Interpolasjon. Introduksjon. Generell beskrivelse av problemet

Ved løsning av ulike praktiske problemer utarbeides forskningsresultatene i form av tabeller som viser avhengigheten av en eller flere målte størrelser av én definerende parameter (argument). Slike tabeller presenteres vanligvis i form av to eller flere rader (kolonner) og brukes til å danne matematiske modeller.

Tabellert i matematiske modeller funksjoner er vanligvis skrevet i tabeller med formen:

Y1(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)
Ym(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)

Den begrensede informasjonen som gis av slike tabeller, krever i noen tilfeller å oppnå verdiene til funksjonene Y j (X) (j=1,2,...,m) på punktene X som ikke sammenfaller med nodepunktene i tabellen Xi (i=0,1,2,…,n). I slike tilfeller er det nødvendig å bestemme et analytisk uttrykk φ j (X) for å beregne de omtrentlige verdiene til den undersøkte funksjonen Y j (X) ved vilkårlig spesifiserte punkter X . Funksjonen φ j (X) som brukes til å bestemme de omtrentlige verdiene til funksjonen Y j (X) kalles en tilnærmingsfunksjon (fra latin approximo - nærmer seg). Nærheten til den tilnærmede funksjonen φ j (X) til den tilnærmede funksjonen Y j (X) er sikret ved valget av passende tilnærmingsalgoritme.

Alle ytterligere hensyn og vi vil trekke konklusjoner for tabeller som inneholder de første dataene til en undersøkt funksjon (dvs. for tabeller med m=1 ).

1. Metoder for interpolasjon

1.1 Uttalelse av interpolasjonsproblemet

Oftest, for å bestemme funksjonen φ(X), brukes en setning, kalt setningen for interpolasjonsproblemet.

I denne klassiske formuleringen av interpolasjonsproblemet er det nødvendig å bestemme en omtrentlig analytisk funksjon φ(X) hvis verdier ved knutepunktene X i samsvarer med verdiene Y(X i) av den opprinnelige tabellen, dvs. forhold

ϕ (X i )= Y i (i = 0,1,2,...,n )

Approksimasjonsfunksjonen φ(X) konstruert på denne måten gjør det mulig å oppnå en ganske nær tilnærming til den interpolerte funksjonen Y(X) innenfor verdiområdet til argumentet [X 0 ; X n ], definert av tabellen. Når du angir verdiene til X-argumentet, ikke eid dette intervallet konverteres interpolasjonsoppgaven til ekstrapoleringsoppgaven. I disse tilfellene, nøyaktigheten

verdier oppnådd ved beregning av verdiene til funksjonen φ(X) avhenger av avstanden til verdien av argumentet X fra X 0 hvis X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

På matematisk modellering interpoleringsfunksjonen kan brukes til å beregne de omtrentlige verdiene til funksjonen som studeres ved mellompunkter av underintervallene [Х i ; Xi+1]. En slik prosedyre kalles bordforsegling.

Interpolasjonsalgoritmen bestemmes av metoden for å beregne verdiene til funksjonen φ(X). Den enkleste og mest åpenbare implementeringen av interpoleringsfunksjonen er å erstatte den undersøkte funksjonen Y(X) på intervallet [X i ; Х i+1 ] av et linjestykke som forbinder punktene Y i , Y i+1 . Denne metoden kalles den lineære interpolasjonsmetoden.

1.2 Lineær interpolasjon

Med lineær interpolasjon bestemmes verdien av funksjonen i punktet X, plassert mellom nodene X i og X i+1, av formelen til en rett linje som forbinder to tilstøtende punkter i tabellen

Y(X) = Y(Xi)+	Y(Xi + 1 ) − Y(Xi )	(X − Xi ) (i= 0,1,2, ...,n),
	Xi+ 1−Xi

På fig. 1 viser et eksempel på en tabell oppnådd som et resultat av målinger av en viss verdi Y(X) . Rader i kildetabellen er uthevet. Til høyre for tabellen er det et spredningsplott tilsvarende denne tabellen. Komprimeringen av tabellen er gjort på grunn av beregningen av formelen

(3) verdier av funksjonen blir tilnærmet ved punkter Х som tilsvarer midtpunktene til delintervaller (i=0, 1, 2, … , n ).

Figur 1. Komprimert tabell over funksjonen Y(X) og tilhørende diagram

Når man ser på grafen i fig. 1 kan det sees at punktene oppnådd som et resultat av komprimeringen av tabellen ved bruk av den lineære interpolasjonsmetoden ligger på linjesegmentene som forbinder punktene til den opprinnelige tabellen. Lineær nøyaktighet

interpolasjon, avhenger i hovedsak av arten av den interpolerte funksjonen og av avstanden mellom nodene i tabellen Xi, Xi+1.

Det er åpenbart at hvis funksjonen er jevn, så, selv med en relativt stor avstand mellom nodene, gjør grafen konstruert ved å koble punktene med rette linjesegmenter det mulig å nøyaktig estimere funksjonen Y(X). Hvis funksjonen endres raskt nok, og avstandene mellom nodene er store, tillater ikke den lineære interpoleringsfunksjonen å oppnå en tilstrekkelig nøyaktig tilnærming til den virkelige funksjonen.

