Den deriverte av funksjonen y x lnx er lik. Derivert av naturlig logaritme og logaritme for å basere a

Bevis og utledning av derivatformler naturlig logaritme og logaritme til base a. Eksempler på beregning av derivater av ln 2x, ln 3x og ln nx. Bevis på formelen for den deriverte av n. ordens logaritme ved bruk av metoden matematisk induksjon.

Utledning av formler for deriverte av den naturlige logaritmen og logaritmen for å basere en

Den deriverte av den naturlige logaritmen til x er lik en delt på x:
(1) (ln x)′ =.

Den deriverte av logaritmen til base a er lik en delt på variabelen x multiplisert med den naturlige logaritmen til a:
(2) (log a x)′ =.

Bevis

La det være noen positivt tall, Ikke lik en. Tenk på en funksjon avhengig av en variabel x, som er en logaritme til basen:
.
Denne funksjonen er definert på. La oss finne dens deriverte med hensyn til variabelen x. Per definisjon er derivatet følgende grense:
(3) .

La oss transformere dette uttrykket for å redusere det til de kjente matematiske egenskaper og regler. For å gjøre dette må vi vite følgende fakta:
EN) Egenskaper til logaritmen. Vi trenger følgende formler:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Kontinuitet til logaritmen og egenskapen til grenser for en kontinuerlig funksjon:
(7) .
Her er en funksjon som har en grense og denne grensen er positiv.
I) Betydningen av den andre bemerkelsesverdige grensen:
(8) .

La oss bruke disse fakta til vår grense. Først transformerer vi det algebraiske uttrykket
.
For å gjøre dette bruker vi egenskapene (4) og (5).

.

La oss bruke egenskap (7) og den andre bemerkelsesverdig grense (8):
.

Og til slutt bruker vi eiendom (6):
.
Logaritme til base e kalt naturlig logaritme. Den er utpekt som følger:
.
Deretter ;
.

Dermed fikk vi formel (2) for den deriverte av logaritmen.

Avledet av den naturlige logaritmen

Nok en gang skriver vi ut formelen for den deriverte av logaritmen for å basere a:
.
Denne formelen har den enkleste formen for den naturlige logaritmen, som , . Deretter
(1) .

På grunn av denne enkelheten er den naturlige logaritmen veldig mye brukt i matematisk analyse og i andre grener av matematikk knyttet til differensialregning. Logaritmiske funksjoner med andre baser kan uttrykkes gjennom den naturlige logaritmen ved å bruke egenskap (6):
.

Den deriverte av logaritmen med hensyn til basen kan finnes fra formel (1), hvis du tar konstanten ut av differensieringstegnet:
.

Andre måter å bevise den deriverte av en logaritme

Her antar vi at vi kjenner formelen for den deriverte av eksponentialen:
(9) .
Da kan vi utlede formelen for den deriverte av den naturlige logaritmen, gitt at logaritmen er den inverse funksjonen til eksponentialen.

La oss bevise formelen for den deriverte av den naturlige logaritmen, å bruke formelen for den deriverte av den inverse funksjonen:
.
I vårt tilfelle. Invers funksjon eksponentialen til den naturlige logaritmen er:
.
Dens derivat er bestemt av formel (9). Variabler kan angis med hvilken som helst bokstav. I formel (9), erstatt variabelen x med y:
.
Siden da
.
Deretter
.
Formelen er bevist.

Nå beviser vi formelen for den deriverte av den naturlige logaritmen ved å bruke differensieringsregler kompleks funksjon . Siden funksjonene og er inverse til hverandre, da
.
La oss differensiere denne ligningen med hensyn til variabelen x:
(10) .
Den deriverte av x er lik en:
.
Vi bruker regelen om differensiering av komplekse funksjoner:
.
Her . La oss erstatte i (10):
.
Herfra
.

Eksempel

Finn derivater av ln 2x, ln 3x Og lnnx.

Løsning

De originale funksjonene har lignende utseende. Derfor vil vi finne den deriverte av funksjonen y = log nx. Da erstatter vi n = 2 og n = 3. Og dermed får vi formler for derivatene av ln 2x Og ln 3x .

