D'Alembert-prinsippet for et mekanisk system eksempler. Hvordan formulere d'Alembert-prinsippet

Når et materiell punkt beveger seg, er dets akselerasjon i hvert øyeblikk av tid slik at de gitte (aktive) kreftene påført punktet, reaksjonene til bindingene og den fiktive d'Alembert-kraften Ф = - som danner et balansert system av krefter.

Bevis. Tenk på bevegelsen til et ikke-fritt materiale punkt med en masse t i en treghetsreferanseramme. I henhold til dynamikkens grunnleggende lov og prinsippet om frigjøring fra bindinger har vi:

hvor F er resultanten av de gitte (aktive) kreftene; N er resultatet av reaksjonene til alle bindinger pålagt punktet.

Det er enkelt å transformere (13.1) til skjemaet:

Vektor Ф = - at kalt d'Alembert treghetskraften, treghetskraften, eller ganske enkelt d'Alemberts makt. I det følgende vil vi kun bruke det siste begrepet.

Ligning (13.3), som uttrykker d'Alembert-prinsippet i symbolsk form, kalles kinetostatisk ligning materiell poeng.

Det er lett å få en generalisering av d'Alembert-prinsippet for et mekanisk system (system P materielle poeng).

For enhver til punktet i det mekaniske systemet, likhet (13.3) er oppfylt:

hvor ? til - resultant av gitte (aktive) krefter som virker på til-th punkt; N til - resultat av reaksjonene til bindingene som er lagt over k-th punkt; F k \u003d - at k- d'Alembert-styrken til-te punkt.

Selvfølgelig, hvis likevektsbetingelsene (13.4) er oppfylt for hver trippel av krefter F*, N* : , Ф* (til = 1,. .., P), deretter hele systemet 3 P krefter

er balansert.

Følgelig, under bevegelsen av et mekanisk system i hvert øyeblikk av tiden, danner de aktive kreftene på det, reaksjonene til bindingene og d'Alembert-kreftene til punktene i systemet et balansert system av krefter.

Systemets krefter (13.5) er ikke lenger konvergerende, derfor, som kjent fra statikk (avsnitt 3.4), har de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene for dets likevekt følgende form:

Ligninger (13.6) kalles likningene for kinetostatikken til et mekanisk system. For beregninger brukes projeksjonene av disse vektorligningene på aksene som går gjennom momentpunktet O.

Merknad 1. Siden summen av alle interne krefter i systemet, så vel som summen av deres momenter i forhold til et hvilket som helst punkt, er lik null, er det i ligningene (13.6) tilstrekkelig å bare ta hensyn til reaksjonene utvendig forbindelser.

Likningene til kinetostatikk (13.6) brukes vanligvis til å bestemme reaksjonene til begrensningene til et mekanisk system når bevegelsen til systemet er gitt, og derfor akselerasjonene til punktene i systemet og d'Alembert-kreftene som er avhengige av dem er kjent.

Eksempel 1 Finn støttereaksjoner OG og PÅ aksel med jevn rotasjon ved en frekvens på 5000 rpm.

Punktmasser er stivt forbundet med sjakten gp= 0,1 kg, t 2 = 0,2 kg. Størrelser kjent AC - CD - DB = 0,4 m h= 0,01 m. Betrakt massen til akselen som ubetydelig.

Beslutning. For å bruke d'Alembert-prinsippet for et mekanisk system som består av to punktmasser, angir vi i diagrammet (fig. 13.2) de gitte kreftene (tyngdekraften) Gi, G 2, reaksjonen til bindingene N4, N # og d. 'Alembert tvinger Ф|, Ф 2.

Retningen til Dalambres-kreftene er motsatt av akselerasjonene til punktmasser t b t 2 år som ensartet beskriver sirkler med radius h rundt aksen AB aksel.

Vi finner størrelsen på tyngdekreftene og Dalambres-kreftene:

Her vinkelhastigheten til akselen med- 5000* l/30 = 523,6 s Ah ah, Az, får vi likevektsbetingelsene for et flatt system med parallelle krefter Gi, G 2 , 1Chd, N tf , Ф ь Ф 2:

Fra øyeblikksligningen finner vi N inn = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w "

272 N, og fra projeksjonsligningen videre

akser Ja: Na \u003d -N B + G, + G 2 + F, -F 2 \u003d 272 + 0,98 + 1,96 + 274-548 \u003d 0,06 N.