Den lineære interpoleringsfunksjonen kan brukes til en generell foreløpig analyse og evaluering av riktigheten av interpolasjonsresultatene, som deretter oppnås av andre mer presise metoder. En slik vurdering blir spesielt aktuelt i tilfeller hvor beregninger utføres manuelt.

1.3 Interpolasjon med kanonisk polynom

Metoden for å interpolere en funksjon med et kanonisk polynom er basert på å konstruere en interpolerende funksjon som et polynom i formen [1]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn

Koeffisientene med i til polynomet (4) er frie interpolasjonsparametere, som bestemmes fra Lagrange-forholdene:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Ved å bruke (4) og (5) skriver vi ligningssystemet

	Cx+ cx2				C xn = Y
	Cx+ cx2				Cxn
			Cx2			C xn = Y

Løsningsvektor med i (i = 0, 1, 2, …, n ) av et lineært system algebraiske ligninger(6) eksisterer og kan bli funnet hvis det ikke er samsvarende noder blant i-noder. Determinanten til system (6) kalles Vandermonde-determinanten1 og har et analytisk uttrykk [2].

1 Vandermondes determinant kalt determinanten

Det er null hvis og bare hvis xi = xj for noen. (Materiale fra Wikipedia - det frie leksikonet)

For å bestemme verdiene av koeffisienter med i (i = 0, 1, 2, …, n)

ligninger (5) kan skrives i vektormatriseform

A* C=Y,

der A er matrisen av koeffisienter bestemt av potenstabellen til argumentvektoren X= (x i 0 , x i , x i 2 , … , x i n ) T (i = 0, 1, 2, … , n)

				x0 2		x0 n
				xn 2		xn n

C er en kolonnevektor med koeffisientene i (i = 0, 1, 2, …, n), og Y er en kolonnevektor med verdiene Y i (i = 0, 1, 2, …, n) av den interpolerte funksjon ved interpolasjonsnodene.

Løsningen til dette systemet med lineære algebraiske ligninger kan oppnås ved en av metodene beskrevet i [3]. For eksempel i henhold til formelen

С = A− 1 Y,

hvor A -1 er matrisen invers av matrise A. For å få invers matrise Og -1, du kan bruke MOBR()-funksjonen inkludert i settet standard funksjoner programmer Microsoft Excel.

Etter at verdiene til koeffisientene med i er bestemt, ved å bruke funksjonen (4), kan verdiene til den interpolerte funksjonen beregnes for enhver verdi av argumentene.

La oss skrive matrisen A for tabellen vist i fig. 1, uten å ta hensyn til radene som kondenserer tabellen.

Fig.2 Matrise av ligningssystemet for beregning av koeffisientene til det kanoniske polynomet

Ved å bruke MOBR()-funksjonen får vi matrisen A -1 invers til matrise A (fig. 3). Deretter, i henhold til formel (9), får vi vektoren av koeffisientene С=(c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T vist i fig. fire.

For å beregne verdiene til det kanoniske polynomet i cellen i kolonnen Y kanonisk som tilsvarer verdiene 0, introduserer vi konvertert til neste type formel som tilsvarer nulllinjen i systemet (6)

=((((c 5	* x 0 + c 4 ) * x 0 + c 3 ) * x 0 + c 2 ) * x 0 + c 1 ) * x 0 + c 0

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

I stedet for å skrive " c i " i en formel som er lagt inn i en celle Excel-tabeller, må det være en absolutt referanse til den tilsvarende cellen som inneholder denne koeffisienten (se fig. 4). I stedet for "x 0" - en relativ referanse til kolonnen kolonne X (se fig. 5).

Y kanonisk (0) av verdien som samsvarer med verdien i celle Y lin (0) . Når du drar en formel skrevet i en celle Y kanonisk (0), må verdiene til Y canonical (i) også samsvare, tilsvarende nodepunktene til originalen

tabeller (se fig. 5).

Ris. 5. Diagrammer bygget i henhold til tabellene for lineær og kanonisk interpolasjon

Sammenligning av grafer for funksjoner bygget i henhold til tabeller beregnet ved hjelp av formlene for lineær og kanonisk interpolasjon, ser vi i en rekke mellomnoder et betydelig avvik fra verdiene oppnådd av formlene for lineær og kanonisk interpolasjon. Det er mulig å bedømme nøyaktigheten av interpolasjon mer rimelig basert på innhenting tilleggsinformasjon om arten av prosessen som modelleres.

Interpolasjon er en type tilnærming der kurven til den konstruerte funksjonen går nøyaktig gjennom de tilgjengelige datapunktene.

Det er også et problem nær interpolering, som består i å tilnærme noen kompleks funksjon en annen, enklere funksjon. Hvis en viss funksjon er for kompleks for produktive beregninger, kan du prøve å beregne verdien på flere punkter, og bygge fra dem, det vil si interpolere, mer en enkel funksjon. Å bruke en forenklet funksjon lar deg selvfølgelig ikke få de samme nøyaktige resultatene som den opprinnelige funksjonen ville gitt. Men i noen klasser av problemer kan gevinsten i enkelhet og hastighet på beregninger oppveie den resulterende feilen i resultatene.

Vi bør også nevne en helt annen type matematisk interpolasjon, kjent som "operatørinterpolering". Klassiske verk om operatørinterpolasjon inkluderer Riesz-Thorin-teoremet og Marcinkiewicz-teoremet, som er grunnlaget for mange andre verk.