Så vi ser etter den deriverte av funksjonen
y = log nx .
La oss forestille oss denne funksjonen som en kompleks funksjon som består av to funksjoner:
1) Funksjoner avhengig av en variabel: ;
2) Funksjoner avhengig av en variabel: .
Deretter er den opprinnelige funksjonen sammensatt av funksjonene og:
.

La oss finne den deriverte av funksjonen med hensyn til variabelen x:
.
La oss finne den deriverte av funksjonen med hensyn til variabelen:
.
Vi bruker formelen for den deriverte av en kompleks funksjon.
.
Her setter vi det opp.

Så vi fant:
(11) .
Vi ser at den deriverte ikke er avhengig av n. Dette resultatet er ganske naturlig hvis vi transformerer den opprinnelige funksjonen ved å bruke formelen for logaritmen til produktet:
.
- Dette er en konstant. Dens deriverte er null. Så, i henhold til regelen for differensiering av summen, har vi:
.

Svar

; ; .

Derivert av logaritmen til modul x

La oss finne den deriverte av en annen veldig viktig funksjon- naturlig logaritme av modul x:
(12) .

La oss vurdere saken. Da ser funksjonen slik ut:
.
Dens derivat er bestemt av formel (1):
.

La oss nå vurdere saken. Da ser funksjonen slik ut:
,
Hvor .
Men vi fant også den deriverte av denne funksjonen i eksemplet ovenfor. Den er ikke avhengig av n og er lik
.
Deretter
.

Vi kombinerer disse to tilfellene til én formel:
.

Følgelig, for at logaritmen skal basere a, har vi:
.

Derivater av høyere ordener av den naturlige logaritmen

Vurder funksjonen
.
Vi fant dens førsteordens derivat:
(13) .

La oss finne andreordens deriverte:
.
La oss finne tredjeordens deriverte:
.
La oss finne den fjerde ordensderiverten:
.

Du kan legge merke til at den n-te ordens deriverte har formen:
(14) .
La oss bevise dette med matematisk induksjon.

Bevis

La oss erstatte verdien n = 1 i formel (14):
.
Siden , da når n = 1 , formel (14) er gyldig.

La oss anta at formel (14) er oppfylt for n = k. La oss bevise at dette innebærer at formelen er gyldig for n = k + 1 .

For n = k har vi faktisk:
.
Differensier med hensyn til variabelen x:

.
Så vi fikk:
.
Denne formelen sammenfaller med formel (14) for n = k + 1 . Derfor, fra antagelsen om at formel (14) er gyldig for n = k, følger det at formel (14) er gyldig for n = k + 1 .

Derfor er formel (14), for den n-te ordens deriverte, gyldig for enhver n.

Derivater av høyere ordener av logaritmen for å basere a

For å finne den n-te ordens deriverte av en logaritme til å basere a, må du uttrykke den i form av den naturlige logaritmen:
.
Ved å bruke formel (14), finner vi den n-te deriverte:
.

Definisjon. La funksjonen $y = f(x)$ være definert i et bestemt intervall som inneholder punktet $x_0$. La oss gi argumentet en økning $\Delta x $ slik at det ikke forlater dette intervallet. La oss finne den tilsvarende økningen av funksjonen $\Delta y $ (når vi flytter fra punktet $x_0 $ til punktet $x_0 + \Delta x $) og komponere relasjonen $\frac(\Delta) y)(\Delta x) $. Hvis det er en grense for dette forholdet ved $\Delta x \rightarrow 0$, kalles den angitte grensen avledet av en funksjon$y=f(x) $ ved punktet $x_0 $ og angi $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbolet y brukes ofte for å betegne den deriverte." Merk at y" = f(x) er ny funksjon, men naturlig assosiert med funksjonen y = f(x), definert ved alle punkter x der grensen ovenfor eksisterer. Denne funksjonen kalles slik: deriverte av funksjonen y = f(x).

Geometrisk betydning av derivat er som følgende. Hvis det er mulig å tegne en tangent til grafen til funksjonen y = f(x) i punktet med abscisse x=a, som ikke er parallell med y-aksen, så uttrykker f(a) helningen til tangenten :
$k = f"(a)$

Siden $k = tg(a) $, så er likheten $f"(a) = tan(a) $ sann.