Likningene til kinetostatikk (13.6) kan også brukes til å oppnå differensialligninger for bevegelse av systemet, hvis de er sammensatt på en slik måte at reaksjonene til bindingene utelukkes og som et resultat blir det mulig å oppnå avhengighetene av akselerasjonene på de gitte kreftene.

D'Alembert-prinsippet gjør det mulig å redusere prosessen med å kompilere dynamikkligninger til å kompilere statiske ligninger.

Dette prinsippet, som vi vil presentere her for et fritt materialpunkt og for et punkt som beveger seg på en overflate eller langs en kurve, er anvendelig for ethvert dynamikkproblem. Det vil tillate oss å oppsummere hele teorien om bevegelsen til et punkt.

Betrakt et materiell punkt M med masse under påvirkning av krefter, hvis resultant har projeksjoner. Bevegelsesligningene til dette punktet kan skrives som følger:

Vi vil vurdere, sammen med vektorene som representerer kreftene som påføres punktet M, vektoren med projeksjoner - Denne vektoren, numerisk lik produktet av massen og akselerasjonen og rettet motsatt av akselerasjonen, kalles treghetskraften, selv om dette på ingen måte vil være kraften som brukes til punktet. Da uttrykker likningene at den geometriske summen av vektorene og er lik null, eller at det i hvert tidsøyeblikk er en likevekt mellom treghetskraften og kreftene som faktisk påføres punktet.

Utledning av bevegelseslikningene fra d'Alembert-prinsippet. Basert på det som nettopp er sagt, for å finne bevegelseslikningene til et punkt under alle forhold, er det tilstrekkelig å uttrykke at det er en likevekt mellom alle kreftene som påføres punktet og treghetskraften. Men dette kan gjøres ved hjelp av statiske metoder. Man kan for eksempel anvende det mulige arbeidsteoremet. For å gjøre dette er det nødvendig å skille mellom kreftene som påføres et punkt, kreftene gitt og reaksjonene til bindingene. Gjennom betegner vi projeksjonene av gitte krefter.

For å skrive at det er en likevekt mellom kreftene som virker på et punkt og treghetskraften, er det nok å skrive at på

alle mulige bevegelser tillatt av bindingene som eksisterer i øyeblikket, summen av arbeidet til de gitte kreftene og treghetskraften er lik null:

Tre tilfeller bør skilles:

1°. Gratis poeng. vilkårlig. Hvis, som i paragraf 282, brukes et vilkårlig koordinatsystem, vil vi erstatte med variasjoner:

hvor er vilkårlige.

Ved å sette inn likhet (2) og likestille resultatet til null for vilkårlig, får vi bevegelseslikningene i formen angitt i § 282, hvorfra vi utledet Lagrange-likningene for et fritt punkt.

2°. punkt på overflaten. La være

er ligningen av overflaten, som for allmennheten antas å bevege seg. Ved å gi en variabel en viss verdi, ser vi at vi må tilfredsstille betingelsen

uttrykker at den mulige bevegelsen tillates av forbindelsen som eksisterer i øyeblikket. Hvis vi, som i avsnitt 263, uttrykker koordinatene til et overflatepunkt i funksjoner av to parametere, får vi

og relasjon (2) må holde, hva det enn måtte være. På denne måten vil bevegelseslikningene fås i form (4) n. 263. 3°. Pek på kurven. La være

Definisjon 1

D'Alembert-prinsippet er et av hovedprinsippene for dynamikk i teoretisk mekanikk. I henhold til dette prinsippet, hvis treghetskraften legges til kreftene og reaksjonene til overlagrede bindinger som aktivt virker på punktene til det mekaniske systemet, oppnås et balansert system.

Dette prinsippet ble navngitt til ære for den franske forskeren J. d'Alembert, som først foreslo dets formulering i sitt arbeid "Dynamikk".

Definisjon av d'Alemberts prinsipp

Merknad 1

D'Alembert-prinsippet er som følger: hvis en ekstra treghetskraft påføres den aktive kraften som virker på kroppen, vil kroppen være i likevekt. I dette tilfellet vil den totale verdien av alle krefter som virker i systemet, supplert med treghetsvektoren, få en nullverdi.

I henhold til dette prinsippet, for hvert i-te punkt i systemet, blir likheten sann:

$F_i+N_i+J_i=0$, hvor:

• $F_i$ - kraft som aktivt handler på dette punktet,
• $N_i$ - reaksjon av forbindelsen pålagt punktet;
• $J_i$ - treghetskraft definert av formelen $J_i=-m_ia_i$ (den er rettet motsatt av denne akselerasjonen).

Faktisk overføres $ma$ separat for hvert betraktet materiale fra høyre til venstre (Newtons andre lov):

$F=ma$, $F-ma=0$.