Definisjoner

Tenk på et system med ikke-sammenfallende punkter () fra et område. La verdiene til funksjonen bare være kjent på disse punktene:

Problemet med interpolasjon er å finne en slik funksjon fra en gitt klasse funksjoner som

Eksempel

1. La oss ha bordfunksjon, som den nedenfor, som, for flere verdier, definerer de tilsvarende verdiene:

0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolering hjelper oss med å finne ut hvilken verdi en slik funksjon kan ha på et annet punkt enn de spesifiserte (for eksempel når x = 2,5).

Til dags dato er det mange ulike måter interpolasjon. Valget av den mest passende algoritmen avhenger av svarene på spørsmålene: hvor nøyaktig er den valgte metoden, hva koster det å bruke den, hvor jevn er interpolasjonsfunksjonen, hvor mange datapunkter krever den, etc.

2. Finn en mellomverdi (ved lineær interpolasjon).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

Interpolasjonsmetoder

Nærmeste nabointerpolasjon

Den enkleste interpolasjonsmetoden er nærmeste nabointerpolasjon.

Interpolering med polynomer

I praksis er interpolasjon med polynomer oftest brukt. Dette skyldes først og fremst det faktum at polynomer er enkle å beregne, det er lett å analytisk finne deres deriverte, og settet med polynomer er tett i rommet kontinuerlige funksjoner(Weierstrass-teorem).

• IMN-1 og IMN-2
• Lagrangepolynom (interpolasjonspolynom)
• Aitkens opplegg

Omvendt interpolasjon (beregning x gitt y)

• Invers interpolasjon med Newtons formel

Multivariabel funksjonsinterpolasjon

Andre interpolasjonsmetoder

• Trigonometrisk interpolasjon

Beslektede begreper

• Ekstrapolering - metoder for å finne punkter utenfor spesifisert intervall(kurveforlengelse)
• Approksimasjon - metoder for å konstruere omtrentlige kurver

se også

• Eksperimentdatautjevning

Wikimedia Foundation. 2010 .

Synonymer:

Se hva "interpolasjon" er i andre ordbøker:

1) en måte å bestemme, fra en rekke gitte verdier for et hvilket som helst matematisk uttrykk, dets mellomverdier; så, for eksempel, i henhold til rekkevidden til kanonkulen ved en høydevinkel på aksen til kanonkanalen på 1 °, 2 °, 3 °, 4 °, etc., kan den bestemmes ved å bruke ... ... Ordbok fremmedord russisk språk

Innsetting, interpolasjon, inkludering, søk Ordbok over russiske synonymer. interpolasjon se innsett Ordbok over synonymer av det russiske språket. Praktisk veiledning. M.: Russisk språk. Z. E. Alexandrova. 2… Synonymordbok

interpolasjon- Beregning av mellomverdier mellom to kjente punkter. For eksempel: lineær lineær interpolasjon eksponentiell interpolasjon Prosessen med å sende ut et fargebilde når pikslene som tilhører området mellom to farger ... ... Teknisk oversetterhåndbok

- (interpolasjon) Estimering av verdien av en ukjent verdi mellom to punkter i en serie kjente verdier. For eksempel, å kjenne indikatorene for befolkningen i landet, oppnådd under folketellingen, utført med intervaller på 10 år, kan du ... ... Ordliste over forretningsvilkår

Fra latin faktisk "falsk". Dette er navnet som er gitt til feilaktige rettelser eller senere innsettinger i manuskripter laget av skriftlærde eller lesere. Spesielt ofte brukes dette begrepet i kritikk av manuskriptene til gamle forfattere. I disse manuskriptene... Litterært leksikon

Finne mellomverdier med en viss regularitet (funksjon) ved hjelp av en rekke kjente verdier. På engelsk: Interpolation Se også: Datatransformasjoner Finam Financial Dictionary ... Økonomisk vokabular

interpolasjon- og bra. interpolasjon f. lat. interpolasjonsendring; endring, forvrengning. 1. Et innlegg av senere opprinnelse hvor l. tekst som ikke tilhører originalen. ALS 1. Det er mange interpolasjoner gjort av skriftlærde i gamle manuskripter. Ush. 1934. 2 ... Historisk ordbok gallisisme av det russiske språket

INTERPOLASJON- (interpolatio), fullføring av empyrich. en serie verdier av en hvilken som helst mengde etter de manglende mellomverdiene. Interpolering kan gjøres på tre måter: matematisk, grafisk. og logisk. De er basert på den generelle hypotesen om at ... Stor medisinsk leksikon

- (fra det latinske interpolatio endring, endring), søket etter mellomverdier av en mengde i henhold til noen av dens kjente verdier. For eksempel å finne verdiene til funksjonen y = f(x) i punktene x som ligger mellom punktene x0 og xn, x0 ... Moderne leksikon

- (fra lat. interpolatio change alteration), i matematikk og statistikk, søket etter mellomverdier​ av en mengde i henhold til noen av dens kjente verdier. For eksempel å finne verdiene til funksjonen f (x) i punktene x som ligger mellom punktene xo x1 ... xn, i henhold til ... ... Stor encyklopedisk ordbok

Dette begrepet har andre betydninger, se Interpolasjon . Om funksjonen, se: Interpolant.