La oss nå tolke definisjonen av derivat fra synspunktet om omtrentlige likheter. La funksjonen $y = f(x)$ ha en derivert i et spesifikt punkt $x$:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Dette betyr at nær punktet x den omtrentlige likheten $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)$, dvs. $\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x$. Den meningsfulle betydningen av den resulterende omtrentlige likheten er som følger: økningen av funksjonen er "nesten proporsjonal" med økningen av argumentet, og proporsjonalitetskoeffisienten er verdien av den deriverte i gitt poeng X. For eksempel, for funksjonen $y = x^2$ er den omtrentlige likheten $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ gyldig. Hvis vi nøye analyserer definisjonen av en derivert, vil vi finne at den inneholder en algoritme for å finne den.

La oss formulere det.

Hvordan finne den deriverte av funksjonen y = f(x)?

1. Fiks verdien av $x$, finn $f(x)$
2. Gi argumentet $x$ en økning $\Delta x$, gå til nytt punkt$x+ \Delta x $, finn $f(x+ \Delta x) $
3. Finn inkrementet til funksjonen: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Opprett relasjonen $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Beregn $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Denne grensen er den deriverte av funksjonen i punkt x.

Hvis en funksjon y = f(x) har en derivert i et punkt x, kalles den differensierbar i et punkt x. Prosedyren for å finne den deriverte av funksjonen y = f(x) kalles differensiering funksjoner y = f(x).

La oss diskutere følgende spørsmål: hvordan er kontinuitet og differensierbarhet av en funksjon på et punkt relatert til hverandre?

La funksjonen y = f(x) være differensierbar i punktet x. Deretter kan en tangent trekkes til grafen til funksjonen i punktet M(x; f(x)), og husk at vinkelkoeffisienten til tangenten er lik f "(x). En slik graf kan ikke "bryte" ved punkt M, dvs. funksjonen må være kontinuerlig i punkt x.

Dette var "hands-on" argumenter. La oss gi en mer streng begrunnelse. Hvis funksjonen y = f(x) er differensierbar i punktet x, så gjelder den omtrentlige likheten $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $. Hvis i denne likheten $\Delta x $ har en tendens til null, så vil $\Delta y $ ha en tendens til null, og dette er betingelsen for kontinuiteten til funksjonen i et punkt.

Så, hvis en funksjon er differensierbar i et punkt x, så er den kontinuerlig i det punktet.

Det motsatte utsagnet er ikke sant. For eksempel: funksjon y = |x| er kontinuerlig overalt, spesielt i punktet x = 0, men tangenten til grafen til funksjonen ved "krysspunktet" (0; 0) eksisterer ikke. Hvis en tangent på et tidspunkt ikke kan trekkes til grafen til en funksjon, eksisterer ikke den deriverte på det punktet.

Et eksempel til. Funksjonen $y=\sqrt(x)$ er kontinuerlig på hele tallinjen, inkludert i punktet x = 0. Og tangenten til grafen til funksjonen eksisterer på et hvilket som helst punkt, inkludert i punktet x = 0 Men på dette tidspunktet faller tangenten sammen med y-aksen, dvs. den er vinkelrett på abscisseaksen, dens ligning har formen x = 0. Helningskoeffisient en slik linje har ikke, noe som betyr at $f"(0) $ heller ikke eksisterer

Så vi ble kjent med en ny egenskap til en funksjon - differensieringsevne. Hvordan kan man konkludere fra grafen til en funksjon at den er differensierbar?

Svaret er faktisk gitt ovenfor. Hvis det på et tidspunkt er mulig å tegne en tangent til grafen til en funksjon som ikke er vinkelrett på abscisseaksen, så er funksjonen på dette punktet differensierbar. Hvis tangenten til grafen til en funksjon på et tidspunkt ikke eksisterer eller den er vinkelrett på abscisseaksen, er funksjonen på dette tidspunktet ikke differensierbar.

Regler for differensiering

Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering. Når du utfører denne operasjonen, må du ofte jobbe med kvotienter, summer, produkter av funksjoner, så vel som "funksjoner av funksjoner", det vil si komplekse funksjoner. Ut fra definisjonen av derivat kan vi utlede differensieringsregler som gjør dette arbeidet enklere. Hvis C - konstant antall og f=f(x), g=g(x) er noen differensierbare funksjoner, så er følgende sanne differensieringsregler:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivert av en kompleks funksjon:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabell over derivater av noen funksjoner

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering.