$ma$ kalles d'Alembert-treghetskraften.

Et slikt konsept som treghetskraften ble introdusert av Newton. I følge forskerens resonnement, hvis punktet beveger seg under påvirkning av kraften $F=ma$, blir kroppen (eller systemet) kilden til denne kraften. I dette tilfellet, i henhold til loven om likhet mellom handling og reaksjon, vil akselerasjonspunktet påvirke det akselererende legemet med kraften $Ф=-ma$. Newton ga navnet på punkttreghetssystemet til en slik kraft.

Kraftene $F$ og $Ф$ vil være like og motsatte, men brukes på forskjellige kropper, noe som utelukker deres tillegg. Treghetskraften påvirker ikke punktet direkte, siden det for det representerer en fiktiv kraft. I dette tilfellet vil punktet forbli i ro hvis kraften $Ф$ i tillegg til kraften $F$ også virket på punktet.

Merknad 2

D'Alembert-prinsippet gjør det mulig å bruke mer forenklede metoder for statikk for å løse dynamikkproblemer, noe som forklarer dens utbredte bruk i ingeniørpraksis. Den kinetostatiske metoden er basert på dette prinsippet. Det er spesielt praktisk å bruke for å etablere reaksjonene til begrensninger i en situasjon der loven for den pågående bevegelsen er kjent eller den oppnås ved å løse de tilsvarende ligningene.

En variant av d'Alembert-prinsippet er Hermann-Euler-prinsippet, som faktisk representerte en form for dette prinsippet, men som ble oppdaget før publiseringen av vitenskapsmannens arbeid i 1743. Samtidig ble ikke Euler-prinsippet ansett av forfatteren (i motsetning til d'Alembert-prinsippet) som grunnlaget for en generell metode for å løse problemer med bevegelse av mekaniske systemer med begrensninger. D'Alembert-prinsippet anses som mer hensiktsmessig i anvendelse hvis det er nødvendig å bestemme ukjente krefter (for å løse det første problemet med dynamikk).

d'Alemberts prinsipp for et materiell poeng

Variasjonen av typer problemer som løses i mekanikk krever utvikling av effektive metoder for å kompilere bevegelsesligninger for mekaniske systemer. En av slike metoder, som gjør det mulig å beskrive bevegelsen til vilkårlige systemer ved hjelp av ligninger, anses i teoretisk mekanikk som d'Alembert-prinsippet.

Basert på den andre loven om dynamikk, for et ikke-fritt materiell punkt skriver vi formelen:

$m\bar(a)=\bar(F)+\bar(R)$,

hvor $R$ representerer bindingsreaksjonen.

Tar verdi:

$\bar(Ф)=-m\bar(a)$, der $Ф$ er treghetskraften, får vi:

$\bar(F)+\bar(R)+\bar(F)=0$

Denne formelen er et uttrykk for d'Alembert-prinsippet for et materiell punkt, ifølge hvilket, for et punkt som beveger seg til enhver tid, blir den geometriske summen av de aktive kreftene som virker på det og treghetskraften null. Dette prinsippet lar en skrive ligningene for statikk for et bevegelig punkt.

d'Alemberts prinsipp for et mekanisk system

For et mekanisk system som består av $n$-punkter, kan man skrive $n$-ligninger av formen:

$\bar(F_i)+ \bar(R_i)+\bar(F_i)=0$

Når du summerer alle disse ligningene og introduserer følgende notasjon:

som er hovedvektorene for eksterne krefter, reaksjonen til bindingene og treghetskreftene, henholdsvis, får vi:

$\sum(F_i)+\sum(R_i)+\sum(Ф_i)=0$, dvs.

$FE + R + Ф = 0$

Betingelsen for likevektstilstanden til et fast legeme er nullverdien til hovedvektoren og momentet til de virkende kreftene. Med tanke på denne situasjonen og Varignon-teoremet om øyeblikket av resultanten, som et resultat, skriver vi følgende relasjon:

$\sum(riF_i)+\sum(riR_i)+\sum(riФ_i) = 0$

vi godtar følgende notasjon:

$\sum(riF_i)=MOF$

$\sum(riR_i)=MOR$

$\sum(riФ_i)=MOФ$

hovedmomenter av ytre krefter, reaksjoner av bindinger og treghetskrefter, henholdsvis.