Interpolasjon, interpolasjon (fra lat. interpolis - « glattet ut, fornyet, fornyet; konvertert"") - i beregningsmatematikk, en måte å finne mellomverdier av en mengde fra et eksisterende diskret sett kjente verdier. Begrepet "interpolasjon" ble først brukt av John Vallis i hans avhandling The Arithmetic of the Infinite (1656).

I funksjonell analyse er interpolasjonen av lineære operatorer en seksjon som vurderer Banach-rom som elementer i en viss kategori.

Mange av de som driver med vitenskapelige og tekniske beregninger må ofte operere på sett med verdier oppnådd empirisk eller ved hjelp av metode. tilfeldig utvalg. Som regel, på grunnlag av disse settene, kreves det å konstruere en funksjon som man kunne høy presisjon for å få andre mottatte verdier. En slik oppgave kalles tilnærming. Interpolasjon er en type tilnærming der kurven til den konstruerte funksjonen går nøyaktig gjennom de tilgjengelige datapunktene.

Det er også et problem nær interpolasjon, som består i å tilnærme en kompleks funksjon med en annen, enklere funksjon. Hvis en viss funksjon er for kompleks for produktive beregninger, kan du prøve å beregne verdien på flere punkter, og bygge, det vil si interpolere, en enklere funksjon fra dem. Selvfølgelig lar bruken av en forenklet funksjon ikke oppnå det samme nøyaktige resultater, som ville gi den opprinnelige funksjonen. Men i noen klasser av problemer kan gevinsten i enkelhet og hastighet på beregninger oppveie den resulterende feilen i resultatene.

Vi bør også nevne en helt annen type matematisk interpolasjon, kjent som "operatørinterpolering". De klassiske verkene om operatørinterpolasjon inkluderer Riesz-Thorin-teoremet og Marcinkiewicz-teoremet, som er grunnlaget for mange andre verk.

Definisjoner

Tenk på et system med ikke-sammenfallende punkter x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) fra et eller annet domene D ( \displaystyle D) . La verdiene til funksjonen f (\displaystyle f) bare være kjent på disse punktene:

Yi = f (xi), i = 1, …, N. (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Problemet med interpolasjon er å finne en funksjon F (\displaystyle F) fra en gitt klasse funksjoner slik at

F (x i) = y i, i = 1, …, N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

• Punktene x i (\displaystyle x_(i)) kalles interpolasjonsnoder, og deres helhet er interpolasjonsnett.
• Par (xi, y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) kalles datapunkter eller basispunkter.
• Forskjellen mellom "tilstøtende" verdier Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - trinn for interpolasjonsnett. Den kan være både variabel og konstant.
• Funksjon F (x) (\displaystyle F(x)) - interpolerende funksjon eller interpolant.

Eksempel

1. La oss si at vi har en tabellfunksjon som den nedenfor som, for flere verdier av x (\displaystyle x), bestemmer de tilsvarende verdiene til f (\displaystyle f):

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolering hjelper oss å vite hvilken verdi en slik funksjon kan ha på et annet punkt enn de angitte punktene (for eksempel når x = 2,5).

Til dags dato er det mange forskjellige metoder for interpolasjon. Valget av den mest passende algoritmen avhenger av svarene på spørsmålene: hvor nøyaktig er den valgte metoden, hva koster det å bruke den, hvor jevn er interpolasjonsfunksjonen, hvor mange datapunkter krever den, etc.

2. Finn en mellomverdi (ved lineær interpolasjon).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15.5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19.2 − 15.5) 1 = 16.1993 (\displaystyle ?=15.5+(\frac ((6378-6000))(8000)(*9.02-c 15.5))(1))=16.1993)

På programmeringsspråk

Et eksempel på lineær interpolasjon for funksjonen y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Brukeren kan angi et tall mellom 1 og 10.

Fortran

program interpol heltall i ekte x, y, xv, yv, yv2 dimensjon x(10) dimensjon y(10) kall prisv(x, i) kall func(x, y, i) skriv(*,*) "skriv inn nummer: " les(*,*) xv hvis ((xv >= 1).og.(xv xv)) så yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end do end subrutine

C++

int main() ( system("FARGE 0A"); dobbel ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("ekko Interpoler X1 - X2 "); system("ekko Enter tall: "); cin >> ob; system("ekko For eksempel 62, C1 = 60, L1 = 1,31, C2 = 80, L2 = 1,29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko); cout

Interpolasjonsmetoder

Nærmeste nabointerpolasjon

Den enkleste interpolasjonsmetoden er nærmeste nabointerpolasjon.

Interpolering med polynomer

I praksis er interpolasjon med polynomer oftest brukt. Dette skyldes først og fremst det faktum at polynomer er enkle å beregne, det er lett å analytisk finne deres deriverte, og settet med polynomer er tett i rommet til kontinuerlige funksjoner (Weierstrass sin teorem).