Som et resultat av å løse problemer med å finne derivater av de enkleste (og ikke veldig enkle) funksjonene per definisjon av derivat Som en grense for forholdet mellom økning og økning av argument, dukket det opp en tabell med derivater og nøyaktig definerte regler for differensiering. De første som arbeidet med å finne derivater var Isaac Newton (1643-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Derfor, i vår tid, for å finne den deriverte av en funksjon, trenger du ikke å beregne den ovennevnte grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, men du trenger bare å bruke tabellen med derivater og differensieringsreglene. Følgende algoritme er egnet for å finne den deriverte.

For å finne den deriverte, trenger du et uttrykk under primtegnet bryte ned enkle funksjoner i komponenter og bestemme hvilke handlinger (produkt, sum, kvotient) disse funksjonene er relatert. Ytterligere derivater elementære funksjoner finner vi i tabellen over deriverte, og formlene for produktets deriverte, sum og kvotient står i differensieringsreglene. Den deriverte tabellen og differensieringsreglene er gitt etter de to første eksemplene.

Eksempel 1. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Fra differensieringsreglene finner vi ut at den deriverte av en sum av funksjoner er summen av deriverte av funksjoner, dvs.

Fra tabellen over deriverte finner vi ut at den deriverte av "x" er lik en, og den deriverte av sinus er lik cosinus. Vi erstatter disse verdiene i summen av deriverte og finner den deriverte som kreves av tilstanden til problemet:

Eksempel 2. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi differensierer som en derivert av en sum der det andre leddet har en konstant faktor; det kan tas ut av tegnet til den deriverte:

Hvis det likevel dukker opp spørsmål om hvor noe kommer fra, blir de vanligvis ryddet opp etter å ha satt seg inn i tabellen over derivater og de enkleste differensieringsreglene. Vi går videre til dem akkurat nå.

Tabell over deriverte av enkle funksjoner

1. Derivert av en konstant (tall). Et hvilket som helst tall (1, 2, 5, 200...) som er i funksjonsuttrykket. Alltid lik null. Dette er veldig viktig å huske, da det kreves veldig ofte
2. Derivert av den uavhengige variabelen. Oftest "X". Alltid lik en. Dette er også viktig å huske lenge
3. Avledet av grad. Når du løser problemer, må du konvertere ikke-kvadratrøtter til potenser.
4. Derivert av en variabel i potensen -1
5. Derivat kvadratrot
6. Derivert av sinus
7. Derivat av cosinus
8. Derivert av tangent
9. Derivat av cotangens
10. Derivat av arcsine
11. Derivat av arccosine
12. Derivat av arctangens
13. Derivat av lysbue cotangens
14. Derivert av den naturlige logaritmen
15. Derivert av en logaritmisk funksjon
16. Derivert av eksponenten
17. Derivert av en eksponentiell funksjon

Regler for differensiering

1. Derivert av en sum eller differanse
2. Derivat av produktet
2a. Derivert av et uttrykk multiplisert med en konstant faktor
3. Avledet av kvotienten
4. Derivat av en kompleks funksjon

Regel 1.Hvis funksjonene

er differensierbare på et tidspunkt, så er funksjonene differensierbare på samme punkt

de. den deriverte av den algebraiske summen av funksjoner er lik algebraisk sum derivater av disse funksjonene.

Konsekvens. Hvis to differensierbare funksjoner er forskjellige med et konstant ledd, er deres deriverte like, dvs.

Regel 2.Hvis funksjonene

er differensierbare på et tidspunkt, så er produktet deres differensierbart på samme punkt

de. Den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene og den deriverte av den andre.

Konsekvens 1. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte:

Konsekvens 2. Den deriverte av produktet av flere differensierbare funksjoner er lik summen av produktene av den deriverte av hver faktor og alle de andre.

For eksempel, for tre multiplikatorer:

Regel 3.Hvis funksjonene

differensierbar på et tidspunkt Og , så på dette punktet er kvotienten deres også differensierbaru/v , og

de. den deriverte av kvotienten av to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene av nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet av den tidligere telleren.