Som et resultat får vi:

$\bar(F^E)+\bar(R)+\bar(F)=0$

$\bar(M_0^F)+\bar(M_0^R)+\bar(M_0^F)=0$

Disse to formlene er et uttrykk for d'Alembert-prinsippet for et mekanisk system. Til enhver tid for et mekanisk system i bevegelse får den geometriske summen av hovedvektoren av reaksjoner av begrensninger, ytre krefter og treghetskrefter en nullverdi. Også null vil være den geometriske summen av hovedmomentene fra treghetskreftene, ytre krefter og reaksjoner av begrensninger.

De resulterende formlene er andreordens differensialligninger på grunn av tilstedeværelsen i hver av dem av akselerasjon i treghetskreftene (den andre deriverte av bevegelsesloven til et punkt).

D'Alembert-prinsippet gjør det mulig å løse dynamikkproblemer ved hjelp av statiske metoder. For et mekanisk system kan bevegelseslikningene skrives i form av likevektsligninger. Fra slike ligninger kan man bestemme ukjente krefter, spesielt reaksjonene til begrensninger (det første problemet med dynamikk).

Utsikt: denne artikkelen er lest 44027 ganger

Pdf Velg språk... Russisk ukrainsk engelsk

Kort anmeldelse

Fullt materiale lastes ned ovenfor, etter valg av språk

Generelle prinsipper for dynamikk

Prinsippet til Hermann - Euler - d'Alembert

treghetskraft

D'Alembert-prinsippet (prinsippet for kinetostatikk) er et av mekanikkens generelle prinsipper, ved hjelp av hvilket dynamikkens ligninger gis form av statiske ligninger i form. Prinsippet ble foreslått av Hermann i 1716, generalisert av Euler i 1737.

Materialpunkt M beveger seg med akselerasjon under påvirkning av påførte krefter. Den tredje dynamikkens lov gjenspeiler tosidigheten til de mekaniske prosessene i naturen. Når to legemer samhandler, er kreftene som påføres hver av dem like i absolutt verdi og rettet motsatt. Siden disse kreftene påføres forskjellige kropper, balanserer de ikke. For eksempel i samspillet til en eller annen kropp OG og poeng M, som har en masse m, blir punktet akselerert. Kropp OG handler på et punkt M med kraft F=-ma. I følge loven om handling og reaksjon, et materiell poeng M virker på kroppen OG med kraft F=-F=-ma, som kalles treghetskraften.

Treghetskraft eller d'Alembert-kraft- en vektormengde som har dimensjonen til en kraft, modulo lik produktet av massen til et punkt og dets akselerasjon, og er rettet motsatt av denne akselerasjonen.

d'Alemberts prinsipp for et materiell poeng

Hvis treghetskraften på et hvilket som helst tidspunkt legges til kreftene som faktisk virker på det materielle punktet, vil det resulterende kraftsystemet bli balansert.

Dette betyr at for å løse problemet med dynamikk i henhold til prinsippet til Hermann - Euler - d'Alembert, i tillegg til kreftene som påføres til punktet, er det nødvendig å betinget bruke treghetskraften til dette punktet. påføring av en treghetskraft til et punkt er en betinget teknikk som reduserer problemet med dynamikk bare i form av en løsning på et problem med statikk.

d'Alemberts prinsipp for et system av materielle poeng

Hvis på et hvilket som helst tidspunkt til hvert av punktene i systemet, i tillegg til de ytre og indre kreftene som faktisk virker på det, de tilsvarende treghetskreftene påføres, vil det resulterende kraftsystemet være i likevekt og alle ligningene til statikk kan brukes på den.

d'Alemberts prinsipp for et ikke-fritt mekanisk system

Når som helst, for hvert punkt i et ikke-fritt mekanisk system, i tillegg til kreftene som faktisk virker på det, legg til de tilsvarende treghetskreftene, da vil det resulterende kraftsystemet balanseres og alle statiske ligninger kan brukes på den.

Det vil si at til enhver tid for hvert punkt i et ikke-fritt mekanisk system, er den geometriske summen av hovedvektorene av gitte krefter, reaksjoner av støtter og treghetskrefter til materialpunktene i systemet lik null.

Til ethvert tidspunkt for et hvilket som helst punkt i et ikke-fritt mekanisk system, den geometriske summen av hovedmomentene til de gitte kreftene, reaksjonene til støttene og treghetskreftene til materielle punktene i systemet i forhold til et hvilket som helst fast senter er lik null.

Generalisert form for likevektsligninger i henhold til d'Alembert-prinsippet

Å bringe treghetskreftene til punktene til et stivt legeme til den enkleste formen.