• Lineær interpolering
• Newtons interpolasjonsformel
• Endelig forskjellsmetode
• IMN-1 og IMN-2
• Lagrangepolynom (interpolasjonspolynom)
• Aitkens opplegg
• spline funksjon
• kubisk spline

Omvendt interpolasjon (beregning x gitt y)

• Lagrange polynom
• Invers interpolasjon med Newtons formel
• Invers Gauss-interpolasjon

Multivariabel funksjonsinterpolasjon

• Bilineær interpolasjon
• Bikubisk interpolasjon

Andre interpolasjonsmetoder

• Rasjonell interpolasjon
• Trigonometrisk interpolasjon

Beslektede begreper

• Ekstrapolering - metoder for å finne punkter utenfor et gitt intervall (kurveforlengelse)
• Approksimasjon - metoder for å konstruere omtrentlige kurver

Omvendt interpolasjon

på klassen av funksjoner fra rommet C2 hvis grafer går gjennom punktene til matrisen (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.

Løsning. Blant alle funksjonene som går gjennom referansepunktene (xi, f(xi)) og tilhører det nevnte rommet, er det den kubiske spline S(x) som tilfredsstiller grensebetingelsene S00(a) = S00(b) = 0 som gir ekstremum (minimum) funksjonell I(f).

Ofte er det i praksis et problem med å søke etter den gitte verdien av funksjonen til verdien av argumentet. Dette problemet løses ved omvendte interpoleringsmetoder. Hvis en gitt funksjon er monotont, så gjøres omvendt interpolasjon enklest ved å erstatte funksjonen med et argument og omvendt og deretter interpolere. Hvis den gitte funksjonen ikke er monoton, kan ikke denne teknikken brukes. Deretter, uten å endre rollene til funksjonen og argumentet, skriver vi ned denne eller den interpolasjonsformelen; ved å bruke de kjente verdiene til argumentet, og forutsatt at funksjonen er kjent, løser vi den resulterende ligningen med hensyn til argumentet.

Estimatet på resten av leddet ved bruk av det første trikset vil være det samme som ved direkte interpolasjon, bare de deriverte av den direkte funksjonen må erstattes med deriverte av invers funksjon. La oss anslå feilen til den andre metoden. Hvis vi får en funksjon f(x) og Ln (x) er Lagrange-interpolasjonspolynomet konstruert for denne funksjonen over nodene x0, x1, x2, . . . , xn, da

f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x − x0) . . . (x − xn) .

Anta at vi må finne en verdi x¯ slik at f (¯x) = y¯ (y¯ er gitt). Vi løser ligningen Ln (x) = y¯ . La oss få en verdi x¯. Ved å erstatte den forrige ligningen får vi:

Mn+1

f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Ved å bruke Langrange-formelen får vi
(x¯ − x¯) f0 (η) =
hvor η er mellom x¯ og x¯. If er et intervall som inneholder x¯ og x¯ og min

fra det siste uttrykket følger:

|x¯ − x¯| 6m1(n + 1)! |$n (x¯)| .

I dette tilfellet antas det selvfølgelig at vi har løst likningen Ln (x) = y¯ nøyaktig.

Bruker interpolasjon for tabulering

Teorien om interpolasjon har anvendelser i kompilering av funksjonstabeller. Etter å ha mottatt et slikt problem, må matematikeren løse en rekke spørsmål før beregningene starter. Formelen som beregningene skal utføres med må velges. Denne formelen kan variere fra nettsted til nettsted. Vanligvis er formler for beregning av funksjonsverdier tungvinte, og derfor brukes de til å få noen referanseverdier, og deretter, ved undertabell, gjør de tabellen tykkere. Formelen som gir referanseverdiene til funksjonen må gi den nødvendige nøyaktigheten til tabellene, tatt i betraktning følgende undertabell. Hvis du vil kompilere tabeller med et konstant trinn, må du først bestemme trinnet.

Tilbake Første Forrige Neste Siste Hopp over indeks

Oftest er funksjonstabeller kompilert slik at lineær interpolasjon (det vil si interpolasjon ved bruk av de to første leddene i Taylor-formelen) er mulig. I dette tilfellet vil resten se ut

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Her tilhører ξ intervallet mellom to tilstøtende tabellverdier av argumentet der x er plassert, og t er mellom 0 og 1. Produktet t(t − 1) tar den største moduloen

verdi ved t = 12. Denne verdien er lik 14. Så,

Det må huskes at ved siden av denne feilen - metodefeilen, i den praktiske beregningen av mellomverdier, vil det fortsatt være en uopprettelig feil og avrundingsfeil. Som vi så tidligere, vil den fatale feilen i lineær interpolasjon være lik feilen til funksjonens tabulerte verdier. Avrundingsfeilen vil avhenge av beregningsmidlet og av beregningsprogrammet.

Tilbake Første Forrige Neste Siste Hopp over indeks

Emneindeks

delte forskjeller av andre orden, 8 av første orden, 8

spline, 15

interpolasjonsnoder, 4

Tilbake Første Forrige Neste Siste Hopp over indeks

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Hvordan gjøre interpolering

Formel for interpolering av tabelldata

Brukes i 2. trinn, når mengden NXR (Q, t) fra tilstanden er mellomliggende 100 t og 300 t.

(Unntak: hvis Q er lik 100 eller 300 etter betingelse, er interpolering ikke nødvendig).

y o- Den opprinnelige mengden NHR fra tilstanden, i tonn

(tilsvarer bokstaven Q)

y 1 – mindre

(fra tabell 11-16, vanligvis 100).

y 2 – mer nærmest verdien av mengden NCR, i tonn

(fra tabell 11-16, vanligvis 300).

x 1 y 1 (x 1 plassert overfor y 1 ), km.

x 2 - Tabellverdi av forplantningsdybden til en sky av forurenset luft (G t), henholdsvis y 2 (x 2 plassert overfor y 2 ), km.

x 0 - ønsket verdi G t tilsvarende y o(ifølge formelen).

