer én del av en sirkulær kjegle og er parallell med en av dens generatorer, er en parabel.

En seksjon som skjærer begge deler av en sirkulær kjegle er vanligvis en hyperbel som består av to grener. Spesielt hvis denne delen går gjennom kjeglens akse, får vi et par kryssende linjer (som danner en kjegle).

sfærisk overflate- dette er stedet for punkter i rommet, like langt fra ett punkt, som kalles sentrum av en sfærisk overflate.

Ball (sfære) er et legeme avgrenset av en sfærisk overflate. Du kan få en ball ved å rotere en halvsirkel (eller sirkel) rundt diameteren. Alle plane deler av en kule er sirkler. Den største sirkelen ligger i seksjonen som går gjennom midten av ballen, og kalles storsirkelen. Dens radius er lik radiusen til kulen. Alle to store sirkler krysser i diameteren til ballen. Denne diameteren er også diameteren til de kryssende storsirklene. Gjennom to punkter på en sfærisk overflate som ligger ved endene av samme diameter, kan man tegne et uendelig antall storsirkler.

Volumet til en kule er halvannen ganger mindre enn volumet til sylinderen som er beskrevet rundt den, og ballens overflate er halvannen ganger mindre enn den totale overflaten til samme sylinder.

Ligningen til en kule i et rektangulært koordinatsystem er:
(x-x0)+(y-y)2+ (z-z0)=R2,
her er x, y, z koordinatene til et variabelt punkt på sfæren;
x0, y0, z0 - koordinater til sentrum;
R er radiusen til kulen.

Volum av en kule og areal av en kule:

Volumet av det sfæriske segmentet og arealet av den segmenterte overflaten:
,
hvor h er høyden på det sfæriske segmentet.

Volum og totalt overflateareal av den sfæriske sektoren:
,
hvor R er kulens radius; h er høyden på det sfæriske segmentet.

Volum og totalt overflateareal av det sfæriske laget:
,
hvor h er høyden; r1 og r2 er radiene til basene til det sfæriske laget.

Volum og overflateareal av en torus:
,
hvor r er radiusen til sirkelen; R er avstanden fra sentrum av sirkelen til rotasjonsaksen.

Gjennomsnittlig krumning av overflaten S ved punkt A0:

kuledeler. En del av ballen (sfæren), avskåret fra den av et hvilket som helst plan, kalles et sfærisk (sfærisk) segment. Sirkelen kalles bunnen av det sfæriske segmentet. Segmentet av perpendikulæren trukket fra sentrum av sirkelen til skjæringspunktet med den sfæriske overflaten kalles høyden til det sfæriske segmentet. Den delen av sfæren som er innelukket mellom to parallelle plan som skjærer den sfæriske overflaten kalles det sfæriske laget; den buede overflaten til et sfærisk lag kalles et sfærisk belte (sone). Avstanden mellom basene til det sfæriske beltet er høyden. En del av en kule avgrenset av den buede overflaten til et kuleformet segment og konisk overflate, hvis base er bunnen av segmentet, og hvis apex er midten av ballen, kalles en sfærisk sektor.

Symmetri.

Speilsymmetri. Geometrisk figur sies å være symmetrisk i forhold til planet S hvis det for hvert punkt E i denne figuren kan finnes et punkt E' av samme figur, slik at segmentet EE' er vinkelrett på planet S og halverer dette planet. Planet S kalles symmetriplanet. Symmetriske figurer, objekter og kropper er ikke like med hverandre i ordets snevre betydning, de kalles speil like.

sentral symmetri. En geometrisk figur sies å være symmetrisk i forhold til sentrum C hvis det for hvert punkt A i denne figuren kan finnes et punkt E av samme figur, slik at segmentet AE går gjennom sentrum C og er todelt på dette punktet. Punkt C i dette tilfellet kalles symmetrisenteret.

rotasjonssymmetri. Et legeme har rotasjonssymmetri hvis det, når det roteres gjennom en vinkel på 360° / n (n er et heltall) rundt en rett linje AB (symmetriaksen), faller fullstendig sammen med dens utgangsposisjon. For n=2 har vi aksial symmetri.

Eksempler på typer symmetri. En kule (kule) har både sentral- og speilsymmetri og rotasjonssymmetri. Sentrum av symmetri er midten av ballen; symmetriplanet er planet til enhver storsirkel; symmetriaksen er diameteren til ballen.

Den runde kjeglen er aksialt symmetrisk; symmetriaksen er kjeglens akse.

Et rett prisme har speilsymmetri. Symmetriplanet er parallelt med basene og ligger i samme avstand mellom dem.

Symmetri av flyfigurer.