Tilfeller av å redusere systemet med treghetskrefter til en stiv kropp til den enkleste formen.

translasjonsbevegelse

Under translasjonsbevegelse reduseres treghetskreftene til et stivt legeme til én resultant, som passerer gjennom kroppens massesenter, og er lik i absolutt verdi produktet av kroppsmassen og akselerasjonsmodulen til dets massesenter og rettet mot denne akselerasjonen.

Det er ingen rotasjon rundt massesenteret, så treghetsmomentet er null.

Rotasjonsbevegelse av en kropp rundt en akse som går gjennom kroppens massesenter.

Hvis kroppen roterer rundt en fast akse som går gjennom kroppens massesenter, reduseres treghetskreftene til ett par krefter som ligger i et plan vinkelrett på rotasjonsaksen.

Siden massesenteret ikke beveger seg, er hovedvektoren for treghetskrefter null.

Flybevegelse

Med en plan bevegelse av kroppen reduseres systemet med treghetskrefter til kraften som påføres ved kroppens massesenter og et par krefter. Treghetsmomentets retning er motsatt av kroppens vinkelakselerasjon.

Prinsippet om mulige bevegelser

Prinsippet om mulige forskyvninger i en generell form bestemmer betingelsene for likevekten til ethvert mekanisk system, det vil si at det tillater å løse problemer med statikk, som problemer med dynamikk.

Bevegelsen av punktene til et ikke-fritt mekanisk system er begrenset av de eksisterende forbindelsene. Posisjonen til punktene til systemet bestemmes ved å sette uavhengige koordinater.

Uavhengige mengder, hvis tilordning unikt kan bestemme posisjonen til alle punkter i et mekanisk system, kalles generaliserte koordinater dette systemet. Som regel er antallet generaliserte koordinater til et mekanisk system lik antallet frihetsgrader til dette systemet. For eksempel bestemmes posisjonen til alle punkter på sveivmekanismen ved å stille inn rotasjonsvinkelen til sveiven.

Mulige eller virtuelle bevegelser

Mulige eller virtuelle systemflyttinger er imaginære uendelige forskyvninger av punktene i systemet, tillatt for øyeblikket av begrensningene som er pålagt systemet.

Kurvilineære forskyvninger av punkter erstattes av rette linjesegmenter som er lagt tangentielt til banene til punkter.

Antall uavhengige mulige bevegelser av systemet kalles antall frihetsgrader dette systemet.

Mulig eller virtuelt arbeid

Mulig (eller virtuelt) arbeid er det elementære arbeidet som kraften som virker på et materiell punkt kan gjøre ved en forskyvning som faller sammen med den mulige forskyvningen av dette punktet.

Prinsippet om mulige bevegelser for et mekanisk system

For likevekten til et mekanisk system med ideelle begrensninger, er det nødvendig og tilstrekkelig at summen av alle aktive krefter for enhver mulig forskyvning av systemet er lik null.

Likningen av mulige verk er et matematisk uttrykk for de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene for likevekten til ethvert mekanisk system.

Generell dynamikkligning

Generell dynamikkligning (d'Alembert - Lagrange-prinsippet)

Prinsippet om mulige forskyvninger, som gir en generell metode for å løse problemer med statikk, kan også brukes til å løse dynamikkproblemer. Basert på prinsippet til Hermann-Euler-D'Alembert for et ikke-fritt mekanisk system til enhver tid, den geometriske summen av de resulterende gitte kreftene, resultanten av reaksjonene av begrensninger og treghetskraften for hvert punkt Mn av den mekaniske systemet er lik null.

Hvis systemet mottar en mulig forskyvning, der hvert punkt har en mulig forskyvning, må summen av arbeidet til disse kreftene på forskyvningen være lik null.

Generell dynamikkligning for et system med ideelle begrensninger

La oss anta at alle bindinger i det betraktede mekaniske systemet er tosidige og ideelle (friksjonskrefter, hvis noen, er referert til antall gitte krefter). Da er summen av arbeidet med reaksjonene til bindingene på de mulige forskyvningene av systemet lik null.

Når et mekanisk system beveger seg med ideelle begrensninger til enhver tid, er summen av elementære roboter av alle aktive (gitte) krefter og alle treghetskrefter ved enhver mulig forskyvning av systemet lik null.