Eksempel.

NCR - klor; Q = 120 t;

Type SVSP (grad av vertikal luftmotstand) - inversjon.

Finne G t- Tabellverdi av spredningsdybden til skyen av forurenset luft.

Vi ser gjennom tabellene 11-16 og finner data som samsvarer med din tilstand (klor, inversjon).

Egnet bord 11.

Velge verdier y 1 , y 2, x 1 , x 2 . Viktig - vi tar vindhastigheten 1 m / s., vi tar temperaturen - 20 ° C.

Bytt ut de valgte verdiene i formelen og finn x 0 .

Viktig - beregningen er riktig hvis x 0 vil ha en verdi et sted mellom x 1 , x 2 .

1.4. Lagrange-interpolasjonsformel

Algoritmen foreslått av Lagrange for å konstruere interpolering

funksjoner i henhold til tabeller (1) sørger for konstruksjon av interpolasjonspolynomet Ln(x) i formen

Det er klart at oppfyllelsen av betingelsene (11) for (10) bestemmer oppfyllelsen av betingelsene (2) i setningen av interpolasjonsproblemet.

Polynomene li(x) skrives som følger

Merk at ikke en enkelt faktor i nevneren til formel (14) er lik null. Etter å ha beregnet verdiene til konstantene ci, kan du bruke dem til å beregne verdiene til den interpolerte funksjonen ved gitte punkter.

Lagrange-interpolasjonspolynomformelen (11), som tar hensyn til formlene (13) og (14), kan skrives som

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Organisering av manuelle beregninger i henhold til Lagrange-formelen

Den direkte anvendelsen av Lagrange-formelen fører til et stort antall beregninger av samme type. For tabeller med små dimensjoner kan disse beregningene utføres både manuelt og i programvaremiljøet.

På det første trinnet vurderer vi algoritmen for beregninger utført manuelt. I fremtiden bør de samme beregningene gjentas i miljøet

Microsoft Excel eller OpenOffice.org Calc.

På fig. 6 viser et eksempel på kildetabellen til en interpolert funksjon definert av fire noder.

Fig.6. Tabell som inneholder startdata for de fire nodene til den interpolerte funksjonen

I den tredje kolonnen i tabellen skriver vi verdiene til koeffisientene qi beregnet med formler (14). Nedenfor er en oversikt over disse formlene for n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Det neste trinnet i implementeringen av manuelle beregninger er beregningen av verdiene li(x) (j=0,1,2,3), utført av formler (13).

La oss skrive disse formlene for versjonen av tabellen vi vurderer med fire noder:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) .

La oss beregne verdiene til polynomene li(xj) (j=0,1,2,3) og skrive dem ned i cellene i tabellen. Verdiene til funksjonen Ycalc(x), i henhold til formel (11), vil bli oppnådd som et resultat av å summere verdiene til li(xj) i rader.

Formatet til tabellen, som inkluderer kolonner med beregnede verdier li(xj) og en kolonne med verdier Ycalc(x), er vist i fig.8.

Ris. 8. Tabell med resultatene av manuelle beregninger utført av formlene (16), (17) og (11) for alle verdiene av argumentet xi

Etter å ha fullført dannelsen av tabellen vist i fig. 8, ved formlene (17) og (11) er det mulig å beregne verdien av den interpolerte funksjonen for enhver verdi av argumentet X. For eksempel, for X=1 beregner vi verdiene li(1) (i= 0,1,2,3):

10(1)=0,7763; 11(1) = 3,5889; 12(1)=-1,5155;13(1)=0,2966.

Ved å summere opp verdiene til li(1) får vi verdien Yinterp(1)=3,1463.

1.4.2. Implementering av interpolasjonsalgoritmen ved Lagrange-formler i miljøet til Microsoft Excel-programmet

Implementeringen av interpolasjonsalgoritmen begynner, som i manuelle beregninger, med å skrive formler for beregning av koeffisientene qi. 9 viser kolonnene i tabellen med gitte verdier argument, interpolert funksjon og koeffisienter qi. Til høyre for denne tabellen er formlene som er skrevet i cellene i kolonne C for å beregne verdiene til koeffisientene qi.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0

c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Æ q1

c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Æ q2

vС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Æ q3

Ris. 9 Tabell over koeffisienter qi og beregningsformler

Etter å ha skrevet inn formelen q0 i celle C2, trekkes den gjennom cellene fra C3 til C5. Etter det blir formlene i disse cellene korrigert i samsvar med (16) til skjemaet vist i fig. 9.

Ycalc(xi),

Ved å implementere formler (17), skriver vi formler for å beregne verdiene li(x) (i=0,1,2,3) i cellene i kolonnene D, E, F og G. I celle D2 for å beregne verdien l0(x0), skriver vi formelen:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

vi får verdiene l0 (xi) (i=0,1,2,3).

$A2-lenkeformatet lar deg strekke formelen langs kolonnene E, F, G for å danne beregningsformler for beregning av li(x0) (i=1,2,3). Å dra en formel over en rad endrer ikke kolonneindeksen til argumentene. For å beregne li(x0) (i=1,2,3) etter å ha tegnet formelen l0(x0) er det nødvendig å korrigere dem i henhold til formler (17).