Speilaksesymmetri. Hvis flat figur er symmetrisk i forhold til et plan (noe som bare er mulig hvis planfiguren er vinkelrett på dette planet), så er linjen som disse planene skjærer hverandre, den andre ordens symmetriaksen til denne figuren. I dette tilfellet kalles figuren speilsymmetrisk.

sentral symmetri. Hvis en plan figur har en symmetriakse av andre orden, vinkelrett på planet figur, så er punktet der linjen og planet til figuren skjærer hverandre, symmetrisenteret.

Eksempler på symmetri av plane figurer.

Parallellogrammet har bare sentral symmetri. Dens symmetrisenter er skjæringspunktet mellom diagonalene.
En likebenet trapes har bare aksial symmetri. Dens symmetriakse er en vinkelrett trukket gjennom midtpunktene til basene til trapesen.

Romben har både sentral og aksial symmetri. Dens symmetriakse er hvilken som helst av dens diagonaler; senteret for symmetri er skjæringspunktet deres.

Punktstedet (heretter referert til som GMT) er en plan figur som består av punkter med en bestemt egenskap, og som ikke inneholder et enkelt punkt som ikke har denne egenskapen.

Vi vil kun vurdere de HMT-ene som kan konstrueres ved hjelp av et kompass og rette.

La oss vurdere HMT på flyet, som har de enkleste og mest uttrykte egenskapene:

1) HMT, plassert i en gitt avstand r fra et gitt punkt O, er en sirkel sentrert ved punktet O med radius r.

2) GMT for punktene A og B like langt fra to gitte punkter er en rett linje vinkelrett på segmentet AB og som går gjennom midten.

3) GMT like langt fra to gitte kryssende linjer, er det et par gjensidig vinkelrette linjer som passerer gjennom skjæringspunktet og deler vinklene mellom de gitte linjene i to.

4) GMT, plassert i samme avstand h fra en rett linje, det er to rette linjer parallelle med denne rette linjen og plassert langs forskjellige sider fra den i en gitt avstand h.

5) Lokuset for sirkelsentre som tangerer en gitt linje m i et gitt punkt M på den er vinkelrett på AB i punktet M (unntatt punktet M).

6) Lokuset for sirkelsentre som tangerer en gitt sirkel i et gitt punkt M på den, er en rett linje som går gjennom punktet M og sentrum av den gitte sirkelen (bortsett fra punktene M og O).

7) HMT, hvorav dette segmentet er synlig i en gitt vinkel, er to sirkelbuer beskrevet på et gitt segment og omslutter en gitt vinkel.

8) GMT, avstandene som til to gitte punkter A og B er i forholdet m: n, er en sirkel (kalt sirkelen til Apollonius).

9) Lokuset til midtpunktene til akkorder tegnet fra ett punkt i en sirkel er en sirkel bygget på et segment som forbinder et gitt punkt med midten av en gitt sirkel, som på en diameter.

10) Lokuset til toppunktene til trekanter lik i areal til en gitt og har felles plattform, utgjør to linjer parallelle med grunnflaten og som går gjennom toppunktet til den gitte trekanten og symmetriske til den med hensyn til linjen som inneholder grunnflaten.

La oss gi eksempler på å finne GMT.

EKSEMPEL 2.Finn GMT, som er midtpunktene til akkorder,trukket fra ett punkt i den gitte sirkelen(GMT nr. 9).

Løsning . La en sirkel med sentrum O gis og punktet A velges på denne sirkelen som det trekkes akkorder fra. La oss vise at ønsket HMT er en sirkel bygget på AO som diameter (bortsett fra punkt A) (fig. 3).

La AB være en akkord og M dens midtpunkt. La oss koble M og O. Deretter MO ^ AB (radiusen som deler akkorden i to er vinkelrett på denne akkorden). Men da RAMO = 90 0 . Så M tilhører en sirkel med diameteren AO (GMT nr. 7). Fordi denne sirkelen går gjennom punktet O, så tilhører O vår GMT.

Omvendt, la M tilhøre vår GMT. Når vi så trekker akkorden AB gjennom M og kobler M og O, får vi at РАМО = 90 0 , dvs. MO ^ AB, og derfor er M midten av akkorden AB. Hvis M faller sammen med O, så er O midtpunktet av AC.

Ofte lar koordinatmetoden deg finne GMT.

EKSEMPEL 3.Finn GMT, avstanden fra hvilken til to gitte punkter A og B er i det gitte forholdet m: n (m ≠ n).