Hvor du kan se etter ting på andre sider

Når man finner den deriverte av et produkt og kvotienten i reelle problemer Det er alltid nødvendig å bruke flere differensieringsregler samtidig, så det er flere eksempler på disse derivatene i artikkelen"Avledet av produkt og kvotient av funksjoner " .

Kommentar. Du bør ikke forveksle en konstant (det vil si et tall) som et ledd i en sum og som en konstant faktor! Når det gjelder et ledd, er dets deriverte lik null, og når det gjelder en konstant faktor, er det tatt ut av tegnet til de deriverte. Dette typisk feil, som skjer på det første stadiet studere derivater, men ettersom de løser flere en- og todelte eksempler, gjør ikke den gjennomsnittlige eleven lenger denne feilen.

Og hvis du, når du differensierer et produkt eller kvotient, har et begrep u"v, hvori u- et tall, for eksempel 2 eller 5, det vil si en konstant, så vil den deriverte av dette tallet være lik null, og derfor vil hele leddet være lik null (dette tilfellet er diskutert i eksempel 10).

En annen vanlig feil er å mekanisk løse den deriverte av en kompleks funksjon som den deriverte av en enkel funksjon. Derfor avledet av en kompleks funksjon en egen artikkel er viet. Men først skal vi lære å finne derivater enkle funksjoner.

Underveis kan du ikke gjøre uten å transformere uttrykk. For å gjøre dette må du kanskje åpne manualen i nye vinduer. Handlinger med krefter og røtter Og Operasjoner med brøker.

Hvis du leter etter løsninger på deriverte av brøker med potenser og røtter, det vil si når funksjonen ser ut som , følg deretter til klassen " Derivert av summen av brøker med potenser og røtter ".

Hvis du har en oppgave som , så har du en leksjon "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner."

Steg-for-trinn eksempler - hvordan finne den deriverte

Eksempel 3. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi definerer delene av funksjonsuttrykket: hele uttrykket representerer et produkt, og dets faktorer er summer, i det andre inneholder ett av leddene en konstant faktor. Vi bruker produktdifferensieringsregelen: den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene med den deriverte av den andre:

Deretter bruker vi regelen for differensiering av summen: den deriverte av den algebraiske summen av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene. I vårt tilfelle har det andre leddet et minustegn i hver sum. I hver sum ser vi både en uavhengig variabel, hvis deriverte er lik én, og en konstant (tall), hvis deriverte er lik null. Så, "X" blir til en, og minus 5 blir til null. I det andre uttrykket multipliseres "x" med 2, så vi multipliserer to med samme enhet som den deriverte av "x". Vi får følgende verdier derivater:

Vi erstatter de funnet deriverte i summen av produkter og får den deriverte av hele funksjonen som kreves av tilstanden til problemet:

Eksempel 4. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi er pålagt å finne den deriverte av kvotienten. Vi bruker formelen for å differensiere kvotienten: den deriverte av kvotienten til to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene til nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet til den tidligere telleren. Vi får:

Vi har allerede funnet den deriverte av faktorene i telleren i eksempel 2. La oss heller ikke glemme at produktet, som er den andre faktoren i telleren i gjeldende eksempel, er tatt med et minustegn:

Hvis du leter etter løsninger på problemer der du trenger å finne den deriverte av en funksjon, hvor det er en kontinuerlig haug med røtter og potenser, som f.eks. , så velkommen til timen "Derivat av summer av brøker med potenser og røtter".

Hvis du trenger å lære mer om derivatene av sinus, cosinus, tangenter og andre trigonometriske funksjoner, det vil si når funksjonen ser ut , så en leksjon for deg "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner".

Eksempel 5. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. I denne funksjonen ser vi et produkt, hvor en av faktorene er kvadratroten av den uavhengige variabelen, den deriverte vi gjorde oss kjent med i tabellen over deriverte. I henhold til regelen om differensiering av produktet og tabellverdi avledet av kvadratroten får vi:

Eksempel 6. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. I denne funksjonen ser vi en kvotient hvis utbytte er kvadratroten av den uavhengige variabelen. Ved å bruke regelen for differensiering av kvotienter, som vi gjentok og brukte i eksempel 4, og den tabulerte verdien av den deriverte av kvadratroten, får vi:

For å bli kvitt en brøk i telleren, multipliser telleren og nevneren med .