Sett i kolonne H Excel-formler for å summere li(x) med formelen

(11) algoritme.

På fig. 10 viser en tabell implementert i miljøet Microsoft-programmer Utmerke. Et tegn på riktigheten av formlene skrevet i cellene i tabellen og de utførte beregningsoperasjonene er den resulterende diagonale matrisen li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), gjenta resultatene vist i fig. 8, og en kolonne med verdier som samsvarer med verdiene til den interpolerte funksjonen i nodene til den opprinnelige tabellen.

Ris. 10. Tabell med verdier li(xj) (j=0,1,2,3) og Ycalc(xj)

For å beregne verdiene på noen mellomliggende punkter er det nok

I cellene i kolonne A, fra celle A6, skriv inn verdiene til argumentet X som du vil bestemme verdiene til den interpolerte funksjonen for. Fremheve

i den siste (5.) linjen i celletabellen fra l0(xn) til Ycalc(xn) og strekk formlene skrevet i de valgte cellene til linjen som inneholder den siste

den gitte verdien av x-argumentet.

På fig. 11 viser en tabell hvor beregningen av verdien av funksjonen i tre poeng: x=1, x=2 og x=3. En ekstra kolonne med radnummer i kildedatatabellen er introdusert i tabellen.

Ris. 11. Beregning av verdiene til interpolerte funksjoner ved hjelp av Lagrange-formler

For større klarhet i å vise interpolasjonsresultatene, vil vi konstruere en tabell som inkluderer en kolonne med verdier av argumentet X ordnet i stigende rekkefølge, en kolonne med initialverdier for funksjonen Y(X) og en kolonne

Fortell meg hvordan jeg bruker interpolasjonsformelen og hvilken for å løse problemer i termodynamikk (varmeteknikk)

Ivan Shestakovich

Den enkleste, men ofte ikke tilstrekkelig nøyaktige interpolasjonen er lineær. Når du allerede har to kjente punkter (X1 Y1) og (X2 Y2) og du må finne Y-verdiene for dagen til noen X som er mellom X1 og X2. Da er formelen enkel.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Forresten, denne formelen fungerer også for X-verdier utenfor X1..X2-intervallet, men dette kalles allerede ekstropolering, og i betydelig avstand fra dette intervallet gir det en veldig stor feil.
Det er mange andre matter. interpolasjonsmetoder - Jeg anbefaler deg å lese læreboken eller rote gjennom internett.
Metoden for grafisk interpolasjon er heller ikke utelukket - tegn manuelt en graf gjennom kjente punkter og finn Y ​​fra grafen for den nødvendige X. ;)

Roman

Du har to betydninger. Og omtrentlig avhengighet (lineær, kvadratisk, ..)
Grafen til denne funksjonen går gjennom de to punktene dine. Du trenger en verdi et sted i mellom. Vel, uttrykk!
For eksempel. I tabellen, ved en temperatur på 22 grader, er det mettede damptrykket 120 000 Pa, og ved 26 124 000 Pa. Deretter ved en temperatur på 23 grader 121000 Pa.

Interpolasjon (koordinater)

Det er et koordinatrutenett på kartet (bilde).
Den har noen kjente referansepunkter (n>3) med to x,y-verdier- koordinater i piksler, og koordinater i meter.
Det er nødvendig å finne mellomverdier av koordinater i meter, og kjenne koordinatene i piksler.
Lineær interpolasjon er ikke egnet - for mye feil utenfor linjen.
Som dette: (Xc - koordinat i meter ved x, Xp - koordinat i piksler med x, Xc3 - ønsket verdi med x)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Hvordan finne den samme formelen for å finne Xc og Yc, gitt ikke to (som her), men N kjente referansepunkter?

Joka bregne lavd

Ut fra de skrevne formlene å dømme, faller aksene til koordinatsystemene i piksler og meter sammen?
Det vil si at Xp -> Xc er interpolert uavhengig og Yp -> Yc er uavhengig interpolert. Hvis ikke, må du bruke todimensjonal interpolasjon Xp,Yp->Xc og Xp,Yp->Yc, noe som kompliserer oppgaven noe.
Videre antas det at koordinatene Xp og Xc er relatert til en viss avhengighet.
Hvis arten av avhengigheten er kjent (eller det antas, for eksempel, vi antar at Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), så kan du få parametrene til denne avhengigheten (for den gitte avhengigheten a , b, c) ved å bruke regresjonsanalyse(Metode minste kvadrater). I denne metoden, hvis du blir spurt en viss avhengighet Xc(Xp) kan du få formelen for parameterne avhengig av referansedataene. Denne metoden gjør det spesielt mulig å finne og lineær avhengighet, den beste måten tilfredsstiller dette datasettet.
Ulempe: I denne metoden kan Xc-koordinatene hentet fra dataene til Xp-kontrollpunktene avvike fra de gitte. Som for eksempel, passerer ikke den tilnærmede rette linjen trukket gjennom forsøkspunktene nøyaktig gjennom disse punktene.
Hvis det kreves et eksakt samsvar og arten av avhengigheten er ukjent, bør interpolasjonsmetoder brukes. Det enkleste matematisk er Lagrange-interpolasjonspolynomet, som passerer nøyaktig gjennom referansepunktene. Men pga høy grad dette polynomet kl store tall referansepunkter og Dårlig kvalitet interpolasjon, er det bedre å ikke bruke det. Fordelen er den relativt enkle formelen.
Det er bedre å bruke spline-interpolasjon. Essensen av denne metoden er at i hver seksjon mellom to nabopunkter blir avhengigheten som studeres interpolert av et polynom, og glatthetsbetingelser skrives ved sammenføyningspunktene til to intervaller. Fordelen med denne metoden er kvaliteten på interpolasjonen. Ulemper - nesten umulig å trekke tilbake generell formel, må man finne koeffisientene til polynomet i hver seksjon algoritmisk. En annen ulempe er vanskeligheten med å generalisere til 2D-interpolering.