Generelle dynamikkligninger gjør det mulig å komponere differensialligninger for bevegelse av ethvert mekanisk system. Hvis et mekanisk system består av separate stive kropper, kan treghetskreftene til punktene til hvert legeme reduseres til en kraft påført på et eller annet punkt av kroppen og et par krefter. Kraften er lik hovedvektoren til treghetskreftene til punktene til denne kroppen, og momentet til paret er lik hovedmomentet til disse kreftene i forhold til reduksjonssenteret. For å bruke prinsippet om mulige forskyvninger, påføres de gitte kreftene som virker på den på hver kropp, og også kraften og paret, sammensatt av treghetskreftene til kroppens punkter, påføres betinget. Deretter informeres systemet om mulig bevegelse, og for hele settet av gitte krefter og de reduserte treghetskreftene dannes den generelle dynamikkligningen

Format: pdf

Størrelse: 600KW

Språk: russisk, ukrainsk

Et eksempel på beregning av et sylindrisk tannhjul
Et eksempel på beregning av et sylindrisk tannhjul. Valg av materiale, beregning av tillatte spenninger, beregning av kontakt og bøyestyrke ble utført.

Et eksempel på å løse problemet med bjelkebøyning
I eksemplet er diagrammer over tverrkrefter og bøyemomenter plottet, en farlig seksjon er funnet, og en I-bjelke er valgt. I oppgaven analyseres konstruksjonen av diagrammer ved bruk av differensielle avhengigheter, en komparativ analyse av ulike bjelketverrsnitt utføres.

Et eksempel på å løse problemet med akseltorsjon
Oppgaven er å teste styrken til en stålaksel for en gitt diameter, materiale og tillatte spenninger. Under løsningen bygges diagrammer over dreiemomenter, skjærspenninger og vridningsvinkler. Skaftets egenvekt er ikke tatt i betraktning

Et eksempel på å løse problemet med spenningskomprimering av en stang
Oppgaven er å teste styrken til en stålstang ved gitte tillatte spenninger. Under løsningen bygges plott av langsgående krefter, normale spenninger og forskyvninger. Egenvekt av stangen er ikke tatt i betraktning

Anvendelse av teoremet for bevaring av kinetisk energi
Et eksempel på å løse problemet med å bruke teoremet om bevaring av kinetisk energi til et mekanisk system

D'Alembert-prinsippet gjør det mulig å formulere problemene med dynamikken til mekaniske systemer som problemer med statikk. I dette tilfellet gis de dynamiske differensialligningene for bevegelse i form av likevektsligninger. En slik metode kalles kinetostatisk metode .

d'Alemberts prinsipp for et materiell poeng: « I hvert øyeblikk av bevegelsen til et materiell punkt, danner de aktive kreftene som faktisk virker på det, reaksjonene til bindingene og treghetskraften betinget påført punktet et balansert system av krefter»

punkt treghet kraft kalt en vektormengde som har dimensjonen til en kraft som i absolutt verdi er lik produktet av massen til et punkt og dets akselerasjon og rettet motsatt av akselerasjonsvektoren

. (3.38)

Ser vi på et mekanisk system som et sett av materielle punkter, som hver er påvirket, ifølge d'Alembert-prinsippet, av balanserte kraftsystemer, har vi konsekvenser av dette prinsippet i forhold til systemet. Hovedvektoren og hovedmomentet i forhold til ethvert senter av eksterne krefter påført systemet og treghetskreftene til alle dets punkter er lik null:

(3.39)

Her er ytre krefter aktive krefter og reaksjoner av bindinger.

Hovedvektoren for treghetskrefter av et mekanisk system er lik produktet av systemets masse og akselerasjonen av dets massesenter og er rettet i motsatt retning av denne akselerasjonen

. (3.40)

Treghetskreftenes hovedmoment system i forhold til et vilkårlig senter O lik den tidsderiverte av dens vinkelmomentum i forhold til samme senter

. (3.41)

For et stivt legeme som roterer om en fast akse Oz, finner vi hovedmomentet til treghetskreftene rundt denne aksen

. (3.42)

3.8. Elementer av analytisk mekanikk

Avsnittet "Analytisk mekanikk" tar for seg de generelle prinsippene og analytiske metodene for å løse problemer i mekanikken til materialsystemer.

3.8.1 Mulige bevegelser av systemet. Klassifisering

noen linker

Mulige punktbevegelser
alle imaginære, uendelig små forskyvninger av dem, tillatt av begrensningene som er pålagt systemet, på et fast tidspunkt, kalles mekaniske systemer. A-priory, antall frihetsgrader av et mekanisk system er antall uavhengige mulige forskyvninger.