Løsning . La oss velge rektangulært system koordinater slik at punktene A og B er plassert på Ox-aksen symmetrisk med hensyn til origo på koordinatene, og Oy-aksen går gjennom midten av AB (fig. 4). Vi setter AB = 2a. Da har punkt A koordinatene A (a, 0), punkt B har koordinatene B (-a, 0). La C tilhøre vår HMT, koordinater C(x, y) og CB/CA = m/n. Men Midler

(*)

La oss endre ligningen vår. Vi har

Kroppene skiller seg fra hverandre i vekt, farge, tetthet, hardhet, plass de opptar osv.

Disse tegnene kalles egenskaper til kropper.

Leger med disse egenskapene kalles fysiske kropper.

Mellom disse egenskapene kalles egenskapen til kroppen lengde.

Lengde Det er egenskapen til en kropp til å okkupere et bestemt sted i rommet.

Han blir kalt geometrisk egenskap kropp. Denne egenskapen bestemmer formen og størrelsen på kroppen.

En kropp som bare har én utvidelsesegenskap kalles en geometrisk kropp. Med tanke på en geometrisk kropp, vær bare oppmerksom på dens form og størrelse.

De resterende egenskapene til kroppen kalles fysiske.

geometrisk kropp Det er plass okkupert av den fysiske kroppen.

Den geometriske kroppen er begrenset på alle sider. Den er atskilt fra resten av rommet av kroppens overflate. For å uttrykke dette sier de det

Flate Det er kroppsgrense.

Den ene overflaten er atskilt fra den andre med en linje. Linjen definerer overflaten, så linjen kalles overflatens grense.

Linje Det er overflategrense.

Slutten av en linje kalles en prikk. Et punkt avgrenser og skiller en linje fra en annen, og det er derfor et punkt kalles en linjegrense.

Punktum Det er linjegrense.

Figur 1 viser en kropp i form av en boks lukket på alle sider. Den er avgrenset av seks sider som danner boksens overflate. Hver side av boksen kan sees på som en separat overflate. Disse sidene er atskilt fra hverandre med 12 linjer som danner kantene på boksen. Linjene er atskilt fra hverandre med 8 punkter som utgjør hjørnene på boksen.

Kropp, overflater og linjer er ikke like store. Dette betyr at de opptar et ulikt rom, eller ulikt omfang.

kroppsvolum. Verdien av et geometrisk legeme kalles volumet eller kapasiteten til kroppen.

flateareal. Overflatearealet kalles arealet.

Linjelengde. Lengden på linjen kalles lengden.

Lengde, areal og volum er heterogene størrelser. De måles i forskjellige enheter og brukes til forskjellige formål. For å finne avstanden til to gjenstander, armens bredde, brønnens dybde, høyden på tårnet, bestemme lengden på linjen. For dette gjøres det kun én måling, det vil si at det gjøres en måling i én retning. Når du måler, ty til lengdeenheter. Disse lengdeenhetene kalles verst, sazhens, arshins, fot, meter osv. Lengdeenheten har én dimensjon, og det er derfor de sier at

Linjer har én dimensjon. Linjer har verken bredde eller tykkelse. De er like lange.

For å ha en ide om størrelsen på bildet, må du vite lengden og bredden. Lengde og bredde gir en ide om bildets område. For å bestemme arealet ble det nødvendig å gjøre to målinger, eller måle bildet i to retninger. For å bestemme størrelsen på arealet brukes arealenheter. Et kvadrat tas som en enhet av areal, hvis sider har en viss lengdeenhet. Arealenheter kalles square miles, square versts, square feet, og så videre. En square verst er arealet av et kvadrat med hver side lik en verst, og så videre. En arealenhet har to dimensjoner: lengde og bredde. Siden overflater måles i arealenheter, sier de i denne forstand det

Overflater har to dimensjoner. Overflater har ingen tykkelse. De kan bare ha lengde og bredde.

For å ha en ide om kapasiteten til et rom eller en boks, må du kjenne volumene deres. For å gjøre dette må du vite lengden, bredden og høyden på rommet, det vil si gjøre tre målinger eller måle det i tre retninger. Volumer måles i volumenheter. En terning tas som en volumenhet, der hver side er lik én. Volumenheter har tre dimensjoner: lengde, bredde og høyde. Siden volumer måles i volumenheter, sier vi det

Kroppene har tre dimensjoner.

Volumenheter kalles kubikkvers, kubikkfot osv. Avhengig av lengden på siden av kuben.

Et punkt har ingen lengde, ingen bredde, ingen høyde, eller et punkt har ingen dimensjon.

geometriske utvidelser. Linjer, overflater og faste stoffer kalles geometriske forlengelser.

Geometri er vitenskapen om egenskapene og måling av geometriske utvidelser.