Det er en situasjon når du trenger å finne i en rekke kjente verdier mellomresultater. I matematikk kalles dette interpolasjon. I Excel denne metoden kan brukes både til tabelldata og for plotting av grafer. La oss ta en titt på hver av disse metodene.

Hovedbetingelsen for interpolering er at den ønskede verdien må være innenfor datamatrisen, og ikke gå utover grensen. For eksempel, hvis vi har et sett med argumentene 15, 21 og 29, kan vi bruke interpolasjon når vi finner en funksjon for argument 25. Og for å finne den tilsvarende verdien for argumentet 30 - ikke lenger. Dette er hovedforskjellen mellom denne prosedyren og ekstrapolering.

Metode 1: Interpolering for tabelldata

Først av alt, vurder bruken av interpolasjon for data som er plassert i en tabell. La oss for eksempel ta en rekke argumenter og deres tilsvarende funksjonsverdier, hvor forholdet kan beskrives lineær ligning. Disse dataene er plassert i tabellen nedenfor. Vi må finne den tilsvarende funksjonen for argumentet 28 . Den enkleste måten å gjøre dette på er med operatøren PROGNOSE.

Metode 2: Interpolering av en graf ved hjelp av innstillingene

Interpolasjonsprosedyren kan også brukes når du plotter en funksjon. Det er relevant hvis tabellen som grafen er basert på ikke spesifiserer den tilsvarende funksjonsverdien for ett av argumentene, som i bildet nedenfor.

Som du kan se, er grafen korrigert, og gapet er fjernet ved hjelp av interpolasjon.

Metode 3: Grafinterpolasjon med en funksjon

Du kan også interpolere grafen ved å bruke den spesielle ND-funksjonen. Den returnerer nullverdier i den angitte cellen.

Du kan gjøre det enda enklere uten å løpe Funksjonsveiviser, men bare bruk tastaturet til å kjøre en verdi inn i en tom celle "#N/A" uten sitater. Men det avhenger allerede av hvordan det er mer praktisk for hvilken bruker.

Som du kan se, i Excel-programmet, kan du interpolere som tabelldata ved å bruke funksjonen PROGNOSE, samt grafikk. PÅ siste tilfelle dette kan gjøres ved å bruke kartinnstillingene eller ved å bruke funksjonen ND, forårsaker en feil "#N/A". Valget av hvilken metode som skal brukes avhenger av problemformuleringen, så vel som av brukerens personlige preferanser.

Dette er et kapittel fra Bill Jelens bok.

Utfordring: Noen tekniske designproblemer krever bruk av tabeller for å beregne parameterverdier. Fordi tabellene er diskrete, bruker designeren lineær interpolasjon for å få en mellomliggende parameterverdi. Tabellen (fig. 1) inkluderer høyde over bakken (kontrollparameter) og vindhastighet (kalkulert parameter). For eksempel, hvis du trenger å finne vindhastigheten som tilsvarer en høyde på 47 meter, bør du bruke formelen: 130 + (180 - 130) * 7 / (50 - 40) = 165 m / s.

Last ned notat i eller format, eksempler i format

Hva om det er to kontrollparametere? Er det mulig å utføre beregninger med en enkelt formel? Tabellen (fig. 2) viser verdiene for vindtrykk for ulike høyder og spenn av strukturer. Det kreves å beregne vindtrykket i en høyde på 25 meter og et spenn på 300 meter.

Løsning: Vi løser problemet ved å utvide metoden som brukes for saken med én kontrollparameter. Gjør følgende.

Start med tabellen vist i fig. 2. Legg til kildeceller for høyde og spenn til henholdsvis J1 og J2 (Figur 3).

Ris. 3. Formlene i cellene J3:J17 forklarer hvordan megaformelen fungerer

For å gjøre det enklere å bruke formler, definer navn (fig. 4).

Følg arbeidet med formelen sekvensielt flytte fra celle J3 til celle J17.

Ved omvendt sekvensiell substitusjon, sett sammen megaformelen. Kopier formelteksten fra celle J17 til J19. Erstatt referansen til J15 i formelen med verdien i celle J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. Og så videre. Resultatet vil være en formel bestående av 984 tegn, som ikke kan oppfattes i denne formen. Du kan se det i den vedlagte excel-filen. Ikke sikker på om denne typen megaformler er nyttige å bruke.

Oppsummering: Lineær interpolasjon brukes for å få en mellomverdi av en parameter if tabellverdier angi kun for rekkeviddegrenser; Det foreslås en beregningsmetode basert på to kontrollparametere.