Forbindelsene som er pålagt systemet kalles ideelt , hvis summen av de elementære verkene av deres reaksjoner på noen av de mulige forskyvningene av punktene i systemet er lik null

. (3. 43)

Forbindelser som restriksjonene pålagt av dem er bevart på en hvilken som helst plassering av systemet kalles holde tilbake . Relasjoner som ikke endres i tid, hvis likninger eksplisitt ikke inkluderer tid, kalles stasjonær . Forbindelsene som begrenser bare forskyvningene av punktene i systemet kalles geometrisk , og de begrensende hastighetene er kinematisk . I fremtiden vil vi kun vurdere geometriske relasjoner og de kinematiske som kan reduseres til geometriske ved integrasjon.

3.8.2. Prinsippet om mulige bevegelser

For likevekten til et mekanisk system med begrensende ideelle og stasjonære begrensninger, er det nødvendig og tilstrekkelig at

summen av de elementære verkene til alle aktive krefter som virker på den, på eventuelle forskyvninger av systemet, var lik null

. (3.44)

I projeksjoner på koordinataksene:

. (3.45)

Prinsippet om mulige forskyvninger lar oss etablere i en generell form betingelsene for likevekten til ethvert mekanisk system, uten å ta hensyn til likevekten til dets individuelle deler. I dette tilfellet tas kun hensyn til de aktive kreftene som virker på systemet. Ukjente reaksjoner av ideelle bindinger er ikke inkludert i disse forholdene. Samtidig gjør dette prinsippet det mulig å bestemme ukjente reaksjoner av ideelle bindinger ved å forkaste disse bindingene og introdusere reaksjonene deres i antall aktive krefter. Når bindingene hvis reaksjoner må bestemmes forkastes, får systemet i tillegg det tilsvarende antall frihetsgrader.

Eksempel 1 . Finn forholdet mellom krefter og jekk, hvis det er kjent at med hver omdreining av håndtaket AB = l, skru Med strekker seg til den grad h(Fig. 3.3).

Beslutning

De mulige bevegelsene til mekanismen er rotasjonen av håndtaket  og bevegelsen av lasten  h. Betingelsen for likestilling til null for elementært kraftarbeid:

pl– Qh = 0;

Deretter
. Siden h 0, da

3.8.3. Generell variasjonsligning av dynamikk

Tenk på bevegelsen til et system som består av n poeng. Aktive krefter virker på den og bindingsreaksjoner .(k = 1,…,n) Legger vi til de virkende kreftene treghetskreftene til punktene
, da, i henhold til d'Alembert-prinsippet, vil det resulterende kraftsystemet være i likevekt, og derfor er uttrykket skrevet på grunnlag av prinsippet om mulige forskyvninger (3.44) gyldig:

. (3.46)

Hvis alle forbindelser er ideelle, er den andre summen lik null og i projeksjoner på koordinataksene vil likhet (3,46) se slik ut:

Den siste likheten er en generell variasjonsligning av dynamikk i projeksjoner på koordinataksene, som lar en komponere differensialligninger for bevegelse av et mekanisk system.

Den generelle variasjonsligningen for dynamikk er et matematisk uttrykk d'Alembert-Lagrange-prinsippet: « Når et system er i bevegelse, underlagt stasjonære, ideelle, begrensende begrensninger, til et gitt tidspunkt, er summen av de elementære verkene til alle aktive krefter påført systemet og treghetskreftene på enhver mulig forskyvning av systemet. lik null».

Eksempel 2 . For et mekanisk system (fig. 3.4), som består av tre kropper, bestemmer akselerasjonen av lasten 1 og spenningen til kabelen 1-2 hvis: m 1 = 5m; m 2 = 4m; m 3 = 8m; r 2 = 0,5R 2; girradius for blokk 2 Jeg = 1,5r 2. Valse 3 er en kontinuerlig homogen skive.

Beslutning

La oss skildre kreftene som gjør elementært arbeid på en mulig forskyvning  s last 1:

Vi skriver mulige forskyvninger av alle legemer gjennom mulig forskyvning av last 1:

Vi uttrykker de lineære og vinkelakselerasjonene til alle legemer i form av ønsket akselerasjon av last 1 (forholdene er de samme som ved mulige forskyvninger):

.

Den generelle variasjonsligningen for dette problemet har formen:

Ved å erstatte de tidligere oppnådde uttrykkene for aktive krefter, treghetskrefter og mulige forskyvninger, etter enkle transformasjoner, får vi

Siden  s 0, derfor er uttrykket i parentes som inneholder akselerasjonen lik null en 1 , hvor en 1 = 5g/8,25 = 0,606g.