Geometri er vitenskapen om rommet. Den angir et sett med nødvendige forhold knyttet til rommets natur.

Dannelse av geometriske utstrekninger ved bevegelse

En linje kan sees på samme måte som et spor etter bevegelsen til et punkt, en overflate som et spor etter bevegelsen til en linje, og et legeme som et spor etter bevegelsen til en flate. Andre definisjoner av linje, overflate og solid er basert på disse betraktningene.

Linje er stedet for det bevegelige punktet.

Flate er stedet for den bevegelige linjen.

Kropp er stedet for den bevegelige overflaten.

Alle gjenstander som anses i naturen har tre dimensjoner. Det er ingen punkter, ingen linjer, ingen overflater i den, men bare kropper eksisterer. I geometri vurderes imidlertid punkter, linjer og overflater separat fra kropper. Samtidig gir et veldig tynt skall av kroppen oss en tilnærmet visuell representasjon av overflaten, en veldig tynn tråd eller hår gir oss en visuell representasjon av linjen, og enden av tråden rundt punktet.

linjer

Linjer er delt inn i rette linjer, stiplede linjer og kurver.

er den korteste avstanden mellom to punkter.

En tett strukket tynn tråd gir en visuell representasjon av en rett linje.

Enhver linje er angitt med bokstaver plassert på punktene. Tegning 2 viser en rett linje AB. I hver rett linje trekkes oppmerksomheten mot dens retning Og verdi.

Retningen til en rett linje bestemmes av dens posisjon.

det er en serie og kontinuerlig forbindelse av flere rette linjer med forskjellige retninger.

Den stiplede linjen ABCD (fig. 3) er bygd opp av rette linjer AB, BC, CD, som ikke har samme retning.

det er en som ikke kan bestå av rette linjer.

Linjen vist i fig. 4, vil være en buet linje.

En linje sammensatt av rette linjer og kurver kalles noen ganger en sammensatt linje.

Tegning (4, a) representerer en slik sammensatt linje.

overflater

Overflater er delt inn i rette eller flate og buede. Flat overflate kalt et fly.

Fly. En overflate kalles et plan når hver rett linje trukket gjennom hvert annet punkt på overflaten ligger på den med alle punktene.

Kurve overflate det er en som ikke kan bestå av fly.

En rett linje trukket mellom to punkter på en buet overflate passer ikke på den med alle dens mellompunkter.

En viss visuell representasjon av flyet er gitt av overflaten til et godt polert speil eller overflaten av stillestående vann. Et eksempel på buede overflater er overflaten til en biljardkule.

Utsnitt av geometri

Geometri er delt inn i planimetri og solid geometri.

Planimetri studerer egenskapen til geometriske utvidelser som vurderes på planet.

Stereometri studerer egenskapene til slike geometriske utvidelser som ikke kan representeres i ett plan.

Planimetri kalles geometri på et plan, stereometri - geometri i rommet.

Geometri er videre delt inn i primær og høyere. I dette arbeidet er bare den innledende geometrien presentert.

Ulike former for uttrykk for geometriske sannheter

Geometriske sannheter uttrykkes i form av aksiomer, teoremer, lemmas og problemer eller problemer.

Axiom det er sannhet, men dens bevis krever ikke bevis.

Eksempler på sannheter som ikke krever bevis er følgende aksiomer:

Helheten er lik summen av delene.

Helheten er større enn sin del. Delene er mindre enn helheten.

To mengder lik den samme tredjedelen er lik hverandre.

Ved å addere eller trekke likt fra like mengder får vi like mengder.

Ved å legge til eller trekke fra like verdier ikke like, får vi ulik verdi.

Ved å legge til eller trekke likt fra ulik verdi, får vi ulik verdi.

Summen av de større er større enn summen av de mindre.

En homogen mengde, som ikke er mer eller mindre enn en annen, er lik den, etc.

Teorem. Et teorem eller en antagelse er en sannhet som krever bevis..

Bevis er et sett med argumenter som gjør teoremet åpenbart.

Teoremet er bevist ved hjelp av aksiomer.

Sammensetningen av teoremet. Hvert teorem består av en betingelse og en konklusjon.

Tilstanden kalles noen ganger formodning, antagelse, og konklusjonen kalles noen ganger konsekvens. Tilstanden er gitt og får derfor noen ganger navnet gitt.

Et teorem kalles invers hvis konklusjonen blir en betingelse, og betingelsen eller antagelsen blir en konklusjon. I dette tilfellet kalles denne teoremet en direkte. Ikke alle teorem har sin inverse.

Problem eller utfordring det er et spørsmål som kan løses ved hjelp av teoremer.

Lemma er en hjelpesannhet som letter beviset for teoremet.