For å bestemme spenningen til kabelen som holder lasten, frigjør vi lasten fra kabelen, og erstatter dens handling med ønsket reaksjon . Under påvirkning av gitte krefter ,og treghetskraften som påføres lasten
han er i balanse. Derfor er d’Alembert-prinsippet anvendelig på den betraktede lasten (punkt), dvs. det skriver vi
. Herfra
.

3.8.4. Lagrange-ligning av 2. type

Generaliserte koordinater og generaliserte hastigheter. Eventuelle gjensidig uavhengige parametere som unikt bestemmer posisjonen til et mekanisk system i rommet kalles generaliserte koordinater . Disse koordinatene, angitt q 1 ,....q jeg, kan ha hvilken som helst dimensjon. Spesielt kan de generaliserte koordinatene være forskyvninger eller rotasjonsvinkler.

For systemene som vurderes er antall generaliserte koordinater lik antall frihetsgrader. Posisjonen til hvert punkt i systemet er en enkeltverdi funksjon av de generaliserte koordinatene

Dermed bestemmes bevegelsen til systemet i generaliserte koordinater av følgende avhengigheter:

De første deriverte av generaliserte koordinater kalles generaliserte hastigheter :
.

Generaliserte styrker. Uttrykk for det elementære arbeidet til en kraft på et mulig trekk
ser ut som:

.

For det elementære arbeidet med kraftsystemet, skriver vi

Ved å bruke de oppnådde avhengighetene kan dette uttrykket skrives som:

,

hvor er den generaliserte kraften som tilsvarer Jeg-den generaliserte koordinat,

. (3.49)

Dermed, generalisert kraft tilsvarende Jeg-th generaliserte koordinat, er variasjonskoeffisienten til denne koordinaten i uttrykket av summen av elementære verk av aktive krefter på den mulige forskyvningen av systemet . For å beregne den generaliserte kraften, er det nødvendig å informere systemet om en mulig forskyvning, der bare de generaliserte koordinatene endres q Jeg. Koeffisient kl
og vil være den ønskede generaliserte kraften.

Ligninger av systembevegelse i generaliserte koordinater. La et mekanisk system gis med s grader av frihet. Når du kjenner kreftene som virker på den, er det nødvendig å komponere differensialligninger for bevegelse i generaliserte koordinater
. Vi bruker prosedyren for å kompilere differensialligningene for bevegelse av systemet - Lagrange-ligningene av den andre typen - analogt med utledningen av disse likningene for et fritt materialpunkt. Med utgangspunkt i Newtons 2. lov skriver vi

Vi får en analog av disse ligningene ved å bruke notasjonen for den kinetiske energien til et materialpunkt,

Delvis derivert av kinetisk energi med hensyn til projeksjonen av hastighet på aksen
er lik projeksjonen av mengden bevegelse på denne aksen, dvs.

For å få de nødvendige ligningene, beregner vi de deriverte med hensyn til tid:

Det resulterende ligningssystemet er Lagrange-ligningene av den andre typen for et materiell punkt.

For et mekanisk system representerer vi Lagrange-ligningene av den andre typen i form av ligninger der i stedet for projeksjoner av aktive krefter P x , P y , P z bruke generaliserte krefter Q 1 , Q 2 ,...,Q i og ta i betraktning i det generelle tilfellet den kinetiske energiens avhengighet av de generaliserte koordinatene.

Lagrange-ligningene av den andre typen for et mekanisk system har formen:

. (3.50)

De kan brukes til å studere bevegelsen til ethvert mekanisk system med geometriske, ideelle og begrensende begrensninger.

Eksempel 3 . For det mekaniske systemet (fig. 3.5), dataene som er gitt i forrige eksempel, tegn en differensialligning for bevegelse ved å bruke Lagrange-ligningen av den andre typen,

Beslutning

Det mekaniske systemet har én frihetsgrad. For den generaliserte koordinaten tar vi den lineære bevegelsen til lasten q 1 = s; generalisert hastighet - . Med dette i bakhodet skriver vi Lagrange-ligningen av den andre typen

.

La oss komponere et uttrykk for den kinetiske energien til systemet

.

Vi uttrykker alle vinkel- og lineære hastigheter i form av den generaliserte hastigheten:

Nå får vi

La oss beregne den generaliserte kraften ved å komponere uttrykket for elementært arbeid på en mulig forskyvning  s alle aktive krefter. Uten friksjonskrefter utføres arbeid i systemet kun av tyngdekraften til lasten 1
Vi skriver den generaliserte kraften ved  s, som en koeffisient i elementært arbeid Q 1 = 5mg. Neste finner vi

Til slutt vil differensialligningen for bevegelse av systemet ha formen: